Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теория производных финансовых инструментов 16
1.1. Рынки производных инструментов 16
1.1.1. Форварды 19
1.1.2. Фьючерсы 24
1.1.3. Опционы 27
1.2. Непрерывные модели ценообразования опционов 35
1.2.1. Модель Блэка-Шоулса. Безарбитражность и полнота финансовых рынков 35
1.2.2. Показатели чувствительности цены опциона к факторам риска 43
1.2.3. «Улыбка» волатильности 50
1.2.4. Построение «улыбки» волатильности по историческим данным базового актива 61
1.2.5. Модели с переменной и стохастической волатиль-ностью 73
1.3. Дискретные модели ценообразования опционов 82
1.3.1. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Триномиальные деревья 82
1.3.2. Древовидные модели заданного распределения вероятностей и подразумеваемой волатильности 90
1.3.3. Сеточные методы расчета GARCH-моделей 101
1.4. Выводы 105
Глава 2. Стратегии и модели арбитража на рынке производных инструментов 108
2.1. Арбитраж и управление риском портфеля производных инструментов 108
2.2. Модель динамики кривой волатильности опционов 115
2.2.1. Аппроксимация кривой волатильности 115
2.2.2. Прогнозирование подразумеваемой волатильности опционов «у денег» 125
2.2.3. Прогнозирование цен закрытия опционов 134
2.3. Модели многоэтапного стохастического программирования 143
2.3.1. Управление активами и пассивами 143
2.3.2. Результаты экспериментов. Некоторые известные системы 149
2.4. Интервальное экспертное прогнозирование экономических переменных 153
2.4.1. Формирование портфеля опционов 156
2.4.2. Методология эксперимента 159
2.4.3. Результаты 163
2.5. Генерация сценариев для управления портфелем производных инструментов 165
2.6. Динамические модели управления портфелем 172
2.7. Выводы 191
Глава 3. Управление портфелем в условиях залоговых ограничений 193
3.1. Залоговая система биржи EUREX. Модель управления портфелем производных инструментов EUREX 194
3.2. Залоговые требования системы SPAN к портфелю фьючерсов и опционов 202
3.2.1. Рисковые массивы и сканируемый риск 207
3.2.2. Взнос за спрэд между инструментами одного класса 212
3.2.3. Взнос за поставку в текущем месяце 216
3.2.4. Кредиты за спрэды между инструментами различных классов 219
3.2.5. Минимальная ставка по коротким опционам и расчет начальной маржи 232
3.3. Управление портфелем фьючерсов и опционов при ограничениях London SPAN 240
3.3.1. Модель управления портфелем 240
3.3.2. Методы решения задачи управления портфелем 251
3.4. Система HEDGER исследования алгоритмов оптимизации портфеля 257
3.4.1. Функции и рабочая среда системы HEDGER 257
3.4.2. Решение задачи оптимизации портфеля с учетом залоговых ограничений 263
3.5. Управление портфелем фьючерсов и опционов на индекс S&P 500 на основе системы ARBITR 266
3.6. Выводы 271
Глава 4. Оценка эффективности управления портфелем 273
4.1. Анализ известных моделей оценки эффективности управления 273
4.2. Формализация требований к моделям оценки эффективности управления портфелем 280
4.3. Модель «собственного эталона» 284
4.4. Применение модели «собственного эталона» для портфелей различных финансовых инструментов 290
4.5. Программная система TREASURE 293
4.5.2. Пользовательский интерфейс и структуры баз данных 296
4.5.3. Импорт информации в базы данных 310
4.6. Выводы 321
Заключение 323
Список использованной литературы 326
Основные обозначения 358
Приложение 363
- Модель Блэка-Шоулса. Безарбитражность и полнота финансовых рынков
- Прогнозирование подразумеваемой волатильности опционов «у денег»
- Залоговые требования системы SPAN к портфелю фьючерсов и опционов
- Формализация требований к моделям оценки эффективности управления портфелем
Введение к работе
Актуальность проблемы. Отказ от Бреттон-Вудской системы фиксированных валютных курсов и переход западных стран в начале 1970-х к плавающим курсам валют положил начало бурному развитию рынка производных финансовых инструментов. В ответ на изменения экономических условий финансовые институты разработали новые продукты, предназначенные для управления риском. Производные инструменты сделали возможным разложение риска на составляющие и его последующее распределение среди участников рынка, способных наилучшим образом управлять каждым из компонентов. В настоящее время рынок фьючерсов и опционов - один из наиболее объемных и активных финансовых рынков. За III квартал 2005 года торговый оборот этих инструментов на мировых биржах, выраженный в сумме номинальных стоимостей базовых активов, составил около 357 триллионов долларов.
Заметные успехи демонстрирует в последнее время российский рынок производных инструментов. В III квартале 2005 года объем торгов биржевого сегмента российского срочного рынка превысил 8 миллиардов долларов. Кроме того, неуклонно возрастает сумма инвестиций российских финансовых институтов на международном рынке производных инструментов.
Основными типами биржевых производных финансовых инструментов являются фьючерсные и опционные контракты. Начиная с основополагающих работ F. Black, (Ф.Блэк) нынешних нобелевских лауреатов М. Scholes (М.Шоулс) и R.C. Merton (Р.Мэртон), усилия многих исследователей были сосредоточены на задаче определения справедливой цены отдельного опциона как стоимости хеджирования его при помощи базового и безрискового активов. К данному направлению относятся публикации зарубежных и отечественных ученых M.Avellaneda, C.A.Bali,
M.Brennan, T.F.Coleman, J.C.Cox, N.Cakici, F.Delbaen, E.Derman, J.C.Duan, B.Dupire, H.Folmer, S.L.Heston, N.Hoffmann, J.Hull, J.C.Jackwerth, El Karoui, I.Kani, H.E.Leland, R.C.Merton, P.Ritchken, R.A.Ross, M.Rubinstein, E.S.Schwartz, L.O.Scott, E.M.Stein, CJ.Stein, A.White, J.B.Wiggins, P.Wilmott, Г.А.Агасандяна, С.Н.Волкова, Ю.М.Кабанова, Д.О.Крамкова, А.В.Крянева, А.В.Мельникова, А.В.Нагаева, С.А.Нагаева, М.Л.Нечаева, М.М.Сафаряна, А.Н.Ширяева. В работах перечисленных авторов получены формулы и алгоритмы расчета цены американских и европейских опционов в условиях полных и неполных рынков, переменной и стохастической волатильности, при наличии и отсутствии транзакционных издержек, с применением совершенных и несовершенных методов хеджирования.
В то же время, практически неизвестны результаты, позволяющие предсказать будущие реальные биржевые цены опционов в зависимости цены базового актива. Модели, основанные на историческом или риск-нейтральном распределении вероятностей, отвечают на вопрос о том, сколько должны стоить опционы при выполнении используемых теоретических предположений. Модели подразумеваемой волатильности в основном предназначены для определения адекватной рынку цены опционов, которые не котируются на рынке в текущий момент времени. Они также не отвечают на вопрос о будущей рыночной цене опциона, поскольку подразумеваемая волатильность сама изменяется с течением времени.
Значительно меньшее число работ посвящено особенно актуальной для практиков проблеме оптимального управления портфелем производных финансовых инструментов. Среди исследователей данного направления -зарубежные специалисты Avellaneda A., Carino D.R., Dempster М.А.Н., Gondzio J., Kouwenberg R., Liu J., Pan J., Paras A., Thompson G.W.P., Turner A.L., Vorst Т. В работах данных авторов построены теоретические модели и исследованы примеры управления портфелем, содержащим производные финансовые инструменты. В то же время, в литературе отсутствует описание
стратегий и моделей управления портфелем, направленных на выявление арбитражных возможностей рынков и пригодных для использования в реальных условиях биржевых торгов. Не рассматриваются вопросы формирования портфелей с учетом залоговых ограничений, принятых на биржевых рынках производных инструментов.
Актуальной проблеме оценки эффективности управления портфелем посвящены исследования Bailey J.V., Brinson G., Carhart M.M., Coggin T.D., Cowhey T.J., Daniel K., Diermeier J.J., Fabozzi F.J., Haight G., Hallahan T.A., Jensen M.C., Morrell S., Rahman S., Rennie E.P., Richards T.M., Roll R., Schlarbaum G.G., Sharpe W.F., Tierney D.E., Treinor J.L. Однако вопросы оценки эффективности управления при осуществлении дополнительных вложений и изъятий денежных средств в течение периода управления изучены недостаточно. Известные методы обладают рядом недостатков и могут давать оценки, неадекватные фактическим результатам управления портфелем.
Цель работы и задачи исследования: разработка и исследование стратегий управления, математических моделей оптимизации портфеля производных финансовых инструментов, оценки эффективности управления и создание на их основе программных систем управления портфелями, обеспечивающих оптимальное для инвестора сочетание доходности и риска.
В соответствии с целью исследования были поставлены следующие основные задачи.
Исследование адекватности классической модели ценообразования Блэка-Шоулса реальной стоимости хеджирования опционов базовым активом и безрисковым активом на финансовых рынках.
Разработка моделей прогнозирования биржевых цен опционов на основе формул Блэка-Шоулса с применением линейного и нелинейного статистического регрессионного анализа.
Исследование эффективности интервального экспертного прогнозирования экономических переменных.
Построение и анализ GARCH - моделей цен базовых активов производных финансовых инструментов.
Разработка сценарной модели изменения цены базового актива производных финансовых инструментов на основе GARCH - моделей и методов теории ценообразования опционов.
Разработка динамической модели управления портфелем биржевых фьючерсов и опционов на основе многоэтапного стохастического программирования. Исследование свойств решений соответствующих задач оптимизации.
Формализация методов расчета залога за портфель биржевых производных финансовых инструментов, принятых в системах EUREX и SPAN.
Детализация моделей управления портфелем производных финансовых инструментов в условиях залоговых ограничений. Разработка и экспериментальное исследование эффективности методов решения соответствующих задач оптимизации.
Экспериментальные исследования моделей на основе реальных цен биржевых фьючерсов и опционов в режиме реального времени. Разработка и внедрение программных систем управления портфелем производных финансовых инструментов.
Разработка и исследование моделей оценки эффективности управления портфелями, учитывающих динамику рынка. Разработка и внедрение программных систем оценки эффективности управления портфелями.
Методы исследования. Решение поставленных задач потребовало
привлечения методов математического анализа, математической статистики,
регрессионного анализа, теории случайных процессов, теории
ценообразования опционов, линейного и выпуклого программирования,
метода ветвей и границ, многоэтапного стохастического программирования, численного моделирования.
Достоверность основных теоретических положений подтверждается формальным доказательством утверждений и теорем, сопоставлением прогнозных и фактических значений параметров финансовых рынков, а также результатами испытаний и промышленной эксплуатации программных систем управления портфелями, созданных на основе разработанных стратегий и математических моделей.
Научная новизна работы. При решении поставленных задач получены следующие теоретические результаты.
Показано, что существование «улыбки волатильности» опционов на акции российских эмитентов связано с отклонением динамики цены базового актива от винеровского процесса.
Показано, что для определения интервала возможных значений цены базового актива опционов могут использоваться прогнозы экспертов соответствующего рынка. В то же время, точность экспертного прогноза направления изменения цены является недостаточной для формирования арбитражных стратегий.
Предложен способ построения дерева сценариев цены базового актива опционов, волатильность которой описывается моделями типа GARCH. Дерево сценариев обладает свойством безарбитражности.
Определены объясняющие переменные и разработана модель линейной регрессии для прогнозирования кривой волатильности биржевых опционов, которая описывается экспоненциальной функцией от полинома второго порядка.
На основе формулы Блэка-Шоулса и модели прогноза кривой волатильности построена нелинейная регрессионная модель для прогнозирования расчетных цен биржевых опционов.
Разработана динамическая модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования с учетом транзакционных издержек.
Модель управления портфелем производных финансовых инструментов обобщена для случая залоговых ограничений, которые существуют при биржевой торговле. Доказаны свойства решений соответствующей задачи оптимизации, которые обеспечивают удовлетворение ряда естественных требований к процедуре управления портфелем.
Показано, что задача оптимизации портфеля с залоговыми ограничениями London SPAN сводится к последовательности задач линейного или квадратичного программирования. Предложена схема решения оптимизационной задачи на основе метода ветвей и границ, которая обеспечивает существенное сокращение времени решения.
Формализована система требований, которым должна отвечать модель оценки эффективности управления портфелем при наличии дополнительных вложений и изъятии средств из портфеля в течение периода управления.
Предложена модель «собственного эталона» для оценки эффективности управления портфелем, предусматривающая построение для каждого рассматриваемого портфеля соответствующего ему эталонного портфеля. Доказано, что предложенная модель отвечает сформулированным требованиям.
Основные положения, защищаемые автором.
1. Модель прогнозирования расчетных биржевых цен опционов в зависимости от расчетной цены базового актива, разработанная на основе формул Блэка-Шоулса и методов линейного и нелинейного регрессионного анализа.
Модель сценариев изменения цены базового актива, волатильность которой подчиняется GARCH-моделям.
Стратегия управления портфелем производных финансовых инструментов, предусматривающая выявление арбитражных возможностей рынка в режиме реального времени и управление риском изменения цены базового актива и риском волатильности.
Модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования.
Детализированные модели управления портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений. Исследование и доказательство свойств моделей, обеспечивающих адекватность рекомендаций ряду естественных требований к управлению портфелем.
Метод решения задачи управления портфелем с ограничениями London SPAN, предусматривающий сведение ее к последовательности подзадач и обеспечивающий сокращение числа решаемых подзадач на основе схемы ветвей и границ.
Система аксиом, формализующая требования к модели оценки эффективности управления портфелем в условиях осуществления дополнительных вложений и изъятия средств из портфеля в течение периода управления.
Модель «собственного эталона» оценки эффективности управления портфелем и результаты исследования ее свойств.
Практическая ценность работы.
1. Разработанная модель прогнозирования расчетных цен опционов предоставляет возможность выявления недооцененных и переоцененных опционов в процессе биржевых торгов в режиме реального времени и является основой для построения систем управления портфелями производных финансовых инструментов.
Предложенное дерево сценариев позволяет анализировать возможную динамику цены базового актива с учетом переменного характера волатильности. Данная сценарная модель может использоваться для планирования перестройки портфелей производных и других типов финансовых инструментов.
Модель управления портфелем производных финансовых инструментов позволяет планировать оптимальную перестройку портфеля с учетом возможной будущей динамики базового актива, изменения цен опционов, транзакционных издержек, возможностей заключения сделок с фьючерсными контрактами в будущем.
Предложенная стратегия управления и модель оптимизации обеспечивают формирование портфелей, устойчивых к колебаниям рынка, стоимость которых существенно не снижается при любом направлении изменения цены и волатильности базового актива.
Разработанные модели управления портфелем в условиях залоговых ограничений и методы решения соответствующих задач оптимизации позволяют формировать портфели производных инструментов на биржах, использующих систему SPAN для определения величины залога за портфель производных инструментов, а также на бирже EUREX.
Предложенная формальная система требований является основой для разработки новых моделей оценки эффективности управления портфелем при осуществлении дополнительных вложений и изъятии денежных средств в течение периода управления.
Предложенная модель «собственного эталона» обеспечивает адекватную финансовым результатам оценку эффективности управления портфелями, в том числе содержащими производные финансовые инструменты.
Реализация результатов работы.
Результаты исследования причин и характера «улыбки» подразумеваемой волатильности опционов на акции российских предприятий используются в НП «Исследовательская группа РЭА-Риск-Менеджмент» (г. Москва) при разработке программного продукта по оценке и управлению рыночными рисками «Риск-Терминал». Данные результаты увеличивают точность расчета цен опционов и показателей риска опционных позиций.
Предложенные модели прогнозирования биржевых цен опционов и модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования использованы в ЗАО «РИСК-ИНВЕСТ» (г. Москва) при построении комплексной среды разработки, тестирования и реализации торговых систем, использующих для генерации торговых сигналов информацию, получаемую из анализа цен базовых активов и производных финансовых инструментов.
Модели прогнозирования биржевых цен опционов, стратегии и модели управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования в условиях залоговых ограничений реализованы в системе ARBITR, внедренной в ОАО Банк ЗЕНИТ (г. Москва). Система осуществляет управление портфелем фьючерсов и опционов на индекс акций S&P 500.
Разработанный метод оценки эффективности управления портфелем в случае довложения и изъятия средств в течение периода управления использован в КБ «ГУТА-БАНК» (г. Москва) при разработке программной системы TREASURE.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались на следующих научных конференциях и семинарах.
1). 4-я всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Уфа, 29 августа - 3 сентября 1997 года).
2). 22я European Meeting of Statisticians (Вильнюс, 12-18 августа 1998года). 3). 2-я Московская международная конференция по исследованию операций
(Москва, 17-20 ноября 1998 года). 4). 3-я Московская международная конференция по исследованию операций
(Москва, 4-6 апреля 2001 года). 5). Профессиональная конференция «Корпоративное финансирования в
реальном секторе и финансовый инжиниринг» (Москва, 31 октября - 1
ноября 2000 года). 6). Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2000). 7). Third International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and
Risk in Complex Systems (Санкт-Петербург, 20-23 августа 2003 года). 8). Fourth International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and
Risk in Complex Systems" (Санкт-Петербург, 22-25 июня 2004 года). 9). Fifth International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and
Risk in Complex Systems" (Санкт-Петербург, 28 июня - 1 июля 2005
года). 10). Общемосковский постоянно действующий семинар «Экспертные оценки
и анализ данных» (Москва, ИПУ, 2004). 11). Конференция «Международный опыт риск-менеджмента и особенности
развивающихся рынков (Москва, 15-16 июня 2004 года). 12). International Symposium on Stochastic Models in Reliability, Safety and
Logistics (Израиль, Beer Sheva, 15-17 февраля 2005 года). 13). Конференция "Risk Management and Quantitative Approaches in Finance"
(Гейнесвилле, Флорида, США, 6-8 апреля 2005 года). 14). IV Восточно-Европейский риск-менеджмент форум (Киев, 3-4 ноября
2005 года). Основные результаты диссертации отражены в 32 печатных работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 348 наименований, списка обозначений и приложения, содержащего акты о внедрении результатов диссертации. Основная часть диссертации содержит 362 страницы текста, 80 рисунков, 52 таблицы.
Модель Блэка-Шоулса. Безарбитражность и полнота финансовых рынков
Основополагающий результат современной теории ценообразования опционов был получен американскими учеными Ф.Блэком и М.Шоулсом и опубликован в 1973 году в работе [31]. Авторы рассматривали (B,S) рынок, содержащий рисковый актив ("Stock") и безрисковый актив ("Bond"). Банковский счет эволюционирует в соответствии с дифференциальным уравнением а цены акций подчиняются геометрическому броуновскому движению: где /л и а - постоянные, WT- стандартный винеровский процесс (процесс с независимыми гаусовскими приращениями и непрерывными траекториями). Строгая математическая теория данного процесса была построена в [252]. Модель (1.7) впервые была рассмотрена в [225]. Кроме того, Блэк и Шоулс использовали следующие допущения: а) допускается короткая продажа базового актива; б) отсутствуют транзакционные издержки при совершении операций с банковским счетом и базовым активом опциона; в) базовый актив и банковский счет безгранично делимы; г) базовый актив не приносит дополнительного дохода (например, рассматривается акция без дивидендов); д) на рынке отсутствуют арбитражные возможности; е) операции на рынке осуществляются непрерывно; ж) безрисковая процентная ставка г и волатильность цены базового актива а постоянны на всем период действия опционного контракта. Решая уравнения (1.6) и (1.7), можно получить, что Блэк и Шоулс получили следующую формулу для справедливой цены европейского опциона колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды: Здесь Ф- функция стандартного нормального закона распределения. Используя теорему паритета опционов (1.5), на основе (1.10) можно получить аналогичное соотношение для премии европейского опциона пут: В том же 1973 году формулы для премии европейских опционов были получены в работе [195]. Вывод формул (1.10), (1.11) основан на стратегии непрерывного хеджирования короткого опциона портфелем из рискового и безрискового актива. Для каждого момента времени определяется необходимое количество акций и размер банковского счета. Возможно заимствование средств под безрисковую ставку процента. Начальный капитал хеджирующего портфеля равен премии, полученной в результате продажи опциона. Портфель является самофинансируемым, т.е., дополнительного притока средств не происходит. Данная стратегия с вероятностью 1 обеспечивает в момент экспирации опциона наличие суммы средств, в точности равной величине выплаты по опциону. Таким образом, справедливая премия опциона определяется как стоимость его хеджирования. Для вывода формул (1.10) и (1.11) в [31] и [195] на основе стохастического дифференциального уравнения (1.7) осуществляется построение дифференциального уравнения в частных производных и решение полученного уравнения.
Современное доказательство формул Блэка-Шоулса, основанное на теории мартингалов [339], [340], [341], можно найти в [342], [343], [344]. Если по акции выплачивается дивиденд, ставка которого равна q, то премии европейских опционов колл и пут даются следующими формулами: Данный результат был впервые получен Мертоном [195]. Приведенные формулы могут быть также использованы для расчета премии опционов на валюту, процентные ставки и опционов на фьючерсные контракты [32]. Поскольку досрочное исполнение американского опциона колл на бездивидендные акции не целесообразно, формулы (1.10), (1.11) пригодны и для расчета премии таких опционов. Напротив, американский опцион пут может быть выполнен до истечения срока контракта, поэтому формулой (1.12) для расчета его цены воспользоваться нельзя. Если базовый актив приносит дополнительный доход (например, акция с дивидендом), то исполнение до срока может оказаться наилучшим решением и для американского опциона колл. Таким образом, формулы (1.13), (1.14) и (1.15) предназначены исключительно для европейских опционов. Из уравнения (1.9) следует, что величина ST следует логарифмически нормальному распределению со средним In So + Таким образом, параметр ц можно интерпретировать как ожидаемую годовую доходность акции, выраженную ставкой непрерывного начисления процентов. Данный параметр не присутствует в формулах для премии опционов (1.10) - (1.15). Это свидетельствует о том, что стратегия хеджирования опциона Блэка-Шоулса обеспечивает выполнение соответствующего обязательства вне зависимости от направления движения цен. Реальные рынки характеризуются наличием транзакционных издержек. Обычно брокер взимает с инвестора комиссию за покупку и продажу базового актива, фьючерсов и опционов. Данное обстоятельство не учитывается в модели Блэка-Шоулса. Наличие комиссионных расходов обязывает инвестора осуществлять хеджирование опциона в дискретные моменты времени, в противном случае сумма транзакционных издержек становится бесконечной. В [185] показано, что для учета комиссионных достаточно в формуле Блэка-Шоулса использовать скорректированную волатильность, которая дается следующей формулой: Здесь а1- волатильность цены базового актива, к - комиссионные затраты при покупке или продаже единицы базового актива, At- интервал рехеджирования.
Наличие транзакционных издержек по операциям с базовым активом увеличивает стоимость хеджирования как коротких, так и длинных опционов. Поэтому справедливая цена продажи опциона выше, а справедливая цена покупки опциона ниже, чем цена в классической модели Блэка-Шоулса. Таким образом, возникает спрэд котировок, что является проявлением неполноты рынка с транзакционными издержками. Вопросы асимптотики цены хеджирования опционов при изменении At рассматриваются в [165]. Стоимость опциона по Блэку-Шоулсу получается как стоимость непрерывного хеджирования опциона базовым активом и безрисковым активом. Данная схема хеджирования всегда приводит к одной и той же величине издержек вне зависимости от реализовавшейся ценовой траектории. Однако, если не осуществлять хеджирование опциона базовым активом, а просто дождаться экспирации, то средняя дисконтированная величина выплаты по европейскому опциону на бездивидендную акцию также определяется формулой Блэка-Шоулса при условии, что математическое ожидание цены базового актива в момент экспирации составляет Доказательство можно найти, например, в [7] и [264]. Данный факт является частным случаем более общего результата, который относится к основаниям финансовой математики. Для того, чтобы сформулировать соответствующую теорему, дадим несколько определений и приведем ряд необходимых предварительных результатов.
Прогнозирование подразумеваемой волатильности опционов «у денег»
Эффект отрицательной корреляции логарифмов приращений цены базового актива и ее волатильности, называемый также эффектом асимметрии или эффектом левереджа, впервые был подмечен Ф.Блэком в 1976 году [342]. Поскольку волатильность базового актива и подразумеваемая волатильность опционов статистически связаны, то естественно предположить, что аналогичная зависимость имеет место между ценой базового актива и подразумеваемой волатильностью опционов. Ряды логарифмов волатильности опционов «у денег» обладают свойством автокорреляции. Об этом говорит вид соответствующих автокорреляционных функций. В качестве объясняющих переменных для прогнозирования подразумеваемой волатильности опционов «у денег» целесообразно использовать зависимую переменную с лагом 1,2 и 3. Модели GARCH связывают значение волатильности актива с квадратом относительного изменения его цены. По аналогии рассмотрим зависимость между логарифмом подразумеваемой волатильности опционов «у денег» и квадратом логарифмического приращения цены актива.
Общий вид уравнения регрессии для прогнозирования логарифма подразумеваемой волатильности опционов «у денег», предложенной в [292]: где а?- значение подразумеваемой волатильности опционов «у денег» в момент времени г, А г- длительность периода прогноза, ит логарифмическое приращение цены актива за период времени от т-Аг до г, пт - случайная ошибка. Результаты регрессионного анализа моделей прогноза на 1 торговый день вперед для различных опционов представлены в табл. 2.7,2.8,2.9 и 2.10. Исследования показали, что однодневный интервал прогноза не является пределом для рассматриваемой модели. Табл.2.11 содержит результаты анализа модели прогноза подразумеваемой волатильности опционов «у денег» на индекс S&P 500 на период в три торговых дня. В случае европейских опционов на индекс FTSE 100 (табл.2.7) значимыми для прогнозирования подразумеваемой волатильности можно считать две переменные: зависимую переменную с лагом 1 и логарифмическое приращение цены актива. Соответствующая регрессионная модель дается в нижней части табл.2.7. Оба рассматриваемых коэффициента оказываются значимыми. Для американских опционов на тот же индекс нулевая гипотеза должна быть отброшена в отношении коэффициента с/, (табл.2.8). В итоговом уравнении задействована также зависимая переменная с лагом 3 и переменная, определяющая логарифмическое приращение цены актива. Для нового уравнения нулевая гипотеза в отношении коэффициента d3 может быть отброшена с уровнем доверия 1 - 0,03680898 = 0,96319102 , а в отношении коэффициента d4- с уровнем доверия 1 - 0,179013348 = 0,820986652. Рассмотрим результаты анализа для опционов на DAX. Как следует из табл.2.9, меньше всего оснований для отбрасывания нулевой гипотезы существует в отношении коэффициентов d0 и d}. Соответствующие этим коэффициентам переменные не рассматриваются в последующей регрессионной модели. Приведенные в нижней части табл.2.9 Р-значения говорят о значимости коэффициентов итогового уравнения. Единственным рынком, для которого коэффициент dA не является статистически значимым, оказался рынок опционов на акции РАО «ЕЭС России» (табл.2.10).
Это также единственный рынок, для которого значимым является коэффициент d5. Поведение подразумеваемой волатильности в данном случае напоминает классическую GARCH-модель Боллерслева (Bollerslev): подразумеваемая волатильность опционов на рассматриваемом рынке возрастает при значительных изменениях цены базового актива в сторону ее уменьшения или увеличения. В табл.11 представлены результаты идентификации модели для прогнозирования подразумеваемой волатильности опционов «у денег», базовым активом которых является индекс S&P 500, на период трех торговых дней. В отличие от всех рассмотренных рынков, значимым здесь оказался свободный член регрессионной модели d0, а также коэффициенты dx и dt. По опционам, базовым активом которых являются индексы FTSE 100 и DAX, использовался тот же статистический материал, что и в разделе 2.2.1 при анализе точности аппроксимации цен на основе экспоненциальной модели кривой волатильности. Для российских опционов статистическая выборка включала данные за период 13.08.04 - 30.11.04. Экспирация опционов происходила 15.12.04. По опционам на индекс S&P 500 использовалась информация периода 15.12.04 - 15.02.05. Рассматривались опционы с истечением срока действия 18.03.05. Если случайные ошибки модели (2.22) автокоррелированы, то метод наименьших квадратов может приводить к смещению оценок коэффициентов регрессии, поскольку в число объясняющих переменных входят лаговые зависимые переменные [300]. Для проверки наличия автокорреляции в случае европейских опционов на индекс FTSE 100 можно использовать h-статистику Дарбина [100], поскольку здесь используется только одна лаговая зависимая переменная с лагом 1. Данная статистика принимает значение Л = -0,804018139. При отсутствии автокорреляции случайных ошибок А на больших выборках распределена по стандартному нормальному закону. Гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть отвергнута на 5-процентном уровне значимости (при использовании двусторонней альтернативной гипотезы), если абсолютная величина h превышает 1,96. Как видно, в рассматриваемом случае основания для отбрасывания нулевой гипотезы отсутствуют. Исследовалась точность прогнозирования других величин, связанных с параметрами а0, ах, а2. В качестве альтернативы рассматривалось прогнозирование самих параметров а0, а,, а2, а также логарифмов подразумеваемой волатильности опционов с денежностью 0 = 0,8 и П = 1,2 соответственно. Качество регрессии логарифма подразумеваемой волатильности американских опционов на индекс FTSE 100 с денежностью 0,8 оказывается несколько выше, чем регрессии для аналогичных опционов «у денег». В остальных случаях более предпочтительна регрессия для опционов «у денег».
Залоговые требования системы SPAN к портфелю фьючерсов и опционов
В 1988 году чикагская биржа СМЕ (Chicago Mercantile Exchange) разработала и внедрила систему расчета начальной маржи, которая получила название SPAN - Standard Portfolio ANalysis of Risk. Современное состояние алгоритмов СМЕ SPAN описывается в биржевой документации [57] и [58]. SPAN быстро распространился по миру и к настоящему моменту стал неофициальным стандартом. Практически все крупные биржи мира используют сейчас эту методику. SPAN рассчитывает залоги клиринговых членов, торговых членов биржи и публичных пользователей. Портфели участников рынка могут включать фьючерсы и опционы на индексы акций и товары, опционы на фьючерсные контракты, опционы на акции, валюты и процентные ставки.
Крупным пользователем SPAN является Лондонский Клиринговый Дом (London Clearing House Ltd.), который рассчитывает залоги по портфелям производных инструментов на биржах Лондона. Лондонский Клиринговый Дом является также и держателем залоговых средств. Система London SPAN имеет некоторые методические особенности по сравнению с СМЕ SPAN. В рамках системы London SPAN также имеются отличия между правилами расчетов для LME (London Metal Exchange)11 и для двух других лондонских бирж, на которых обращаются производные инструменты -LIFFE (London International Financial Futures and Options Exchange) и IPE (International Petroleum Exchange) . Описание London SPAN представлено в документах [189], [243], [244], [245], [246]. Все эти руководства могут быть получены на сервере Лондонского Клирингового Дома по адресу www.lch.co.uk . В дальнейшем будем рассматривать версию методики, которая используется для расчета залога на биржах LIFFE и IPE [243].
Основная задача SPAN состоит в том, чтобы определить начальную маржу портфеля фьючерсов и опционов. Начальная маржа рассчитывается как максимальная потеря стоимости, которая может произойти с портфелем в течение 1 торгового дня. При этом биржа, использующая SPAN, сама устанавливает, какую долю потерь должна покрывать начальная маржа. Обычно параметры SPAN устанавливаются таким образом, чтобы полученная начальная маржа покрывала от 95% до 99% дневных потерь за определенный предшествующий период времени. SPAN представляет собой инженерную методику, сочетающую изощренные математические модели с эвристическими формулами и алгоритмами, работоспособность которых подтверждается экспериментально. В руководствах по SPAN преобладает словесное описание алгоритмов. В разделе 3.2 дается формализованное описание методики, основанное на работах [281], [290]. Приводятся примеры расчета начальной маржи.
Стандартные модели ценообразования включают три фактора, оказывающих влияние на стоимость опциона. Это стоимость базового актива, волатильность его цены и время до истечения опциона. Изменение процентной ставки является довольно редким событием. SPAN рассматривает сценарии возможного изменения цены базового актива и волатильности. Биржа устанавливает интервалы возможного изменения этих параметров. Всего принято рассматривать 16 сценариев.
Лондонский Клиринговый дом рассчитывает потери (или прибыль) для каждой серии производных инструментов, соответствующие каждому из сценариев. Расчеты производятся для длинных позиций по инструментам. Результирующие таблицы принято называть рисковыми массивами (Risk Arrays). Хотя стоимость фьючерсов не зависит от величины волатильности, для единообразия рисковые массивы фьючерсов оформляются точно также как и массивы по опционам. Рисковые массивы рассчитываются ежедневно на основании расчетных цен финансовых инструментов и предоставляются инвесторам в виде файлов (Risk Parameter Files). Помимо рисковых массивов эти файлы содержат расчетные цены, ставки по спрэдам и другие параметры, необходимые для расчета залога. Описание формата Risk Parameter Files представлено в [190], [243]. Расчет начальной маржи любого портфеля с использованием подготовленных таким образом параметров сводится к несложной последовательности арифметических операций.
Первый шаг SPAN рассчитывает величину так называемого сканируемого риска (Scanning risk). Для этого вначале рассчитываются потери по производным инструментам для каждого из 16 сценариев. При этом элементы рисковых массивов умножаются на величины соответствующих позиций (величины коротких позиций берутся со знаком «-»). Полученные произведения складываются отдельно для каждого из 16 сценариев. Сканируемый риск определяется как максимальное из полученных 16 чисел и нуля.
Первый шаг SPAN рассчитывает изменение текущей стоимости фьючерсов как изменение цены спот базового актива. При таком огрублении изменения в стоимости длинного фьючерса полностью покрываются изменениями в стоимости короткого фьючерса другого срока. Поскольку в действительности это не так, в расчет начальной маржи портфеля включаются дополнительные величины, которые характеризуют риск фьючерсного спрэда. Для расчета этой составляющей начальной маржи используется так называемая композитная дельта. Обычная «дельта» - это производная стоимости инструмента по цене базового актива. В связи с тем, что изменение цены фьючерсов рассматривается в SPAN как изменение цены спот, дельта длинных фьючерсных контрактов всегда равняется 1. Дельта опционов находится в пределах от -1 до +1. Композитная дельта - это средневзвешенная «дельта» по вероятностям всех сценариев, которые рассматривает SPAN. Заметим, что взнос за спрэд рассчитывается и для некоторых видов опционных контрактов, например, для опционов на фьючерсы и европейских опционов на индекс FTSE 100.
При приближении срока поставки товара в соответствии с заключенным фьючерсным контрактом нарастает риск дефолта, который провоцируется колебаниями цены. Этот фактор также учитывается SPAN, соответствующая составляющая начальной маржи носит английское название Spot Month Charge или Delivery Charge. В дальнейшем мы будем называть эту величину взносом за поставку в текущем месяце.
Некоторые виды инструментов на один и тот же базовый актив могут рассматриваться как одно целое при вычислении залоговых требований по SPAN. Например, европейские и американские опционы на индекс FTSE 100 рассматриваются как единое целое на всех шагах SPAN. Множество видов инструментов, обладающих таким свойством, в SPAN принято называть Combined Commodity. Мы будем использовать название класс инструментов для обозначения таких множеств. Расчет сканируемого риска на первом шаге SPAN выполняется отдельно для каждого класса по содержащимся в портфеле ПФИ.
Формализация требований к моделям оценки эффективности управления портфелем
В табл. 3.3 приведено описание 16 стандартных сценариев, используемых при формировании рисковых массивов. В сценариях 1-14 цена базового актива и волатильность этой цены изменяются в рамках установленных биржей интервалов. (Увеличение цены, например, на 1/3, означает увеличение ее на 1/3 установленного интервала относительно сегодняшней расчетной цены по рассматриваемому инструменту). В сценариях 15 и 16 рассматривается изменение цены на удвоенную величину интервала. Но при этом соответствующие элементы рисковых массивов составляют лишь 35% от величины возникающих потерь.
Потери или прибыли, соответствующие каждому из сценариев, рассчитываются в тиках (условных единицах; для инструментов на индексы акций тик составляет 1/100 пойнта (пункта) индекса) или непосредственно в денежном выражении. По соглашению величины потерь даются со знаком «+», а прибыли - со знаком «-». Для опциона элементы рискового массива рассчитываются как разность между сегодняшней расчетной ценой и теоретически рассчитанной ценой завтрашнего дня при условии, что соответствующий сценарий реализуется. При этом цена базового актива изменяется относительно расчетной цены данного актива за истекший торговый день. Для каждого опциона производится расчет текущей подразумеваемой волатильности. Изменение волатильности задается биржей и Лондонским Клиринговым Домом в процентах относительно текущей подразумеваемой волатильности.
Для расчетов теоретической цены опциона может использоваться формула Блэка-Шоулса; в случае опционов на фьючерсы используется соответствующая формула, известная под названием «Блэк-76». Для американских опционов производится расчет по схеме Кокса, Росса и Рубинштейна.
Так как расчет потерь производится на один день вперед, то время до истечения контрактов уменьшается на «1» по сравнению с текущим днем. В том случае, когда следующий торговый день является днем истечения контрактов, в формулу расчета цены опционов в качестве времени до истечения подставляется стандартная величина равная 0,00001.
Для фьючерсов потери рассчитываются как разность между расчетной ценой и ценой базового актива, которая соответствует рассматриваемому сценарию. Очевидно, что этот огрубленный метод расчета не делает различия между фьючерсными контрактами различных сроков. Несмотря на то, что котировки фьючерсов не зависят от волатильности цены базового актива, структура рисковых массивов для фьючерсных контрактов не отличается от структуры массивов для опционов. Это сделано для упрощения процедур расчета сканируемого риска по портфелю в целом. В табл.3.4 приведен рисковый массив для опциона пут, рассчитанный по итогам торгового дня 23.07.99. Базовым активом опциона является фьючерсный контракт на сахар, истекающий в октябре 1999 года. Истечение данного опциона также осуществляется в октябре 1999 года, цена исполнения составляет $200 за тонну. Табл.3.5 содержит тиковые потери для декабрьского опциона колл, базовый фьючерсный контракт которого истекает в том же месяце. Цена исполнения (страйк) опциона составляет $250 за тонну.
Одним из основных понятий SPAN является понятие Combined Commodity. Это некоторый класс различных инструментов, которые рассматриваются как единое целое при расчете составляющих залога по SPAN. Так, например, к одному классу при всех расчетах относятся американские и европейские опционы на индекс FTSE 100, фьючерсы и опционы на необработанный сахар (raw sugar).
Обозначим Я{ величину тиковых потерь производного инструмента j ой серии, соответствующую -му сценарию SPAN. При определении сканируемого риска инструментов некоторого класса учитывается количество открытых позиций и размер лота по рассматриваемым инструментам. Пусть zJ- количество открытых позиций по у-ой серии ПФИ, р} - количество инструментов в одном лоте данной серии. Переменная zJ принимает положительное значение для длинных позиций и отрицательное -в случае коротких позиций. Величина сканируемого риска по классу рассчитывается в денежных единицах. Обозначим к стоимость тика в единицах той валюты, в которой рассчитывается залог. Величина сканируемого риска определяется на основе следующего соотношения: Пример 3.1. Рассмотрим расчет сканируемого риска портфеля, состоящего из одного длинного октябрьского опциона пут (см. табл.3.4) и трех коротких опционов колл, истечение которых произойдет в декабре (табл.3.5). Данные инструменты относятся к одному классу. Стоимость тика для рассматриваемых инструментов составляет $2,5; в одном лоте содержится один контракт. Расчет сканируемого риска на основе соотношения (1) представлен в табл.3.6. Максимальные потери возникают при реализации сценария 11; сканируемый риск портфеля составляет $2813.
