Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Эквивалентные схемы и SPICE параметры полупроводниковых приборов 12
1.1 Вольтамперная характеристика р-n перехода 13
1.2 Пробой р-n перехода 16
1.3 Схема замещения полупроводникового диода 18
1.4 Вольтамперная характеристика биполярного транзистора 22
1.5 Схема замещения биполярного транзистора 26
1.6 Выводы 44
Глава 2. Исследование методов построения мпогооткликовых моделей и планирование эксперимента 45
2.1 Метод максимального правдоподобия для оценивания коэффициентов многооткликовых моделей 45
2.1.1 Нелинейная модель 47
2.1.2 Линейная модель 47
2.1.3 Известная ковариационная матрица 48
2.1.4 Известная диагональная ковариационная матрица 48
2.1.5 Неизвестная диагональная ковариационная матрица 48
2.1.6 Неизвестная недиагональная ковариационная матрица 49
2.2 Анализ методов оптимизации для оценивания коэффициентов многооткликовой модели 51
2.2.1 Постановка задачи оптимизации 52
2.2.2 Метод наискорейшего спуска 53
2.2.3 Метод Ньютона-Рафсона 53
2.2.4 Метод Гаусса 54
2.2.5 Метод Марквардта-Левенберга 54
2.2.6 Размер шага 54
2.2.7 Критерии останова 55
2.2.8 Начальные приближения 56
2.2.9 Расчет оценок коэффициентов в задачах максимального правдоподобия 56
2.2.10 Сравнительный анализ методов оптимизации 57
2.3 Модификация метода Гаусса для расчета оценок коэффициентов моделей 59
2.3.1 Расчет оценок коэффициентов 59
2.3.2 Ковариационная матрица оценок коэффициентов 60
2.3.3 Практическая реализация метода Гаусса 61
2.4 Проверка адекватности модели 63
2.4.1 Критерии проверки адекватности 63
2.4.2 Проверка на нулевое среднее остатков 64
2.4.3 Проверка ковариационных матриц на однородность 64
2.4.4 Проверка некоррелированности ошибок наблюдений 65
2.4.5 Методы дискриминации моделей 67
2.5 Планирование эксперимента 68
2.5.1 Предсказание по модели 68
2.5.2 D-оптимальное планирование 70
2.5.3 Построение последовательных планов 71
2.5.4 Начальный план эксперимента 72
2.5.5 Программа построения D-оптимальных планов методом поиска... 72
2.5.6 Программа построения последовательных планов 77
2.6 Выводы 79
Глава 3. Методика экстракции SPICE параметров полупроводниковых приборов с помощью многооткликовых моделей 80
3.1 Проблема оценивания SPICE параметров полупроводниковых приборов 80
3.2 Методика выполнения измерений и расчета SPICE параметров полупроводниковых приборов 82
3.2.1 Расчет оценок SPICE параметров 82
3.2.2 Методика выполнения измерений и расчета SPICE параметров 83
3.2.3 Преобразование переменных для обеспечения однородности дисперсионной матрицы ошибок измерений 85
3.3 Экстракция SPICE параметров полупроводниковых диодов 85
3.3.1 Вид регрессионной модели ВАХ полупроводникового диода и расчет оценок ее коэффициентов 86
3.3.2 Расчет ВАХ диода 87
3.3.3 Расчет оценок коэффициентов модели ВАХ диода 88
3.3.4 Методика оценивания SPICE параметров диода 91
3.3.5 Результаты экстракции параметров SPICE модели диодов и их сравнение с измеренными значениями 93
3.4 Экстракция SPICE параметров биполярного транзистора 99
3.4.1 Вид регрессионной модели ВАХ биполярного транзистора и расчет ее коэффициентов 100
3.4.2 Расчет ВАХ транзистора 101
3.4.3 Программа расчета оценок параметров модели ВАХ транзистора 103
3.4.4 Методика оценивания параметров модели ВАХ транзистора 106
3.4.5 Результаты расчетов параметров SPICE модели транзисторов 108
3.5 Выводы 112
Заключение 114
Литература
- Схема замещения полупроводникового диода
- Схема замещения биполярного транзистора
- Известная диагональная ковариационная матрица
- Преобразование переменных для обеспечения однородности дисперсионной матрицы ошибок измерений
Введение к работе
Внедрение в инженерную практику методов автоматизации проектирования давно позволило перейти от традиционного макетирования разрабатываемой электронной аппаратуры к ее моделированию с помощью ПЭВМ. Более того, с помощью ПЭВМ стало возможно осуществить весь цикл сквозного проектирования, включающий в себя:
синтез структуры и принципиальной схемы разрабатываемого электронного устройства;
анализ его характеристик в различных режимах с учетом разброса параметров электронных компонентов и наличия дестабилизирующих факторов и параметрическую оптимизацию;
синтез топологии, включая размещение элементов на плате или кристалле и разводку межэлементных соединений;
верификацию топологии;
выпуск конструкторской документации.
Раньше задачи структурного синтеза решались с помощью узкоспециализированных программ, ориентированных на устройства определенного типа. Было создано, например, большое количество программ синтеза согласующих цепей [1,2], аналоговых и цифровых фильтров [3,4]. Наибольшие достижения в построении программ структурного синтеза и синтеза принципиальных схем были достигнуты в области проектирования цифровых устройств, в частности устройств на базе программируемых логических матриц [5, 6]. Для большинства устройств их структура и принципиальная схема в существенной степени зависят от области применения и исходных данных на проектирование [7, 8]. Поэтому усилия разработчиков были направлены в первую очередь на создание универсальных моделирующих программ для анализа широкого класса аналоговых и цифровых устройств.
Наибольшее распространение получила программа SPICE [9,10,11], разработанная в Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California, Berkeley, положенная в основу большинства современных коммерческих систем схемотехнического моделирования. К таким системам, в первую очередь относятся: HSPICE (фирма MetaSoftware), PSpice (Microsim), IS_SPICE (Intusoft), MicroCap V (Spectrum Software), Analog
Workbench (Cadence), Saber (Analogy), Dr. Spice и ViewSpice (Deutsch Research). В настоящее время в России по прогнозам специалистов, уровень внедрения САПР составляет около 15%, а к 2010 г. САПР должны превзойти по техническим и экономическим показателям традиционные методы проектирования, и уровень их внедрения должен составить 40-80 % в зависимости от отрасли использования. Главным элементом всех программ моделирования электронных устройств является библиотека математических моделей полупроводниковых компонентов (SPICE моделей) [12]. Однако внедрение систем схемотехнического моделирования (в том числе и коммерческих) в значительной степени сдерживается отсутствием таких библиотек параметров моделей радиоэлементов [13, 14, 15], а существующие программы идентификации параметров моделей не позволяют в полной мере решить задачу определения параметров моделей отечественной элементной базы, во-первых, из-за ориентированности на западные справочники, а во-вторых, из-за некорректности заложенных в них методик. Следствием голода на параметры SPICE-моделей явилось появление многочисленных библиотек и баз данных, содержащих необходимые параметры моделей, построенных по принципу аналогов с зарубежными элементами. Однако использование этих библиотек является опасным с точки зрения достоверности приводимых там параметров [16]. В связи с этим актуальным становится создание методик и программ идентификации параметров SPICE моделей радиоэлементов доступных и открытых для пользователя [17, 18].
Наибольшее количество этих параметров определяется в статическом режиме по результатам измерений вольтамперных характеристик (ВАХ) расчетным путем [19-25]. Однако существующие локальные методики расчета статических параметров SPICE моделей не позволяют получать некоторые параметры с достаточной точностью, а для некоторых параметров вообще не разработаны методики их оценивания по экспериментальным данным. Кроме того, имеющиеся методики часто не позволяют получать статистические характеристики рассчитываемых параметров, при этом в некоторых ситуациях сам расчет параметров во многом теряет смысл.
В данной работе предлагается глобальный метод оценивания всех статических параметров SPICE моделей электронных приборов и их статистических характеристик, учитывая многооткликовый характер таких
моделей, который характерен для многополюсников (транзисторов и электровакуумных ламп). Предлагаемый метод основан на построении многооткликовой модели, описывающей семейства вольтамперных характеристик на основе параметров SPICE моделей. Задача расчета параметров SPICE моделей в этом случае формулируется как задача определения статистических оценок параметров многооткликовой модели по экспериментальным данным. Решение такой задачи осложняется следующими обстоятел ьствами:
высокая нелинейность исследуемой функции относительно определяемых параметров и большая размерность пространства переменных;
необходимость оптимального планирования большого количества измерений;
сложность определения достаточно точных начальных значений параметров;
необходимость разработки устойчивых процедур расчета ВАХ полупроводниковых приборов.
Таким образом, основные недостатки известных методов оценивания параметров SPICE моделей состоят в том, что они не являются универсальными, не обладают достаточной устойчивостью, не предлагают методов, позволяющих уменьшить число измерений и, в то же время, повысить точность оценивания параметров, не обеспечивают получения статистических характеристик рассчитываемых оценок параметров. Кроме того, в некоторых методиках оценивания параметров SPICE моделей для упрощения расчетов используют различного рода допущения, например, деление ВАХ на участки, в пределах которых некоторыми параметрами пренебрегают. Такие допущения чаще всего недостаточно обоснованы, а в некоторых ситуациях такой подход может приводить к большим погрешностям оценивания параметров.
Отсутствие статистических характеристик получаемых оценок фактически не дает возможности сравнения величин параметров индивидуальных приборов и не позволяет выполнять факторных анализ в условиях производства. Поэтому получение и исследование статистических характеристик получаемых оценок параметров является крайне важным.
Целью настоящей работы является разработка метода оценивания SPICE параметров полупроводниковых приборов (диодов и транзисторов), позволяющего определять все параметры, существенно повысить точность их
определения и обеспечивающего получение статистических характеристик оценок параметров (ковариационных матриц).
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие основные задачи:
Проведен анализ физических механизмов функционирования исследуемых полупроводниковых приборов и определены математические модели, описывающие их вольтамперные характеристики. Показано, что на практике для получения SPICE параметров используются различные упрощения, что приводит к снижению точности получаемых оценок параметров, а некоторые параметры экспериментально не определяются.
Разработаны и исследованы математические процедуры расчета параметров вольтамперных характеристик на основании многооткликовых регрессионных моделей. На основе анализа и сравнения различных алгоритмов предложена модифицированная процедура расчета оценок коэффициентов, основанная на методе Гаусса и обеспечивающая эффективность расчета с точки зрения его надежности, точности и скорости. Предложен метод выбора начальных приближений основанный на статистическом моделировании при заданных ограничениях на параметры.
Рассмотрены методы планирования эксперимента и разработана процедура последовательного планирования оптимального эксперимента для расчета SPICE параметров приборов, обеспечивающая достижение требуемой точности получения оценок SPICE параметров.
Разработана общая методика выполнения измерений ВАХ и расчета SPICE параметров полупроводниковых диодов и транзисторов, основанная на использовании многооткликовых моделей и позволяющая выполнить экстракцию всех параметров с заданной точностью по результатам измерения ВАХ приборов. Выработаны рекомендации по определению начального количества измерений и построению начального плана эксперимента при различных ошибках наблюдений. Показано, как определяется требуемое значение определителя ковариационной матрицы оценок коэффициентов моделей ВАХ при заданной точности оценивания модели ВАХ.
Проведены эксперименты и выполнены расчеты SPICE параметров и их статистических характеристик для нескольких типов полупроводниковых приборов. Выполнены расчеты по проверке адекватности моделей, проведен
анализ остатков модели и сравнение полученных результатов с данными, полученными традиционными методами. Практическая ценность и реализация работы состоят в следующем.
Разработана методика и комплекс соответствующих программы на языке Visual Basic для построения многооткликовой модели вольтамперных характеристик полупроводниковых приборов, позволяющие получать оценки SPICE параметров и их ковариационные матрицы. Устойчивость процедуры расчета обеспечивается статистическим моделированием начальных приближений при заданных ограничениях.
Разработана методика D-оптимального последовательного планирования эксперимента для определения SPICE параметров и даны конкретные рекомендации по выполнению этого эксперимента. Предложенная методика обеспечивает получение оценок параметров с заданной величиной определителя ковариационной матрицы этих оценок.
Разработанный метод был использован для экстракции SPICE параметров определенных типов полупроводниковых диодов и транзисторов. Выполненные расчеты позволили подтвердить адекватность моделей и определить все параметры моделей с заданной точностью.
Результаты работы внедрены в промышленности и используются в учебном процессе. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 8-ми Всероссийских и международных конференциях. По теме диссертации всего опубликовано 13 научных и научно-методических работ.
На защиту выносятся следующие научные положения:
Экстракция SPICE параметров полупроводниковых приборов на основе многооткликовых моделей дает возможность использования для оценивания этих параметров всей вольтамперной характеристики, что позволяет оценить все параметры, повышает точность их определения и обеспечивает получение ковариационной матрицы оценок.
Использование шага переменной длины и статистического моделирования при выборе начальных приближений коэффициентов моделей обеспечивает устойчивое получение оценок коэффициентов для равномерного плана эксперимента с заданным числом измерений.
Использование последовательных D-оптимальных планов эксперимента при проведении измерений вольтамперных характеристик позволяет повысить
точность оценивания SPICE параметров десятки раз по сравнению с равномерным планированием и обеспечить заданную точность получения оценок этих параметров.
Схема замещения полупроводникового диода
Какой бы системой малосигнальных параметров не характеризовали транзистор — это характеристика его свойств в одной рабочей точке. Вольтамперные характеристики дают представление о свойствах транзистора при различных сочетаниях тока и напряжения. Поскольку транзистор является прибором с ярко выраженными нелинейными свойствами, знание соотношений между токами и напряжениями в диапазоне режимов приобретает в некоторых случаях особую важность, например при работе транзистора с большими сигналами, когда рабочая точка перемещается в широких пределах изменения тока и напряжения. Зная динамическую линию нагрузки, можно с помощью вольтамперных характеристик проследить, как меняются параметры транзистора в течение рабочего цикла, и предотвратить попадание рабочей точки в область опасных режимов.
По вольтамперным характеристикам можно определить основные параметры транзистора. Можно наиболее рационально выбрать положение рабочей точки, рассчитать нелинейные искажения. Контроль вольтамперных характеристик позволяет выявить некоторые дефекты транзисторов при их изготовлении. Таким образом, вольтамперные характеристики являются средством, наглядно иллюстрирующем качество транзистора, и широко используются при изготовлении транзисторов и при проектировании и расчете схем [38-41].
Выходные характеристики для схемы с ОБ для одного типа транзисторов имеют очень незначительные различия, которые практически трудно уловить. Большее практическое значение имеют выходные характеристики для схемы с общим эмиттером. Имея выходные характеристики для схемы с ОЭ можно с достаточной для практики точностью определить такие параметры, как выходное сопротивление, коэффициент передачи тока, остаточное напряжение на открытом транзисторе или сопротивление насыщения и зависимость этих параметров от тока и напряжения.
Выходные вольтамперные характеристики имеют три явно выраженные области - область насыщения, активную область и область отсечки, каждая из которых характеризуется определенными параметрами. Область насыщения (область I на рис. 1.4, г) соответствует такому режиму работы транзистора, когда коллекторный переход, так же, как и эмиттерныи, смещен в прямом направлении. Для режима насыщения характерно условие: !в.ш. 1с/В« (1-24) где /в. „ас. - ток базы в режиме насыщения; /с - ток коллектора; Ва - статический коэффициент передачи тока в схеме с общим эмиттером.
Область отсечки (область II на рис. 1.4, г) соответствует такому режиму работы транзистора, когда на эмиттер и на коллектор подано запирающее напряжение. Основным параметром для этой области является остаточный ток, который протекает в коллекторной цепи и отличает ключ на транзисторе от идеального. Практически этот ток равен обратному току
Лгв.обр. Между областями отсечки и насыщения расположена активная область, где эмиттерныи переход смещен в прямом направлении, а коллекторный - в обратном. По этому участку можно определить статический коэффициент передачи тока. Например, в рабочей точке «А» на рис. 1.4, г его значение вычисляется по формуле Яст = ( -Icz b)l(hA -Wp.) а дифференциальное значение коэффициента передачи тока Д, = Д/с/Д/п.
Особенностью ВАХ в активной зоне является наличие прямых линий конечного наклона. Это проявление эффекта модуляции области базы коллекторным напряжением, так называемый эффект Эрли, который можно трактовать следующим образом: по мере увеличения напряжения Vca происходит увеличение обратного напряжения на коллекторном переходе, приводящего к расширению обедненной области этого перехода в базовую область. Это приводит к уменьшению эффективной ширины области базы и, как следствие, увеличению коэффициента усиления BF с увеличением напряжения VCE- Экстраполяция этих участков ВАХ до пересечения с осью напряжений (для величины тока Ic = 0) дает одинаковое для всех кривых отрицательное напряжение. Величина этого напряжения, называемого напряжением Эрли, используется в качестве параметра SPICE модели транзистора.
Рабочая точка схемы с ОЭ определяется из пересечения ВАХ транзистора с нагрузочной линией, которая представляет характеристику обычного резистора Rc (рис. 1.4, г), включенного в коллекторную цепь. Падение напряжения на этом резисторе определяет коллекторный ток транзистора. В режиме насыщения коллекторный ток достигает величины Л: нас = (Рев + RC) / Яс- При переходе в режим отсечки рабочая точка определяется координатами Ic = 0, FRc = 0. Переходом между этими двумя крайними режимами осуществляется переключение между логическими нулем и единицей в цифровых схемах. Для аналоговых схем рабочая точка выбирается приблизительно в центре активной области.
Схема замещения биполярного транзистора
Основой данной схемы служит нелинейная модифицированная версия модели Эберса-Молла. В нее добавлены три резистора: RE, Дв, Rc; две диффузионные емкости: CDE, CDc и три барьерные емкости: Сщ, CJC и Ccs-Резисторы характеризуют сопротивление квазинейтральных областей транзистора. Их внутренние узлы, места подключения к активным областям, обозначены на схеме буквами Е , В и С. При расчете токов через диоды и источник тока используются напряжения, приложенные к этим узлам.
Влияние сопротивления коллектора Rc показано на рис. 1.9. Оно увеличивает наклон участка перехода выходных ВАХ в насыщение на участке малых напряжений коллектор-эмиттер. Величина Rc в модели постоянная. В реальных приборах она зависит от тока коллектора и от напряжения база-коллектор. Необходимо точно определиться какую величину Rc использовать в расчетах, исходя из режима эксплуатации транзистора. Типичные значения параметра Rc могут лежать в пределах от нескольких до сотни Ом. Измеряют его по наклону начального участка зависимости тока /с от напряжения VQE- Величина параметра обратно пропорциональна тангенсу угла наклона начального участка этой зависимости (рис. 1.9).
Область эмиттера биполярного транзистора наиболее легирована примесями, что необходимо для достижения большого ЯР. Поэтому наибольший вклад в значение параметра ДЕ вносит сопротивление контакта эмиттера с его активной областью. Обычно величина этого сопротивления около 1 Ома и в большинстве расчетах не учитывается. В активном режиме по схеме с ОЭ переход база-эмиттер смещен в прямом направлении, и сопротивление RE уменьшает напряжение на соответствующем диоде (рис. 1.8) на величину REIE. Оказываемый сопротивлением ДЕ эффект на ГВЕ аналогичен влиянию на это напряжение сопротивления базы на величину (l + Br)RE. Влияя на ток базы, сопротивление RE влияет и на ток коллектора.
Такое влияние Rc затрудняет определение величины Ra. Сопротивление RE может оказать влияние на выходные ВАХ в области насыщения, если Re мало (рис. 1.10). ln(/c) 1п(/в) = IzRB + IERt №
Сопротивление базы наиболее важно при расчете малосигнальных схем. Это сопротивление очень трудно измерить из-за его зависимости от выбора рабочей точки транзистора и из-за влияния на него сопротивления эмиттера. В модели Гуммеля-Пуиа оно считается постоянным, а его влияние показано на рис. 1.10.
Переходные процессы в модели Гуммеля-Пуна учтены вводом трех типов емкостей: двух нелинейных диффузионных, двух нелинейных барьерных, и одной постоянной емкости коллектор-подложка. Для расчета этих параметров модели приняты следующие выражения:
Емкость коллектор-подложка важна только при расчете интегральных схем и описывает емкость изолирующего эпитаксиального слоя. Здесь переход коллектор-подложка всегда смещен в обратном направлении, и его емкость может рассчитываться как емкость обратно смещенного перехода. На рис. 1.8 эта емкость подключена к коллектору для n-p-п транзистора. Для p-n-р структуры она может быть подключена к базе или между базой и коллектором. В последнем случае она включается в емкость Cjo
Модуляция ширины базы, так называемый эффект Эрли, выражается в изменении ширины базовой области биполярного транзистора в зависимости от напряжения коллектор-база. При работе в нормальном активном режиме в схеме с ОЭ р-n переход база-кол лектор смещен в обратном направлении. А ширина р-n перехода находится в строгой зависимости от приложенного напряжения. Что и приводит к изменению ширины тонкой базовой области W.
Эффект модуляции ширины базы, в математической модели транзистора, является причиной изменения параметров, зависящих от напряжения VBC- /S #Ь 7F- ДЛЯ описания этого влияния в модель транзистора вводится дополнительный параметр: Кд - напряжение Эрли. Рис. 1.12 иллюстрирует влияние эффекта Эрли на вид выходных характеристик транзистора. Он выражается в положительном наклоне линейных участков насыщения этих ВАХ.
Известная диагональная ковариационная матрица
При определении коэффициентов модели В функция правдоподобия (ФП) выборки 1(B) является функцией неизвестных коэффициентов В. Оценки максимума правдоподобия (ОМП) коэффициентов В - это значения, при которых функция правдоподобия достигает максимального значения, если оно существует. При относительно слабых ограничениях на вид функции правдоподобия оценки МП состоятельны и асимптотически эффективны, что особенно справедливо для выборок большого объема. При малых выборках ОМП обычно не обладают какими-либо оптимальными свойствами, они не будут ни эффективными, ни несмещенными. Однако многие исследователи показывают, что метод максимума правдоподобия дает приемлемые оценки во многих ситуациях, что является сильным аргументом в пользу применения метода максимума правдоподобия для расчета оценок коэффициентов моделей [45-48].
Так как логарифмическая функция является монотонно возрастающей функцией аргумента, значение В, максимизирующее ЦВ), будет максимизировать и lnZ,(B). Так как функция 1пі(в) часто является более простой, чем ЦБ), задача формулируется в терминах максимизации логарифма функции правдоподобия (ЛФП). lnl(B) = -f lln(2ff)- IndetVE-is[xy-Mx]rVE-,[x,-Mx]. \ і } і і j=\ Безусловный максимум ЛФП должен удовлетворять системе уравнений правдоподобия эы(в) = 0 дВ
К расчету ОМП можно подходить двумя путями:
1. Решать уравнения правдоподобия и проверять, соответствует ли полученное решение действительно максимуму ФП.
2. Искать максимум ФП без уравнений правдоподобия одним из методов поиска экстремума функции. Нелинейная модель
Коэффициенты модели входят в структурные уравнения нелинейным образом, а ошибка наблюдения является аддитивной: Y = F(B,X) + E. (2.2)
При нормальном распределении ошибок наблюдений Е с нулевым математическим ожиданием и с ковариационной матрицей VE ЛФП для модели (2.2) имеет вид
Выражения в квадратных скобках (2.3), представляют собой так называемые остатки, т. е. разности между наблюдаемыми значениями зависимой переменной и значениями, рассчитанными по модели R.- = Yy-F(B,X Д j = 1,2..., и, где п - количество наблюдений, X = {г,, х2,..., хт Y - вектор заданных режимов В АХ, Y = \ух, у2,..., ут }т -вектор измеряемых величин ВАХ, т - число уравнений модели. Обозначим вектор остатков как R = \rtj}, / = 1,2,..., т\ j = 1,2,.,., и. В этом случае ЛФП принимает вид " I 1 In 1(B)=-( j ln(ar) - \ In det VE -12 R}V R;-. (2.4) 2.1.2. Линейная модель При нормальном распределении ошибок наблюдений Е с ковариационной матрицей VE ЛФП для линейной относительно коэффициентов модели Y = P(X)TB + E, (2.5) где Е= {е],е2,...,ет} -вектор ошибок наблюдений, а Pll(x) р22(х) ... р2т(Х) п(х) д2(х) ... р1а(х)] Р(Х) = - матрица известных функций, можно 1й.(Х) РдМ - Л„(Х) получить в виде w I пт In Bj- jlnttoJ-SlndetVE-ilRj Ry (2.6) Известная ковариационная матрица
Нахождение оценок коэффициентов, обеспечивающих максимум ЛФП, в этом случае эквивалентно минимизации функции Р(В) = І [Уj - F(B, Х,)]Г VE"] [Y . - F(B, X,)] = І R] V- R,. (2.7) Известная диагональная ковариационная матрица Для независимых ошибок наблюдений, когда ковариационная матрица VE является диагональной с диагональными элементами v.,у = 1,2,...,т, получим ЛФП в виде ОМП коэффициентов модели соответствуют минимуму функции rfB)=z-I ,2(B), MV(-(-y=l что представляет взвешенный метод наименьших квадратов. В однооткликовом случае ЛФП равен л 1пф) = 4- In(2ff)- lnff2-- Іг,2. \2) 2 2al Pi .2 Независимо от того, известна ли дисперсия ошибки наблюдений а1, в однооткликовом случае это приводит к обычному методу наименьших квадратов без взвешивания.
В случае неизвестной диагональной ковариационной матрицы ОМП получаются путем максимизации ЛФП (2.8) по матричным аргументам В и VE. Для решения этой задачи можно поступить следующим образом.
Задается некоторое начальное значение вектора оценок коэффициентов В0 и находится оценка ковариационной матрицы VE, максимизирующая ЛФП при постоянных значениях В. Путем дифференцирования выражения (2.8) по каждому vu и приравнивания производные нулю получается система уравнений для оценок элементов ковариационной матрицы
Преобразование переменных для обеспечения однородности дисперсионной матрицы ошибок измерений
Большинство SPICE параметров электронных приборов определяются в статическом режиме расчетным путем по результатам измерений вольт амперных характеристик (ВАХ), однако, используемые до настоящего времени методики экстракции SPICE параметров не позволяют получать эти параметры с достаточной точностью, а для некоторых параметров вообще не разработаны методики их оценивания по экспериментальным данным. Основные недостатки известных методов оценивания SPICE параметров состоят в том, что они не являются универсальными, не обладают достаточной устойчивостью, не предлагают методов, позволяющих уменьшить число измерений и, в то же время, повысить точность оценивания параметров, не дают статистических характеристик полученных оценок параметров. Кроме того, некоторые методики оценивания SPICE параметров для упрощения расчетов используют различного рода допущения, например, деление ВАХ на участки, в пределах которых некоторыми параметрами пренебрегают. Такие допущения чаще всего недостаточно обоснованы, а в некоторых ситуациях такой подход может приводить к большим погрешностям оценивания параметров.
Отсутствие статистических характеристик получаемых оценок фактически не дает возможности сравнения величин параметров индивидуальных приборов и не позволяет проводить сравнение средних параметров по партиям приборов. Поэтому идентификация и исследование статистических свойств получаемых оценок параметров является крайне важным.
Сложность проблемы оценивания параметров по экспериментальным данным, как задачи нелинейной оптимизации, обусловлена следующими факторами: большая размерность пространства оптимизации; сложность задания вектора начальных приближений для общего случая (некоторые параметры, например токи насыщения и параметры рекомбинационных токов, для разных приборов могут различаться на несколько порядков); необходимость большого количества измерений; трудность выбора наиболее устойчивого и быстродействующего метода оптимизации; необходимость оптимального планирования эксперимента, поскольку без такого планирования определение многих параметров оказывается просто невозможным.
Разрабатываемый в данной работе глобальный метод оценивания всех статических параметров SPICE моделей электронных приборов и их статистических характеристик с учетом многооткликового характера таких моделей, который характерен для многополюсников (транзисторов и электровакуумных ламп), является универсальным методом. Задача расчета SPICE параметров в этом случае формулируется как задача определения статистических оценок параметров многооткликовой модели по экспериментальным данным. Расчет SPICE параметров с помощью многооткликовых моделей подразумевает использование всех экспериментальных данных при оценивании всех параметров, что должно повысить точность расчетов и дать возможность определить ковариационные матрицы этих параметров.
Использование многооткликовых моделей для расчета параметров полупроводниковых приборов требует решения нескольких проблем, связанных с конкретными свойствами исследуемых приборов. Эти проблемы включают анализ вида вольтамперной характеристики данного полупроводникового прибора и ее расчет, анализ ошибок наблюдений напряжений или токов, построение плана эксперимента для расчета параметров математической модели и выбор начальных приближений этих параметров.
В данной работе модель ВАХ без учета ошибок измерений принимается в виде: I = F(B,U,I), (3.1) где I - вектор токов, U - вектор напряжений, В - вектор коэффициентов модели, которые и являются определяемыми SPICE параметрами.
Особенности реализации итерационной процедуры (2.25) для расчета оценок коэффициентов модели состоят в следующем:
На первых шагах итерационной процедуры оценки коэффициентов могут изменяться в значительной степени, что может приводить к переполнению при делении или при расчете экспонент и логарифмов и к останову процедуры при вычислении, например, квадратных корней и логарифмов.
Коэффициенты имеют ограничения, обусловленные их физическим смыслом (например, коэффициенты должны быть положительными). Если эти ограничения нарушаются, то процедура расчета останавливается.
В связи с этим вводятся ограничения на возможные значения коэффициентов моделей в виде системы неравенств. Эти ограничения должны быть максимально широкими, чтобы они включали истинные значения коэффициентов.
