Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Структура и эмиссионные свойства УНТ 11
1.1. Структура нанотрубок 11
1.1.1. Однослойные нанотрубки 11
1.1.2. Многослойные нанотрубки 14
1.1.3. Учет структуры нанотрубок 15
1.2. Полевая эмиссия углеродных нанотрубок 17
1.2.1 Явление автоэлектронной эмиссии 17
1.2.2 Автоэлектронная эмиссия УНТ. 21
1.3 Работа выхода 24
1.4. Выводы по разделу 26
ГЛАВА 2. Усиление электрического поля в окрестности нанотрубки 28
2.1. Коэффициент усиления электрического поля 28
2.2. Численный метод решения 29
2.2.1. Постановка задачи 29
2.2.2. Решение уравнения Лапласа методом простой итерации 32
2.2.3. Определение напряженности поля 37
2.3. Результаты вычислений 39
2.4. Выводы по разделу 40
ГЛАВА 3. Экранировка УНТ 41
3.1. Описание эффекта экранировки 41
3.2. Результаты вычислений 42
3.3. Выводы по разделу 44
ГЛАВА 4. Статистический разброс геометрических параметров массива УНТ 46
4.1. Теоретическое описание 46
4.1.1. Постановка задачи 46
4.1.2. Описание метода 47
4.2. Результаты вычислений 50
4.2.1. Аналитическая зависимость 50
4.2.2. Численные расчеты 52
4.3. Выводы по разделу 53
ГЛАВА 5. Влияние температуры на вах УНТ 54
5.1. Физические основы 54
5.2. Модель расчета 55
5.3. Результаты вычислений 61
5.4. Тепловая неустойчивость 68
5.5. Выводы по разделу 70
Заключение 71
Список литературы 73
Рисунки 79
- Явление автоэлектронной эмиссии
- Решение уравнения Лапласа методом простой итерации
- Аналитическая зависимость
- Тепловая неустойчивость
Введение к работе
Углеродные нанотрубки (УНТ) имеют особую структуру, состоящую из атомов углерода и отличающуюся от хорошо известных структур таких материалов, как графит либо алмаз. Форму УНТ можно описать замкнутой поверхностью в виде протяженного цилиндра, торцы которого чаще всего закрыты полусферой. Атомы углерода, расположенные на такой поверхности, являются вершинами правильных шестиугольников и пятиугольников, соединенными определенным упорядоченным образом (рис. В.1). Большой интерес к этим структурам вызван тем, что благодаря необычным физико-химическим свойствам УНТ, во-первых, являются привлекательным объектом фундаментальной науки, а во-вторых, имеют широкие перспективы прикладного использования. Среди наиболее интересных свойств УНТ в первую очередь следует назвать связь между геометрической структурой нанотрубки и ее электронными характеристиками [1] (металлические или полупроводниковые свойства). Благодаря этому нанотрубки могут составить основу для принципиально нового класса электронных приборов рекордно малых размеров. Второе важное фундаментальное свойство УНТ связано с ее высоким аспектным отношением, благодаря которому напряженность электрического поля в окрестности головки нанотрубки в сотни раз превышает соответствующую среднюю по объему напряженность электрического ПОЛЯ,
создаваемого внешним источником. Это, в свою очередь, приводит к аномально высокому значению тока эмиссии при сравнительно низком напряжении, приложенном к УНТ [6, 7]. В результате упрощается конструкция приборов, действие которых основано на полевой автоэлектронной эмиссии. Следует отметить, что важным этапом на пути практической реализации автоэмиттеров на основе УНТ стало создание методов выращивания двумерных матриц хорошо упорядоченных УНТ на большой специально подготовленной поверхности подложки [2]. Это позволило придать процессу изготовления больших микросхем, в том числе холодных катодов на основе УНТ, характер фабричного производства. Практическая реализация указанных методик привела к созданию конкурентоспособных плоских кинескопов и катодно-лучевых источников света с катодами на основе УНТ, обладающих высокими рабочими характеристиками. Также можно отметить возможность использовать УНТ в качестве уникальной емкости для хранения веществ, находящихся в газообразном, жидком либо твердом состоянии [3]. Чрезвычайно привлекательны для прикладных целей механические свойства УНТ, которые обладают аномально высокой прочностью на растяжение и изгиб, что позволяет применить их в качестве активных элементов измерительных устройств, определяющих нанометровую структуру поверхностей [4]. Таким образом, область возможных применений УНТ в научных исследованиях и современных технологиях необычайно широка [5].
7 В данной работе рассматривается одно из наиболее продвинутых
направлений, связанное с исследованием и использованием УНТ в качестве
источника автоэлектронной эмиссии.
Уже первые эксперименты [6, 7] продемонстрировали уникальные эмиссионные характеристики УНТ, обусловленные их двумя основными свойствами — высоким аспектным отношением и хорошей электропроводностью. В силу этих особенностей достаточно высокие плотности тока автоэлектронной эмиссии (на уровне ЮА/м) из катодов, содержащих УНТ, наблюдаются при относительно низких значениях приложенного напряжения (~ 1000 В при межэлектродном расстоянии в доли миллиметра).
Целью диссертации является исследование физических эффектов, определяющих процесс автоэлектронной эмиссии катодов на основе УНТ и установление оптимальных условий их эксплуатации.
Для определения поставленной цели в работе рассмотрены следующие задачи:
-создание математического аппарата, описывающего формирование электрического поля в окрестности нанотрубок, входящих в массив;
-определение оптимальной плотности эмиттеров на катоде с учетом явления экранировки;
8 -установление роли статистического разброса параметров
индивидуальных эмиттеров на основе УНТ в формировании эмиссионной
вольт-амперной характеристики (ВАХ) катода;
- нахождение предельного тока эмиссии УНТ, ограниченного тепловыми
эффектами.
Последовательное решение перечисленных задач дало возможность автору данной работы описать основные эмиссионные свойства холодных катодов на основе УНТ.
Научная новизна роботы:
- создана физическая и математическая модель процесса автоэлектронной
эмиссии массива УНТ.
-разработана компьютерная программа по расчету напряженности электрического поля для массива УНТ, что позволило рассчитать коэффициент усиления электрического поля для нанотрубок, входящих в данный массив;
-получена аналитическая зависимость, описывающая ВАХ катода на основе УНТ с учетом влияния статистического разброса геометрических размеров нанотрубок входящих в массив. Эта зависимость существенно отличается от традиционно используемой зависимости Фаулера-Нордгейма в области малых значений приложенного напряжения и хорошо соответствует многим экспериментальным данным.
- проведено комплексное исследование влияния эффекта экранировки
нанотрубок, входящих в массив УНТ, что позволило определить оптимальную плотность эмиттеров в массиве, обеспечивающую максимальное значение эмиссионного тока;
- установлен и исследован механизм ограничения тока эмиссии катодов
на основе УНТ, связанный с температурной зависимостью эмиссионных
свойств нанотрубки; показано, что существует предельное значение тока
эмиссии, соответствующее порогу возникновения тепловой неустойчивости
процесса эмиссии, которая сопровождается изменением механизма эмиссии и
термическим разрушением нанотрубки.
Практическая значимость работы:
Полученные в работе результаты и методы, развитые для их установления, могут быть использованы при разработке холодных полевых эмиттеров на основе УНТ и оптимизации режимов их работы.
Внедрение результатов работы:
Результаты диссертационной работы могут быть использованы в качестве исходных данных для количественного описания предельных рабочих характеристик при проектировании катодов на основе УНТ.
Апробация диссертации:
Основные положения диссертации докладывались и получили положительную оценку на 30,31 Международной молодёжной научной
10 конференции «Гагаринские чтения» (МАТИ, Москва, 2004, 2005 г.г.), 1, 2, 3, 4
Курчатовской молодежной научной школе (РНЦ«КИ», Москва, 2003, 2004,
2005, 2006 г.г.), 10, 11, 12, 13 Международной научно-технической
конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и
энергетика» (МЭИ, Москва, 2004, 2005,2006, 2007 г.г.).
Публикации:
Результаты исследований изложены в 16 печатных работах, из них 2 - в журнале, рекомендованном к размещению публикаций Высшей аттестационной комиссией (ВАК), 2 - в иностранных изданиях, 12 работ (аннотации работ, тезисы докладов, сборники трудов) на международных конференциях. Основные результаты диссертации получены в соавторстве, автору принадлежат математические модели и результаты численных расчетов.
Вклад автора:
Создание компьютерных программ для численного решения поставленных в диссертации задач, выполнении численных расчетов, интерпретации полученных данных.
Объем и структура работы:
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 96 страницах и иллюстрированных 18 рисунками, 2 таблицами, а также списка литературы из 48 наименований.
Явление автоэлектронной эмиссии
Явление автоэлектронной эмиссии (АЭ) возникает при воздействии на заземленный проводник внешнего электрического поля. В результате такого воздействия электроны проводимости, первоначально находящиеся в прямоугольной потенциальной яме, получают возможность выхода за пределы проводника вследствие квантового туннелирования. При нулевом электрическом поле для электронов металла имеется потенциальный прямоугольный барьер, высота которого определяется как работа выхода электрона ф, так что металл могут покинуть только те электроны, энергия которых превышает величину ф. Поскольку значение указанного параметра обычно составляет несколько электрон-вольт, что на 2 порядка превышает комнатную температуру, число таких электронов при этих условиях практически равно нулю. При наложении электрического поля высота барьера снижается па величину Аф, которая растет с повышением напряженности поля. Кроме того, становится возможным туннельный переход электронов через барьер, поскольку его ширина резко уменьшается с ростом напряженности поля. В результате возникает электронная эмиссия, ток которой является резко возрастающей функцией приложенного напряжения. Простой модельный подход [17] к квазиклассическому описанию явления АЭ как процесса туннелирования электронов через барьер, формируемый ионной решеткой металла и внешним электрическим полем, представлен формулой Фаулера-Нордгейма: J - плотность тока; Е - напряженность электрического поля; h - постоянная Планка; е - заряд электрона; т - масса электрона; ф - работа входа электрона для данного проводника, функции t[y) и &(у) представляют собой медленно меняющиеся зависимости, хорошо аппроксимируемые выражениями t(y)&\ и Выражение (1.3) справедливо при условиях, когда температура эмиттера много меньше характеристической энергии Ферми для проводника, а показатель экспоненты много больше единицы. Оно удобно для анализа результатов экспериментов по АЭ, которые обычно представляют в виде зависимости величины InЫ/Е2) от \/Е либо, что то же самое, ln(j/U02) от \/U0 (U0 -приложенное напряжение). Прямолинейный ход данной зависимости указывает на механизм эмиссии электронов, связанный с автоэлектронной эмиссией. Параметры зависимости, такие как угол наклона и точки пересечения с осями позволяют, в принципе, определить площадь эмитирующей поверхности и работу выхода электрона при известном значении напряженности электрического поля Е. Как следует из выражения Фаулера-Нордгейма, плотность тока АЭ весьма чувствительна к величине работы выхода электрона с поверхности проводника. Вольт-амперные характеристики АЭ в реальной ситуации могут существенно отличаться от простых модельных выражений (1.3). В первую очередь это связано с наличием на поверхности любого реального эмиттера микронеоднородностей и выступов [18,19]. Как следует из решения уравнений электростатики, напряженность электрического поля в окрестности таких выступов может во много раз превышать среднее значение, определяемое как отношение падения напряжения на промежутке U0 к величине межэлектродного расстояния Я. Указанное явление носит название эффекта усиления электрического поля на неоднородностях. В результате этого эффекта ток АЭ в реальных условиях обычно на 1-2 порядка, в зависимости от аспектного отношения неоднородности, превышает значение, определяемое с помощью выражения Фаулера-Нордгейма (1.3). Количественной мерой эффекта усиления электрического поля вблизи поверхности проводника служит коэффициент усиления электрического поля: где Етт - максимальное значения напряжённости электрического поля, Е - среднее по объему значение напряженности электрического поля. Коэффициент усиления электрического поля весьма чувствителен к геометрической форме неоднородности. В силу неопределенности в размерах и форме неоднородностей реальных поверхностей количественное определение этого параметра возможно лишь с ограниченной точностью. Кроме того, на поверхности любого проводника имеются микронеоднородности, которые характеризуют определенным разбросом размеров и геометрических форм. Тем самым электрическое поле, действующее на каждую из таких неоднородностей, имеет различную величину, что приводит к разбросу соответствующих вольт-амперных характеристик. Тем не менее, характер зависимости тока АЭ реального проводника от приложенного напряжения достаточно хорошо описывается соотношением Фаулера-Нордгейма (1.3). В значительной степени это объясняется сглаживающим действием логарифмической зависимости, которая обычно используется для анализа экспериментальных данных.
Решение уравнения Лапласа методом простой итерации
Эмиссионные свойства нанотрубки в значительной степени определяются ее работой выхода. Экспериментальные значения этого важного параметра, определенные разными авторами, сильно различаются между собой. Это связано с различиями в электронной структуре нанотрубок, полученными в неидентичных условиях, что отражается на работе выхода электрона. Часть трубок имеет незамкнутую головку, что также, несомненно, изменяет значение этого параметра. Кроме того, на поверхности нанотрубки могут присутствовать либо в виде сорбентов, либо в виде присоединенных аддуктов такие радикалы, как СО, ОН, N0 и т.п., которые привносят дополнительные состояния в электронный спектр нанотрубок и могут влиять на работу выхода электрона. В связи с этими обстоятельствами использование при описании материала, содержащего нанотрубки, единого значения работы выхода электрона весьма условно и может рассматриваться как результат усреднения по некоторому, достаточно широкому распределению значений.
Для определения работы выхода электрона УНТ применяют два подхода, зачастую приводящие к различным результатам. Первый из этих подходов (I) основан на обработке результатов измерения эмиссионных вольт-амперных характеристик нанотрубок на основании выражения Фаулера-Нордгейма (1.3). Для использования этого подхода необходимо иметь либо детальную информацию о структуре нанотрубки, либо располагать дополнительными данными о распределении эмитируемых электронов по энергиям. Второй подход к определению значения работы выхода УНТ (И) основан на определении спектра фотоэлектронов, эмиттируемых поверхностью материала при оптическом облучении. Нижняя граница спектра соответствует значению работы выхода электрона. Значения работы выхода электрона УНТ, измеренные и оцененные разными авторами (табл. 1), не сильно отличаются от соответствующего значения для графита, которое согласно результатам различных измерений находится в диапазоне 4,4-5 эВ При этом не наблюдается систематического различия между значениями работы выхода однослойных и многослойных нанотрубок. Заметно выпадает из общего массива данных результат оценки работы выхода электрона, полученный А.Н. Образцовым с сотрудниками (0,2 2 эВ) [28]. Однако указанная оценка имеет косвенный характер, и ее результат сильно зависит от используемого в расчете радиуса кривизны эмиттера, который в данном случае определяется на основании визуального анализа микрофотографий. Можно предположить, что в данном случае источником электронной эмиссии является открытый конец нанотрубки, поэтому характерный размер эмитирующей поверхности в несколько раз меньше диаметра нанотрубки, используемого при оценке работы выхода электрона. Статистическое усреднение представленных в таблице данных без учета выпадающих из общего набора результатов [28] дает значение (р = 5,26 ± 0,85 эВ. В настоящие время многие вопросы, связанные с определением значения работы выхода электрона для УНТ, остаются без ответа. Неясно, как зависит значение этого параметра от диаметра и хиральности однослойной нанотрубки. Не установлено, чем определяется значение работы выхода электрона для многослойной нанотрубки, составленной из однослойных нанотрубок с заданным значением работы выхода. Отсутствуют данные о зависимости работы выхода от положения эмитирующей области на поверхности нанотрубки, а также от структурных дефектов и изгибов поверхности однослойных и многослойных нанотрубок. Поэтому в данной работе, согласно выбранной модели описания УНТ (п. 1.1.3), автором используется усредненное значение работы выхода электрона ф = 5,26 эВ, которое получено после статистической обработки результатов приведенных в табл. 1. В данной главе рассмотрена структура УНТ, показано какую разнообразную форму могут принимать УНТ получаемых при изготовлении. Рассказано о влиянии структуры (хиральность) на электрические свойства нанотрубок и о том к каким изменениям эмиссионных характеристик приводят отклонения от идеальной структуры УНТ. Автор также показал, какие модели структуры нанотрубок используются при численных расчетах для определения основных параметров характеризующих УНТ. Рассказано о физической природе автоэлектронной эмиссии и какие особенности она имеет при применении УНТ. Также рассмотрена проблема, связанная с определением значения работы выхода электрона для УНТ.
Аналитическая зависимость
Влияние эффекта экранировки соседних нанотрубок на эмиссионные свойства катода на основе УНТ вычислялось для квадратного массива, состоящего из 225 регулярно расположенных одинаковых нанотрубок, имеющих форму цилиндра с плоской вершиной диаметром d = 1 нм и высотой h = 1 мкм. Нанотрубки располагались в вершинах квадратов, размер которых S варьировался. Результаты расчетов приведены на рис. 3.1, где показана зависимость коэффициента усиления электрического поля от расстояния между эмиттерами и плотности эмиттеров в массиве. Как видно, с уменьшением расстояния между нанотрубками коэффициент /? уменьшается, достигая минимального значения, близкого к единице, в предельном случае нулевого расстояния, который соответствует сплошной поверхности. При больших расстояниях между эмиттерами S h/2 величина коэффициента усиления приближается к значению, присущему индивидуальной нанотрубке.
Ток эмиссии индивидуальной нанотрубки і описывается известной зависимостью Фаулера-Нордгейма [17, 19]: где Е = /ЗЕср - напряженность электрического поля вблизи наконечника нанотрубки, С, и С, - параметры, зависящие от геометрии и электронных свойств эмиттера. В силу установленной выше зависимости коэффициента усиления массива, состоящего из одинаковых нанотрубок, от среднего расстояния между ними, зависимость плотности тока эмиссии j i/S2 от этого параметра должна иметь немонотонный характер с максимумом при значении S h/2. Результаты расчета данной зависимости показаны на рис. 3.2. Как видно, максимальное значение плотности тока эмиссии достигается при значении 5«0,3/г. Это значение примерно на порядок меньше величины, полученной в работе [31], что связано с различным подходом к описанию структуры нанотрубки. Наличие максимума в зависимости плотности тока от среднего расстояния между нанотрубками указывает на необходимость при изготовлении холодных катодов на основе УНТ выбора оптимального значения расстояния между нанотрубками, которое обеспечивает оптимальные эмиссионные свойства. Следует отметить, что в силу ограниченности времени счета объектом выполненных здесь расчетов служил массив, составленный из ограниченного числа нанотрубок. При этом предполагалось, что рассматриваемый здесь эффект экранирования относится к нанотрубкам, находящимся внутри массива, пренебрегая тем самым краевыми эффектами, которые относятся к нанотрубкам, находящимся на границе массива. Очевидно, такие нанотрубки меньше подвержены эффекту экранирования, так что для них величина коэффициента усиления должна превышать соответствующее значение, присущее внутренним нанотрубкам. С целью количественного анализа краевых эффектов были предприняты расчеты коэффициента усиления индивидуальных нанотрубок, в зависимости от их положения в массиве. Результаты расчетов, представленные на рис. 3.3, указывают на более высокое значение коэффициента усиления для нанотрубок, находящихся на границе массива. Как видно, краевой эффект затрагивает только один, внешний ряд нанотрубок в массиве, поэтому для массивов, содержащих п » 1 рядов нанотрубок, роль указанного эффекта пренебрежимо мала. С увеличением расстояния между нанотрубками роль краевого эффекта, естественно, падает, что также следует из сравнения данных, приведенных на рис. 3.3. В данной главе раскрыта задача по анализу влияния эффекта экранировки нанотрубок в массиве УНТ на значение коэффициента усиления электрического поля. Представлен способ определения зависимости коэффициента усиления от расстояния между нанотрубками. Выявлена необходимость изготовления холодных катодов на основе УНТ с оптимальным значением плотности УНТ (расстояния между нанотрубками). Представлены численные результаты исследования эффекта экранировки нанотрубок. Проанализирован вклад в процесс эмиссии нанотрубок, расположенных на границе массива УНТ. Одна из проблем, от решения которой зависит широкое развитие эмиссионных катодов на основе УНТ, связана с пространственной однородностью эмиссионных характеристик катода. Одной из возможных причин нарушения однородности является статистический разброс параметров УНТ, который отражается на разбросе их эмиссионных характеристик [33,34]. Так, следствием разброса в продольных и поперечных размерах УНТ является разброс в величине аспектного отношения, который отражается на величине коэффициента усиления электрического поля вблизи головки УНТ. Кроме того, однослойные нанотрубки всегда имеют определенный разброс в хиральностях, что в свою очередь отражается на величине проводимости и работы выхода (п. 1.3). Тем самым можно ожидать, что статистический разброс параметров УНТ должен приводить к отклонению вольт-амперных характеристик (ВАХ) эмиттера на основе УНТ от классической зависимости Фаулера-Нордгейма [17] даже в том случае, если ВАХ индивидуальной нанотрубки подчиняется этой зависимости. Подобные отклонения неоднократно наблюдались на эксперименте. При этом основная часть ВАХ обычно с хорошей точностью описывается зависимостью Фаулера-Нордгейма, в то время как наиболее заметные отклонения от этой зависимости наблюдаются в области относительно малых напряжений, где отличие может достигать порядка величины. В данном разделе представлен метод количественного описания ВАХ электронов эмиттеров на основе УНТ с учетом статистического разброса их параметров, что позволило установить связь между параметрами, характеризующими этот разброс, и видом ВАХ.
Тепловая неустойчивость
Вольт-амперная характеристика катодов на основе УНТ имеет ограничение на величину эмиссионного тока, связанную с омическим нагревом нанотрубок при больших токах. В широком диапазоне изменения внешнего электрического поля эмиссионные характеристики катодов на основе УНТ подчиняются классическому соотношению Фаулера-Нордгейма. Однако при больших значениях напряжения указанная закономерность нарушается, что связано с нагревом эмиттера. В результате изменяется режим работы эмиттера, так что значительный вклад в эмиссию начинают вносить термоэлектроны с энергией, превышающей уровень Ферми. Наличие термоэлектронов вызывает рост значения эмиссионного тока и приводит к ситуации, при которой температура УНТ достигает предельных значений, и дальнейший увеличение температуры нанотрубки вызовет её термическое разрушение, что наблюдается, в частности, в работах [40, 41]. В некоторых случаях данный эффект имеет характер неустойчивости, который проявляется в резком нарушении режима автоэлектронной эмиссии. В данной работе показано, что этот эффект связан с нелинейным характером температурной зависимости эмиссионного тока в условиях омического нагрева эмиттера при больших токах. Тепловая неустойчивость эмиттера имеет характер теплового взрыва, детально изученного в химической физике [42]. Такая неустойчивость возникает при условиях, когда рост температуры вследствие омического нагрева не компенсируется теплоотводом вдоль нанотрубки, интенсивность которого более плавно зависит от температуры, чем интенсивность тепловыделения. В настоящей работе на основании решения уравнения теплопроводности для индивидуальной нанотрубки, эмиттирующей электроны в режиме автоэлектронной эмиссии, исследован характер возникновения и получены условия тепловой неустойчивости, приводящей к термическому разрушению эмиттера. Рассмотрим индивидуальную нанотрубку длиной L и диаметром d с большим аспектным отношением L/d l, находящуюся в вакууме и ориентированную перпендикулярно проводящей подложке. Под действием постоянного электрического поля, ориентированного вдоль оси трубки, происходит автоэлектронная эмиссия, источником которой является поверхность вершины нанотрубки. Эмиссионный ток, проходящий вдоль нанотрубки, приводит к ее омическому нагреву, который компенсируется теплопроводностью на подложку и радиационным охлаждением. Тепловой баланс эмиттера на основе нанотрубки описывается уравнением теплопроводности для УНТ с учетом связи эмиссионного тока с температурой и напряженностью электрического поля вблизи вершины УНТ. Указанная связь имеет стандартный вид и представляет собой зависимость Фаулера-Нордгейма с поправкой на температуру. Следует отметить, что, несмотря на малые поперечные размеры нанотрубки, для описания распространения тепла вдоль этого объекта применяется стандартное уравнение теплопроводности. Это уравнение применимо при условии, когда характерное значение длины, на котором происходит передача тепла, значительно превышает длину нанотрубки. Поскольку основной механизм теплопроводности в данном случае связан с распространением колебаний решетки (фононов), характерная длина пробега которых составляет порядка расстояния между атомами углерода в гексагональной структуре УНТ, то мы не сомневаться в применимости использованного подхода.
С учетом указанных факторов стационарное уравнение теплопроводности, описывающее баланс тепла в нанотрубке, имеет следующий вид [43, 44]: Здесь начало координат (х = 0) совпадает с точкой контакта нанотрубки с подложкой; Т = Т(х) -температурный профиль вдоль оси нанотрубки; Я(Т) -коэффициент теплопроводности нанотрубки в продольном направлении; dR = R(T)dxlL где, R(T) -электрическое сопротивление нанотрубки в продольном направлении; а - константа Стефана-Больцмана; г/ 1 -коэффициент серости теплового излучения нанотрубки, г-внешний радиус нанотрубки; /-ток эмиссии.
