Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор существующих подходов к решению задач восстановления изображения, формируемого райсовским сигналом 27
1.1. Методы, основанные на решении уравнений в частных производных 28
1.2. Методы, основанные на вейвлет-преобразованиях 31
1.3. Нелокальные методы фильтрации 33
1.4. Фильтрация шума на основе методов математической статистики 35
1.5. Выводы 39
Глава 2. Постановка задачи и обоснование применимости райсовской статистической модели для ее решения
2.1. Постановка задачи. Суть двухпараметрической концепции анализа данных 42
2.2. Условия применимости статистической модели Райса 48
2.3.Выводы 60
Глава 3. Решение двухпараметрической задачи анализа райсовских данных методом максимума правдоподобия 62
3.1. Двухпараметрическая система уравнений метода максимума правдоподобия 63
3.2. Вспомогательные математические утверждения 69
3.3. Решение задачи в однопараметрическом приближении 83
3.4. Двухпараметрическая задача: решение в переменных и 2 95
3.5. Решение двухпараметрической задачи путем введения новых переменных 121
3.6. Аналитический расчет статистических параметров райсовских данных на основе выборок измерений в некоторых предельных случаях 131
3.6.1. Однопараметрическая задача 131
3.6.2. Двухпараметрическая задача 134
3.6.3. Расчет дисперсии сигнала изображения в случае распределения Релея 142
3.7. Результаты численного моделирования 148
3.8. Практическая ценность развитого двухпараметрического метода максимума правдоподобия 3.9. Выводы 171
Глава 4. Методы моментов для решения двухпараметрической задачи анализа райсовских данных 175
4.1. Постановка задачи, основные обозначения 176
4.2. Двухпараметрический метод, основанный на использовании 2-го и 4-го моментов случайной величины 177
4.3. Двухпараметрический метод, основанный на использовании 1-го и 2-го моментов случайной величины 181
4.4. Результаты численного моделирования вариантов двухпараметрического метода моментов 194
4.5. Практическая значимость развитых вариантов метода моментов для решения задачи двухпараметрического анализа райсовских данных 204
4.6. Выводы 205
Глава 5. Сопоставление результатов численного решения двухпараметрической задачи различными методами 207
5.1. Результаты численных экспериментов 207
5.2. Выводы 224
Глава 6. Двухпараметрический метод моментов как инструмент оценки электрооптических коэффициентов и измерения спекл-шума 227
6.1. Постановка задачи 228
6.2. Эксперимент 231
6.3. Выводы 237
Заключение 239
Основные результаты и выводы 239
Рекомендации и перспективы разработки темы дальнейшей 243
Литература 246
- Нелокальные методы фильтрации
- Условия применимости статистической модели Райса
- Двухпараметрическая задача: решение в переменных и 2
- Двухпараметрический метод, основанный на использовании 2-го и 4-го моментов случайной величины
Нелокальные методы фильтрации
Ученые не одно десятилетие проявляют значительный интерес к решению двухпараметрической задачи оценки сразу обоих параметров распределения Райса при анализе стохастических процессов, описываемых данной статистической моделью, [26]. Этот так называемый двухпараметрический подход не ограничен никакими априорными предположениями и обеспечивает получение гораздо более корректных оценок. Однако решение такой задачи сопряжено со значительными трудностями как теоретического, так и вычислительного характера, поскольку приходится рассматривать систему двух существенно нелинейных уравнений. Отчасти поэтому до недавнего времени теоретическое изучение задачи ограничивалось лишь оценками стандартного отклонения по методу Крамера-Рао [26] и предположениями относительно свойств решения задачи, основанными на графических иллюстрациях, а не на строгом математическом анализе.
В диссертации представлено теоретическое развитие и строгое математическое обоснование группы методов двухпараметрического анализа райсовских сигналов, основанное на строгом доказательстве существования и единственности решения соответствующих математических задач.
Рассмотренные в диссертации задачи анализа райсовского случайного сигнала объединяются единой концепцией совместного расчета параметров полезного сигнала и шума. Решение данных задач основано на использовании различных статистических методов [24], а именно: метода максимума правдоподобия и вариантов метода моментов. Несмотря на различие статистических подходов к решению рассмотренных в диссертации задач, их объединяет общий базовый принцип, вытекающий из единой «двухпараметрической» концепции и определяющий существенный отличительный признак исследуемых методов, который заключается в совместном вычислении обоих неизвестных статистических параметров райсовского распределения анализируемой случайной величины. Задача определения обоих указанных статистических параметров исходного изображения имеет особую важность при обработке данных, так как она напрямую связана с решением проблемы разделения информативных и шумовых составляющих анализируемого сигнала, в частности - при восстановлении изображений в системах магнитно-резонансной визуализации.
Ввиду того, что магнитно-резонансная визуализация является одним из наиболее важных практических применений статистической модели Райса, многие аспекты решаемых в диссертации задач рассматриваются именно применительно к задачам анализа и обработки магнитно-резонансных изображений.
Как известно, в большинстве задач визуализации шумы образуются путем суммирования большого числа независимых составляющих, искажающих исходный сигнал изображения, и поэтому шумовые искажения подчиняются, как правило, гауссовскому распределению, [25-31]. Это относится и к шумам, искажающим действительную и мнимую составляющие сигнала изображения в системах магнитно-резонансной визуализации [32]. Исходные данные для построения изображения, получаемые в системах магнитно-резонансной визуализации, искажаются статистическим шумом, который неизбежно возникает в силу физических процессов, происходящих внутри исследуемого объекта. Эти процессы как правило связаны со взаимодействием заряженных частиц, с индукционными явлениями. Физическая природа шумов в магнитно-резонансных изображениях рассматривается, в частности, в работе [33]. Такие шумы существенно ухудшают качество полученного изображения, и поэтому задача шумоподавления является одной из важнейших в развитии и совершенствовании методов обработки изображений, полученных в системах магнитно-резонансной визуализации.
Задачу подавления шумов изображения можно представить как частный случай задачи определения неизвестных статистических параметров того распределения, которому подчиняется величина сигнала, формирующего обрабатываемое изображения. Определение неизвестных параметров в задачах визуализации производится на основе данных выборок, полученных в результате измерений. Очевидно, что для получения корректной оценки важно использование такой статистической модели, которая адекватно описывает соответствующий физический процесс.
Задачи шумоподавления и количественного оценивания величины шумов при анализе изображений c использованием методов математической статистики ранее теоретически исследовались и решались автором диссертации при развитии так называемой модовой теории объемных голограмм [34-41], теории преобразования спекл-неоднородных световых полей в объемных голограммах и нелинейных средах, при вынужденном рассеянии света, в том числе – при обращении волнового фронта [42-50]. В развитых в упомянутых работах математических методах анализа световых полей полученные теоретические результаты в значительной степени обусловлены особенностями статистической модели Гаусса, которая адекватно описывает рассматриваемые в [34-50] задачи преобразования световых полей, поскольку, каждая пространственно-угловая компонента светового поля, представляя собой сумму большого числа независимых вкладов отдельных светящихся точек объекта, в силу центральной предельной теоремы является комплексной случайно величиной с гауссовской статистикой.
Дальнейшее развитие темы, связанной с решением проблемы разделения шумовых и информационных компонент анализируемых данных, представлено в работах [51-67], в которой данная проблема изучается применительно к задачам анализа и обработки ультразвукового изображения, с учетом его специфических особенностей. На основе разработанной математической модели, учитывающей статистические и спектральные особенности различных элементов структуры, были реализованы процедуры шумоподавления, в том числе протестированные в клинических условиях [67], причем речь идет, как и в работах [34-50], об анализе и обработке информативных данных с учетом особенностей природы спекл-шума.
Таким образом, работы [34-67], хотя и рассматривают математические методы решения задач анализа светового поля на основе иной статистической модели, все же имеют непосредственную логическую связь с темой настоящей диссертации и, несомненно, сыграли существенную роль в развитии и математическом обосновании представленных в диссертации методов решения нелинейных задач двухпараметрического анализа сигналов в условиях статистического распределения Райса.
Условия применимости статистической модели Райса
В данном разделе диссертации представлен обзор методов, традиционно используемых при решении задач анализа и обработки изображений. Поскольку тема диссертации связана с разработкой методов решения данных задач в условиях применимости статистической модели Райса, то в представленном обзоре рассматриваются и анализируются методы обработки изображений, формируемых именно райсовским сигналом. Наиболее известный пример реализации условий применимости статистической модели Райса представляют собой системы магнитно-резонансной визуализации. Поэтому предметом представленного ниже обзора стали, главным образом, существующие методы анализа и обработки магнитно-резонансных изображений.
Известно, что в системах магнитно-резонансной визуализации, используемых, в частности, в медицине, немаловажным фактором является скорость получения и обработки изображений. Это обстоятельство накладывает некоторые ограничения на приемлемые методы обработки таких изображений. С точки зрения такого критерия приемлемости естественный метод обработки изображений с целью восстановления изучаемых данных на фоне шума, заключающийся в получении множества изображений и их усреднении, является, хотя и эффективным, но не актуальным для практических приложений, так как связан со значительными затратами времени, и поэтому неприменим для большей части клинических исследований. Особенности требований, налагаемых на системы магнитно-резонансной визуализации, применяемые в медицине, изложены, в частности, в работе [69]. Принимая во внимание эти требования, можно сделать вывод о необходимости разработки эффективных методов шумоподавления путем разделения информативных и шумовых компонент в анализируемых данных, основанных не на усреднении последовательно полученных изображений, а на обработке изображения, не требующей больших временных затрат.
В настоящее время разработаны различные методы обработки магнитно-резонансного изображения, которые различаются в силу использования различных математических моделей и различных аналитических подходов к решению задачи получения и последующей обработки изображения. Существующие методы можно классифицировать, объединив их в группы, отличающиеся основополагающим подходом к решению задачи. Рассмотрим последовательно эти методы, чтобы проанализировать и сопоставить их эффективность и предпочтительность применения того или иного метода в различных задачах.
В работе [70] разработаны алгоритмы фильтрации магнитно-резонансных изображений, основанные на процессе диффузии. Коэффициент диффузии выбирается варьируемым по пространственным координатам таким образом, чтобы усилить процесс сглаживания изображения внутри конкретной рассматриваемой области и подавить этот процесс в местах локализации границ между областями. Такой подход к фильтрации позволяет сохранить резкость границ, создавая тем самым высококачественный «детектор границ». Этот метод фильтрации обладает рядом преимуществ, одно из которых состоит в возможности параллельной обработки различных участков изображения в силу локального применения алгоритма к различным участкам, что особенно важно в задачах медицинской визуализации.
Метод фильтрации магнитно-резонансного изображения, основанный на решении уравнения в частных производных, впервые был детально рассмотрен в работе [71] (в англоязычной литераторе методы, основанные на решении уравнений в частных производных, называются PDEs – от Partial Differential Equation- уравнение в частных производных). В работе [71] авторы показали, что анизотропная диффузия может быть эффективным инструментом улучшения качества магнитно-резонансного изображения, так как позволяет существенно понизить уровень шума с одновременным сохранением мелких деталей изображения. Однако, метод фильтрации, предложенный в упомянутой статье [71], основан на изначально неправильном предположении относительно статистической модели шума, а именно: в данной работе предполагается, что шум имеет гауссовское распределение, вместо распределения Райса, которое переходит в гауссовское только при очень больших значениях величины отношения сигнала к шуму.
Следует отметить, что широко распространенное гауссовское распределение используется для описания магнитно-резонансной визуализации и в ряде других работ (см., например, [72-74]), Однако, при не очень больших значениях отношения сигнала к шуму распределение Райса, адекватно описывающее процесс магнитно-резонансной визуализации, существенно отличается от гауссовского, а при отношении сигнала к шуму, близком к нулю, распределение Райса переходит в распределение Рэлея. В таких ситуациях применение некорректной в данном случае Гуссовской статистической модели приводит к тому, что в изображении, полученном в результате такой фильтрации, появляется заметное смещение (в англоязычной литературе - bias) полученных в результате такого расчета данных по сравнению с реальными, которое особенно заметно при низком отношении сигнал-шум, когда неприменимость Гуссовской статистики к решению задачи шумоподавления в магнитно-резонансном изображении проявляется в существенно большей степени, чем при высоком отношении сигнала к шуму. Чтобы избежать появления такого смещения и получать более точные значения параметров при произвольном значении величины отношения сигнала к шуму в работах последних лет все чаще используется именно распределение Райса для фильтрации изображений, полученных в системах магнитно-резонансной визуализации, [75-80].
Метод так называемой адаптивной анизотропной диффузии, учитывающий именно райсовское распределение для шумов, стал предметом работы [81], в которой рассматривается величина модуля магнитно-резонансного сигнала. Именно эта величина описывается статистической моделью Райса. Дальнейшее развитие этот метод получил в работе [82]. В этой работе представлен метод адаптивной нелинейной диффузионной фильтрации для подавления шумов в магнитно-резонансных изображениях c пространственно-переменным уровнем шума.
Как правило, методы, основанные на решении уравнения в частных производных (PDEs), используют анизотропную диффузию второго порядка, которая, в частности, и стала предметом основополагающей работы [70]. Поэтому анизотропную диффузию второго порядка после выхода в свет упомянутой работы стали называть классической анизотропной диффузией Perona-Malik. Основанные на такой диффузии фильтры позволяют достаточно хорошо сохранять границы между элементами изображения посредством анизотропного усреднения при обработке изображения, а именно, усреднения в направлении, ортогональном локальному градиенту структуры изображения.
Двухпараметрическая задача: решение в переменных и 2
В отличие от рассмотренной выше однопараметрической задачи определения статистического параметра v на основе данных выборки из n значений измеренной случайной величины x в предположении априорной известности второго параметра а, в данном параграфе мы проводим развитие метода максимума правдоподобия на случай, когда оба статистических параметра задачи v и о2 неизвестны. В общем случае это требует численного решения системы из двух уравнений (3.8). С учетом выражения (3.9) эта система уравнений была преобразована нами к виду (3.10). Перепишем систему уравнений (3.10) в следующем виде:
Первое из уравнений системы (3.24) - уравнение для v- представляет собой уравнение с одной неизвестной переменной. Таким образом, нам удалось свести задачу решения системы двух уравнений (3.20) (или исходной системы (3.10)) для двух неизвестных v и о2 к численному решению одного уравнения (3.23) для одной переменной v. Тем самым решение двухпараметрической задачи существенно упростилось, как с точки зрения возможности изучения условий существования и свойств решения, так и с точки зрения минимизации ресурсов, необходимых для численного решения рассматриваемой задачи.
На основе вышеизложенного мы получаем алгоритм вычислений неизвестных статистических параметров v и а2 случайного райсовского сигнала, в частности - сигнала, формирующего магнитно-резонансное изображения, который состоит в выполнении следующих шагов:
1. На основе данных выборки измерений величины сигнала х1,...хп вычисляем параметр v посредством численного решения первого из уравнений системы (3.24);
2. Подставляя вычисленное значение v во второе уравнение системы (3.24), определяем второй искомый параметр задачи - величину дисперсии а2. Рассмотрим теперь вопрос существования и единственности решения системы уравнений (3.24). Для этого предварительно рассмотрим уравнения данной системы более детально, с учетом физического смысла входящих в данные уравнения величин.
В силу очевидной стохастичности процесса формирования изображения величина дисперсии всегда отлична от нуля: а2 О. Это означает, что знаменатель аргумента функции / = — в уравнении для v системы (3.24) всегда положителен. При малых величинах числа измерений сигнала в выборке и, вообще говоря, возможна ситуация, когда величина (x2)-v2 =— YV-v2 будет отрицательной. Чтобы понять, в чем состоят физические причины отрицательности указанной величины, сопоставим данную ситуацию с рассмотренным выше аналогичным случаем, когда в силу недостаточно большого числа измерений возможно отрицательное значение разности (х2)-2-а2, т.е. -—у 1, и при увеличении числа измерений п в выборке сигнала в силу определения дисперсии, начиная с некоторого п п0, всегда будет выполняться условие /х2\ 2сг2 (см. Лемму 1) . Случай, когда это условие не (х2) выполняется, т.е.—у 1, как уже обсуждалось выше, может соответствовать 2-сг либо нулевому значению v, т.е. Релеевскому пределу распределения Райса, либо недостаточно большому количеству измерений п в выборке. (см. Лемму 1). отрицательности величины (x2\-v2 = x2-v2 может быть связано только с недостаточным количеством измерений п в выборке, и не может быть следствием Релеевского процесса, т.е. отсутствия полезного сигнала при наличии шума, так как в предельном случае распределения Релея выполняется условие v = 0, и тогда
Итак, рассмотрим вопрос о существования и единственности решения системы уравнений (3.24) максимума правдоподобия для двух неизвестных статистических параметров v и а2. Решение системы уравнений (3.24) максимума правдоподобия для статистических параметров уиа2 существует и единственно.
Доказател ьство: Для доказательства утверждения теоремы нам достаточно убедиться в существовании и единственности решения первого из уравнений данной системы, а именно, уравнения для определения параметра v, так как второе уравнение позволяет однозначно определить величину дисперсии а2 по известному значению решения первого уравнения для v, т.е. при существовании единственного решения уравнения для определения параметра v обязательно существует и является единственным решение для второго параметра о2.
Поэтому рассмотрим первое уравнение системы (3.24) - уравнение для параметра v, (т.е. уравнение (3.23)), и проведем его детальный математический анализ.
Левая часть уравнения (3.23) представляет собой прямую линию yl(v) = v, а правая часть является линейной комбинацией кривых, являющихся графиками введенной нами функции / = причем аргументом данной функции в каждом из слагаемых упомянутой линейной комбинации является нелинейная функция параметра v.
Принимая во внимание физический смысл задачи и второе уравнение системы (3.24), нетрудно видеть, что величина соответствует величине дисперсии сигнала изображения, и, следовательно, изменяется незначительно как функция параметра v, так как дисперсия определяется, прежде всего, физической природой шума.
Двухпараметрический метод, основанный на использовании 2-го и 4-го моментов случайной величины
С целью более детального сопоставления статистических характеристик однопараметрического и двухпараметрического методов в области, когда сигнал и шум сопоставимы по величине, результаты компьютерного моделирования решения задачи анализа райсовского сигнала указанными методами были представлены в зависимости от величины отношения сигнала к шуму SNR = v I а и в зависимости от длины выборки п.
На Рисунке 26 приведены графические данные, определяющие точность расчетов параметра v однопараметрическим (точечная линия) и двухпараметрическим (пунктирная линия) методами при различных значениях длины выборки п\ и = 16, 64, 256 (графики а), б) и в), соответственно). Результаты вычислений усреднялись по Ю5 измерений с целью выявления статистических характеристик смещения и разброса данных для обоих методов.
По оси абсцисс на Рисунке 26 отложена исходно заданная величина параметра v в диапазоне от 0 до 3 (ей соответствует сплошная линия) , в то время как величина параметра а была принята равной 1, так что точки оси абсцисс фактически соответствуют величине отношения сигнала к шуму SNR = vla В левом столбце Рисунка 26 приведены графики рассчитанных значений v. Отклонения кривых от прямой линии характеризуют точность сопоставляемых одно- и двухпараметрических методов расчета искомого параметра. В правом столбце приведены графики среднеквадратичных отклонений полученных значений параметра v, обозначенных как vvar, в зависимости от величины отношения сигнала к шуму.
Графики, характеризующие смещение (левый столбец) и разброс (правый столбец) данных при расчете параметра однопараметрическим (точечная линия) и двухпараметрическим (пунктирная линия) методами максимума правдоподобия.
Аналогичные данные, полученные в результате численного оценивания параметра а, приведены на Рисунке 27. Естественно, что в данном случае речь идет только о двухпараметрическом методе. Численные эксперименты проводились при различных значениях длины выборки п: п = 16, 64, 256 (графики а), б) и в), соответственно). Результаты расчетов усреднялись по Ю5 выборкам измерений. Графики, представленные на Рисунке 27, получены при тех же условиях эксперимента, которые указаны в комментариях к Рисунку 26. Горизонтальная линия соответствует исходно заданному значению а = 1. В левом столбце Рисунка 27 приведены графики рассчитанных значений а (пунктирная линия) а в правом столбце - графики среднеквадратичных отклонений для а, обозначенных как о , в зависимости от величины отношения сигнала к шуму.
Таким образом, графические результаты численных экспериментов, представленные на Рисунках 26 и 27, иллюстрируют следующие ожидаемые выводы: точность расчетов искомых параметров методом максимума правдоподобия возрастает с увеличением отношения сигнала к шуму, а также с увеличением длины выборки п; - разброс данных при расчете искомых параметров заметно уменьшается с увеличением отношения сигнала к шуму, а также с увеличением длины выборки п , - точность расчетов параметра v однопараметрическим методом при малых значениях отношения сигнал/шум (v 2а) превосходит точность расчета данного параметра двухпараметрическим методом, что вполне ожидаемо и объясняется следующим образом: в двухпараметрической задаче мы имеем две неизвестные величины: значения обоих искомых параметров v и о, при этом на ошибку при оценке параметра v в двухпараметрической задаче неизбежно влияет и ошибка в оценке второго параметра а, в то время как в однопараметрической задаче параметр о рассматривается как точно известный заранее. В этой связи целесообразно еще раз подчеркнуть, что случай единственного неизвестного параметра на практике никогда не реализуется и поэтому иллюстрируемое Рисунком 26 сравнение результатов одно- и двухпараметрического методов является весьма условным.
Таблица 1 и Рисунки 25, 26, 27 наглядно иллюстрируют важную особенность райсовского распределения: как смещение, так и разброс значений вычисленного параметра математического ожидания v значительно растут с уменьшением величины отношения сигнала к шуму, что характерно для обоих исследуемых вариантов оценки параметров методом максимума правдоподобия (одно- и двухпараметрического). Как уже отмечалось выше, это объясняется особенностями функции правдоподобия для распределения Райса, которые наглядно иллюстрируются с помощью трехмерных графиков этой функции, представленных на Рисунках 17, 18, а также графиков сечения этой функции плоскостями а = const: чем меньше отношение сигнала к шуму, тем слабее выражен максимум функции правдоподобия. Тем не менее, этот максимум всегда существует.
При проведении численных расчетов искомых статистических параметров задачи методом максимума правдоподобия для двухпараметрического случая мы сочли целесообразным провести сравнение данных, полученных в результате такого расчета разработанным и обоснованным в диссертации методом, с результатами, представленными в работе [76], которая является наиболее близкой по тематике и рассматривает задачу для однопараметрического случая, т.е. для единственного неизвестного параметра в приближении априорной известности значения параметра . Рисунок 28 иллюстрирует результаты такого сопоставления точности расчетов искомого параметра, обеспечиваемой различными методами, в различных диапазонах значений отношения сигнала к шуму.
