Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование стационарных гауссовских временных рвдрв с произвольной корреляционной функцией 14
1.1. Метод условных математических ожиданий 14:
1.2. Регуляризация алгоритма 20
1.3. Контроль точности вычислений 25
1.4. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой 29
Глава 2. Моделирование стационарных гауссовских полей с произвольной корреляционной структурой 45
2.1. Моделирование стационарных гауссовских полей. 45
2.2. Алгоритм Левинсона 51
2.3. Моделирование изотропных и локально изотропных гауссовских случайных процессов и полей 52
2.4. Моделирование стационарных гауссовских долей для корреляционных матриц одного специального вида 55
Глава 3. Использование алгоритмов шделироваеш гауссовских посвдрвательшстей и полей в некотошх прикладных задачах метеорологии 57
3.1. Учет влияния неопределенности в начальных данных на точность баротропного прогноза 57
3.2. О точности разложения вертикальных профилей тем пературы в ряд по собственным векторам выборочной ковариационной матрицы 64
3.3. Расчет некоторых характеристик выбросов временных рядов температуры воздуха 77
Общие выводя 88
Рекомендации по фактическому испольэованж) результатов диссертации 89
Примечание 90
Приложения 91
Литература 110
- Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой
- Моделирование изотропных и локально изотропных гауссовских случайных процессов и полей
- Моделирование стационарных гауссовских долей для корреляционных матриц одного специального вида
- О точности разложения вертикальных профилей тем пературы в ряд по собственным векторам выборочной ковариационной матрицы
Введение к работе
Методами статистического моделирования временных рядов и пространственных полей метеорологических элементов в настоящее время решается широкий круг задач, имеющих как практическое, так и методологическое значение. Имеется в виду, что эти ряды и поля являются случайными функциями с аргументом, принимающим дискретные значения.
Иногда только таким способом можно получить решение многих важных прикладных задач. В особенности велика роль статистического моделирования при изучении вероятностных характеристик экстремальных погодных условий. Обусловлено это тем, что экстремальные (или, лучше сказать, неблагоприятные с определенной точки зрения) значения метеорологических элементов встречаются сравнительно редко, поэтому имеющиеся ряды наблюдений, охватывающие обычно несколько десятилетий, не позволяют сколько-нибудь надежно оценить эти характеристики. Очевидный интерес представляет, например, распределение вероятностей годового минимума температуры воздуха в каком-либо конкретном пункте. В течение года фиксируется только одно значение этой случайной величины, так что объем выборки для статистических выводов совпадает с числом лет наблюдений в данном пункте. Но распределение вероятностей случайной величины, как известно, можно надежно оценить только по выборке из нескольких сотен элементов, следовательно, располагая данными наблюдений за минимальной температурой лишь по нескольким десятилетиям, мы лишены возможности решить задачу на их основе. В то же время объем всех (а не только экстремальных) измеренных значений температуры воздуха обычно достаточен для того, чтобы получить достоверные оценки для одномерных распределений вероятностей и нескольких моментов низшего порядка, а также для корреляционных функций. Эти характеристики могут служить входными данными для подходящей вероятностной модели временных рядов, с достаточной точностью отражающих свойства временных рядов температуры воздуха. Генерируя на ЭВМ в соответствии с этой моделью искусственные временные ряды большой длины, можно затем извлечь из них распределение вероятностей экстремальных значений температуры воздуха.
Хотя рассмотренный пример сам является экстремальным в том смысле, что количество наблюдений здесь крайне мало, однако с аналогичными трудностями приходится сталкиваться и при расчете различных вероятностных характеристик выбросов метеорологических процессов за высокие уровни. Большой вклад в постановку и конструктивное решение этих проблем внесен сотрудниками Главной геофизической обсерватории им. А.И.Воейкова (основополагающие результаты изложены в работах [№ № 4 \,55,5Ь]). Вероятностные модели для временных рядов некоторых метеорологических элементов и методы построения реализаций этих рядов разрабатывались также в Вычислительном центре СО АН СССР [20,24,25] .
Модельные временные ряды могут найти непосредственное применение в задачах расчета динамического воздействия метеорологических процессов на различного рода объекты и сооружения (системы). Здесь главный интерес представляет изучение реакции системы на воздействие метеорологического процесса, причем и реакция и воздействие могут быть векторными. В качестве примера укажем на деформации высотных сооружений при ветровых нагрузках или на выхолаживание отапливаемых помещений под совместным воздействием низкой температуры воздуха и скорости ветра. Обычно не удается выразить реакцию системы на входное воздействие в виде простого аналитического выражения, хотя известны дифференциальные уравнения, описывающие работу системы. В таких случаях результат можно полу - 6 чить многократным численным решением этих уравнений для независимых реализаций воздействующих метеорологических процессов, построенных в соответствии с подходящей вероятностной моделью.
Распределения вероятностей большинства метеорологических элементов заметно отличаются от нормального [ 2 0,1L\ 25, 4 3, 55]. Кроме того, метеорологические процессы нестационарные, что проявляется прежде всего в наличии суточного и сезонного изменения параметров одномерного распределения вероятностей.
Тем не менее моделирование стационарных нормальных (гаус-совских) временных рядов с произвольной корреляционной структурой играет фундаментальную роль в задачах построения нестационарных временных рядов с произвольным одномерным распределением вероятностей. От не стационарности удается хотя бы в первом приближении избавиться путем подходящих функциональных преобразований, а редукцию нормальных величин в произвольно распределенные можно всегда осуществить с помощью универсального метода "обратных функций" \%л 8 ] .
Иногда удается найти прямое преобразование гауссовского временного ряда в ряд с заданным распределением Fcx) без использования метода "обратных функций", что существенно упрощает процедуру моделирования [20 24,25 42] другой важной областью применения методов статистического моделирования в метеорологии являются задачи, связанные с динамико-вероятностным прогнозом 32,35,44 47,HJ, в частности, при решении прогностических уравнений с использованием разностных методов желательно учитывать неопределенность в начальных данных, обусловленную ограниченностью и нерегулярностью сети метеорологических станций. Если рассматривать начальные поля метеоэлементов как случайные, то оптимальный в среднеквадратическом смысле прогноз получается решением бесконечной зацепляющейся цепочки уравнений для моментов вероятностного распределения. Для того, чтобы численно решить эту задачу, применяются разные способы замыкания системы, например, предполагается, что начальные и прогностические поля распределены совместно нормально. Это - искусственное предположение, ибо прогностические уравнения, как правило, нелинейные.
Использование методов статистического моделирования позволяет избавиться от этой трудности. Решение всей системы уравнений для моментов можно получить косвенно путем моделирования ансамбля начальных случайных полей с решением прогностического уравнения для каждого элемента ансамбля. Соответствующая статистическая обработка прогностических полей при достаточном объеме выборки дает искомое решение и снимает проблему замыкания системы уравнений для моментов. При этом наибольший интерес представляют лишь младшие моменты распределения - средние значения и ковариации, так что такой подход в некоторых случаях оказывается проще в вычислительно отно -шении по сравнению с непосредственным решением системы уравнений для моментов. Для этой цели необходимы алгоритмы моделирования случайных полей метеоэлементов, которые, как и в случае временных рядов, могут быть получены из соответствующих гауссовских полей.
К настоящему времени разработано достаточно много алгоритмов, позволяющих строить гауссовские временные ряды с широким классом корреляционных функций Г 5, 8 , АО , АЛ t 27, 2 9, 55, 8, G Ъ%ЛС. 42,4 5,50,63GG],Одной из первых в этой области является работа Е.М.Шойера и Д.С.Столлера {,66 ] . В ней излагаются общие пршщипы моделирования гауссовских векторов (рассматривается нестационарный случай), основанные на двух типах линейных преобразований независимых гауссовских величин с нулевым средним и единичной дис - 9 Персией. В первом случае матрица линейного преобразования получается из заданной корреляционной матрицы путем разбиения последней на произведение двух треугольных. Во втором случае реализуется метод условных математических ожиданий, в котором каждая последущая случайная величина является условным математическим ожиданием относительно предыдущих смоделированных случайных величин. Для моделирования нестационарных (по корреляциям) временных рядов большой длины метод неэффективен из-за трудоемкости вычислений, однако он может быть кардинально упрощен в стационарном случае. Каким способом это достигается, показано в первых двух главах настоящей диссертации.
Все остальные известные нам алгоритмы моделирования временных рядов, невзирая на их простоту в вычислительном отношениии ориентированы на специальные классы корреляционных,функций и, таким образом, не обладают универсальностью. В равной мере это относится также к алгоритмам моделирования случайных полей [ -Ь 9? 40, 44,28, 29, 36 , 49 .
Главная цель настоящей работы состояла в разработке универсальных и эффективных алгоритмов моделирования скалярных и векторных гауссовских стационарных последовательностей большой длины с произвольной корреляционной структурой как основы для моделирования метеорологических процессов и полей. В качестве приложения этих алгоритмов исследовано влияние неопределенности в начальных данных на точность баротропного прогноза, предложена и на конкретном материале проиллюстрирована методика оценки статистической устойчивости базиса из собственных векторов выборочных ковариационных матриц метеоэлементов, а также методика вычисления вероятностных характеристик сильных и продолжительных понижений температур и воздуха.
Задача по учету неопределенности в начальных данных при гидродинамическом прогнозе метеорологических полей в общей постановке состоит в следующем.
Включенные в диссертацию прикладные задачи представляют самостоятельный: интерес каждая по отдельности, но их объединяет методика решения - все они решаются (и, как представляется, только так могут быть решены) на основе модельных временных рядов и полей.
Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой
С точки зрения многих приложений при моделирвании последовательностей %А %2 " %v\ большой длины оказывается достаточным учет точной зависимости между % к JS.L.L ТОЛЬКО ДЛЯ W m t где па - некоторый характерный масштаб корреляции. Это позволяет существенно упростить процедуру (I.I.9), ибо можно положить Рц+Л ПК-ЧЗ =0 для всех К Vn. Ниже мы покажем, что моделируемый процесс тем самым превращается в процесс авторегрессии конечного порядка Стационарным авторегрессионным процессом YYI -го порядка, как это обычно принято \A,L\ $%,№} называют последовательность случайных величин ... 50 э 2U удовлетворяющих разностному уравнению где б 4? &2.у .-; P YYL вещественные коэффициенты (коэффициенты регрессии); S - вещественное число, нормирующее дисперсию процесса, ... Ф. Ч Л Vhu, - некоррелированные случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией.
При этом предполагается, что все корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы. Только в этом случае стационарное решение уравнения (I.4.I) имеет вид бесконечного (и сходящегося в с.к. смысле) скользящего среднего, направленного "в прошлое", именно: где Ск - соответствующие коэффициенты [59J . Константу удобно выбрать из условия 0 .,—И . Так как, согласно (1.4.3), и t-4 -a — некоррелированы, то следует положить где л ? " w значени? корреляционной функции J, авторегрессионного процесса (I.4.I). Мбжно показать, что правая часть в (1.4.4) всегда неотрицательна. Благодаря представлению (1.41.3) корреляционная функция удовлетворяет разностному уравнению Юла- Уолкера [ № ] которое линейно связывает W -M ее смежных значений из последо вательности 9 .... , Рч , Ро , А ,. ., Р оо -Раз- ностное уравнение решается при условиях р - \ , р = Ри » у » р _ , означающих нормированность корреляци- онной функции и ее четность (после того, как решение найдено, при hl Wi полагают Р - , ) Таким образом, при любых заданных коэффициентах регрессии (обеспечивающих, разумеется, расположение всех корней уравнения (1.4.3) внутри единичного круга на комплексной плоскости) корреляционная функция однозначно определяется уравнением (1.4.5). Нас интересует своего рода обратная задача: можно ли построить авторегрессионный процесс Иг -го порядка, корреляционная функция которого р. в начальных точках [v о, til) Кг- совпадает со значениями Хе - -1, Х\ ,«.,; tyyt произвольно заданной корреляционной функции , . Будет показано, что эта задача имеет решение, которое является единственным. Конкретнее она состоит в следующем. Для \ь-А г k..,m, с учетом четности корреляционной функции из (1 4.5) получаем систему соотношений где Р0 = 1 Поскольку pk однозначно определяются параметрами л. л2 Ьц » то выписанные соотношения являются просто тождеством.
Вместо fojP-o " иг- подставим в (1.4.6) начальные значения ЧС = л 9 k,, у , произвольно заданной корреляционной функции, и будем рассматривать полученные соотношения как систему уравнений относительно рч,р г 1(.5 2 3 того, что Л 4 , .., fc w - УТЬ начальные значения положительно определенной корреляционной функции t\ , следует, что матрица коэффициентов этой системы - положительно определена, поэтому она имеет единственное решение относительно ki, р2, " рпг Будет показано, что найденные таким способом параметры при положительной определенности расширенной матрицы К. . действительно являются коэффициентами авторегрессиинного разностного уравнения вида (1 4.1), или, иначе говоря, что составленное на их основе характеристическое уравнение (1.4.2) имеет корни, находящиеся внутри единичной окружности на комплексной плоскости. Поскольку авторегрессионное уравнение имеет только одно стационарное решение вида (1.4.3) и только одну корреляционную функцию, удовлетворяющую уравнениям Юяа-Уолкера, то начальные значения -этой корреляционной функции будут совпадать с Л, ,, Ъщ, в силу (1.4.7). Любое последующее значение находится рекурсивно с помощью (1.4.5). Благодаря свойствам корней характеристического уравнения процесс, описываемый уравнением (I.4.I), при произвольных начальных значениях для . через достаточно большое число шагов пе- е г рейдет в стационарный режим. Однако это не самый экономный способ численного моделирования его реализаций. Удобнее параллельно с решением системы (1.4.7) построить специальные начальные значения0 при которых он сразу (без предварительного стационирования) будет обладать нужными корреляционными свойствами. В качестве начальных возьмем случайные величины 12 i " rw?CTanH0HaPH0 связанные друг с другом корреляциями t, , \і=А.т-А . Как было показано в параграфе IД, такие величины могут быть вычислены по схеме .
Моделирование изотропных и локально изотропных гауссовских случайных процессов и полей
Под стационарным двумерным полем понимается набор корреляционно связанных друг с другом \у\ -мерных векторов и , компоненты которых локализованы в узлах регулярной пространственной сетки. Если эти векторы стационарно связаны друг с другом, то гауссовокое случайное голе можно построить по изложенной выше схеме. Задача несколько упрощается, если требуется моделировать изотропные поля. В этом случае матрицы RK симметричны и их элементы вычисляются с учетом того, что корреляции между -к и t l зависят лишь от К - [(i-j) + СК-Е) ] , Иногда можно ограничиться построением локально изотропных полей, т.е. таких, что корреляции зависят от Ъ только при % 10 $ а при ч, Ъ0 Удовлетворяют более общему требовашш стационарности, обеспечивающему указанный выше специальный вид матрицы R )
Это позволяет существенно разгрузить оперативную память машины. Локально изотропное поле можно строить по одной из следующих схем где 0S - блочная нулевая матрица-столбец, составленная из нулевых блоков размерности тхт каждый. 2) Процедура (2.1,8) без упрощений реализуется для построе- """ — ..у. ния векторов g І размерности m 0 - t0 + -1 каждый. На последнем шаге будет получена матрица u [wl , которую с применением алгоритма Левинсона (2.2.2) нетрудно трансформировать в матрицу Ь [w0l » составленную из т0 блоков размерности Hxvi каждый и позволяющую дальнейшее построение поля производить по формулам: Матрица u t »Г] теперь насчитывается последовательно по блочным столбцам размерности Won 0 , а это уже требует значительно меньший объем памяти ЭВМ. Например, если строится локально изотропное поле размером 100 х 100 С 1С = -6Г , то для реали- —» зации алгоритма по схеме I) требуется запомнить матрицу В 1.5"] размерности 100 х 100 х 5, а по схеме 2) матрица L5"] вычисляется последовательно (при этом параллельно вычисляются соответствующие компоненты поля) и запоминать необходимо лишь 5 х 5 х 100 чисел. Обе эти схемы построения локально изотропных полей универсальны в том смысле, что пригодны для пространственных корреляционных функций любого вида.
В ряде случаев в зависимости от характера пространственных корреляций процедуру моделирования можно кардинально упростить. Речь об этом пойдет в следующем параграфе. Алгоритм моделирования гауссовских векторов h = { л 3,%.л ) с корреляционными матрицами вида (I.I.2) в некоторых случаях мож- но эффективно использовать для построения векторных гауссовских последовательностей }tz у ..., їп t т.е. вектора Jtri) с ковариационными матрицами R(_n) специального вида [5/15,4 „Если матрица R может быть представлена в виде прямого произведения стационарных корреляционных матриц j y и R.J/ , т.е. если элементы матрицы К(И) удовлетворяют соотношениям где YYI размерность векторов ft ; Е ,Ю PIUKI и РіА\ - элементы матриц R и R .Легко показать, что моделирование вектора gflM сводится к следующим операциям. Вначале неза- висимо моделируются векторы н?Чг 1" м с корреляционной матрицей Rn каждый, затем из первых компонентов этих векторов составляется ЇЇІ -мерный вектор 6 А , из вторых компонентов - вектор 9, и т.д. Ясно, что компоненты каждого из векторов 9-і р 2)111 0И независимы. Подставляя эти компоненты вместо Ф; (1.1.7) получим в конечном счете набор векторов , «, и с требуемыми корреляционными свойствами. Таким образом, описанный в I.1 алгоритм позволяет эффективно решить эту частную задачу даже при значениях vn и vi , измеря- _ Ш (2.) еМЫХ тысячами, для корреляционных функций Р «_К , Pj -gl произвольного вида, что практически нельзя сделать с помощью известных алгоритмов (см., например, [5, 5,49] ). В этой главе приводятся примеры практического использования алгоритмов, изложенных в главах I и П. На примере баротропного уравнения вихря исследуется влияние неопределенности в начальных данных, обусловленной ограниченностью сети метеорологических станций на точность прогноза поля геопотенциала [32]
Приводится приближенный алгоритм моделирования условных полей геопотенниала в узлах регулярной сетки при фиксированных значениях этого метеоэлемента в пунктах наблюдений [ЪЪ] . Далее изучается точность разложения вертикальных профилей температуры воздуха в ряд по собственным векторам выборочной ковариационной матрицы. И, наконец, на основе вероятностной модели временных рядов температуры воздуха [24] методом статистического моделирования вычисляются некоторые важные для многих приложений числовые характеристики выбросов процесса.
Моделирование стационарных гауссовских долей для корреляционных матриц одного специального вида
Ограниченность сети метеорологических станций и наличие ошибок измерений, приближенный характер граничных условий, а также самих прогностических уравнений и численных методов их решения, приводят к тому, что точный гидродинамический прогноз оказывается невозможным.
Для принятия оптимальных решений в этих условиях может быть использован аппарат теории случайных процессов с целью построения моделей, синтезирующих гидродинамические и вероятностные методы прогноза [44 , 4?, 6-І ] Одним из путей, реализующих такой синтез, является учет не-определенности в начальных данных. Исходные данные измеряются только в пунктах наблюдений, а требуемая для прогноза начальная информация должна быть сосредоточена в узлах регулярной сетки. В тех случаях, когда станции сильно удалены друг от друга, методы оптимальной интерполяции [6] дают погрешности, которые могут существенно ухудшить результаты прогноза. В этом параграфе, на примере баротропного прогноза малой заблаговременности, исследуется влияние неопределенности в начальных данных на некоторые статистические характеристики прогнозируемого поля. Задача решается с использованием алгоритмов, изложенных выше в главах I и П. Если задан только вектор х - (х , ,.., 9е ) значе ний метеоэлементов в К пунктах наблюдений, то в начальный момент времени в W узлах регулярной сетки может реализоваться любое значение случайного вектора ( д)«-- Вц)из ансамбля У Бех возможных его значений, распределенных с услов-ной плотностью W0 С Х І 11 J х . Решая на интервале времени [До "bj ту или иную прогностическую систему уравлений для каждой точки этого ансамбля, получим соответствующий ансамбль Ч прог-ностических векторов (ji)-« Sn),распределенных с условной плотностью вероятности \д/ ( X 7 Наиболее полной формулиров-кой прогноза как раз является задание плотности вероятности WJ (X I & / Ясно, однако, что вычисление этой плотности для нелинейных систем прогностических уравнений - задача большой слож-ности. Но если бы даже функция W. (X х) б "13 вычислена, все равно для многих приложений интерес представил бы категорический
Двумерные поля, заданные в К узлах регулярной сетки, при необходимости интерпретируются как векторы размерности W . Иначе говоря, двухиндексная нумерация узлов сетки заменяется одно-индексной. 9 -прогноз, т.е. только одно значение вектора из ансамбля д Выбор такого вектора может быть основан на различных критериях, например, как предложено В.И .Татарским [ Ц] 1 на основе требования, чтобы плотность вероятности W, С л (х ) была максимальна. Более общий подход состоит в выборе точки % X из условия миниму-ма среднего квадрата разности \(A Z) W(X I х)dд.Требуемый минимум достигается, если X совпадает с условным математичес-ким ожиданием JJL вектора при заданных х }хас,..,,х # Используя метод Е.С.Эпштейна [ 6 і ] в этой ситуации, можно показать, что при обращении в нуль моментов третьего порядка система уравнений для условных средних значений д, и условных ковариа-ций (Гц применительно к прогностическим уравнениями типа В случае, когда уравнение(ЗД является уравнением вихря [26 ] } ; обозначает геопотенциал в і -м узле регулярной сетки, Qy. и b.j - известные коэффициенты, а точки над переменными в левых частях уравнений (3.1.1) и (3.1.2) обозначают дифференцирование по времени. По повторяющимся индексам производится суммирование от I до П . Система уравнений (3.1.2) в принципе может быть решена на ЭВМ достаточно большого Быстродействия. По трудоемкости задача -эквивалентна решению примерно \\г\2. уравнений типа (3J.I). Но если даже не считаться с трудоемкостью этой задачи, следует помнить об искусственном способе ее замыкания,-обстоятельство}которое с увеличением заблаговременности может существенно повлиять на результаты прогноза. Возможен принципиально другой метод вычисления условных средних значений и ковариаций, характеризующих оптимальній прогноз. Суть этого метода состоит в моделировании ансамбля начальных слу-чайнных векторов X 1, )/ 5и ) J при фиксированных данных в пунктах наблюдений, решении прогностической задачи для каждого элемента ансамбля и последующей статистической обработке ансамбля прогностических векторов. Во многих случаях усреднение по нескольким десяткам независимых прогностических векторов приводит к достаточно устойчивым в статистическом смысле условным средним значениям и ковариациям, так что практически приемлемые результаты можно получить со значительно меньшими затратами машинного времени, нежели при численном решении системы уравнений (3.1,2). Кроме того, реализация этого метода не связана с проблемой замыкания системы уравнений для условных моментов распределения.
О точности разложения вертикальных профилей тем пературы в ряд по собственным векторам выборочной ковариационной матрицы
Для решения некоторых задач метеорологии, в частности, по гидродинамическому прогнозу метеоэлементов, используется разложение вертикальных профилей в ряд по собственным векторам ковариа-ционных матриц [26, 3 о _, 34 , 4 О J . Пусть [\А} 72 .,.Д» " на бор ортонормированных vn -мерных векторов, образующих базис в пространстве W измерений. Тогда случайный m -мерный вектор g можно представить в виде Если в этом разложении ограничиться только несколькими первыми слагаемыми, то вектор будет отличаться от точного своего значения на величину, средний квадрат которой равен где 2. - ковариационная матрица вектора 5 Известно 3 Л, что ортонормированный базис является в указанном смысле наилучшим для разложения случайного вектора, если он составлен из собствен- ных векторов d. }c(z „t? oL ковариационной матрицы этого век тора, занумерованных в порядке уменьшения собственных чисел \л"%. Х2 Ъ .., X И матрицы J.
Тогда, очевидно, Если вектор составлен из значений какого-либо метеоэлемента (например, геопотенциала, температуры воздуха и т.п.) на разных оказывается незначительной даже при использовании небольшого числа членов разложения. В действительности истинная ковариационная матрица 21 актора неизвестна. Поэтому для разложений такого рода исполь-зуется ортонормированный базис й1рС12) ,.. , (Хт из собственных векторов выборочной ковариационной матрицы где ,, 2, ..., и выборка наблюдений над 5 . Отметим, что эта выборка состоит, как правило, из коррелированных наблюдений, поскольку они отделены друг от друга небольшими интервалами времени, например, интервалом 6 час при четырехразовых аэрологических наблюдениях. Представляет интерес выяснить, как сказывается выборочный характер базиса ОЦ Q2) ., (Хт на точности представления векто- -» ра в виде укороченного ряда Решение этой задачи аналитическими средствами представляет боль- шие трудности. Даже для случая, когда - нормальный вектор, а наблюдения над ним независимы, отсутствуют простые теоретические результаты для ковариационных матриц 2. » отличных от единичной [2,46,52"] . Задача может быть решена методами статистического —? моделирования выборки наблюдений над при заданной мат- рипе Z. х . Средний квадрат разности между [ КІ и равен Здесь оператор М означает усреднение по всевозможным значени-ям случайного вектора при фиксированной выборке наблюдений над ним, так что W - случайная величина с распределением вероятностей на множестве всех возможных выборок объема И, . Удобнее, однако, вместо ЛІК] использовать относительную погрешность Ясно, что с LK] - случайная величина со значениями из интервала [0} П Наряду с этой случайной величиной будем рассматривать также случайную величину Распределения вероятностей обеих величин зависят не только от X , но также от размерности вектора № и объема выборки П .
Главная наша задача - найти такой наименьший объем выборки У (для конкретных наборов значений к и w ), при котором 0LK-1 с заданной вероятностью р , близкой к единице, попадает в интервал ( 0,8 ), где - задано, равно, скажем 0,05 или х В работе [З ] с помощью статистического моделирования независимых гауссовских векторов с корреляционной матрицей марковского типа исследуются статистические свойства максимальных и минимальных собственных чисел выборочной ковариационной матрицы в зависимости от объема выборки и размера матрицы. ОД. Будем решать задачу применительно к вертикальным профилям температуры воздуха со значениями на высотах 0,5; I ; 1,5; 2; ... .; 16 км, предполагая, что они представляют собой векторы с нормальным распределением вероятностей. Для простоты, но не в ущерб общности, среднее значение вектора считается равным нулю. Иначе говоря, рассматриваются отклонения температуры воздуха от климатических норм на соответствующих высотах. Б качестве истинной ковариационной матрицы возьмем матрицу межуровенных ковариации температуры воздуха для Ташкента в январе месяце (табл. 3.2.1)х . Задача теперь сводится к моделированию выборок различного объема из нормального распределения с указанной ковариационной матрицей. Будем моделировать выборки, составленные как из независимых, так и из зависимых наблюдений; последнее делается для того, чтобы проследить влияние связности выборки на точность выборочных характеристик. I) Рассмотрим вначале случай независимых наблюдений л 5 , . -. и . Поскольку 2 - матрица нестационарная, то каждый элемент выборки моделируется как %. = Д Ц . , где і нормальный вектор с нулевым средним значением и единичной ковариационной матрицей, А - нижняя треугольная матрица, A A =Z_ . Реализация этой процедуры не представляет трудности ввиду неболь-шой размерности вектора g .
В наших расчетах размерности этого вектора приписывались три значения УЯ = 6, 12, 18, при этом ковариационные матрицы для векторов размерности Уп = 6 и га = 12 являлись подматрицами 18-размерной матрицы в табл. 3.2.1. Расчеты для векторов всех трех размерностей проводились независимо. Для вычисления вероятностей р(9 LK.1 ) использовалось 1000 неза- х Эта матрица вычислена по данным 8-летних четырехсрочных на.бЬ людений и опубликована в [ і % ] .
