Введение к работе
Актуальность темы исследования. Понятие макроэкономического процесса связано с понятием производственной деятельности и ее обобщенным описанием с использованием укрупненных, высокоагреги-рованных параметров и показателей. Примерами макроэкономических показателей могут служить: Валовой внутренний продукт, Валовой выпуск, Продукция I подразделения, Продукция II подразделения, Валовой национальный продукт, Национальный доход и т.д. Макроэкономический процесс описывается системой взаимосвязей между макроэкономическими показателями (системой уравнений, неравенств или иных соотношений, связывающих значения показателей в разные моменты времени).
Всякий экономический процесс протекает в условиях неопределенности, которая порождается большим количеством влияющих факторов. Гипотеза неопределенности имеет достаточно глубокое обоснование в трудах исследователей. Для ее изучения в настоящее время разработаны три математические теории: теория вероятностей (probability theory), теория правдоподобия (plausibility theory) и теория уверенности (belief theory). Эти три теории различаются в основном предположении о свойствах неопределенности. Если обозначить через А некоторое случайное событие заданного вероятностного пространства, а через СА - дополнительное событие, то в теории вероятностей предполагается, что функция вероятности р удовлетворяет равенству р(Л)+ р(СА)=1; теория правдоподобия строится на предположении, что функция правдоподобия Р1 удовлетворяет неравенству Р 1(A)+Р1( С А) >1; в теории уверенности функция уверенности Bel удовлетворяет неравенству Bel(A)+Bel(CA)
является теория вероятностей.
Как отмечает Недосекин А.О. в своей докторской диссертации, рыночная неопределенность часто не обладает классически понимаемой статистической природой. Далее, он обосновывает возможность решения проблемы неопределенности в этих случаях на основе теории нечетких множеств, заложенной около полувека назад в фундаментальных работах Лотфи Заде. Сам Заде определил нечеткие множества как инструмент построения теории правдоподобия. С тех пор научные категории случайности, правдоподобия и уверенности получают теоретическое разграничение. В настоящее время разработана интерпретация нечетких множеств не только в терминах теории правдоподобия, но и в терминах теории уверенности.
Случайность и нечеткость это два способа описания неопределенности и они принципиально различны. Теория вероятностей строится на идее: случайная величина | попадает в детерминированное множество А. Мера множества р(А) определяется как вероятность попадания в
него случайной величины |. Центральная идея теории нечетких множеств: детерминированное множество А накрывается нечетким Н. Мерой множества А в этом случае является либо Р1(А) - правдоподобность
того, что хотя бы одна точка из А принадлежит Н, либо Bel(X) - уверенность в том, что все точки множества А принадлежат Н. Если исследуется накрытие нечетким множеством одноточечного множества, то эти две меры совпадают. Различаются они, когда накрываются более сложные объекты.
Магистральное направление применения теории нечетких множеств в экономике - это обоснование форм характеристических функций (функций принадлежности - membership functions) соответствующих нечетких параметров и классификаторов, используемых в модели.
Расширение понятия множества и введение термина "нечеткое множество" в математической науке связывается с тем, что классическая теория (четких) множеств не позволяет адекватно описать многие проблемы, возникающие в современных приложениях. В частности, это касается исследований в области макроэкономики.
Анализ литературы показал, что сложности в применении нечетких методов для исследования макроэкономических процессов связаны с особенностью объекта, которая заключается в том, что отсутствуют достаточно представительные однородные выборки макроэкономических показателей. Это затрудняет применение широко используемых на микроуровне процедур построения характеристических функций нечетких показателей, таких, например, как нейронные сети. Это обусловило цель и задачи диссертации.
В связи с этим актуальной задачей является разработка методов нечеткого представления макроэкономических показателей.
Степень разработанности проблемы. В основе нечетких методов исследования лежит теория нечетких множеств. Это сравнительно молодая теория. Первая публикация в этом направлении датируется 1965 годом, когда американский математик Л. Заде опубликовал свою знаменитую работу: Zadeh L.A. Fuzzy Sets. Inf. And Control. 8(1965), 338-353. На нее сразу же откликнулись ряд крупных математиков (Wong С.К., Bezdek J., Laveuve S.E.). Очень скоро было замечено, что на новые объекты переносятся с соответствующими уточнениями многие свойства классических множеств. Была разработана теория нечетких мер (Zadeh Ь.Д.».Ш72)ніи|іЄТкал;7!^Гика (Zadeh L.A., 1975) нечеткая тополо-
L.A., 1973), нечеткая логика (Zadeh L.A., 1975) нечеткая топология (Wong С.К., 1975), теория нечеткого интеграла (Ralescu, D., and Adams G.„ 1980), нечеткая оптимизация (Takeda, Е. and Nishida, Т., 1980, Ver-degay, J.I., 1982), в математическую статистику вводится понятие нечеткого кластера (Bezdek J., 1981). Таким образом, математический фундамент нечетких методов исследования в основном был заложен во второй половине 20 века.
Прикладные результаты теории нечетких множеств можно проиллюстрировать на нескольких примерах. Так, сегодня зарубежный рынок нечетких контроллеров (разновидность которых установлена даже в стиральных машинах широко рекламируемой марки LG) обладает емкостью в миллиарды долларов. Нечеткая логика, как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).
Начиная с конца 70-х годов, методы теории нечетких множеств начинают применяться в экономических исследованиях. Так, Бакли [Buddy, 1992] рассмотрел систему дифференциальных уравнений с нечеткими параметрами и в этой же работе обосновал матрицу «затраты-выпуск» Леонтьева, элементы которой являются треугольными нечеткими числами. Отметим здесь же монографию [Кофман А., Хил Алуха X., 1992], в которой представлен широкий спектр возможных применений теории нечетких множеств - от оценки эффективности инвестиций до кадровых решений и замен оборудования, приводятся соответствующие математические модели.
Начали постепенно появляться программные решения и информационные технологии, решающие экономические задачи с применением нечетко-множественных описаний. Так, под руководством Зопоунидиса в Техническом университете на острове Крит была разработана экспертная система FINEVA для детального финансового анализа корпораций, содержащая в своем составе описания так называемых «грубых множеств» (rough sets) и базы знаний на этой основе [Nedovic L., De-vedzic V., 2002]. Чуть раньше в Германии, в конце 80-х годов, группой Циммермана была разработана система стратегического планирования ESP [Zimmerman H.-J., 2001], в которой реализуется позиционирование бизнеса корпорации на основе нечетких описаний конкурентоспособности и привлекательности бизнеса.
В настоящее время создана международная ассоциация SIGEF (International Association for Fuzzy Set Management & Economy) со штаб квартирой в Барселоне, которая регулярно апробирует новые результаты в
области нечетко-множественных экономических исследований, проводя ежегодные конференции и публикуя журнал Fuzzy Economic Review.
Было замечено, что нечеткие методы очень хорошо описывают деятельность человеческого мозга. Модель нейрона (McCulloch W.S., Pitts W., 1943), описанная в нечетких терминах (Hopneld J.J., 1982; Kohonen Т. 1984; Chua L.O. and L.Yang., 1988; Amari S., 1990), и моделирование механизма самообучения оказались мощным методом в теории распознавания образов и нашли широкое применение в разработке нечетких методов исследования микроэкономических задач, особенно в области финансов. Нечеткое описание лингвистической переменной (Zadeh L.A., 1975) позволило широко использовать нечеткие методы для оценивания качественных показателей.
Целью исследования является разработка методов построения характеристических функций нечетких образов макроэкономических показателей, определенных в терминах случайных величин, и разработка методики нечеткого макроэкономического анализа.
Задачи исследования:
-
разработка методов построения характеристических функций нечетких образов случайных величин и построение на этой основе нечетких образов макроэкономических показателей;
-
разработка методов построения нечетких зависимостей между макроэкономическими показателями;
-
разработка методики применения полученных в диссертации теоретических результатов к нечеткому анализу макроэкономических показателей.
Объект исследования - макроэкономические процессы, описываемые системой количественных макроэкономических показателей.
Предметом исследования является метод интервального представления данных, позволяющий выполнить не только построение нечетких образов макроэкономических показателей, но и лежащий в основе методов нечеткого макроэкономического анализа.
Теоретической, методологической и информационной базой исследования являются:
теория нечетких множеств и отображений;
теория вероятностей и математическая статистика;
теория оптимизации;
макроэкономическая теория;
разработки отечественных и зарубежных авторов по экономико-математическому моделированию;
отчетные и статистические данные российской экономики.
Методы исследования. Системный анализ, нечеткие методы обработки статистической информации, статистические методы. Выносимые на защиту основные научные результаты.
1. Новый оригинальный метод построения характеристической
функции нечеткого образа макроэкономического показателя, основан
ный на интервальном представлении данных (1).
2. Утверждение (см. леммы 1-2). Для любого а Є R+ характеристи
ческая функция нечеткого показателя, построенная на основе метода
интервального представления данных,
х+-
Аа(х) = Л$а)= \(№{t)
х—
суммируема по Лебегу, и справедливо равенство
= df i= \ }
win
=гь
Здесь Ф\Х) - функция распределения случайной величины, описывающей экономический показатель; а - параметр, определяющий точность нечеткого описания показателя.
3. Новые свойства вероятностных мер, порожденных интервальным представлением данных (см. леммы 3, 4). В частности, доказана справедливость формулы
I 2 т 2
FiW = Il— J - H'i''2 hnhdt2-dtm,
,3 , За. *і 2 *и—
где Ф[х) - исходная функция распределения экономического показателя ,, F\ (х) - функция распределения случайной величины г\, порожденной интервальным представлением показателя.
4. Свойство нечетких макроэкономических показателей (см. 3.3, эксперимент 1). Уменьшение точности нечеткого описания макроэкономического показателя (т.е. увеличение значения параметра а) приводит к увеличению степени правдоподобности прогноза (т.е. увеличению значения характеристической функции в наиболее правдоподобной точ-
ке), а увеличение точности приводит к уменьшению степени правдоподобности прогноза.
При этом обнаружилась разная чувствительность прогнозируемых темпов роста продукции I и II подразделений к точности нечеткого описания. Для обеспечения одной и той же степени правдоподобности прогнозов для темпа роста продукции II подразделения требуется значительно большее уменьшение точности по сравнению с темпом продукции I подразделения.
5. Методика нечеткого макроэкономического прогнозирования, которая обогащает детерминированный подход.
В разработанной методике нечеткого прогнозирования детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. 3.3, эксперимент 3).
Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что разработанный в диссертации подход к построению характеристических функций нечетких множеств на основе интервального представления данных является новым и позволяет эффективно решать прикладные задачи исследования макроэкономических процессов нечеткими методами. Введенный параметр точности нечеткого описания макроэкономического показателя впервые позволяет оценить для каждого значения показателя степень его правдоподобности и надежность сравнительной оценки вариантов прогноза.
Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании научно обоснованной методологии нечеткого исследования макроэкономических показателей, математическом доказательстве свойств характеристических функций нечетких показателей. Математические доказательства выполнены на основе фундаментальных теорем математического анализа, теории дифференцирования, теории меры и теории интеграла. Обоснованность прикладных результатов вытекает из применения предложенных в диссертации нечетких отображений с доказанными математическими свойствами и классических методов математической статистики для обработки выборочных рядов данных.
Практическая значимость.
Результаты диссертационного исследования впервые позволяют теоретически обосновать и обеспечить практическую реализацию методов нечеткого анализа макроэкономических показателей.
Преимущество данного подхода перед классическими (четкими) методами заключается в следующем. Каждый вариант детерминированного макроэкономического прогноза описывается однозначно определенной системой показателей, и варианты сравниваются на основе этих прогнозных значений. В разработанной методике нечеткого прогнозирования детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных в каждом варианте, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. 3.3, эксперимент 3).
Результаты диссертационной работы использованы в исследованиях, проводимых в соответствии с планом НИР ИЭОПП СО РАН и поддержанных грантом РГНФ № 00-02-00242 по теме «Экономико-математическое моделирование на основе нечетких множеств», (2000-2002); при подготовке обосновывающих материалов к докладу на Государственном совете РФ «Прогнозирование транспортной системы России: обоснование стратегических направлений с использованием экономико-математического инструментария (с учетом транзитных контейнерных перевозок)» (2003).
Разработанный подход к построению нечетких макроэкономических показателей включен в программу специального курса по макроэкономическому прогнозированию для студентов старших курсов экономического факультета НГУ.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались автором и получили положительную оценку на XII Байкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 24 июня - 1 июля 2001 г.; на XXXIX международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, 2001; на XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, 2002; на XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: экономика. Новосибирск, 2003.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ общим объемом 5 п.л., в том числе авторские - 3 п.л.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 108 наименования и четырех приложений. Основной текст изложен на 118 страницах, включает 7 рисунков и 18 таблиц.
