Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели мультисервисных сетей с потерями 13
1.1. Особенности анализа МСС 13
1.2. Модель МСС с одноадресными и многоадресными соединениями 18
1.3. Модель отдельного звена МСС и ее вероятностные характеристики 30
ГЛАВА 2. Методы анализа и расчета моделей МСС 40
2.1. Модель звена МСС с резервированием ресурсов 40
2.2. Рекуррентный метод расчета вероятностных характеристик МСС с одним источником многоадресной рассылки 56
2.3. Приближенный метод просеянной нагрузки для расчета вероятностей блокировок в МСС 68
ГЛАВА 3. Анализ области применения методов расчета вероятностных характеристик 71
3.1. Организация численного эксперимента 71
3.2. Результаты численного анализа вероятностных характеристик отдельного звена 80
3.3. Метод Монте-Карло для оценки вероятностных характеристик модели МСС 89
3.4. Применение метода просеянной нагрузки к численному анализу МСС 97
3.5. Область применения методов расчета вероятностных характеристик 102
Заключение 105
Библиография
- Модель МСС с одноадресными и многоадресными соединениями
- Модель отдельного звена МСС и ее вероятностные характеристики
- Рекуррентный метод расчета вероятностных характеристик МСС с одним источником многоадресной рассылки
- Результаты численного анализа вероятностных характеристик отдельного звена
Введение к работе
Современный этап развития сетей связи характеризуется
конвергенцией телекоммуникационных, компьютерных и
информационных технологий и переходом к предоставлению полного спектра инфокоммуникационных услуг - передаче речи, данных, мультимедиа - в рамках одной мультисервисной сети связи (МСС) [2,10,15,18,21,40,49], построенной в соответствии с концепцией сети связи следующего поколения (Next Generation Network, NGN) [62,99]. Переход операторов к NGN сопровождается стабильно высоким спросом со стороны абонентов на традиционные услуги связи и активным внедрением новых услуг. Услуги МСС существенно отличаются друг от друга своими требованиями к составу и объему сетевых ресурсов, в первую очередь - к ширине полосы пропускания (ШПП) звена сети. Наиболее ресурсоемким в отношении ШПП является предоставление услуг, связанных с передачей видеопотоков, например телевещание и видео по запросу.
Необходимость соблюдения надлежащего уровня качества обслуживания при предоставлении подобных услуг поднимает проблему обеспечения достаточного количества ресурсов для передачи трафика на звеньях МСС [18,21,95]. Одним из эффективных подходов к решению данной проблемы является применение механизма многоадресной передачи данных, или мультивещания (англ. multicast) [61], ставшего в последние годы неотъемлемой частью основных современных технологий сетевого транспорта, в том числе IP (RFC 2460) и MPLS (RFC 3031). Мультивещание обеспечивает экономию ШПП звеньев сети при одновременной передаче документа или потока данных нескольким получателям, поскольку информация в этом случае передается посредством соединения «точка-много точек» без дублирования данных на общих участках маршрутов.
Другим требованием, которое важно соблюдать при предоставлении в рамках МСС таких услуг, как телефония, телеконференции и теле- и радиовещание, является минимизация задержки передачи данных. В условиях ограниченных сетевых ресурсов соблюдение данного требования приводит к необходимости использования в МСС, функционирующей по принципу коммутации пакетов, естественного для сетей с коммутацией каналов механизма контроля доступа [41,42,58,76]. Такой механизм позволит сети во избежание деградации качества обслуживания принимать запросы пользователей на предоставление услуг только при наличии достаточного количества свободных ресурсов.
Таким образом, в МСС наряду с традиционными одноадресными соединениями «точка-точка» для передачи данных применяются многоадресные соединения «точка-много точек», которые позволяют снизить остроту дефицита ресурсов звеньев сети. Тем не менее, в силу непрерывного роста объемов трафика благодаря внедрению новых услуг [например, 20,33,49] и жестких требований услуг к QoS (Quality of Service), основным показателем качества обслуживания в МСС остается вероятность блокировки запроса пользователя, возникающей из-за нехватки ресурсов, в первую очередь - по причине отсутствия достаточного количества свободных единиц ШПП на тех звеньях сети, через которые устанавливается соединение [1,2,11,21,60,69,73,82,83,95 и др.]. Поэтому в современных условиях, с учетом высокой конкуренции между операторами на рынке услуг связи, внимание многих специалистов и исследователей обращено к проблеме обеспечения требований к показателям качества обслуживания МСС с одноадресными и многоадресными соединениями. Данная проблема порождает класс задач, связанных с разработкой и исследованием моделей для эффективного анализа показателей QoS МСС, важное место среди которых занимает вероятность блокировки запроса пользователя на установление одноадресного или многоадресного соединения из-за отсутствия достаточного количества свободных ресурсов на звеньях сети. Решение
этих задач требует применения основополагающих результатов в области теории вероятностей и случайных процессов [8,30,74], теории массового обслуживания [4,6,8,13,43,53], теории сетей массового обслуживания [7,16,57,74,78,97], теории телетрафика [1-3,5,6,11,17,21,30,35,63,65,84,88, 94,95], а также статистического моделирования сложных систем [9,14,19,32,55]. Фундаментальный вклад в эти области внесли российские ученые Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, В.М. Вишневский, Б.В. Гнеденко, В.А. Наумов, А.П. Пшеничников, Б.А. Севастьянов, С.Н. Степанов, А.Д. Харкевич, М.А. Шнепс-Шнеппе и некоторые другие. Существенный вклад в создание методов анализа МСС внесли такие зарубежные исследователи, как И. Виртамо, В. Иверсен, Дж. Кауфман, Ф. Келли, Л. Клейнрок, Дж. Роберте, К. Росс и др.
Для исследования функционирования отдельного звена МСС применяются методы анализа многопотоковых систем массового обслуживания (СМО) сложной структуры, известные по работам [2,4,23,66,70,77,93]. Разработке и методам анализа вероятностных моделей МСС с одноадресными соединениями посвящены монографии [11,15,21,63,95]. В работах [51,72,83,102] рассматривается применение метода просеянной нагрузки (англ. reduced load approximation) к расчету вероятностей блокировок в МСС с одноадресными соединениями. В статьях [50,64,82,86,101] разработаны эффективные методы точного расчета данных вероятностей путем применения различных подходов к декомпозиции задачи. Анализу сетей с резервированием канальных ресурсов посвящены работы [37,75,87,88,91]. Исследование вероятностных характеристик МСС с многоадресными соединениями начинается в середине 1990-х гг. со статьи [48], в которой рассматривается модель сети мультивещания с несколькими источниками рассылки, производящими многоадресную передачу видеоданных с разными уровнями качества. Авторами получены выражения для некоторых характеристик производительности сети, а также представлен приближенный метод расчета вероятностей блокировки установления
I соединения на основе метода просеянной нагрузки. В последующие годы
работу по изучению МСС с многоадресными соединениями продолжили, главным образом, финские [67-69,79,89] и российские [12,24-26,56] исследователи. В [56,68] разработана модель отдельного звена сети мультивещания. В [69] представлен метод просеянной нагрузки на основе модели отдельного звена сети [68]. Применению данного метода к анализу многоадресных соединений также посвящена работа венгерских исследователей [52], однако представленная здесь модель не учитывает особенностей функционирования мультивещания на звеньях сети. В работах [24,89] построен алгоритм свертки для точного вычисления вероятностей блокировки в сети с одним источником. В статье [79] рассматривается применение к анализу модели сети мультивещания метода Монте-Карло [14,32,55]. Исследованию сетей, где одновременно присутствует одноадресный и многоадресный трафик, посвящены работа [100], в которой предложен приближенный метод вычисления вероятностей блокировки установления соединения на трехслойном каскадном коммутаторе, а также статья [44], где модель звена сети мультивещания [68] расширена для учета одноадресных соединений и предложен рекурсивный алгоритм для вычисления вероятностей блокировки установления соединения.
Таким образом, актуальной является задача разработки и развития моделей и методов, предназначенных для исследования показателей качества обслуживания МСС и учитывающих особенности применяемых в них технологий и механизмов, таких как многоадресная передача, контроль доступа и резервирование ресурсов. В этой связи целью диссертационной работы является разработка точных и приближенных методов анализа и расчета вероятностных характеристик моделей МСС с одноадресными и многоадресными соединениями, включая разработку вычислительных алгоритмов, организацию и проведение вычислительного эксперимента.
Работа имеет следующую структуру. Первая глава посвящена разработке математической модели МСС с двумя типами соединений. Раздел 1.1 является вводным, здесь кратко обсуждаются особенности анализа современных МСС, очерчен спектр предоставляемых услуг и соответствующих видов трафика. В разделе 1.2 построена математическая модель МСС в виде обратимого марковского процесса (ОМП) с мультипликативным распределением вероятностей, получены выражения для пространства состояний модели и ряда ее вероятностных характеристик, включая вероятности блокировок одноадресных и многоадресных соединений, доказаны важные соотношения между вероятностными характеристиками модели. В разделе 1.3 построена модель отдельного звена МСС, получены выражения для коэффициента использования звена и других вероятностных характеристик, представлен эффективный метод их расчета на базе рекуррентных соотношений. Раздел 1.3 диссертации написан на основе публикаций с участием автора [29,96].
Модель МСС с одноадресными и многоадресными соединениями
Будем рассматривать сеть связи произвольной топологии, состоящую из некоторого числа узлов, соединенных звеньями. Пусть L - общее число звеньев сети, а (Р = {\,2,...,Ц - множество всех звеньев, занумерованных произвольным образом. Обозначим С, емкость /-звена. Если за единицу емкости звена принять величину одной передаточной единицы (англ. bandwidth unit; например, 64 кбит/с [2,21]), то С, представляет собой пропускную способность соответствующего канала связи.
Пусть в сети имеется несколько источников многоадресной рассылки, каждый из которых предоставляет пользователям конечное число услуг. По запросам пользователей источник передает информацию, соответствующую содержанию услуги, например транслирует выбранный пользователем телевизионный канал или данные видеоконференции. Если одна и та же услуга предоставляется одновременно нескольким пользователям, то информация на общих участках маршрутов передается без дублирования, то есть посредством единого многоадресного соединения. Таким образом, многоадресные соединения в сети могут быть установлены только между источником, который выступает в качестве отправителя данных, и одним или более пользователями в качестве получателей.
Многоадресные соединения имеют структуру дерева, корнем которого является узел подключения источника, а листевыми вершинами - узлы подключения пользователей. Такое дерево называют деревом мультивещания (англ. multicasting tree). Поскольку каждый пользователь сети может обращаться к источнику независимо от других пользователей, структура многоадресных соединений динамична: сделавший запрос на предоставление услуги пользователь будет подключен к активному дереву мультивещания, если эта услуга уже предоставляется другим пользователям, или инициализирует новое дерево мультивещания (имеющее пока лишь одну ветвь), если эта услуга в момент поступления запроса никому не предоставлялась.
Обозначим // = (1,...,5} множество всех источников в сети и Jts ={\,...,MS) - множество услуг, предоставляемых -источником. Пусть Ътч - число единиц емкости звена, требуемое для предоставления услуги те.Н,. Последовательность звеньев сети от узла подключения пользователя до источника будем называть физическим путем. Обозначим . = {1,...,?,} множество физических путей от -источника, г/рт с - множество всех звеньев /7-пути к -источнику, .yf ={pe.fs:le2 ps} - множество физических путей к -источнику, проходящих через звено / є (1, и if1 - {s є У: .f 0} - множество источников, предоставляющих услуги через /-звено.
Одноадресные соединения, в отличие от многоадресных, могут быть установлены между двумя произвольным узлами сети. Обозначим .Я = (1,2,..., } множество всех классов одноадресных соединений сети. Каждый класс соединений характеризуется двумя параметрами: маршрутом, то есть множеством звеньев сети, через которые устанавливается соединение, и требованием к емкости звеньев маршрута. Пусть Рк с (Р - маршрут, a dk - требование к емкости всех звеньев маршрута соединения -класса. Введем также множество Ж1 ={ке.Х :1е %} классов одноадресных соединений, маршруты которых включают /-звено.
На рис. 1.1 представлена схема мультисервисной сети с параметрами многоадресных и одноадресных соединений. Воспользуемся данным примером, для того чтобы пояснить введенные обозначения. Сеть состоит из пяти звеньев, следовательно У = {1,2,...,5}; на каждом звене надписана его емкость. На рис. 1.1.а) показаны параметры многоадресных соединений сети. Сеть имеет два источника, изображенных на рисунке цилиндрами, то есть .(/ = {1,2}, и четыре узла подключения пользователей, отмеченных треугольниками. Около каждого источника на рисунке указано множество предоставляемых им услуг .({, а также необходимое для предоставления каждой услуги число единиц емкости звеньев. Физические пути (штрихпунктирная линия) к первому источнику информации составляют множество .if = {1,2,3,4} и множества их звеньев имеют вид ,={1}, ,= {2}, ! , ={3,4} и У41={3,5}. Ко второму источнику ведут три физических пути, так как можно считать, что пользователь 3 подсоединен ко второму источнику напрямую, а не через звенья рассматриваемой сети, и . ={1,2,3}, при этом %г ={1,3,4}, %2 ={2,3,4} и %2 ={4,5}. Наконец, если рассматривать, например, третье звено, то через него проходят два физических пути к первому источнику: . 3={3,4}, и два ко второму источнику: . 3={1,2}. Деревья мультивещания от каждого из источников ко всем пользователям показаны на рис.1.2.
Модель отдельного звена МСС и ее вероятностные характеристики
Предположим, что в модели сети, представленной в разделе 1.2 диссертации, все звенья, кроме некоторого звена / , имеют неограниченные ресурсы для обслуживания запросов пользователей, то есть С,=оо для 1еУ\{1 }. Задача анализа блокировок в такой системе сводится к анализу сети, состоящей из одного звена / , с одним источником s , который предоставляет услуги из множества .tt= (J .({ , и множеством классов одноадресных соединений .# . Для удобства записи далее в этом разделе индексы / и s опускаются.
Функционирование звена МСС с двумя типами соединений будем описывать с помощью многопотоковой мультисервисной системы массового обслуживания, схематично изображенной на рис. 1.3.
На полнодоступную систему, состоящую из С = Сг приборов (единиц емкости звена сети) и не имеющую накопителя, поступают М =\.й\ потоков заявок типа I и К = X потоков типа II. Будем считать, что все М + К поступающих в систему потоков являются пуассоновскими и независимы в совокупности. Первая группа потоков (1-потоки) моделирует поступление запросов на установление многоадресных соединений. Если на момент поступления (І, ш)-заявки в системе нет ни одной заявки этого потока, то поступившая заявка принимается при условии наличия Ът свободных приборов и занимает их на случайное время, распределенное экспоненциально с параметром /лт и не зависящее ни от длительности обслуживания заявок других потоков, ни от процессов поступления. Все поступившие в течение этого интервала времени (I, т)-заявки принимаются на обслуживания без выделения дополнительных приборов, а по истечении указанного интервала одновременно покидают систему и Ът приборов освобождаются. Потеря заявки типа I происходит только в том случае, если при ее поступлении в системе нет заявок того же потока, а также нет достаточного количества X свободных приборов. Обозначим pm=-SL, где Л,,..., - интенсивности Mm входящих 1-потоков. Заметим, что согласно [56] параметры рх,...,рм связаны с интенсивностями потоков запросов пользователей на включение соответствующих логических путей в сети соотношением pm=ft(l + Pmp)-l,m = l,...,M. (1.21)
Потоки второй группы (П-потоки) соответствуют потокам запросов пользователей на установление через звено / одноадресных соединений. Поступившая (II, &)-заявка принимается на обслуживание, если на момент ее прихода в системе имеется dk свободных приборов. Принятая заявка занимает это число приборов на случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром кк и также не зависящее ни от длительности обслуживания заявок других потоков, ни от процессов поступления, после чего заявка покидает систему, освобождая dk приборов. Если на момент поступления заявки достаточного количества свободных приборов не оказывается, заявка теряется. Интенсивности vx,...,vK входящих потоков этого типа совпадают с интенсивностями соответствующих потоков запросов пользователей, ак= — . " Положим С = оо, в этом случае все поступившие в систему заявки принимаются на обслуживание и потери отсутствуют. Пусть случайный процесс {Ym(t),t 0}, m = 1,..., М, находится в состоянии 1, если в момент времени / 0 в системе обслуживается хотя бы одна (I,т)-заявка, и в состоянии 0 в противном случае. В [56] показано, что {Ym(t), / 0} является ОМП со стационарным распределением у xm(yJ = nYm(t) = yJ = -Z -, уте{0,Ц. (1.22)
Введем также случайный процесс, характеризующий П-потоки. Пусть Nk(t) - число (ИД)-заявок в системе в момент времени / 0, к = \,...,К. Известно [43], что процесс {Nk(t),t 0} также является ОМП, а его стационарное распределение имеет вид РМ = ГШ0 = пк} = &-е , щ є{0,1,2,...}. (1.23) Рассмотрим составной случайный процесс {2(0 = ( (0,.-, (0 ,(0,.., (0), 0}.
По построению {Z(t), / 0} является ОМП на множестве X = gx.V = {0,l}wx{0,1,2,...} и, как следует из формул (1.22) и (1.23), имеет стационарное распределение М К п„ m = G-\X)Y{pi»YP z = (y,n)eX, (1.24) где функция G(Q), аналогично предыдущему разделу, для любого множества Qci определяется соотношением М К пк G(Q) = Xn n 7 (1.25) следовательно нормирующая константа G(X) распределения процесса {Z(t), t 0} равна G(/) = e" YlQ+p.). (1.26)
Процесе {Z(t),t 0} с пространством состояний X и распределением вероятностей (1.24) описывает состояние рассматриваемой системы при С = оо. Обозначим с(г) число занятых приборов системы в состоянии z&X и заметим, что эта величина представима в виде м к c(z) = c(y,n) = b(y) + d(n) = ydbmyai + dknk, (1.27) т-\ 4=1 где Ь(у) и d(n) - число приборов, занятых в состоянии z = (y,n) заявками I- и И-потоков соответственно. Пусть теперь С «я и, следовательно, возможны потери заявок. Будем считать, что потерянные заявки обоих типов не оказывают влияние на интенсивность породившего их потока, то есть система функционирует с явными потерями. В этом случае функционирование системы описывает случайный процесс {Z(/), / 0}, являющийся сужением процесса {Z(t), t 0} на множество X = {zeX:c(z) Q. (1.28)
Как сужение обратимого процесса он также обратим [74], и, следовательно, справедлива следующая теорема.
Рекуррентный метод расчета вероятностных характеристик МСС с одним источником многоадресной рассылки
Как уже отмечалось выше, вычисление вероятностных характеристик модели, представленной в разделе 1.2 диссертации, непосредственно по формулам (1.10)-(1.12) подразумевает перебор пространства состояний (1.9), мощность которого \Х\ 2 NK, где N - наибольшее число одноадресных соединений одного класса, которые могут быть одновременно установлены в сети: N = maxNk, кеЖ Nk =max{nt є{0,1,2,...}:г = (0,п)є.ї}. В общем случае для сети с одноадресными и многоадресными соединениями значение нормирующей константы G(X) можно получить путем прямого перебора пространства состояний в соответствии с алгоритмом 2.1.
Алгоритм 2.1 (расчет нормирующей константы методом прямого перебора пространства состояний). Шагі. G -0 2 .i Шаг 2. для всех z = (x,n)e{0,l}M х х {0,1,2,...,Nk} выполнять кеЛ ШагЗ. если для всех 1е ? Z ь , ч» + d С, Шаг 4. moG G + Y\YiY[pm7sYl set? ре t, me , keX Щ Шаг 5. возвратить G
Обозначим M = maxMs и Р = тахР,. Тогда порядок временной сложности алгоритма 2.1 оценивается выражением 0(2Ш" NK+iMPSmax{L,NK}} и, таким образом, экспоненциально зависит от основных параметров системы: М, Р, S и К. По этой причине i алгоритм 2.1 применим лишь для ограниченного диапазона значений структурных параметров сети, и для полноценного анализа модели требуется разработка более эффективных вычислительных алгоритмов.
В случае когда в сети мультивещания имеется только один источник рассылки, задача анализа сети сводится к исследованию одного многоадресного соединения, имеющего, как было отмечено в разделе 1.2, древовидную структуру. Подобная сетевая топология делает возможным построение рекуррентных методов вычисления, таких как метод свертки, предложенный в [89] для марковской по аппроксимации модели сети многоадресной передачи, и рекурсивный метод расчета нормировочной константы, предложенный для марковской модели сети мультивещания с одним источником рассылки в [24].
Модель сети мультивещания с одним источником, для которой разработан метод рекуррентного вычисления нормирующей константы в [24], является частным случаем модели МСС, предложенной в разделе 1.2, при 5 = 1 и К = О. Для такой модели вычисление нормирующей константы методом прямого перебора имеет временную сложность порядка 0{2M MPL) для сети произвольной топологии и порядка 0(2мрМРг) - для бинарного дерева с ветвями одинаковой длины. Разработанный далее в данном разделе диссертации рекуррентный алгоритм при применении к модели сети мультивещания опирается на метод [24] и имеет временную сложность порядка 0(2т MP), линейно зависящую от числа физических путей. Данный алгоритм позволяет выполнять расчеты для существенно большего класса сетевых топологий, что подтверждают графики на рис.2.4. Здесь для модели сети мультивещания показана зависимость от количества услуг (рис.2.4.а)) и физических путей (рис.2.4.б)) времени вычисления нормирующей константы двумя методами: методом прямого перебора и с помощью рекуррентного алгоритма.
На первом графике (рис.2.4.а)) видно, что хотя рекуррентный алгоритм и является несколько более эффективным, чем метод прямого перебора, кривые демонстрируют схожий характер, поскольку сложность fr обоих алгоритмов экспоненциально зависит от количества услуг.
Расчеты были выполнены для дерева высоты 3 (четыре физических пути) со следующими значениями параметров: Ът = 1, те Л; ртр=\, тел, ре.Р; С6=М-\ и С, =10, 1е9 \{6}. ВО втором случае (рис.2.4.б)) экспоненциальный рост показывает только кривая, соответствующая методу прямого перебора, тогда как время выполнения рекурсивного алгоритма растет линейно. Расчеты были выполнены для последовательности деревьев высоты от 1 до 6 (то есть для сетей с 1, 2, 4, 8, 16 и 32 физическими путями), при этом М = 5; Ът =1, те Л; ртр=\, meJt, pe.f; С/_,=М-1 и С, =10, 1еУ\{Ь-Ц.
Рассмотрим модель МСС, в которой имеется один источник многоадресной рассылки, а одноадресные соединения моделируют фоновый трафик на звеньях сети. Такая модель полезна при исследовании вероятностных характеристик многоадресной передачи данных при наличии в сети фонового трафика, порождаемого одноадресными соединениями. Положим S = l, K = L, dk=\ и % = {к}, то есть через каждое звено сети могут быть установлены одноадресные соединения, маршрут которых ограничивается данным звеном, а требования к емкости составляют одну единицу. Топология такой сети соответствует построенному от единственного источника дереву мультивещания, когда соединение установлено со всеми пользователями. Подобная древовидная топология, где в корне дерева располагается источник, а в остальных концевых вершинах - пользователи, допускает применение рекуррентного метода расчета вероятностных характеристик, к разработке которого мы и переходим.
Результаты численного анализа вероятностных характеристик отдельного звена
На рис.3.4-3.9 представлены графики различных вероятностных характеристик звена МСС как функций от интенсивности предложенной нагрузки трафика телефонии а4. Расчеты выполнены для значений параметров, предложенных в предыдущем разделе. Результаты получены с помощью программного средства, специально разработанного на языке C++ с использованием библиотеки для вычислений произвольной точности GMP версии 4.2.1 .
На рис.3.4 изображены графики вероятностей блокировок установления соединения для модели звена без резервирования. Вероятности блокировок одноадресных соединений классов 3 и 4 совпадают между собой и вынесены на отдельный график (рис.3.4.6)), так как их значения на несколько порядков меньше вероятностей блокировок остальных соединений. Тот факт, что эти вероятности совпадают, демонстрирует, что вероятности блокировок одноадресных соединений определяются только своими требованиями к емкости и общей загруженностью звена и не зависят от нагрузочных параметров классов. Вероятности же блокировок многоадресных соединений, имеющих одинаковые требования к емкости звена, отличаются, если значения их нагрузочных параметров различны, как это видно из рис.ЗАа): вероятности блокировки доступа к популярным каналам, т = 21,...,25, растет значительно медленнее, чем вероятность блокировки менее популярных каналов, т = 1,...,20, интенсивность запросов пользователей на которые ниже.
Периодические колебания вероятностей блокировок объясняются следующим образом. Равномерный рост интенсивности предложенной нагрузки 4-класса а4 влечет равномерный рост среднего числа единиц емкости звена, занятых одноадресными соединениями, что подтверждает коэффициент использования звена одноадресными соединениями —-, график которого изображен на рис.3.6. Следовательно, с ростом а4 равномерно уменьшается величина C-d{X) - доля емкости звена, доступная многоадресным соединениям. Однако требуемая каждому такому соединению емкость Ъ = 3750 достаточно велика по сравнению с d.=l, и количество C-dm многоадресных соединении, которые можно установить на доступной для них емкости звена, уменьшается с ростом а4 скачкообразно, причем скачок происходит через каждые 3750 единиц.
Вероятности блокировок установления соединений на звене. График величины представлен на рис.3.5.а) (значения отложены по оси справа), где для сравнения также даны вероятности блокировок В т, т = 1,...,20, и В" (значения по оси слева). Легко видеть что период колебаний вероятностей блокировок составляет 6 = 3750
Окрестность каждой точки скачка величины характеризуется C-dw ъ тем, что в ней вероятность блокировки многоадресных соединений В т ускоряет свой рост, а вероятность блокировки одноадресных соединений В", напротив, меняет направление и от роста переходит к снижению. Рассмотрим, например, точку а4 =14000, в окрестности которой величина совершает скачок с 16 до 15. При приближении к точке скачка C-dm ъ слева рост величины В т плавно ускоряется, около самой точки а4 =14000 график претерпевает перегиб, и к а4 =15250 рост почти прекращается и возобновляется только начиная с а4 =16250 при приближении к следующей точке скачка величины C-dw
Вероятность В" достигает в окрестности точки а4 =14000 локального максимума, после чего резко падает почти до нуля приблизительно при а4 =15250, то есть там, где останавливается рост В т, затем В" растет до очередного локального максимума в точке следующего скачка C-dw h
Действительно, при а4 14000 вероятность того, что через звено будет предоставлять 15 услуг мультивещания, начинает преобладать над вероятностью предоставления 16 услуг, что освобождает для одноадресных соединений, требования к емкости звена которых значительно ниже, Ъ = 3750 единиц ресурса. При а4 =15250 вероятность предоставления 16 услуг приближается к нулю и освободившихся 3750 единиц емкости оказывается достаточно для обслуживания почти всей нагрузки, создаваемой одноадресными соединениями, вследствие чего вероятности блокировки этих соединений падают.
