Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Использование методов оптимизации при проектировании судовых корпусных конструкций 8
1.1. Математические методы оптимизации деформируемых тел и конструкций 8
1.2. Методы расчетного оптимального проектирования судовых конструкций 15
1.3. Развитие подходов к оптимизации тел и конструкций с нестационарными ограничениями 20
1.4. Выводы и постановка задачи исследования 32
Глава 2. Разработка универсального подхода к оптимизации статически и динамически нагруженных упругих тел и конструкций на основе конечно-элементного анализа чувствительности и методов удовлетворения необходимых условий оптимальности 34
2.1. Постановка задачи проектирования как задачи оптимизации 34
2.2. Алгоритм метода оптимизации на основе удовлетворения необходимых условий оптимальности 35
2.3. Построение условий оптимальности и рекуррентных соотношений с использованием сопряженных переменных 39
2.4. Использование метода виртуальной нагрузки для анализа чувствительности статически нагруженных систем, моделируемых МКЭ...43
2.5. Использование шаговых процедур интегрирования динамических уравнений МКЭ для получения динамических откликов и нестационарных коэффициентов чувствительности 44
2.6. Особенности использования матричных методов анализа чувствительности в алгоритмах с локальными и интегральными ограничениями 52
Глава 3, Решение задач оптимизации формы статически и динамически нагруженных упругих тел при жесткостных ограничениях 71
3.1. Общие положения задач оптимизации формы 71
3.2. Оптимизация упругих стержней 76
3.3. Оптимизация упругих балок 82
3.4. Оптимизация упругих пластин 91
Глава 4. Разработка алгоритмов решения и решение задач оптимизации и анализа оптимальных проектов составных конструкций 113
4.1. Постановка задачи оптимизации составной конструкции 113
4.2. Оптимизация тестовых балочных и пластинчато-стержневых моделей сложных систем 120
Глава 5. Оптимизация настила внутреннего помещения подводной лодки, нагружаемого статически и динамически весом конструкции и оборудования 128
5.1. Построение конечно-элементной модели и определение набора параметров проектирования 128
5.2. Решение задач оптимизации конструкции и анализ оптимальных вариантов 134
Заключение 138
Литература 140
Приложения 151
- Методы расчетного оптимального проектирования судовых конструкций
- Алгоритм метода оптимизации на основе удовлетворения необходимых условий оптимальности
- Оптимизация упругих стержней
- Оптимизация тестовых балочных и пластинчато-стержневых моделей сложных систем
Введение к работе
В современных условиях вопросы рационального и оптимального проектирования судовых конструкций в значительной степени определяют конкурентоспособность продукции судостроительного производства.
Полный спектр внешних воздействий на судовые конструкции не ограничивается статическими и стационарными вибрационными нагрузками Для ряда конструкций расчетными нагрузками, отклики на которые определяют надежность, являются нестационарные воздействия, возникающие при слеминге, взрыве, столкновении, посадке на мель. Применение современных методов оптимизации при проектировании таких конструкций невозможно без учета их поведения в условиях динамических воздействий.
На сегодняшний день при проектировании, в частности, подводных лодок, весьма остро стоит вопрос снижения материалоемкости корпусных конструкций Практически отсутствуют специальные работы по проектированию внутренних корпусных конструкций. Между тем внутренние конструкции подводных лодок составляют до 30% массы всего корпуса. Уменьшение массы конструкций позволяет: использовать ДУ меньшей мощности, что снижает шумность; разместить дополнительное оборудование и вооружение; снизить потребность в использовании дорогостоящих сплавов Проектирование внутренних конструкций типа перекрытий (настилов) по традиционным балочным схемам с использованием статических и квазистатических подходов не позволяет эффективно решить этот вопрос. Необходимы- переход к более подробным моделям МЮ, пригодным для точного расчета нестационарных колебаний сложных конструкций и методики, позволяющие учитывать параметры этих откликов при оптимизации.
Значительное повышение в этом случае размерности задач затрудняет, а в большинстве случаев делает невозможным использование прямых поисковых методов математического программирования Высокая нелинейность задач не позволяет применять методы линейного программирования.
Актуальность темы определяется, таким образом, во-первых, необходимостью развития математических методов оптимизации проектируемых конструкций, что может быть удовлетворено применением т н непрямых методов, основанных на удовлетворении условий оптимальности, получаемых методами вариационного исчисления. Во-вторых, ещё недостаточно реализованы в существующей практике преимущества и возможности расчета динамики конструкций при нестационарных воздействиях по МКЭ.
Цель и задачи работы. Целью работы является повышение качества расчета нестационарного напряженно-деформированного состояния судовых корпусных конструкций, а также реализация нового, единого подхода к оптимизации тел и сложных конструкций при различных эксплуатационных воздействиях Подход сочетает непрямые методы оптимизации, матричные методы анализа чувствительности и метод конечных элементов.
Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи'
разработка расчетных схем и конечно-элементных моделей корпусных конструкций с различной степенью идеализации;
совершенствование существующих методов однокритериальной оптимиза ции конструкций при ограничениях на параметры статического деформированного состояния и разработка новых методов, позволяющих учитывать ограничения на параметры нестационарного динамического состояния; і—
і РОС НАЦИОНа.
З } вИБЛИОТЕК.
| СПетср&рг
» О»
совершенствование методов оптимизации формы упругих тел (стержней, балок и пластин переменной толщины) при ограничениях на параметры динамического напряженно-деформированного состояния;
разработка компьютерных программ для оптимизационных расчетов конструкций при статических и динамических нагружениях с использованием непрямых методов,
оптимизация простых и составных балочных и пластинчато-стержневых моделей конструкций при различных активных ограничениях, граничных условиях и нагружениях,
анализ оптимальных вариантов, обобщение полученных данных и оформление их в виде рекомендаций по стратегии оптимального проектирования внутренних конструкций
Научная новизна. Среди основных положений, разработок и результатов, представленных в диссертации, новыми являются следующие
применен универсальный подход к оптимизации упругих тел и составных конструкций для статических и нестационарных динамических нагружений;
впервые для нестационарного анализа чувствительности моделей судовых конструкций использован метод прямого дифференцирования шаговых процедур интегрирования по параметрам проектирования;
показано, что характер распределения рамных подкреплений на ранних проектных стадиях может быть определен оптимизацией упрощенных до непрерывных тел моделей конструкций;
показано, что в ряде случаев выбор в качестве одного активного оіраничения параметров динамического деформированного состояния улучшает характеристики проекта по другим параметрам состояния, уменьшая количество расчетов;
разработаны оригинальные программы, позволяющие внедрить новые методы оптимизации в универсальные расчетные пакеты
Практическое значение полученных результатов. Практическую ценность диссертационной работы представляют такие её результаты.
методика оптимизационного расчета НДС стержней, балок, пласгин и перекрытий, реализованная в виде программного комплекса;
выработанные рекомендации по оптимальному проектированию судовых корпусных конструкций.
Диссертация выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ в соответствии с планами Министерства образования РФ Работа находится в русле исследований, ведущихся кафедрой строительной механики корабля СП6ТМТУ, по созданию новых и совершенствованию существующих методов математической оптимизации конструкций судовых корпусов.
Производится внедрение результатов в практику судостроения с целью улучшения качественных показателей и повышения эффективности проектирования судов Отдельные результаты диссертации использованы ФГУП «Адмиралтейские Верфи» при работе над проектом 1650 Применение новой методики проектирования позволяет изменить ряд задействованных в проекте параметров профилей и толщин, что снижает общий вес конструкции внутреннего настила в проекте на 5-7%. Кроме того, положения методики и алгоритмы используются ФГУП «ЦКБ МТ «Рубин» при проведении дополнительных оптимизационных расчетов конструкций, для которых ранее не учитывались нестационарные ограничения
Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены
на научно-технических семинарах кафедры строительной механики корабля
СПбГМТУ (2002, 2003 гг.);
на научно-технических конференциях:
«МОРИНТЕХ-2000» (г.Санкт-Петербург, сентябрь 2000г.),
«ОПТИМ-2001» (г.Санкт-Петербург, ЦНИИ ТС, ноябрь 2001 г ),
по строительной механике корабля памяти академика Ю А Шиманского (г.Санкт-Петербург, ЦНИИ им. А.Н. Крылова, декабрь 2001 г.);
«МОРИНТЕХ-ЮНИОР-2002» (г.Санкт-Петербург, октябрь 2002г ),
по строительной механике корабля памяти профессора П.Ф Папковича (г.Санкт-Петербург, ЦНИИ им. А.Н. Крылова, декабрь 2002 г ),
«Кораблестроительное образование и наука-2003», (г. Санкт-Петербург, СПбГМТУ, май 2003 г.)
Материалы диссертационной работы в полном объеме доложены и обсуждены на международной конференции «Бубновские чтения», посвященной 100-летию кафедры строительной механики корабля СПбГМ'ГУ (г. Санкт-Петербург, 18-19 ноября 2004 г.) и на научном семинаре кафедры «Строительная механика корабля» СПбГМТУ (г. Санкт-Петербург, 16 мая 2005 г.).
Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 10-ти публикациях. Структура диссертации Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов, списка литературы и приложений. Общий объем работы 180 страниц, в том числе 150 страниц основного текста, 32 рисунка, 17 таблиц, список использованных источников из 154 наименований и 5 приложений на 30 страницах
Методы расчетного оптимального проектирования судовых конструкций
Разработка вопросов оптимизации судовых корпусных конструкций, в том числе - перекрытий, с использованием различных оригинальных методик началась в конце 60-х - начале 70-х гг [19], [129], [28], [74], [12], [106], [13], [93], [92], [115], [73], [70], [59], [60]. Ряд разработанных методик базировался на неуниверсальных методах расчета параметров состояния, в том числе - жестких требованиях Регистра, что затрудняло получение значительного эффекта от оптимизации. Несистематизированно использовались развивавшиеся в то время методы математического программирования.
Развитие методов математического программирования как методов решения нелинейных оптимальных задач с большим количеством переменных и при большом количестве ограничений вкупе с параллельным развитием универсальных методов расчета сложных статически неопределимых конструкций позволило для большинства задач полностью формализовать переход от задачи оптимального проектирования статически нагруженных конструкций к задачам математической оптимизации. Исследование сходимости методов поиска экстремумов целевых функций, разработка стратегий поиска глобальных оптимумов с использованием локальной оптимизации привели к появлению стандартных методик и программ для ЭВМ. Применимость этих методик ограничивалась только возможностями вычислительной техники. Невозможность быстрого выполнения большого количества расчетов сложных, подробно идеализированных систем оставила актуальными вопросы упрощения конструктивных моделей, вопросы снижения количества активных ограничений, вопросы разработки непрямых итерационных методов оптимизации. Развитие универсальных методов расчета параметров динамической жесткости, динамической прочности и устойчивости потребовало в значительной степени больших вычислительных ресурсов, чем для решения задач оптимизации со «статическими» ограничениями.
Решение перечисленных проблем в оптимизации судовых конструкций последовательно рассмотрено в ряде практических работ А.А. Родионова [108], [104], [105], [109], [113ІЛП4], [112]. Основные направления совершенствования существовавших подходов к оптимизации конструкций корпуса определены в первых же работах [108]: совершенствование и универсализация методов расчета НДС с учетом не учитываемых ранее факторов, установление обобщенных функциональных (матричных) зависимостей между предельными значениями параметров НДС и переменными проектирования, применение систематических методов поиска переменных проектирования на базе методов математического программирования, сокращение времени поиска оптимальных решений путем введения двух- и более многоуровневой оптимизации. На сегодняшний день, следует отметить, эти направления практически не изменились. В задаче оптимизации бортового набора транспортных судов для расчета НДС применен МКЭ, что позволило учесть деформацию перекоса поперечных сечений, на первом уровне оптимизации параметрами проектирования являются только моменты инерции поперечных сечений связей, что сокращает размерность задачи, для её решения используется метод переменной метрики с квадратичной аппроксимацией функции цели и ограничений, что позволяет иметь явную зависимость этих функций от параметров проектирования. Сведение условной аппроксимированной задачи к безусловной выполняется с использованием штрафных функций. На втором уровне производится решение ряда изопериметрических задач по определению размеров сечений, дающих минимальную массу конструкции при сохранении определенных выше моментов инерции. Успешность применения описанного подхода привела к разработке первых универсальных программ оптимального проектирования широкого класса конструкций типа перекрытий [113] по массе с ограничениями по прочности и жесткости, где были реализованы все упомянутые принципы. Впервые постановка задачи не зависит от количества БГН и ПС, вида нагрузки. Здесь впервые предложено производить оптимизацию на верхнем уровне по жесткости, а не по прочности, как в предыдущей работе, на основе анализа активности ограничений для данного класса конструкций. Для сокращения требуемых объемов памяти в качестве метода расчета НДС на первых этапах применен классический метод раскрытия статической неопределимости с использованием коэффициентов влияния (метод сил), усовершенствованный сдвиговой моделью изгиба балок, в дальнейшем в окончательно реализован МКЭ. Двухуровневая оптимизация на первом уровне производилась различными методами нелинейного программирования, наиболее приемлемым был признан метод Пауэлла [131]. Невысокие на тот момент возможности вычислительной техники не позволяли использовать градиентные методы, поэтому приходилось производить исследования эффективности методов, не требующих информации о производных целевой функции и ограничений. Подробное рассмотрение вопроса проектирования связей перекрытия на 2-м уровне произведено в [114]. Отмечено, что при отсутствии требований к соотношениям размеров поперечных связей функция цели является аддитивной, то есть применение двухуровневого подхода дает истинный оптимум. Также в данной работе как в одной из первых указано, что методы /t оптимизации позволяют вырабатывать проектные рекомендации путем исследования решений оптимизационных задач при различных постановках, то есть методы оптимизации являются средством исследования, а решения указанных задач не всегда являются конечной целью реального проектирования. Очевидно, что с возрастанием требований к точности определения параметров надежности следует переходить к моделям с более низкой степенью идеализации реальных конструкций. Для МКЭ это означает
Алгоритм метода оптимизации на основе удовлетворения необходимых условий оптимальности
Известны две группы методов решения поставленной задачи (2.1.10.) -(2.1.13.) [ПО]. К первой группе относятся методы непосредственного поиска экстремума целевой функции в пространстве проектирования — методы
математического программирования, подробно рассмотренные в ряде работ [80], [131], [132], ко второй — методы на основе удовлетворения условий оптимальности [3], [110].
Основным достоинством подхода к решению задачи оптимального проектирования с использованием методов первой группы является значительная формализация задачи, позволяющая абстрагироваться от реального объекта и рассматривать задачу как чисто математическую, что обусловило много промышленных программных реализаций этих методов [141]. Ряд достаточно эффективных методик построен на линеаризации задач нелинейного программирования, на сочетании аппроксимационных методов с методами линейного и нелинейного программирования [28], [93]. Общими и значительными недостатками этой группы методов являются большое количество вычислений, особенно при использовании градиентных методов и сложность нахождения глобального оптимума, в особенности в задачах с динамическими ограничениями.
В качестве критерия окончания оптимизационного поиска при применении прямых методов решения поставленной выше задачи математического программирования могут выступать необходимые условия оптимальности, формулируемые при постановке задачи в вариационной или дифференциальной форме. Однако эти условия могут служить и основой для построения второй группы методов, иначе называемых непрямыми.
Построение условий оптимальности на базе принципа максимума Понтрягина, как показано в ряде работ, является задачей сложной, в особенности для многомерных моделей пространственных тел и конструкций, для которых активные ограничения на параметры состояния определяются с помощью нелинейных и динамических матричных уравнений. Для поставленной задачи условия оптимальности могут строиться напрямую как условия стационарности (равенства нулю первой вариации) модифицированного функционала Лагранжа (суммы функционала качества J и функционалов ограничений ./ ): и связывают между собой переменные проектирования и вектор множителей Лагранжа //, количество которых равно числу активных ограничений на параметры состояния. В случае одного активного ограничения определению подлежит один множитель Лагранжа. Количество условий оптимальности равно числу переменных проектирования. Переход от вариационной формулировки условий оптимальности к эквивалентной дифференциальной задаче для управляющей функции возможен, в частности, с прямым использованием теоремы Куна-Таккера [4], [80], [110]. - соответственно коэффициенты чувствительности функции цели/и функций активных ограничений на параметры состояния, /4 - множители Лагранжа. Исходя из формы условий оптимальности (2.2.2.), можно построить рекуррентные соотношения для итерационного вычисления вектора параметров проектирования л:, минимизирующего функцию цели, т.е. для итерационного решения дифференциального уравнения (2.2.2.). Параметрами рекуррентных соотношений являются показатели степени и линейные множители, определяющие размер шага итерационного поиска. Опуская несложные алгебраические преобразования [110], окончательно получаем из (2.2.2.) выражения для вычисления х и /л для текущей итерации в нелинеаризованной форме: функция і-го параметра состояния, gt - ее предельно возможное значение.
Общая схема алгоритма оптимизации с применением полученных условий применима для любых видов параметров проектирования, состояния и функции цели. Оптимизация по параметрам надежности конструкций является прежде всего оптимизацией по параметрам напряженно-деформированного состояния, динамическим и предельным характеристикам. Наибольший эффект и универсальность в применении непрямых методов для сложных многомерных конструкций можно получить применением этих методов в сочетании с универсальными численными методами расчета параметров НДС, в первую очередь - с методом конечных элементов. Блок-схема оптимизационного алгоритма имеет вид (рис. 2.2.1):
Заметим, что в приведенном алгоритме после однократной модификации всех переменных проектирования выполняется полный расчет конструкции для определения новых значений переменных состояния. Однако, если предположить, что параметры состояния и коэффициенты чувствительности с достаточной точностью характеризуют конструкцию в некотором интервале изменения переменных проектирования, можно несколько раз повторять последовательность шагов 6 и 7 без полного расчета конструкции, что особенно важно в случае нелинейных или динамических расчетов [110].
Очевидно, что в силу возможности независимого учета произвольного количества ограничений путем введения соответствующего количества множителей Лагранжа (т.е. в силу однотипности выстраиваемых в этом случае условий оптимальности), для отработки алгоритмов достаточно рассматривать задачи с малым количеством активных ограничений, например, одним. Кроме того, определение рациональных стратегий оптимального проектирования путем анализа оптимальных вариантов предусматривает на его основе установление минимально необходимого для корректной постановки количества активных ограничений.
Основную трудность в работе по приведенному алгоритму представляет получение коэффициентов чувствительности (компонентов градиентов функций цели и ограничений в пространстве параметров проектирования). Компоненты градиента функции цели вычисляются достаточно просто и могут в случае линейно зависимой от параметров проектирования функции цели быть постоянными. Сложнее вычисляются компоненты градиентов функций ограничений. Наиболее общим подходом к вычислению коэффициентов чувствительности (и вообще одним из способов построения условий оптимальности) является подход с использованием сопряженных функций [4]. Используя, например, интегрирование по частям уравнений в вариациях, можно исключить вариации параметров состояния из вариационной записи условия оптимальности и получить условия оптимальности как коэффициенты при вариациях параметров проектирования в указанных условиях.
Вариационный подход используется для сведения оптимизационной задачи к замкнутой краевой задаче для дифференциальных уравнений (в общем случае - матричных). Пусть для упругой статически нагруженной системы (тела, конструкции) функция состояния и(х) удовлетворяет в области Q дифференциальному уравнению и краевым условиям на границе S:
Оптимизация упругих стержней
Используемая в качестве тестовой простейшая одноосно деформируемая упругая система, каковой является стержень, моделируется двухузловыми конечными элементами [100]. Продольные перемещения аппроксимируются здесь линейными зависимостями. Производные от матриц жесткости и масс КЭ легко теперь получить аналитически в силу линейной зависимости от параметра проектирования: - П Из (3.2,9.), (3.2.10) видно, что влияние на изменение коэффициентов чувствительности для стержней будут оказывать только перемещения проекта на текущей итерации. Стержень (рис. 3.2.2.) нагружен равномерно распределенной продольной нагрузкой интенсивностью q и может иметь два типа граничных условий - неподатливое закрепление обоих концов (симметричная модель в силу одинакового характера работы стержня на сжатие и на растяжение) либо одного конца (несимметричная модель). Ограничения по жесткости накладываются: 1. В случае локального ограничения - на величину максимального продольного статического или динамического перемещения одного из узлов модели, определяемого на каждой итерации. 2. В случае интегрального ограничения - на величину корня из осредненного квадрата всех узловых продольных перемещений. используются площади А, поперечных сечений призматических конечных элементов, на которые разбит стержень, то есть зависимость (2.5.15.) не используется. Количество элементов произвольно, в зависимости от него универсальная автоматическая процедура выполняет построение матрицы индексов, учитывающей тип граничных условий. Ограничения на переменные проектирования заданы в виде: узловых нагрузок всей системы строятся также автоматически с использованием универсального цикла просмотра матрицы индексов. Алгоритм построения глобальных (для всей системы) матриц: 1. Заполнение нулями всей матрицы: Оптимизация стержней произведена при: 1) двух видах граничных условий: а) симметричные: u(0)=u(L)=0, б) несимметричные: и(0)=0 N(L)=0\ 2) двух типах постановок задач (характеров ограничений): а) минимизация массы при локальном ограничении перемещения и(х) согласно введенным определениям (2.6.2.), (2.6.3.). б) минимизация массы при интегральном ограничении перемещения и(х) согласно введенным определениям (2.6.7.), (2.6.8.). 3) двух видах нагружения: а) статическое, б) динамическое вида (З.1.1.). В качестве критерия останова счета принято конечное число итераций. Рассмотрим результаты исследования алгоритмов оптимизации. Управляющие параметры оптимизационных процедур, дающие устойчивое сходящееся решение всех задач при 50 итерациях, т.е. достаточно быстро, следующие (согласно (2.2.5) и (2.2.6)): Релаксационные множители не понадобились (Д/=/), все алгоритмы в силу простоты модели сходятся достаточно хорошо. Линеаризация форм (2.2.6.) не требуется, однако, лишь в простейшем случае — с фиксированным статическим ограничением. Необходимость её практически во всех случаях связана с конечностью разрядной числовой сетки используемого программного продукта и появлением весьма больших или весьма малых значений множителя Лагранжа, определяемых как машинный ноль. Характер сходимости, как показано в ряде расчетов, зависит от формы рекуррентных соотношений, «затухание» и «частота» оптимизационного процесса различны при разных формах. Исследовано влияние локализации ограничения на результаты оптимизации и скорость сходимости алгоритмов. Наилучшей сходимостью обладают алгоритмы с интегральными ограничениями. Алгоритмы с поитерационным поиском локального максимума ограничения (2.6.2.)-(2.6.3.) в большинстве случаев сходятся к результатам оптимизации с интегральным ограничением (2.6.7.)-(2.6.8.), но при гораздо большем числе итераций. Локализация ограничения оказывает влияние на форму оптимальных проектов. В случае локальных ограничений на динамическую жесткость более локализовано и накопление масс в оптимальных стержнях. Оценка влияния плотности конечно-элементной сетки на целевую функцию и скорость сходимости произведена построением функций влияния для моделей с интегральными ограничениями. Приближенно определим здесь также достаточное число конечных элементов, дающее решение, близкое к «аналитическому», для последующего анализа оптимальных вариантов. Построим зависимости выигрыша массы оптимальных проектов от количества задействованных КЭ (рис. 3.2.3. - 3.2.4., сплошной линией -для проектов с симметричными г.у., пунктиром - с несимметричными г.у., ММ- количество КЭ): Рис. 3.2.5. Оптимальные варианты стержней, а) - исходный призматический; б) - активное ограничение на статическое перемещение; в) - активное ограничение на динамическое перемещение. Как видно из рис. 3.2.5., конфигурация оптимальных проектов при статическом и динамическом нагружении различна. Для симметричных г.у. при ограничении статической жесткости накопление материала происходит в местах минимальных перемещений, в точках максимального перемещения значения параметра проектирования минимальны. В случае ограничения динамической жесткости упругие стержни стремятся к накоплению массы в узлах с наибольшими перемещениями при незначительном увеличении опорной жесткости, т.е. система стремится к превращению в одностепенную систему «сосредоточенная масса + пружинная жесткость». Исследование полных откликов показывает, что в оптимальных вариантах с ограничением динамических перемещений активны и более высокие формы, чем первая. Для оценки изменения «неактивных» для данной постановки ограничений, соответствующих оптимальным в принятых условиях вариантам (рис. 3.2.5.), сформирована таблица 3.2.1.
Оптимизация с ограничением статического перемещения дает наибольший выигрыш по массе и наибольшие же отклонения в опасную сторону по максимальным динамическим напряжениям; также максимальны в этом случае отклонения в сторону повышения по низшей частоте и по динамическому перемещению — в опасную сторону. Следует отметить значительное (20-25%) снижение статической напряженности в оптимальных при заданном ограничении вариантах. Таким образом, оптимизация при единственном ограничении такого вида эффективна с точки зрения жесткости и прочности стержневых конструкций, для которых динамические нагрузки не являются расчетными. 2) Оптимизация с ограничением динамического перемещения приводит при незначительно меньшем выигрыше массы к отклонениям по статическому прогибу в опасную сторону и снижению низшей частоты при сохранении значений высших частот. Значительное повышение 2-й частоты в оптимальном варианте 1,в (табл. 3.2.1) говорит об активности в динамическом отклике не одной, а двух первых форм колебаний. Увеличивая длину оптимизируемых изначально призматических стержней при сохранении постоянным времени действия внешней нагрузки, либо варьируя временем нагружения, для оптимальных вариантов с ограничением динамических перемещений можно получить в откликах и большее количество активных форм, при этом возрастает число «сосредоточенных масс», т.е. пучностей в конфигурации оптимального стержня (рис. 3.2.6.). Так, уменьшая наполовину время действия внешней нагрузки в варианте б) по сравнению с а), рис.3.2.6., получаем вместо 3-х 5 зон накопления материала. Это говорит о существовании связи формы оптимального проекта с количеством активных в отклике форм, которое, в свою очередь, зависит от локализации и длительности внешнего воздействия, различные
Оптимизация тестовых балочных и пластинчато-стержневых моделей сложных систем
Ставим задачу проектирования внутренней корпусной конструкции как задачу оптимизации массы пространственной конечно-элементной модели при единственных активных интегральных ограничениях статической либо динамической жесткости. Модель настила в самом первом приближении идеализируем простейшей балочной системой: свободно опертой по контуру моделью двух пересекающихся связей (см. рис. 4.2.1.,а), выделенных из перекрытия и нагруженных статически равномерно распределенной нагрузкой 554 Н/м и динамически - импульсом этой нагрузки вида (3.1.1.) с длительностью, дающей наибольшую амплитуду отклика. Взаимно перпендикулярные призматические связи имеют длины Ll=5.35 м и L2—6.6m. Приведенная модель позволяет считать каждую из связей подконструкцией [110]; результаты анализа оптимальных вариантов, характеризующие данную модель, могут быть отчасти распространены на конструкции регулярных перекрытий с постоянными значениями параметров жесткости в одном направлении. Для простоты тестовая модель идеализирована лишь четырьмя конечными элементами балочного типа с 4 степенями свободы в плоскости изгиба каждого элемента. Общее количество степеней свободы системы, т.о., равно 5 и позволяет быстро производить большое количество расчетов, не отражаясь на качественном характере результатов. Параметры проектирования - площади Ь,і2 поперечных сечений элементов в направлении z -й связи, ограниченные неравенством и однозначно связанные с моментом инерции сечения, что позволяет производить оптимизацию и в случае ограничения на параметр динамического состояния. Движение балочной системы рассматривалось на протяжении 5 первых периодов низшей собственной частоты исходного варианта с параметрами проектирования hjj=0,01 м . Следует отметить, что использование малого количества элементов в модели делает трансверсально-подвижным только её центральный узел, а значит, используем локальное ограничение, совпадающее с интегральным, что упрощает алгоритм. Характер ограничения, как и в задачах оптимизации формы — изопериметрический, т.е. в качестве пороговых значений статических и динамических норм прогибов используются таковые, полученные для исходного проекта. На рис. 4.2.1. (б, в) представлены оптимальные варианты балочной системы. При статической оптимизации жесткость системы в оптимальных по массе вариантах сосредоточена в более короткой связи, а жесткость более длинной связи выходит на минимальное значение (рис. 4.2.1., б). Несколько иной является картина при динамическом ограничении. Поперечные сечения связей оптимального варианта при заданном характере нагрузки близки по значениям площадей, что связано с влиянием на динамический прогиб не только геометрических, но и массовых характеристик; большую жесткость также имеет короткая связь (рис.4.2.1.,в). Рис. 4.2.1. Тестовая модель простой балочной системы При выигрыше в 40% массы значительные изменения (до 900%) в опасную сторону максимальных статических и динамических напряжений «статически» оптимального проектного варианта говорят о некорректности постановки задачи проектирования без введения активных ограничений на эти параметры состояния, несмотря на удовлетворительные показатели по динамической жесткости. Вариант же, оптимальный при ограничении динамического прогиба, незначительно отличается по другим параметрам состояния от эквивалентного при выигрыше массы 9%. Таким образом, для данной упругой системы рациональным является решение задачи оптимизации при ограничении на динамический прогиб с заданием незначительного коэффициента запаса для удовлетворения остальных, неактивных в данной постановке ограничений. Для получения приемлемых улучшенных вариантов в этом случае можно предварительно определить путем проведения нескольких расчетов динамический прогиб исходного варианта при заданном уровне динамических напряжений. Если этот прогиб будет меньше, чем заданное ограничение по жесткости (прогибу), нужно использовать его в качестве единственного активного ограничения с назначенным запасом. В противном случае в качестве этого ограничения будет выступать заданное. Незначительное (на 2%) увеличение значений параметров проектирования модели, оптимальной при динамическом ограничении, дало выигрыш 7.5% массы при удовлетворении и нормы статического прогиба.
Приводимый пример показывает: с помощью оптимизации можно быстро определить направления, в которых следует производить изменение параметров проектирования для получения улучшенных конструкций.
С использованием разработанных алгоритмов решены задачи оптимизации пластинчато-стержневых конструкций (рис. 4.2.2.) по массе с аналогичным активным ограничением на максимальный статический и динамический прогиб. В силу малого количества параметров проектирования время счета значительно меньше, чем при оптимизации пластин. Алгоритмы демонстрируют значительно более быструю сходимость по сравнению с методами прямого поиска. Решены задачи оптимизации следующих моделей:
