Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование и оптимальный набор численных моделей рассеяния пучка электронов в твёрдой мишени применительно к высокоэнерге тической электронной литографии 13
1.1 Моделирование движения электрона в мишени 13
1.1.1 Особенности моделирования траектории движения электрона в твёрдом теле методом Монте-Карло 13
1.1.2 Модели упругого взаимодействия электрона с атомом 21
1.1.2.1 Формула Резерфорда, учитывающая экранировку заряда ядра.
Экранирующий параметр и функциональный вид дифференциального сечения упругого рассеяния 21
1.1.2.2 Дифференциальное сечение Мотта 24
1.1.3 Модели неупругого рассеяния электрона. Энергетические потери28
1.1.3.1 Непрерывные потери энергии ~ 28
1.1.3.2 Дискретные потери энергии 37
1.1.3.3 Виды энергетических потерь, неучтённые при моделировании переноса электронов в твердом теле 45
1.2 Сравнение моделей упругого и неупругого рассеяния. Оптимальный
набор моделей. Сравнение результатов численного счёта с экспериментальными данными 47
1.2.1 Сравнение моделей упругого рассеяния 50
1.2.2 Сравнение моделей неупругого рассеяния 55
1.2.3 Сравнение результатов численного счёта по оптимальному и
классическому наборам моделей с экспериментальными данными 60
Выводы 69
Глава 2. Модель генерации и поглощения тормозного рентгеновского излучения 71
2.1 Модели генерации и поглощения тормозного излучения 71
2.2 Смешанная модель генерации и поглощения тормозного излучения .. 77
2.2.1 Генерация излучения 77
2.2.2 Поглощение излучения 86
2.2.3 Сравнение результатов расчёта с экспериментальными данными и с результатами расчётов других авторов 89
Выводы 94
Глава 3. Исследование влияния тормозного излучения на работу МОП-транзисторов и оценка вклада тормозного излучения в поглощённую энергию в резисте 95
3.1 Оценка влияния тормозного излучения на работу МОП-транзисторов...
3.2 Оценка вклада тормозного излучения в поглощённую энергию в резисте 103
Выводы 109
Глава 4. Расчёт и минимизация эффекта нежелательной засветки резивта присоздании масок для рентгеновской и проекционной электронной литографий
4.1 Расчёт поглощённой энергии в резисте при создании масок для проекционной электронной и рентгеновской литографий 115
4.2 Минимизация эффекта близости путём перфорации подложки 120
Выводы 127
Глава 5. Роль вторичных электронов в моделировании проявленных профилей резистов 128
5.1 Модель растворения электронных резистов 128
5.2 Процедура определения модельных параметров резиста. Сравнение результатов численного счёта с экспериментальными данными 131
Выводы 136
Заключение 137
Литература 139
Благодарности 150
Список используемых сокращений 151
- Особенности моделирования траектории движения электрона в твёрдом теле методом Монте-Карло
- Смешанная модель генерации и поглощения тормозного излучения
- Оценка вклада тормозного излучения в поглощённую энергию в резисте
- Минимизация эффекта близости путём перфорации подложки
Введение к работе
В настоящее время оптическая литография остаётся основной микролитографической технологией для промышленного изготовления ИС с размерами воспроизводимых элементов меньше 100 нм [1]. Несмотря на это, сохраняется устойчивый интерес к использованию различных видов электронной литографии. Наибольший интерес наблюдается к использованию электронно-лучевой (ЭЛ) литографии (описание ЭЛ литографии можно найти, например, в [2,3]), где формирование рисунка осуществляется путём прямого управления лучом маленького размера (вплоть до нескольких нанометров [4]), а минимальные размеры элементов доходят до 10 нм [5,6]. В силу недостаточно высокой производительности ЭЛ литография в основном используется для создания опытных образцов новых поколений полупроводниковых приборов и устройств, а также отдельных, наиболее критических участков топологии ИС до момента полной адаптации основной (фотолитографической) технологии к новым проектным нормам. Другое применение ЭЛ литографии связано с созданием шаблонных масок для других видов литографии.
Существенно большей производительностью по сравнению с ЭЛ литографией обладает проекционная электронная литография (ПЭЛ), принцип работы которой состоит в том, что экспонирование резиста осуществляется широким пучком электронов, проходящим через шаблонную маску. Примерами ПЭЛ служат SCALPEL [7] и PREVAIL [8]. Несмотря на то, что ПЭЛ обладает меньшей производительностью по сравнению с другими видами литографии следующего поколения /англ. Next Generation Lithography/, на момент появления этой разновидности литографии она рассматривалась в качестве возможного кандидата для производства ИС с проектными нормами 100 нм и меньше. К сожалению, дополнительные трудности, возникающие при создании элементов с размерами ниже 100 нм, существенно сузили круг возможных применений ПЭЛ. В частности в SCALPEL из-за расплывания изображения, связанного с
кулоновским отталкиванием одноименно заряженных электронов, размеры воспроизводимых элементов не могут быть меньше «80 нм [9].
Наряду с вышесказанным основной причиной ограниченного использования различных видов электронной литографии является наличие эффекта многократного рассеяния электронов в резисте и их обратного рассеяния от подложки (эффект близости) [2]. В ЭЛ литографии при создании масок для рентгеновской и проекционной электронной литографий эффект нежелательной засветки резиста называется затуманиванием /англ. "fogging-effect"/ [10]. Для подавления эффекта близости переходят к всё большим ускоряющим напряжениям (см. [4,10]) а также перфорируют подложку [10]. Большее ускоряющее напряжение приводит к тому, что прямо рассеянные электроны (ПРЭ) /англ. "forward scattered electron"/ в резисте меньше отклоняются от первоначального направления движения. С другой стороны увеличение ускоряющего напряжения приводит к существенному росту области нежелательной засветки резиста обратно рассеянными электронами (ОРЭ) /англ. "backscattered electrons"/ (см. [4,11]). Например, для резиста ПММА толщиной 300 нм, расположенного на кремниевой подложке радиус нежелательной засветки увеличивается с 10 мкм для напряжения 10 кВ до 70 мкм для напряжения 100 кВ.
При разработке и оптимизации литографических процессов с целью устранения или минимизации вышеупомянутых эффектов значительную роль играет математическое моделирование. Важность математического моделирования процессов электронной литографии обусловлена дороговизной проведения исследований на экспериментальных установках. Так в ЭЛ литографии время экспонирования одной пластины может достигать суток [12], а в ПЭЛ на данный момент вообще не существует установок для промышленного изготовления ИС.
Несмотря на то, что моделирование процессов электронной литографии ведётся с 70-х годов и существует гигантский задел в этой области [2,13-37], он в основном ограничивается диапазоном ускоряющих напряжений до 50 кэВ, или не включает моделирование таких эффектов как затуманивание или влия-
ниє рентгеновского излучения на свойства тонких плёнок. Поэтому моделирование указанных процессов с начальной энергией ~100 кэВ представляет собой самостоятельную задачу. Вместе с тем, в лаборатории Математического моделирования физико-технических процессов микроэлектроники (ЛММФТПМ) Физико-технологического института РАН исследования в области математического моделирования литографических технологий проводились с начала 80-х годов, и значительный опыт был накоплен, в том числе, и в области моделирования процессов электронной литографии [2,38,39]. Однако вместе с продолжающимся прогрессом в области электронографических технологий разработанные ранее в ЛММФТПМ модели и методы стали нуждаться в дальнейшем усовершенствовании. Так при расчёте плотности поглощённой в веществе энергии, которая является основной информацией для моделирования проявленных профилей резистов, необходимо правильно учитывать физические эффекты, влияющие на пространственное распределение плотности поглощённой энергии в резисте. К таким эффектам можно отнести упругое и неупругое рассеяние электронов на атомах [2,40], генерацию вторичных электронов [13,41,42], генерацию тормозного и характеристического рентгеновского излучения [13,40,41], Оже-эффект [40], рассеяние электронов на плазменных колебаниях среды [43,44]. Сам расчёт плотности поглощённой энергии осуществляется путём моделирования переноса электронов в твердой среде методом Монте-Карло [2,13,55] и основан на предположении о рассеянии движущегося электрона на уединённых атомах вещества. Всегда существует вопрос как более точно рассчитать распределение поглощённой в резисте энергии, влияющей на скорость травления, при разумных затратах машинного времени. Поэтому, для достижения компромисса между скоростью и точностью выделяют те эффекты, учёт которых позволяет с достаточной степенью точности проводить расчёт переноса электронов в твёрдых мишенях. Здесь мы говорим о явлениях упругого и неупругого (сопровождающегося ионизацией) рассеяния электронов на атомах. Для определённости в дальнейшем указанные процессы будем называть основными. Несмотря на наличие большого количества альтернативных моде-
лей на каждый основной эффект, в настоящий момент не выделен их оптимальный набор1.
Как уже упоминалось выше, помимо моделирования переноса электронов в мишени самостоятельный интерес представляет исследование влияния рентгеновского излучения, возникающего за счёт проникновения электронного пучка в мишень, на свойства тонких оксидных плёнок, которые присутствуют в мишени в качестве будущих подзатворных диэлектриков в металл-оксид-полупроводниковых транзисторах (МОП-транзисторы). Между тем существующие работы [18,20-24] по расчёту переноса рентгеновского излучения в твердой мишени не отражают вышеуказанного вопроса, равно как и не рассматривают сравнение поглощённой в резисте энергии рентгеновского излучения с неупругими потерями электрона, сопровождающимися ионизацией.
Несмотря на большое внимание, которое уделяется расчету плотности поглощенной энергии, следует отметить, что основной целью литографического процесса является образование резистной маски, которая служит для локальной обработки нижележащего конструкционного слоя. Такая маска получается в результате, как правило, жидкостного травления облучённого по заданному шаблону резиста. При расчёте проявленных профилей резиста широкое применение получила полуэмпирическая модель жидкостного травления (см. [45-49]), характерной особенностью которой является наличие параметров, определяемых из эксперимента. Осуществив подбор параметров модели травления резиста, удаётся достичь совпадения расчётных характеристик технологического процесса с экспериментальными данными. Такое совпадение может быть улучшено с учётом роли вторичных электронов в электронолитографическом процессе.
Принимая во внимание актуальность выше обозначенных проблем, целью работы было исследование методов математического моделирования процессов электронно-лучевой и проекционной литографий в области ускоряющего напряжения ~ 100 кВ и использование математического моделирования для
1 Под оптимальным набором расчётных моделей мы понимаем такой набор моделей, который обеспечивает разумную длительность получения численных результатов, а также наилучшее их соответствие экспериментальным данным.
оптимизации этих процессов. Решение поставленной задачи включало в себя следующие этапы:
численное моделирование переноса электронов с энергиями в диапазоне от нескольких сотен электрон-вольт до 100 кэВ в твердых мишенях с произвольным количеством слоев и с произвольными толщинами, в том числе с толщинами много меньших средних длин свободного пробега электрона;
численное моделирование порождения и распространения тормозного рентгеновского излучения в многослойных мишенях;
расчёт скрытого изображения в резисте, находящегося на тонкой мембране, удалённой от подложки на расстояние порядка тысячи микрометров, с учётом эффекта затуманивания, а также минимизация эффекта близости в таких мишенях путём перфорации подложки.
полуэмпирическое моделирование процесса жидкостного травления резиста.
Научная новизна проведённой работы заключается в том, что
Проведено исследование методов моделирования методом Монте-Карло процессов распространения электронов с энергией вплоть до 100 кэВ в твёрдых мишенях.
Разработана оригинальная смешанная модель генерации и поглощения тормозного излучения, использование которой позволяет рассчитывать величину поглощённой энергии излучения в резисте и исследовать влияние тормозного излучения на величину отпирающего напряжения в МОП-транзисторах.
Разработана оригинальная адекватная модель расчёта скрытого изображения в резисте, расположенного на тонкой мембране, удалённой от подложки на расстояние порядка тысячи микрометров.
Практическая ценность
1. На основании сравнения результатов моделирования с экспериментальными данными, полученными разными авторами, выделен оптимальный
набор моделей, описывающих упругое и неупругое рассеяния электронов в веществе, и обеспечивающий разумную длительность получения численных результатов, а также наилучшее их соответствие экспериментальным данным.
2. С помощью смешанной модели генерации и поглощения тормозного
рентгеновского излучения в мишени установлено, что тормозное излуче
ние не влияет на
а) величину смещения отпирающего напряжения, возникающего в ре
зультате поглощения тормозного излучения в тонких диэлектриче
ских плёнках, использующихся в качестве подзатворных диэлек
триков в МОП-транзисторах,
б) величину поглощённой энергии в резисте.
Это позволяет пренебречь учётом тормозного излучения в случае наиболее важных технических приложений.
Математическое моделирование, проведённое в случае мишеней с большим вакуумным зазором, показало, что коэффициент обратного рассеяния можно сделать существенно меньше (в случае с кремнием практически на порядок), если подложка перфорирована и геометрические параметры отверстий характеризуемая оптимальными значениями.
На примере расчёта проявленных профилей негативного, химически усиленного электронного резиста NEB22 показана необходимость учёта вторичных электронов для корректного расчёта скрытого изображения, формируемого элементами шаблона с размерами меньше 100 нм.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.
В первой главе даётся краткое описание метода Монте-Карло статистического моделирования траекторий электронов, основанного на различных выражениях для дифференциальных сечений процессов упругого и неупругого взаимодействия электрона с атомом. Проводится критический анализ этих се-
чений, на основании которого делаются выводы о преимуществах одних сечений перед другими. Рассматривается процесс порождения вторичных электронов. Сравниваются результаты моделирования методом Монте-Карло движения электронов с энергией вплоть до 100 кэВ с экспериментальными данными, полученными разными авторами. Даются рекомендации по использованию тех или иных моделей, выделяется оптимальный набор моделей.
Во второй главе развита оригинальная смешанная модель дискретного порождения и непрерывного поглощения тормозного рентгеновского излучения в мишени с произвольным количеством слоев. В основу развитого алгоритма положен метод Монте-Карло статистического моделирования актов генерации фотонов и закон экспоненциального поглощения излучения с учётом известных зависимостей массовых коэффициентов поглощения излучения от энергии. Расчёт излучения проводится на базе моделей переноса электронов в мишени методом Монте-Карло по оптимальному набору моделей, установленному в первой главе. Модель тестируется путём сравнения с экспериментальными данными и расчётами других авторов.
Третья глава является практическим приложением второй главы. Здесь рассчитываются количества поглощённых фотонов в тонких диэлектрических плёнках, которые являются подзатворными диэлектриками в МОП-транзисторах. На основании этих расчётов делается оценка смещения величины отпирающего напряжения в МОП-транзисторах. Проводится расчёт и сравнение поглощённой энергии тормозного излучения в резисте с поглощённой энергией при неупругих рассеяниях электронов на атомах, сопровождающихся ионизацией.
В четвертой главе на примере SCALPEL развита модель, позволяющая рассчитывать поглощённую в резисте энергию, обусловленную обратно рассеянными от подложки электронами, удалённой от тонкой мембраны, на которой расположен резист, на расстояние порядка тысячи микрометров. В этой же главе развита математическая модель перфорированной подложки, с целью минимизации эффекта близости. Рассмотрены круглые и сотовые отверстия. На при-
примере кремниевой подложки осуществляется поиск оптимальных значений геометрических параметров отверстий.
В пятой главе описывается схема расчёта послеэкспозиционной обработки резиста для получения проявленных профилей электронных резистов. При этом показана возможность моделирования негативных, химически усиленных резистов. Осуществляется сравнение расчётных результатов с экспериментальными данными. На примере негативного, химически усиленного электронного резиста NEB22 исследуется необходимость моделировать вторичные электроны при формировании скрытого изображения для корректного расчёта проявленных профилей
В заключение сформулированы основные научные положения и результаты, которые впервые получены в работе и выносятся на защиту.
Апробация работы
Результаты, представленные в работе, были опубликованы в работах [11,50,51,52,53,54]; Силаков М.В., Бабушкин Г.А., Валиев К.А., Ивин В.В., Махвиладзе Т.М., Исследование численных моделей рассеяния электронов в твёрдой мишени применительно к высокоэнергетической электронной литографии: Препринт ФТИАН №24. - М.: МАКС Пресс, 2003. - 64 с; Силаков М.В., Бабушкин Г.А., Валиев К.А., Ивин В.В., Махвиладзе Т.М., Расчёт тормозного излучения в электронной литографии, его влияние на работу МОП-транзисторов и оценка вклада тормозного излучения в поглощённую энергию в резисте: Препринт ФТИАН №25. - М.: МАКС Пресс, 2003. - 40 с; докладывались на следующих международных конференциях: 26th International Conference on Micro- and Nano-Engineering 2000 (Йена, Германия); SPIE Microlithography Symposium 2001 - Emerging Lithographic Technologies V (Сан-та-Клара, США); 27th International Conference on Micro- and Nano-Engineering 2001 (Гренобль, Франция); Nano and Giga Challenges in Microelectronics Research and Opportunities (Москва, Россия); на семинарах ФТИАН.
Особенности моделирования траектории движения электрона в твёрдом теле методом Монте-Карло
При моделировании распространения электрона в твёрдом теле методом Монте-Карло считается, что а) электрон движется по траектории, которая представляет собой лома ную линию с изломами, соответствующими упругому или неупругому рассеянию на уединённых атомах вещества; б) атомы, на которых происходит рассеяние, считаются неподвижными. Действительно, при энергиях электрона, много больших энергии связи атомов в твёрдых телах, а также много больших величин ширины запрещённой зоны в диэлектриках и полупроводниках и энергии Ферми в металлах, можно ограни читься одноатомным приближением, то есть считать, что твёрдое тело состоит из невзаимодействующих уединённых атомов. Предположение о движении электрона по траектории, накладывает ограничения снизу на величину его ки -13 нетической энергии. Это следует из того, что понятие траектории движения электрона в твёрдом теле существует в том случае, когда его длина волны де Бройля много меньше среднего межатомного расстояния. В нерелятивистском приближении дебройлевская длина волны электрона равна . _ 2пЬ 4lmE где Е - кинетическая энергия электрона, h - постоянная Планка, т - масса электрона. Для Е = 100 кэВ имеем X « 0.039 А, для Е—\ кэВ - А, « 0.039 А, для Е = 10 эВ — X » 3.9 А. Оценка среднего межатомного расстояния для простых материалов даёт следующее выражение \А Іа.е.м. где А - массовое число, Іа.е.м. « 1.66-10" г. Отсюда мы видим, что для кремния - Ls\ « 2.7 А, для меди — ZQ, « 2.3 А, для золота - LAu » 2.6 А. Среднее значение по этим трём материалам L примерно равно 2.5 А. Расстояние Л = 10- 2 « 25 А соответствует кинетической энергии движущегося электрона Е\ » 76 эВ 100 эВ. Таким образом, понятие траектории существует для электронов с энергиями выше или порядка 100 эВ. В связи с этим при моделировании движения электрона нужно прекращать расчёт, когда значение энергии опускается ниже величины Е„ип равного или порядка 100 эВ. При этом электрон будет считаться остановившимся, а вся его энергия - выделенной в точке остановки. Как видно, существует некоторый произвол в выборе Е„ап- Естественным образом было бы считать значение Е„йп для каждого вещества своим. Так было решено выбирать iimin равной значению среднего потенциала ионизации атомов вещества (см. формулу (1.12) из 1.1.3.1). Но в этом случае, в силу сильного различия значений минимальной энергии, на границе лёгкого и тяжёлого материалов будет существовать эффективный энергетический барьер, который приводит к физически неадекватному накоплению избыточного отрицательного заряда на границе. Это хорошо видно на рис. 1.1, где схематически показаны два электрона, движущиеся из области с лёгким кремнием (Js\ =170 эВ) в об -14 ласть с тяжёлым вольфрамом (Jw = 750 эВ). При этом у одного электрона El Jw, а у другого - JSi Е2 J-w, поэтому второй электрон будет считаться остановившимся на математической границе двух сред. В связи со сказанным значение іГтіп должно быть одним и тем же для всех материалов. Согласно оценкам, проведённым ранее в этом разделе, эта величина выбирается равной 100 эВ. Отметим, что в некоторых работах, например [19], Е полагают равной 10 эВ, что представляется неадекватным.
Используя указанные выше предположения, приведём основную идею расчёта траекторий электронов методом Монте-Карло. Процессы упругого и неупругого рассеяния электрона на атомах вещества носят случайный характер, а их вероятность определяется дифференциальными сечениями. Зная выражения для этих сечений, последовательно рассчитывается ряд траекторий. Количество рассчитанных траекторий определяет статистическую достоверность интересующих исследователя усреднённых физических характеристик процесса, таких как, например, коэффициент обратного рассеяния, пространственное распределение плотности выделенной энергии.
Если рассчитанная длина свободного пробега такова, что электрон, пройдя её, пересечёт границу двух различных сред, тогда эту длину нужно пересчитывать с учётом свойств этих сред по граничным условиям, описанным в работе [56]. Для иллюстрации важности использования этих граничных условий рассмотрим средние длины свободного пробега электрона в ПММА, Сг, Мо и Si. Для энергии 100 кэВ эти величины равны 220, 20, 12 и 70 нм соответственно. Исходя из указанных значений средних длин свободного пробега, можно заключить, что учёт граничных условий принципиален при рассмотрении пересечения высокоэнергетическим электроном слоев ПММА (300 нм), Сг (100 нм) и тонких плёнок Мо ( 2 нм), Si ( 4 нм), которые присутствуют в масках для литографии в области крайнего ультрафиолета (КУФ литографии) [57]. Это хорошо видно на рис. 1.2, где в сравнении представлены зависимости плотности поглощённой энергии от глубины мишени, рассчитанные с и без учета граничных условий. Можно заключить, что значения поглощённой энергии в ПММА практически не отличаются друг от друга, в то время как для всех остальных слоев наблюдаются заниженные значения (Сг - 13%, Мо - 16%, Si - 18%) в случае моделирования траектории электрона без учёта граничных условий. Это может быть объяснено тем, что электроны, которые распространяются вглубь мишени и дают основной вклад в поглощённую энергию, "переносят" свойства выше лежащих слоев на ниже лежащие на величину порядка средней длины свободного пробега. А так как для лёгких материалов значения этих длин являются существенно большими по сравнению с длинами для тяжёлых материалов, то в Сг и Мо, которые можно отнести к тяжёлым материалам, наблюдается уменьшение величины поглощённой энергии. Неучёт граничных условий, приводит также к тому, что электроны испытывают, меньшее количество упругих и неупругих рассеяний на атомах тяжёлых элементов, что в итоге приводит к меньшему уширению пучка и, как следствие, к меньшим значениям средних длин пути электрона в слоях. А так как энергетические потери на единицу длины пути практически не меняются по глубине однородной плёнки, то поглощённая энергия будет меньше.
Смешанная модель генерации и поглощения тормозного излучения
Итак, непрерывный подход предназначен для расчёта спектра излучения, выходящего с поверхности плоского образца, в детекторе. Использование же дискретного подхода позволяет рассчитывать не только спектр излучения в детекторе, но и моделировать количество поглощённой энергии в любой части мишени. Отметим, что непрерывный подход также можно адаптировать для расчёта количества поглощённой энергии в мишени. Но в этом случае время получения результатов становится неприемлемо большим [52] из-за того, что на каждой длине свободного пробега электрона необходимо осуществлять пе-ресчёт d o/dWdQ из системы координат, связанной с электроном, в лабораторную систему координат. Таким образом, получается, что использовать непрерывный подход при расчёте поглощённой энергии в мишени нецелесообразно и остаётся дискретный подход. Однако, несмотря на возможность использования дискретного подхода для расчёта тормозного излучения в мишени, предлагается новая смешанная модель дискретного порождения и непрерывного поглощения излучения в мишени. Преимущества и недостатки обеих моделей будут рассмотрены ниже. Сама смешанная модель содержит одно допущение, которое заключается в том, что характерный размер области экспонирования мишени D должен быть много больше характерного расстояния L отклонения электрона в сторону от точки вхождения в мишень (см. рис. 2.1). В рамках этого допущения, можно считать, что в пределах расстояния L от рассматриваемой точки интенсивность излучения и поглощения не зависят от координат в плоскости z = const, а являются функциями только глубины мишени. Подробное описание смешанной модели будет представлено в 2.2. Здесь же отметим главную идею модели, которая состоит в том, что в процессе порождения излучения генери-руются фотоны согласно дифференциальному сечению d o/dWdQ.. Значения энергий фотонов, разыгрываемые случайным образом, суммируются в трёхмерном массиве, ячейки которого соответствуют длине волны, углу и глубине в мишени, где угол отсчитывается от вертикальной оси в лабораторной системе координат. Этот массив является дискретным аналогом дифференциальной характеристики энергетических потерь за счёт тормозного излучения a E/dMOdz. Процесс поглощения излучения в слое определяется путём интегрирования d E/dMOdz по всем углам, всем ячейкам по z и по всем длинам волн Я испущенных фотонов. При интегрировании учитываются массовые коэффициенты затухания излучения всех слоев, лежащих на пути между рассматриваемым слоем и испускающим слоем на глубине z.
Рассмотрим преимущества и недостатки дискретного подхода и смешанной модели. Дискретный подход является универсальным с точки зрения геометрии мишени. Он может быть легко распространен на случай моделирования электронно-фотонного транспорта в двухмерных и, даже, трёхмерных мишенях. Этого нельзя сделать, используя смешанную модель генерации и поглощения тормозного излучения. Как оказывается, этого и не нужно при исследовании влияния излучения на свойства резиста и отдельных слоев (см. главу 3), так как в этом случае достаточно рассмотрения одномерных мишеней. С другой стороны, используя дискретный подход, необходимо моделировать все стадии порождения и поглощения излучения: определение энергии сгенерированного фотона, определение его угла вылета, моделирование всех процессов упругого и неупругого взаимодействия фотонов с элементами вещества до полного его поглощения в мишени либо вылета из неё. Отметим, что при расчёте поглощённой энергии излучения или количества фотонов в тонких слоях (см. главу 3) для получения статистически адекватных результатов необходимо моделировать довольно большое количество фотонов, и, как следствие, ещё гораздо большее количество электронов. Использование же смешанной модели исключает процедуру расчёта траекторий фотонов, заменяя её интегрированием на конечной стадии всего расчёта.
Как видно из формулы (2.5) средняя длина свободного пробега электрона между актами генерации тормозного кванта зависит от величины минимальной энергии фотона . Вообще говоря, величина Wm\n зависит от энергии электрона и от материала, в котором электрон движется. Но для расчётов удобнее использовать величину й п, являющуюся постоянной. В работе [20] Wjmn выбирается порядка нескольких сотен эВ.
Схема определения полярного угла вылета подробно описана в работе [23]. Величина азимутального угла получается из предположения равной вероятности азимутальных направлений вылета. Азимутальный и полярный углы вылета фотона в системе координат, связанной с электроном, легко переводятся в углы лабораторной системы координат. Полученная энергия аккумулируется в трёхмерном массиве cfE/dMOdz, ячейки которого соответствуют длине волны, ази -80 мутальному углу в лабораторной системе координат и глубине в мишени. Этот массив в дальнейшем (см. 2.2.2) будет использоваться при расчёте поглощения излучения в слоях.
Следует отметить, что моделирование генерации тормозного излучения методом Монте-Карло при непосредственном использовании выражения (2.2) сопряжено с одной трудностью. Дело в том, что вероятность излучения тормозного кванта очень низкая. Так, например, было обнаружено, что в среднем на 70 электронов падающих по нормали на кремниевую подложку с энергией 100 кэВ порождается только один фотон. Вероятность испущенному фотону поглотиться, например, в тонкой ( нескольких нанометров) плёнке очень низкая. В связи с этим, применительно к задаче определения поглощённой энергии излучения в тонких плёнках, становится необходимым моделировать гигантское, практически недоступное даже для современных ЭВМ, количество падающих на мишень электронов. Например, для получения распределения по глубине в SiC 2 плёнке толщиной 2 нм, расположенной на кремниевой подложке, необходимо моделировать порядка 108 электронов. В связи с этим было решено использовать так называемый коэффициент усиления Р& [23] вероятности испускания тормозного кванта (то есть вероятность умножается на Р&). При этом результирующая энергия излучения, а также поглощённые энергия и количество фотонов должны делиться на этот фактор. Очевидно, что такая процедура незаконна, если коэффициент усиления Pfr слишком большой. То есть при Pfr таком, что сильно нарушается условие (2.6) получится следующая ситуация. Процесс излучения станет доминирующим, и за счёт излучения на длине пробега между актами упругого или неупругого рассеяния будут наблюдаться существенные потери энергии. Это, в конечном счёте, приведёт к искажению картины углового распределения покинувших мишень электронов.
Оценка вклада тормозного излучения в поглощённую энергию в резисте
Тормозное излучение появляется во время экспонирования мишени пучком электронов. Сгенерированное излучение распространяется в мишени, одновременно поглощаясь в ней. При этом поглощённая энергия излучения может оказывать влияние на характеристики проявленных профилей. Это связано с тем, что поглощение фотона сопровождается порождением фотоэлектрона с практически одновременным испусканием характеристического кванта излучения либо оже-электрона (см. 1.1.3.3 и 3.1). Порождённые в резисте электроны распространяются в нём и приводят к разрыву полимерных цепочек (в случае позитивных резистов) или образованию новых связей между полимерными цепочками (в случае негативных резистов). Из закона сохранения энергии следует, что только часть поглощённой энергии излучения переходит в энергию сгенерированных электронов. Но в данной работе для оценки сверху при рассмотрении вклада тормозного излучения в поглощённую энергию, являющуюся мерой количества актов химических превращений, считается, что вся поглощённая энергия излучения идёт на генерацию электронов.
Для того чтобы можно было пользоваться этой моделью, должно выполняться основное предположение (см. 2.1), которое заключается в том, что область экспонирования мишени должна быть много больше характерного расстояния отклонения электрона в сторону от точки вхождения электрона в мишень. В случае ПЭЛ, а также в случае ЭЛ литографии, где электронным пучком шаг за шагом осуществляется экспонирование резиста, расположенного на слоистой структуре, которая расположена на подложке, это предположение заведомо выполнено, так как размер экспонируемой области составля-ет 10 х 10 мм , а отклонение электронов в сторону от точки вхождения 100 мкм. В случае ЭЛ литографии при создании масок для проекционной электронной и рентгеновской литографий, в которых присутствуют вакуумные зазоры порядка одного миллиметра, это условие также выполняется, так как размер экспонируемой области составляет 50 х 50 мм , а отклонение электронов, которые дают вклад в поглощённую энергию в резисте, в сторону от точки вхождения 10 мм (см. 4.1).
На рис. 3.5 представлены результаты для стека №2. Здесь основной вклад в поглощённую энергию излучения в резисте вносит Та с Z = 73, находящийся непосредственно под резистом. В этом случае отношение минимального и максимального значений в скрытом изображении в резисте равно 7-Ю"2, а отношение величины плотности поглощённой энергии тормозного излучения к минимальному значению скрытого изображения - 4-Ю"4.
На рис. 3.6 представлены результаты для стека №3, который отличается от стека №1 наличием большого зазора между мембраной и подложкой. Отношение минимального и максимального значений в скрытом изображении в резисте с Si подложкой равно 0.3, с W подложкой - 0.6. Отношение значения плотности поглощённой энергии тормозного излучения к минимальному значе-нию скрытого изображения составляет 6-10 для Si подложки и 3-10" для W подложки.
Из приведённых выше соотношений видно, что даже при наличии вольфрамовой подложки, обладающей высокой плотностью и большим Z, величина отношения поглощённой энергии тормозного излучения к минимальному значению скрытого изображения .не больше 0.3%, а величина отношения поглощённой энергии тормозного излучения к максимальному значению скрытого изображения не больше 0.2%.
Профили скрытого изображения (линии 1 и 2) и поглощённой энергии тормозного излучения (линии 3 и 4) в резисте на глубине 0.15 мкм. Структура мишени: слой ПММА толщиной 0.3 мкм расположен на Si (линии 1 и 3) и W (линии 2 и 4) подложке. Экспонирование мишени осуществляется электронами с энергией 100 кэВ по шаблону 100 нм линия / 100 нм промежуток.
Профили скрытого изображения (линия 1) и поглощённой энергии тормозного излучения (линия 2) в резисте на глубине 0.15 мкм. Структура мишени: слой ПММА толщиной 0.3 мкм расположен на стеке для производства SCALPEL-масок (40 нм TaSi на 150 нм Si3N4). Экспонирование мишени осуществляется электронами с энергией 100 кэВ по шаблону 100 нм линия / 100 нм.
. Профили скрытого изображения (линии 1 и 2) и поглощённой энергии тормозного излучения (линии 3 и 4) в резисте на глубине 0.15 мкм. Структура мишени: слой ПММА толщиной 0.3 мкм расположен на стеке для производства SCALPEL-масок (40 нм TaSi на 150 нм SisN , удалённого от Si (линии 1 и 3) и W (линии 2 и 4) подложки на расстояние 1600 мкм. Экспонирование мишени осуществляется электронами с энергией 100 кэВ по шаблону 100 нм линия /100 нм промежуток. Доза облучения 25 мкКл/см .
Минимизация эффекта близости путём перфорации подложки
Для минимизации эффекта нежелательной засветки резиста необходимо минимизировать количество поглощённой энергии в резисте, обусловленной электронами, идущими от подложки. В свою очередь, величина этой энергии напрямую связана с количеством обратно рассеянных от подложки электронов. Поэтому задача о минимизации поглощённой энергии может быть заменена эквивалентной - минимизацией коэффициента обратного рассеяния. Для подложек, состоящих из атомов одного сорта, коэффициент обратного рассеяния слабо изменяется в диапазоне энергий падающих электронов от 50 до 100 кэВ (см. рис. 1.21). Он увеличивается с ростом Z и для пучка электронов, падающих по нормали на монолитную подложку, находится в диапазоне от 3.5% (бериллий) до 53% (уран) [102]. Но коэффициент обратного рассеяния также зависит и от текстуры подложки. А именно, как это продемонстрировано в работах [10,103], использование перфорированных подложек с круглыми или сотовыми отверстиями позволяет существенно снизить коэффициент отражения. В таком случае отверстия в подложке действуют как ловушки для электронов. Эффективность перфорации зависит от материала подложки и геометрических характеристик отверстий (коэффициента заполнения к, определяющего отношение суммарной площади отверстий ко всей площади поверхности подложки; площади и глубины отверстия; геометрического расположения на поверхности).
В качестве материала перфорированной подложки был выбран кремний, так как для него хорошо разработаны методы анизотропного травления отверстий с практически вертикальными стенками и максимальным соотношением радиус отверстия к глубине 1:30 [11]. Исследовалось два вида перфорации: круглые и сотовые отверстия, имеющие глубину 3000 мкм [10] и расположенные в логических сотовых ячейках, также как в работах [10,103].
Эффект перфорированной подложки исследовался на структуре для создания SCALPEL масок (слой резиста ПММА толщиной 300 нм, расположенный на SCALPEL мембране, удалённой от держателя с вставленной перфорированной кремниевой пластиной). Электроны, падающие на такую структуру, проходят сквозь резист и мембрану практически без потерь энергии и с небольшим уширением пучка (основное количество электронов отклоняется не более, чем на 10). Поэтому для упрощённой оценки можно пренебречь угловым рассеянием, считая, что электроны падают на перфорированную подложку под прямым углом. Известно, что обратно рассеянные от монолитной подложки электроны распределены по закону косинуса [2]. Тогда, аналогично [103], пренебрегая краевыми эффектами и не учитывая отражения от стенок отверстий, можно рассчитать коэффициент обратного рассеяния от подложки. Для круглых отверстий он записывается в виде где к - коэффициент заполнения поверхности отверстиями, 7j0 - коэффициент отражения электронов, падающих с энергией 100 кэВ по нормали на монолитную кремниевую подложку, R — радиус отверстия, р = \р\, где р— вектор, направленный от центра дна отверстия к точке падения электрона на дно, (р- угол между вектором р и проекцией вектора скорости отразившегося электрона на плоскость дна. Наглядное пояснение обозначений можно найти на рис. 4.7.
Рассчитанные по формуле (4.9) коэффициенты обратного рассеяния в зависимости от радиуса отверстия R представлены на рис. 4.8 при различных значениях коэффициента к. Для сравнения на этом же рисунке представлены результаты, рассчитанные методом Монте-Карло с учётом реальной трёхмерной геометрии подложки. Как можно видеть из рисунка, при больших значениях R тенденции кривых, полученных обоими способами, совпадают, однако в случае приближённого расчёта коэффициент отражения является заниженным. Эта разница увеличивается с ростом к и объясняется тем, что не учтено отражение электронов от стенок отверстий. Максимальное различие наблюдается при к = Ял/З/2 « 0.907 и составляет при R = 4000 мкм примерно 20%. При больших к и малых R наблюдается качественное различие результатов, что объясняется тем, что при таких значениях к и R стенки между отверстиями становятся тонкими, электроны проходят сквозь них и поэтому в приближённом расчёте нарушается условия применимости модели. Более того, качественная картина при низких значениях к и R не изменится, даже если учесть отражение электронов от боковых стенок отверстий. Между тем, кривые, полученные строгим расчётом, имеют точку минимума, что позволяет определить оптимальное значение геометрических параметров отверстий. Поэтому необходимо проводить расчёт методом Монте-Карло с учётом реальной трёхмерной геометрии подложки. Далее будут обсуждаться только результаты, полученные строгим расчётом.
Математическое моделирование отверстий осуществляется по следующей схеме. При пересечении геометрического места точек в пространстве, соответствующих отверстию, считается, что электрон движется по прямой без каких либо соударений и потерь энергии.
Отметим, что при наличии сотовой перфорации наблюдается следующая зависимость от к коэффициента отражения. Для любого значения длины сотового отверстия с ростом от 0 до некоторого значения к коэффициент обратного значения уменьшается, дальнейшее увеличение к от к п до 1 приводит к монотонному увеличению величины коэффициента обратного рассеяния (см. рис. 4.9) до значения, соответствующему коэффициенту обратного рассеяния от монолитной подложки, расположенной под отверстиями. Это связано с тем, что стенки между сотовыми отверстиями становятся всё более тонкими и электроны всё меньше «чувствуют» их.
Отметим, что размеры отверстий-ловушек довольно большие и с технологической точки зрения изготавливать такие перфорированные подложки довольно просто. Кроме того, это простой способ достичь практически полного подавления эффекта нежелательной засветки при минимальных изменениях, вносимых в технологический процесс.
