Содержание к диссертации
Введение
1. Модель организационных затрат 54
1.1. Производственная и управленческая подсистемы 55
1.1.1. Исполнители и менеджеры 55
1.1.2.Управленческое воздействие 58
1.1.3. Задача об оптимальной управленческой подсистеме 60
1.1.4. Задача об оптимальной производственной подсистеме 63
1.2. Функция затрат менеджера 64
1.2.1. Многопродуктовые функции затрат 65
1.2.2. Непрерывная дифференцируемость функции затрат 67
1.2.3.Выпуклость функции затрат 68
1.2.4. Однородность функции затрат 70
1.2.5.Неотрицательность и монотонность функции затрат 72
1.3. Функция затрат управленческой подсистемы 74
1.3.1. Делегирование и дублирование 74
1.3.2. Свойства матрицы дублирования 77
1.3.3. Функция затрат с учетом дублирования 81
1.3.4. Типы менеджеров и матрица дублирования 83
1.3.5. Задача об оптимальном делегировании 85
2. Методы оптимизации делегированного управления 87
2.1. Свойства оптимального делегирования 88
2.1.1. Критическая точка задачи об оптимальном делегировании 89
2.1.2. Непрерывность и дифференцируемость функции оптимальных затрат 93
2.1.3. Свойства оптимального делегирования для однородных функций затрат 99
2.1.4. Свойства оптимального делегирования для выпуклых функций затрат 102
2.1.5. Свойства оптимального делегирования для монотонных функций затрат 104
2.2. Методы оптимизации для квадратичных форм 106
2.2.1. Аналитическое решение уравнений критической точки 108
2.2.2. Алгоритм поиска оптимального делегирования в строго выпуклом случае 116
2.2.3. Эвристические алгоритмы в невыпуклом случае 120
2.2.4. Свойства функции оптимальных затрат 122
2.2.5. Свойства оптимального внутреннего делегирования 123
2.2.6. Подходы к решению в вырожденном случае 124
2.2.7. Подходы к решению для произвольных функций затрат 126
2.3. Методы оптимизации для одномерного управления 131 2.3.1. Оптимальное делегирование для квадратичных функций затрат 132
2.3.2.Примеры оптимального делегирования 134
2.3.3.Внутреннее делегирование для монотонных строго выпуклых функций затрат...139
2.3.4.Внутреннее делегирование для однородных функций затрат 140
2.4. Методы оптимизации для блочно-сбалансированного дублирования 142
2.4.1. Сбалансированные матрицы дублирования и функции затрат 142
2.4.2.Блочно-сбалансированные матрицы дублирования и функции затрат 144
2.4.3.Упрощение блочно-сбалансированных матриц дублирования 147
2.4.4. Свойства блочно-сбалансированных матриц продуктивности 151
3. Модели и методы оптимизации симметричных организаций 155
3.1. Модель симметричной иерархической организации 156
3.1.1. Делегирование в симметричной иерархической организации 160
3.1.2. Дублирование менеджеров одного уровня (взаимное согласование) 162
3.1.3. Дублирование менеджеров различных уровней (прямой контроль) 164
3.1.4.Матрица дублирования уровней симметричной иерархической организации 167
3.1.5.Матрица продуктивности уровней симметричной иерархической организации... 170
3.1.6. Функция затрат симметричной иерархической организации 175
3.1.7. Симметричная организация, управляющая группами исполнителей 176
3.1.8. Мод ель взаимного согласования в симметричной двухуровневой организации... 178
3.2. Методы оптимизации симметричной иерархической организации 187
3.2.1. Общий метод решения задачи об оптимальной иерархии 188
3.2.2.Метод решения для однородных затрат и одномерного управления 190
3.2.3.Метод решения для однородных функций продуктивности 198
3.2.4. Зависимость оптимальной организации от матрицы дублирования уровней 203
3.2.5. Задача об оптимальной организации в случае многомерного управления 213
3.2.6.Оптимальная двухуровневая организация 217
3.3. Классические организационные модели 220
3.3.1.Модели оптимизации типов и состава менеджеров 221
3.3.2.Модели оптимального стимулирования менеджеров 222
3.3.3.Модели потери контроля 225
3.4. Сравнительная статика 230
3.4.1. Оптимальная норма управляемости 232
3.4.2.Оптимальное количество уровней 234
3.4.3. Оптимальный прямой контроль и взаимное согласование 236
3.4.4. Оптимальное количество менеджеров и затраты организации 240
3.4.5.Оптимальная иерархия 244
3.4.6. Сопоставление с эмпирическими исследованиями менеджмента 246
3.4.7. Двухуровневая иерархия для различных функций дублирования 250
3.4.8. Двухуровневая иерархия для многомерного управления 253
4. Модели и методы оптимизации несимметричных иерархий 258
4.1. Формальная модель оптимальной иерархии 259
4.1.1. Иерархия, управляющая множеством исполнителей 259
4.1.2.Группы исполнителей, подчиненные менеджерам иерархии 261
4.1.3.Виды иерархий и норма управляемости менеджеров 262
4.1.4. Задача об оптимальной иерархии с секционной функцией затрат 264
4.2. Интерпретация секционных функций в терминах делегирования 267
4.2.1.Управление группами исполнителей и правило делегирования 267
4.2.2. Условия секционности функции затрат 270
4.2.3.Распределение управления выбором правила делегирования 273
4.2.4. Свойства секционных функций при фиксированном правиле делегирования 274
4.3. Классы секционных функций и оптимальные иерархии 276
4.3.1. Общий вид оптимальной иерархии 277
4.3.2. Оптимальность древовидной иерархии 281
4.3.3.Оптимальность 2-иерархии и двухуровневой иерархии 287
4.3.4.Оптимальность последовательной иерархии 295
4.4. Примеры однородных функций затрат, зависящих отмер 302
4.4.1. Примеры функций затрат и их содержательные интерпретации 304
4.4.2. Оптимальная иерархия для функции затрат (I) 307
4.4.3. Оптимальная иерархия для функции затрат (II) 310
4.4.4. Оптимальная иерархия для функции затрат (III) 313
4.4.5. Оптимальная иерархия для функции затрат (IV) 316
4.4.6.Оптимальная иерархия для функции затрат (V) 318
4.4.7. Задачи дискретной оптимизации в терминах секционной функции 319
5. Модели и методы оптимизации иерархий, управляющих технологическими сетями 321
5.1. Функции затрат, зависящие от технологических потоков 322
5.1.1. Делегирование и дублирование при управлении потоками 324
5.1.2.Функция затрати общий вид оптимальной иерархии 328
5.1.3.Примеры иерархий, управляющих технологическими сетями 330
5.2. Оптимальные иерархии, управляющие симметричной производственной линией 335
5.2.1. Оптимальность древовидной иерархии 336
5.2.2. Оптимальное дерево для однородной функции затрат и одномерных потоков 342
5.2.3.Зависимость оптимальной нормы управляемости от параметров 345 5.3. Затраты на управление функционально связанными производственными линиями 349
5.3.1. Продуктовые и функциональные потоки 349
5.3.2. Дивизионы и департаменты, типичные иерархии 353
5.3.3. Потоки и затраты стратегических менеджеров и менеджеров среднего звена 356
5.3.4. Вид функции затрат, зависящей от потоков 362
5.4. Оптимальность дивизиональных, функциональных и матричных иерархий 365
5.4.1. Доказательство оптимальности типичных иерархий 366
5.4.2. Минимальные затраты типичных иерархий 372
5.4.3. Сравнительная статика 375
6. Расширения модели несимметричных иерархий 381
6.1. Модель иерархии, управляющей несколькими группами исполнителей 381
6.1.1. Оптимальная иерархия, управляющая заданными группами исполнителей 381
6.1.2. Содержательные интерпретации 382
6.1.3.Оптимальные иерархии для сужающих и сильно сужающих функций затрат 384
6.2. Модель динамической реструктуризации 386
6.2.1. Затраты на реструктуризацию иерархии 388
6.2.2. Варианты динамической реструктуризации иерархии 398
6.2.3.Имитационное исследование реструктуризации 403
6.3. Модель совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем 412
6.3.1. Задача максимизации прибыли 413
6.3.2. Оптимальное распределение объема выпуска между исполнителями 415
6.3.3. Оптимальное количество исполнителей и объем выпуска 417
6.3.4.Сравнительная статика 419
7. Численные методы оптимизации несимметричных иерархий 427
7.1. Точные алгоритмы поиска оптимального дерева 427
7.1.1. Алгоритм поиска оптимального дерева в общем случае 427
7.1.2. Алгоритм поиска оптимального г-дерева в общем случае 432
7.1.3. Алгоритм поиска оптимального дерева для симметричных исполнителей 435
7.1.4. Алгоритм поиска оптимального г -дерева для симметричных исполнителей 443
7.2. Эвристические алгоритмы поиска оптимального дерева 445
7.2.1. Эвристический алгоритм сложности п2 для симметричных исполнителей 446
7.2.2. Эвристический алгоритм сложности «Jlogw для симметричных исполнителей .450
7.2.3.Первый эвристический алгоритме общем случае 453
7.2.4. Второй эвристический алгоритм в общем случае 455
7.3. Алгоритмы поиска оптимальной последовательной иерархии 460
7.3.1. Эквивалентная задача о поддереве минимального веса 461
7.3.2. Нормализация графа задачи о поддереве минимального веса 465
7.3.3. Алгоритм решения в общем случае и оценка его сложности 467
7.3.4. NP -полнота задачи для симметричных исполнителей 471
7.3.5.Узловые группы в случае симметричных исполнителей 474
7.3.6. Алгоритм решения для симметричных исполнителей и оценка его сложности 478
Заключение 484
J литература
- Задача об оптимальной производственной подсистеме
- Эвристические алгоритмы в невыпуклом случае
- Дублирование менеджеров одного уровня (взаимное согласование)
- Свойства секционных функций при фиксированном правиле делегирования
Введение к работе
Актуальность темы. Иерархическая организация (основанная на ассиметричном отношении элементов «начальник - подчиненный») характерна как для различных сфер практической деятельности людей (экономической, социальной, военной и т.п.), так и для многих технических систем. Для единообразия изложения и интерпретаций теоретических результатов настоящая работа использует терминологию иерархических организаций в экономике1, в частности, под элементами понимаются сотрудники организации, а критерий эффективности определяется на базе общепринятых экономических категорий (выручка, затраты, прибыль).
Большая часть современной экономики состоит из иерархических организаций, которые позволяют повысить эффективность производства за счет разделения труда, порождая в то же время организационные издержки сложной системы управления с иерархической структурой {иерархией), состоящей из менеджеров, которые управляют производственной системой. Поэтому математические модели и методы, претендующие на комплексную оптимизацию таких организаций, должны учитывать не только производствешгую эффективность, но и организационные издержки иерархической системы управления.
Модели и методы оптимизации многоуровневых иерархических организаций исследовались в рамках нескольких научных направлений, среди которых можно отметить системный анализ и исследование операций (Бусленко Н.П., Кондратьев В.В., МесаровичМ., Цвир-кун А.Д. и др.); модели потери контроля (Calvo G., Qian Y., Wellisz S., Williamson О. и др.); информационные модели (Bolton Р., Dewatripont М., Keren М., LevhariD., MarschakT., RadnerR., Van Zandt Т. и др.); теорию команд (Новиков Д.А., Aoki М., Cremer J., Geanakoplos J., Milgrom P. и др.); а также работы, продолжающие и комбинирующие эти научные направления (Beggs A.W., Garricano L., PatacconiA. и др.). Однако в вышеуказанных работах исследуются частные случаи критериев эффективности и множеств допустимых иерархических структур, связанные с конкретными содержательными интерпретациями, что делает актуальным построение общих моделей и методов оптимизации иерархических организаций.
Ниже также выделяются прикладные направления (оптимизация схемы конвейерной сборки, меню доступа к информации, ряд задач дискретной оптимизации и др.), использующие теоретические результаты настоящей работы.
Цель работы - повышение эффективности управления оргструктурами за счет разработки, исследования и внедрения моделей и методов оптимизации иерархических организаций, включая совместный синтез эффективных иерархических структур и распределения управленческих функций в этих структурах. Для достижения данной цели решается следующий комплекс основных задач:
-
Выделение производственной и управленческой подсистем с декомпозицией критерия эффективности и определением затрат менеджеров, зависящих от различных видов управленческой нагрузки, включающей издержки на управление производственной подсистемой и организационные издержки, характеризующие сложное взаимодействие менеджеров {дублирование управлений друг друга).
-
Разработка методов поиска оптимального делегирования, позволяющего с минимальными затратами распределить между менеджерами управленческое воздействие, оказываемое на производственную подсистему.
-
Моделирование механизмов взаимодействия менеджеров симметричной иерархии; разработка методов поиска оптимальной симметричной иерархии, минимизирующей затраты, и применение этих методов для исследования известных организационных моделей и основных качественных эффектов, описанных в классических работах по менеджменту организационных структур.
-
Обобщение модели оптимальной организации на несимметричные и недревовидные иерархии за счет рассмотрения более узкого класса функций затрат (секционных функций затрат), обоснования их свойств, разработки аналитического и численного аппарата оптимизации иерархий и иллюстрации его применимости для исследования организационно-технических систем.
-
Разработка комплекса прикладных моделей оптимизации иерархических организаций, характеризуемых секционными функциями затрат (групповое взаимодействие сотрудников; иерархии, управляющие сетью технологических взаимодействий; дивизиональные, функциональные и матричные иерархии).
-
Иллюстрация применимости моделей иерархических организаций с секционными функциями затрат для исследования иерархий с ограничениями, анализа динамики структурных изменений, совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем.
Методы исследования. Для нахождения оптимального делегирования и симметричной иерархии используется метод критической точки Лагранжа и аппарат линейной алгебры. Для исследования иерархий общего вида используются методы теории графов, комбинато-
рики и математического анализа. Оценки сложности дискретных задач, разработка и анализ сложности алгоритмов проводятся с использованием аппарата теории сложности и дискретной оптимизации. В отдельных случаях используется имитационное моделирование.
Научная новизна заключается в том, что на основе предложенного единого подхода к оптимизации иерархических организаций исследовано широкое множество критериев эффективности и допустимых иерархических структур, что позволяет единообразно описывать и исследовать задачи из различных прикладных областей:
-
Обоснована содержательная и математическая общность сведения задачи об оптимальной структуре и функциях управленческой подсистемы к задаче минимизации затрат менеджеров, зависящих от различных видов управления, с учетом организационных издержек, определяемых дублированием менеджерами управлений друг друга.
-
Разработаны аналитические и численные методы, позволяющие находить оптимальное делегирование - распределение необходимого производственной подсистеме управления между менеджерами.
-
Известные из работ по менеджменту механизмы взаимодействия сотрудников (взаимное согласование и прямой контроль) формализованы в терминах зависимости матрицы дублирования от вида симметричной иерархии; разработаны методы поиска оптимальных симметричных иерархий и делегирований; исследован ряд известных организационных моделей, количественно подтверждены многие структурные закономерности, наблюдаемые в реальных организациях.
-
Содержательно обоснованы допущения (фиксированное правило делегирования и ограничения на дублирование), определяющие класс секционных функций затрат, разработан аналитический аппарат их оптимизации на множестве иерархий общего вида, включающем несимметричные и недревовидные иерархии; исследована сложность и созданы точные и эвристические алгоритмы поиска оптимальных иерархий.
-
Аппарат оптимизации секционных функций затрат применен для исследования: различных моделей взаимодействия сотрудников с руководителем; оптимизации иерархии, управляющей сетью технологических взаимодействий производственной подсистемы; нахождения условий оптимальности дивизиональных, функциональных и матричных иерархий.
-
Предложены расширения модели секционной функции затрат, позволившие применить созданные методы оптимизации для более сложных множеств допустимых иерархий, определить затраты на реструктуризацию, численно исследовать динамическое перестроение
иерархической организации, совместно оптимизировать производственную и управленческую подсистему, оценив влияние технологических параметров на вид оптимальной иерархической организации.
Практическая значимость результатов исследования. Общность рассматриваемого множества допустимых иерархий и критериев эффективности позволяет унифицировано исследовать задачи из различных предметных областей с помощью предложенной модели и разработанных математических методов синтеза оптимальной иерархической организации, что дает возможность комплексного анализа различных аспектов иерархических организаций универсальным математическим аппаратом, а также может служить основой для переноса результатов решения практических задач из одних областей в другие. Автором разработаны и внедрены методические рекомендации по применению общих моделей и методов для оптимизации корпоративных структур, что дает возможность значительно расширить рамки применения подобных моделей для практического совершенствования управления организациями.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Современные сложные системы управления (Липецк 2002, Старый Оскол 2002, Тверь 2004, Воронеж 2005); Теория активных систем (Москва 2001, 2003, 2005, 2007); Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций (Москва 2004, 2005, 2006, 2007); Управление инновациями (Москва 2006, 2007); Game Theory and Management (Санкт-Петербург 2008); 17th World Congress of the International Federation of Automatic Control (Сеул 2008); Проблемы управления (Москва 2006, 2009), а также на научных семинарах в ИПУ РАН, МФТИ, ЦЭМИ РАН, Высшей школе экономики, Российской экономической школе.
Публикации. По теме исследования опубликовано 55 научных работ, включая 3 монографии, 1 учебное пособие и 15 статей в ведущих рецензируемых журналах.
Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 498 страниц текста, список использованной литературы включает 203 наименования.
Задача об оптимальной производственной подсистеме
Другим подходом являются информационные модели, в большинстве из которых также рассматриваются только симметричные деревья, однако оптимизируются не затраты, а время принятия иерархией решения (задержка на каждом уровне равна норме управляемости плюс константа). Подобная модель представления менеджеров в виде процессоров, «вычисляющих» некоторое управленческое решение, была впервые предложена в работе Marschak Т. и Radner R. (1972) [171]. Для ее исследования Keren М. и Levhari D. (1979) [165] предложили вышеупомянутые методы оптимального управления, с помощью которого Keren М. и Levhari D. (1983) [166] в ряде случаев нашли оптимальное симметричное дерево, вычислили средние затраты на одного сотрудника и обосновали пределы роста. Этот подход развит в ряде работ, например, Radner R. (1993) [187], Bolton Р. и Dewatripont М. (1994) [133], Van Zandt Т. (1996) [199]. В работе Bolton Р. и Dewatripont М. (1994) [133], симметричные деревья сравниваются с так называемыми последовательными (конвейерными) иерархиями, в которых каждому следующему менеджеру непосредственно подчинен предыдущий менеджер и исполнители.
Также можно выделить системный подход (см., например, БусленкоН.П. (1963, 1978) [15, 16], Месарович М., Мако Д., Такахара И. (1973) [61], Власюк Б.А., Моросанов Н.С. (1973) [19], Bensoussan A., Hurst E.G., Naslund В. (1974) [131], Рубинштейн М.И. (1975) [121], Лейбкинд А.Р., Рудник Б.Л., Чухнов А.И. (1978) [59], Цвиркун А. Д. (1975, 1982) [124, 125], Бурков В.Н. Кондратьев В.В. (1981) [12], Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M. и др. (1996) [47], Новиков Д.А. (1999) [108]), в рамках которого используется общая идея теории систем - скрыть основную сложность внутри подсистем. В терминах иерархии это означает, что множество исполнителей, подчиненных менеджеру, необходимо разбить на подмножества так, чтобы оптимизировать некоторую целевую функцию. При этом в относительно общем виде решается локальная задача оптимального разбиения на подсистемы на данном шаге (без учета характеристик дальнейшего разбиения) и отмечается сложность глобальной задачи синтеза оптимальной иерархии. Эта задача аналитически исследуется только для конкретной целевой функции и ограничений на множество допустимых иерархии (чаще всего для симметричных деревьев), обусловленных конкретной предметной областью. Например, в работе Рубинштейн М.И. (1975) [121] исследуется задача максимизации критерия взаимосвязанности управляющих центров дерева (вычисляющегося по заданной взаимосвязанности исполнителей) и доказывается, что даже в частном случае задача представляет собой крайне сложную задачу классификации, поэтому предлагаются лишь эвристические алгоритмы решения. В работах Власюк Б.А., Моросанов Н.С. (1973) [19] рассматриваются задачи управления сетями доставки материальных потоков (например, с тремя уровнями интенсивности потока между исполнителями). В работе Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M. и др. (1996) [47] исследуются однородные исполнители (перестановка которых не влияет на целевые функции менеджеров) и конкретный вид функции затрат на их координацию. В работе Новиков Д.А. (1999) [108] взаимодействие уровней управления описывается теоретико-игровой моделью, и вводятся ограничения, при которых оптимальна двухуровневая иерархия. В более общем случае предлагаются лишь эвристические или переборные алгоритмы.
С системным подходом созвучна так называемая теория команд - Cremer J. (1980) [143] рассматривает оптимальную двухуровневую иерархию, позволяющую добиться эффекта за счет разбиения множества предприятий на подмножества, в каждом из которых согласованно координируется выпуск в условиях неопределенности. Подобный подход углублен и развит в работах Aoki М. (1986) [127] и Geanakoplos J., Milgrom P. (1991) [151], аналогичная проблематика рассматривается и в отечественной литературе (см., например, Новиков Д.А. (2008) [113]).
Современные работы, не ограничивающиеся рассмотрением нескольких конкретных видов иерархии (предполагающихся априори оптимальными), в основном продолжают вышеуказанные линии исследования. Например, можно отметить работу Patacconi А. (2009) [182], в которой рассматривается задача минимизации суммы затрат на координацию (функция затрат определяется геометрическим ростом дублирования сотрудников более низких уровней, что сходно с моделями потери контроля) и потерь из-за задержки принятия решений (сходных с информационными моделями). Относительно выделяющимся современным направлением являются так называемые иерархии знаний. В работе Garricano L. (2000) [150] показывается, что причиной формирования многоуровневой иерархии может быть экономия на вознаграждении за счет снижения квалификации сотрудников низких уровней, которые в случае возникновения неизвестной им проблемы обращаются за консультацией к более квалифицированным вышестоящим сотрудникам. В рамках относительно простой линейной целевой функции удается показать, что сотрудникам нижнего (первого) уровня оптимально поручить лишь производственные функции, а сотрудникам остальных уровней - решение проблем, причем каждый следующий уровень должен решать все более сложные проблемы. Таким образом, сотрудники делятся на исполнителей первого уровня и менеджеров более высоких уровней. В работе Beggs A.W. (2001) [130] также анализируется квалификация уровней, однако функция затрат более детально отражает аспекты информационного взаимодействия, связанного с обращением к более квалифицированным верхним уровням иерархии.
Вышеупомянутые исследования обладают рядом общих черт. Большинство из них ограничивается симметричными древовидными иерархиями и рассматривает проблему оптимального баланса критерия эффективности (целевой функции) выбором компромисса между «плоскими» деревьями (в пределе двухуровневыми) и «высокими» деревьями (с минимальным числом непосредственных подчиненных менеджера). Выше также отмечено, что часто совпадают и методы исследования, что связано со сходством рассматриваемых задач. Однако детали конкретных критериев эффективности затрудняют использование математического аппарата, предложенного в одних работах, для анализа других работ. Поэтому фактически в каждом исследовании приходится заново создавать собственный аппарат, позволяющий решать задачу синтеза иерархии, оптимальной на широком множестве допустимых иерархий. Именно сложность этой задачи, а отнюдь не низкая актуальность проблемы оптимизации иерархических организаций, приводит к тому, что в обзор выше включено относительно небольшое количество работ (которые далеко не покрывают все поле исследований, см., например, Губко MB., Коргин Н.А., Новиков Д.А. (2004) [41]). Большинство исследований иерархических организаций не включены в обзор выше, поскольку ограничиваются или фиксированной иерархией, или сравнением нескольких априори «разумных» вариантов, не решая задачу синтеза оптимальной иерархии, которая может принципиально влиять на эффективность иерархической организации.
Эвристические алгоритмы в невыпуклом случае
В конце раздела 3.1 приведена одна из возможных моделей симметричной производственной подсистемы, которая не влияет на формальные результаты главы 3, однако используется в ряде содержательных интерпретаций в главах 3, 4. Рассмотрено детальное управление x(g, w) исполнителем w є g в рамках группы gcff, причем в силу симметрии считается, что в группах одного размера управление одинаково: x(g ,w ) = x(g",w") = x(k) для любых w e g , w"e g", где к = 1, л . Подробно исследована модель двухуровневой иерархии Я с подчинением исполнителя (уровня 0) менеджеру (уровня 1), в которой коэффициенты дублирования управления группой g растут при разбиении ее исполнителей на более мелкие подгруппы Sfi{m\), ... ,sn(jnk), подчиненные различным менеджерам т\,...,тк, что интерпретируется как рост взаимного согласования между начальниками группы при росте их количества.
При выполнении ряда ограничений (в целом обосновываемых из симметрии) можно показать, что оптимально делегировать менеджеру только управление подчиненными исполнителями, то есть подчиненной частью группы g, что позволяет не вдаваться в детали, а сразу рассматривать агрегированную модель, в которой вектор управления состоит из суммарного управления всеми группами размеров 1, 2,...,«. Кроме того доказано, что матрица дублирования агрегированной модели будет сбалансированной, явно найдена возрастающая зависимость коэффициентов дублирования от количества менеджеров (убывающая по размеру группы исполнителей, подчиненных одному менеджеру). Таким образом, исходя из детальной модели взаимного согласования в симметричной организации, можно показать, что производственное взаимодействие исполнителей в группах влечет взаимодействие менеджеров, которое в рамках одного уровня описывается сбалансированной матрицей взаимного согласования (дублирования), причем ее элементы возрастают по числу менеджеров. Исходя из аналогичных интерпретаций, в конце раздела 3.1 для многоуровневой организации обсуждены возможные зависимости матрицы дублирования уровней от количества менеджеров на этих уровнях (от вида симметричной иерархии).
В разделе 3.2 предлагается методика решения задачи об оптимальной иерархии - задачи минимизации затрат C aMg(x) = min min C mmag{x,Dcal). Дискретная задача (с натуральными значениями q\,...,qh) заменена непрерывной задачей с q{,...,qh є (0;+). В разделе 3.2 доказано, что во многих случаях нулевое или бесконечное количество менеджеров неоптимально, а в достаточно большой организации (при достаточно большом управлении х) замена дискретной задачи непрерывной приводит к малой погрешности. В итоге задача поиска оптимального количества менеджеров может быть решена методами непрерывного анализа - оптимальная точка удовлетворяет условиям первого порядка - должны обнуляться производные Cmanag(x,Dco ) по q\,...,qn.22 Находя q\,...,qh из этих условий23 (аналитически или численно) и округляя их до ближайшего целого, получим субоптимальную иерархию при заданном h. После чего остается задача оптимизации по одному параметру - количеству уровней h, которую легко решить численно (в большинстве моделей h не превышает одного-двух десятков) или аналогичным непрерывным методом.
Далее в разделе 3.2 описанная общая методика используется для аналитического решения задачи об оптимальной организации в случае, когда управление сводится к одномерному, а функции затрат однородны (при этих условиях аналитически решена задача об оптимальном делегировании). Для конкретного вида зависимости Dco {q\,...,qh), обоснованного содержательно, задача решена исчерпывающим образом - найдена оптимальная иерархия и соответствующее оптимальное делегирование управления. Кроме того, показано, что при многомерном управлении в большинстве случаев задача решается только численными методами; проиллюстрирован эффект вертикальной специализации - менеджерам более высоких уровней выгодно делегировать более сложные виды управления; показано, что наличие дублирования является причиной сверхлинейного роста затрат управленческой подсистемы.
В разделе 3.3 иллюстрируется, что в рамках предложенной модели может исследоваться не только иерархия и делегирование, но и прочие важные аспекты иерархической организации. Например, в матрице дублирования и в функции затрат можно учесть тип менеджера и решить задачу оптимизации состава - выбора для каждого уровня менеджеров наилучшего типа. В результате показано, что на более высокие уровни оптимально назначать менеджеров с большим типом (например, более квалифицированных) и более высокой нагрузкой.
Далее в разделе 3.3 рассмотрены модели оптимального стимулирования, в которых ключевым параметром является прямой контроль менеджеров, позволяющий снизить «дополнительные» затраты на их стимулирование за счет снижения неопределенности относительно реального «качества работы» менеджеров. Предложенная модель многоуровневой организации позволяет находить оптимальный баланс между объемом мониторинга подчиненных и затратами менеджеров, позволяет определять, каким уровням менеджеров оптимально поручать прямой контроль, и т.п. Например, показано, что контроль предыдущего уровня следующим более эффективен, чем контроль всех менеджеров с верхнего уровня.
В конце раздела 3.3 показано, что общие методы настоящей работы позволяют достаточно просто исследовать модели потери контроля (см. обзор во введении) и обобщать их, преодолевая принципиальные недостатки. Например, с помощью матрицы дублирования можно учесть в функции затрат нагрузку по мониторингу нижестоящих менеджеров, который в моделях потери контроля предполагается «бесплатным». В целом в разделе 3.3 обоснована общность моделей и методов оптимизации, предложенных в настоящей работе, а также эффективность их применения для исследования частных моделей иерархических организаций.
В разделе 3.4 исследована сравнительная статика - зависимость оптимальной иерархии и оптимального делегирования (явно найденных в разделе 3.2) от параметров модели. В результате сделаны выводы о поведении оптимальной нормы управляемости (количества непосредственных подчиненных менеджера), количества уровней, соотношения организационных издержек прямого контроля и взаимного согласования (которое характеризует степень бюрократизации управления), количества менеджеров и затрат многоуровневой иерархии. В частности, если в рамках модели необходим прямой контроль подчиненных (например, для мониторинга качества их работы, предотвращения оппортунизма -преследования собственных целей вопреки целям организации и т.п.), то достаточно большая
организация фактически разделится на несколько частей, топ-менеджеры которых согласуют управление друг с другом. Наоборот, если можно обойтись без контроля подчиненных, то организация с единственным топ-менеджером может быть оптимальной при сколь угодно большом управлении х. Если при росте количества менеджеров на любом уровне возрастает их нагрузка по взаимному согласованию, то оптимальные затраты управленческой подсистемы сверхлинейно растут при росте х, поэтому затраты на взаимное согласование являются фактором, ограничивающим рост иерархических организаций. Параметры межуровневого взаимодействия менеджеров влияют на форму иерархии, а параметры функции затрат влияют на затраты одного менеджера. Эти и другие аналогичные выводы детально описаны в разделе 3.4.
Далее в разделе 3.4 результаты сравнительной статики соотносятся с качественными результатами эмпирических исследований в области менеджмента. Для их обобщения используются работы Mintzberg Н. (1979, 1983) [177, 178], Минцберг Г. (2001) [62], в которых, на наш взгляд, наиболее систематически отражена специфика именно иерархической организации, выделены типовые варианты многоуровневых симметричных иерархий, имеющих место на практике, и т. п. В результате качественные понятия - бюрократизации и децентрализации - сопоставляются с параметрами построенной количественной модели, и показывается, что в этих координатах вид оптимальных иерархий модели соответствует основным типам оргструктур, описанным в работах по менеджменту (простая структура, адхократия, профессиональная бюрократия, дивизиональная форма, механистическая бюрократия), см. рис. 37 в разделе 3.4.6. Таким образом, модель, предложенная в настоящей работе, применима для количественного описания разнообразных зависимостей, известных из практики управленческого консалтинга в сложных иерархических организациях.
Раздел 3.4 завершается численными расчетами, иллюстрирующими сохранение основных качественных закономерностей при использовании различных функций роста взаимного согласования по количеству менеджеров (например, функций, предложенных в конце раздела 3.1 для управления группами исполнителей различного размера). Также иллюстрируется, что на вид оптимальной управленческой подсистемы существенно влияют характеристики многомерного управления исполнителями (например, сложность, характеризующая распределение объема управленческого воздействия между группами исполнителей малого и большого размеров).
Дублирование менеджеров одного уровня (взаимное согласование)
Таким образом, свойство выпуклости является достаточно сильным, однако в ряде случаев (например, при аспециализации) оно может быть «естественным» для функции затрат менеджера. В настоящей работе рассматриваются модели как с выпуклыми, так и с невыпуклыми функциями затрат. В заключение раздела приведем несколько формальных признаков строгой выпуклости.
Если функция затрат Ст(х) дважды непрерывно дифференцируема, то достаточным условием строй выпуклости является положительная определенность матрицы вторых производных (матрицы Гессе размера рхр) (см., например, Rockafellar R.T. (1970) [188]). Матрица А называется положительно определенной, если для любого х 0 значение квадратичной формы (Ах,х) = akJxkx 0 положительно. Согласно критерию Сильвестра матрица А положительно определена тогда и только тогда, когда положительны все угловые главные миноры (определители подматриц размера 1 х 1, 2 х 2 и так далее, «начинающихся» с левого верхнего угла), что также эквивалентно положительности всех главных миноров (определителей любых подматриц, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами).
В случае квадратичной формы (3) (см. раздел 1.2.1) матрица вторых производных совпадает с матрицей А. Поэтому квадратичная форма (3) строго выпукла тогда и только тогда, когда матрица квадратичной формы А положительно определена.
Рассмотрим свойство однородности функции затрат. При нулевом управлении х = 0 значение затрат Ст(0) = С может быть ненулевым. «ничего не делающего» менеджера (если в случае отсутствия у менеджера реальной работы имеет место минимальное вознаграждение или накладные расходы, то Cfm О). Здесь и ниже используется запись функции затрат менеджера в виде Ст{х) = Cvm{x) + Cfm , то есть в виде суммы функции переменных затрат С т(х) и величины постоянных затрат Cf, где Q(0) = 0. Функцию переменных затрат менеджера Ст(х) назовем однородной, если для любого хє R п любого f О выполнено: (6) Q()=/( Dc:(x). В этом случае функцию Ст(х) также будем называть однородной (строго говоря, следовало бы назвать ее однородной с точностью до константы постоянных затрат Cfm , однако для краткости в этом смысле ниже используется термин «однородная»). Свойство однородности означает, что увеличение всех компонент произвольного управления JC в раз приведет к росту переменных затрат вД ) раз независимо от JC. ФункцияД ) описывает зависимость от масштаба, отвечающую на вопрос: во сколько раз изменятся затраты при изменении всех видов управления в раз?
Из (6) следует №\)А&) =Жі&) Для любых і 0, 6 0, Д1)=1, а для непрерывной функции еще и Д ) О.5 В этом случае можно показать (см., например, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н. (1997) [3]), чтоД) определяется однозначно как степенная функция: /() = Е,г для некоторой степени однородности уе(-оо; +оо). Поэтому свойство однородности (6) ниже сразу записывается в виде С1(фс) = уСт{х).
Все частные производные функции затрат будут однородными степени у - 1, поэтому для вектора градиента (4) (раздел 1.2.2) выполнено VCm( c) = -4VCn(x). Поэтому для выполнения условия непрерывной дифференцируемости рассматривается только случай у 1, иначе в нуле будет особая точка с бесконечной функцией затрат (при у 0) или бесконечными производными (при у 1). Это соответствует выпуклости затрат по масштабу (функция jf будет выпуклой при у 1, строго выпуклой при у 1, см., например, Rockafellar R.T. (1970) [188]), которая типична для функций затрат (см. раздел 1.2.3). 56 Не считая тривиального случая С (х) s 0, рассмотрим х, для которого Ст(х) 0, и вычислим С"т(гх) двумя способами: сначала «вынося» из-под функции множители ,\ и ,\ по-отдельности, а затем «вынося» множитель f ]f2 В результате придем к равенству flі)_Д2) =АЄ\г), откуда Д1)Д1) =Д1), Д1) = 1 (поскольку Д1) фО). В случае непрерывности функция fig) также непрерывна, поэтому если для некоторого , 0 выполнено А?) 0, то на промежутке от до 1 найдется такое f і 0 что АІ\) = 0 (вторая теорема Вейерштрасса, Фихтенгольц Г.М. (2001) [123]). Поэтому для всех Єг.АІхЄг) =А\)Аг) = 0, в частности при 2 = , / fi имеем AS)= 0 противоречие. Однородность (6) обеспечивает постоянную эластичность переменных затрат по масштабу: при изменении всех компонент х на 1 % затраты изменяются на у %, поскольку при любом , 0 с учетом ЭС7(с)/Э= уЕ,г хСт(х)59 имеем: # с:( с) э m ас1 Эх" J где третье равенство выполнено в силу теоремы Эйлера: (VC (x),x) = yCvm(x) для однородных функций (см., например, Фихтенгольц Г.М. (2001) [123]), а є с индексом обозначает эластичность затрат по соответствующему фактору. Таким образом, при любом х эластичность однородной функции затрат по масштабу равна у и складывается из эластичностей по каждому виду управления. Для одномерного случая (р=1) свойство однородности (6) влечет Cvm( ) = rCvm(Y). Исключая тривиальный случай С () = 0, можно разделить функцию затрат на Ст(1)у (что изменит лишь единицы измерения затрат). В результате получим, что непрерывная функция затрат однородна тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде широко известной в экономике степенной функции затрат: (7) Ся{х) = ±-х + С т. У Например, классическая функция Кобба-Дугласа х7т{ у І у может описывать затраты в зависимости от объема выпуска х и квалификации г (см., например, Бурков В.Н., Новиков Д.А. (1999) [13], Бобровский Д.Н. (2008) [6]). При постоянстве квалификации г (в краткосрочном периоде) это как раз функция (7) (с точностью до множителя). В многомерном случае класс однородных функций весьма многообразен. А именно, функцию Ст{х) можно задать произвольным образом на любой образующей конуса Щ (например, на симплексе х + ... + хр = 1 или на шаре х = 1), после чего при заданной степени однородности у значения С т(х) на всем Щ определятся по формуле (6). В настоящей работе рассматриваются модели как с однородными функциями затрат (в частности, с функцией затрат (7)), так и с неоднородными функциями затрат. Отметим, что квадратичная форма (3) (см. раздел 1.2.1) является однородной степени 2 только в случае нулевой линейной части Ь = 0.
Свойства секционных функций при фиксированном правиле делегирования
В настоящем разделе задача об оптимальном делегировании решена для квадратичных форм, а также предложено обобщение методов решения на случай функций затрат общего вида. Как отмечено в разделе 1.2.1, квадратичные формы весьма часто используются в современных эконометрических моделях многопродуктовых функций затрат, поскольку с одной стороны они достаточно гибки и универсальны, а с другой не слишком сложны, поэтому могут быть идентифицированы на базе накопленной статистики. Кроме того, квадратичные формы имеют несомненное преимущество и с точки зрения математических методов, поскольку для них условия первого порядка в уравнения критической точки становятся линейными, поэтому в общем виде удается разрешить систему уравнений, определяющую критическую точку (см. выражения (18), (19) и (20) раздела 2.1.1).
Итак, рассматриваются функции затрат Ст (у,) = 0.5-(Аіуі,уі) + (Ьі,уі) + С для всех i = \,q (см. выражение (3) раздела 1.2.1), где матрицы А, симметричны, выполнено VCm(yi) = Ау Ь, функция Ст{у1) строго выпукла тогда и только тогда, когда матрица А, положительно определена. В этих предположениях задача об оптимальном делегировании (см. выражение (14) в начале раздела 2.1) является задачей квадратичного программирования, которую можно решать классическими численными методами (см., например, Поляк Б.Т. (1983) [119]). Однако за счет специфики задачи удается разработать более эффективные методы решения, которым и посвящен настоящий раздел. Ниже в данном разделе предполагаются выполненными условия хк 0 для всех к = \,р, то есть на производственную подсистему оказываются строго положительные объемы управленческого воздействия всех видов. Поэтому в силу балансовых условий (19) найдется хотя бы один менеджер ті, которому делегировано управление вида к: у) 0. В разделе 2.2.4 с использованием непрерывности С (х, D) по х (см. раздел 2.1.2) показана применимость полученных результатов и для произвольных хк 0.
Для квадратичных форм в условии (18) (см. раздел 2.1.1) вектор градиентов g = Ay + b , on где вдоль главной диагонали матрицы А размера pqxpq записаны матрицы А\, ...,Aq, а остальные элементы нулевые, вектор b составлен из векторов b\,...,bq. С учетом у = Dy условие (18) примет вид DT{ADy + b) = A + 9 или, после раскрытия скобок: (22) DTADy-0 = J-DTb. При нахождении критической точки условия (22) равенства нулю производных лагранжиана представляют собой систему из pq линейных уравнений относительно неизвестных у, X, в. Балансовые условия (19) раздела 2.1.1 дают еще р линейных уравнений относительно у. Единственными нелинейными уравнениями будут условия дополняющей нежесткости (20). Однако если каким-либо образом задан состав компонент делегирования, которые могут быть ненулевыми (обозначим вектор этих компонент через у о), то в силу (20) соответствующие компоненты вектора в будут нулевыми: # о=0. Для нулевых же компонент делегирования у=о = 0 соответствующие 9=0 могут выбираться произвольно с сохранением условий (20).
Таким образом, если некоторым образом заданы номера ненулевых компонент делегирования, то система уравнений критической точки (18), (19), (20) превращается в систему из pq+p линейных уравнений относительно pq+p неизвестных у о, #=о, X. Если эта система невырождена, то можно однозначным образом определить все переменные у 0, в=о, X, чему посвящен раздел 2.2.1. В разделе 2.2.2 показано, что система невырождена, в частности, в строго выпуклом случае (при положительно определенной А) и detD Ф 0.
Если в результате решения системы уравнений (раздел 2.2.1) все компоненты у о, в=о оказались неотрицательными, то найдена критическая точка. В противном случае сделанный выбор ненулевых компонент делегирования не дает критической точки. В строго выпуклом случае при detD Ф 0 в разделе 2.2.2 предложен следующий алгоритм. Начинаем с делегирования
всего управления первому менеджеру (у о=Уі)- Вычислив на очередном шаге у о, 9=о, исключаем из ненулевых компонент делегирования те, значения которых в векторе у о оказались отрицательными и, наоборот, включаем в ненулевые компоненты делегирования те, для которых соответствующие значения в векторе в=о оказались отрицательными. Численные эксперименты раздела 2.2.2 показывают, что при размерности задачи pq в пределах тысячи в среднем требуется не более 10-20 шагов для достижения критической точки, которая и будет единственной оптимальной точкой согласно разделу 2.1.4.
Если функции затрат невыпуклы, то могут встретиться вырожденные случаи, однако при случайно выбранных матрицах А и D подобные ситуации имеют нулевую меру, поэтому в проведенных численных экспериментах не встречаются. Однако описанный выше алгоритм не всегда находит критическую точку. Кроме того, найденная критическая точка может оказаться неоптимальной. Для определенных классов функций затрат выходом могут быть эвристические алгоритмы, один из которых предложен в разделе 2.2.3. По сути он совпадает с алгоритмом для выпуклого случая (раздел 2.2.2), однако запускается и с внутреннего решения (у о=у), и с q точек, в которых весь объем управления х поручается одному менеджеру (у о = у\, у о=У2,---, У о - yq)- В качестве решения выбирается критическая точка, имеющая минимальные затраты. Тестирование алгоритма показывает, что он дает оптимальное решение для одномерного управления (р = 1), а также может использоваться при небольших размерностях (р = 2, 3). В разделе 2.2.4 рассмотрен ряд свойств функции оптимальных затрат C manag(x,D). В разделе 2.2.5 рассмотрен случай внутреннего решения (с положительными компонентами делегирования). Полученные результаты использованы ниже в главах 2 и 3.
В разделе 2.2.6 предложены подходы к обобщению методов решения на вырожденные случаи, в разделе 2.2.7 - на случай произвольных функций затрат, отличных от квадратичных форм (для которых можно использовать аналогичные алгоритмы с тем исключением, что для каждого набора у о систему уравнений критической точки необходимо решать численно, соответствующая задача упрощается при наличии строгой выпуклости).
В настоящем разделе явно найдено делегирование у и коэффициенты Лагранжа Я, в, которые совместно су являются критической точкой, то есть удовлетворяют условиям (18), (19) и (20) раздела 2.1.1. При этом предполагается заданным состав компонент делегирования у о, которые могут быть ненулевыми (вопрос их выбора рассмотрен в алгоритмах последующих разделов), соответствующие компоненты вектора в равны нулю: # о=0. Для оставшихся компонент делегирования выполнено у=о= 0, соответствующие в=о могут выбираться ненулевыми. Эти предположения обеспечивают выполнение условий (20). Поскольку рассматривается случай хк О для всех к = \,q (обобщение см. в разделе 2.2.4), должно найтись хотя бы одно / , для которого у\ входит в у о (иначе у всех менеджеров управление вида к равно нулю, условия (19) нарушены). Ниже рассматривается только такой состав компонент делегирования у о, поскольку только в этом случае может найтись критическая точка.
