Содержание к диссертации
Введение
1 Нестационарные процессы тепло - и массопереноса в метастабильных и химически активных средах 17
1.1. Периодические режимы массовой кристаллизации из растворов и расплавов 17
1.2. Горение пылевидного и капельно-жидкого топлива 35
1.3. Линейные и нелинейные волны в химически активных средах 38
1.4. Волновые режимы горения в пористых средах 43
2 Неустойчивость и автоколебания при кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов 51
2.1 Модель объемной кристаллизации из переохлажденных расплавов. Сравнение результатов теории и эксперимента 51
2.2. Автоколебательные режимы массовой кристаллизации. Вывод эволюционного уравнения 66
2.3. Анализ устойчивости стационарного режима кристаллизации. Сравнение расчетных и экспериментальных данных 73
2.4. Анализ автоколебательных режимов кристаллизации из стационарных 85
2.5. Автоколебания технологических характеристик массовой кристаллизации. Интенсификация кристаллизации в автоколебательных режимах. Сравнение результатов теории и экспериментов 93
3 Кинетика растворения полидисперсных систем с учетом гидродинамических факторов 102
3.1. Осевая диффузия в потоках и ее учет в кинетическом уравнении 102
3.2. Условия сохранения в потоке двухфазной полидисперсной среды 112
3.3. Кинетика растворения монодисперсной фракции в полуограниченном канале 114
3.4. Растворение фильтрующейся кристаллической массы в цилиндрическом аппарате 118
3.5. Расчет частоты зародышеобразования по временным рядам плотности распределения кристаллов по размерам 133
4 Неустойчивость и автоколебания при горении полидисперсного топлива 149
4.1. Модель и система эволюционных уравнений. Стационарные режимы горения. Линейный анализ устойчивости стационарных режимов горения 149
4.2. Бифуркация автоколебательных режимов горения из стационарных. Характеристики слабонелинейных автоколебаний. Автоколебания при развитой нелинейности 155
4.3. Управление нестационарными процессами горения с помощью параметрической модуляции. Обеспечение экологической чистоты сжигания полидисперсного топлива 161
5 Фильтрационное горение и акустические волны в химически реагирующей газовзвеси 178
5.1. Постановка задачи о горении в СВС-системах 179
5.2. Неустойчивость стационарного режима горения нефти в пористой среде 182
5.3. Линейный анализ устойчивости 188
5.4. Автоколебательный режим фильтрационного горения 193
5.5. Акустика химически реагирующей газовзвеси 202
5.6. Вывод и анализ дисперсионного соотношения. Неустойчивость акустической волны 206
5.7. Автоколебания ограниченного объема химически реагирующей газовзвеси 207
6 Нелинейный анализ поверхностного горения цилиндрического топливного элемента 215
6.1. Математическая модель поверхностного горения 216
6.2.Линейный анализ устойчивости 218
6.3. Нелинейный анализ устойчивости. Волна максимального роста 221
6.4. Бифуркация периодических спиновых и стоячих волн 231
6.5. Бифуркация пульсирующих волн 238
Заключение 248
- Горение пылевидного и капельно-жидкого топлива
- Анализ устойчивости стационарного режима кристаллизации. Сравнение расчетных и экспериментальных данных
- Кинетика растворения монодисперсной фракции в полуограниченном канале
- Управление нестационарными процессами горения с помощью параметрической модуляции. Обеспечение экологической чистоты сжигания полидисперсного топлива
Введение к работе
Актуальность диссертационного исследования. Одной из важнейших задач металлургии и химической технологии является получение твердых дисперсных материалов с заданными свойствами методом массовой кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов. Основную роль в формировании кристаллического продукта заданного гранулометрического состава играют процессы нелинейного тепло- и массопереноса, определяющие режимы работы кристаллизаторов и условия нарушения устойчивости режимов. Для решения этой проблемы и определения путей интенсификации и оптимизации рабочих режимов необходимо создание адекватных физических и математических моделей, связывающих свойства дисперсных материалов с режимными характеристиками кристаллизаторов. Резкое возрастание сложности и стоимости экспериментальных исследований (до недавнего времени являвшихся основным методом анализа процессов фазового перехода в полидисперсных системах), связанное со все более высокими и разнообразными требованиями современной технологии к свойствам кристаллического продукта, также обусловливает целесообразность привлечения методов математического моделирования для решения указанных задач. Одной из задач настоящей работы является создание адекватной теории нелинейных процессов массовой кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов с учетом полидисперсности. Традиционные методы моделирования динамики полидисперсных систем частиц состояли в разбиении ансамблей частиц на конечное число фракций и решении уравнений для моментов функции распределения частиц по размерам. Эти методы приводят к весьма громоздким численным расчетам и требуют привлечения дополнительных гипотез о кинетиках протекающих процессов, что выводит из рассмотрения многие практически важные ситуации. Они не позволяют анализировать различного рода нелинейности, учитывать гидродинамические факторы и коллективные эффекты в полидисперсных системах, рассматривать неустойчивости, колебательные и кризисные явления, даже физическое существо которых остается на данный момент не вполне выясненным. Это требует разработки новых методов моделирования динамических режимов массовой кристаллизации, позволяющих выявлять влияние упомянутых выше факторов на ход процесса кристаллизации и его результаты.
Процессы горения с участием гетерогенных сред (пористых материалов, дисперсных систем) также чрезвычайно широко распространены в современной технологии. К ним относятся, в частности, сжигание диспергированных твердых и жидких топлив в разнообразных камерах сгорания в энергетике, металлургии и других отраслях, горение ракетных топлив, процессы внутрипластового горения при подземной газификации угля, повышение давления внутри нефтесодержащих коллекторов и т.п., а также некоторые новые технологии, используемые в производстве тугоплавких, сверхтвердых и иных материалов с особыми свойствами (например, самораспространяющийся высокотемпературный синтез). Расчет этих процессов, целесообразная организация соответствующих технологий, их оптимизация, разработка конструкций необходимых топочных устройств и аппаратов немыслимы без детального анализа особенностей процессов тепломассопереноса и макрокинетики протекающих экзотермических реакций. Этим обусловлена прикладная актуальность проблем, рассматриваемых в данной работе.
Известно большое число экспериментальных методов и приемов исследования указанных процессов в разных условиях, построены весьма представительные модели, позволяющие объяснить большинство наблюдаемых явлений и фактов и проводить их адекватный количественный анализ. Тем не менее, существующих моделей и теорий оказывается недостаточно для подробного описания целого ряда наблюдаемых явлений и процессов. К числу последних относятся и нестационарные режимы горения гетерогенных топлив, возникающие в результате неустойчивости стационарных режимов при постоянных внешних условиях. Появление неустойчивости и установление автоколебаний весьма часто имеет место на практике и сильно сказывается на технологических характеристиках процессов горения. Анализ этих эффектов требует создания достаточно представительных физических моделей, формулировки на их основе и последующего решения существенно нелинейных математических задач с привлечением сложных методов математической физики. С этим связана общенаучная актуальность темы работы.
Специфика неустойчивости и вторичных, обусловленных ею, режимов протекания химических реакций в рассматриваемых системах в значительной мере связана с присутствием твердой фазы в форме пористого каркаса или отдельных горящих частиц или капель. В этом отношении нестационарные процессы в указанных системах имеют много общего. Поэтому неустойчивость и автоколебания горения в наиболее характерных таких системах целесообразно рассматривать одновременно. Целью диссертационного исследования является:
1. Установление закономерностей формирования временных и пространственных распределений температуры в процессах тепло- и массообмена в дисперсных средах, сопровождающихся фазовыми и химическими превращениями; разработка единого подхода к решению нелинейных задач массовой кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов и на его основе методов исследования конкретных процессов.
2. Разработка методики расчета условий нарушения устойчивости стационарных процессов, характеристик нелинейных автоколебательных режимов и осредненных характеристик массовой кристаллизации.
3. Решение обратной задачи для кинетического уравнения для плотности распределения кристаллов по размерам, позволяющего рассчитывать скорость зародышеобразования на основе данных о распределении кристаллов по размерам. 4. Анализ влияния гидродинамических факторов на кинетику растворения полидисперсной системы кристаллов. Выяснение физических причин нарушения устойчивости и характера наступления неустойчивости в процессах фильтрационного горения, при распространении акустических возмущений в реагирующих газовзвесях, в процессах горения коллектива твердых частиц или капель в топках на основе разработанных моделей.
5. Определение формы областей неустойчивости в пространстве физических и режимных параметров и свойств автоколебательных и автоволновых режимов горения, устанавливающихся при мягком нарушении устойчивости, для всех указанных выше процессов в стационарных внешних условиях.
6. Анализ влияния модуляции внешних параметров на устойчивость стационарных и характеристики нестационарных режимов горения и выяснение возможности ее использования для осознанной модификации этих характеристик в желаемом направлении.
7. Исследование структуры и устойчивости фронта горения, движущегося в осевом направлении по поверхности твердотопливного цилиндрического элемента. Исследование линейной устойчивости базового решения. Нелинейный анализ эволюции неустойчивых возмущений базового решения. Определение параметрических областей, в которых ответвляющиеся в результате бифуркации волновые решения устойчивы, построение бифуркационных диаграмм. Анализ вертикальных бифуркаций для спиновых и стоячих волн.
Научная новизна работы: 1. Разработаны методы анализа эволюции полидисперсной системы кристаллов при кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов, которые позволили выявить физические механизмы , неустойчивости стационарных режимов и перехода к автоколебательным режимам при общих предположениях о кинетиках нуклеации, роста и удаления кристаллов из системы. 2. Получено уравнение поверхности нейтральной устойчивости стационарного режима кристаллизации. Установлен новый тип неустойчивости стационарных режимов кристаллизации, обусловленный нелинейной зависимостью частоты нуклеации от метастабильности. Проведен физический анализ неустойчивости и установлены качественные особенности нарушения устойчивости стационарного режима при различных кинетиках роста и удаления кристаллов из аппарата.
3. Показано, что в областях неустойчивости стационарного режима кристаллизации формируются автоколебательные режимы кристаллизации, амплитудно-частотные характеристики которых рассчитаны методами малого параметра и численно.
4. Аналитически и численно рассчитаны плотность распределения кристаллов по размерам и интегральные характеристики (средний размер, поверхность, массовая доля и массовый выход кристаллов) процессов массовой кристаллизации, осуществляемых в периодическом и непрерывном, режимах. Получен аналитический критерий интенсификации массовой кристаллизации в автоколебательном режиме. Установлены области режимных и физических параметров, в которых осуществление кристаллизации в режиме автоколебаний позволяет влиять на средний размер продукционных кристаллов.
5. Поставлена и решена задача о растворении полидисперсной системы кристаллов, вовлеченных в макроскопическое течение двухфазной среды в полуограниченном канале круглого сечения с учетом осевой диффузии частиц, вызванной влиянием на их движение гидродинамических факторов.
6. Поставлена и решена обратная задача для кинетического уравнения, определяющего плотность распределения кристаллов по размерам; рассчитана интенсивность зародышеобразования и начальная плотность распределения затравочных кристаллов. Предложена и исследована математическая модель растворения плотной кристаллической массы при фильтрации в цилиндрическом сосуде. 7. Дано теоретическое описание нестационарного фильтрационного горения спрессованных порошков металлов в газообразном окислителе и нефти в пористой среде. Построенная модель горения сведена к анализу двух уравнений для температур по обе стороны плоского фронта горения, рассматриваемого как поверхность разрыва.
8. Развита теория эволюции звуковых волн в ограниченном объеме химически реагирующей газовзвеси. Предложенная модель сведена к единственному волновому уравнению, описывающему эволюцию давления в топке. Исходное волновое уравнение сведено к бесконечной цепочке обыкновенных дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд. Найдены значения установившихся амплитуд стоячих волн. Показано, что учет распределенной дисперсии приводит к значительным изменениям амплитуд автоколебаний в сравнению с ранее изученным бездисперсионным случяаем.
9. Предложена и исследована математическая модель горения полидисперсной системы частиц или капель. Выведено уравнение поверхности нейтральной устойчивости стационарного режима горения и проведен физический анализ механизма неустойчивости. Проведен полный расчет амплитудно-частотных характеристик автоколебаний температуры и массы окислителя в топке в кинетическом и диффузионном режимах горения частиц при произвольной глубине захода в область неустойчивости.
10. Показано, что модуляция ряда режимных параметров может быть использована как для стабилизации неустойчивости, так и для искусственного параметрического возбуждения колебаний. Обнаружены и исследованы явления гармонического, ультра- и субгармонического захватывания собственных частот автоколебаний внешними частотами и квазипериодические колебания, возникающие вне областей синхронизации частот.
ю
11. Доказана возможность существенного снижения вредных выбросов окислов серы и азота при реализации процесса горения полидисперсного топлива в режиме слабонелинейных автоколебаний.
12. Исследована структура и устойчивость фронта горения, движущегося в осевом направлении по поверхности твердотопливного цилиндрического элемента. Проведен линейный анализ устойчивости плоского круглого фронта и нелинейный анализ эволюции неустойчивых возмущений базового решения. Определены параметрические области, в которых ответвляющиеся в результате бифуркации волновые решения устойчивы, представлены бифуркационные диаграммы. Проанализированы вертикальные бифуркации для спиновых и стоячих волн.
Практическое значение работы. Методы и алгоритмы, предложенные в работе, могут служить теоретической основой для расчета технологических режимов кристаллизаторов непрерывного и периодического действия и условий перехода от стационарных к автоколебательным режимам. Полученные результаты позволяют рассчитывать важнейшие технологические характеристики кристаллизации, воздействовать на гранулометрический состав конечного кристаллического продукта и выявлять оптимальные режимы реализации процесса. Результаты исследования растворения плотной кристаллической массы при фильтрации в цилиндрическом сосуде могут быть использованы при расчетах аппаратов колонного типа. Решение обратной задачи для кинетического уравнения позволяет вычислять частоту нуклеации по известным осредненным характеристикам массовой кристаллизации. Разработанная методика расчета условий нарушения устойчивости стационарных процессов, характеристик нелинейных автоколебательных режимов и осредненных характеристик массовой кристаллизации позволяет анализировать нестационарные режимы работы кристаллизаторов идеального перемешивания с непрерывным отводом готового продукта. Параметрическая модуляция физических и режимных параметров при горении полидисперсных систем частиц может
п
быть использована в качестве эффективного средства управления процессом,
поскольку влияет на характеристики нейтральной устойчивости и
кардинально меняет топологию новых областей неустойчивости
искусственно стабилизированных режимов, приводя к захватыванию
собственных частот автоколебаний и формированию квазипериодических
колебаний. Нелинейность автоколебаний, приводя к существенным
изменениям осредненных технологических характеристик процесса по
сравнению со стационарными, также может быть использована в качестве
дополнительного средства управления температурным режимом и
характеристиками дисперсной фазы в топках, а также для улучшения
эксплуатационных характеристик топок с дисперсным топливом. Анализ
акустических волн в химически реагирующих газовзвесях представляет
практический интерес в связи с прогрессирующим развитием технологии
высокофорсированных топок и камер сгорания ракетных двигателей, в
которых наблюдаются сильные колебания давления. Результаты
исследования поверхностного горения цилиндрического топливного элемента позволяют прогнозировать неустойчивость фронта горения, формирование очагов и волновых режимов горения.
Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается хорошим согласием с экспериментами других авторов по плотности распределения дисперсной фазы по размерам, а также по периоду и амплитуде автоколебаний переохлаждения и интегральных характеристик тепло- и массообменных процессов. Достоверность подтверждается также тем, что результаты получены в рамках достаточно полных математических моделей с помощью современных методов исследования полидисперсных систем; численные результаты согласуются с аналитическими асимптотиками.
Положения, выносимые на защиту: 1. Нелинейные динамические режимы эволюции полидисперсных систем частиц в метастабильных и химически активных средах могут быть описаны при помощи предложенного метода при общих предположениях о кинетиках, определяющих процессы зарождения, роста и удаления частиц из рассматриваемой области, что в принципе не может быть сделано в рамках традиционных подходов.
2. Возникцовение неустойчивости стационарных режимов кристаллизации в аппаратах непрерывного действия обусловлено нелинейной зависимостью частоты зародышеобразования от метастабильности. Неустойчивость определяется конкуренцией между процессами подвода пересыщенного (переохлажденного) вещества в систему, отвода кристаллов из нее, нуклеации и роста кристаллов.
3. В областях неустойчивости стационарных режимов формируются автоколебательные режимы кристаллизации, амплитуда которых растет, а частота снижается с ростом надкритичности (по мере углубления в область неустойчивости). Автоколебания пересыщения (переохлаждения) приводят к осцилляциям важнейших технологических характеристик кристаллизации -среднего размера и среднего массового выхода кристаллов.
4. В слабонелинейном автоколебательном режиме, возникающем при малой надкритичности, дисперсия функции распределения кристаллов по размерам увеличивается незначительно. При реализации массовой кристаллизации в слабонелинейном режиме автоколебаний достигается существенная интенсификация процесса. Существуют области физических и режимных параметров системы, в которых средний размер кристаллов в режиме автоколебаний изменяется по сравнению соответствующим стационарным размером.
5. В широкой области значений параметров неустойчивость стационарного режима фильтрационного горения имеет осциллирующий характер, причем в результате неустойчивости осуществляется мягкое самовозбуждение автоколебаний. Среднее значение скорости движения фронта горения в автоколебательных режимах меньше, чем в соответствующих стационарных. 6. Усиление спутного потока газа в процессах нестационарного фильтрационного горения спрессованных порошков металлов в газообразном окислителе и нефти в пористой среде приводит к стабилизации стационарного режима горения, уменьшению амплитуд автоколебаний температуры и скорости движения фронта реакции, а также к снижению средних значений последних. Движение нефти является дестабилизирующим фактором.
7. Причиной установления стационарных стоячих волн в ограниченном объеме химически реагирующей газовзвеси является перекачка энергии от неустойчивых в линейном приближении волн к устойчивым при их нелинейном взаимодействии. Учет распределенной дисперсии приводит к ограничению перекачки энергии вверх по спектру, т.е. увеличению амплитуд первых гармоник и уменьшению последующих.
8. Неустойчивость стационарного горения полидисперсной системы частиц в топках обусловлена нелинейными зависимостями скорости горения от температуры и концентрации окислителя и взаимодействием тепловыделения с процессом эволюции системы. Неустойчивость имеет осциллирующий характер и может развиваться как по мягкому, так и по жесткому сценариям для кинетического и только по мягкому для диффузионного режима горения. Усиление теплоотвода способствует смене жесткого режима на мягкий. Амплитуда автоколебаний с ростом надкритичности возрастает пропорционально корню из надкритичности, а частота падает. Область неустойчивости для диффузионного горения существенно уже, а амплитуда колебаний меньше, чем в аналогичных системах с кинетическим режимом реакции.
9. В широком интервале физических и режимных параметров средняя масса частиц в топке в автоколебательном режиме выше, чем в соответствующем стационарном. Периодическая модуляция внешних параметров может приводить к искусственной стабилизации или дестабилизации горения в топке, а также к гармоническому, ультра- и субгармоническому захватыванию собственной частоты частотой модуляции. Вне областей синхронизации частот устанавливаются квазипериодические режимы горения.
10. Эффективным средством снижения вредных выбросов окислов серы и азота является реализация процесса горения в слабонелинейном автоколебательном режиме. Нелинейность в зависимостях кинетических коэффициентов от температуры приводит к тому, что когда температура осциллирует, образование окислов определяется некоторой эффективной температурой, которая часто оказывается много меньшей фактической средней темцературы в топке. Это приводит к резкому уменьшению вредных выбросов и позволяет удовлетворять экологическим требованиям без отрицательного влияния на другие технологические характеристики топок. Снижение выделения окислов серы и азота в автоколебательных режимах по сравнению со стационарными может достигать нескольких десятков процентов.
11. Внешние периодические воздействия являются эффективным средством влияния на характеристики нейтральной устойчивости и колебательные режимы горения. Вблизи резонансной частоты и кратных частот существуют области амплитудно-частотных характеристик модуляции параметров системы, позволяющие целенаправленно воздействовать на средний размер и массовый выход кристаллов.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались: на Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1997, 1998, 1999, 2000, 2002, 2004гг.), на Первой международной конференции SIAM - EMS по прикладной математике (Берлин, Германия, 2001г.), на XV международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях (Тамбов, 2002г.), на V Международном конгрессе по вычислительной механике (Вена, Австрия, 2002г.), на международной научной конференции GAMM-2003 (Падуя, Италия, 2003г.), на XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Санкт-Петербург, 2003 г.), на VII Национальном конгрессе США по вычислительной механике (Альбукерке, США, 2003 г.), на 5 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004г., весенняя сессия), на 5 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004г., осенняя сессия), на VII Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2005г.), на 6 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005г., весенняя сессия), на 6 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2005г., осенняя сессия), на 7 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006г., весенняя сессия).
По теме диссертации опубликовано 54 работы, из них 1 монография, 16 статей и 37 тезисов докладов. К основным публикациям можно отнести 30 работ, а именно: монография «Колебательные процессы кристаллизации и растворения полидисперсных систем частиц», опубликованная в издательстве «Ростиздат» (г.Ростов-на-Дону); 14 статей в реферируемых научных журналах, входящих в перечень журналов, установленный ВАК РФ; 15 докладов и тезисов докладов, опубликованных в трудах и материалах Международных и Всероссийских симпозиумов, конференций и конгрессов. Из 30 основных работ без соавторства опубликовано 24. Список работ приведен в списке литературы в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 276 страниц, включая 62 рисунка, 3 таблицы и список литературы, состоящий из 272 источников.
Горение пылевидного и капельно-жидкого топлива
Сжигание диспергированного пылевидного или капельно-жидкого топлива находит широкое применение в теплоэнергетике, химической технологии и ряде других отраслей промышленности. Особое распространение получил пылевидный способ сжигания, который обеспечивает хороший контакт молекул топлива и окислителя и быстрое сгорание топлива. Начало комплексного изучения топочных процессов было положено Г.Ф. Кнорре [69,81,82], дальнейший анализ проводился в [43,119,120,149,153]. Учет сложного механизма реагирования топлива [151], кинетики выхода и горения летучих компонент [70], аэродинамических особенностей топочного устройства [69,81,82], требует привлечения весьма сложных и громоздких численных методов для решения задачи о сжигании даже в квазистационарной постановке. Горение диспергированного топлива в среде газообразного окислителя относится к процессам, в которых определяющую роль играет кинетика тепло- и массообмена полидисперсной системы частиц с окружающей средой. В таких процессах задачи тепломассопереноса даже для монодисперсной системы существенно нелинейны, поскольку состояние среды само зависит от кинетики процессов на каждой из частиц. Используемая же на практике в качестве топлива пыль полидисперсна, что еще более усложняет исследование горения, так как распределение частиц по размерам, изменяющееся со временем, способно существенно влиять на макрокинетику процесса. В известных исследованиях горения твердых топлив полидисперсность учитывалась, в основном, двумя способами. Первый основан на введении суммарных характеристик полидисперсности пыли (например, доли несгоревшего к заданному моменту времени топлива, зависящей только от начального распределения частиц по размерам [24,119]) в основные уравнения выгорания вещества. Данный метод применим фактически лишь в случае, когда скорость горения частиц не зависит от их размеров, что сужает класс решаемых задач. Второй метод основан на разбиении полидисперсного ансамбля частиц топлива на несколько фракций, в каждой из которых размер частиц усредняется так, чтобы поверхность частиц равнялась суммарной поверхности пыли рассматриваемой фракции [43]. При помощи этих способов нельзя получить аналитические зависимости для расчета характеристик горения, и неизбежно возникает вопрос об адекватности принятой схемы учета полидисперсности.
Наиболее перспективным методом учета полидисперсности при изучении кинетики тепломассообмена с учетом фазовых и химических превращений является метод, базирующийся на анализе кинетического уравнения для плотности распределения частиц f(t,r) по размерам. Для определения стационарных осредненных характеристик горения полидисперсного топлива, выражающихся через моменты плотности распределения f(t,r), в [52,53] рассматривалась упрощенная модель горения (отсутствие внутренних и промежуточных реакций, автомодельность горения и т.д.) без учета поступления новых частиц в топку. Эффективность моделей, основанных на введении плотностей распределения частиц по различным признакам, обусловлена как тем, что получаемые таким способом результаты вполне удовлетворительны по точности для практических приложений и дают достаточно полную информацию о характеристиках горения, так и тем, что более детальные и строгие методы механики многофазных систем [59,116] приводят к существенно более сложным расчетам и часто из-за неточностей и трудностей проблемы замыкания основных уравнений не могут обеспечить преимуществ перед методом кинетических уравнений для плотности распределения частиц. Этот метод оказывается весьма эффективным при анализе неустойчивости стационарных режимов горения и возникающих в результате нестационарных режимов, формы проявления которых весьма разнообразны [64,71,83,122,132,135,259]. Существенный интерес для теории и практики горения полидисперсных топлив представляет анализ физического механизма потери устойчивости стационарных режимов и формирования вторичных периодических режимов горения, обусловленный существованием нелинейных связей между эволюцией системы реагирующих частиц и тепломассообменными процессами в смеси. Подобного рода неустойчивость имеет место и в метастабильных средах в условиях доминирующей роли активационного механизма зародышеобразования. Автоколебательные режимы горения такого типа ранее не исследовались. Выбор того или иного режима горения в зависимости от конкретных целей требует количественной оценки условий нарушения устойчивости стационарных процессов и определения характеристик нестационарных режимов. Одним из эффективных средств, как подавления нежелательных колебаний, так и возбуждения автоколебаний, является внешняя периодическая модуляция. В этой связи возникают проблемы: 1) установления соответствия между амплитудно-частотными характеристиками параметрической модуляции и положением поверхности нейтральной устойчивости, 2) выявления параметров модуляции, обеспечивающих стабилизацию неустойчивого процесса, а также 3) исследования новых областей неустойчивости параметрически стабилизированных режимов горения. В соответствии с вышесказанным основная цель работы в этом направлении состояла в изучении условий нарушения устойчивости стационарных режимов и формирования автоколебаний, их влияния на важнейшие технологические характеристики процесса (например, массы несгоревшего топлива) с использованием при описании динамики полидисперсного ансамбля частиц уравнения неразрывности Лиувилля для плотности распределения их по размерам.
Эта цель реализована в четвертой главе диссертации, где рассмотрена проблема устойчивости стационарных режимов горения полидисперсных топлив, свойства периодических режимов, устанавливающихся в результате неустойчивости, а также возможности направленного изменения этих свойств за счет внешней периодической модуляции. Гетерогенные среды находят самое широкое применение в металлургии, химической технологии и ракетной технике [43,55]. Потребность в расчетах интенсивности горения газовзвесей в промышленных топках и камерах сгорания привели к необходимости изучения процессов распространения звуковых волн в таких средах. Это особенно важно, поскольку одной из наиболее интересных особенностей химически реагирующей газовзвеси является возможность усиления проходящей по ней звуковой волны. Поведение акустических волн, распространяющихся по химически активной среде, оказывается совершенно разным в зависимости от первоначально невозмущенного волной состояния. В ситуации, когда волна бежит по равновесной среде и при этом возбуждает химическую реакцию, последняя выступает в роли релаксационного процесса, обусловливающего диссипацию энергии волны и, в конечном счете, ее затухание [89,150]. Действительно, процесс сжатия в волне сопровождается нарушением химического равновесия и, если частота волны порядка характерного времени установления равновесного состояния, волновой процесс сопровождается дисперсией скорости звука и, в силу необратимости процесса установления равновесия, диссипацией энергии звуковой волны. Применительно к гомогенным системам теория таких процессов достаточно хорошо развита как в линейном [44,89,150], так и в нелинейном приближении. Однако теория акустических колебаний в двухфазных реагирующих средах, в которых химическая реакция приводит к появлению у системы релаксационных свойств, практически не разработана [31]. Ситуация сильно осложняется, когда волновой процесс происходит в системе с неравновесной экзотермической реакцией: при определенных условиях имеет место эффект неустойчивости, т.е. увеличения амплитуды звуковой волны по мере ее прохождения по химически активной среде [20,51,217,235]. Теория явлений усиления звука берет свое начало от работ Рэлея [125], давшего объяснение эффекту возбуждения звуковых волн в трубке с горячей сеткой в известном эксперименте Рийке [122]: «... если теплота сообщается воздуху в момент наибольшего сжатия или отнимается от него в момент наибольшего разрежения, то это усиливает колебания».
Анализ устойчивости стационарного режима кристаллизации. Сравнение расчетных и экспериментальных данных
Стационарные аналоги уравнений (2.41) и (2.44) определяют стационарные режимы кристаллизации с неизменным во времени переохлаждением и функцией распределения кристаллов по размерам Заметим, что трансцендентное уравнение (2.46) может быть использовано для определения а, если стационарное переохлаждение известно из эксперимента. Моменты функции распределения кристаллов по размерам в режиме (2.45), (2.46) определяются соотношением Данные теории по плотности распределения кристаллов сравнивались с экспериментами [221] (рис.2.5) и [272] (рис.2.6), в которых исследовалась кристаллизация сульфата магния и хлорида натрия соответственно при Ь=1, т=1 и y=const. Для параметров Jjfis = 8 1014 м 4, Р/у = 8 10 5 м , b = 0,2 , а = 1,25 104 м 1 сравнение результатов теории и эксперимента показано на рис.2.7. В работе [249] экспериментально исследовалось влияние классификации на стационарную плотность распределения кристаллов при следующих параметрах: Js = 2,63 10 м" с" , ps = 7,51 10 м/с, 1,09510-3 с"1 , 1,5-10 , режим роста кристаллов кинетический. Сравнение с результатами теории показано на рис.2.8. Некоторое отличие от опытных данных объясняется, по-видимому, трудностью классификации при г = 1,5 10 4 м, т.е. фактически в эксперименте имела место более сложная, чем (2.48), зависимость скорости отвода кристаллов от их размеров. Во многих случаях стационарные режимы кристаллизации (2.45),(2.46) оказываются неустойчивыми относительно малых флуктуации переохлаждения или пересыщения в объеме [204,221,223,230,247], что приводит к существенному изменению характера протекания процесса. В прикладном отношении важность исследования вопроса об условиях и типе нарушения устойчивости определяется тем, что в широком интервале параметров системы оптимальные режимы проведения процесса находятся именно в областях неустойчивости стационарных режимов.
В частности, как это следует из проводимого ниже анализа, при реализации кристаллизации в автоколебательных режимах может быть достигнуто существенное увеличение среднего массового выхода кристаллов. Исследование эволюции неустойчивых режимов представляет также значительный научный интерес как проблема ветвления решений и возникновения упорядоченных структур в нелинейных физико-химических системах. Удобно ввести новую переменную и параметры где St - эффективный критерий Стентона, характеризующий взаимодействие интегральной теплоотдачи с уносом тепла за счет отвода кристаллов. С учетом (2.49) уравнение (2.44) принимает вид Аналогичное уравнение для пересыщенных растворов имеет вид где St -критерий массоотдачи Стентона. Полагая (т) « 1 и оставляя в уравнении (2.50) члены, линейные по , имеем Представляя в (2.51) возмущения стационарного режима в виде получаем следующую спектральную задачу для характеристического показателя X Необходимо отметить, что применимость представления 4 в виДе (2.52) к уравнению (2.51) требует некоторых дополнительных обоснований. Дело в том, что объектом классической теории линейной устойчивости являются обыкновенные дифференциальные уравнения, к каковым (2.51) не относится. Однако, как уже отмечалось, оно может быть сведено к бесконечномерной автономной системе линейных дифференциальных уравнений для % и моментов функции распределения кристаллов по размерам, которая при \/=1 становится конечномерной; для такой системы существование решений вида (2.52) строго доказано, что и оправдывает это представление. При v=0 уравнение (2.53) определяет поверхность нейтральной устойчивости стационарного режима gi=S(St,Stm,di) в пространстве параметров gb St, Stm, dj. Критерий нейтральной устойчивости (2.53) получен с использованием в выражении для возмущения стационарного режима модифицированного времени т. Однако, поскольку переход к реальному времени t приводит к появлению в уравнении (2.51) дополнительных членов лишь порядка выше первого по малому возмущению переохлаждения, это не сказывается на критерии нейтральной устойчивости (2.53).
Поэтому в линейном приближении переход от т к t может быть без потери точности определен соотношением X - Yot. Выясним расположение областей устойчивости и неустойчивости относительно поверхности нейтральной устойчивости. Полагая gi=gi+Hgi0 и X=ico + icoi + v0, где gi и co - значения параметра gi и частоты со на поверхности нейтральной устойчивости ц«1,у0«ш,со1«(о0, получаем систему двух линейных алгебраических уравнений для определения Vo и со і. Решая ее относительно Vo, имеем область неустойчивости стационарного режима определяется неравенством gi S(St, Stm, dj). В этом случае неустойчивость нарастает с увеличением крутизны зависимости частоты зародышеобразования от переохлаждения . Для получения наглядных результатов зададимся конкретным видом функций V)/ , р и у. В этом случае уравнение (3.25) принимает вид отделяя в уравнении (2.55) действительную и мнимую части, получаем два уравнения, которые определяют поверхность нейтральной устойчивости в параметрической форме Поскольку физически реальны лишь значения Stm St, условие (2.57) может выполняться в том случае, когда частота зародышеобразования с ростом переохлаждения понижается (это происходит при сильных переохлаждениях при наличии эффекта Таммана-Михневича, когда вязкость расплава резко увеличивается [79]), что по технологическим соображениям нежелательно. Отметим, что при кристаллизации пересыщенных растворов эффект понижения частоты зародышеобразования при сильных пересыщениях места не имеет. Система (2.56) может иметь также корень (p(Stm, St, m, b), причем ер изменяется от ф, —, являющегося корнем уравнения до ф =minJ—,-\. След поверхности нейтральной устойчивости gi=S(Stm,St,m,b) на плоскости параметров gb Stm для различных значений параметров St, b показан на рис. 2.9. Кристаллизации из пересыщенных растворов соответствует St = Stm при m=l, К«0. Непосредственная проверка при помощи (2.54) показывает, что области неустойчивости соответствует неравенство gi S(Stm,St,m,b). При увеличении параметров Stm, St , b устойчивость системы к флуктуациям относительного переохлаждения возрастает.
Кинетика растворения монодисперсной фракции в полуограниченном канале
Пусть во входное сечение потока подаются частицы с одинаковым размером rm, т.е. с функцией плотности распределения по размерам f0( г) = N05(r - rm) или в безразмерном виде где No - численная концентрация включений во входном потоке, тогда в случае Po(x)=const=l выражение (3.17) после интегрирования с 8-функцией преобразуется к следующему виду Графики этой функции представлены на рис.3.2, из которого следует, что под действием осевой диффузии по мере удаления от точки ввода твердой фазы происходит увеличение дисперсности включений, а также уменьшение численной концентрации в связи с полным растворением некоторой их части. Штриховой линией отмечен график функции f0( г ), соответствующей монодисперсному составу частиц (3.31), подаваемых на вход канала. Выражение (3.24) для интенсивности «исчезновения» включений в рассматриваемом примере запишется следующим образом Анализ рис. 3.3, на котором изображены графики функции (3.33) при различных значениях числа Пекле, указывает на то, что с уменьшением эффективного коэффициента осевой диффузии область, в которой происходит исчезновение основной массы частиц, сужается, и в предельном случае идеального вытеснения (3.28) , (3.29) вся область сосредоточена в одной точке у = у0 + 1 = 1.3,а функция 1(у) вырождается в 5-функцию, обозначенную штриховой линией. Профиль концентраций по длине канала (3.21) в случае монодисперсного состава включений во входном потоке будет определяться следующим выражением Как видно из рисунка, уменьшение числа Ре приводит к увеличению длины эффективного участка канала, необходимого для растворения основной части включений. Из рассмотренного примера можно заключить, что с увеличением вклада конвективного члена (ростом числа Ре ) в общий процесс переноса вещества происходит сужение функции плотности распределения включений по размерам в каждом фиксированном сечении потока и уменьшение длины эффективного участка канала. Увеличение роли осевой диффузии, напротив, способствует более равномерному распределению частиц как по размерам, так и по длине канала и, тем самым, снижает эффективность процесса в целом. 3.4. Растворение фильтрующейся кристаллической массы в цилиндрическом аппарате В этом разделе предложена и исследована математическая модель растворения плотной кристаллической массы при фильтрации в цилиндрическом сосуде [181].
Процессы растворения кристаллической массы являются важной составной частью многих технологических схем. Основными компонентами моделируемой системы являются кристаллическая масса, загрузка, растворитель и цилиндрический сосуд с регулируемой подачей загрузки и растворителя в заданных сечениях. Построенная модель позволяет определить базисные характеристики системы - дисперсного состава загрузки, концентрации раствора, скорости движения кристаллов и т.д. Основу рассматриваемой математической модели составляют уравнения баланса массы вещества кинетическое уравнение и условие постоянства объемной доли твердой фазы Здесь t — время; z—пространственная координата; u(z,t) - недосыщение: u(z,t) = c(z,t) - cs 0, где c(z,t) - концентрация раствора и cs - концентрация насыщения;, u(z,t) - скорость движения растворяемых кристаллов, обусловленная уменьшением их объема при растворении; us(t) - заданная скорость движения раствора; f(z,t,r) - функция распределения кристаллов по размерам; Mn(z,t) - моменты функции распределения: где є - порозность (часть единичного объема, приходящаяся на поры между кристаллами), 1-є - часть единичного объема, занятая кристаллами; а, Е-заданные положительные параметры. Здесь и далее все величины - в безразмерных переменных и отнесены к масштабам, в которых cs =1 и Уравнения (3.35), (3.36) учитывают два фундаментальных процесса, определяющих динамику растворения: перенос в физическом пространстве z и перенос в абстрактном пространстве размера г. Предполагается, что диффузией вещества в растворе и флуктуациями размеров кристаллов можно пренебречь. Уравнение (3.37) выражает условие постоянства при растворении относительных объемов кристаллов и пор между ними. Это условие, играющее роль уравнения состояния, означает несжимаемость кристаллической массы: если рс - плотность вещества кристаллов, то эффективная плотность слоя составляет (1 - є)рс и предполагается неизменной. Рассмотрим следующую систему. Сосуд, имеющий вид полуоткрытого цилиндра, наполняется кристаллами загрузки. Через цилиндр пропускается фильтруемый кристаллическим слоем растворитель. Кристаллы могут добавляться с открытой части цилиндра и выгружаться со дна с заданными расходами. Оседание слоя кристаллов в процессе растворения вместе с их загрузкой и выгрузкой приводит, вообще говоря, к изменению положения верхней границы слоя. При определенных условиях может устанавливаться стационарный режим. Требуется определить основные характеристики процесса: дисперсный состав загрузки, концентрацию раствора, зависимость высоты уровня загрузки от времени, средний радиус кристаллов и т.д. В соответствии с перечисленными требованиями и с учетом характера кинетики растворения дополним уравнения (3.35) - (3.37) начальными и граничными условиями. При формулировке краевой задачи будем считать, что координатная ось z направлена по оси цилиндра к открытой части и начало координат находится у дна. Процесс рассматривается для моментов времени t 0, областью изменения переменной г является полуось 0 г оо. При t=0 заданы функция распределения и концентрация д.(г, 0)= Цо(г). Приг=0 и г-»оо функция распределения удовлетворяет условиям Условие (3.40а) означает непрерывность f при г=0.
Оно качественно отличает постановку задачи о растворении от постановки задачи о кристаллизации, в которой кинетическое уравнение (3.36) дополняется определением функции f при г=0. Условие (3.406) (достаточно быстрое убывание f при больших г ) приводит к конечным моментам Мп: Мп оо, п=0,1,2,.... Граничные условия по z зависят от режима загрузки растворяемых кристаллов и режима подачи раствора. Пусть в достаточно длинном цилиндре (0 z oo) кристаллическая масса занимает объем при 0 z L(t) и загружается при z=L(t) с расходом, характеризуемым некоторой скоростью U(t) 0. Тогда область решения определяется соотношениями : Уравнение (3.42) вместе с начальным условием (3.43) описывает движение границы L(t). Далее, загрузка при z = L(t) предполагает задание функции распределения При z=0 (дно цилиндра) кристаллы либо выгружаются с некоторой заданной скоростью ur(t) 0, либо неподвижны (ur = 0) : Дальнейшая формулировка условий разделяется по режимам подачи раствора. При us(t) 0 (растворение в противоточном режиме А) раствор заданной концентрации подается со стороны дна цилиндра. При us(t) 0 (растворение в прямоточном режиме S) раствор с заданной концентрацией подается с открытой части цилиндра. Таким образом, имеем следующие условия: p.(0,t) =цА(0, us(t) 0 (противоточный режим А); ц (L(t),t) = }xs(t), us(t) 0 (прямоточный режим S). При формулировке рассматриваемых задач требуется найти: недосыщение i(z,t) и скорость движения кристаллов u(z,t); функцию распределения кристаллов по размерам f(z,t,r) и ее моменты Mn(z,t), определяющие дисперсный состав загрузки и, в частности, средний радиус кристаллов Ra(z,t)= Mi(z,t)/ Mo(z,t) зависимость высоты уровня загрузки от времени L(t). Итак, исходная задача представлена системой нелинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных (3.35) - (3.38), которая описывает нестационарный процесс, развертывающийся в двух измерениях: гиг, причем границаL(t) области в физическом пространстве z неизвестна (см. (3.41)-(3.43)). Таким образом, в исходной постановке имеется ряд проблем математического характера, которые будем решать поэтапно. Для описания процесса пространственного переноса удобно ввести аналог лагранжевых переменных, связанных со скоростью движения растворяемых кристаллов. Определим лагранжевы переменные (z,t), x(z,t) уравнениями +1Д = о, x = t, 0 z L(t), t 0, начальным условием (z,0) = z и граничным условием Условие (3.47) определяет лагранжеву переменную Ъ, при 0 Lo как координату z данного слоя частиц в начальный момент времени t=0. Условие (3.48) определяет лагранжеву переменную при L0. Будем считать функцию U(t) кусочно-непрерывной, приводящей к непрерывной кусочно-монотонной функции L(t) = (L(t),t).
Управление нестационарными процессами горения с помощью параметрической модуляции. Обеспечение экологической чистоты сжигания полидисперсного топлива
Важной проблемой теплоэнергетики и других отраслей промышленности является обеспечение экологической чистоты сжигания полидисперсного топлива. Анализ показывает, что эффективным средством решения этой проблемы является реализация процесса в слабонелинейном автоколебательном режиме горения [186,194,270]. Образование окислов серы и азота описывается следующими уравнениями Тепловой эффект реакций окисления невелик, и можно считать, что тепловой баланс в системе по-прежнему описывается уравнением (4.7). Сильная нелинейность в зависимостях кинетических коэффициентов kj и 1 от температуры приводит к тому, что когда температура осциллирует, образование окислов определяется некоторой эффективной температурой, которая часто оказывается много меньшей фактической средней температуры в топке (ввиду наличия в разложении Фурье для температуры ненулевого сдвига по сравнению со стационарной величиной). Это приводит к резкому уменьшению вредных выбросов и позволяет удовлетворять экологическим требованиям без отрицательного влияния на другие технологические характеристики топок. Расчеты показывают, что снижение выделения окислов серы и азота в автоколебательных режимах по сравнению со стационарными может достигать нескольких десятков процентов (см. рис. 4.5). В разделах 4.1 и 4.2 исследована неустойчивость стационарных процессов горения полидисперсных систем частиц, обусловленная нелинейной зависимостью скорости реакции от температуры, и рассчитаны характеристики возникающих в результате потери устойчивости автоколебательных режимов горения. Наличие собственных частот колебания делает в принципе возможными явления нелинейного параметрического резонанса: искусственную стабилизацию, параметрическое возбуждение колебаний, квазипериодические режимы и т.п. Такого рода процессы широко распространены при тепломассообмене в дисперсных системах и могут иметь практическое значение для оптимизации ряда технологических процессов [82,153]. Последнего следует ожидать и применительно к топкам с диспергированным топливом. В связи с этим в настоящей работе рассматривается влияние модуляции ряда параметров на нейтральную устойчивость стационарных и амплитудно-частотные характеристики автоколебательных режимов горения. В качестве исходной рассматривается предложенная в разделе 4.1 модель горения пылевидного или капельного топлива в пренебрежении процессами дробления и коагуляции для условий идеального перемешивания в топке.
В данном разделе будем рассматривать кинетический режим протекания реакции на частицах. В этом случае скорость уменьшения радиуса горящих частиц может быть представлена в виде где р - близкая к аррениусовской функция температуры в топке Т. Скорость полного теплоотвода описывается при помощи линейного соотношения где те играет роль эффективной температуры внешнего потребителя, а скорость подвода частиц - функцией у(г); обе эти величины отнесены к единице объема топки. Процесс горения описывается при помощи уравнения теплового баланса, учитывающего теплообмен с внешней средой и выделение теплоты реакции, и кинетического уравнения для плотности распределения f горящих частиц по размерам, учитывающего подвод частиц извне и уменьшение их размеров, обусловленное горением. После ряда преобразований в пренебрежении влиянием начальных условий, что возможно как для стационарных, так и для установившихся периодических процессов, эти уравнения сводятся к интегро-дифференциальному функциональному уравнению Нижний индекс 0 отмечает некоторые характерные значения соответствующих величин; индекс s - значения величин, соответствующих стационарному режиму горения при заданных физических и режимных параметрах, рис- плотность и удельная теплоемкость смеси, принимаемые постоянными; к - коэффициент, определяемый механизмом реакции; Q -теплота сгорания. Если то стационарные режимы оказываются неустойчивыми, причем в разных областях изменения параметров возможно как мягкое, так и жесткое нарушение устойчивости. В первом случае возникает автоколебательный режим, который при достаточно малой относительной надкритичности может быть описан при помощи соотношения: причем A0 вещественно, амплитуду А, допустимо рассматривать как вещественную, а А_2 и А2 - как комплексно сопряженные величины-Автоколебания температуры приводят к осцилляциям важнейших технологических параметров процесса - полного числа, среднего размера, поверхности и массы несгоревшего топлива, которые определяются моментами функции распределения частиц по размерам соответствующего порядка и рассчитываются непосредственно с использованием (4.15). Нелинейность рассматриваемой системы приводит к тому, что в автоколебательном процессе средние по времени температура и моменты плотности распределения оказываются отличными от таковых для стационарного режима, что объясняется наличием в разложении для ненулевого сдвига А0. Условие интенсификации процесса горения в слабонелинейном автоколебательном режиме, т.е. увеличения массы несгоревшего топлива при неизменном тепловыделении, соответствует положительности не осциллирующей части третьего момента плотности распределения и имеет вид Непосредственная проверка показывает, что условие (4.17) выполняется в широком интервале физических и режимных параметров (рис.4.6), при этом средняя масса несгоревшего топлива растет пропорционально надкритичности (В,-в?)/в? и даже при надкритичности порядка 10"2 -Ю-1 может достигать нескольких процентов.
Помимо проблемы интенсификации горения в автоколебательных режимах, важна задача стабилизации неустойчивых процессов - в ряде случаев интенсивные колебания температуры и плотности дисперсной фазы нежелательны, поскольку могут вызвать перегрузки оборудования. Перспективный способ подавления неустойчивостей состоит в использовании внешних периодических воздействий, вызывающих модуляцию определяющих параметров процесса. В рассматриваемой системе управляемыми могут быть интенсивность подвода новых частиц у и критерий теплоотдачи ste. Представим у и Ste в следующей форме: y(s,x) = y0(s)[l + хф)]; ste = steo[i + лх(т)], где Ф,Х - периодические функции. Очевидно, что влияние модуляций на устойчивость стационарных процессов можно проанализировать, ограничиваясь в уравнении (4.14) членами, линейными по Е,: Определение границ устойчивости стационарного режима горения сводятся к отысканию периодических решений функционального интегро- дифференциального уравнения (4.18). С целью получения качественной информации о влиянии модуляции на устойчивость удобно начать анализ уравнения (4.18) с исследования прямоугольного ступенчатого закона модуляции, когда (n - целое число). С точки зрения технологических приложений модуляция (5.19) легко реализуема. записываем в Общее решение уравнения (4.18) на промежутке со со виде выполнением следующих условий: где ц - вещественный параметр, а точка означает дифференцирование по времени. Подставляя функции (4.20) в соотношения (4.21), нетрудно получить систему линейных уравнений, связывающих коэффициенты q -с4. Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю соответствующего характеристического определителя Периодические решения уравнения (4.18), соответствующие новой поверхности нейтральной устойчивости, определяются условием ц = 1. Кроме того, при подстановке выражений (4.19) в уравнение (4.18) возникают дополнительные соотношения, связывающие параметры а{,а2, х, 2 Полученная система нелинейных алгебраических уравнений анализировалась численно совместно с (4.8). Из рис. 4.7 видно, что указанная модуляция может приводить как к стабилизации, так и к дестабилизации стационарного режима горения. Соответствующий сдвиг кривых нейтральной устойчивости показан на рис.4.8.
