Содержание к диссертации
Введение
1. Литературный обзор 11
1.1. Динамическая система процесса ректификации 11
1.2. Стационарные точки динамических систем.. 15
1.3. Математическое моделирование фазовых равновесий жидкость-жидкость-пар и полиномы Шеффе . 18
1.4. Реним минимального орошения 26
2. Математические модели фазового равновесия жидкость-жидкость-пар . 30
2.1. Задача исследования 30
2.2. Применение полиномов Шеффе для моделирования би-нодальной кривой (поверхности) 31
2.3. Использование полиномов Шеффе для моделирования кривой распределения трехкомпонентной расслаивающейся смеси 37
2.4. Модель многообразия конод 38
2.5. Программное обеспечение расчета на ЭНЛ регрессионных моделей фазовых равновесий 46
2.6. Выводы и результаты 54
3. Исследование эволюции фазовых портретов динаглических систем непрерывной ректификации при изменении их па раметров 56
3.1. Предмет исследования 56
3.2. Методика исследования и программное обеспечение.. 57
3.3. Особенности перехода стациояарншли точками границы концентрационного симплекса 62
3.4. Некоторые фундаментальные свойства отображения жидкость-пар многокомпонентных смесей и связь их
со свойствами динамической системы ректификации.. 65
3.5. Асимптотика фазового портрета динамической системы ректификации и бифуркации стационарных точек 70
3.6. Скорость движения стационарных точек при изменении параметров т и Хр динамической системы..85
3.7. Локальные геометрические особенности движения стационарных точек трех- и четырехкомпонентных смесей 91
3.8. Качественные закономерности хода т-лияий трехкомпонентных смесей 101
3.9. Точная количественная структура в целом динамической системы ректификации многокомпонентных смесей с постоянной относительной летучестью .о., С... 106
3.10. Выводы и результаты 119
4. Разработка алгоритма расчета минимального флегмового числа 122
4.1. Применение теории динамических систем в исследовании режима минимального орошения 122
4.2. Алгоритм расчета на ЭВМ минимального флегмового числа 126
4.3. Программа расчета 130
4.4. Расчет минимального флегмового числа колонны уксуснокислотного производства 131
4.5. Выводы и результаты 135
Основные выводы и результаты работы 136
Список литературы 139
Приложения 156
- Математическое моделирование фазовых равновесий жидкость-жидкость-пар и полиномы Шеффе
- Применение полиномов Шеффе для моделирования би-нодальной кривой (поверхности)
- Особенности перехода стациояарншли точками границы концентрационного симплекса
- Алгоритм расчета на ЭВМ минимального флегмового числа
Введение к работе
В технологии основного органического и нефтехимического синтеза на процессы ректификации приходится большая доля энергетических и капитальных затрат По данным, приведенным во введении к книге [i] , капиталовложения на ректификационное оборудование достигают в среднем 20$ от сметной стоимости нефтеперерабатывающих и химических заводов, а энергетические затраты на процессы разделения составляют 5($ и выше от себестоимости продукции. По более новым зарубежным данным [2] , расход энергии на процессы разделения на нефтехимических предприятиях составляет обычно 4($.
В условиях дефицита энергетических ресурсов, КПСС и Советское правительство уделяют большое внимание экономии всех видов энергии. В крупнотоннажной промышленности основного органического синтеза даже небольшая экономия энергозатрат в одном процессе дает большую экономию энергии по отрасли в целом. Поэтому актуальными являются проектирование оптимальных по энергозатратам технологических схем ректификации, а также исследование разработка и совершенствование таких математических моделей процесса, которые позволили бы не только получать оптимальные решения для заданных исходных и конечных продуктов, но и обеспечили бы определенную гибкость технологических процессов, позволяя быстро находить новые оптимальные режимы при изменении условий или конечных продуктов процесса.
В последнее время в технике большое внимание уделяется созданию гибких технологических систем, адаптирующихся к изменяющимся условиям и требованиям. Учитывая специфику крупнотоннажной химической технологии, вряд ли можно говорить о создании гибких технологических линий для различной продукции. Однако реально создание гибких технологических линий, которые можно было бы перестраивать при изменении состава сырья (в условиях его дефицита) и изменении свойств продуктов в соответствии с новыми требованиями. Для обеспечения этой перестройки нужны достаточно хорошие математические модели, позволяющие эффективно использовать вычислительную технику для быстрого решения производственных задач.
Наряду с задачами технологическими,существует задача подготовки кадров для создания современных технологий и управления ими. В деле подготовки кадров основные постановления партии и правительства, директивы Минвуза СССР ориентируют на расширение применения математических методов и вычислительной техники при обучении студентов.
Общей целью настоящего исследования является не только совершенствование на основе применения вычислительной техники результатов и методов проектирования процессов ректификации, но и создание методического и программного обеспечения для автоматизированных систем обучения студентов. Поставленная задача была связана с созданием математического обеспечения для учебно-проектной системы автоматизированного проектирования технологических схем ректификации, разрабатываемой в МИТХТ гол.М.В.Ломоносова по заданию 05.35 программы 0.Ц.027 Государственного комитета по науке и технике и Совета Министров СССР.
Процессы ректификации используются во всех подотраслях химической промышленности, но в технологии тяжелого (основного) органического синтеза есть ряд ограничений и специфических требований, которые налагаются на ректификацию и обуславливают необходимость постановки задач совершенствования этого процесса применительно к данной отрасли химической технологии.
Во-первых, многотоннажность производств тяжелого органического синтеза приводит к тому, что малые усовершенствования процесса ректификации приводят к большой экономии, а малые погрешности в проектных решениях приводят к большим потерям. Это экономически оправдывает проведение глубоких теоретических исследований в данной области.
Во-вторых, в технологии основного органического синтеза приходится иметь дело со сложными азеотропними смесями, поэтому общие методы и приемы оптимизации химико-технологических схем из-за термодинамических ограничений типа азеотропии часто оказываются непригодными для технологических схем ректификации в технологии основного органического синтеза. В связи с этим возникает задача создания специфических методов синтеза химико-технологических схем ректификации и критериев их оптимизации.
Третьей характерной особенностью процессов ректификации в технологии основного органического синтеза являются высокие требования к чистоте получаемых продуктов. Это повышает требования к точности моделирования парожидкостных равновесий, и, с другой стороны, накладывает ограничения на топологию ректификационных колонн и их комплексов. В промышленности тяжелого органического синтеза не нашли широкого применения колонны сложной структуры со многими вводами и отборами, поскольку они в большинстве случаев не позволяют получать все продукты с достаточной степенью чистоты. Наибольшее распространение в технологических схемах ректификации основного органического синтеза нашли двухсекционные колонны.
В технологии тяжелого (основного) органического синтеза приходится иметь дело с многокомпонентными смесями, причем часто требуется выделить множество целевых продуктов высокой чистоты. Класс таких задач имеет тенденцию расширяться в связи с расширением разработок безотходных технологий, в которых все промежуточные продукты доводятся до определенной кондиции.
Из этих условий вытекают, по крайней мере, два следствия. Во-первых, требование получения многих чистых продуктов не позволяет понизить размерность задачи. Во-вторых, из-за громадного количества вариантов разделения практически невозможно сравнение результатов всех вариантов расчетов для ректификационных комплексов.
Поэтому для многокомпонентных смесей требуется разработка качественно новых методов оптимального синтеза химико-технологических схем, например метода выделения одной ключевой характеристики процесса, позволяющей сравнивать различные варианты проведения процесса. Применительно к процессу ректификации, взамен расчета разных вариантов организации процесса при рабочих значениях параметров: достаточно сравнивать эти варианты при одном значении параметра - минимального фяегмового числа. При этом остаются неизвестными точные значения капитальных затрат на комплекс, но возможно быстро оценить и дифференцировать по энергозатратам различные варианты.
Учитывая общие задачи химической технологии и специальные задачи, стоящие перед проектировщиками ректификационных узлов химико-технологических схем промышленности основного органического синтеза, на передний план выдвигается проблема расчета минимального фяегмового числа при разделении реальных, в том числе и азеотропних многокомпонентных смесей. Это связано, как уже отмечалось, с тем, что точный расчет минимального флегмово-го числа позволяет свести к минимуму энергетические затраты на процесс. С другой стороны, энергетические затраты, рассчитанные при минимальном флепловом числе, могут быть использованы в качестве относительно простого расчетного критерия при оптимизации комплекса ректификационных аппаратов. На сегодня не существует единого реально используемого (доступного) метода расчета минимального фяегмового числа и единой концепции режима минимального орошения для бинарных и многокомпонентных смесей. В результате возникают задачи исследования режима минимального флегмового числа и разработки алгоритма и программы дня его расчета» При этом необходимо использовать такую модель фазового равновесия, которая позволяет адекватно и достаточно точно рассчитывать фазовое равновесие многокомпонентных смесей.
Для исследования процессов ректификации вообще, а особенно режима минимального орошения, весьма эффективен метод математического моделирования с использованием аппарата качественной теории динамических систем. Исследование математической модели процесса ректификации с привлечением аппарата качественной теории динамических систем позволяет определять положение стационарных точек и его изменение при изменении значений параметров процесса, положение разделяющих многообразий, эволюцию фазового портрета динамической системы при изменении параметров и т.п.
Задачей настоящего исследования является изучение процесса непрерывной ректификации методом математического моделирования. Математическое описание любой системы обладает следующими важными атрибутами: компактностью, ясностью и возможностью численного анализа [3] • Математической модели свойственны определенные преимущества; например, с помощью численного анализа могут быть получены данные не только описательного, но и прогностического характера. Однако "проблема построения математической модели, адекватной исследуемому процессу, до настоящего времени является кардинальной в любой области естественных наук, в частности в физической химии, в химической технологии. Успех в изучении этой проблемы определяет не только уровень развития теории, но и возможность быстрого и эффективного внедрения научных разработок в промышленное производство" ,
В работе изучаются свойства динамических систем (математической модели процесса ректификации): стационарных точек систем и их бифуркации, эволюция фазового портрета динамической системы при изменении параметров, асимптотические свойства систем и т.п. Исследована также возможность применения полиномиальных моделей фазовых равновесий для расчетов процессов ректификации, возможность распространения известных для гомогенных смесей моделей на расслаивающиеся смеси, разработаны регулярные алгоритмы и программы для расчета параметров моделей фазовых равновесий.
Задачей работы являлось также исследование стыковки динамических систем исчерпывающей и укрепляющей секций колонны в режиме минимального орошения, разработка алгоритма и программы расчета этого режима.
В результате выполнения работы исследованы свойства динамических систем как модели непрерывной ректификации зеотропных и азеотропных смесей: свойства стационарных точек и их бифуркаций, линий стационарности, скорость движения по линиям стационарности, асимптотические свойства фазовых портретов динамических систем, эволюция фазовых портретов, локальные и глобальные закономерности хода линий стационарности. Изучена глобальная структура динамической системы смесей с постоянной относительной летучестью.
Полиномиальные модели фазового равновесия распространены на расслаивающиеся смеси.
Разработано программное обеспечение для расчета параметров полиномиальных моделей фазовых равновесий. На основе проведенного исследования свойств стационарных точек динамических систем разработаны алгоритм и программа расчета режима минимального орошения.
Полученные результаты могут быть применены при исследовании процессов ректификации сложных многокомпонентных смесей. Разработанное программное обеспечение позволяет рассчитать полиномиальные модели равновесия жидкость-пар и жидкость-жидкость-пар, точное местоположение стационарных точек динамической системы процесса ректификации и сепаратрис системы, минимизировать флегмовое число и рассчитать режим минимального орошения. Все программы можно получить в программном фонде Центрального научно-исследовательского и проектного института лесохимической промышленности.
К сожалению, из-за отсутствия в распоряжении автора терминальных устройств отображения графической информации не было возможности разработать графический вывод результатов расчетов, который,несомненно, необходим, особенно при обучении студентов. Этот пробел будет заполнен при первой же возможности.
Математическое моделирование фазовых равновесий жидкость-жидкость-пар и полиномы Шеффе
Модель фазового равновесия жидкость-пар является основой моделирования процесса ректификации. Существует два принципиально разных подхода к моделированию фазового равновесия: формально-математический и подход, несущий в себе физическое содержание. К настоящему времени разработано уже довольно много моделей фазового равновесия, в основном второго типа. Известны обзоры, содержащие физико-химическое обоснование этих моделей, историю их развития и обширную библиографию [28-31] .
К настоящему времени наиболее широкое применение нашли модели "локальных составов": - Вильсона [32, 33 ] ;
Все эти уравнения моделируют зависимость логарифма коэффициента активности от состава смеси, причем параметры моделей связаны с молекулярными или групповыми характеристиками, обладающими физическим смыслом.
Все перечисленные модели обладают важным достоинством: позволяют описывать с достаточной степенью точности равновесие в многокомпонетнои смеси по экспериментальным данным лишь о ее индивидуальных и бинарных составляющих.
Методика расчетов по этим моделям достаточно освещена в литературе [38-40] . Однако вплоть до настоящего времени вопросы применимости и качества моделирования по уравнениям локальных составов до конца не решены и обсуждаются в методологическом аспекте [4l] .
Уравнения локальных составов имеют ряд недостатков. Прежде всего они сильно нелинейны. Из этого проистекают все трудности численного решения как прямой (расчет составов), так и обратной (оценка параметров) задач [42} . Отмечают неоднозначность наборов параметров уравнений [43, 44] , получение лучших результатов с параметрами, не имеющими физического смысла [іб] . Несколько работ посвящено устранению неопределенности при выборе параметров уравнений Вильсона [45, 4б] , Дубока-Катаяма [47] и NRTL [48] , однако этот вопрос до конца еще не исследован.
Известно, что точность описания фазового равновесия уравнениями локальных составов резко уменьшается вблизи критической точки растворимости расслаивающихся смесей [31, 49J или в случае описания парокидкостного равновесия при аномальной зависимости коэффициента активности от состава [41] . Параметры уравнений локальных составов коррелированы, поэтому статистический анализ этих уравнений при современном развитии методов математической статистики затруднителен.
Развитие методов моделирования фазовых равновесий вначале происходило в отрыве от потребностей расчета процессов разделения. Исходя из требований, выдвигаемых расчетом процессов ректификации, недостатком уравнений локальных составов и моделей, включающих описание коэффициента активности, является высокая сложность модели и ее сильная нелинейность из-за совместного вхождения температуры и состава смеси в уравнения модели. В связи с математической сложностью расчет по такой модели длителен даже на ЭВМ, что делает практически невозможным оптимизацию относительно сложных химико-технологических схем.
Второй группой моделей, основывающихся на формально-математическом подходе, в настоящее время пользуются реже. Известные представители этой группы моделей: модели Маргулеса [50, 51] , Реддиха-Кистера [52] - несут в себе как все недостатки уравнений локальных составов, так и недостатки, связанные с отсутствием физического смысла. Однако они обладают определенной прогностической способностью, присущей физически оправданным моделям. Модели Маргулеса и Реддиха-Кистера также моделируют зависимость коэффициента активности от состава смеси путем разложения его в ряд, поэтому тоже неудобны для расчетов процесса ректификации.
Обычно формально-математические модели основаны на том, что при изобарических условиях температура кипения и состав пара однозначно зависят от состава жидкости. Эти зависимости можно аппроксимировать какой-либо математической функцией. Формально-математические модели, как правило, не обладают прогностическими свойствами: при добавлении к смеси новых компонентов параметры модели необходимо либо пополнять, либо пересчитывать заново. То же самое происходит при изменении условий равновесия (переход на другую изобару или изотерму). Эти модели практически неприменимы, если нельзя пренебречь перепадом давлений по высоте аппарата.
Если экспериментальные данные плохо укладываются в физически-содержательную модель, это, как правило, означает термодинамическую несогласованность данных. Формально-математические же модели в силу своей гибкости способны аппроксимировать и термодинамически несогласованные данные, что может привести к неадекватности расчета процесса разделения.
Преимуществами формальных моделей являются, как правило, более высокие точность и скорость расчета равновесных составов. Высокая скорость расчета дает реальную возможность оптимизировать сложные химико-технологические схемы, а также позволяет использовать при проектировании процессов разделения малые ЭВМ.
Применение полиномов Шеффе для моделирования би-нодальной кривой (поверхности)
В порядке отступления от основной тематики данной работы рассмотрим еще одно применение моделей в форме полиномов Шеф-фе, дающее хорошие результаты. При расчете процессов жидкостной экстракции многокомпонентную смесь обычно сводят к трехкомпонентной [49] . В этом случае расчет процесса экстракции удобно вести, используя понятие кривой распределения [55J . Кривая распределения связывает доли некоторого компонента в двух сосуществующих жидких фазах. Каждой коноде соответствует одна точка на кривой распределения. Кривая распределения проходит через точку с координатами (0,0) и имеет верхней теоретической границей точку с координатами (1,1), не достигая ее. Кривая распределения в трехкомпонентной смеси подобна диаграмме парожидкостного равновесия бинарной смеси. Аналогом азеотропа в ней будет солютроп или критическая точка смешения. Предложенную [бб] для диаграммы жидкость-пар модель можно применить для описания кривых распределения. Следует только освободиться от второй переменной, учитывая равенство t X i. Модель кривой распределения получим в форме полинома степени И : З цесь У-І и Xt - массовые (мольные) доли г-го компонента в сосуществующих фазах. При наличии известной критической точки или солютропной яоды модель можно брать в виде где х І - массовая (мольная) доля і -го компонента в критической ТОЧКе (ИЛИ СОЛЮТРОПНОЙ). Модель (2.6) При Xjs: х/ дает точное равенство х[ = xt - z/ Примером обсуждаемой модели служит модель кривой распределения уксусной кислоты в системе вода-уксусная кислота-изо-пропиловый эфир при нормальном давлении и температуре 20 С, рассчитанная в массовых долях по литературным данным [lI5, табл.3102]: Здесь х[ и х 1 - массовые доли уксусной кислоты в эфирном и водном слоях соответственно. Среднеквадратическое отклонение модели (2.7) составляет 0,017 мае. доли.
Известные методы корреляции равновесных сопряженных составов (Хэнда, Отмера-Тобиаса, Бахмана и др.) предназначены только для трехкомпояентных смесей. Формально-математическим моделям многообразия конод в многокомпонентных системах не уделялось достаточного внимания, хотя такие модели необходимы для САПР процессов разделения. Цель этого параграфа - заполнение указанного пробела. В расслаивающейся а - компонентной системе многообразие конод представляет собой семейство прямых линий, расположенных определенным для каждой смеси образом. При надлежащем выборе нормированного координатного базиса в пространстве прямых линий, однозначно определяющего местоположение коноды, можно описать все многообразие конод с помощью модифицированных полиномов Шеффе. Прямая линия в многомерном симплексе описывается системой линейных уравнений [lI7] где Xi} Хп - соответственно /-я и я-я координаты прямой; Q - количество компонентов смеси; Z-i -4 ... Z-Q-I] точка пересечения прямой с выбранной граничной гиперплоскостью (0-1) — мерного симплекса (или ее радиус-вектор); {ч " %- \ " направляющий вектор прямой линии \lli\ . Векторы Z и L можно считать внутренними координатами коноды в пространстве прямых и на многообразии конод. Геометрический смысл этих координат показан на рис.2.2 и 2.3. Для каждой пары сопряженных равновесных составов Х { »., Ц ) и "= Iх" х% } » известных из эксперимента, координаты коноды Z, и L вычисляются по формулам Дня описания многообразия конод необходимо наложить связь на внутренние координаты Z и L . Модели равновесия Жидкость-жидкость (модели многообразия конод) различных смесей будут отличаться лишь видом или коэффициентами системы уравнений, связывающих Z и L В качестве координатного пространства Z выбирают любую граничную гиперплоскость симплекса, непараллельную ни одной коноде. Однако удобнее выбирать эту плоскость так, чтобы все точки пересечения конод с ней лежали внутри граничного элемента симплекса. В некоторой точке М этой координатной гиперплоскости граница симплекса будет пересекаться конодой под определенным углом, обусловленным индивидуальными особенностями рассматриваемой смеси. Для другой смеси через эту же точку М конода будет проходить под иным углом. В силу стехиометрического соотношения (1.7) из формул (2.9) и (2.10) следует, что внутренние координаты Z ні тоже нормированы: Это свойство позволяет для описания связи с 2 ис пользовать модифицированные полиномы Шеффе [ІІ8І : где Xi m " МНОЕество " компонентных смесей, содержащих j -й компонент в (Q -2) - мерном пространстве 2. ; Р. "г , ; - полином Шеффе ( П-т )-й степени для подсис-темы tj iz "j"" Pi Ц"- искомые регрессионные коэффициенты уравнения. При обработке экспериментальных данных коэффициенты следует искать для Q-2 уравнений (2.13), а одну из координат, например &0-4 , определять из соотношения (2.12). Совокупность уравнений (2.8) и (2.13) образует математическую модель многообразия конод для расслаивающейся двухфазной многокомпонентной смеси. Область физического смысла этой модели ограничена бинодальной поверхностью (кривой) внутри концентрационного симплекса. Точки пересечения конод с бинодалыо представляют собой сопряженные составы жидких фаз, находящихся в равновесии в рассматриваемых физических условиях. Следовательно, системы уравнений (2.8), (2.13), дополненные уравнением би-нодали (2.1), образуют математическую модель равновесия жидкость-жидкость.
Особенности перехода стациояарншли точками границы концентрационного симплекса
При изменении параметров динамической системы ректификации стационарные точки меняют положение в фазовом пространстве. Ге ометрическое место положений стационарной точки динамической системы при изменении параметров системы будем называть многообразием (линией) стационарности, или S -многообразием ( S-линией). Однопараметрическое S-многообразие при постоянном Хр и переменном т назовем «5 -линией. При постоянном Ш и переменном Хр будем говорить о -многообразии. те-линия зависит от одного параметра иг , т.е. Sm -линия для смесей с любым числом компонентов является в об щем случае одномерной линией в симплексе и лишь в редких слу чаях нуль-мерной точкой. Возможность S -лЛинии вырождаться в точку связана с тем, что 5т-%яиния определяется в пространст ве-произведении ЛГх X , где X - концентрационное прост ранство, a JR. положительная полуось . Однако обычно пользуются (и мы в дальнейшем будем пользоваться) канонической проекцией т ллнии в концентрационное простран ство , называя последнюю тоже Sm-линией. В случае ортогональности -линии (в пространстве Ж. ХЖ ) пространству J5f ее проекция на .X вырождается в одну точку. Размерность Sp -многообразия соответствует и, как правило, равна размерности многообразия переменных составов Хр . Однако, как и в случае 5т-линии, размерность Sp -многообразия может быть и меньше размерности Хр-многообразия. Если Jp меняется по одномерной линии, то 5р -многообразие тоже линия; если Хр меняется вдоль двумерной поверхности или плоскости, то размерность р-поверхности тоже равна двум. Итак, справедливы следующие соотношения: oft/77 w 1 Пусть А - матрица Якоби системы уравнений фазового -многообразия будут непрерывными, если cl-et V= - det (А-тЕ)ФО t и шеют разрыв, если detlJ-О [І27І . Область определения системы (I.I2) совпадает с областью определения системы уравнений парожидкостного равновесия и формально включает в себя внутренность концентрационного симплекса uzt X » ег0 границу ЭХ и область отрицательных концентраций (00К) [128]
Рассмотрим, каким из перечисленных элементов области определения могут принадлежать точки 3 - многообразий и при каких условиях линия стационарности может пересекать границу симплекса концентраций. На границе симплекса хотя бы для одного і б 4, (Q-i) - .- = 0. Если і =cj , то, не нарушая общности рассуждений, из полной системы линейно-зависимых уравнений (1.3) или (1.4) можно исключить не о- е уравнение, а любое другое. Подставив xi=0 в f- е уравнение системы (I.I2) и учитывая, что Ц;\ л , получим При 171 - I уравнение (3.6) удовлетворяется тождественно, независимо от значения ЗГу . Ясно, что в этом случае стационарные точки могут принадлежать элементам границы симплекса любой размерности от 0 до 0-2, . Поскольку при 171= I динамическая система ректификации вырождается в динамическую систему открытого испарения, стационарные точки в этом случае совпадут с особыми точками концентрационного симплекса, т.е. с вершинами или азеотропами. При т -ф. I и Xjp - О, т.е. когда фигуративная точка состава продукта лежит на элементе границы концентрационного симплекса, стационарная точка может как переходить на соответствующие элементы границы симплекса, так и двигаться по ним. Этот случай ХрбдХ рассматривался ранее [І2І . При ҐП їй ХІРІ1 0» т.е. когда фигуративная точка состава продукта лежит внутри концентрационного сиплекса, уравнение (3.6) не удовлетворяется. Следовательно, если продуктовая точка лежит внутри симплекса, /5 -линия не может непрерывным образом пересечь границу симплекса, за исключением прохода через точку азеотропа или вершину симплекса при /72 = I. Если продуктовая точка лежит на границе симплекса, то -члиния, кроме случая /я = I, может переходить на соответствующий элемент границы при Yn-Ф I, но тогда стационарная точка так и останется на этом элементе границы при дальнейших изменениях 111 . р-многообразие может пересекать границу симплекса при /77 Ф I лишь на участке пересечения границы с X -многообразием, т.е. многообразием, состоящим из фигуративных точек составов продукта. Главным результатом этого параграфа является обобщение для многокомпонентных смесей третьего закона Д.П.Коновалова -доказательство положительности якобиана отображения парожид-костного равновесия во всех точках симплекса составов (при изобарических или изотермических условиях, вне критических со стояний). Докажем еще два свойства динамических систем ректификации смесей с любым числом компонентов: выведем формулу связи спектров матриц Якоби правых частей динамических систем для разных значений параметра т (или флегмового числа) и докажем, что базис собственных векторов этой матрицы в любой фиксированной точке не зависит от значения Ш . Пусть Л - одно из собственных чисел матрицы А , а У -соответствующее собственное число матрицы U-А — га Е -матрицы Якоби правой части динаглической системы ректификации Cl.II). Из определения собственного числа матрицы вытекает следующая цепочка равенств
Алгоритм расчета на ЭВМ минимального флегмового числа
Алгоритм расчета основан на адаптивном поиске такого значения флегмового числа (общего параметра двух динамических систем исчерпывающей и укрепляющей секций ректификационной колонны) , при котором переход с траектории одной системы на другую произойдет посредством стационарной точки одной из систем. Алгоритм рассчитан на работу с дискретными динамическими системами (каскадами), или, иными словами, предполагает расчет тарельчатой колонны. Начальное значение Кпия = nUn рассчитывается по известной формуле Андервуда: где їй и ї„ - доля тяжелокипящего компонента в потоках питания и дистиллята соответственно; Ц - доля этого же компонента в паре, равновесном питанию. В расчете принимается, что питание падается в жидкой фазе. Отношение потоков жидкости и пара по высоте секции колонны принято постоянным, тепловой баланс не учитывается. Эффективность конденсатора и испарителя принималась равной нулю. Действительное Rntin совпадает с рассчитанным по формуле (4.2) только в том редком случае, когда нода жидкость-пар в точке питания совпадает с линией общего материального баланса. Как правило же, Д " Ryy . Иногда неверно сравнивают различные методы расчета Rtnln считая лучшим тот, который дает меньшее значение Rrniti то неправильно.
Всегда следует рассматривать условия применимости метода, обеспечивающие стыковку рабочих траекторий динамических систем при наименьшем значении флегмового числа с получением продуктов заданного состава. Адаптивность (и ускорение) поиска К « обеспечивается специальным методом варьирования шага поиска. Предлагаемый метод является модификацией одномерного симплекс-метода. Началь Uncf ное значение шага изменения R принято AR OfZR . В дальнейшем цикле поиска шаг его меняется по следующей схеме: ъ \ - oCAR , если направление поиска изменилось; А К =ч ( IS Л Д » если направление поиска осталось прежним. Для обеспечения сходимости необходимо положить 0 оС і и А , і . Для ускорения сходимости следует увеличивать /3 и уменьшать cL , однако при больших ft и малых оС возможно возникновение колебаний расчетной схемы. Специального математического исследования предложенного метода (как то: исследования зависимости скорости сходимости от о и JS , связи параметров сС и (S , их предельных значений и т.п.) не производилось. Опыт работы с программой расчета Rnun показал, что в нашем случае оптимальным вариантом будет о= 0,5 и J5= 1,1. Эти значения о( и R дают ускорение сходимости при далеком от истинного &пип начальном приближении и не позволяют численному процессу сильно раскачаться. В процессе работы алгоритма необходимо рассчитывать узловые стационарные точки траекторий. В предложенном алгоритме стационарная точка рассчитывается в два приема. Сначала проводится потарелочный расчет от куба вверх по колонне (или от дистиллята вниз) до тарелки, фигуративная точка состава на которой отстоит от точки, соответствующей соседней тарелке, менее чем на малое заданное число S . Затем положение стационарной точки уточняется по формуле (I.I2) с высокой абсолютной точностью (в программе принято ІСГ6). При потарелочном расчете траектория динамической системы запоминается в соответствующем массиве для дальнейшей обработки. При расчете ветви траектории, идущей от дистиллята, на каждой тарелке решается итерационным методом система уравнений (1.4) относительно лі}1с В дальнейшем тексте приняты следующие обозначения: Ь - стационарная точка ветви траектории исчерпывающией секции колонны, проходящей через фигуративную точку Ху/; 5 - стационарная точка ветви траектории укрепляющей секции колонны, проходящей через фигуративную точку Х$; Х ,Хтт, Xj) - фигуративные точки составов куба, питания и дистиллята соответственно;
