Содержание к диссертации
Введение
Введении 3
1.1 Концепция вихревого клубка в Hell. Основные положения и уравнения 3
1.2. Состояние точной теории ВК 9
1.3 Метод ренормализационной группы 12
1.4 Численное моделирование вихревого клубка 15
1.5 Феноменологическая модель вихревого клубка 19
1.6 Общие положения гидродинамической теории Hell 22
Гауссова модель вихревого клубка в Hell 27
2.1 Основные положения и построение модели 27
2.2 Энергия вихревого клубка 33
2.3 Гидродинамический импульс вихревого клубка 35
2.4 Выводы к главе 2 39
Аналитическое исследование свойств вихревого клубка 41
3.1 Микроскопические уравнения для динамики вихрей 41
3.2 Постановка и модель задачи 44
3.3 Вычисления 46
3.4 Численный эксперимент 50
3.5 Выводы к главе 3 55
Численные расчёты в гидродинамике сверхтекучей турбулентности 59
4.1 Введение и постановка задачи 59
4.2 Уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности 61
4.3 Распространение одиночных тепловых импульсов большой амплитуды при а2> 0 64
4.4 Распространение одиночных тепловых импульсов большой амплитуды при а2< 0 68
4.5 Выводы к главе 4 69
Литература 72
- Численное моделирование вихревого клубка
- Гидродинамический импульс вихревого клубка
- Микроскопические уравнения для динамики вихрей
- Уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности
Введение к работе
1.1 Концепция вихревого клубка в Hell. Основные положения и уравнения.
В настоящее время хорошо известно, что при определённых условиях в объёме сверхтекучею гелия возникают квантованные вихри сверхтекучей компоненты, влияющие на многие гидродинамические и термодинамические свойства ПеІІ. В историческом плане, видимо, первый приме]) такою влияния представляет случай вращающегося Hell. Понятно, что при отсутствии силы трения, непосредственно механическим воздействием сверхтекучую жидкость невозможно привести во вращение. Тем не менее, именно такое поведение наблюдалось в 'жепернмеитах. Причина была найдена в том, что в результате взаимодействия нормальной и сверхтекучей компонент НсІІ, в объёме возникали регулярно выстроенные квантованные вихри сверхтекучей компоненты. Именно эти вихри и являются ответственными за вовлечение жидкости во вращение. При >том расположение вихревых линий представляет собой упорядочен пук» структуру, похожую па двумерный кристалл. Исследованию таких структур посвящено большое количество работ, наиболее важные результаты которых изложены во многих обзорах и монографиях (см. например Donelly 1!)!М).
И дальнейшем был осознан тог факт, что многие из явлений, наблюдаемых в различных JkcnepiiMeinax со сверхтекучим гелием и связанные с наличием вихрей, не могут майтп обьяспепия в рамках простых вихревых конфигураций, іакнх как кольца, прямые* или слабо изогнутые линии и г. д. Дело в том, что в общем случае вихри в Hell представляют собой неупорядоченную, хаотически запутанную динамическую структур}', -эволюционирующую во времени. Явление существования таких структур в объёме Hell получило название сверхтекучей турбулентности (СТ).
Термин "вихревой клубок" (НК) появился в известной работе Фейпмапа (Feynnian И)')"}), где впервые было дано феноменологическое описание СТ. Фей-нман предположил, что если разность скоростей нормальной н сверхтекучей компонент Hell — vJIS превышает некоторое значение, возникают- квантованные вихри, подобно тому, как они возникают во вращающемся гелии. Возникшая структура представляет- гобой хаотически ориентированные вихревые .пиши. Далее предлагался следующий сценарий эволюции. Участки вихревой линии, двигаются со скоростью, отличной от локальной скорости сверхтекучем"! компоненты и. таким образом, испытывают действие силы Магнуса. В зависимости от ориентации и других условий возможно как увеличение длины некоторою элемента вихря, так и её уменьшение. Предполагалось, что первая тенденции преобладает-. По мере роста общей длины, вихревые липни всё более плоттю заполняют- объём, что рано или поздно приводит к их пересечениям. При пересечении возможно перезамыкапис линий (рскоииекция), то есть либо слияние вихревых колец, либо их дробление. Фейнман предполагал, что последний процесс доминирует. Это приводит к каскадному образованию всё более мелких петель. В конечной стадии каскада размеры колец становятся порядка межатомных расстояний, п они, в конечном счёте, трансформируются в тепловые возбуждения. Таким образом компенсируется нарастание полной длины вихрей IE возникает некоторое; статистически стационарное состояние ВК, а вместе с тем и Hell.
Качественная картина Фейимана была развита далее в классических работах Viiien Н)Г)(і, 1!).ТГа, 11)571), l!J">7c, 19-58, где феноменологически было получено уравнение на динамику плотности вихревых линий в единице объёма (НИЛ). Найнен рассматривал однородный вихревой клубок с плотностью вихревых линий в единице объёма 1.(1). Попятно, что говорить об однородности можно при условии, что характерное межвихревое расстояние S ~ /,-'/2 много меньше ха-ракіерпьіх размеров системы. Предполагалось также наличие посіояніюго теплового но і ока, характеризуемого постоянным значением разности скоростей нормальной п сверх іекучсії компоненты гелия г,,,. Величина г,, предіюлага- ласі, некоторым фиксированным внешним параметром теории. Вайиеп предположил, чю іимепеппе Ці) во времени описывается уравнением первою порядка. При этом производная (II,/dl представляет собой разность двух слагаемых, точно соответствующих рассмотренной выше качественной картине Фейпмаиа: dt ^Ot 'at" \ dt'*> 'Здесь первое слагаемое соответствует росту ПИЛ, обязанному силе трения, второе - - уменьшению ПИЛ, блатодаря дроблению вихревых колен. Для определения вида обоих слагаемых использовались соображения размерности, аналогия с классической турбулентностью и известные результаты динамики одиночных вихревых нитей. Выло сделано предположение о том, что tlL/dt в некоторый момент времени является функцией только ПВЛ — /у в тот же момент времени, силы взаимного трения /. плотности сверхтекучей компоненты ра и циркуляции к. 'Зависимость от г,,., предполагалась включённой в силу /. Далее анализ размерностей приводит к соотношению: v (Л 'Зі" v р.КІҐ>г/
Где и некото|>ая безразмерная функция своего аргумента. Для определения вида этой функции Вайнен опирался на результат для динамики одиночного вихревого колечка, ориентированного поперёк противотока в ІІсІІ, полученный в работах Hall, V'nien H)"Hia, 11)56Ъ. Таким образом был определён вид слагаемого (dL/dl)stn. Второе слагаемое в (1.1) определялось при помощи аналогии с классической турбулентностиыо, в предположении, что картина дробления вихрен вполне аналогична колмогоровскому каскаду турбулентных пульсаций. Диссипация энергии, связанной с пульсациями, описывается соотношением: 0и2 «3 МП "' lvisc 'ідесь и —- характерная скорость пульсаций на масштабе границы вязкого интервала -- /,.,-.„.. \:( — некоторая константа. Полагая lvisc равным межвихревому расстоянию Л, а и скорости вращения жидкости па расстоянии S, равной и = (/./2-)/^/-. Вайпеп получил вид второго слагаемого в (1.1). В результате» уравнение Вапнена выглядит следующим образом: ^ = «.K.|/'"V2-/U'2 (1-і)
Некоторые* копс і анты о,, и /і,, должны определяться из чкеиеримента.
Как буде» видно из дальнейшею изложения, уравнение (1.1) играет существенную, рол», для описания гидродинамики сверхтекучей турбулентное тті (Г(.'Г). Однако, можно заметить, что теория Вайнена имеет некоторые сложности. Отметим некоторые из них. Во-первых, с помощью (Ы) нетрудно определи 11> ипіеірал для вычисления времени развития ВК, начиная от нулевою значения ПИЛ, причём ре $улі/гат расходится на нижнем преде.те. Другими слонами, время развития клубка оказывается бесконечным. Происхождение ;>топ расходимости связано с тем, что (1.1), будучи уравнением баланса между ростом и распадом уже* существующего клубка, не содержит никакой информации о первоначальном зарождении вихрей. Для исправления возникшей сложности, опираясь иа жепернментальиые данные, Вайиеи ввёл в уравнение дополнительное слагаемое вида ")|с,п,|','/'2, которое? учитывает механизм начальною возникновения вихрей (-; — некоторая сильно зависящая от температуры функция). И различных рае:чётах также применяется другой подход, а именно, предполагается сущест вованпе некотороіо е|)опа ПИЛ — Lq. Вопрос о тол» какой из подходов более корректе-н для описания динамики ПВЛ остаётся открілттлм и пещробпее буде*» е)бе,уждаться в четвертей» главе дисе:ертации. Сле-дующий ме>мепт, ке>-торый хотелось бы отметтпъ, связан с тем, что вид функции ф, существенно влияющей па вывещ уравнения Вайнена, вообще говоря, неопределён. Разброс экспериментальных даппьіх в принципе допускает альтернативную форму сла-гаеменч), епветст венного за »е*нерацию вихрей, что, в свою очередь, при вешит к "альтернативпому" уравпечппе) Вайнена (Nemirovskii, Schmielt 1990): '^=«au\vla\l<-(1allL2 (1.5)
В настоящее* время считаетчя общепризнанным и используется в различных приложениях уравнение* (1.1). Но точный ответ* на этот вопрос, видиме), был бы возможен .ниш» при наличии развитой микроскопической теч)рии ПК. '1 сор и я Фснпмана, являясь, в своё вре*мя, еерьёзпым научным достижечшем. носи і чисто е)ііиеа»е*льиьіп характер. Никаких кешичест-венных результат еж. каеающпхея свойств ПК. е*на не содержит-. Уравнение Панне'на (1.1) ежисьїкаеч ')ве)ліе)іініе> ПВЛ. но іюлучено из самых е>бщих ееюбражепий без учёта микро-сконическнх уравнений динамики вихрей. И то же* нре*мя, иехкольку евойе т ва вихревых с1 рук і \ |> в Hell но мнеи'ом еміределяїот свопе» ва гндро;іннамнче*е'кнх и термодинамических процессов в самой сверхтекучей жидкости, представляется весьма важным исследование различных статистических харамерип пк ПК' па основе* именно точных уравнений динамики вихрей. Обратимся к подробному рассмотрению >т их уравнений.
Скорость движения точек вихревой нити складывается из векторной суммы обшей (внешней) скорости движения сверхтекучей компоненты г, и скорости, индуцированной всеми присутствующими в системе вихревыми нитями в данной точке?. Кроме того, присутствует взаимодействие с нормальной компонентой. Уравнение для индуцированной скорости приводится в огромном количестве учебников, монографий, обзоров и т. д. Это уравнение представляет собой закон Бпо-Савара: rf*u.o = ± [W,t>-s(t,t))xs'(a Іґ п п di -1-У Нч",0-^,013
Здесь и далее .Гобозначает радиус-вектор, направленный к некоторой точке вихря. Вихревая линия произвольным гладким образом параметризована вдоль кривой переменной , s' — производная радиус-вектора вдоль кривой, другими словами, касательный вектор. Величиной /с обозначен квант циркуляции. для Hell )то строго фиксированная величина. Интегрирование производится но всем вихревым нитям, присутствующим в рассматриваемой системе. Как видно, интеграл логарифмически расходится на нижнем пределе. Для того чтобы избежать расходимости при при s(,/) -> iT(f',/). делаются различные приближения. Чаше всего в знаменатель дописывается некоторая малая добавка, соответствующая радиусу ядра вихря: RO-*(0H(RO-«W + (2),/2 (1.7)
По-новоду пой добавки существуют некоторые вопросы (см. например Agislein. Mig
При значениях с. близких к ', (1.6) можно записать в виде: '/",„,/ к *' х .s7' Г d(-<') —77~ ~ ~, ,.. / Т7 77Г + нелокальная часть (1.8) ill 1тг |.s'| J (с, - і,')
Па нижнем пределе интеграл в (1.8) по-прежнему считается ограниченным радиусом ядра вихря <. ограничение на верхнем пределе обычно выбирается рав- нмлі усреднённому радиусу кривизны вихревой линии < Н >, который по порядку величины равен Л'/-\ где L — полная длина вихревой линии. 1>е$улі.іаі интегрирования следующий: '/ ~;, і *' х а" —7~~ — ft і-ліі + нелокальная часть, (1-9) (К \!?\* где } = jL[H^Jl>.. Опенка показывает, нелокальная часть по порядку величины в In !* меньше, чем локальная (Schwarz 1988). Описание динамики ПК в пренебрежении нелокальными членами называется локальным (самоиндуцированным) приближением. Достаточно сложно определённо ответить на вопрос о достоверности этою подхода. Существуют оценки (Schwarz 1988), что точность локального приближения при численном расчёте динамики хаотическою вихревого клубка составляет примерно 90%.
Следующий факюр. влияющий на движение нитей — взаимодействие между квантовым и вихрями и нормальной компонентой. Согласно Халатипкову (Халатников 1971), движение нормальной компоненты со скоростью г„ по сути есть дрейф квазичаепш (фоноиов, ротонов), которые и формируют >ту компоненту. 'Знергня 01 их квазичастиц есть функция va. Эта зависимость становится очень сильной вблизи вихревой линии. Другими словами, существует некоторый эффективный потенциал, и, соответственно, сила взаимного трения между квазмчастицамп и вихрями. Соответствующая теория описана во многих обзорах (Соипи 198.'}, Haieii«lii et al., 19S3, Donnely 1991). Приведем здесь, опираясь па локальное приближенно, золько наиболее важные резулмати. Сила, действующая на единицу длины вихревой линии, имеет вид: fn = /3,pjx ( pi х (v'n - ) ) +/32р х (v'n - ). (1.10) '$дееь .", означает скорость сверхтекучей компоненты и, таким образом, вихревой нити: \* = -W + vs + і7я>ь (I -11)
Обозначения следующие: s, — полная скорость вихревой нити; .\,„,/ - вклад < коросі и, пндуцпрованнпой вихревыми нитями; vs — внешний поток сверхтекучей компоненты; r,j, некоторая коррекция полной скорости, возникшая от і раннії обьёма НеІІ. Іілагодаря ирису тс твию//;, .v, отличается о і значения .s*,,,,/ и уравнении (1.9). Достаточно много патей посвящено вычислению /)j и lit (см. например liarenglii et al., 1983, Donnelly 1991). Orn коэффициенты зависят не только от давленії/і и температуры, но и от скоростей (Suanson et а!.. 19S7), а также от нрешзвчлиых скоростей '-rjf-, ~ (Melil 1971), то есть они нелокальны по времени. Однако, эти эффекты малы и могут рассматриваться как поправки. Нулем далее считать, что D\, D2 некоторые фепомечюлогические константы. Дрейфовая скорость квазичастиц вблизи вихря должна отличаться о1 усреднённой в обьёме скорости сверхтекучей компоненты г„. Нулем, однако, предполагать, что они равны, а отличие учитывается коэффициентами /Л, Di-Для того, чтобы найти їГ,. необходимо знать какая сила действует на вихревую линию, когда скорость пой линии отличается от скорости сверхтекучей компоненты. Результат найден в работах Hall, Vinen 1956а, 19oGb: fy. = />л«т-77 х (5!» - sinj) {\Л2)
Величина JM называемся силой Магнуса. Далее, сонооавляя /,\/ н /и, препе-орегая эффектами, связанными с границей объёма, окончательно получим: е/.~ .Г' . , s' *7' -г- = »,„,/ + і',+огт > (»',„ - -w) - о -г—? х — х (у„, - „,,) (1.1:5) dl И \s'\ \*'\
1\'о')(1>фпцнепты о, о' определённым образом выражаются через А)|, 1)^- Урав-иенне (1.13) используется для решения многих вопросов, связанных с вихревой динамикой. О і метим, что вишмодействие вихрей в (1.13) может быть выражено (и по было бы более верным) через полный закон Пио-Савара (1.6), а не через локальное приближение (1.9).
Уравнение динамики вихрем"! (1.13) никаким образом не учитывает nepeja-мыканпе линии. Однако, даже исходя из качественного описания Фейнмапа. рсконнекцпя оказывает- существенное; влияние на эволюцию В1\. Не) поскольку в пае:те>ящсч> время этот процесс аналитически практически не* изучен, колп-чеччвенно учечтьемх) влияние па динамику нитей представляется возможным только в чпглемшых моделях \\\\.
1.2 Состояние точной теории ВК.
Как уже- уіюмшіа.юсь. д.:я точиенч) описания статистических евойетв и динамики В К представляєте» актуальным наличие* ію.тноп и пемледоваммыюй ісорпи. основанной на уравнениях (1.0), (1.13), и учёте рсконнскшш. Однако, в насюящсе в|>емя, соогветсі вуюіц<.'й теории не суіце.чт в>ем. Такое положение обусловлено рядом объективных факторов. Полная постановка проблемы о хаотической динамике вихревых нитей в реальном Hell крайне сложна. Она включает в себя динамику элементов нити па основе закона Ппо-С'авара (1.0), который описывается сложным нелинейным и нелокальным эволюционным оператором, причем нелинейность неполииомиалыюго типа. Кроме того, имеется взаимодействие с нормальной компонентой. Наконец, существует вклад в динамику, который определяется перезамыканием нитей, очень сложным с точки зрения теоретического описания процессом.
Представляется разумным на первом этане разбить полную задачу на. отдельные части. Но и в этом случае теоретическое рассмотрение каждого отдельного фрагмента представляет собой крайне трудную задачу. Взаимодействие вихрей описываемся нелокальным, пеполиномиальным, сингулярным образом --- законом 1)Но-('авара. В то же время, вероятно подавляющее большинство более или менее строгих аналитических результатов для динамических систем с сильным взаимодействием основано на в некоторой степени разработанных инструментах теоремі ко-полевого подхода. Последний подразумевает- локальный н полиномиальный механизм взаимодействия и, таким образом, не может в полной мере быть применён к рассматриваемой проблеме. Известны, немногочисленные попытки построить необходимый нестандартный формализм. В рабоїе Migelal, Agislein 1986 было получено функциональное уравнение для стохастического характеристического функционала вихрей. Это уравнение довольно сильно отличаемся от случая обычных стохастических полей, и совершенно непонятно возможно ли em использовать для получения конкретных результатов. ВзаимодечТем вне вихрей с нормальной компонентой ещё болеч* усугубляет проблему.
В принципе, п локальное приближение может быть применено для приближённого рассмотречшя динамики ВК. Вероятно, в таком случае невозможно будет описать какие-либо "тонкие" кЬе^скты поведения вихрей, но вследствии значн іельпого унропнчшя уравнений динамики, этот путь преде гавляемся болеч-перспективным (иоирайпечі мере для начала). В работе Schvvar/. 1!)7S было получено уравікчіпс эволюции IIBJI, і. є*, аналог уравікчшя Впинена. Автор рае-(лнпрпвал (|)\ ііічШііо распредс-кчшя вихревых петель в (разовом нрое і раїк і ве.
Далее для ->'iofi функции било получено эволюционное уравнение. При этом использовалось у|)акненне динамики вихреных нитей в локальном приближении (1.1:1). Также использовались соображения размерности, и результаты численного исследования ПК. В итоге автор получил эволюционное уравнение на ПИЛ в точности соответствующее уравнению (1.4). Кроме тою, решение Шварца показало сильную анизотропию ІЗК (выделенное направление vn3), что отличатся от картины Найнсна, где клубок предполагался однородным. Однако, по сути, резу.тьтатьі работы Schwarz 1978 нельзя назвать точными. Основная причина в том, что было использовано неполное фазовое пространство (иначе получалась незамкнутая бесконечная цепочка урапений). Были сделаны ещё некоторые предположения и приближения (подробности см. Nemirovskii, Fisdon 1995). Поскольку использовались соображения размерности, окончательный вид конечного уравнения в принципе мог бы быть идентичным и "альтернат ивному" уравнению (1.5). Таким образом, вопрос микроскопического обоснования уравнения Найнена (или получения некоторою его аналога) остаётся открытым. Нол ее того, представляется возможным следующее предположение: поскольку уравнение Вайнепа получено в работе Schwarz 1978 на основе не совсем точной процедуры, вероятно и само уравнение является в той или степени приближённым.
Что касается теоретического рассмотрения процессов рекоппекции, то данный вопрос в какой-то степени разработан исключительно лишь для протяжённых обьектов без взаимодействия, то есть для случайно блуждающих нитей (Yachaspati, Vilenkin 1984, Copelatul, Kibble, Steer 1998). Юслп между нитями присутствует в.аимодспствие (любого вида), то в этом случае, в настоящее время, практически не существует аналитических методов описания статистики рекоппекции н влияния этого процесса на свойства вихревой структуры.
Таким образом, можно сделать определённый вывод: несмотря на очевидную актуальность, в настоящее; время отсутствует сколько-нибудь полная и последовательная теория вихревых структур в Hell, основанная паточных уравнениях динамики.
В общем случае хаотическая динамика вихревых нитей относится к такому разделу физики неупорядоченных систем как хаотическая динамика протяжённых обы-кток. Квап юные вихри (пли более обще — одномерные топологические дсффекіи), во шикающие в ра-личных нелинейных полях, определяют* многие физические свойства систем, описываемых этими нолями. Диапазон примеров весі.ма широк. Теория полимеров, мембран, физика реля і ивистскпх струп, теория линейных деффектов в твердых телах и многое друте. Кроме тот, имеется ряд предположений (как численных гак и аналитических), что многие свойства классической турбулентности могут битії описаны в терминах хаотических вихревых трубок. Выражается мнение, что вихревые нити составляют "костяк турбулентности", и, изучая хаотическую динамику вихревых линий, можно существенно продвинуться в построении теории гидродинамической турбулентности (Frisch 1995). Представляется совершенно естественным проникновение и объединение результатов из одной области исследований в другую. Что касается именно сверхтекучей турбулентности, то, как уже упоминалось, влияние вихрей на свойства Hell достаточно сильное. Кроме того, в этой области существу кіт весьма развитые жеперпментальные методы изучения различных физических свойств, связанных с вихревой динамикой. Таким образом, сверхтекучая турбулентность может служить некоторым "полигоном'* для тестирования возможного развития теории стохастической динамики протяженных объектов.
Аналитическому исследованию некоторых общих характерных свойств стохастической динамики ПК на основе локального приближения с использованием методарспормалнзаииопиой группы посвящена третья глава настоящей диссертации.
1.3 Метод ренормализационной группы.
Меюд ренормализацпонной группы (РГ) возник первоначально в квантовой теории поля (квантовой электродинамике) в связи с проблемой устранения бесконечностей в высших приближениях теории возмущений при разложении по величине константы взаимодействия. И основе метода лежит неизменность физических результатов относительно выбора условий нормировки функций Грина н вершин диаграмм Фсйпмана при некотором значении волнового числа. ( помощью РГ удаётся перестроить ряд формальной теории возмущении и тем самым существенно улучшить скорость сходимости или даже просуммировать некоторую бесконечную подпоследовательность указанного ряда. Общеприня-юе название такою подхода квантово-поленая РГ. Основные идем нот метола были разработаны в 1!)г>:{ - 11)55 тдах в работах ІІІтюкельбсрга и Пеіер- мана (Stiieckelberg, Рсіегпіап 1953), Гелл-Мана и Лоу ((Jell-Mann, Low 193-1), Боголюбова її ІІ1іі])Кова (см. Боголюбов, Ширков 1984).
Несколько иной подход к пониманию идей и использованию метода РГ был сформули|)оваи Вильсоном (Wilson 1971, 1975а, 19751), Вильсон 1983). Согласно Вильсону метод РГ представляє! собой способ исследования мпогомодовой системы с многими характерными пространственными н/плп временными .масштабами. В основе РГ-подхода лежит физическая идея о том, что связь между модами различных масштабов является локальной, т. с. основную роль играют взаимодействия близких масштабов. Взаимодействие мод с существенно различающимися масштабами осуществляется за счёт каскадного процесса взаимодействия через моды промежуточных масштабов. Наличие каскадного механизма веде г к идентичности (с точностью до масштабного преобразования) картины поведения мод разных масштабов. Другим следствием каскадного механизма является независимость поведения системы в области промежуточных масштабов (инерционном интервале) от особенностей её структуры в области малых масштабов (например, универсальность в теории критических явлений) плп в области больших масштабов (например, универсальность режима турбулентных пульсаций).
Наиболее впечатляющие достижения метода РГ в Вильсоновской формулировке относятся к теории критических явлений. Особенности поведения систем вблизи критической точки определяются крупномасштабными флуктуаниямп. !!..!'
Возможность использования РГ для исследования турбулентности основана па наличии значительной общности между развитой турбулентностью и критическими явлениями. Г)та общность заключается в том, что как для критических явлении, так и для развитой турбулентности имеет место самоиодобме (масштабная инвариантность или скейлииг) и универсальность. Существует предположение (Кузьмин, Наташинский 1972), что самоподобие является общим свойсівом многоходовых систем с сильным взаимодействием между модами. Первая серьёзная попытка применения идей и методов РГ к турбулентное"! и о і посіп ся к 11)77 год}' и принадлежит Фостеру, Нельсону и ('тефспу (Foster, Nelson. Stephen 1!)77). Данные авторы на основе Вильсоновского подхода исследовали длинноволновые п долгопериодные свойства жидкости, возбуждаемой случайной внешней сплой типа Гауссова "белого шума" при различных моделях для корреляционной функции внешних сил. Дальнейшее развитие метода IT в теории турбулентности связано с работами Де Доминисиса и Мартина (1)е Dominicis, Martin 197!)), Я хота и Оржега (Yakhot, Orszag 1980). Эти и многие другие результаты отражены в различных обзорах и монографиях (например McComb 1990, Аджемяи, Антонов, Васильев 1996).
Рассмотрим обитую схему Вильсоновской формулировки РГ на примере исключения мелкомасштабных мод (как это проделано, например, в теории турбулентности). Пусть в системе имеются моды, спектр которых ограничен сверху иекоюрым значением Л*. Разобьём спектр па две части: 0 < А- < 1\'с~' и Л"с~' < /. < Л", соответственно, низкие и высокие гармоники. 'Здесь /, некоторый положительный параметр. При достаточно малых значениях / число высоких гармоник будет небольшим. Решим уравнение для высоких гармоник, с учётом их взаимодействия с низкими гармониками и подставим полученные решения в уравнения для низких гармоник. После соответствующего усреднения высоких гармоник, конкретный вид которого зависит от рассмативае-мой задачи, получим уравнения для низких гармоник, с учётом усреднённого влияния высоких гармоник. 15 результате спектр оставшихся мод будет ограничен условием 0 < к < /v'f"'. Далее выполним масштабное преобразование А: —> к' = let1 в результате которого интервал спектра волновых чисел примет прежнее значение 0 < А- < А*. При ті ом параметры уравнения для .медленных мод нерснормпруются, а вид уравнения, при соответствующем"! перенормировке опальных переменных, параметров и амплитуд, сохраняется (хотя возможно только приближённо). Обозначим набор задающих систему параметров /*, точкой в upon рапстве параметров/<. Тогда, в принципе, преобразование РГ может быть записано к дифференциальной форме: jW) )= "(/«(О). (i.ii) где //(//) ошачаег некоторый жолюцноииый оператор, зависящий от конкретной задачи. Возможный вариант асимптотического поведения решения уравнения (1.1 I), "но стремление всех параметров к нскоюрой конечной не- личине (неподвижной точке) при / —> оо. И отом случае, волиш неподвижной точки все параметры становятся практически независимыми от /.другими словами, начиная с некоторою значения / система не меняет- своєї о поведения при дальнейшем движении к неподвижной точке в пространстве параметров. В результате становится возможным извлечение той или иной (в зависимости от рассматриваемой задачи) информации о динамической системе. Например, значения критических показателей вблизи точки фазового перехода для теории критических явлений, или степенных показателей различных корреляционных функций в иперциоппом интервале в случае гидродинамической турбулентности и т. д.
Возвращаясь в рассмотренном контексте к вихревому клубку отметим следующее. Представляется крайне маловероятной возможность применения теории IT (по-крайпей мере в существующих формулировках) для развития в той пли иной степени полной теории стохастической динамики вихревых нитей. Лаже естн пренебречь процессами рекопнекцпи, нелокальный, пенолиномиальный вид оператора взаимодействия вихрей (закон Био-Савара) ставит под сомнение возможность осмысленной перенормировки и, соответственно, ікмгучение полных результатов. Гем не менее, для локального приближения (1.9) метод IT вполне применим. Подробно этот вопрос рассматривается в третьей главе диссертации.
1.4 Численное моделирование вихревого клубка.
Первые работы ио численному моделированию вихревого клубка в Hell появились в начале 80-х годов (Schwarz 1982а, 19821)). С того времени данная область интенсивно развивалась, и в настоящее время накоплен весьма обширный материал на соответствующую тему. Іідось будет приведён обзор некоторых рабог, а также рассмотрены основные принципы данного направления.
Численные работы Шварца (Schwarz 1982а, 19821), 1985, 1988, 1990, Schwarz, Uo/.oii 1991) основаны на уравнении (1.13), которое в локальном приближении, с заменой /0 = .//, гмц = r,,/ii. esU = r„/fi принимает1 следующий вид: __ = .ч' х .s" + lVo + n.s' X (.-,,,,0 - .ч' X .s") -
1} качестве начальных условий были выбраны шесть крутвых колец. Весь расчёт производился в кубе определённого размера. 13 зависимости от условий куб предполагался либо неподвижным, либо движущимся вместе со сверхтекучей компоненти. ІЗ »адаче присутствовало выделенное направление спа. При пересечении вихревые нити перезамыкалпеь с определённой (заданной) вероятностью. (Приведены результаты ПИЛ в зависимости от пой вероятности). ІЗнхревая линия была параметризована длиной дуги . Рассматривались следующие параметры ПК. Плотность вихревых нитей в единице объёма: L = ±Jdi (1.16)
Здесь п далее интегрирование по полной длине вихревых линий в рассматриваемом объёме. Следующие параметры — абсолютное значение средней кривизны и средний квадрат кривизны: <Й>= y7];/V'K = cxL (1.17) <Й2>= ї^/ЙЧ = c\L (1.18)
Далее, три параметра, характеризующие анизотропию 13К: U = ^/(1-()2)^ (1.20) '""« = ^/^^- (,--п где Гц и Tj_ единичные век гора соответственно в направлениях по r,is и перепдп-кулярпо г„3. Параметры /ц и /j. характеризуют пространственную ориентацию вихревых линий: // описывает анизотропию самонпдуцированпой скорости. И резулыате счёта были получены следующие результаты. Установлена зависимость 1113J1 от скорости противотока: L ~ vl, (1.22) что подтверждает результаты предыдущего аналитической) рассмотрения (.Schwa rz I!)7S). Кроме mm, для различных условий были вычислены значения параметров (І.КІ-І.2І). а также многие другие характеристики вихрей. (Подробное! и можно пай їй и оригинальных работах). Общую кар і пну разки і ия ВК можно виден, па рік. 1.1.
Рис. 1.1: Пшлсдоьапнлыинни» заолюции мирсаых панель, полу-4(1111(111 (> ])(.іулі>ііішіі( числі иного расчі'іпи (Schwnrz 1988).
Казалось Ом, при помощи численного решения точных уравнении димамики вихревых ничей можно однозначно получим» любую интересующую информацию о ВК. В дейсі вите.тыюст и ситуация оказалась несколько сложнее. В работе Buttkc 1988 выполнен расчёт, в определённой степени аналогичный расчёту Шварца. Ныли использованы периодические граничные условия, что соответствует бездивергептпости сверхтекучей компоненты (другими словами, сколько сверхтекучей компоненты втекло в некоторый объём, столько же её должно вытечь). В работе была получена зависимость для ПВЛ, отличная от результатов Шварца: L ~ \vn,\ (1/23)
Бурная полемика между названными авторами касалась вопросов точности численной схемы, а также поведения вихревых линий, закапчивающихся на границе объёма. Отметим также следующий момент: в работе , do Waele 1994 наблюдалась зависимость окончательных результатов от выбора периода при постановке периодических граничных условий, чего быть, конечно, не должно. Таким образом, видно, что небольшие изменения в постановке численной модели ПК, или в численных алгоритмах могут влиять па окончательные результаты. При этом определить достоверность (если, конечно, речь не идёт о явных ошибках) практически невозможно.
Дальнейшее развитие численных моделей ВК связано с использованием полного закона Пио-Савара (1.6) для описания взаимодействия вихревых ничей. Хоія в ciciiur bciiwaiz і\)'6і> утверждалось, что локальное приближение дает ~90% точность, достаточно полно этот вопрос исследован в работе Barenglii et al. 1997. где выполнено численное сравнение указанных подходов. В той же работе было показано, что вследствии взаимодействия вихрей между собой и нормальной компонентой, вихревые нити определённым образом концентрируются н образуют, так называемые, "трубки завихренности"1. Там же получены некоторые другие детали поведения вихревых нитей. Свойства В К при течении Hell в каналах с различными внешними условиями рассматривались также в работах: Samuels 1992, 1993, Barenghi, Samuels 199!), /Wis, de Waele 199-1. Существуют расчёты, касающиеся свойств отдельных вихревых нитей, например Samuels, Donnelly I99U, где изучались свойства воли Кельвина па уединённом прямом вихре. Поведение близко расположенных вихревых нитей, а также непосредственно акт реконнекции рассматривались в работах Siggia 198"), l'tmiir, Siggia 1987. 1.5 Феноменологическая модель вихревого клубка. Численные методы, безусловно, в принципе могут дать достаточно полную, можно сказать, детальную информацию о конфигурации и свойствах вихревого клубка. Однако, конкретный численный расчёт, в любом случае, делается для тех или иных конкретных условий и определённой модели. В рамках одно-то расчёта вычисляются тс или иные (интересующие исследователя) конкретные характеристики ВК. При этом, вслсдствии отсутствия теории, практически невозможно проследить взаимосвязь между различными величинами, сделать какие-либо обобщения и выводы, предсказать те или иные результаты в условиях, отличных от условий расчёта. Поскольку создание полной и последовательной теории ВК в настоящее время представляется практически невыполнимой сверхзадачей, особую актуальное і ь приобретает построение различных феноменологических (описательных) моделей, обобщающих известные факты, полученные из экспериментов обычных и численных. Такой подход был реализован в работе Neinirovskii 1998а, где был построен некий универсальный метод — так называемая Гауссова модель. Суть його метода опираясь иа известные экспериментальные фнк і и. построим, пробную функцию распределения вероятности реализации конфигу- раций вихревых линий в пространстве петель. Эта функция строилась таким обра-юм. чтобы усреднение по кофигурациям вихревых линий, сделанное с её помощью давало известные значения определённых величин. Далее, зная (безусловно приближённо) функцию распределения, в принципе можно вычислять любые статистические средние. 13 качестве основных параметров были выбраны следующие: ^=(Ejf'lu(fc)l(1/21) '»> =( y^Ej^'^j>'3Mi)^} (1-25) '": =( Т77ЇЇ7Т Е Г' *'jtfi) х ЛКі)dQ ('-2(і> І Lv j J0 Поясним более подробно (1.21)-(1.27). Соотношение (1.21) представляет собой статистически среднюю плотность вихревых линий в единице обьёма (ПИЛ) Ly. 'Значение IIHJI, коюрая есть функция противотока vns, а также давления и температуры, хорошо пшестно из міюіх>чпененных экспериментов. Здесь и далее V — обьём рассматриваемой системы, Sj{j) — радиус-вектор, определяющий положение вихревой петли с номером j, в параметризации равной, в данном случае, длине вдоль вихревой линии. 51> ~" означает суммирование по всем вихревым линиям. f0' ...<7 — интегрирование вдоль каждой из них; .*' — означает производную вдоль линии. Усреднение подразумевается по всем конфигурациям ВК. Далее, соотношения (1.25-1.26) определяют, введение в работе Sell war/ 11)88 параметры пространственной анизотропии ВК. Эти параметры известны из численных расчётов и, кроме того, в принципе могут быть связаны с экспериментальными данными. В (1.27) определена, связь между средней кривизной вихревых линий и IIBJ1. Эта величина известна из численных расчётов. 1Сщё одной отправной точкой для построения Гауссовой модели было выбрано условие, что производная по длине вдоль вихревой линии всегда равна единице, другими словами |*'()| — ' Тогда полное число возможных конфигураций В К выражалось ч<"|>с» функциональный интеграл в виде: А'..// /^/ /^(ЙОІ-1) (1-28) Затем, исиолыуя известное в теории полимеров соотношение (І)оі, Kdwards 1980). й-функипя в интеграле приближённо заменялась следующим образом: J сіЧб(\Ц - /„) => J #Г-^щ-етр{-Рп/111 (1.2!)) Здесь /„ — некоторая эффективная длина, в данном случае параметр теории, подлежащий определению. На этом закапчивавается перечисление основных предпосылок, на которых построена Гауссова модель В К. Далее рассматривалась следующая величина — характеристический функционал (ХФ), который есть функциональное преобразование Фурье от функции распределения. Щ{Г'ЛЬ)}) =( стр ( i jf'" Pj(ti)Wi) Характеристический функционал играет важнейшую роль в статистической физике. Зная ХФ можно .четко відчислить различные корреляционные функции, и многие другие характеристики динамической системы. Приведём несколько примеров для рассматриваемою случая: „ _ д SW і .- ч' s' .-- _ M ;j;j) Подобным образом определяются через ХФ многие статистические характеристики системы. В результате вычислений, в сочетании с определёнными предположениями (подробности можно найти в статье Neinirovskii 1998а, а также во второй главе настоящей диссертации), был получен ХФ в ^-пространстве, имеющий вид: \У({Г)(к)}) = tip ( - Ьр)(кГ^{к)1>?(-к)), (1.34) с полностью определённой матрицей Nai\k} С помощью Гауссовой модели были вычислены различные характеристики В К (Neinirovskii H)!)S1>: Neinirovskii, Nedoboiko 2000; Neinirovskii. Nedoboiko 201)1; тому же посвящена вторая глава диссертации). 1.6 Общие положения гидродинамической теории Hell. Обратимся теперь к феноменологической макроскопической (гидродинамической) теории Hell при тгом по-прежнему с учётом вихрей. Сверхтекучий гелий, благодаря своим уникальным свойствам, имеет достаточно широкие практические инженерные применения. В основном, для охлаждения тех или иных приборов и устройств, функционирующих при температурах ниже 2К (например обмоток сверхпроводящих магнитов и т. д.). При конструировании и ".жсплуатаиии упомянутых устройств, очевидно, весьма существенным является знание процессов теплообмена в Hell. Например, скачки їсилового потока в сверхпроводнике, возникшие по тем или иным причинам, могут привести к различного рода аварийным ситуациям, таким как перегреву части обмотки, механическим повреждениям вследствии вскипания гелия и т.п. В какой-то степени гидродинамика Hell описывается классическими уравнениями дну жидкостной гидродинамики Лапдау-Халатникова (Халатников 1971). Однако, упомянутые уравнения во многих случаях дают неточные, а, зачастую, просто неверные результаты. Причина очевидна — уравнения Ландау-Халатникова никаким образом не учитывают возможное наличие вихрей в объёме Hell. Первым шагом па пути ннкорпорнпонания ероґіг.тв вихренот глуГм;! : ум '." нения сверх іекучей гидродинамики стали упомянутые выпи: классические работы Viiien 1956, 1957а, 1957b, 1957с, 1958, где была дана макроскопическая феноменологическая схема развития В К и выведено соответствующее уравнение, описывающее динамику полной длины вихревой линии в единице объёма. Как уже неоднократно упоминалось, вихревой клубок влияет на гидродинамические свойства Hell. Но это, в свою очередь, с необходимостью должно означать, что и гидродинамические параметры гелия должны влиять на свойства В К. Другими словами, изучение динамики ВК, например, в противотоке, (читая параметры лото противотока фиксированными (vus = соп.чі), является некорректной процедурой. Равно некорректной процедурой является изучение свойств чеченця, в коюром наперёд задана и фиксирована IIBJI. Необходим учёт взаимного влияния, иными словами, переход к рассмотрению песіацио- парной ситуации. Последовательный подход к пой проблеме? даёт гидродинамика сверх текучей гурбулеп і пости (ГСТ), которая в настоящее в])е'.мя являемся свя іуюіцпм звеном между те-орпей вихревого клубка и Лчсперимспталыю наблюдаемыми явлениями, а также; инженерными приложениями. Основа построеміия ГСТ — )то объединение уравнения Вапнена и классических уравнений дну жидкостной гидродинамики (уравнений Ландау-Халатникова). Причём подразумевается, что всё взаимодействие; между ВК и течением сводится к силе взаимного трения между нормальной компонентой жидкости и вихревыми нитями. При построении гидродинамики, величине ПВЛ L(t) придают нолевой смысл, то есть вводят зависимость е>т координаты: L(t) —> L(r,t). При этом скорость изменения величины 1.(1) становится: (IL DL .. . т _ ж ,, .... — = — +chv(LvL), (1.35) at at где (7, — дрейфовая скорость клубка. Таким образом, появляется новая ие-ремениая, связанная со структурой клубка. Очевидно, что при помощи только теории Вапнена невозможно определить і»/,. В настоящее время существует три оснежиых іюдхеща для вывода уравнений ГСТ: с^сноменологичсский, стохастический и вариационный. Феноменологический метод построения ГСТ заключается в следующем: если рассматривать уравнения гидродинамики как набор законов се)хранення, то та-ке)й подход позволяет е)дпоіначпе) решить вопрос о по.'іученни замкнутого и пол ноге) множества уравнений для введённых величин. Эта процедура была проделана в работе Немировский, Лебедев 11)83. В основу был положен метод, использованный Пскаревичем и Халатииковьім (Векаревич, Халатников 19G1) для іюлучепня уравнений вращающегося Hell. В результате получена следующая система уравнений: -7J- + dwj=0 (1.36) ~ + ,lir(Sn„ + SL(t\ - г„)) = j.(h'Lvlt + с/іі;2) (1.38) (>>С-ЧГ + (f-v^ + v/') ) -№(„ - SLbVT = KLvn9 + e,,0,7^7//^. (1.3!)) В е'ое)Тііоіиеннях (І.З(і) - (1.3!)) использованы следующие обозначения: \\;и іе,изе)р поіежа импульса, совпадающий е- обычным определением (Халатников 1971. Паттермап 11)7-1), в котором, однако, давление /' имеет добавку <,./,. обязанную наличию вихрей. Величина b есть коэффициент в соотношении (г/, — г„) = brni. SL — добавочная энтропия, связанная с вихревым клубком. Уравнения (l.-W) - (1.39) плюс уравнение Вайнсна в полевой форме составляю] полную, замкнутую систему уравнений движения Hell, в котором присутствуют хаотические вихревые нити. Стохастический метод построения ГСТ, основанный па "кинетической теории" (Schwarz 1978) был развит в работах Yamada, Kasliiwainiira, Miyake 11)87, 1989. Строго говоря, этот метод позволяет вычислить только диссипатпвпые Ч.ТСИЫ (c\\:\V імаїІМІІОГО ТО'МН'Я И МИеСИН.ЧТИННуК) фуНКПИЮІ. 'ГаКОЙ IIVTI. бьіл намечен и в работе Шварца. Однако, подход указанных авторов, сформулировавших проблему на языке стохастического уравнения с Ланжевеповской силой и на языке уравнения Фоккера-Плаика позволил глубже понять суть статистического подхода. Кроме того. этот метод обладает определённой универсальностью и може г быть при необходимости видоизменен для иной стохастической теории вихревою клубка, отличной от подхода Шварца. Н результате в полученных уравнениях отсутствуют слагаемые, соответствующие реактивным членам, необходимые для выполнения законов сохранения. Кроме того, последнее слагаемое в уравнении (1.39) имеет противоположный знак. Это слагаемое имеет структуру генерирующего члена в уравнении Вайнена. Таким образом, авторі.; ::; В работах CJeurst 1989, 1992 уравнения ГСТ получены с помощью вариационного принципа. Отличительной чертой этой модели является то, что дрейфовая скорость клубка ё/, рассматривалась как независимая переменная, для которой было получено соответствующее уравнение. Кроме того, не постулировалось уравнение эволюции 11BJI; последнее было получено в результате вычислений. Рассматривалось только одномерное движение. В результате, ваиационный принцип с небольшими отличиями привёл к тем же поправкам в реактивных членах, что и феноменологический подход. Отличие состоит в тм, что появились малые поправки, связанные с учётом импульса ВК. Кслп бы автор несколько изменил набор независимых переменных и расемаї ривал в качестве одной из них величин}' Г/,, в поправках возникла бы комбинация (»»/, — v3), коюрая, по имеющимся в настоящее время данным (см. например Donnelly 191)1), равна нулю. В лом случае результаты полностью соответствовали бы результатам феноменологического подхода. Таким образом, представлены три различных варианта построения уравнений ГС Г. Эти уравнения предназначены для описания гидродинамики Hell при превышении критических скоростей (возникновении вихрей), а учитывая малость последних практически всегда. Область применения ГСТ весьма широкая. Значительное количество свойств, явлений н эффектов, касающихся Hell были исследованы и/илн получили объяснение при помощи ГСТ. Подробности можно найти, например, в обзоре Neinirov.skii, Fisdon ІУ 1)5 и цитируемой там литературе. Там же содержится обзор экспериментальных работ на соответствующую тему. Здесь же кратко затронем явление распространения мощных тепловых импульсов в Hell. Слово "мощный" в данном случае означает тепловой импульс, не приводящий к вскипанию Hell или переходу в Неї, по в то же время такой интенсивности, что уравнения ГСТ не могут быть линеаризованы. Нелинейные искажения в этом случае играют значительную роль, поэтому при разложении уравнений ГСТ необходимо учитывать слагаемые, ио-крайней мере, второго порядка малости. Данная задача имеет некоторую инженерную актуальность, поскольку похо-.чпо )(|>фс;. 11,: ii.v::>i мічіо при охлаждении с помощью Hell различных сверхпроводящих устройств. Эволюция теплового импульса существенно зависит от температуры Hell. В области температур в интервале Т = 0,-1 — 0,1) А* и Т > 1,88-1 Л', где коэффициент нелинейности второго звука принимает отрицательное значение, па заднем фронте импульса возникают поверхности разрыва (ударная волна). В остальной области температур разрыв образуется на переднем фронте. Область температур с положительной нелинейностью достаточно основательно исследована. Область температур с отрицательной нелинейностью длительное время не исследовалась вовсе. Видимо, это связано с недостаточной экспериментальной изученностью данного температурного интервала. Известии одна рабо і a (Готі et al. 11)1)3) по распространению тепловых импульсов в укаїаниом температурном регионе*. Кроме того, параметры уравнений ГСТ в области іемператур с о і рп на тельной нелинейностью определены .минь в работе Sliimazaki, Murakami, Iida 1995. В то же время, эта області, температур включаем в себя па верхнем пределе А-точку. Часто бываем, что решение той или иной физической задачи вблизи "критических" точек вызываем особый интерес. Н данном случае, даже применимость уравнений ГС'Г вблизи точки фазового перехода была неочевидной. Этот и другие вопросы, касающиеся свойств теплообмена в ЛеІІ и уравнений ГСТ будут подробнее обсуждаться в четвёртой главе диссертации. Меюд ренормализацпонной группы (РГ) возник первоначально в квантовой теории поля (квантовой электродинамике) в связи с проблемой устранения бесконечностей в высших приближениях теории возмущений при разложении по величине константы взаимодействия. И основе метода лежит неизменность физических результатов относительно выбора условий нормировки функций Грина н вершин диаграмм Фсйпмана при некотором значении волнового числа. помощью РГ удаётся перестроить ряд формальной теории возмущении и тем самым существенно улучшить скорость сходимости или даже просуммировать некоторую бесконечную подпоследовательность указанного ряда. Общеприня-юе название такою подхода квантово-поленая РГ. Основные идем нот метола были разработаны в 1!)г :{ - 11)55 тдах в работах ІІІтюкельбсрга и Пеіермана (Stiieckelberg, Рсіегпіап 1953), Гелл-Мана и Лоу ((Jell-Mann, Low 193-1), Боголюбова її ІІ1іі])Кова (см. Боголюбов, Ширков 1984). Несколько иной подход к пониманию идей и использованию метода РГ был сформули)оваи Вильсоном (Wilson 1971, 1975а, 19751), Вильсон 1983). Согласно Вильсону метод РГ представляє! собой способ исследования мпогомодовой системы с многими характерными пространственными н/плп временными .масштабами. В основе РГ-подхода лежит физическая идея о том, что связь между модами различных масштабов является локальной, т. с. основную роль играют взаимодействия близких масштабов. Взаимодействие мод с существенно различающимися масштабами осуществляется за счёт каскадного процесса взаимодействия через моды промежуточных масштабов. Наличие каскадного механизма веде г к идентичности (с точностью до масштабного преобразования) картины поведения мод разных масштабов. Другим следствием каскадного механизма является независимость поведения системы в области промежуточных масштабов (инерционном интервале) от особенностей её структуры в области малых масштабов (например, универсальность в теории критических явлений) плп в области больших масштабов (например, универсальность режима турбулентных пульсаций). Наиболее впечатляющие достижения метода РГ в Вильсоновской формулировке относятся к теории критических явлений. Особенности поведения систем вблизи критической точки определяются крупномасштабными флуктуаниямп. возмущении оказываются неэффективными для описания этих явлении. Метод РГ. в данном случае, представляет собой способ последовательного уменьшения числа мод, путём перехода к системе с меньшим числом мод, но имеющей то же самое поведение в крупномасштабной области. Возможность использования РГ для исследования турбулентности основана па наличии значительной общности между развитой турбулентностью и критическими явлениями. Г)та общность заключается в том, что как для критических явлении, так и для развитой турбулентности имеет место самоиодобме (масштабная инвариантность или скейлииг) и универсальность. Существует предположение (Кузьмин, Наташинский 1972), что самоподобие является общим свойсівом многоходовых систем с сильным взаимодействием между модами. Первая серьёзная попытка применения идей и методов РГ к турбулентное"! и і посіп ся к 11)77 год} и принадлежит Фостеру, Нельсону и ( тефспу (Foster, Nelson. Stephen 1!)77). Данные авторы на основе Вильсоновского подхода исследовали длинноволновые п долгопериодные свойства жидкости, возбуждаемой случайной внешней сплой типа Гауссова "белого шума" при различных моделях для корреляционной функции внешних сил. Дальнейшее развитие метода IT в теории турбулентности связано с работами Де Доминисиса и Мартина (1)е Dominicis, Martin 197!)), Я хота и Оржега (Yakhot, Orszag 1980). Эти и многие другие результаты отражены в различных обзорах и монографиях (например McComb 1990, Аджемяи, Антонов, Васильев 1996). Рассмотрим обитую схему Вильсоновской формулировки РГ на примере исключения мелкомасштабных мод (как это проделано, например, в теории турбулентности). Пусть в системе имеются моды, спектр которых ограничен сверху иекоюрым значением Л . Разобьём спектр па две части: 0 А- 1\ с и Л"с /. Л", соответственно, низкие и высокие гармоники. Здесь /, некоторый положительный параметр. При достаточно малых значениях / число высоких гармоник будет небольшим. Решим уравнение для высоких гармоник, с учётом их взаимодействия с низкими гармониками и подставим полученные решения в уравнения для низких гармоник. После соответствующего усреднения высоких гармоник, конкретный вид которого зависит от рассмативае-мой задачи, получим уравнения для низких гармоник, с учётом усреднённого влияния высоких гармоник. 15 результате спектр оставшихся мод будет ограничен условием 0 к /v f" . Далее выполним масштабное преобразование А: — к = let1 в результате которого интервал спектра волновых чисел примет прежнее значение 0 А- А . При ті ом параметры уравнения для .медленных мод нерснормпруются, а вид уравнения, при соответствующем"! перенормировке опальных переменных, параметров и амплитуд, сохраняется (хотя возможно только приближённо). Обозначим набор задающих систему параметров / , точкой в upon рапстве параметров/ . Тогда, в принципе, преобразование РГ может быть записано к дифференциальной форме: где //(//) ошачаег некоторый жолюцноииый оператор, зависящий от конкретной задачи. Возможный вариант асимптотического поведения решения уравнения (1.1 I), "но стремление всех параметров к нскоюрой конечной неличине (неподвижной точке) при / — оо. И отом случае, волиш неподвижной точки все параметры становятся практически независимыми от /.другими словами, начиная с некоторою значения / система не меняет- своєї о поведения при дальнейшем движении к неподвижной точке в пространстве параметров. В результате становится возможным извлечение той или иной (в зависимости от рассматриваемой задачи) информации о динамической системе. Например, значения критических показателей вблизи точки фазового перехода для теории критических явлений, или степенных показателей различных корреляционных функций в иперциоппом интервале в случае гидродинамической турбулентности и т. д. Возвращаясь в рассмотренном контексте к вихревому клубку отметим следующее. Представляется крайне маловероятной возможность применения теории IT (по-крайпей мере в существующих формулировках) для развития в той пли иной степени полной теории стохастической динамики вихревых нитей. Лаже естн пренебречь процессами рекопнекцпи, нелокальный, пенолиномиальный вид оператора взаимодействия вихрей (закон Био-Савара) ставит под сомнение возможность осмысленной перенормировки и, соответственно, ікмгучение полных результатов. Гем не менее, для локального приближения (1.9) метод IT вполне применим. Подробно этот вопрос рассматривается в третьей главе диссертации. Обратимся теперь к феноменологической макроскопической (гидродинамической) теории Hell при тгом по-прежнему с учётом вихрей. Сверхтекучий гелий, благодаря своим уникальным свойствам, имеет достаточно широкие практические инженерные применения. В основном, для охлаждения тех или иных приборов и устройств, функционирующих при температурах ниже 2К (например обмоток сверхпроводящих магнитов и т. д.). При конструировании и ".жсплуатаиии упомянутых устройств, очевидно, весьма существенным является знание процессов теплообмена в Hell. Например, скачки їсилового потока в сверхпроводнике, возникшие по тем или иным причинам, могут привести к различного рода аварийным ситуациям, таким как перегреву части обмотки, механическим повреждениям вследствии вскипания гелия и т.п. В какой-то степени гидродинамика Hell описывается классическими уравнениями дну жидкостной гидродинамики Лапдау-Халатникова (Халатников 1971). Однако, упомянутые уравнения во многих случаях дают неточные, а, зачастую, просто неверные результаты. Причина очевидна — уравнения Ландау-Халатникова никаким образом не учитывают возможное наличие вихрей в объёме Hell. Первым шагом па пути ннкорпорнпонания ероґіг.тв вихренот глуГм;! ум ." нения сверх іекучей гидродинамики стали упомянутые выпи: классические работы Viiien 1956, 1957а, 1957b, 1957с, 1958, где была дана макроскопическая феноменологическая схема развития В К и выведено соответствующее уравнение, описывающее динамику полной длины вихревой линии в единице объёма. Как уже неоднократно упоминалось, вихревой клубок влияет на гидродинамические свойства Hell. Но это, в свою очередь, с необходимостью должно означать, что и гидродинамические параметры гелия должны влиять на свойства В К. Другими словами, изучение динамики ВК, например, в противотоке, (читая параметры лото противотока фиксированными (vus = соп.чі), является некорректной процедурой. Равно некорректной процедурой является изучение свойств чеченця, в коюром наперёд задана и фиксирована IIBJI. Необходим учёт взаимного влияния, иными словами, переход к рассмотрению песіацио 23 парной ситуации. Последовательный подход к пой проблеме? даёт гидродинамика сверх текучей гурбулеп і пости (ГСТ), которая в настоящее в])е .мя являемся свя іуюіцпм звеном между те-орпей вихревого клубка и Лчсперимспталыю наблюдаемыми явлениями, а также; инженерными приложениями. Основа построеміия ГСТ — )то объединение уравнения Вапнена и классических уравнений дну жидкостной гидродинамики (уравнений Ландау-Халатникова). Причём подразумевается, что всё взаимодействие; между ВК и течением сводится к силе взаимного трения между нормальной компонентой жидкости и вихревыми нитями. При построении гидродинамики, величине ПВЛ L(t) придают нолевой смысл, то есть вводят зависимость е т координаты: L(t) — L(r,t). При этом скорость изменения величины 1.(1) становится: где (7, — дрейфовая скорость клубка. Таким образом, появляется новая ие-ремениая, связанная со структурой клубка. Очевидно, что при помощи только теории Вапнена невозможно определить і»/,. В настоящее время существует три оснежиых іюдхеща для вывода уравнений ГСТ: с сноменологичсский, стохастический и вариационный. Феноменологический метод построения ГСТ заключается в следующем: если рассматривать уравнения гидродинамики как набор законов се)хранення, то та-ке)й подход позволяет е)дпоіначпе) решить вопрос о по. іученни замкнутого и пол ноге) множества уравнений для введённых величин. Эта процедура была проделана в работе Немировский, Лебедев 11)83. В основу был положен метод, использованный Пскаревичем и Халатииковьім (Векаревич, Халатников 19G1) для іюлучепня уравнений вращающегося Hell. В результате получена следующая система уравнений: 1971. Паттермап 11)7-1), в котором, однако, давление / имеет добавку ,./,. обязанную наличию вихрей. Величина b есть коэффициент в соотношении (г/, — г„) = brni. SL — добавочная энтропия, связанная с вихревым клубком. Уравнения (l.-W) - (1.39) плюс уравнение Вайнсна в полевой форме составляю] полную, замкнутую систему уравнений движения Hell, в котором присутствуют хаотические вихревые нити. Стохастический метод построения ГСТ, основанный па "кинетической теории" (Schwarz 1978) был развит в работах Yamada, Kasliiwainiira, Miyake 11)87, 1989. Строго говоря, этот метод позволяет вычислить только диссипатпвпые намечен и в работе Шварца. Однако, подход указанных авторов, сформулировавших проблему на языке стохастического уравнения с Ланжевеповской силой и на языке уравнения Фоккера-Плаика позволил глубже понять суть статистического подхода. Кроме того. этот метод обладает определённой универсальностью и може г быть при необходимости видоизменен для иной стохастической теории вихревою клубка, отличной от подхода Шварца. Н результате в полученных уравнениях отсутствуют слагаемые, соответствующие реактивным членам, необходимые для выполнения законов сохранения. Кроме того, последнее слагаемое в уравнении (1.39) имеет противоположный знак. Это слагаемое имеет структуру генерирующего члена в уравнении Вайнена. Таким образом, авторі.; ::; e;:vo-:ttWOT. что как генерирующий. т;:к и распапный ч." !м.і в уравнении Вапнена связаны с. деповпем сил трения. Как результат, ВК при распаде возвращает свою энергию основному потоку. Напомним, что согласно модели Фсйнмапа ВК терял энергию в виде термических возбуждений. В работах CJeurst 1989, 1992 уравнения ГСТ получены с помощью вариационного принципа. Отличительной чертой этой модели является то, что дрейфовая скорость клубка ё/, рассматривалась как независимая переменная, для которой было получено соответствующее уравнение. Кроме того, не постулировалось уравнение эволюции 11BJI; последнее было получено в результате вычислений. Рассматривалось только одномерное движение. В результате, вариационный принцип с небольшими отличиями привёл к тем же поправкам в реактивных членах, что и феноменологический подход. Отличие состоит в тм, что появились малые поправки, связанные с учётом импульса ВК. Кслп бы автор несколько изменил набор независимых переменных и расемаї ривал в качестве одной из них величин} Г/,, в поправках возникла бы комбинация (»»/, — v3), коюрая, по имеющимся в настоящее время данным (см. например Donnelly 191)1), равна нулю. В лом случае результаты полностью соответствовали бы результатам феноменологического подхода. Таким образом, представлены три различных варианта построения уравнений ГС Г. Эти уравнения предназначены для описания гидродинамики Hell при превышении критических скоростей (возникновении вихрей), а учитывая малость последних практически всегда. Область применения ГСТ весьма широкая. Значительное количество свойств, явлений н эффектов, касающихся Hell были исследованы и/илн получили объяснение при помощи ГСТ. Подробности можно найти, например, в обзоре Neinirov.skii, Fisdon ІУ 1)5 и цитируемой там литературе. Там же содержится обзор экспериментальных работ на соответствующую тему. Макроскопическое описание гидродинамики сверхтекучей турбулентности па іекуїций момент основано, главным образом, на соответствующей системе уравнений, которая включает уравнение на изменение плотности вихревых линий — уравнение Вапнена в полевой форме. В то же время л о уравнение получено феноменологическим путём, на основе различных предположений. Представляется достаточно актуальным обоснование уравнения на плотность вихревых линий путём вывода последнего на основе микроскопическою уравнения динамики вихрей (3.1), по крайней мере с использованием локального приближения (3.1)-(3.8). Однако, таким образом поставленная задача крайне сложна, и, на данный момент, не видно путей её решения. В то же время изучение самих микроскопических уравнений, возможно, позволит определить некоторые характерные черты и свойства вихревого клубка и, соответственно, сверхтекучей турбулентности. Кроме того, поскольку само локальное приближенно используется многими авторами во многих численных и аналитических работах, рассмотрение его характерных свойств имеет определённый интерес. Известно, что два основных процесса определяют эволюцию ВК. Во-первых, это собственная динамика них рой, описываемая уравнением (3.1). Другое название "нелинейная динамика волн Кельвина" (Nemirovskii, Pakleza. Ворре 1993, Svistiinov 1993). Иными словами, это "часть" эволюции ВК вследствип межвихревого взаимодействия, а также влияния внешних условий. Во-вторых, переза-мыкаппя вихревых липни (рокопиекцин), происходящие при их (самопересечении кардинальным образом изменяют топологию системы, а значит и свойства клубка. Аналн і ическоо рассмотрение этого процесса является крайне сложной іалачсм. В настоящее время изучена только статистики іісрсіпмьїкаїїпй для свободно бл\ждаюіцих нитей, т. е. нитей бе:» какого-либо взаимодействия (Copelaiid, Kibble, Steer 1998. Vachaspati, Vilenk m 1984). Безусловно, тш два вклада взаимосвязаны, что ещё более усложняет полную задачу, ( другой стороны, можно попытаться разделить их для выяснения особенностей и специфики каждого из указанных механизмов. Будем рассматривать следующую модель. Вихревой клубок, состоящий из единственной петли находится в безграничном трёхмерном пространстве. Ре-коннекцин полностью исключены из рассмотрения, т. е. участки вихревой нити могут свободно проходить один сквозь другой при их возможном самопересечении. В качестве уравнения вихревой динамики будем использовать уравнение (3.8). Последнее уравнение подразумевает отсутствие внешнего теплового потока. Таким образом, эволюция вихревой петли полностью определяемся нелинейным и диссипапшным слагаемым в (3.8). при том, что внешнее, причём стохастическое, воздействие на вихрь сводится только к присутствию в уравнении последнего слагаемого /. Нормировка параметра на длину дуги является дополнительным предположением, но будем считать, что сети петля находится в стационарном состоянии, то изменение длины крайне незначительно, по-кранней мерс, па небольших временах. Безусловно, указанный подход отнюдь не эквивалентен сверхтекучей турбулентности, по предполагается, что некоторые характерные черты эволюции реального ПК могут таким образом быть описаны. И основного ап.ілпінческою инструмента используется метод ре-нормализационпой группы (РГ) в виде рекурсиопных соотношений Вильсона. Метод РГ достаточно широко применяется в различных областях физики, в част нос ги, в теории турбулентности. Не будем детально рассматривать саму теорию РГ, а уделим основное внимание конкретному применению метода к изучению динамики одиночной вихревой петли. Основы метода репормализаци-онной группы в виде рекурсиопных соотношений можно найти например в Ма I!)N(). Применению РГ в турбулентности посвящено большое количество работ I-"o ter, Nelson, Stephen 1977, YakhoL, Or.szag 1986, Лджемяп, Антонов, Васильев 1996 (см. также ссылки к последней статье). Отметим, что веледствин определённой специфики рассматриваемой в данной работе динамической системы, полученные результаты значительно отличаются от традиционных результант, обычно пол\"чаемых с помощью РГ. Опишем кратко основные принципы 1 Г-метода для рассматриваемого случая. Как обычно, 1 Г-процедура состоит из двух этапов. На первой стадии мы исключаем и» рассмотрения высокие гармоники. Разделим моды s па низкие; и высокие гармоники: . и . . Здесь s = SA.IU/ при к Є (Ас- , А); s = л д.1Ы ііри к Є (Л". \t" ) и ts ,.s =0 в остальных случаях. Таким образом: Величина А" есть параметр инфракрасного обрезания. Вследствии замкнутости вихревой петли -n=o = i таким образом, величина Л = 2л/L определяется первой ненулевой гармоникой в Фурье-разложеиии s; L обозначает полную длину рассматриваемой вихревой линии. Параметр ультрафиолетового обрезания Л определяется размером ядра вихря и, в данном случае, Л —» ос; величина / есть некоторое положительное число, определяющее границу разделения гармоник. Далее будем считать, что высокие гармоники (s ) оказывают усреднённое но ансамблю реализаций случайного возмущения влияние на низкие (s ) гармоники. Иными словами, предполагается, что действие всех гармоник на некоторую определённую гармонику (нелинейные слагаемые уравнений (3.6)-(3.8)) разделяется на две части. Первая часть, воздействие со стороны всех .s , сохраняет первоначальный вид, соответствующий (3.6)-(3.8). Вторая часть, воздействие со стороны оставшихся гармоник, есть некоторая усреднённая по ансамблю реализаций .ч- добавка. Другими словами, мы не рассматриваем взаимодействие некоторой гармоники из низкочастотной области с каждой гармоникой из высокочастотной области, вместо этого берётся в расчёт полное усреднённое влияние веет высокочастотного региона. Таким образом, высокие гармоники исключаются из непосредственного рассмотрения. Первый этап РГ-процедуры состоит в исключении высоких гармоник и конкретно для ВК выглядит следующим образом. Подставляем (3.10) в (3.8) и усредняем .ч по ансамблю реализации случайного возмущения /. В результате получим некоторое повое модифицированное уравнение вместо (3.8). При этом Л — Л = Ас- помощью этого нового уравнения уже невозможно описать поведемте ВК на малых масштабах область ве лпових вечіторов (Ac- -f А) становится неде ступиой. Такая ире)ц \дура апаленичиа преобра юванмю Каданежа (Ма 11)80). Кслп полученное модифицпрованнсх уравнение совпадает по форме е: первоначальным, по-крапнсп мере приближённо, а измепмкнся юл і.ко ею параме-I ры. возможно выполнить второй пап РГ-преобразовапия. При ном неличина Л возвращается к своему начальному значению, т. е. мы возвращаемся к описанню па первоначальном масштабе. Другими словами, выполняется преобразование Л — Л = Лс и согласованные с ним изменения параметров и переменных модифицированного уравнения. В последней формуле подразумеваются все необходимые интегрирования по повторяющимся внутренним аргументам. Таким образом, результат для ss представляется в виде бесконечного ряда слагаемых, каждое из которых есть произведение функций (Г,(0), Ст(и) (соответствующий линиям диаграмм), с учётом необходимых интегрирований. Каждая линия С 0 или G является результатом "связывания" производных: соответственно. Очевидне;, ч і о не равны пулю только слагаемые, содержащие чётное число производных. В противном случае иоле »/ или )/ остаётся в виде множителя в некотором слагаемом рассматриваемого ряда, и это слагаемое равно нулю, поскольку, в соответствии с правилами вычисления корреляционных функций при помощи характеристического функционала, необходимо положить в конечных соотношениях // = г) = 0. Кроме того, если в некотором члене ряда представлены функции (,(а) "/У или 6 () "Р при (а ф /?), этот член также равен нулю вследствии наличия множителя 5а/3 в определении G a/3 и С ар. Несложно заметить, что t,(t (Mai .МЧІІ.ІГ рили для точного коррелятора я01 . г (о ф ft) тождественно равны нулю. Действительно, поскольку а. ф (3во внешнем дифференцировании, во внутреннем дифференцировании содержится нечётное число производных, имеющих о пли -компоненты, и, следовательно, для любого слагаемого четного порядка, обязательно возникает линия, соответствующая либо G (0)" , либо Г(1,) " . Таким образом, коррелятор sa s13 при (а ф j3) тождественно равен нулю и тгот результат является точным. Аналогичные рассуждения приводят к результату sa = 0. И, следова-телыю, все дополнительные слагаемые в уравнении (3.11) равны нулю. Последнее означает, что (3.11) не изменяется при усреднении, соответственно, какая-либо добавка к вязкости отсутствует. Таким образом, мы получили следующий результат: в рамках локалыю-индуцировашюго приближения поток амплитуд іармопик .sA. по спектру в стационарном состоянии полностью отсутствует предыдущей главы позволяет сделать вывод о том, что нелинейное взаимодействие вида х л" для замкнутой вихревой петли в стационарном состоянии не переносит по спектру амплитуды гармоник л - Это несколько неожиданно, учитывая ч іо локальное приближение является нелинейным дифференциальным уравнением. Для проверки полученного результата, а также с целью дальнейшего изучения свойств вихревой петли на основе локального приближения, уравнение (3.6) было решено численно. Рассмотрим численную модель и методы расчёта. Вихревая линия была представлена как набор отдельных точек, каждая из которых описывалась координатами (.г, у, :) трёхмерного пространства. Например, кольцо единичного радиуса состояло из 1200--1000 точек, изначально расположенных на одинаковом расстоянии As друг от друга. Для расчёта временной эволюции пеполь-юва.тся меюд Руше-Купа четвёртого порядка. Временной шаг определялся как A/ = (As) J/C\ где As — минимальный для всей конфигурации пространственный шаг, С — некоторая постоянная (для конкретного расчёта) величина. Чам Ч пм. что согласно работе Aarts Н)!)3 упомянутый метод расчёта стабилен при С v2. Однако, экспериментальное тестирование показало, что это значение должно быть гораздо больше: С 500— 1000. Именно для такого случая инварианты локального приближения (например, длина и квадрат полной кривизны шумовой лн м н при / — П. / — 0 сохрппялип, с точностью по !0-1" ,?. Кроме -юго, для проверки точности некоторые расчеі ы проводились по принципиально другой, итерационной, численной схеме, в общих чертах совпадающей с описанной в работе Bullkc 11)88. Численный счёт в течении порядка миллиона временных шагов показал полное совпадение результатов расчёта по двум абсолютно различным численным схемам, конечно, для одного и того же физического времени. Численный эксперимент включал в себя несколько частей. Во-первых, рассматривалась эволюция некоторой начальной конфигурации исключительно под влиянием нелинейное in уравнения (3.0). Другими словами, величины /л / полагались равными пулю. Начальная конфигурация численно создавалась в результате специальной процедуры (Nccloboiko 2003) и для представленного случаи это била очень сильно изрезанная линия, имеющая достаточно сложный спектральный состав (см. рис. 3.1, 3.2). Н течении счёта рассматривалась эволюция спек іральпого распределения, а также отслеживались некоторые характеристики вихревой петли. (Процессы перезамыкания по-прежнему не учитывались.) После пекоюрого переходного периода, вихревая конфигурация и её спектральный сосіав выглядели, как показано па рис. 3.3, 3.1. Начиная с некоторого момента, сколько-нибудь существенные и упорядоченные изменения спектра.тыюой картины прекращались. Отмечались, лишь незначительные пульсации в отмеченной на рис. 3.4 области. Никаких дополнительных гармоник в высокочастотной области спектра не появлялось. Не наблюдался также упорядоченный рост низкочастотных гармоник. Такое поведение можно считать численным подтверждением полученных аналитических результатов. Кслп бы в системе присутствовал поток но спектру, то, в зависимости от его направлення, при отсутствии диссипации, неизбежно либо появлялись бы новые гармоники в области высоких частот, либо увеличивались бы амплитуды в низкочастотной обласні. Но второй част численного эксперимента начальная конфигурация генерировалась таким образом, чтобы в её спектральном составе присутствовала изолированная узкая полоса гармоник (см. рис 3.5). Расчёт эволюции поп структуры по-прежнему выполнялся при отсутствии диссипации и внешней накачки и — О, / = 0. Полученный результат, вероятно, можно считать несколько неожиданным. Нее изменения спектра происходили исключительно внутри возбуждённой полосы. Границы полосы изучались самым тщательным образом (рассматривались при увеличении вплоть до 109 раз), но никаких новых гармоник обнаружено не было. Само по себе изменения спектра сводилось при этом к строго повторяющейся периодической картине. Через некоторое время спектральное распределение в точности соответствовало первоначальному (Xcriohoiko 2()()3). Период зависел от ширины полосы, а также от номеров возбуждённых гармоник.Численное моделирование вихревого клубка
Гидродинамический импульс вихревого клубка
Микроскопические уравнения для динамики вихрей
Уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности
Похожие диссертации на Микро- и макроскопическая динамика стохастических вихревых структур в сверхтекучем гелии
