Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач 13
1.1. Психолого-педагогические основы использования метода научного познания аналогии в процессе обучения геометрии 13
1.2. Возможности заключительного этапа решения планиметрических задач в процессе обучения учащихся аналогии 43
1.3. Различные виды аналогии как основа организации заключительного этапа решения планиметрических задач 69
Выводы по первой главе 87
Глава 2. Методические основы обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач 90
2.1. Комплекс заданий, направленный на обучение учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач 90
2.2. Процессуальный компонент методики обучения учащихся аналогии 106
2.3. Организация и результаты экспериментальной работы 129
Выводы по второй главе 146
Заключение 148
Библиографический список использованной литературы 151
Приложения 173
- Возможности заключительного этапа решения планиметрических задач в процессе обучения учащихся аналогии
- Различные виды аналогии как основа организации заключительного этапа решения планиметрических задач
- Комплекс заданий, направленный на обучение учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач
- Процессуальный компонент методики обучения учащихся аналогии
Введение к работе
Актуальность исследования. Переходные процессы в экономической, социально-политической и социокультурной сферах, происходящие в России в последнее время, предопределили направления реформирования системы образования. Одним из таких направлений является гуманитаризация образования, смысл которой заключается в приобщении ученика к духовной культуре, творческой деятельности, методологии открытия нового. Гуманитаризация образования, в частности математического, предполагает вооружение школьников методами научного поиска, среди которых особую роль играют эвристические приемы и методы научного познания.
Опыт показывает, что не только строгая логика и дедукция должны являться основополагающими научными методами в школьном обучении. Необходимо искать иные по содержанию и назначению методы. Использование в обучении такого метода научного познания, как аналогия, предполагает включенность ученика в процесс добывания знаний и, как следствие этого, более доступное, прочное и осознанное усвоение учебного материала. Последнее обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному, включение учащихся в исследовательскую деятельность, развитие их творческого потенциала.
Различные аспекты использования метода аналогии в обучении математике рассматривали в своих исследованиях отечественные и зарубежные ученые Е.А. Беляев, В.Г. Болтянский, С.Ф. Бондарь, Н.В. Горбачева, В.А. Далингер, А.И. Жохов, А.А. Ивин, Ю.М. Колягин, Р.Ю. Костюченко, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, М.Н. Сизова, А.А. Столяр, А.И. Уемов, Б.З. Хынг,
П.М. Эрдниев и др. Отдельные вопросы использования аналогии в обучении поднимались также в различных публикациях и учебниках по методике обучения математике. Однако проблема использования метода аналогии в обучении до сих пор остается актуальной, и связано это с различными трактовками понятия аналогии, множественностью ее видов и, как следствие, разными подходами к ее использованию в обучении.
Усвоение научных основ математики, умение решать математические задачи предполагают достижение учащимися определенного уровня развития мышления, поскольку это является не только конечной целью, но и условием успешного усвоения такого предмета, как математика, в частности геометрия.
Практика обучения показывает низкое качество геометрических знаний и умений учащихся основной школы. Это объясняется и относительной сложностью этого предмета по сравнению с другими дисциплинами математического цикла, и традиционно небольшим количеством времени, отведенным на его изучение. Следует отметить, что одним из основных видов деятельности при обучении геометрии является решение задач.
В этом контексте особое значение приобретает заключительный этап решения задачи, поскольку его реализация сочетает в себе не только ретроспективный взгляд, обобщение и систематизацию изученного, но и средство развития ученика, в том числе и средство приобщения учащихся к методам научного познания, в частности аналогии. Различные аспекты использования заключительного этапа решения задачи при обучении математике широко обсуждаются в научной и методической литературе, работах известных математиков, методистов, учителей (С.Г. Губа, Д. Зайцева, Т.А. Иванова, Д.Ф. Изаак, Т.М. Калинкина, Е.О. Канин, Ю.М. Колягин, А.И. Мостовой, Ф.Ф. Нагибин, М.Н. Наконечный, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, 3.А. Скопец и др.). Несмотря на разноаспектность существующих исследований, можно выделить общий для них тезис: заключительный этап работы с задачей является необходимой и существенной частью решения и содержит в себе значительный потенциал для обучения, развития и воспитания учащихся, совершенствования процесса обучения математике.
Вместе с тем изучение опыта работы учителей математики показывает, что возможности заключительного этапа решения задачи используются в прак-
тике школьного обучения недостаточно. Многие учителя считают, что с полу-
чением ответа работа над задачей закончена. Среди причин этого явления – отсутствие методики работы с задачей на заключительном этапе ее решения, на необходимость создания которой указывают в своих трудах Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, Ф.Ф. Нагибин, Г.И. Саранцев.
Признавая несомненную ценность существующих исследований, следует отметить, что методика обучения учащихся аналогии в процессе работы над планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения не являлась до настоящего времени объектом специального методического исследования.
Все вышесказанное свидетельствует о существовании противоречий
между:
– востребованностью обучения учащихся эвристическим приемам и методам научного познания, творческой деятельности и недостаточной разработанностью методических основ использования аналогии как метода научного познания при обучении геометрии;
– существующим высоким дидактическим потенциалом заключительного этапа решения планиметрических задач для обучения учащихся аналогии, практически не используемым в традиционной образовательной практике, и отсутствием адекватной научно обоснованной методики обучения.
Наличие данных противоречий обусловливает актуальность исследо-
вания, нацеленного на решение проблемы недостаточной разработанности методических основ обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач.
Наличие данной проблемы определило тему исследования: «Методика обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач».
Объект исследования – обучение учащихся аналогии в процессе решения планиметрических задач.
Предмет исследования – методика обучения аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач.
Цель исследования – научные разработка и обоснование методики обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач.
Гипотеза исследования – обучение учащихся аналогии на заключи-
тельном этапе решения планиметрических задач будет эффективным, если:
-
метод аналогии рассматривать как метод научного познания, дидактически адаптированный к обучению геометрии;
-
структура заключительного этапа решения планиметрической задачи определяется видами аналогий и деятельностью учащихся по их применению;
-
методика обучения учащихся аналогии будет представлена в целевом компоненте совокупностью целей обучения аналогии на заключительном этапе решения задач, в содержательном – знаниями видов аналогий и основ конструирования комплекса соответствующих заданий, в процессуальном – совокупностью приемов и заданий по организации учебной деятельности учащихся на заключительном этапе решения планиметрических задач.
В соответствии с проблемой и гипотезой исследования и для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:
-
выявить психолого-педагогические основы использования аналогии как метода научного познания в процессе обучения геометрии;
-
выделить структуру заключительного этапа решения планиметрических задач в соответствии с видами аналогий и деятельностью учащихся по их применению;
-
определить целевой, содержательный и процессуальный компоненты методики обучения учащихся аналогии в процессе работы над планиметрической задачей на заключительном этапе решения;
-
экспериментально проверить эффективность методики обучения учащихся аналогии в процессе реализации заключительного этапа решения планиметрической задачи.
Теоретико-методологической основой исследования являются психолого-педагогические исследования по проблемам реализации деятельностного подхода к обучению (В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина и др.), а также исследования по проблемам гуманизации и гуманитаризации математического образования, развития личности средствами обучения математике (Г.В. Дорофеев, О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр и др.). В работе использованы результаты исследований, посвященных проблемам
совершенствования геометрического образования (А.Д. Александров, Е.В. Баранова, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, И.Ф. Шарыгин и др.), теории задач (Г.А. Балл, Л.Л. Гурова, Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Л.М. Фридман, А.Ф. Эсаулов и др.), использования метода аналогии в обучении математике (В.Г. Болтянский, В.А. Далингер,
А.И. Жохов, Ю.М. Колягин, Р.Ю. Костюченко, Д. Пойа, Г.И. Саранцев,
А.А. Столяр, П.М. Эрдниев и др.).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение и анализ философской, психологической, педагогической и методической литературы по проблеме исследования; анализ действующих и находящихся в стадии проектирования нормативных документов, определяющих структуру и содержание школьного образования; анкетирование, наблюдение за ходом учебного процесса, педагогический эксперимент, анализ результатов эксперимента и их статистическая обработка.
Достоверность результатов исследования обеспечивается всесторонним анализом проблемы, соответствием полученных выводов основным положениям дидактики и методики обучения математике; репрезентативной выборкой с учетом содержания и характера эксперимента; логической обоснованностью теоретических выводов и хода экспериментальной работы, систематическим мониторингом исследования на его различных этапах, статистической обработкой данных эксперимента.
Положения, выносимые на защиту:
1. Метод аналогии в обучении геометрии понимается как метод обучения, при котором реализуются такие действия, как составление и нахождение аналогов различных заданных объектов и отношений; составление задач, аналогичных заданным; перенос информации о модели на оригинал; проведение рассуж-
дений при решении задачи по аналогии с решением исходной задачи; проверка утверждений по аналогии.
2. Структура заключительного этапа решения планиметрической задачи определяется видами аналогий и деятельностью учащихся по их применению и представлена 1) исследованием задачи и хода решения (деятельность учащихся осуществляется в соответствии с видами аналогии, выделенными на основе видов тождеств); 2) формулированием и решением задач, порожденных данной задачей (деятельность учащихся осуществляется в соответствии с аналогией, в основе которой лежит начальное или конечное состояние задачи); 3) поиском новых способов решения задачи (деятельность учащихся осуществляется в соответствии с аналогией, в основе которой лежит базис решения или само решение задачи).
3. Методика обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач характеризуется совокупностью взаимосвязанных компонентов:
– целевого, определяемого направленностью процесса обучения учащихся аналогии как методу научного познания и как приему поиска решения задачи, осознания способа решения и возможности переноса его в новые ситуации;
– содержательного, предполагающего использование различных видов аналогии (аналогия применения, аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразований, тривиальная аналогия, аналогия противоположностей, а также аналогия в структуре задачи) для построения комплекса заданий с учетом структуры заключительного этапа решения планиметрической задачи;
– процессуального, представленного схемой организации учебной деятельности учащихся, включающей их ознакомление с аналогией как методом научного познания, выявление особенностей умозаключений, сделанных по аналогии; применение учащимися различных видов аналогии для работы на заключительном этапе решения задачи по планиметрии; организацию осознанного применения учащимися метода аналогии на заключительном этапе решения планиметрической задачи.
Научная новизна результатов исследования состоит в том, что впервые обучение учащихся аналогии как методу научного познания рассматривается на заключительном этапе решения планиметрических задач, поскольку это обеспечивает не только осознание учащимися основного приема поиска решения задачи, но и возможность переноса его в новые ситуации, нахождение нового способа решения, что позволяет не только осуществить исследование задачи, но и сконструировать новые задачи, порожденные данной (по методу решения, по рассматриваемым объектам и отношениям); в рамках деятельностного подхода к обучению обосновано, что деятельность учащихся на заключительном этапе решения планиметрических задач (исследование задачи и хода решения; формулирование и решение задач, порожденных данной задачей;
поиски новых способов решения задачи) может быть организована посредством различных видов аналогии (аналогия, основанная на различных видах тождеств, аналогия в структуре задачи); впервые разработана методика обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач.
Теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что полученные результаты вносят вклад в теорию и методику обучения математике за счет выявления педагогических основ обучения аналогии при организации деятельности учащихся на заключительном этапе решения планиметрических задач, позволяющих решать проблему приобщения учащихся к методам научного познания в процессе обучения геометрии.
Полученные результаты могут служить теоретической основой проектирования и реализации методик обучения учащихся различным содержательным линиям курса математики на разных уровнях образования на основе использования аналогии как метода научного познания.
Практическая ценность результатов исследования заключается в том, что разработано учебно-методическое обеспечение методики обучения аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач (комплекс заданий, методические рекомендации по его применению). Материалы исследования могут быть использованы с целью повышения качества обучения геометрии учителями математики и методистами, а также преподавателями вузов при подготовке учителей математики и в системе повышении их квалификации.
Апробация результатов исследования осуществлялась через:
– участие в IV Международной научно-практической конференции «Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики» (Биробиджан, 2009 г.), V Международной научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития образования в России» (Новосибирск, 2010 г.), III Всероссийской научно-практической конференции «Современные технологии в российской системе образования» (Пенза, 2005 г.), Всероссийской конференции «Информатизация образования» (Барнаул, 2009 г.), Всерос-
сийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ (Москва, 2011 г.), III и V межвузовских научно-практических кон-
ференциях студентов и аспирантов «Молодежь. Наука. Творчество» (Омск, 2005, 2007 гг.), 11-й региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Наука и образование: проблемы и перспективы» (Бийск, 2009 г.);
– выступления на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике Омского государственного педагогического университета (Омск, 2005–2011 гг.);
– публикацию материалов исследования в научных, научно-методических изданиях, периодической печати (по материалам исследования опубликовано 14 работ, в том числе в журналах, реферируемых ВАК, – 2).
Внедрение результатов исследования осуществлялось в МОУ «Тюкалинский лицей», МОУ «Гимназия г. Тюкалинска» и МОУ «Атрачинская СОШ» Омской области. Разработанные в процессе исследования методические материалы используются учителями математики средних образовательных учреждений Тюкалинского района, лицея и гимназии г.Тюкалинска, на методическом объединении учителей математики Тюкалинского района Омской области, преподавателями Омского государственного педагогического университета.
Эмпирической базой исследования являлись средние общеобразовательные школы г. Тюкалинска Омской области: МОУ «Тюкалинский лицей», МОУ «Гимназия г. Тюкалинска» и МОУ «Атрачинская СОШ».
Этапы исследования
Исследование проводилось в 2005–2011 гг. и включало три основных этапа.
Первый этап (2005–2006 гг.) – анализ педагогической, психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования; изучение состояния исследуемой проблемы в теории и практике; анализ деятельности учителей математики по использованию метода аналогии в обучении планиметрии.
Второй этап (2006–2007 гг.) – формулирование гипотезы и задач исследования, определение общих контуров теоретической модели, поиск решения задач исследования. На этом этапе было завершено теоретическое обоснование целесообразности использования метода аналогии на заключительном этапе решения задач по планиметрии. Разработаны содержательный и процессуальный компоненты соответствующей методики.
Третий этап (2007–2011 гг.) – проведение формирующего эксперимента, обработка, анализ, систематизация и обобщение его результатов; формулирование основных выводов исследования.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы (235 наименований) и приложений. Текст диссертации содержит 12 таблиц и 36 рисунков.
Возможности заключительного этапа решения планиметрических задач в процессе обучения учащихся аналогии
Следует отметить, что одним основных видов деятельности, с помощью которого происходит развитие ученика, является решение задач. Причем часто важен не полученный ответ к задаче, а процесс его поиска и последующий анализ. Однако с такой позиции роль задач в обучении математике рассматривалась не всегда. Так, если раньше математику изучали лишь с целью обучения решению задач, то постепенно акцент стал меняться, и в обучении математике решение задач становится средством, приемом усвоения теоретического материала. Можно сказать, что здесь главенствует «формула»: теория - задача. На современном же этапе данная формула претерпевает изменения следующим образом: задача - теория - задача. Таким образом «задачи рассматриваются как средство организации учебной деятельности учащихся на всех этапах обучения математике» [57, с. 76]. Поэтому вопросам теории и методики обучения решению задач уделяется большое внимание.
Психолого-педагогические аспекты развития школьников в процессе решения различных задач, приемы использования мыслительных операций при их решении рассматриваются в исследованиях Г.А. Балла [13], А.В. Брушлинского [29], Л.С. Выготского [36], Л.Я. Гальперина [37], Г.Д. Глейзера [41], Л.Л.Гуровой [52], В.А. Далингера [57], Г.В.Дорофеева [64], Е.Н. Кабановой-Меллер [85], З.И. Калмыковой [87], Ю.М. Колягина [95], В.А. Крутецкого [103], И.Я. Лернера [113], Е.И. Машбица [121], А.А. Окунева [136], Д. Пойа [142], С.Л.Рубинштейна [154], Н.К. Рузина [156], Г.И.Саранцева [161], О.К.Тихомирова [185], Л.М.Фридмана [195], А.Я. Цукаря [201], А.Ф. Эсаулова [215] и др.
В философской, психолого-педагогической и методической литературе нет единого подхода к трактовке понятия «задача». Ряд ученых рассматривают понятие «задача» как неопределяемое и, в самом широком смысле, означающее то, что требует исполнения, решения [185, 126].
Наиболее распространенным определение задачи в психологии является ее понимание как цели мыслительной деятельности (А.Н. Леонтьев [111], A.M. Матюшкин [119], С.Л. Рубинштейн [154] и др.), при этом понятие задачи неразрывно от процесса мышления: «Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием или актом деятельности, направленным на разрешение определенной задачи» [154, с. 347].
Г.И. Саранцев [161] на основе анализа различных определений задачи приходит к выводу, что наиболее распространенным в дидактике и методике является определение задачи как системы (Г.А. Балл [13], Ю.М. Колягин [95], А.Ф. Эсаулов [215], и др.). Подходы к исследованию данного вопроса систематизированы нами и представлены в таблице (Приложение 1).
Для понятия задачи характерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определенность или неопределенность условия и так далее, ко второй - способы и средства решения. При этом большинство авторов включают субъекта в само понятие задачи (Г.А. Балл [13], А.Н.Леонтьев [111], Я.А.Пономарев [145] и др.), рассматривая задачу как ситуацию, в которой должен действовать субъект, считая, что без субъекта задачи нет, другими словами, то, что составляет задачу для одного субъекта, может не быть задачей для другого. В отличие от данного подхода, в котором авторы акцентируют свое внимание на процессы решения задач, существует подход, который дает возможность изучения самих задач, независимо от деятельности субъекта. Таким образом, анализ определений (см. приложение 1) позволяет сделать вывод, что любая задача всегда содержит условие и требование, которое надо выполнить, чтобы решить задачу. Решить математическую задачу - значит отыскать последовательность теоретических положений математики, применяя которые сначала к условию задачи, а затем и к их следствиям, мы даем ответ на вопрос задачи (в ряде случаев решением может быть и установление того, что такой последовательности в заданных условиях не существует). Решение задачи в психологической и педагогической литературе рассматривается как мыслительный процесс, направленный на разрешение противоречий между условием и требованием задачи. Большинство авторов рассматривают решение задачи как взаимодействие двух факторов: особенностей самой задачи и личностных качеств тех, кто ее решает. «Реальное решение задачи, - замечает O.K. Тихомиров, - это всегда взаимодействие субъекта и объекта, в ходе которого преобразуется не только задача, объект мышления, но и сам субъект» [185, с. 79]. В методической литературе термин «решение задачи» применяется в трех различных смыслах: 1) решение задачи как план (способ, метод) осуществления требования задачи; 2) решение задачи как процесс осуществления требования задачи, как процесс выполнения плана решения; 3) решение задачи как результат выполнения плана решения. В.А. Далингер [57] отмечает, что процесс решения любой математической задачи может быть исследован с различных точек зрения: 1) с математической - какова последовательность действий и как их надо совершать над данными задачи, чтобы найти искомое; 2) с логической - устанавливается, из каких логических операций состоит процесс решения; 3) с психологической - устанавливается, в чем состоят психологические особенности процесса решения; 4) с педагогической - определяются приемы, которые помогут ученику самостоятельно найти решение; 5) с информационной - устанавливается возможность решения задачи посредством компьютера и др. Традиционно в методике обучения математике в процессе решения задачи выделяют четыре основных этапа: осмысление условия задачи, составление плана решения, осуществление плана решения, изучение найденного решения.
Различные виды аналогии как основа организации заключительного этапа решения планиметрических задач
Важная роль аналогии в процессе решения задач подчеркивалась многими исследователями. Особенно плодотворным является использование аналогии при изучении стереометрии [30, 97, 56, 158 и др.]. Здесь отчетливо можно проследить аналогии между понятиями и утверждениями геометрии на плоскости и в пространстве.
Аналогия позволяет облегчить, упростить решение поставленных задач, «сопоставляя изучаемую систему с той, которая нам уже известна (недоступную для изучения с доступной, неудобную для преобразований с удобной и т.д.)» [15, с. 156].
В своих книгах Д. Пойа обращается к аналогии в первую очередь как к методу познания. Так, в книге «Как решать задачу» он использует аналогичную более простую планиметрическую задачу о треугольнике для решения задачи, связанной с тетраэдром. При этом автор формулирует положения, полученные при рассмотрении подобного рода пар задач. А именно, решая какую-либо задачу, мы можем использовать решение аналогичной задачи - «нам может удастся использовать или ее метод, или ее результат, или то и другое» [142, с. 48].
«Метод аналогии, - отмечает В.И. Андреев, - всегда был важным эвристическим методом решения творческих задач. Процесс применения аналогии является как бы промежуточным звеном между интуитивными и дедуктивными процедурами мышления» [7, с.227].
Аналогия используется как эвристический прием при решении задач. Поиск решения задач осуществляется, как правило, в контексте связи данной задачи с теорией и другими задачами и начинается вопросами: Известна ли Вам какая-нибудь родственная задача? Аналогичная? Нельзя ли применить ее результат? Метод решения? Не знаете ли Вы теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Таким образом, учащийся, решая планиметрическую задачу, переносит в ее решение способы, результаты уже решенных родственных, схожих, аналогичных задач. Учитель, объясняя новый материал, опирается на знания учащихся, уже ими усвоенные. Ю.Н. Кулюткин пишет, что умение установить аналогию между старыми и новыми задачами, между способами их решения является одним из решающих условий эвристической деятельности и обучения. [106, с. 157].
Механизм обобщения задач по сходным моментам путем установления аналогии является очень важным для понимания существенных отношений в новой задаче. Как подчеркивает Д. Пойа, «не следует пренебрегать ни одним типом задач; следует обнаруживать то общее, что имеется в подходе к самым различным проблемам, следует стремиться вскрыть то общее, что есть в решении любой задачи, независимо от их содержания» [142, с. 181].
Найдя общие предметные и структурные черты в новой и уже когда-то решенной проблеме, человек способен более успешно и быстро осуществить анализ новой ситуации, определить новую проблему и выявить путь ее решения. В условиях учебного познания этими общими положениями, на основе которых доказывается гипотеза, могут быть перенесенные на новую ситуацию уже известные понятия, ранее установленные причинно-следственные связи и законы и пр.
Таким образом, можно сделать вывод, что выявление учащимися известной общности структуры и содержания этой ситуации со структурой и содержанием какой-либо другой, ранее встречавшейся задачей, ускоряет не только создание новой проблемы, но и выдвижение с помощью аналогии гипотезы ее решения, способствует самостоятельному переносу школьниками обобщенных знаний на новые факты и успешному применению умозаключений по аналогии в учебном познании.
Наибольшие трудности испытывают учащиеся при решении нестандартных задач, ибо для их решения, кроме прочих знаний по планиметрии, необходимо уметь рационально выбирать нужный способ решения, уметь применять большое разнообразие приемов поиска решения и
соединять в процессе решения одной задачи различные математические методы. Особенностью задач, требующих эвристического поискового процесса, является то, что условия задачи обычно наталкивают на поиск в одной области, а решение лежит в другой области, и для того, чтобы решить задачу, надо выйти из первой во вторую, в чем существенную роль играют аналогии [7, 56, 78].
«В первую очередь учащиеся должны твердо уяснить общую идею, лежащую в основе всех эвристик и эвристических схем, - отмечает Л.М. Фридман. - Чтобы решить какую-либо новую задачу, надо свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам» [194, с. 116]. Авторами [194, 176, 34 и др.] выделены следующие эвристические схемы поиска плана решения задачи: Решение более общей задачи и перенесение ее результата на исходную задачу. Решение частной задачи, прием рассмотрения предельного случая. Метод разбиения задачи на подзадачи. Метод преобразования задачи. Метод моделирования. Метод введения вспомогательных элементов. Представленный набор эвристических схем согласуется с видами аналогий, предложенных Е.А. Беляевым [16], что подробнее рассмотрим далее.
Комплекс заданий, направленный на обучение учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач
В предыдущем параграфе нами была раскрыта специфика отбора и составления заданий для организации процесса обучения учащихся аналогии на заключительном этапе работы с планиметрической задачей. Однако для того, чтобы такие задачи стали органичной частью процесса обучения геометрии, содержательный компонент должен реализоваться во взаимосвязи с процессуальным. Суть процессуального компонента составляют методы и формы обучения, отбор которых осуществлялся нами в соответствии с целями и требованиями к результатам образования.
Разработанная методика обучения учащихся аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач имеет следующие этапы: 1. Ознакомление учащихся с аналогией как методом научного познания, выявление особенностей умозаключений, сделанных по аналогии. 2.Применение учащимися различных видов аналогии для работы на заключительном этапе решения задачи по геометрии. 3.Организация осознанного применения учащимися метода аналогии на заключительном этапе решения планиметрических задач. Ознакомление учащихся с аналогией как методом научного познания, выявление особенностей умозаключений, сделанных по аналогии Основное средство организации деятельности на этапе ознакомления учащихся с аналогией как методом научного познания, следуя рекомендациям Д. Пойа [143], мы видим в том, чтобы школьники сначала наблюдали за тем, как рассуждает и догадывается учитель, а затем подражали ему и приобретали практический навык правдоподобных рассуждений. Начинать знакомство учащихся с аналогией следует на примерах планиметрических задач, представленных уже в первых темах систематического курса геометрии, постепенно обогащая их умственный опыт. Это связано с тем, что, во-первых, к началу изучения планиметрии учащиеся имеют представления о простейших геометрических фигурах и их свойствах, накопленные ими в процессе изучения курса математики начальной школы и 5-6 классов и полученные из жизненного опыта. Во-вторых, известные геометрические фигуры предстают перед учащимися в новых более сложных отношениях, поэтому, отвлекаясь от конкретных моделей, следует перейти на более абстрактный уровень изучения, в чем существенную роль играет метод аналогии. В-третьих, измерение отрезков и измерение углов является классическим примером существования в математике аналогии. Установление аналогий будет идти успешнее, если у учащихся будет сформировано умение проводить сравнение. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже и его знания становятся более прочными и осмысленными. Сравнение позволяет сформировать у школьников умения находить сходства и различия понятий, процессов, явлений, объектов, что ускоряет процесс нахождения и составления аналогов различных заданных объектов и отношений. Укажем схему, по которой следует проводить сравнение задач: 1. Выделение объектов, составляющих условие и требование задач. 2. Выделение признаков объектов. 3. Установление общих и существенных признаков. 4. Выбор одного из существенных признаков в качестве сравнения. 5. Сопоставление объектов по выбранному основанию. В зависимости от способа осуществления сравнения выделим различные формы организации работы по ознакомлению учащихся с аналогией в процессе решения задач. По способам осуществления различают сравнения последовательные, параллельные и отсроченные. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученным. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупненными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно удалены друг от друга во времени. Данную классификацию положим в основу способов предъявления учащимся задач: 1. Аналогичные задачи необходимо предъявлять учащимся последовательно по одной, при этом сравнение объектов, входящих в задачи, происходит после того, как пара задач решена. 2. Необходимо одновременное, совместное предъявление учащимся пар задач, в которых рассматриваются одинаковые или аналогичные объекты в условии и (или) заключении задачи. Параллельное решение двух аналогичных задач необходимо проводить после того, как будет установлено сходство или различие геометрических объектов. 3. Специфика предъявления задач при отсроченном сравнении объектов состоит в том, что сравниваемые объекты (или методы решения) значительно удалены друг от друга во времени, поэтому задача учителя актуализировать свойства изучаемого ранее объекта, а также ранее изученные методы решения для дальнейшего эффективного сравнения и установления аналогии с изучаемым объектом или методом решения. Поэтому сравнение объектов эффективно организовать между решением задач из пары. Проиллюстрируем сказанное на конкретных примерах. Задача 1. Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (Пусть ABC - равнобедренный треугольник, в котором АВ=ВС, AD и СЕ - биссектрисы углов при основании. Необходимо доказать, что AD=CE). Задача 2. Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны (Пусть AJBJCJ -равнобедренный треугольник, в котором A1B]=BICI, AJDJ и CiEj - медианы. Необходимо доказать, что A\D\=C\E ).
Решив задачи 1 и 2, следует обратить внимание на аналогию в формулировках и решениях посредством выделения соответственных элементов в аналогичных задачах. Следует подчеркнуть, что каждый шаг решения задачи 2 может быть получен путем переноса аналогичного шага решения задачи 1. Так, в задаче 1 для биссектрисы соответственным элементом в задаче 2 будет медиана. Биссектриса AD делит угол ВАС на два равных угла BAD и DAC, соответственно медиана AiDi в задаче 2 делит сторону В; Сj на два равных отрезка BjD/ и D/Cj.
Процессуальный компонент методики обучения учащихся аналогии
Педагогический эксперимент проводился в соответствии с целями и задачами исследования и проходил в три этапа с 2005 по 2011 гг.: констатирующий, поисковый и обучающий (формирующий). Все этапы эксперимента проводились в МОУ «Тюкалинский лицей», МОУ «Гимназия г. Тюкалинска» и МОУ «Атрачинская СОШ» Омской области. К исследованию также привлекались учителя других школ г.Омска и Омской области.
На этапе констатирующего эксперимента осуществлялось наблюдение за обучающей деятельностью учителя и учебной деятельностью учащихся в плане использования методов научного познания в процессе обучения планиметрии. Проводился анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, анкетирование, опросы учителей и учеников. В рамках этого этапа были выявлены различные направления в исследовании проблемы использования методов научного познания в процессе обучения и показана роль аналогии в этом процессе, а также произведен выбор учебного материала, посредством которого возможна эффективная организация деятельности учащихся на заключительном этапе решения задач.
Анализ практики работы учителей и результатов проведенных нами семинаров районного методического объединения учителей математики по проблеме использования заключительного этапа решения задач при обучении учащихся методу аналогии показал, что при решении задач учителя больше внимания уделяют третьему этапу из четырех, выделяемых в методике обучения решению задач (осуществление плана решения) и в меньшей степени первому и второму (понимание постановки задачи и составление плана решения соответственно). Заключительный этап решения задачи практически не используется учителями в их практике и реализуется лишь при решении задач на построение. Решение задачи, как правило, заканчивается получением ответа или, в лучшем случае, обсуждением базиса и идеи решения.
С целью выбора приемов и средств эффективной организации деятельности учащихся на заключительном этапе решения задач на этапе констатирующего эксперимента нами также было выявлено отношение учителей к использованию методов научного познания в обучении, в частности метода аналогии, владение ими данным понятием.
Анкетированием были охвачены 56 учителей математики школ города Тюкалинска и Тюкал инского района Омской области. Результаты анкетирования показали, что среди методов обучения математике наиболее предпочтительными оказались анализ и синтез, а затем уже упоминаются в иерархической последовательности сравнение, обобщение, аналогия. К тому же нет четкого понимания сути этих методов (например, «анализ» у некоторых учителей ассоциируется с анализом условия задачи или теоремы). Дать определение методу аналогии смогли лишь 39% опрашиваемых учителей (причем на уровне подбора синонима, например, аналогия - это «схожесть», «подобие»), хотя 50% опрошенных отметили, что используют метод аналогии в своей практике. Объясняется это тем, что учителя воспринимают метод аналогии как соответствующую умственную операцию и усматривают в его использовании лишь возможность выдвигать вероятные, но не достоверные гипотезы. Таким образом, результаты констатирующего этапа эксперимента помогли нам определить направления поискового эксперимента: найти или создать дидактические условия организации деятельности учащихся на заключительном этапе решения планиметрических задач, которые способствовали бы обучению учащихся методу научного познания аналогии, как одному из условий развития творческого мышления учащихся в процессе обучения геометрии. Второй этап эксперимента - поисковый. Этому этапу эксперимента по времени соответствовало формулирование гипотезы и задач исследования, определение общих контуров теоретической модели, поиск решения задач исследования. На этом этапе было завершено теоретическое обоснование целесообразности использования метода аналогии на заключительном этапе решения задач по планиметрии. Цель данного этапа нами была определена так: разработать содержание и методику обучения учащихся аналогии при организации деятельности учащихся на заключительном этапе решения планиметрических задач, обеспечивающую достижения образовательных результатов. В результате данного этапа эксперимента были решены следующие задачи: 1) установлены процедуры творческого мышления, используемые школьниками в процессе обучения геометрии; 2) описана структура заключительного этапа решения планиметрических задач в соответствии с выделенными видами аналогии; 3) составлена модель деятельности учащихся на заключительном этапе решения планиметрических задач; 4) разработан экспериментальный учебный материал для организации процесса обучения учащихся аналогии на заключительном этапе работы с задачей. Результаты поискового этапа эксперимента отражены в главе 1 и параграфах 2.1 и 2.2 главы 2 данного диссертационного исследования. Третий этап - обучающий эксперимент. На этом этапе велось экспериментальное обучение учащихся курсу планиметрии, затем была получена оценка эффективности его реализации. В обучающем эксперименте участвовало 78 учащихся 7-9 классов МОУ «Тюкалинский лицей», МОУ «Гимназия г. Тюкалинска» и МОУ «Атрачинская СОШ» Тюкалинского района Омской области. Эксперимент проводился среди учащихся 7, 8 класса (в 2007-2008 гг.) и 8,9 класса (в 2008 2009 гг.), 9 класса (в 2009-2010 гг.) гимназии г. Тюкалинска; среди учащихся 7, 8 класса (в 2007-2008 г.г.) и 8, 9 класса (в 2008-2009 гг.), 9 класса (в 2009 2010 гг.) Тюкалинского лицея.
