Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Анализ существующих механизмов стимулирования 17
1.1. Функционирование организационных систем 17
1.2. Механизм управления в экономических системах 23
1.3. Базовая модель стимулирования в теории активных систем 25
1.4. Базовые системы стимулирования 40
1.5. Обобщения базовой модели 43
1.6. Ранговые системы стимулирования 48 1.9.
Выводы и постановка задач исследования 57
ГЛАВА II. Оптимальные механизмы управления в многоуровневой организационной системе 59
2.1. Специфика задач управления в многоуровневых организационных системах 59
2.2. Базовая модель многоуровневой организационной системы 60
2.3. Общий вид функции стимулирования агентов 66
2.4. Минимальные затраты для реализации планов 70
2.5. Оптимальные планы и политика контроля 72
2.6. Оптимальная структура организационной системы 76
2.7. Активное поведение центров промежуточного уровня 80
2.8. Сведение задачи к модели стимулирования с внутренней вероятностной неопределенностью 85
2.9. Оптимальный механизм управления в расширенной модели 89
ГЛАВА III. Стимулирование на строительных предпри-ятиях 93
3.1. Финансовое состояние ОАО «Дорстрой» 93
3.2. Оптимальная организационная структура ОАО «ДСФ - 2» по базовой модели 100
3.3. Нецелочисленное приближение в задаче об оптимальной структуре организационной системы 103
3.4. Зависимость решения задачи управления от начальных данных 106
3.5. Оптимальная структура организационной системы в расширенной модели ' ПО
3.6. Структура ОАО «ДСФ - 2» по расширенной модели многоуровневой организационной системе 113
Заключение 116
Литература
- Механизм управления в экономических системах
- Базовая модель многоуровневой организационной системы
- Оптимальные планы и политика контроля
- Нецелочисленное приближение в задаче об оптимальной структуре организационной системы
Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия в рамках теории активных систем было рассмотрено большое число моделей управления организационными системами. Среди основных классов исследуемых задач можно выделить задачи мотивации (стимулирования) сотрудников, задачи распределения ресурсов, задачи оперативного и стратегического планирования и другие. Большинство рассматриваемых моделей относилась к так называемым двухуровневым организационным системам, состоящим из одного управляющего органа - центра - и нескольких подчиненных ему управляемых субъектов - агентов.
Однако практика показала, что в реальности организационные системы имеют существенно более сложную структуру, включающую несколько уровней управления от топ-менеджмента до рядовых сотрудников, и многие задачи управления такими системами с трудом декомпозируются на набор несвязанных задач взаимодействия двух соседних уровней управления.
Актуальность рассмотрения моделей многоуровневых организационных систем (и разработки соответствующих механизмов управления) привела к появлению в последние годы многочисленных публикаций (как отечественных, так и зарубежных), рассматривающих различные аспекты управления многоуровневыми организационными системами. Большая часть этих работ концентрируется на сложных 'оптимизационных задачах поиска оптимальной структуры организационных систем, и зачастую не освещает зависимости между структурой организационной системы и используемыми механизмами управления. В то же время понятно, что формирование разветвленной структуры организационные системы основано на делегировании топ-менеджером организационные системы части своих прав и обязанностей своим подчиненным, чьи цели в общем случае отличаются от целей и задач метацентра. Тогда для эффективного функционирования организационной системы необходимо разрабатывать такие механизмы взаимодействия менеджеров среднего звена с метацентром, которые бы учитывали их активное
поведение и каким-либо образом приближали бы их цели к целям метацентра.
С точки же зрения классических моделей возможность варьирования структурой организационной системы представляет собой дополнительную возможность управления, использование которой может существенно повысить эффективность функционирования организационной системы.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью разработки новых подходов разработке оптимальных механизмов стимулирования, в комплексе с задачами поиска оптимальной структуры.
Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись по планам научно-исследовательских работ:
. - МНТП «Архитектура и строительство» 2001 -2002 г.г.- №5.15;
федеральная комплексная программа «Исследование н разработки по приоритетным направлениям науки и техники гражданского назначения»;
грант РФФИ «Гуманитарные науки» «Разработка оптимизационных моделей управления распределением инвестиций на предприятии по видам деятельности» №Г00-3.3-306; ;
Цель и постановка задач исследования. Целью диссертации является разработка, исследование и внедрение эффективных механизмов стимулирования в многоуровневых организационных системах.
Достижение цели работы потребовало решения следующих основных задач:
Выявить специфику задач управления в многоуровневых организационных системах.
Осуществить привязку к прикладному объекту, обоснование необходимости и целесообразности и внедрения в нем эффективных механизмов стимулирования в многоуровневых организационных системах.
Сформулировать общая постановка задачи совместного синтеза оптимального механизма стимулирования и оптимальной структуры многоуровневой организационной системы.
Предложить модель стимулирования в многоуровневой организационных системах, учитывающая индивидуальные характеристики агентов, ограниченность возможностей их контроля, а также активность центров про-
ї межуточного уровня.
Найти оптимальные механизмы стимулирования в многоуровневой организационной системе, включающие политики контроля агентов, механизмы взаимодействия между центрами промежуточного уровня и подчиненными им агентами, механизмы взаимодействия между метацентром и центрами промежуточного уровня.
Разработать модель поиска оптимальной структуры организационной системы, в том числе - с учетом активного поведения центров промежуточного уровня.
7. Исследовать зависимость эффективности предложенных механиз
мов управления от параметров модели; в частности, показано, что увеличе
ние возможностей контроля агентов приводит к уменьшению оптимальной
нормы управляемости.
Методы исследования. В работы использованы методы моделирования организационных систем управления, теории активных систем, системного анализа, математического программирования, теории игр.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты,
характеризующиеся научной новизной:
Модель стимулирования в многоуровневой организационной системе, учитывающая индивидуальные характеристики агентов, ограниченность возможностей их контроля, а также активность центров промежуточного уровня.
Оптимальные механизмы стимулирования в многоуровневой организационной системе, включающие политики контроля агентов, механизмы
7 взаимодействия между центрами промежуточного уровня и подчиненными им агентами, механизмы взаимодействия между метацентром и центрами промежуточного уровня.
Модель поиска оптимальной структуры организационной системы как для базовой модели, не предполагающей активного поведения центров промежуточного уровня, так и в условиях учета их активного поведения.
Исследование зависимости эффективности предложенных механизмов управления от параметров модели, в частности, показано, что увеличение возможностей контроля агентов приводит к уменьшению оптимальной нормы управляемости.
Рекомендации по повышению эффективности механизмов стимулирования в многоуровневых организационных системах.
Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные в диссертацию, обоснованы математическими доказательствами. Они подтверждены расчетами на примерах, производственными экспериментами и многократной проверкой при внедрении в практику управления.
Практическая значимость и результаты внедрения. На основании выполненных автором исследований разработаны модели и механизмы, которые могут стать основой для разработки многоуровневых организационных систем и определения политики взаимодействия с подчиненными структурными подразделениями в корпоративных структурах.
Использование разработанных в диссертации моделей и механизмов позволяет многократно применять разработки, тиражировать их и осуществлять их массовое внедрение с существенным сокращением продолжительности трудозатрат и средств.
Разработанные модели используются в практике разработки систем контроля за деятельностью фирм, входящих в корпорацию в ЗАО «Евродор-строй» и ОАО «Дорстрой».
Модели, методы, алгоритмы и механизмы включены в состав учебного
8 курса: «Управление проектами», читаемого в Воронежском государственном архитектурно — строительном университете. На защиту выносятся:
Модель стимулирования в многоуровневой организационной системе.
Оптимальные механизмы стимулирования в многоуровневой организационной системе.
Модель поиска оптимальной структуры организационной системы как для базовой модели, не предполагающей активного поведения центров промежуточного уровня, так и в условиях учета их активного поведения.
Исследование зависимости эффективности предложенных механизмов управления от параметров модели.
Апробация работы.
Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах, совещаниях и научных сессиях: 5 Всероссийская научно-практическая конференция «Системы автоматизации в образовании, науке и производстве» (Новокузнецк, 2005 г.), международная конференция «Современные сложные системы управления» (Воронеж, 2005 г.), 59-61 научно-технические конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, ВГАСУ, 2003-2005 гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.
Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем:
В работах [2], [3] автору принадлежит модель стимулирования в многоуровневой организационной системе; в работах [4] автору принадлежат оптимальные механизмы стимулирования в многоуровневой организационной системе; в работах [5], [7] автору принадлежит модель поиска оптимальной структуры организационной системы для базовой модели, не предполагающей активного поведения центров промежуточного уровня; в работах [6], [8]
9 автору принадлежит модель поиска оптимальной структуры организационной системы для модели в условиях учета активного поведения центров промежуточного уровня; в работах [1] автору принадлежит исследование зависимости эффективности предложенных механизмов управления от параметров модели.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературьї и приложений. Она содержит 116 страниц основного текста, 17 рисунков, 1 таблицу и приложения. Библиография включает 183 наименования.
Во введении обосновывается актуальность, описывается цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.
В первой главе рассматривая деятельность современного предприятия с позиций современной теории активных систем: имеется управляющий центр и некоторое количество подчиненных ему структур, называемых активными элементами. Управление в социально-экономических системах, понимается как воздействие одних элементов на другие элементы, с целью обеспечения желательного с точки зрения первых поведения последних. Такое положение предполагает асимметричность отношений участников системы, то есть - выделение (иногда условное) управляемых субъектов или объектов (в зависимости от их внутреннего состава) и управляющих органов. Такое разделение позволяет говорить о наличии в любой организационной системе иерархической структуры, которая может быть как явной (установленной институционально и существующей длительное время, например - в армии, в фирме с фиксированным штатным расписанием и должностными обязанностями и т.д.), так и неявной (проявляющейся при каждом, даже однократном, взаимодействии участников) или неформальной (например, лидерство в группах и т.д.).
Иерархия относительно однородных объектов любой природы естественным образом порождается отношением принадлежности - например, любое множество объектов может рассматриваться как совокупность своих
10 подмножеств и т.д. В социально-экономических системах отношение принадлежности эквивалентно "подчиненности" по разделению функций принятия решений и является, как правило, явным в рамках некоторого механизма управления. Поэтому при рассмотрении задач управления на первый план выступает не просто формальная принадлежность некоторого элемента определенному множеству, и, следовательно - принадлежность определенному уровню иерархии, а то, что именно принадлежность к определенному уровню иерархии определяет функции данного элемента (служебные обязанности и т.д., вплоть до социальной роли).
Появление иерархии является следствием разделения функций в организациях и служит проявлением необходимости специализации, конкретизирующей функции каждого элемента и позволяющей наиболее рационально использовать его объективно ограниченные возможности.
Простейшей - базовой является детерминированная двухуровневая организационная (активная) система, состоящая из управляющего органа - центра на верхнем уровне иерархии и управляемого субъекта - активного элемента на нижнем уровне, функционирующих в условиях полной информированности о всех существенных внешних и внутренних параметрах их деятельности. С одной стороны, во многих основополагающих работах по теории управления организациями подчеркивается необходимость исследования именно иерархических активных систем, а с другой стороны подавляющее большинство исследований формальных моделей ограничивалось двухуровневыми расширениями базовой модели. Неоднократно производились попытки обобщения результатов исследования двухуровневых моделей на случай многоуровневых систем, однако в итоге дело, к сожалению, ограничивалось лишь качественным обсуждением или формулировкой частных задач. В теории иерархических игр рассматривались задачи точного агрегирования, задачи с двумя управляющими органами и модели кооперации (образования коалиций между элементами нижнего и промежуточного уровней) в трехуровневой системе. В теории контрактов, пожалуй, единственным отступле-
ниєм от стандартной веерной структуры является модель с двумя центрами.
Одним из общепринятых объяснений концентрации внимания исследователей на двухуровневых активных системах является возможность декомпозиции иерархической активной системы на набор взаимосвязанных элементарных "блоков" - двухуровневых систем. В то же время, очевидно, что многоуровневые (трех - и более уровневые) системы обладают рядом качественно новых_свойств, отсутствующих в одноуровневых и двухуровневых активных системах.
Пусть имеется некоторая активная система с фиксированной структурой подчиненности и механизмом управления. Будем называть децентрали-зацией активной системы (децентрализацией системы управления) любое изменение ее элементного состава и/или связей между участниками, приводящее к тому, что взаимодействие (управляющее, информационное и т.д.) каждого из участников с другими участниками уменьшается или, по крайней мере, не возрастает. Децентрализацией является увеличение числа как управляющих органов, так и управляемых элементов (при выполнении требования сокращения взаимодействия), введение дополнительных уровней иерархии, разбиение управляемых элементов на подсистемы и т.д.
Децентрализация некоторой активной системы соответствует "перехо-ду" к новой активной системе. Сравнивая максимально возможные в рамках заданных ограничений эффективности управления этими системами можно говорить о целесообразности децентрализации - если эффективность не уменьшилась, то "переход" целесообразен. Умея сравнивать результаты всех допустимых "переходов", можно выбирать наилучшую структуру и механизм управления.
Для оценки возможных изменений эффективности управления при изменениях механизма управления необходимо четко представлять себе все те факторы, которые могут оказывать на нее влияние. Следовательно, возникает задача определения и исследования этих факторов.
Спецификой моделирования организационных систем является учет
12 активности поведения составляющих их элементов, то есть учет целенаправленности поведения, возможности самостоятельного выбора действий, возможности искажения информации, например, о своих предпочтениях, ради достижения собственных целей и т.д. Процесс взаимодействия между центрами и активными элементами строится на основе распределения центром финансовых ресурсов среди подчиненных агентов. Естественно, что центр заинтересован распределять ресурсы таким образом, чтобы поощрить деятельность тех структурных подразделений, которые способствовали увеличению дохода всей организационной системы.
Таким образом, исследование качественной специфики иерархий подразумевает решение следующих основных задач: разработка и исследование теоретико-игровых моделей функционирования многоуровневых организационных систем, а также изучение с их помощью факторов, определяющих эффективность управления в многоуровневых системах.
Во второй главе рассматривается организационная система, состоящую из метацентра, п агентов и т центров промежуточного уровня.
Предполагается, что все агенты выполняют однотипную работу. Выполнение агентом работы в некотором объеме требует от него затрат, описываемых функцией, и зависящих, помимо объема выполняемых работ, также от типа агента. Тип агента описывает его квалификацию, причем большее значение типа соответствует большей квалификации агента, и, соответственно, меньшим затратам на выполнение заданного объема работ. Предположим, что агенты имеют функции затрат вида Кобба-Дугласа. Функции затрат Кобба-Дугласа очень часто используются в экономико-математическом моделировании.
Для простоты предполагаем, что тип любого агента (его квалификация), может принимать два возможных значения: г і и ги, причем rL < ги. Вдобавок будем считать, что все агенты, подчиненные одному центру промежуточного уровня, имеют одинаковый тип. При этом центр точно знает тип подчиненных ему агентов, метацентр же знает лишь, что типы агентов при-
13 нимают значение rL с вероятностью р, а значение гн, соответственно, с вероятностью 1 -р.
За выполнение работы агент if получает от метацентра финансовые ресурсы (стимулирование), величину которых будем обозначать через щ. Получаемое агентом финансирование может зависеть от выбираемого агентом действия и от планового действия, которое назначил данному агенту метацентр. Таким образом, целевая функция агента представляет собой разницу между полученным финансированием и затратами на выбор того или иного действия
При фиксированном плане и заданной зависимости финансирования от действия, агент выбирает действие, максимизирующее его целевую функцию.
В задачи каждого центра промежуточного уровня входит, во-первых, сообщение метацентру параметров эффективности подчиненных этому центру агентов (их типов), во-вторых, организация системы распределения финансовых ресурсов между подчиненными агентами для реализации получаемых от метацентра плановых действий (действий, которые метацентр считает необходимым реализовать), и в третьих, контроль выполнения агентами этих плановых действий.
В базовой модели центры не предполагаются активными, то есть способными к искажению информации (манипулированию информацией) и преследованию собственных целей. Считаем, что /-й центр честно сообщает метацентру, какой тип имеют подчиненные ему агенты, Г/, или Гц. Затем он получает от метацентра вычисленные на основании этой информации плановые
действия Д,у для подчиненных ему агентов, а также финансовые ресурсы, необходимые для реализации этих плановых действий.
Основная задача центра состоит в контроле целевого использования выделенных агентам ресурсов, то есть в контроле выбора агентами нужных (плановых) действий. Особенностью рассматриваемой модели является то, что действия агентов априорно не наблюдаемы ни центром, ни метацентром.
14 Для того чтобы удостовериться в выборе агентом нужного действия, центр должен его проинспектировать. Считаем, что инспектирование агентов требует от центра только времени, но не каких-либо дополнительных финансовых затрат. Время же, которое центр имеет для инспектирования, ограничено. За отведенный промежуток времени (период проведения работ) каждый центр может проинспектировать А подчиненных ему агентов, где А - некоторое целое положительное число.
Размер финансирования может зависеть от действия агента только в том случае, если он проинспектирован. Если же агент не был проинспектирован, принимается «презумпция невиновности», то есть считается, что он выбрал плановое действие. В соответствии с этим вычисляется и сумма стимулирования, выдаваемого такому агенту. Кроме того, считается, что размер выделяемых средств не может зависеть от действий других агентов.
Метацентр получает доход от действий агентов, поскольку те выполняют работы именно для него. Считаем, что доход метацентра равен суммарному действию всех агентов, причем метацентр наблюдает только суммарные действия агентов, подчиненных каждому центру промежуточного уровня и не может выделить из него действия отдельных агентов. Метацентр получает от центров сообщения о типах подчиненных им агентов. Обозначим через г вектор типов агентов. На основании этой информации метацентр вычисляет для агентов плановые действия и определяет объемы финансовых ресурсов (функции стимулирования), необходимых для реализации этих действий. Кроме того, содержание каждого центра промежуточного уровня требует от метацентра затрат в сумме С > 0.
При заданной структуре системы имеем следующий порядок функционирования системы (последовательность выбора действий всем элементами системы):
1. Центры промежуточного уровня сообщают метацентру параметры эффективности подчиненных им агентов, то есть /-й центр сообщает тип. При этом считаем, что центры промежуточного уровня не манипулируют инфор-
мацией.
На основании сообщений центров метацентр определяет политику инспектирования, контроля агентов, иначе говоря, определяет правило, по которому центры промежуточного уровня будут выбирать подчиненных им агентов для проверки.
Далее метацентр определяет плановые действия каждого агента в зависимости от типа этого агента и выбранной политики контроля. Плановое действие - это то действие, выбор которого агентом метацентр считает рациональным в данной ситуации.
Также метацентр определяет зависимость суммы вознаграждения каждого агента от выбранного им действия, его типа, а также назначенного ему планового действия. Политика контроля, плановые действия и функции стимулирования сообщаются агентам.
Зная все вышеперечисленное, агенты выбирают свои действия, стараясь максимизировать каждый свою целевую функцию.
Центры промежуточного уровня осуществляют инспектирование агентов в соответствии с выбранной; метацентром политикой контроля. Действие, выбранное проинспектированными агентами, становятся известными центрам промежуточного уровня и метацентру.
По результатам инспектирования метацентр выплачивает агентам вознаграждение в соответствии с определенной на шаге 4 функцией стимулирования. Также метацентр выплачивает центрам промежуточного уровня заработную плату фиксированного размера С.
Метацентр получает доход, зависящий от суммарного действия агентов системы.
Решение задачи проводится в интересах метацентра, то есть в процессе решения будет максимизироваться его целевая функция. В рамках рассматриваемой модели задачи управления состоят, в том, чтобы:
1. предложить оптимальную схему контроля агентов со стороны центров промежуточного уровня; для каждой из возможных комбинаций типов
16 агентов определить оптимальные плановые действия каждого агента и найти суммы минимально необходимого для реализации плановых действий финансирования в рамках предложенной схемы контроля выполнения планов;
2. найти оптимальную структуру ОС, то есть определить оптимальное
количество т центров промежуточного уровня и оптимальное количество
подчиненных каждому центру агентов.
3. найти оптимальную структуру ОС, то есть определить оптимальное
количество т центров промежуточного уровня и оптимальное количество
подчиненных каждому центру агентов.
Введенная выше базовая модель обобщается за счет допущения активного поведения со стороны центров промежуточного уровня.
Для этого вводится целевые функции центров промежуточного уровня, определяющие их интересы, и описываются возможные действия центров в рассматриваемой модели.
В третьей главе рассмотрен пример расчета оптимальных механизмов управления в базовой модели, используя данные ОАО «Дорстрой».
Механизм управления в экономических системах
Основная задача механизмов управления согласовать экономические интересы всех участников активной системы (активных элементов) с интересами центра.
Какие же механизмы могут быть использованы в процессе управления активной системой? Для ответа на этот вопрос рассмотрим основные этапы функционирования организационной системы. Таких этапов три - это этап получения данных для принятия решений, этап принятия решений и этап реализации принятых решений.
В процессе сбора исходных данных центр формирует информацию, необходимую для принятия решений. В иерархических организационных системах, как правило, многие данные центр получает непосредственно от предприятий. Основная опасность, которая возникает на этом этапе, это опасность получения недостоверной, сознательно искаженной информации. Завышение оценок требуемых ресурсов как материальных, так и финансовых, завышение сроков выполнения работ и проектов" - типичные явления, свидетельствующие о неэффективности используемых в активной системе механизмов управления. Процедура сознательного искажения информации получила название манипулирование информацией.
Таким образом, основным признаком эффективности механизма будет являться представление активным элементом центру на этапе получения данных достоверной информации (конечно, в меру информированности самих активных элементов), или другими словами, отсутствие тенденции к завышению или занижению представляемых данных. Механизмы управления, при которых предприятиям выгодно-представлять достоверную информацию (выгодно быть честными) называются механизмами открытого управления или «честной игры».
Вполне понятно, что активные элементы будут представлять достоверную информацию только в том случае, когда представляемая информация не будет использована центром для принятия невыгодных для предприятий решений, а будет использована только для принятия выгодных решений. Очевидный факт, но тем не менее механизмы честной игры до сих пор довольно редкое явление в Российской, да и в мировой экономике. В теории активных систем доказано, что для получения центром от активных элементов системы достоверной информации необходимо и достаточно, чтобы центр применял механизмы честной игры. На этапе принятия решений все определяется способностью центра (директора и его управленческой команды) принимать эффективные решения. Если эффективное решение принято, то крайне важно, чтобы на этапе реализации предприятия были заинтересованы в его реализации. Механизм управления, при котором предприятия заинтересованы в реализации принятых решений, называется согласованным механизмом.
Доказано, при довольно общих предположениях о применяемых системах стимулирование активных элементов за реализацию планов, что эф-фективный механизм управления должен быть согласованным механизмом, то есть обеспечивающим принятие управленческих решений, выгодных для всех участников. Механизм управления, обладающий обоими свойствами, то есть согласованный механизм честной игры, называется правильным.
Применяемые механизмы управления должны обеспечить кроме эффективного текущего функционирования активной системы, ее развитие, то есть рост эффективности производства, что в первую очередь связано со снижением издержек. Такие механизмы управления получили называние прогрессивных, а если речь идет только о снижении издержек, то противо-затратных и описаны в монографии [103].
Процесс управления активной системой связан с реализацией таких процедур, которые обеспечивают выполнение активным элементом действий, необходимых в данный момент для центра. Основой реализации политики центра является процедура распределения ресурсов между активными элементами. Если активные элементы осознают, что распределение ресурсов проводится с учетом их интересов и любой другой вариант распределения будет для них менее выгоден, чем тот, что предлагает центр, то активные элементы будут предпринимать те действия, которые от них ожидает центр, ї то есть выполнять плановые задания, установленные центром. Таким образом, процедура распределения ресурсов является одной из ключевых в механизмах управления экономическими системами.
Базовая модель многоуровневой организационной системы
Для того чтобы задать модель ОС, необходимо [30, 36,103] определить ее структуру, состав участников ОС, множества их возможных действий, их целевые функции, информированность, а также задать порядок функционирования. Рассмотрим ОС, состоящую из метацентра, п агентов и т центров промежуточного уровня (см рис. 2.2.1) [51]. Ниже типичный центр промежуточного уровня будет обозначаться индексом /, где і е {1,..., т). Считаем, что і-му центру промежуточного уровня подчинено s( 1 агентов. Агенты, подчиненные і-му центру промежуточного уровня, будут обозначаться двойным индексом ij, где у є {1, ...,5/}. Ниже иногда будет удобным называть число Si нормой управляемости [87] /-го центра.
Задача агентов состоит в том, чтобы выполнять определенные работы для метацентра [94,96], который представляет интересы ОС в целом. В задачи центра входит выделение агентам финансовых ресурсов в количестве, достаточном для выполнения работ, и осуществление контроля эффективного использования выделенного ресурса. В связи с большим количеством агентов метацентр не взаимодействует с ними напрямую. Вместо этого он использует нескольких непосредственно подчиненных ему центров промежуточного уровня для сбора информации о необходимом агентам количестве ресурса, для распределения ресурса между агентами, а также для контроля использования ресурса (то есть выполнения агентами порученных им работ).
Предполагается, что все агенты выполняют однотипную работу. Будем обозначать через ау объем работы, выполняемой j-м агентом, подчи ненным /-му центру промежуточного уровня. Выполнение агентом if работы в объеме ау требует от него затрат, описываемых функцией с(ау, Гу), и зависящих, помимо объема выполняемых работ, также от типа агента г у [98, 103]. Тип агента описывает его квалификацию, причем большее значение типа соответствует большей квалификации агента, и, соответственно, меньшим затратам на выполнение заданного объема работ [98,103].
Предположим, что агенты имеют функции затрат вида Коб-ба-Дугласа [35,97], то есть представимы в виде с(ау,гу) = ауагу а/а, где параметр а 2 определяется используемой агентами технологией выполнения работ. Функции затрат Кобба-Дугласа очень часто используются в экономико-математическом моделировании [15, 16, 27, 65]. На рис. 2.2.2 приведен пример такой функции затрат для а=3и типа г у, равного 10.центр точно знает тип подчиненных ему агентов, метацентр же знает лишь, что типы агентов принимают значение rL с вероятностью р, а значение гн, соответственно, с вероятностью 1 —р.
За выполнение работы агент if получает от метацентра неотрицательное вознаграждение (стимулирование [98,106]), сумму которого будем обозначать через (Ту. Получаемое агентом вознаграждение может зависеть от выбираемого агентом действия и от планового действия, которое назначил данному агенту метацентр. Иначе говоря, сумма вознаграждения является функцией (Ту{ау, а у ) 0, где ау - плановое действие. Таким образом, целевая функция - агента представляет собой разницу между полученным вознаграждением и затратами на выбор того или иного действия: Маи, a j, г/у) = сТуіау, а\ ) - с(ау, Гу) = сгу{ау, а\ ) - а Гу а1а.
При фиксированном плане а у и заданной зависимости Ту(ау, atj ) вознаграждения от действия агент выбирает действие, максимизирующее его целевую функцию.
В задачи каждого центра промежуточного уровня входит, во-первых, сообщение метацентру параметров эффективности подчиненных этому центру агентов (их типов), во-вторых, организация системы стимулирования агентов для реализации получаемых от метацентра плановых действий (действий, которые метацентр считает необходимым реализовать), и в третьих, контроль выполнения агентами этих плановых действий. В базовой модели центры не предполагаются активными то есть способными к искажению информации {манипулированию информацией [69, 99]) и преследованию собственных целей. Считаем, что /-й центр честно сообщает метацентру, какой тип имеют подчиненные ему агенты, ri или Гц. Затем он получает от метацентра вычисленные на основании этой информации плановые действия atJ для подчиненных ему аген тов, а также финансовые ресурсы, необходимые для реализации этих плановых действий.
Основная задача центра состоит в контроле целевого использования выделенных агентам ресурсов, то есть в контроле выбора агентами нужных (плановых) действий. Особенностью рассматриваемой модели является то, что действия агентов априорно не наблюдаемы ни центром, ни метацентром. Для того чтобы удостовериться в выборе агентом нужного действия, центр должен его проинспектировать. Считаем, что инспектирование агентов требует от центра только времени, но не каких-либо дополнительных финансовых затрат. Время же, которое центр имеет для инспектирования, ограничено. За отведенный промежуток времени (период проведения работ) каждый центр может проинспектировать А подчиненных ему агентов, где А - некоторое целое положительное число.
Стимулирование может зависеть от действия агента только в том случае, если он проинспектирован. Если же агент не был проинспектирован, принимается «презумпция невиновности», то есть считается, что он выбрал плановое действие. В соответствии с этим вычисляется и сумма стимулирования, выдаваемого такому агенту. Кроме того, считается, что стимулирование агента является индивидуальным [101,104], то есть не может зависеть от действий других агентов.
Оптимальные планы и политика контроля
Пусть зафиксирован /-й центр промежуточного уровня и подчиненные ему агенты имеют тип г,- є {гмгя}. Какие планы должен назначить метацентр этим агентам, и какую политику контроля должен выбрать центр для того, чтобы прибыль метацентра была максимальна? При использовании метацентром вознаграждений (2.4.1), определяе мых утверждением і его выигрыш Ф, от работы /-й подсистемы, состоящей из і-го центра промежуточного уровня и подчиненных ему агентов, имеет следующий вид: ФД0 = (4-сі/( )/П(/)-С = (4-(4)Ч1_а/(«П//))-С. (2.5.1) j=\ 7=1
Сначала мы зафиксируем политику контроля (вероятности П;у) и найдем оптимальные планы, которые метацентр должен назначать агентам. Эти планы будут максимизировать выражение (2.5.1).
Легко видеть, что, поскольку а 2, выигрыш центра (2.5.1) вогнут по планам агентов. Следовательно, условия первого порядка (равенство нулю всех частных производных ЭФ, Ida у) [65] дают необходимое и достаточное условие оптимальности планов. Записав условия первого порядка, получаем систему уравнений из которой легко находятся выражения для оптимальных планов: і aj = г#(П )«-«, у = 1 j#. (2.5.2) Эти планы зависят от используемой политики контроля. Для того чтобы найти оптимальную политику контроля, подставим формулы і в выражение (2.5.1) для прибыли метацентра: Ф,0= ІйСП -г/ЧП,) /}1-" /(аП,)]-С = _L _L = 1 ) -() /а)]-С. После тождественных преобразований получаем следующую формулу: Ф/0) —(П,Г -С. (2.5.3)
Для нахождения оптимальной политики контроля агентов необходимо максимизировать прибыль метацентра (2.5.3) по всем возможным политикам контроля. Из леммы. 1, следует, что любой политике контроля соответствует такой набор вероятностей П проверки агентов j = l,...,sj1f что 2,11,-, = А ш Хотелось бы упростить задачу оптимизации, выбирая не поливі тику контроля, а непосредственно вероятности П , после чего по найденным вероятностям восстановить оптимальную политику.
Однако выше не доказывалось утверждение, обратное лемме 1, о том, что любому набору вероятностей П,-,, сумма которых равна А, соответствует некоторая политика контроля. Значит, множество і Si { П,-,., j = 1,...,5,-: 0 П,-,- 1, Yj -ij - А } может, в принципе, оказаться шире, чем множество всех политик контроля. Кроме того, не был определен алгоритм, который по произвольному набору вероятностей П,-, мог восстановить порождающую его политику контроля. В то же время, для решения поставленной выше задачи управления восстановить политику контроля нужно будет только для одного, оптимального, набора вероятностей П,-,. Ниже показывается, что именно для оптимального набора вероятностей эта задача легко решается. .
Итак, найдем максимум выражения (2.5.3) по всем вероятностям П, инспектирования агентов, j = \i...,sli удовлетворяющим условию Для решения этой задачи применим метод множителей Лагранжа. Лагранжиан Ц-) имеет вид: ад = Ф/0 + -!:п,) = .(1-і)І(П,) -С + Д( -Іп,)5 (2.5.4) j=\ ос J=] J=] где Л - множитель Лагранжа.
Поскольку а предполагается строго большим двух, справедливо неравенство —ГТ Следовательно, максимизируемая функция строго во гнута, и условия первого порядка (равенство нулю всех частных производных dL/dUy, а также производной дЫдЯ) [65] являются необходимыми и достаточными условиями максимума функции. Записав эти условия, получаем систему уравнений: Г- — Из первых st уравнений системы следует, что — (Цу)а 1 =Л, то есть ( 3-Л«-1 2-а Яа п«/ = ,j-l,...,s,. Правые части этих уравнений равны между со \П J бой, следовательно, равны между собой и левые части, то есть П;1 = П;2 =... = П/5 . Тогда из последнего уравнения получаем, что П;,=П/2=... = П, =A/s,
Таким образом, вероятности инспектирования всех агентов при оптимальной политике контроля должны быть одинаковы и равны Alsi. Легко видеть, что описанная выше схема «с выбыванием», в которой веса всех агентов одинаковы, позволяет реализовать эти вероятности проверки. Эта схема и будет оптимальной политикой контроля.
Нецелочисленное приближение в задаче об оптимальной структуре организационной системы
К сожалению, дискретность задачи поиска оптимальной структуры ОС не позволяет найти аналитическое выражение для оптимального количества центров промежуточного уровня. В то же время, хотелось бы качественно проследить, как найденные выше оптимальные механизмы управления зависят от параметров модели.
Для того чтобы получить приближенные аналитические формулы для нормы управляемости и количества центров промежуточного уровня, запишем еще раз задачу поиска оптимальной структуры ОС. Она состоит в том, чтобы найти натуральные числа т, S\, --- sm, являющиеся решением следующей задачи максимизации (см. формулу (2.6.3)): а-\ -Ч Л SL± max max « т=\ nsi,...,smeZ+: т Aa-x(p-rL+(\-p)-rH)Ys,a-i -тС а ,=1 (3.3.1) где Z+ - это множество натуральных (т.е. целых и положительных) чисел.
Собственно, требование того, чтобы нормы управляемости и количество центров были целыми числами, и осложняет задачу. Если снять требования целочисленности, задача поиска параметров оптимальной структуры ОС существенно упрощается, сводясь к следующей задаче выпуклой максимизации: max max { me[l,/7]j,,...,jmSO: т /y_1 —— " а-2 (3.3.1)
Ее решение даст уже не точные, но некоторые приближенные значения параметров оптимальной структуры ОС.
Во-первых, аналогично доказательству утверждения 2, легко видеть, что при любом количестве центров промежуточного уровня т оптимальным является назначение всем им одинаковой (возможно, нецелой) нормы управляемости s = піт. Тогда, подставив это выражение в формулу (3.3.2), получаем, что для нахождения оптимального количества центров т необходимо найти максимум по всем т є [1, и] выражения , а-2 1 1 а-\ —г —х. .na-lAa-l(p-rL+(\-p)-rll)ma-l-mC. (3.3.3)
Для вычисления оптимального количества центров промежуточного уровня удобнее сделать в формуле (3.3.3) замену т = nls, найти оптимальную норму управляемости s (общую для всех центров) а затем по формуле т = nls восстановить оптимальное количество центров т.
Заметим, что, поскольку а 2, степень ——, в которой фигурирует количество центров промежуточного уровня в формуле (3.3.3), меньше единицы, но больше нуля. Следовательно, функция (3.3.3) вогнута по количеству центров т, и для поиска точки, к которой она достигает максимума (даже после замены переменной т на nls), достаточно найти ее особую точку, то есть точку, в которой производная функции (3.3.3) равна нулю. Если найденное таким образом количество центров промежуточного уровня не будет принадлежать допустимому множеству [1,«], то оптимальна та граница отрезка [\,п], которая ближе к найденной особой точке. Итак, подставим в (3.3.3) замену m = nls и найдем максимум по всем s е [1, и] получившегося выражения -1 — -— n\?— Aa-x(p-rL+(\-p)-rH)s a x-Cls а (3.3.4)
Найдем особые точки этого выражения: вычислим производную по s, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение 105 CIs2 n Aa-x(p-rL+(l-p)-rI{)s a 4s = 0 a-\ a{a-\) Разделив обе части уравнения на и и умножив на s2, получим С A«-4p-rL+(\-p).rH)s = 0. а
Отсюда находим формулу для оптимальной нормы управляемости (в предположении, что особая точка принадлежит отрезку [1, п]): а-\ аС s = (3.3.5) А «"2 \P-rL+(\-p)-rn )
Заметим, что оптимальная норма управляемости не зависит от количества агентов п.
Из полученных формул видно, что как оптимальное значение целевой функции метацентра (3.3.4), так и оптимальная норма управляемости (3.3.5) зависят только от среднего значения г типа агентов, определяемого выражением r = p-rL+(\-p)-rn. max
Подставив полученное значение нормы управляемости в целевую функцию метацентра (3.3.4) и заменив p-rL+(l-р)-ги на г, получаем формулу для максимального значения целевой функции метацентра Ф, при оптимальной структуре ОС и оптимальных механизмах управления
