Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Радиационно-кондуктивный теплообмен в полупрозрачной среде 11
1.1 Современное состояние исследований РКТ 11
1.2 Фазовый переход 1-го рода в полупрозрачных средах .. 15
1.3 СП-метод для однофазной задачи Стефана 23
1.4 Выводы и постановка проблемы исследования 36
Глава 2. Задача Стефана для полупрозрачных сред с непрозрачными границами 38
2.1 Постановка и математическая модель задачи 38
2.2 Анализ полученных результатов 45
Глава 3. Радиационно-кондуктивный теплообмен для серой среды с прозрачными и полупрозрачными границами 51
3.1 Влияние граничных условий на нестационарный радиационно-кондуктивный теплообмен в слое полупрозрачной среды 51
3.2 Численное моделирование однофазной задачи Стефана в слое с прозрачными и полупрозрачными границами 61
Заключение 71
Литература 72
Приложение 78
- Фазовый переход 1-го рода в полупрозрачных средах
- СП-метод для однофазной задачи Стефана
- Влияние граничных условий на нестационарный радиационно-кондуктивный теплообмен в слое полупрозрачной среды
- Численное моделирование однофазной задачи Стефана в слое с прозрачными и полупрозрачными границами
Введение к работе
Актуальность проблемы. Исследование радиационно-кондуктивного теплообмена (РКТ) с фазовым переходом первого рода имеет важное научное и прикладное значение для практического применения во многих областях природы и техники. Однофазный подход задачи Стефана позволяет более качественно оценить вклад излучения в суммарном теплообмене в полупрозрачной среде с движущейся границей. Подобный подход может быть применим для расчета изменения толщины полупрозрачной пластины, облучаемой радиационным потоком в самых разнообразных условиях: абляция стеклянной футеровки стеклоплавильной печи, полупрозрачных покрытий космических аппаратов, плавление ледяного покрова со стороны объёма воды в условиях солнечного облучения. Поскольку полупрозрачные среды обладают высокой прозрачностью для теплового излучения, экспериментальное исследование температурных полей в объеме полупрозрачного материала при высокой температуре представляет значительную трудность. Традиционные контактные методы здесь непригодны, а бесконтактные позволяют измерять значения температур образца с большой погрешностью. В связи с этим проблема расчета температурных полей и материалов при плавлении и кристаллизации полупрозрачного материала в объеме на основе математического моделирования радиационно-кондуктивного теплообмена является весьма актуальной.
По данной проблеме до сих пор имеется крайне ограниченное количество работ. Это связано с тем, что исследование комбинированного теплообмена, являющееся достаточно сложным само по себе, при строгом учете излучения наталкивается на дополнительные математические трудности, обусловленные решением интегро-дифференциалыюго уравнения переноса излучения. Проблема существенно осложняется при учете фазового превращения полупрозрачного материала. Очевидно, применение простого и достаточно эффективного метода расчета излучения в исследовании сложного взаимодействия теплопроводности и излучения, требующего тщательного анализа процессов теплообмена при фазовом переходе 1-го рода полупрозрачного материала, остается актуальным.
Целью работы является расчетно-теоретическое исследование радиационно-кондуктивного теплообмена при плавлении плоского слоя поглощающей и излучающей полупрозрачной серой среды, на основе эффективного метода расчета излучения методом средних потоков (СП-метод). В связи с этим в диссертационной работе поставлены следующие задачи: разработка численной модели расчета однофазной задачи Стефана для полупрозрачной среды с непрозрачными границами и анализ результатов моделирования; разработка численной модели расчета РКТ в полупрозрачной среде с прозрачными границами и анализ результатов в зависимости от внешнего влияния; разработка численной модели расчета однофазной задачи Стефана для полупрозрачной среды с прозрачными и полупрозрачными границами и анализ результатов моделирования с точки зрения оценки эффективности РКТ при фазовых переходах;
Научная новизна: разработан алгоритм расчета РКТ и плавления полупрозрачной серой среды с непрозрачными границами, показано влияние оптических свойств среды на динамику скорости плавления полупрозрачного образца с черными границами; решена задача РКТ в полупрозрачной среде с прозрачными границами с применением СП-метода, выявлены оптимальные условия для осуществления фазового перехода; поставлена и решена задача Стефана для полупрозрачной серой среды с прозрачными и полупрозрачными границами, определена зависимость скорости перемещения фронта плавления от оптических свойств среды слоя и его границ;
Практическая ценность работы заключается в том, что одним из первых рассмотрена постановка РКТ в однофазном приближении задачи Стефана. Предложенная модель хорошо описывает процесс сублимации и абляции полупрозрачных сред под влиянием излучения. Отдельную ценность представляют алгоритмы и программы для расчета, составленные на языке Фортран.
Достоверность полученных результатов обоснована использованием математических моделей, проверенных на решении тестовых задач, и сопоставлением с результатами моделирования других авторов.
На защиту выносятся: математическая модель и алгоритм расчета однофазной задачи Стефана для плоского слоя полупрозрачной серой среды с черными границами; математическая модель и алгоритм расчета задачи РКТ в процессе нагрева плоского слоя полупрозрачной серой среды с прозрачными границами; математическая модель и алгоритм расчета однофазной задачи Стефана для плоскопараллельного слоя полупрозрачной серой среды с прозрачными и полупрозрачными границами; результаты численного эксперимента и анализ полученных данных.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Результаты докладывались на научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России» (Москва, 2003), на Всероссийской школе-семинаре «Фундаментальные и прикладные проблемы физики на Севере» (Якутск, 2003), на VIII Всероссийской конференции молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2004), на 59-ой республиканской научной конференции студентов и молодых ученых (Алматы, Казахстан, 2005), результаты вошли в список важнейших достижений Института теплофизики СО РАН 2004 года.
Работа выполнена в лаборатории процессов переноса отдела технической теплофизики Института теплофизики СО РАН.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Во введении даны общая характеристика и содержание работы, обосновывается актуальность, формулируется цель исследования, указываются научная новизна и практическая значимость, формулируются выносимые на защиту положения.
В первой главе, носящей обзорный характер, рассмотрено состояние исследований радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачных средах. На основании проведенного обзора исследований сделано заключение, что исследование радиационно-кондуктивного теплообмена является сложной математической задачей, связанной с рассмотрением различных и взаимосвязанных механизмов переноса тепловой энергии, что этот вид сложного теплообмена всесторонне исследован в плоском слое полупрозрачной среды, в то время как сложный теплообмен при фазовом переходе первого рода полупрозрачной среды изучен недостаточно.
Малое число работ по исследованию РКТ в полупрозрачных средах с фазовым переходом связано, в первую очередь, со сложностью решения уравнений переноса в системах с подвижной границей раздела фаз. Для решения интегро-дифференциалыюго уравнения получили развитие приближенные методы. При исследовании сложного теплообмена в системах с простой геометрией наиболее удобными являются прямые дифференциальные методы, в частности, модифицированный метод средних потоков, применение которого для решения задачи радиационного теплообмена в многослойной системе позволяет расширить исследования с более строгим учетом переноса излучения в полупрозрачной среде с фазовым переходом. В заключении к главе формулируются цель и основные задачи работы.
Во второй главе рассмотрена однофазная постановка задачи Стефана для полупрозрачной серой среды с непрозрачными границами. В такой постановке уравнения энергии решаются для одного слоя твердой фазы с уменьшающейся реальной толщиной. При приведении уравнения энергии к безразмерному виду используется преобразование, в результате которого безразмерная толщина слоя равна единице в любой момент времени. Проведен анализ особенностей РКТ в зависимости от оптических свойств самого материала и граничных поверхностей. Сравнение результатов, полученных с применением СП-метода, с результатами французских авторов, которые для решения уравнения переноса излучения использовали метод дискретных ординат и направленного луча, показали удовлетворительное совпадение.
В третьей главе рассмотрены нагрев и плавление полупрозрачной серой среды с прозрачными и полупрозрачными границами под влиянием внешних условий. Задача нагрева плоскопараллельной пластины с прозрачными и непрозрачными для излучения границами решалась при различных температурах источника излучения и коэффициентах теплоотдачи на поверхности образца. Выявлены оптимальные условия для равномерного нагрева образца. Задача плавления образца решена в приближении задачи Стефана. Уравнение переноса энергии излучения решено СП-методом с соответствующими граничными условиями для прозрачных и полупрозрачных поверхностей. Показано, что на динамику перемещения фронта фазового перехода значительным образом влияет коэффициент поглощения излучения поверхности образца.
В заключении формулируются основные выводы диссертационной работы.
Фазовый переход 1-го рода в полупрозрачных средах
Задача исследования радиационно-кондуктивного теплообмена (РКТ) при фазовом переходе 1-го рода возникает в таких областях, как плавление или затвердевание полупрозрачного вещества с поглощением или выделением скрытой теплоты плавления, которые имеют место в технологии выращивания монокристаллов, в технологии лазерной обработки материалов, в процессах плавления полупрозрачного материала под действием падающего теплового излучения. Эффективность работы различных устройств и аппаратов, использующих монокристаллы полупрозрачных материалов, в значительной мере зависит от их качества и размеров, которые определяются формированием полей температур в процессе плавления исходного материала и последующей его кристаллизации. В теории теплопроводности задача о плавлении и затвердевании вещества известна как задача Стефана, которая является нелинейной начально-краевой задачей со свободной движущейся границей S(t) или поверхностью раздела фаз. На искомой поверхности помимо равенства температуры среды температуре равновесия (плавления), T(S(/)) = Tp/l, выполняется классическое условие Стефана: которое учитывает выделение или поглощение скрытой теплоты плавления у (здесь Л - коэффициент теплопроводности, р- плотность, индекс "ph" относится к характеристикам фазового перехода). В каждой из фаз температура среды Т(х,() удовлетворяет уравнению энергии, учитывающему перенос тепла теплопроводностью и излучением для полупрозрачных сред. Математическая теория решения краевой задачи Стефана разработана достаточно полно как в одномерной, так и в многомерной постановке [23, 24, 25]. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи для уравнений с произвольной правой частью, которые и в настоящее время успешно используются при анализе тепловых условий в процессе получения монокристаллов непрозрачных материалов [26,27, 28]. Первые работы, учитывающие перенос энергии излучением и теплопроводностью кристалла и расплава, появились недавно [29, 30, 31].
Для исследования РКТ при плавлении или кристаллизации полупрозрачного материала классическая задача Стефана была сформулирована с учетом радиационного переноса энергии в одномерном приближении, в результате чего она становится интегро-дифференциальной. В работе [29] рассматривается затвердевание полубесконечного полупрозрачного однородного и изотропного материала с постоянными теплофизическими и оптическими свойствами в одномерном приближении. Предполагается, что существует однозначная температура плавления и жидкая фаза поддерживается при этой температуре. Левая поверхность при х = О является непрозрачной изотермической «холодной» стенкой с излучательной способностью ?,. Условие на границе раздела фаз имеет следующий вид: Радиационный поток определяется через формальное решение уравнения переноса излучения для излучающей среды в приближении серого излучения. Для определения профиля температуры в твердой фазе был использован интегральный метод теплового баланса. При интегрировании уравнения теплового баланса распределение температуры представляется полиномом второй степени. В [30] рассмотрена такая же постановка задачи, только с цилиндрической геометрией. Получены зависимости границы S и распределения температуры от времени. Установлено, что излучение может значительно повлиять на профиль температуры в твердой фазе. В работе [31] представлен анализ одномерного переноса энергии теплопроводностью и излучением в области, которая имеет конечную толщину, но бесконечную протяженность и содержит произвольное число смежных зон в виде твердой и жидкой фаз. Задача решалась при следующих допущениях: среда представляет собой чистое вещество с известными температурой и теплотой фазового перехода; в жидкой фазе отсутствует свободная конвекция; среда изотропная; рассеяние отсутствует; граница раздела фаз Х,(/) и граничные поверхности являются диффузными, параллельными друг к другу, плоскими и нормальными к направлению потока энергии. В пределах каждой фазы теплофизические свойства не зависят от температуры, выполняется гипотеза о локальном термодинамическом равновесии.
СП-метод для однофазной задачи Стефана
Однофазная задача Стефана в слое полупрозрачной среды моделирует сложные процессы нестационарного радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачных футеровках стекловаренных печей, в теплозащитных полупрозрачных для теплового излучения покрытиях технических устройств, в заготовках стеклоподобных материалов в процессе их плавления и кристаллизации. Однофазная задача Стефана является частным случаем двухфазной задачи Стефана, в которой одна из фаз является изотермической при температуре фазового перехода. Таким образом, математическая модель сводится к уравнению радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачной фазе с переменной температурой и условиям Стефана на границе фаз. В классическом решении однофазной задачи Стефана предполагается, что тепловой поток со стороны фазы с постоянной температурой равен нулю [25]. В практических задачах граничные условия задачи совпадают с условием Стефана, содержащим результирующий (радиационный, кондуктивный и конвективный) поток тепловой энергии! отличный от нуля и меняющийся в процессе перемещения границы фаз. При этом указанная граница предполагается бесконечно тонкой и высокотеплопроводной. Таким образом, реальная однофазная задача занимает промежуточное положение между однофазной и двухфазной классическими задачами Стефана.
Постановка однофазной задачи Стефана сопряжена с необходимостью конкретного учета граничных условий. Возникающие при этом трудности связаны с взаимным влиянием на результирующий теплообмен границ излучающей системы и заполняющий ее полупрозрачной среды. Такое влияние осуществляется как локально, так и глобально, по всему объему системы, и находит отражение в разрывном характере плотности потока объемного (сферического) падающего излучения /7,,,,,,,.., имеющей смысл потенциала двойного слоя (прямое граничное и внутренне предельное значения) [46]. С учетом ориентации площадки, бесконечно близкой к поверхности, внутреннее предельное значение потенциала вырождается в плотность потока поверхностного (полусферического) результирующего излучения, Epe3V. Если граница излучающей системы заполненной произвольно ослабляющей и излучающей средой, подчиняется закону Ламберта, то потенциал двойного слоя принимает вид [46,47]: Здесь I„(M,S) интенсивность монохроматического излучения падающего по направлению луча S в пределах элементарного телесного угла dQ(M,S) в точку MeF или М - M,eAV, AV - элемент объема V системы вблизи границы, содержащий точку А/,., пХ1 - нормаль к элементарной площадке в точке М; Еэф„ - плотность потока поверхностного эффективного излучения, складывающаяся из собственного Eco6v и отраженного Eompv монохроматических излучений элементарной площадки с точкой М . Соотношение (1.3.1), дополненное уравнением переноса энергии излучения, определяющим I„(M,S), может быть использовано в качестве исходного для вывода интегральных и дифференциальных уравнений излучения [47]. Последние связаны с представлениями о встречных потоках, используемых в уравнениях сохранения энергии и момента количества движения, вытекающих из уравнения переноса энергии. В зависимости от способа представления встречных потоков дифференциальные уравнения излучения характеризуются соответствующими методами.
Применительно к рассматриваемому в дальнейшем случаю одномерного переноса (координата х) энергии излучения в плоском слое среды, система дифференциальных уравнений метода средних потоков (СП-метод) записывается относительно плотностей потоков поверхностного (полусферического) падающего - коэффициент объемного ослабления излучения средой с учетом анизотропии процессов рассеяния, Д, - коэффициент ослабления, COV = PJKV - альбедо однократного рассеяния, =а„+Д, - коэффициент ослабления, рассеяния; nrv =-—г, I; =—г - коэффициенты распределения интенсивности и диффузии излучения в среде по направлениям в пределах полусфер П = ±2лг, принимающие значения на границах равные осредненным (иг =±2, Iі =±-). прямого (// 0) и обратного (// 0) направлений (рис. 1); rfv(x)+ifv(x) = i]mdv(x) - плотность потока излучения, падающего в элемент объема с точкой х, П (дг)+П (дг) = П1/(х)-тензор излучения в элементе объема с точкой х. Коэффициенты переноса, представленные в системе уравнений (1.3.3) уточняются в процессе итераций до приемлемой для расчетов точности [4]. Запись системы дифференциальных уравнений (1.3.3) относительно Е+-{х) дает возможность выразить соответствующие им граничные условия в виде соотношений плотностей потоков полусферического падающего излучения, имеющих очевидный физический смысл. Так в слое между двумя непрозрачными границами с постоянными температурами Г, = Т(х - 0), которое соответствует радиационным граничным условиям (1.3.4). При этом входящие в (1.3.5) значения плотности результирующего излучения EV=E V-E V определяются непосредственно из решения (1.3.3). Система дифференциальных уравнений (1.3.3) записана для монохроматического излучения. Она может быть использована непосредственно в предположении, что среда и границы слоя обладают оптическими свойствами (Anv,s„v, Rnv) модельного, серого излучения и тогда индекс
частоты v в (1.3.3) и (1.3.4) опускается. В случае, когда указанные свойства обладают селективным характером уравнения (1.3.3), (1.3.4) преобразуются в систему дифференциальных уравнений и граничных условий, число которых определяется числом выделяемых в спектре излучения полос или групп линий.
Влияние граничных условий на нестационарный радиационно-кондуктивный теплообмен в слое полупрозрачной среды
Процессы, связанные с радиационно-кондуктивным теплообменом (РКТ) в полупрозрачных средах, широко распространены в разнообразных технических приложениях и явлениях природы. При этом сложный, интегро-дифференциальный вид уравнения переноса излучения и разнообразие граничных условий затрудняют качественное описание задач РКТ. В настоящее время развито большое количество математических моделей, приближенно описывающих уравнения переноса излучения. В данной работе такие уравнения вычисляются методом средних потоков (СП-метод). Указанный метод хорошо зарекомендовал себя при решении многих задачах РКТ, в том числе задач с фиксированными температурами границ [49]. В настоящей работе температуры на границах варьируются, так как являются функционалами процессов теплообмена в слое и на его границах. Ниже описывается исследование нагрева полупрозрачной серой среды с прозрачными границами, температура которых определяется из решения задачи при заданных граничных условиях. Постановка такой задачи формулируется как первый этап задачи Стефана, связанный с нагревом образца до температуры плавления. Рассматривается одномерный нагрев пластины из полупрозрачной среды с прозрачными и комбинированными, когда одна поверхность черная другая прозрачная, границами. Целью задачи является определение температурных полей и радиационных потоков в слое: x = [0,Sv] (рис. 3.1), а также оптимальных значений параметров конвективных и радиационных потоков на границах этой среды для равномерного прогрева образца по его толщине. На границе при х = 0 (слева) тепловая энергия уносится конвекцией и собственным излучением образца (см. рис. 3.1). На границу при x = S0 (справа) подводятся радиационный и конвективный потоки, определяющие процесс нагрева.
Процесс продолжается до тех пор, пока правая сторона не достигнет температуры фазового перехода Tf. Уравнение энергии в пластине имеет вид (2.1.1), плотность интегрального по спектру результирующего радиационного потока выражается (2.1.2). Граничные условия краевой задачи для полупрозрачной среды с прозрачными границами имеют вид: Радиационные граничные условия на прозрачных диффузно отражающих границах записываются в следующем виде: Здесь Тл и Тс2 - температура среды слева и справа от образца соответственно, Л, и Л, - коэффициенты полусферического диффузного отражения от границ, /?, и Л, - коэффициенты теплоотдачи на границе раздела фаз, Е -суммарная плотность потока излучения, Е± - плотности потоков излучения, падающего вперед и назад,// = cos 9 - косинус угла направления распространения излучения и осью х, аи - постоянная Стсфана-Больцмана. температуре плавления, // - показатель преломления, / - индекс [1, 2]. Система уравнений (3.1.5) - (3.1.9) дополняется начальным условием:
При такой постановке решение задачи сводится к определению температурного поля #(,/) и плотностей потока РРП Ф(,?7) в области G{0 l;/7 0}. Краевая задача (3.1.5) - (3.1.10) решается конечно-разностным методом, а нелинейная система неявных разностных уравнений - методом прогонки и итераций. Радиационные потоки представляют собой внутренние источники и определяются из решения преобразованного уравнения переноса излучения (2.1.14) и (2.1.15) с известным распределением температуры для плоского слоя излучающей и поглощающей среды и имеют вид [4, 9,49]. Граничные условия на прозрачных диффузно излучающих поверхностях определяются как: В частном случае, когда слой образован двумя непрозрачными границами со степенями черноты г, и є2, поддерживаемыми при постоянных температурах 7 = Г(0) и T2 = T(S()), граничные условия (3.1.11) и (3.1.12) принимают вид: Плотность радиационного потока излучения в произвольном сечении г определяется соотношением: Ф=Ф+-Ф". Для решения радиационной задачи используются итерации, на каждом шаге которых краевая задача (3.1.11) - (3.1.14) решается методом матричной факторизации. Быстрая сходимость данного метода решения позволяет получать результаты с высокой степенью точности. Коэффициенты отражения излучения от внешней поверхности Л, и R2 вычисляются по формуле Уолша-Данкла [1]: где n = nvmalnvmm. По описанному алгоритму решения был проведён численный расчет нагрева для полупрозрачного материала со следующими физическими параметрами: 50 = 0,1 м, 7} = 1000 К, 7 , = 300 К, температура источника излучения Ts равен 1200 К и 1600 К. Приняты следующие теплофизические свойства: р = 2000 кг/м , Л = Шт/(м-К), А = 10"6 М/С, а также коэффициенты теплоотдачи /?,_, = 1; 10Вт/(м -К). Показатель преломления материала // = 1,5, коэффициент поглощения а = 10 м 1, коэффициенты отражения воздух -стеклоподобный материал - воздух составили Rl2 = 0,092.
Численное моделирование однофазной задачи Стефана в слое с прозрачными и полупрозрачными границами
Интерес к исследованиям радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачных средах с учетом фазового перехода первого рода существенно возрос, что обусловлено практической реализацией данного процесса (стекловарение, рост кристаллов, тепловая защита, таяние льдов). Впервые численное моделирование однофазной задачи Стефана в слое среды с различными показателями объемного поглощения и излучения материалами проведено в работе [44]. Авторы этой работы ввели преобразование, позволяющее фиксировать фронт фазового перехода [53]. Данное обстоятельство облегчает качественный анализ результатов решения, но затрудняет процесс вычисления. При этом радиационная часть задачи решалась методом дискретных ординат и направленного луча. Следуя [44], в работе [49] рассматривалась однофазная задача Стефана с учетом отражения излучения от границ полупрозрачного слоя. Принципиальное отличие данной работы от [44] заключается в применении эффективного метода средних потоков [51] для определения радиационной части уравнения энергии. Указанный метод позволил получить результаты, хорошо согласующиеся с результатами [44]. В данной работе исследуется нагрев и последующее плавление бесконечного, плоскопараллельного образца с полупрозрачной (поглощающей, излучающей и нерассеивающей) серой средой. Аналогично [54], первый этап решения задачи сводится к рассмотрению нестационарного радиационно-кондуктивного теплообмена в процессе нагрева образца излучением и конвекцией. Во втором этапе, при достижении правой границей образца температуры плавления, рассматривается непосредственно задача Стефана.
Образующаяся на границе жидкая фаза сублимируется и уносится за счет конвекции. Положение границ раздела фаз определяется из решения краевой задачи, которое таким образом сводится к определению температурного распределения и тепловых потоков в слое твердой фазы переменной толщины от х = 0до x = S(i) (рис. 3.10). Уравнение энергии в твердой фазе пластины приведено в (2.1.1), плотность интегрального по спектру результирующего радиационного потока выражается через (2.1.2). Применительно к случаю прозрачных (непоглощающих) границ краевые условия задачи, рассматриваемой на втором этапе решения, с учетом условия Стефана на границе раздела фаз имеют вид: теплообмена с внешней средой, 7V — температуры среды слева и справа от образца, у — скрытая теплота плавления, индекс / = 1,2 — левая и правая границы образца. На первом этапе решения в уравнении энергии (2.1.1) следует полагать S(t) тождественно равной первоначальной толщине S,„ а правую сторону уравнения (3.2.2) приравнять нулю. Приводя уравнения энергии к безразмерному виду, используем преобразование [53], в результате чего фронт фазового перехода становится фиксированной границей при = xlS{t) = \. При этом используются безразмерные переменные: в Уравнение (2.1.1) в указанных переменных приобретает вид Решения задач в рассмотренных постановках сводятся к определению температуры #(, //) и плотностей результирующего радиационного потока Ф(, /7) в области (7{о 1; 0 ?; //,}, представляющей плоский слой твердой фазы. Положение фронта фазового перехода л(//) будет меняться от 1 до 0. Краевые задачи (3.2.4) - (3.2.6), а также (3.2.4), (3.2.11) - (3.2.12) решаются конечно-разностным методом, аналогично (2.2.9) - (2.2.13), а нелинейная система неявных разностных уравнений - методом прогонки и итераций.
В уравнениях (3.2.4) - (3.2.6), (3.2.11), (3.2.12) радиационные потоки представляют собой внутренние источники и определяются из решения уравнения переноса излучения (2.1.14), (2.1.15) с известным распределением температуры для плоского слоя излучающей и поглощающей среды [49, 52]. Граничные условия на прозрачных диффузно излучающих и отражающих поверхностях определяются как падающего на пластину с правой стороны; /;- коэффициент преломления. Граничные условия на диффузно отражающих, пропускающих и частично поглощающих (излучающих) поверхностях определяются следующим образом: Для решения радиационной задачи используются итерации, на каждом шаге которых краевая задача (2.1.14) - (2.1.15), (3.2.13) - (3.2.16) решается методом матричной факторизации. Быстрая сходимость данного метода решения позволяет получать результаты с высокой степенью точности. Были проведены численные расчеты полей температуры и радиационных потоков, положение фронта фазового перехода, а также изменение температуры левой границы образца. Для расчетов были взяты следующие численные значения параметров: S\, = 0,1м, 7} =1000К, Гс1=300К, По результатам работы [54] определены оптимальные параметры внешнего воздействия на объемно поглощающий слой с прозрачными (непоглощающими) границами. Это позволяет осуществлять равномерный нагрев образца до момента достижения условий фазового перехода. В настоящей работе были исследованы ситуации, когда такой образец справа обтекается конвекцией при фиксированной температуре Тс2 =900К. На рис. 3.11 - 3.12 приведены результаты расчетов нагрева и оплавления пластины с отражающей и непоглощающеи границами за счет радиационно-конвективного нагрева правой поверхности. В этом случае процессы осуществляются при воздействии максимального потока излучения, проникающего в пластину (потери на отражение правой границей - минимальные). Характер температурных полей в слое (рис. 3.11,а) определяется излучением и слабо зависит от температуры окружающей среды. Пластина достаточно быстро нагревается до температуры фазового перехода на правой границе (кривая 2 на рис. 3.11 ,а).
Похожие диссертации на Однофазная задача Стефана в слое полупрозрачной среды
