Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Управление динамикой рынка в условиях многозначных функций спроса и предложения 14
1.1 Модель равновесия конкурентной экономики. US
1.2. Динамика рынка 40
1.3. Устойчивость процесса установления рыночного равновесия 58
Глава II. Моделирование динамики цеп при периодических колебаниях рыночных факторов . 71
2.1. Периодические колебания рыночных цеп 71
2.2. Нелинейная динамическая модель биржи 85
Глава III. Математические модели управления экономическими системами с переменными структурными параметрами . I 12
3.1.О теории роста для экономических систем с переменными структурными параметрами. I 12
3.2. Модель управления спросом 130
Глава IV. Некоторые вопросы теории нелинейных дифференциальных уравнений и включении . 140
4.1. Периодические решения монотонных дифференциальных включений. 149
4.2. Ограниченные и почти периодические решения 183
4.3. Периодические решения монотонных дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными 205
4.4. Усреднение диссипативных дифференциальных включений. 222
Заключение 236
Список литературы 238
- Динамика рынка
- Нелинейная динамическая модель биржи
- Модель управления спросом
- Ограниченные и почти периодические решения
Введение к работе
Актуальность проблемы. Современные экономические условия характеризуются возрастанием масштабов и усложнением процессов управления на различных иерархических уровнях, повышением требований к качеству и эффективности управления. В связи с этим ощущается необходимость совершенствования методологии управления на базе исследования системных связей и закономерностей функционирования социально-экономических процессов. Одним из базовых элементов теоретических основ и методов теории управления и принятия решений в социально-экономических системах является разработка проблемно-ориентированного математического обеспечения. Использование математических моделей позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получить выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, математические методы исследования сложных управляемых и замкнутых социально-экономических систем позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, стабильность или нестабильность поведения системы, подбирать оптимальные в нужном смысле параметры управления.
Переходные процессы в экономических системах возникают под влиянием внутренних или внешних, в том числе управляющих, воздействий: переход от одного технологического уклада к другому, изменение конъюнктуры внутреннего или внешнего рынков, новые правила регулирования поведения субъектов экономики, в том числе по сбору налогов, росту или падению инвестиций, перемены в структурной политике и т.п. Такие процессы эволюции поведения сложных экономических систем во времени адекватно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и в более сложных ситуациях нелинейными дифференциальными включениями.
Таким образом, актуальность темы заключается в необходимости исследования эволюции и выработки критериев управления сложных экономических и социальных систем методами
рос. национальная]
БИБЛИОТЕКА СПетерЬгрг 9.и\
нелинейного динамического анализа с целью повышения эффективности и надежности их функционирования.
Работа выполнена в соответствиями с основными научными
направлениями Воронежского государственного технического
университета «Проблемно-ориентированные системы управления»,
«Экономика, организация и управление на предприятии», а также с
научным направлением Всероссийского заочного финансово-
экономического института «Обеспечение устойчивого
экономического и социального развития России».
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка проблемно-ориентированного математического обеспечения систем управления и принятия решений в социальных и экономических системах, направленного на повышение эффективности управления.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- провести анализ и разработать модели эволюции и
принципов управления сложными экономическими системами на
базе изучения моделей экономики, описываемых нелинейными
дифференциальными уравнениями и включениями;
-сформулировать и обосновать критерии устойчивости сложных рыночных систем, описываемых многозначными функциями спроса и предложения в условиях свободной конкурентной борьбы и в рамках модели управляемой экономической системы с системой социального обеспечения;
-обосновать рекомендации управления для достижения устойчивости периодической динамики развития экономических систем при периодическом изменении эндогенных и экзогенных параметров. Развить приближенный метод отыскания периодической динамики;
разработать теорию асимптотического поведения динамики сложной экономической системы при малой либо большой скорости запаздывания спроса относительно предложения;
выработать и обосновать критерии роста макроэкономики на основе исследования непрерывных динамических моделей экономических систем с переменными структурными параметрами;
определить границы для возможных управляющих воздействий, которые обеспечивают стабильность развития
экономики на базе исследования нелинейной динамической модели управления спросом с мультипликатором и акселератором.
Методы исследования. При выполнении работы использованы методы системного анализа, математического моделирования, теории управления, теории дифференциальных уравнений и включений, нелинейного и выпуклого анализа, теории оптимизации.
Научная новизна. В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:
обобщенная математическая модель динамики цен на реальном рынке товаров и услуг, отличающаяся многозначностью функций спроса и предложения, описываемая дифференциальными включениями; обоснована устойчивость такой динамической модели рынка;
математическая модель динамики установления равновесного состояния управляемой экономической системы, отличающаяся наличием управляющего органа, обеспечивающего частичное перераспределение доходов посредством взимания налогов;
нелинейная динамическая модель эволюции рынка производства, товаров и услуг, отличающаяся периодическим характером внешнего управляющего воздействия, обеспечивающего устойчивость периодической динамики развития рынка;
асимптотика периодической динамики рыночных цен, отличающаяся учетом скорости реакции запаздывания спроса относительно предложения;
критерии роста или убывания дохода в макроэкономической модели, характеризующейся переменными структурными параметрами;
алгоритм формирования областей возможных параметров управления для достижения стабильности экономической системы, описываемой нелинейной моделью, отличающейся наличием мультипликатора и акселератора;
доказательство существования, единственности,
положительности, устойчивости по Ляпунову решений дифференциальных включений для классов нелинейностей, ориентированных на ограничения, встречающиеся в экономических системах: выявленного предпочтения, валовой заменимости, диссипативности и др.;
обоснование процедуры приближенного отыскания периодических решений, а также асимптотики поведения периодических решений, при малых или больших значениях параметров.
Практическая ценность работы определяется тем, что полученные в диссертации научные результаты открывают новые возможности эффективного управления и принятия решений в социально-экономических системах.
Позволяют выявить и проанализировать особенности функционирования конкретных экономических объектов и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо его эндогенных либо экзогенных характеристик, в том числе управляющих воздействий.
Сформулировать рекомендации при принятии практических, оптимальных с какой-либо позиции решений. Разработанные методы и алгоритмы положены в основу проблемно-ориентированного программного обеспечения функционирования региональной электронной биржи.
Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при разработке математического и программного обеспечения электронной биржи в системе сбыта и комплектации радиодеталей в рамках Бизнес-инкубатора «Воронеж», а также системы управления хозяйственной деятельностью НПО «Протек»; внедрены в учебный процесс Всероссийского заочного финансово-экономического института по дисциплинам обучения «Экономико-математические методы и модели» и «Эконометрика».
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Москва, 1996); Международной конференции «Асимптотические и другие методы в теории нелинейных колебаний» (Киев, 1997); Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 1998); Международной конференции «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 2000); Всероссийской конференции «Современный анализ и его приложения» (Воронеж, 2000); региональной конференции «Малый бизнес в центральном федеральном округе» (Воронеж, 2002); Научно-техническом
семинаре «Проблемно-ориентированные системы» (Воронеж, 2002, 2003); Межвузовской конференции «Проблемы обеспечения устойчивого экономического развития в современных условиях» (Воронеж 2002, 2003); Международной конференции «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации
опубликованы в 52 печатных работах, в том числе двух монографиях и 18 статьях в журналах, рекомендованных списком ВАК.
В работах, опубликованных в соавторстве, соискателем предложено математическое обеспечение развития модели управления инфраструктурой малого бизнеса [2, 3, 6, 7]; разработаны аналитические и приближенные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений в связи с задачами теории управления [13, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 26,29, 33, 35, 36, 37,42, 47, 52].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 250 страницах; содержит 9 рисунков и список литературы из 120 наименований.
Динамика рынка
Динамическая задача содержит в качестве одной из переменных время. Статическую ситуацию будем интерпретировать как стационарное (равновесное) состояние динамической системы. Как показано в параграфе 1.1 во многих важных ситуациях, в частности, в случае положительности вектора равновесной цены р О, этот вектор является решением операторного включения OeF(p), (1) где F -многозначная функция избыточного спроса, определяемая формулой (1.2). Динамику процесса установления равновесной цены в этом случае, считая время непрерывным, можно описать дифференциальным включением F(p). (2) Под решением дифференциального включения (2) будем понимать абсолютно непрерывную векторную функцию р(0 , удовлетворяющую соотношению (2) почти всюду (п.в.) на рассматриваемом отрезке времени. В случае однозначной функции избыточного спроса f\P) вместо (2) получим векторное дифференциальное уравнение # = 7 й. Уравнение (3) и включение (2) описывают ситуацию, при которой цена некоторого товара повышается или понижается в зависимости от того, будет ли избыточный спрос на этот товар положителен или отрицателен. Скорость этого повышения или понижения пропорциональна размеру избыточного спроса или избыточного предложения по каждому товару.
Вместо векторного уравнения (3) можно записать систему уравнений с произвольными положительными коэффициентами пропорциональности Ц.. Числа kj называют коэффициентами подстройки цены на j-тый продукт. Такую модель динамики рыночных цен для общего случая г товаров впервые предложил П. Самуэльсон [100]. Подходящим выбором единиц измерения для каждого товара система (4) приводится к виду (3). Кроме дифференциального включения (2) (либо уравнения (3)) динамику цен на рынке задает начальный вектор цен р . Поэтому (2) или (3) следует рассматривать вместе с начальным условием Р(0) = 7. (5) 2. Существование решения динамической модели. Рассмотрим вопрос о разрешимости задачи (2), (5) в конусе неотрицательных, либо положительных векторных функций (цен). Предварительно укажем на справедливость следующего утверждения. Лемма 2.1. Пусть выполнены предположения 1)-5) для математической модели рынка. Тогда каждое неотрицательное решение pit) дифференциального включения (2) (динамика рынка) лежит в шаре -.г+1 пространства с центром в нуле и радиуса Р(0) . Если дополнительно выполнено условие 6), то вектор pit) лежит на сфере (поверхности) указанного шара. Это утверждение есть следствие закона Вальраса в широком (либо узком) смысле: (p,z) о (VzeFO)), (6) либо (p,z)=o (Vze O?)). (7) Поэтому, например, в случае выполнения (6) для решения включения (2), имеем: А это неравенство влечет Р(0) (8) При выполнении (7) неравенство в (8) превращается в равенство. Неравенство (8) гарантирует продолжимость решения p{t) на любой временной интервал вправо. По построению функция избыточного спроса F определена в конусе Ег+1 векторов с неотрицательными компонентами. Доопределим ее на все Fr+l 17 пространство до функции г следующим образом. Если в векторе Р = \Po Pi --- Рг) компонента Pj 0, то положим где Pi = qt при ./, a tfy = 0. Ниже будем использовать предположение «положительности» функции обобщенного спроса F 7) и его аналог в ослабленной форме. А именно, рассмотрим условие «неотрицательности» функции избыточного спроса F, имеющее вид 7 ). Если р 0 и А = 0, то zt 0 для Vz Є F(p) . Предположение 7 ) выглядит более реалистично с экономической точки зрения, чем 7). Оно означает, что в случае pt = 0 спрос на i-тый товар не меньше предложения. Лемма 2.2. Многозначная функция F удовлетворяет основным условиям, если такова была функция F. Если для функции F выполнен закон Валъраса (10) при всех q Є Е+ и условие 7 ), то для функции F выполнен закон Валъраса (10) при всех Р е & и условие 7 ). Действительно, покажем полунепрерыность функции F. Пусть р" — р при / — оо и У Є F\p ) 5 причем у" — у. И пусть, например, Р"к 0 при всехк=1,2,... Тогда, qn/ = О и q"k q, где qs = Ps при s j и q}: = 0. По определению F имеем Тогда, в силу полунепрерывности сверху функции F получим У Є F{q) следовательно У є F(q) . А это означает полунепрерывность сверху функции F. Образы F являются образами функции F (от другого вектора) и поэтому обладают теми же свойствами выпуклости, ограниченности и замкнутости. Пусть для функции F выполнен закон Вальраса (6) и условие 7 ). Тогда по определению функция F обладает аналогичными свойствами. Лемма 2.3. Пусть выполнены предположения 1)-5) на математическую модель рынка. Тогда для каждого начального значения Р и момента времени Т 0 существует хотя бы одно решение дифференциального включения dq dt є F(q\ (9) удовлетворяющее начальному условию ї(о)=7 (10) и определенное на [0, Т]. Множество таких решений есть компакт в пространстве непрерывных функций ф,Т\Ег+1). В самом деле, предположения 1)-5) влекут выполнение основных условий для функции избыточного спроса F. Тогда по лемме 2.2 основным условиям будет удовлетворять и функция F . Поэтому разрешимость задачи (9), (10) следует из стандартных утверждений теории дифференциальных включений (см., напр., [77] 7). Покажем ограниченность множества решений. Действительно, функция F является ограниченной вместе с F, тогда найдется постоянная к 0, такая, что г+\ w k (VweF(q),\/qeEr+l). (И)
В силу леммы 2.3 семейство решений \р"(0) есть компакт в пространстве С([0,Т],Ег ). Пусть p(f) предельная функция семейства при П —»00. Тогда р(0 - решение задачи (9),(10) и поскольку все , то из (13) следует, что р(0 0. Тогда, p{t) является неотрицательным решением исходной задачи (2), (5) на отрезке [О, Т], что и требовалось доказать. Оценка (8) и следовательно существование неотрицательного решения задачи (2), (5) при всех t 0 следует из закона Вальраса по лемме 2.1. Следствие 2.1. Пусть выполнены условия 1)-5) и 7) на математическую модель рынка. Тогда для каждой полоэ/сительной начальной цены р О существует хотя бы одно положттелъное решение p(f) дифференциального включения (2), удовлетворяющее начальному условию (5). Это решение определено при всех t 0.
Нелинейная динамическая модель биржи
Малый и средний бизнес в современной России испытывает ощутимые трудности, прежде всего, в части «информационной непрозрачности» рынков и государственных структур. Информационная непрозрачность под которой понимается полное или частичное отсутствие достоверных данных о рынках (о спросе и предложении, о ценах и ценообразующих факторах), серьезно затрудняет работу предпринимателей и бизнеса в целом. В частности, отсутствие достоверной коммерческой информации или обрывочные данные ведут к следующим негативным последствиям: - руководители малых и средних предприятий совершают ошибочные действия в сделках купли-продажи комплектующих изделий и готовой продукции из-за недостаточной информации о ценах предприятий изготовителей и потребителей из других регионов; - предприниматели имеют весьма ограниченные сведения о емкости и насыщенности рынков выпускаемой продукции, о колебаниях спроса сезонного характера и в связи с появлением новых товаров аналогичного назначения у конкурирующих фирм (как в России, так и за рубежом); - из-за отсутствия информации о простаивающих производственных мощностях и незагруженном оборудовании недостаточно динамично развиваются успешные производства; - малые и средние предприятия не используют в полной мере преимуществ специализации и кооперации с другими предприятиями из-за плохой информированности о потенциальных партнерах. Крупные предприятия могли бы при создании соответствующей информационной системы осуществлять заказы на предприятиях малого бизнеса (по японскому варианту), а также производить кооперирование между собой (заказывая часть комплектующих у тех производителей, которые производят дешевле и качественнее); - отсутствие должной информации о ставках по кредитам, о желании и возможностях банков участвовать в прибылях малых и средних предприятий, о лизинге и его условиях, об изменениях в нормативно-правовой базе и в иных сферах существенно затрудняет функционирование малого и среднего бизнеса; - за счет повышения «информационной прозрачности» появляется возможность снизить число посредников в товаропроводящей цепи.
Таким образом, в экономике малого предпринимательства становится очевидной решающая роль информационной составляющей непосредственно в производстве материальных благ и услуг. Речь идет прежде всего о технологии. Новая технология определяет место, значение, перспективы отрасли, региона и страны. Все более значительным становится информационный рынок (рынок телекоммуникаций, компьютерный рынок и рынок информационных сетей, рынок информационно-коммутационных сетей, рынок информационных услуг в финансовой сфере).
Главным ресурсом в новой хозяйственной системе стал интеллектуальный капитал, или способность людей к нововведениям и инновациям. В таких условиях формируется информационный рынок или рынок информационного общества. Этот рынок обнаруживает черты, отличающие его от рынка индустриальной цивилизации. Рынок как коммуникативная система получает в информационном обществе адекватную его сущности техническую базу - электронные средства обработки и передачи информации, благодаря которым рыночный механизм становится более гибким, быстродействующим, способным переработать огромный объем экономической информации. В информационном обществе меняется само прдставление о рынке: «Рынок раньше представлял собой определенное место, где можно что-то купить или продать. Теперь же рынок - это просто компьютеризированная сеть коммуникаций, так как с помощью телекса или факса можно купить что угодно, где угодно, как угодно, не сходя с места». Изменяются не только пространственные, но и временные границы рынка. Феномен информационного поля позволяет в любое время суток получить информацию из любой точки планеты, такое понятие как «бизнес вне времени и границ» становится реальностью. В информационном обществе повышается значение информации как товара. Это является следствием общего роста информационных потребностей и выражением развития отрасли информационных услуг. Свидетельство тому - увеличение вклада информационного сектора в создание национального богатства.
Как известно, собственность на информацию является основой монопольной власти, поскольку владение патентами и лицензиями служит барьером для поникновения в отрасль. Существует и другой важный аспект, связанный с передачей информации, - условия продажи технологий. В них могут включаться ограничения, заранее устраняющие проявление каких-либо конкурентных преимуществ, например, касающиеся рынков сбыта готовой продукции. В таком случае нарушается механизм конкуренции. В то же время информатизация экономики придает данному механизму новые качества. Так, высокая насыщенность рынка товарами и услугами заставляет фирмы постоянно следить за техническими достижениями в своей отрасли, отыскивать на рынке ниши для новых товаров и услуг. Гибкость информационного производства и маркетинг на основе электронных технологий позволяют производителю быстро реагировать на изменение рыночной ситуации. В таких условиях конкуренция становится динамичной, сменяя статичную конкуренцию индустриальной, эпохи, когда фирмы, внедрив новые технологии, могли в течение некоторого времени пожинать плоды нововведений, получая монопольную сверхприбыль.
Новые качества рынку придает и развитие его инфраструктуры. Так, создание банков данных экономической информации позволяет сглаживать ассиметричность рыночной информации, когда один из участников сделки знает о ее объекте больше другого. Сведения о деловом прошлом потенциальных ссудозаемщиков, содержащиеся в специальных банках данных, позволяют кредитным учреждениям уменьшить риск при выдаче ссуд.
Уяснив существующие возможности в области новых информационных технологий, можно решить проблемы по обеспечению малого предпринимательства при помощи эффективно действующих электронных (информационно-компьютерных) биржевых рынков, которые действуют в глобальной сети Интернет и иных компьютерных системах. Использование современных инструментов Интернет-трейдинга, Интернет-банкинга, онлайн-маркетинга и иных информационных технологий существенно повышает роль и эффективность малого предпринимательства в регионе, позволяет увеличить валовой региональный продукт, снизить безработицу, повысить уровень доходов населения, увеличить налоговые поступления в бюджеты всех уровней.
Создание электронной биржи основано на имеющейся теории экономической системы биржевых рынков, позволяющих рациональным образом сочетать экономические интересы биржевых предпринимателей и государства.
Как показала практика, процессы реформирования экономики, развитие малого предпринимательства потребовали создания дополнительных структур, обеспечивающих сокращения производственных затрат и издержек обращения. Предприятиям производителям малого бизнеса требуется совершенный механизм сбыта своей продукции, который обеспечивает деперсонифицированный характер сбыта продукции и снижение транзакционных издержек в процессе товародвижения от производителя к потребителю, а также обеспечивает поступление информационных сигналов о краткосрочных и долговременных тенденциях, намерениях и рациональных ожиданиях потребителей.
Модель управления спросом
При составлении бюджетов различных уровней важно правильно сформулировать объемы и пропорции стабилизационных фондов, которыми в праве распоряжаться планирующий либо управляющий орган; а также последовательность сроков и способов (графиков) выделения средств из этих фондов. Существует много вариантов, которые может применить управляющий орган (правительство) для сбалансирования сдвигов в спросе и постепенной ликвидации колебаний в выпуске продукции. В частности, в дополнение к нормальному спросу народного хозяйства (экономики) на предметы потребления и капиталовложения также добавить создаваемый или планируемый правительством спрос на товары или услуги.
В качестве модели экономического регулирования Филлипсом рассматривалась линейная модель мультипликатора - акселератора (см.). В силу линейности, она непосредственно неприменима к анализу реальной экономики. В данном параграфе рассмотрена регулируемая нелинейная модель. Ее реализация происходит в более реалистичной форме несинусоидальных колебаний, амплитуды и фазы которых устанавливаются действием самой модели.
Ниже исследуется непрерывная нелинейная динамическая модель макроэкономики с мультипликатором - акселератором и рассматривается вопрос об экономическом регулировании такой модели. Эта модель рассматривается в реальном выражении. Все переменные являются функциями непрерывно меняющего времени и означают следующие величины: Y(t) - доход или выпуск продукции, S(t) - расходы на потребление, ДО - независимые капиталовложения, 130 /(О - индуцированные капиталовложения, вызванные изменениями в выпуске продукции. Предполагается, что расходы на потребление определяются формулой S(t) = p(t)Y(t) + B(t), (1) где p{t) - переменный коэффициент склонности к потреблению (0 /?(0 1), B(t) - автономное (конечное) потребление (B(t) 0). Кроме того, предполагается справедливой следующая форма действия акселератора с запаздыванием /(О = - (/(/)-р(У(0», (2) где точка сверху над функцией означает производную по времени, /с -характеризует скорость реакции индуцированных капиталовложений на изменение выпуска продукции, а нелинейность (р выражает зависимость между объемом капиталовложений и текущей скоростью выпуска продукции Y(t). Таким образом, потенциальная скорость капиталовложений в момент t фиксируется акселератором без запаздывания j(t)= p\Y(t)) . Фактическая скорость роста инвестиций lit) запаздывает и приращение капиталовложений пропорционально разности -{l(t)-J{t)} . Коэффициент пропорциональности к показывает скорость реакции.
Для малых изменений (увеличений или уменьшений) выпуска продукции по существу действует линейный акселератор V Y . При большом увеличении выпуска продукции уровень ф повышается до верхнего предела L 0 , поставленного наличными мощностями отраслей, производящих капитальные блага. При большом сокращении выпуска продукции р понижается до нижнего предела -М 0 , поставленного нормой износа основного капитала. Аналитические свойства функции Р выражаются формулами -М (p(z) L , где L,M 0 и 0 — v (Vz О). (6) dz В случае постоянства параметров А, В и р модели уравнение (5) имеет стационарное (равновесное) решение Ур . Оно имеет вид 133 A + B \-p и неотрицательно в предположениях А, В 0 \ р 0 . В зависимости от соотношения между параметрами модели, как показывают примеры, решение Y\t) уравнения (5) может иметь взрывной колебательный характер. В связи с этим возникает проблема экономического регулирования. 1. Политика пропорциональной правительственной стабилизации. Она состоит в том, что создаваемый правительством спрос задается равенством G = -cz(Y-YKp), (7) где а О - параметр управления, YKp . критический уровень выпуска продукции. Согласно (7) при падении выпуска продукции ниже критического уровня YKp 5 предъявляемый правительством спрос пропорционален падению производства. С учетом политики стабилизации вместо (3) имеем Z = S + G + I + A. (3 ) Поэтому из (4) следует Y = -A(Y-S-G-I-A). (4 ) Тогда I = jY + {\ + a-p(t))Y-(A + B + aYj И 134 i = jY + (\ + a-p(t))-Y-p(t)Y-A-B. Отсюда после подстановки в (2) получим f + /(r,f)=e(0, (8) где (9) f{Y,Y):=Am + a-p(t) + Y-w(j)+ e(t) :=л{л(і)+ B(t)+K(A(t)+B(t)+ aYKp)}. Уравнение (8) описывает динамическую модель мультипликатора-акселератора со стабилизирующим пропорциональным правительственным спросом. Для уравнения (8) ставятся начальные условия Г(о)=У, Y{o) = A{A(0)+B(o)+aYKp+{p(o)-l-a)Yo). Условие для Y\0) получается из (3 ) и (4) с учетом того, что акселератор начинает действовать с запаздыванием. В случае постоянства параметров А, В, и р модели задача (8), (9) имеет равновесное решение Ya, определяемое равенством = A + B+aYKp \ + а- р Решение Ya положительно, если Д В, a, YKp 0 и I р О При достаточно малых а 0 состояния равновесия Уа и - р задач (5) и (8), (9) близки. С другой стороны, значение Уа при больших а 0 близко к YKp . в приводимой ниже теореме указана область, в которой должен находиться параметр управления, чтобы произошел процесс стабилизации уровня выпуска продукции, а значит, стабилизации производства. 135 Теорема 2.1. Пусть макроэкономическая модель задается соотношениями (1), (2 ), (3) и (7), причем функция акселерации p\Y) удовлетворяет условию (6), а для коэффициента склонности к потреблению справедливы оценки 0 p(t) p. \, p. p(f) p+. (10) Пусть независимые расходы A\t) представляют собой ограниченную по времени функцию. Тогда при значении управляющего параметра а , удовлетворяющем соотношению р+ ( 1 к \ л + ]J{K + P+-P_\ -_(i + v + 8p+)l (П) а ак„ = max ) политика пропорциональной правительственной стабилизации (7) гарантирует существование, причем единственной, динамики дохода Y \t), ограниченной во времени. При этом всякая динамика дохода модели макроэкономики Y\t) стабилизируется (приближается) к Y {t) с течением времени.
Ограниченные и почти периодические решения
Функция и0 почти периодична как равномерный предел почти периодических функций м„. Далее рассуждениями аналогичными приведенным при доказательстве теоремы 1.1 показывается, что u0{t) есть решение включения (1) на каждом отрезке оси R, а значит и на всей оси R. Теорема доказана. Замечание 2.1. Если предполагать не почти периодические функции Jхх по t, а лишь сильную измеримость, то рассуведениями теоремы 2.2 фактически доказано существование ограниченного решения включения (1). Однако, более ограничительным, чем в теореме 2.1 является условие ограниченности функции f\t,x) шаре \х\ dQ равномерно по t є R.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1,5. Отметим лишь, что вместо периодических решений дифференциальных неравенств фигурируют ограниченные, а усреднения К"/, по Стеклову функции (Рх равномерно на всей оси R стремятся к Ф при h— х в силу равномерной непрерывности фея на R. Продемонстрируем другой подход. Лемма 2.1. Пусть для оператора F:RxH —»2Я выполнены условия теоремы 2.1, либо 2.2. Пусть дополнительно выполнено условие (11) с произвольной равномерно непрерывной функцией Ч :R- Н . Тогда семейство Фр равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на R. Доказательство. Равномерная ограниченность есть следствие (14). Покажем равностепенную непрерывность. Пусть t,s є R таковы, что в этих точках выполнено включение Ф )+М№,РМ+Г РМЭ0- (16) 189 По определению таковы почти все t,s є R . Пусть %ts є F (pfl\s) в силу монотонности F имеем HkW- tf & "6, +А Р„Ь)-Г»( )\ РЖ)- РА ). (17) Согласно (16) найдутся ,, є F (p \t\ 1S є F g M[s)t такие, что JJ JU Тогда из (17) при , = „ и , =%„ следует М Пусть t-s+h, зафиксируем п. Тогда для почти везде se.ll имеем Отсюда для функции co\s) = pt\s + h)-(pt\s учетом (11), (14) следует cb{s) -Myw(s)+ (d0fM(S+h)-4 \. Поскольку функция v{s) ограничена на R, то это неравенство влечет оценку ІРМІЇ-РМ Ь+ІЇ-Щ. (18) Вследствие равномерной непрерывности из (18) следует равностепенная непрерывность семейства .
Но согласно предыдущему, из последовательности (рп можно выделить равномерно на \а,0\ сходящуюся подпоследовательность, причем предел ее рю. Полученное противоречие доказывает высказанное утверждение.
Рассмотрим случай малого параметра // 0. Пусть CV(H) совокупность ограниченных множеств из Cv(#). Как известно [6] Cv(#) с метрикой Хаусдорфа является метрическим пространством. Пусть оператор F:RXH CV(H) и при каждом гєН оператор F{i,z) непрерывен по метрике Хаусдорфа.
Доказательство. Аналогично доказательству леммы 1.8, где вместо теоремы Арцела используется теорема Люстерника [43, с. 12] о компактности семейств почти периодических функций. Почти периодичность предельной функции есть следствие равностепенной почти периодических семейства
Обозначим через Р - гильбертово пространство почти периодических функций Безиковича со скалярным произведением ( , ) и нормой Теорема 2.6. Пусть оператор F:RxH- 2tt максимально монотонен но хеН, а его главное сечение f.RxH- H ограничено на ограниченных множествах из Н. равномерно по teR. Пусть найдется почти периодическая функция i//.R- H, такая, что для оператора F выполнено условие (II). Пусть, кроме того, . существует элемент z0 є Н и сечение такие, что 1 Т г +Л І8 0 0- (31) Тогда почти периодические решения (р : R — Н включений (13) при ju - 0 сходятся к вектору zQ е Н по норме пространства Безиковича. Доказательство. При любом teR по лемме 1.5 F :H- 2/l -максимально монотонный оператор. Тогда по теореме 2.2 с учетом замечания 2.2 для каждого р 0 существует, причем единственное, почти периодическое решение рf, R — Н включения (13). Лемма 2.1 обеспечивает равномерную ограниченность и равностепенную 198 непрерывность семейства РИ\(). Причем в силу почти периодической функции у/ неравенство (18) влечет равностепенную почти периодического семейства РМ\0 По лемме 2.4 семейство ф Ц) содержит равномерно на R слабо (в Я) сходящуюся последовательность (рМп := /лп Пусть yn\t)e. F\t, pn{()) такая, что почти везде на R ФЛ0+МЛУЛ0+Г Р„(0)=0. (32) При любых t,s є R , t s имеем s s Согласно (14) sup \ pn{t\ — "о и по условию найдется постоянная cQ /л SUP 1k(0H o. Тогда .( )- Pn{s)A /і„Л(г rf0 + c0) ї - и, следовательно, предельная функция последовательности ф„у) есть постоянный элемент х0 є Н , Покажем, что х0 - решение (31), т.е. х0 = z0. Умножая (2.32) скалярно в Я на произвольный вектор х є Н и интегрируя от - Т до Г имеем Т Т - Л-Т)- P„(T\h)= —, \(yn,h) dt + L Jfo,,A) dt . Фиксируем /і и перейдем в этом соотношении к пределу при 0 Т - оо . Тогда I т т , УИ. arJCv- )dr -- L и7К"- )Л. (зз) 199 причем предел слева существует, поскольку существует пре дел справа среднее значение почти периодической функции {$ „ ") Аналогично проверяется, что , г т 55- и7_(k" )л = - »ж\У" л (34) Согласно (31), (33) имеем т о г- со 2Т _т Jffi і(Уп( )+ Г РЛ ) 8т( 20)- yz0,x0 - z0) dt = О Поэтому, учитывая монотонность F и (33), (34), получим 1 т у lim —flb„(0 zafdt 1 г -г 1 (35") 1 т Заметим теперь, что в силу монотонности F из (34) следует оценка №. /МИГ 7 5- w)y{t dt где / главное сечение оператора F.
Действительно, уточним рассуждения теоремы 2.6 применительно к нашему случаю. Существование и единственность решения z0 включения (37) следует из леммы 2.3. Чтобы доказать, что рн - z0 по норме пространства Безиковича заметим, что согласно теореме Люстерника [43, с. 12] семейство {# „( )} содержит последовательность Ф,№) = („v) равномерно по R сходящуюся (в наших условиях) к некоторому вектору х0еН.
