Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современное состояние исследований сложного радиационно-кондуктивного теплообмена 19
1.1. Общая характеристика проблемы 19
1.2. Фазовый переход 1 рода в полупрозрачных средах 27
1.3. Дифференциальные методы расчета в теории радиационного теплообмена в полупрозрачных средах 39
1.4. Выводы и постановка проблемы исследования 48
ГЛАВА 2. Нестационарный радиационно-кондуктивныи теплообмен в плоском слое полупрозрачной среды с фазовым переходом 1 рода 51
2.1. Классическая постановка задачи Стефана в полупрозрачной среде 52
2.2. Методика и алгоритм численного решения краевой задачи 62
2.3 . Роль коэффициентов поглощения и радиационно-кондуктивного параметра на теплоперенос при плавлении 68
2.4. Влияние отражения излучения от непрозрачных границ и границы раздела фаз на формирование Т-поля и тепловых потоков в процессе плавления... 81
2.5. Радиационно-кондуктивный теплоперенос при затвердевании полупрозрачного материала 89
ГЛАВА 3. Применение модифицированного метода средних потоков к задаче радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачной среде с фазовым переходом 1 рода 96
3.1.Использование метода средних потоков к решению задачи радиационного теплообмена в многослойной полупрозрачной системе 96
3.2. Влияние отражения и рассеяния излучения на процесс фазового превращения плоского слоя полупрозрачной среды 109
3.3. Задача Стефана в полупрозрачной среде с учетом преломления и отражения излучения на поверхности раздела сред 121
3.4 Учет селективности излучения в процессе фазового превращения 131
3.5. Предел применимости классической модели фазового перехода для полупрозрачной среды 138
ГЛАВА 4. Фазовый переход 1-го рода в лейкосапфире 141
4.1. Оптические и теплофизические свойства монокристалла и расплава окиси алюминия 141
4.2. Задача Стефана в лейкосапфире с учетом зависимости теплофизических и оптических свойств от температуры и длины волны излучения 152
4.3. Формирование Т-поля и градиентов температуры при кристаллизации лейкосапфира 155
4.4. Кристаллизация окиси алюминия при контактных и бесконтактных граничных поверхностях 159
ГЛАВА 5. Радиационно-кондуктивньіи теплообмен при фазовом превращении полупрозрачного материала с образованием двухфазной зоны 168
5.1. Обобщенная постановка задачи Стефана в полупрозрачной среде 173
5.2. Численный метод решения 184
5.3. Формирование температурных полей и тепловых потоков в процессе плавления 189
5.4. Образование двухфазной зоны при затвердевании полупрозрачной среды 195
5.5. Влияние рассеяния излучения на динамику переходной зоны 199
ГЛАВА 6. Однофазная задача стефана для полупрозрачной среды 206
6.1. Постановка задачи 207
6.2. Метод решения задачи 209
6.3. Анализ плавления полупрозрачной пластины 213
Заключение 225
Основные обозначения 229
Литература 231
Примечание 254
- Фазовый переход 1 рода в полупрозрачных средах
- Роль коэффициентов поглощения и радиационно-кондуктивного параметра на теплоперенос при плавлении
- Влияние отражения и рассеяния излучения на процесс фазового превращения плоского слоя полупрозрачной среды
- Задача Стефана в лейкосапфире с учетом зависимости теплофизических и оптических свойств от температуры и длины волны излучения
Введение к работе
Актуальность проблемы. Исследование сложного радиационно-
кондуктивного теплообмена при плавлении и затвердевании полупрозрачных материалов охватывает область от низких температур, например, плавление льда солнечным излучением, до высоких температур, например, рост кристаллов из расплава, технология производства полупрозрачных материалов. Эффективность работы различных устройств и аппаратов, использующих монокристаллы полупрозрачных материалов, в значительной мере зависит от их качества и размеров, которые определяются формированием температурного поля, обусловленного совместным переносом тепла теплопроводностью и излучением, в процессе плавления исходного материала и последующей его кристаллизации. К технологическому процессу выращивания монокристаллов предъявляются весьма жесткие требования по стабильности теплового режима во времени. Управление таким процессом требует детального изучения формирования температурного поля, динамики фронта фазового перехода в условиях преобладания излучения в переносе тепла. В технологических процессах лазерной обработки керамик из тугоплавких оксидов используются циклы быстрого нагрева и охлаждения, анализ теплового режима которых нужно проводить с учетом частичной прозрачности самих материалов для теплового излучения. Так как полупрозрачные среды обладают высокой прозрачностью для теплового излучения в определенных областях спектра, экспериментальное исследование температурных полей в объеме полупрозрачного материала при высокой температуре представляет значительные трудности. Традиционные контактные методы здесь непригодны, а бесконтактные позволяют измерять значения температур на поверхности образца. Поэтому проблема расчета температурных полей и тепловых потоков при плавлении и кристаллизации полупрозрачного материала в объеме системы расплав-кристалл на основе математического моделирования радиационно-кондуктивного теплообмена является весьма актуальной.
По данной проблеме до сих пор имеется крайне ограниченное количество работ. Это связано с тем, что исследование комбинированного теплообмена, являющееся достаточно сложным само по себе, при строгом учете излучения наталкивается на дополнительные математические трудности, обусловленные решением интегро-дифференциального уравнения переноса излучения в сопряженных двухслойных системах. Преодоление указанных трудностей стало возможным с развитием вычислительной техники и методов расчета радиационного теплообмена. Очевидно, понимание сложного xapafrg^ ИгцшиліГіїї'вмя
теплопроводности и излучения требует тщательного анализа процесса теплообмена при фазовом переходе 1 рода полупрозрачного материала.
Целью работы является расчетно-теоретическое исследование радиационно-кондуктивного теплообмена при плавлении и затвердевании плоского слоя поглощающей, излучающей и рассеивающей полупрозрачной среды. В связи с этим в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:
разработка численной модели и алгоритма расчета радиационно-кондуктивного теплообмена в поглощающей и излучающей среде на основе прямого интегрирования уравнений переноса излучения в двухслойной системе при использовании классической модели фазового перехода;
разработка численной модели и алгоритма расчета радиационно-кондуктивного теплообмена в поглощающей, излучающей и рассеивающей среде на основе применения метода средних потоков для решения уравнения переноса в многослойной системе с учетом отражения и преломления излучения на границе раздела фаз и селективности оптических свойств с использованием классической модели фазового перехода;
анализ особенностей формирования температурного поля, тепловых потоков, динамики границы раздела фаз в зависимости от определяющих параметров задачи (оптических свойств среды, рассеяния излучения, отражения излучения от непрозрачных внешних границ и от границы раздела слоев из-за разницы в показателях преломления) в сером приближении, а также с учетом зависимости оптических свойств от длины волны излучения и температурной зависимости теплофизичсских свойств материала;
уточнение математической модели, описывающей теплообмен при фазовом переходе 1 рода полупрозрачного материала;
разработка численной модели и алгоритма расчета радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачной среде при использовании обобщенной модели фазового перехода, учитывающей образование двухфазной зоны;
анализ динамики двухфазной зоны в зависимости от рассеяния излучения;
- анализ радиационно-кондуктивного теплообмена при использовании
однофазной модели фазового перехода.
Научная новизна. В диссертации впервые:
- на основе использования метода средних потоков для решения
уравнения переноса излучения разработан алгоритм численного расчета
полей температуры и тепловых потоков при плавлении и затвердевании
плоского слоя поглощающей, излучающей и рассеивающей среды с
учетом отражения излучения от внешних непрозрачных границ, от внутренних границ из-за разных коэффициентов преломления, зависимости оптических свойств от длины волны излучения;
- проведен подробный анализ влияния, практически, всех определяющих
параметров процесса на формирование температурного поля и на
скорость движения фронта при плавлении и затвердевании плоского
слоя полупрозрачной среды в сером приближении, а также с учетом
селективности оптических свойств среды с использованием
классической модели фазового перехода;
выявлены условия нарушения монотонности температурного распределения при использовании классической- модели фазового перехода 1 рода, проявляющиеся в виде перегрева твердой фазы в процессе плавления или переохлаждения жидкой фазы в процессе затвердевания, и указано на неприменимость этой модели при такого рода нарушениях ;
разработан алгоритм численного решения радиационно-кондуктивного теплообмена в процессе фазового превращения полупрозрачной среды с применением обобщенной модели фазового перехода, учитывающей образование двухфазной зоны из-за радиационного теплопереноса;
получены численные результаты температурного распределения, тепловых потоков, динамики двухфазной зоны и проведен анализ влияния рассеяния излучения на теплообмен при использовании обобщенной модели фазового перехода, показана взаимосвязь между рассеянием излучения и структурой двухфазной области;
исследован радиационно-кондуктивный теплообмен в зависимости от оптических свойств материала и граничных поверхностей с использованием однофазной модели фазового перехода для процесса плавления плоской пластины при нагреве радиационным потоком.
Научная и практическая ценность работы заключается в том, что она расширяет представления о процессе сложного теплообмена, обусловленного совместным переносом тепла теплопроводностью и излучением, при фазовом превращении полупрозрачных материалов. Предложенные в работе модели фазового перехода и анализ результатов численного решения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачной среде с фазовым переходом 1 рода имеют практическое значение для регулирования тепловым режимом процессов кристаллизации при получении оптических монокристаллов из расплава, для анализа полей температур циклов быстрого нагрева и охлаждения в различных технологических процессах лазерной обработки керамик из тугоплавких оксидов, для создания моделей полупрозрачных покрьпий с повышенной долговечностью. Самостоятельный практический интерес представляют алгоритмы решения задач радиационно-кондуктивного
теплообмена, предложенные в работе и реализованные в виде программ на языке Фортран.
Достоверность полученных результатов основана на использовании математических моделей, проверенных на решении тестовых задач, и сопоставлением, где это было возможно, с результатами моделирования других авторов.
На защиту выносятся:
математическая модель и алгоритм решения задачи РКТ в процессе плавления и затвердевания плоского слоя поглощающей, излучающей и рассеивающей среды с плоской границей раздела фаз;
математическая модель и алгоритм решения задачи плавления и затвердевания полупрозрачной среды, учитывающей образование протяженной двухфазной зоны из-за радиационного теплопереноса;
математическая модель и алгоритм решения задачи РКТ при плавлении полупрозрачной пластины с исследованием теплообмена в одной фазе;
анализ применимости различных моделей фазового перехода к полупрозрачным средам;
результаты численного эксперимента и анализ полученных результатов.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 28 работ, в том числе одна монография. Результаты работы докладывались на Всесоюзном семинаре "Тепло- и массообмен при росте кристаллов" (Александров, 1985), на Международном школе-семинаре "Современные проблемы тепло- и массообмена в химической технологии" (Минск, 1986), на 11 Всесоюзной конференции молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики" (Новосибирск, 1987), на VI Всесоюзной конференции по радиационному теплообмену "Излучение - 87" (Каунас, 1987), на 7-ом, 8-ом и 11-ом семинарах кафедр и групп теплофизического профиля ВУЗов Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1991, Иркутск, 1993, Томск, 2001), на научной конференции "Выпускник НГУ и НТ прогресс" (Новосибирск, 1999), на Международной конференции "Физико-технические проблемы Севера" (Якутск, 2000), на 3-ей Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2001), на 12-ой Международной конференции по теплопереносу (Гренобль, Франция, 2002).
Кроме того, результаты исследований докладывались на Ученом совете отдела ИТ СО РАН, на объединенном семинаре кафедры теплофизики ЯГУ и ИФТПС СО РАН. В полном объеме работа обсуждалась на совместном семинаре ИТ СО РАН с кафедрой физики неравновесных процессов НГУ.
Личный вклад диссертанта заключается в разработке математических
и расчетных моделей, проведении численного моделирования и анализа его результатов, исследовании рамок применения математических моделей. Постановка задачи исследований осуществлена совместно с научным консультантом. На первом этапе, при формулировке задачи, обобщении полученных результатов участвовал к.т.н. А.Л. Бурка. При проведении численных экспериментов на основе алгоритма, использующего СП-метод решения уравнений переноса излучения, участвовал как консультант д.ф.-м.н. A.M. Тимофеев. В последней главе работы проводились совместно с аспирантом С.Д. Слепцовым. Вклад диссертанта в основные результаты исследований определяющий. Представление изложенных в диссертации результатов согласовано с соавторами.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 176 наименований. Общий объем диссертации 254 страницы, включая 78 рисунков.
Фазовый переход 1 рода в полупрозрачных средах
Задача исследования РКТ при фазовом переходе I рода возникает в таких областях использования полупрозрачных материалов, в которых осуществляется переход из твердого состояния вещества в жидкое состояние и в обратном направлении с поглощением или выделением теплоты. . В теории теплопроводности задача о плавлении и затвердевании вещества известна как задача Стефана, которая в классической постановке является нелинейной краевой задачей со свободной движущейся границей S(t). Она является гладкой поверхностью раздела фаз между твердым и жидким состоянием вещества. На границе раздела фаз, помимо равенства температуры среды температуре равновесия при фазовом переходе 1 рода (плавления или затвердевания) Г(5(0) = ГФ, выполняется классическое условие Стефана (в одномерном случае): которое учитывает выделение или поглощение скрытой теплоты фазового перехода на единицу массы вещества у. В каждой из фаз температура среды T(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности для непрозрачной среды, а для полупрозрачной среды - уравнению (1.1). Математическая теория решения краевой задачи Стефана разработана достаточно полно как в одномерной, так и в многомерной постановке [65, 91, 95]. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи для уравнений с произвольной правой частью, и в настоящее время успешно используются при анализе тепловых условий в процессе фазового перехода непрозрачных материалов [63, 64, 67]. Первые работы, учитывающие перенос энергии излучением и теплопроводностью внутри кристалла и расплава появились сравнительно недавно [69-71]. Для исследования РКТ при плавлении или кристаллизации полупрозрачного материала классическая задача Стефана была сформулирована с учетом радиационного переноса энергии в одномерном приближении, в результате чего она становится интегро-дифференциальной. В работе [69] рассматривается затвердевание полубесконечного однородного и изотропного полупрозрачного материала с постоянными теплофизическими и оптическими свойствами в одномерном приближении. Предполагается, что существует однозначная температура плавления, и жидкая фаза поддерживается при этой температуре. Левая поверхность при х=0 является непрозрачной изотермической "холодной" стенкой с излучательной способностью /. Условие на границе раздела фаз имеет следующий вид: Радиационный поток определяется через формальное решение уравнения переноса излучения для излучающей и поглощающей среды в приближении серого вещества. Для определения профиля температуры в твердой фазе был использован интегральный метод теплового баланса. При интегрировании уравнения теплового баланса температурное распределение представляется полиномом второй степени. В [70] рассмотрена такая же постановка задачи, только с цилиндрической геометрией. Получены зависимости S(t) и температурное распределение в зависимости от времени. Установлено, что излучение может значительно повлиять на профиль температуры в твердой фазе. В работе [71] представлен анализ одномерного переноса энергии теплопроводностью и излучением в области, которая имеет конечную толщину, но бесконечную протяженность, и содержит произвольное число смежных зон в виде твердой и жидкой фаз.
Задача решалась при следующих допущениях: среда представляет собой чистое вещество с известной температурой и теплотой фазового перехода; в жидкой фазе свободная конвекция отсутствует; среда изотропная; рассеяние отсутствует; граница раздела фаз Xt(t) и граничные поверхности являются диффузными, параллельными друг к другу, плоскими и нормальными к направлению потока энергии. В пределах каждой фазы теплофизические свойства не зависят от температуры, выполняется гипотеза о локальном термодинамическом равновесии. Условие баланса энергии на каждой из {п-1) поверхностей раздела фаз описывается соотношением: уравнений энергии для каждой из п фаз, уравнений (1.7) совместно с условием Т Х -Т Х -Тф, начальных и граничных условий для уравнения энергии. Плотность РРП определяется через формальное решение уравнения переноса излучения с условиями баланса радиационного потока на каждой поверхности раздела фаз и на граничных поверхностях. Хотя авторами [71 ] дана постановка задачи, учитывающая селективность излучения, численные результаты получены для двухфазных систем в сером приближении, в предположении, что коэффициент отражения на границе раздела фаз равен нулю (показатели преломления фаз равны между собой). Исследовались формирование температурного профиля, движение границы раздела фаз при плавлении и затвердевании плоского слоя полупрозрачной среды, свойства которого примерно соответствовали флюориту. Граничные непрозрачные поверхности предполагались абсолютно черными, изотермическими при рассмотрении процесса плавления, а при затвердевании
Роль коэффициентов поглощения и радиационно-кондуктивного параметра на теплоперенос при плавлении
В работе [71] в сером приближении рассматривается плавление полупрозрачного материала, свойства которого примерно соответствуют флюориту (Тпл = 1700К, Х2 = К - 9 Вт/м- К, L = 10 см). Приведенные в этой статье нестационарные температурные профили не всегда охватывают весь процесс от начала до конца, не приведены поля потоков, не исследовано влияние различных параметров (кроме N) на формирование Т-полей. В связи с этим здесь более подробно исследуется влияние различных параметров на РКТ в плоском слое. При тестировании программы в данной работе было проведено исследование нестационарного РКТ при указанных в статье безразмерных значениях свойств среды: с, = 0.75, с2 =1, Л, = 2, Л2 = 1, Y = 0.l, и, п2 =1.5, 0 = О.5. В отличие от [71] здесь рассматриваются другие граничные значения температур: Начальные условия в(4,0) = 0.3, S(G) = 0. Коэффициенты поглощения фаз выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия r,= Z,=l, T2=a2-L=2. Непрозрачные граничные поверхности предполагались абсолютно черными, диффузно излучающими {єх=є2=\). Так как коэффициенты преломления фаз приняты одинаковыми, френелевского отражения от границы раздела фаз не происходит и на внутренней границе Математическая идеализация процесса состоит в следующем. Плоский слой из твердого полупрозрачного материала, имеющий в начальный момент повсюду одинаковую температуру, внезапно приводится в контакт с непрозрачными областями на обеих границах. Температура в области, расположенной слева, выше, чем температура плавления материала, и начинается процесс плавления пластины. Температура слева поддерживается постоянной, а температура в области, расположенной справа, равна начальной температуре пластины. Одним из определяющих параметров РКТ является радиационно-кондуктивный параметр N Это критерий, позволяющий судить о соотношении излучения и теплопроводности в общем переносе тепла. Способ определения параметра, принятый для моносистем, рассмотрен в главе 1. В данной работе этот параметр принят равным N = XrIAoT?L, где Хг определяющий коэффициент теплопроводности, Тг- определяющая температура, L- толщина двухфазной системы. За Хг можно брать значение коэффициента теплопроводности одной из фаз, максимальный или минимальный из них, среднее значение.
В данном случае N определяется по начальному состоянию системы, которое в это время является однофазной. Параметр N при этом изменения в соотношении коэффициентов теплопроводности и ослабления фаз не отслеживает, хотя, на самом деле, соотношение между радиационной и кондуктивной составляющими полного теплового потока в разных фазах различно. Например, достаточно предположить, что одна из фаз становится непрозрачной или абсолютно прозрачной. В обоих случаях в этой фазе излучение не оказывает никакого влияния на распределение температуры независимо от величины N. При этом TV будет играть роль коэффициента пропорциональности между числом Фурье Fo и безразмерным временем ц: Fo = Nrj. Тем не менее, величина этого параметра позволяет судить о процессе теплообмена в полупрозрачной двухфазной системе. В связи с этим был проведен ряд расчетов по определению влияния параметра N на теплоперенос при плавлении плоского слоя полупрозрачного материала. Результаты расчетов для нескольких значений N представлены на рис.2.3-2.5. Как видно из рис.2.3, а при N = 0.01, т.е. когда излучение в переносе тепла играет преобладающую роль, начиная с некоторого момента времени, нарушается монотонность температурного распределения, проявляющаяся в виде перегрева твердой фазы. В стационарном режиме монотонность температуры восстанавливается. Качественное поведение плотности результирующего радиационного потока (РРП) такое же, как и в однофазном плоском слое среды. На некотором расстоянии от горячей поверхности в жидкой фазе наблюдается максимум плотности РРП, а затем плотность РРП монотонно убывает. В твердой фазе сохраняется более высокий темп убывания плотности РРП, связанный с более низким уровнем температур. В стационарном режиме происходит относительное выравнивание плотности РРП по всей системе с характерным падением на границах, где проявляется роль кондукции.
Влияние отражения и рассеяния излучения на процесс фазового превращения плоского слоя полупрозрачной среды
Используя вышеописанный алгоритм решения краевой задачи переноса излучения на основе СП-метода, можно рассчитать радиационные потоки в многослойной системе поглощающей, излучающей и рассеивающей среды с непрозрачными диффузно излучающими и диффузно отражающими границами. Граничные условия при этом имеют вид уравнений (3.5) и (3.6). В предыдущей главе было показано, что при N 0.05, т.е. когда в переносе тепла преобладающую роль играет излучение, наблюдается нарушение монотонного характера температурного распределения перед плоским фронтом, проявляющееся в виде перегрева твердой фазы при плавлении или переохлаждения жидкой фазы при затвердевании. Здесь проведены исследования влияния отражения излучения от непрозрачных поверхностей и изотропного рассеяния излучения на отклонения температурного распределения от монотонности и на скорость движения фронта фазового перехода в рамках классической модели. Радиационно-кондуктивный параметр /V=0.01 и за коэффициенты поглощения выбраны такие величины (а\=10м \ а2=20м1), когда роль излучения проявляется столь характерным образом. Анализ влияния отражения излучения от непрозрачных границ на процесс фазового перехода полупрозрачной среды подробно описан в главе 2 (2.4, 2.5). В процессе плавления монотонное температурное распределение наблюдается при больших значениях коэффициента отражения от левой "горячей" стенки, т.е. когда роль излучения самой стенки в переносе энергии уменьшается. При этом замедляется процесс плавления, а отражение от правой "холодной" стенки ускоряет процесс, сохраняется немонотонное распределение с увеличенным температурным всплеском из-за дополнительного вклада отраженного излучения в энергию, которую поглощает твердая фаза. На рис. 3.9 приведены результаты расчета температурного распределения и радиационных потоков с применением СП-метода. Сравнение результатов с результатами расчета главы 2 ( рис.2.12, 2.13) показали хорошее согласие, что еще раз подтверждает эффективность применения для численного расчета радиационного теплообмена в многослойной системе алгоритма на основе применения СП-метода. Для процесса затвердевания немонотонное распределение температур указанного выше характера сохраняется при любых значениях коэффициента отражения. Заметную роль играет сильное отражение излучения от левой холодной стенки, как и показано в 2.5. Оно несколько уменьшает величину переохлаждения жидкой фазы и замедляет процесс по сравнению с черными стенками, так и по сравнению с отражающей правой "горячей" стенкой. Влияние изотропного рассеяния проводилось в предположении черных стенок (гу=Г2=0) при различных сочетаниях альбедо однократного рассеяния і, «г , соответствующих разным фазам. Коэффициенты ослабления приняты таким образом, что выполняется условие Tj=kjL=\, T2=k2L=2. Результаты расчета показывают, что рассеяние излучения в жидкой фазе в процессе плавления увеличивает температурный всплеск с увеличением сої (рис.3.10, а), а рассеяние в твердой фазе уменьшает.
При сильно рассеивающей твердой фазе, т.е. больших значениях (02 (рис.3.10, с) температурное распределение становится монотонным, но температурный градиент в прифронтовой области твердой фазы увеличивается из-за того, что градиент радиационного потока в твердой фазе приближается к нулю при сильном изотропном рассеянии. С увеличением рассеяния во второй твердой фазе поглощение излучения самой твердой фазой в прифронтовой области уменьшается, что приводит к уменьшению температурного всплеска. Если твердая фаза сильно рассеивающая, то даже при рассеивающей жидкой фазе возможен процесс плавления полупрозрачного материала с сохранением монотонного распределения температуры (рис.3.11, штриховые линии) вплоть до значений 1=0.9. И наоборот, если жидкая фаза сильно рассеивает излучение, то и при рассеивающей твердой фазе будет наблюдаться отклонение от монотонности температурного распределения (рис.3.11, сплошные линии). Из рис.3.13 видно, что наличие рассеяния в любой из фаз замедляет процесс плавления по сравнению с чисто поглощающей и излучающей средой. Движение фронта фазового перехода становится еще медленнее при сильно рассеивающей второй твердой фазе (рис.3.13, штриховые линии). Результаты по влиянию изотропного излучения на процесс плавления согласуются с результатами, полученными в [75]. Исследование роли изотропного рассеяния на процесс затвердевания показало, что существенную роль играет наличие рассеяния в жидкой фазе. При больших значениях 2 температурное распределение становится монотонным (рис.3.12, а) и скорость процесса замедляется (рис.3.14) по сравнению с рассеивающей твердой фазой. Когда а 2=1 градиент радиационных потоков во второй фазе становится равным нулю (рис.3.12, Ь) поэтому излучение не оказывает влияния на температурное распределение, в результате чего оно сохраняет монотонность. При любом значении Oi , т.е. когда твердая фаза является рассеивающей, температурные распределения сохраняют немонотонный характер, скорость движения фронта практически не зависит от значения і (рис.3.14), но наличие рассеяния в любой из фаз
Задача Стефана в лейкосапфире с учетом зависимости теплофизических и оптических свойств от температуры и длины волны излучения
Выше проведенное исследование оптических свойств окиси алюминия показывает, что расплав является почти непрозрачным для теплового излучения. Это обстоятельство позволяет провести расчеты РКТ при кристаллизации лейкосапфира с помощью классической постановки задачи Стефана (как было показано в главе 2, если одна из фаз вещества является непрозрачной, правомочна классическая модель фазового перехода). Так как расплав почти непрозрачный, в жидкой фазе будет справедливым учесть излучение в приближении радиационной теплопроводности. Тогда уравнения переноса энергии для процесса кристаллизации в безразмерных параметрах примут вид радиационная теплопроводность в сером приближении, aR - усредненный коэффициент поглощения расплава. Выражение для Лд без учета влияния границ с погрешностью 281L применимо при условии, что для каждого av найдется такое S«L, при котором e " s «1 и изменение градиента температуры в интервале хє26 небольшое [136]. Для ая=50 см приближение радиационной теплопроводности справедливо при L 1.5 - 2.5 мм, если е а" = 0.1 Условие баланса на границе раздела фаз: Если считать, что коэффициенты отражения rvs = 1, а из объема жидкой фазы в полупрозрачную твердую фазу излучение не попадает, то ФІ. = 0, Результирующий радиационный поток в полупрозрачной твердой фазе определяется через формальное решение уравнения переноса излучения При условии, что плоский слой образца ограничен непрозрачными поверхностями, граничные интенсивности, фигурирующие в (4.7) определяются из системы уравнении Учитывая, что г, 2, = 0ига=1, получаем Здесь 5, (Г,)- интенсивность излучения абсолютно черного тела в среду с показателем преломления пк; а,,, 6 , - пропускание и собственное излучение первой фазы (см.2.1). При определении РРП вычисление интегралов по координате и углу проводилось по квадратурным формулам Гаусса в интервале [0,1 ] для каждой фиксированной длины волны Л в области 0.5 - 7 мкм с шагом ДЛ= 0.1 мкм. Затем численное интегрирование по X проводилось с помощью квадратурных формул трапеции. При расчетах коэффициент поглощения монокристалла аг(Т) в точках Гаусса определялся линейной интерполяцией. Уравнения энергии (4.5), (4.6) с начальными и граничными условиями решаются конечно-разностным методом. Неявная разностная схема строится с помощью интегро-интерполяционного метода, как описано в 2.2, только здесь теплофизические свойства зависят от температуры. Получаемая нелинейна система неявных разностных уравнений типа (2.17) решается методо\ прогонки в сочетании с методом итераций. Постоянные коэффициенты с, Л і (2.17) заменяются зависящими от температуры коэффициентами.
Значение теплоемкости для каждого узла сетки с неизвестной температурой & х ы определяются из значений в предыдущей итерации с(в" 1), а коэффициент теплопроводности между узлами сетки с 0(п+,- +1 и в" -м аппроксимируется формулой А = 0,5[А(в"+1- ) + А(в" 1)]. Как показано в [88] эта формула обладает наибольшей точностью для решения квазилинейного уравнения теплопроводности, если зависимость теплофизических свойств от температуры выражается в степенном виде. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока при достаточно малом є и є} не выполнится условие Здесь исследуется влияние температурной зависимости теплофизических свойств и селективного характера поглощения излучения монокристаллом лейкосапфира на температурное распределение и градиенты температур в процессе кристаллизации окиси алюминия. Расчеты нестационарного РКТ проводились в вышеописанной постановке со следующими начальными и граничными условиями Температура фазового перехода принималась равной 9 =ТФ/ТГ= 0.5, где Тг = 4640К. В качестве оптических свойств непрозрачных поверхностей брались свойства вольфрама [146], отражение от непрозрачных поверхностей предполагалось зеркальным. Интегральная полусферическая степень черноты вольфрама при 7,= 1392К равна -, =0.163. Правая граница в радиационном теплообмене не участвует, так как расплав непрозрачный. Толщина образца принималась равной 1=3 см. На рис. 4.4 и 4.5 приведены результаты расчета безразмерных температурных распределений и градиентов температуры в процессе кристаллизации. Линии: - расчеты без учета излучения с учетом зависимости л(#), с{в); - в сером приближении (а, = 0.25 см"1, а2= 50 см"1), а -х-х-х-х-х- - в сером приближении с постоянными теплофизическими свойствами. Сплошные линии соответствуют расчетам с учетом or,(Я,Г), А(в), с(0), но при этом ,= 0.163, и,= 1.75, п2= 1.81, так же как и в сером приближении. Рис.4.6 показывает скорость движения границы раздела фаз. Как видно, при селективном характере поглощения процесс кристаллизации замедляется, так как локальные значения плотности РРП по абсолютной величине становятся меньше. Ошибка в определении положения границы раздела фаз в сером приближении составляет 4%, а если считать постоянными теплофизические свойства 11 % по сравнению с учетом а (Л,Т). Учет зависимости а (Я,Т) также приводит к изменению качественной картины температурного распределения и соответственно
