Содержание к диссертации
Введение
1. Составные поля в лагранжевых методах квантования калибровочных теорий общего вида 21
1.1. 8р(2)-ковариантное лагранжево квантование 22
1.2. Составные поля. Тождества Уорда 26
1.3. Зависимость от калибровки производящих функционалов функций Грина с составными полями в 8р(2)-ковариантном квантовании 28
1.4. Калибровочная зависимость эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования 33
2. Зависимость от калибровки в эйнштейновской гравитации в классе специальных линейных бэкграундовских калибровок 37
2.1. Общий вид зависимости эффективного действия от калибровки в калибровочных теориях 38
2.2. Однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации 41
3. Локальное лагранжево суперполевое БРСТ квантование в неабелевых гиперкалибровках 46
3.1. Нечетная лагранжева формулировка локальной суперполевой модели 51
3.2. Нечетная гамильтонова формулировка локальной суперполе-вой модели 56
3.3. Локальное суперполевое квантование с неприводимыми гиперкалибровками 60
3.3.1. Суперполевое квантовое действие в исходных координатах 60
3.3.2. Дуальность между суперполевыми величинами БВ и БФВ методов 64
3.3.3. Правила локального суперполевого квантования 68
3.4. Взаимосвязь лагранжевых методов БРСТ квантования 76
3.4.1. Компонентная формулировка и ее отношение к методам Баталина-Вилковыского, Баталина-Тютина и суперпо-левой схеме квантования 76
3.4.2. Суперполевое функциональное квантование в общих координатах 82
3.5. Локальное суперполевое квантование с приводимыми гипер калибровками 87
Заключение 98
Список литературы
- Зависимость от калибровки производящих функционалов функций Грина с составными полями в 8р(2)-ковариантном квантовании
- Калибровочная зависимость эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования
- Однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации
- Локальное суперполевое квантование с неприводимыми гиперкалибровками
Введение к работе
Задача построения теоретико-полевых моделей реализующих описание известных в настоящий момент фундаментальных взаимодействий между элементарными частицами в рамках единого взаимодействия по-прежнему является основной в теоретической физике высоких энергий. Результаты, полученные в этом направлении в течение последних 30-35 лет хорошо известны [1-7]. Они существенно используют математический аппарат теории калибровочных полей.
Принцип локальной калибровочной инвариантности, впервые введенный Г.Вейлем [8] в связи с попытками построить единую геометрическую электрогравитационную теорию и в современном понимании сформулированный Янгом и Миллсом [9] для описания сильных взаимодействий, подразумевает существование калибровочных полей. В настоящий момент в семейство калибровочных полей вместе с электромагнитным и гравитационным включены неабелевые калибровочные поля Янга-Миллса.
Противоречия (например, неунитарность S-матрицы), указанные Фейнманом [10] в связи с попытками применения при квантовании неа-белевых калибровочных теорий методов, используемых ранее для теории электромагнитного поля, положили начало систематическому исследованию общих правил квантования таких теорий. Непротиворечивые правила квантования теорий с калибровочной группой в ковариантном (ла-гранжевом) формализме известные сейчас как правила Фаддеева-Попова были сформулированы в работах Фаддеева и Попова [11], Девитта [12], Манделстама [13], Фрадкина и Тютина [14].
Обобщенные тождества Уорда, полученные Славновым [15] и Тейлором [16], стали важным моментом в развитии квантовой теории калибровочных полей, первоначально представляя основу для доказательства калибровочно-инвариантной перенормируемости теории безмассовых калибровочных полей.
Спонтанное нарушение калибровочной симметрии у частиц, описываемых калибровочными полями, с возможностью генерации массы без нарушения свойства перенормируемости такой модели, обоснованное т'Хуфтом [17], привело к реальному применению теории калибровочных полей в физике элементарных частиц, в том числе к различным вариантам построения единых теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий (см., например, [18-21]). К тому же преимущество неа-белевых калибровочных теорий отразилось в построении моделей [22, 23] в которых отсутствует проблема "нуля-заряда" [24, 25], присущая всем ранее известным теориям.
Современное становление теории калибровочных полей было инициировано работами Бекки, Руэ, Стора [26, 27] и Тютина [28]. В них калибровочная инвариантность первоначальной классической теории достраивается до специальной глобальной суперсимметрии (БРСТ-симметрии) квантового действия, построенного по правилам Фаддеева-Попова. БРСТ-инвариантность привела к возможности переформулировки Зинн-Жустином [29] правил Фаддеева-Попова для теорий Янга-Миллса в виде инвариантном для всех калибровочных теорий, способствующим более простому проведению общих расссуждений. А именно, введя дополнительные источники к БРСТ-преобразованиям, он представил содержание калибровочной теории в виде квадратичного уравнения для расширенного действия без явного упоминания об исходной калибровочной группе.
Наличие БРСТ-инвариантности позволило проводить анализ унитарности теории непосредственно в ковариантном методе квантования,
опираясь на формализм, открытый Куго и Оджимой [30]. Нетеровский нильпотентный БРСТ-заряд, соответствующий БРСТ-инвариантности, являясь основной величиной данного формализма, позволяет корректно выделить подпространство физических состояний и проанализировать проблему унитарности физической S-матрицы.
Значительный шаг в расширении представления о калибровочной теории был осуществлен в связи с открытием суперсимметрии [31-36] и ее локальным вариантом, реализованным в теориях супергравитации [37-39] *. Главные отличия суперсимметричных теорий от янг-миллсовских отражаются как в зависимости структурных функций алгебры генераторов локальной суперсимметрии от полей, так и разомкнутости ее самой слагаемыми, пропорциональными уравнениям движения (открытые алгебры).
Работа Фрадкина и Васильева [43], посвященная квантованию супергравитации, указала на необходимость изменения правил Фаддеева-Попова. Для простой N = 1 супергравитации модифицированные правила ковариантного квантования были даны в работах Нильсена [44] и Каллош [45, 46]. Лагранжево квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй было предложено де Вит и ван Хольтеном [47]. Работы Баталина и Вилковыского [48, 49] придали современный и окончательный вид методу квантования произвольных калибровочных теорий в лагранжевом формализме (БВ-метод).
Одновременно с ковариантным развивался и гамильтонов (канонический) метод квантования динамических систем (калибровочных теорий), характеризующихся обязательным наличием связей первого рода (разделение связей на первый и второй род предложено Дираком [50]). В работе Фаддеева [51] была построена каноническая S-матрица для динамических систем с бозонными связями первого рода в канонических калибровках. Фрадкин [52] получил выражение для производящего функ-
1 Последовательное изложение теорий суперсимметрии и супергравитации смотри также в [40-42].
ционала функций Грина и канонической S-матрицы для динамических систем со связями первого и второго рода произвольной грассмановской четности в канонических калибровках.
Квантование динамических систем с бозонными связями первого рода в релятивистских калибровках было выполнено Фрадкиным и Вил-ковыским [53] и расширено на случай произвольной грассмановской четности Баталиным и Вилковыским [54]. Наконец, Фрадкин и Фрадкина [55] проанализировали случай динамических систем с бозонными и фермион-ными связями первого и второго рода, а Баталии и Фрадкин обобщили его для систем с приводимыми (в случае невозможности ковариантного выделения независимых связей среди избыточных) связями первого [56] и второго [57] родов. Квантование по правилам [53-57] сейчас носит название обобщенного канонического формализма или БФВ- (Баталин-Фрадкин-Вилковыский) метода (см. также обзор Энно [58]). Важным применением этого метода стало, например, последовательное каноническое квантование эйнштейновской гравитации [59] и супергравитации [43].
БФВ-метод основывается на принципе специальной суперсимметрии аналогичной БРСТ-симметрии в ковариантном формализме. Понятие "БРСТ-симметрия" сейчас традиционно относится к обеим инвари-антностям.
Отметим, что успехи достигнутые в рамках глобально-суперсимметричных теорий, связанные с сокращением расходимостей (см., например, модели работ [60-62] с N = 4 расширенной суперсимметричной теорией Янга-Миллса и [63] с двумерными суперсимметричными сигма-моделями), все же не обеспечили конечность во всех порядках теории возмущения теорий супергравитаций несмотря на возможность 1 < N < 8 [64-66]. Следовательно, использование только принципов суперсимметрии оказалось не достаточным для построения квантовой теории гравитации. Современные представления об унификации взаимодействий подразумевают возможность вывода последовательной квантовой теории
гравитации в качестве некоторого (низкоэнергетического) предела более фундаментальной эффективной теории.
Работы Ионеи, Неве, Шерка и Дж.Шварца [67-73], а далее Грина, Дж.Шварца, Виттена, Гросса, Харви, Мартеника и Рома [74-79] предложили в качестве таковой теорию суперструн (протяженных геометрических объектов малых размеров). К настоящему моменту известно пять различных формулировок суперструны [80] (для обзора теории (су-пер)струн см. [80, 81]), являющимися составными частями единой 11-мерной М-теории (см., например, [82-85]).
Одно из направлений для последовательного описания процессов рассеяния частиц на очень малых, так называемых планковских расстояниях, например, в окрестности космологической сингулярности и при гравитационном коллапсе, реализуется в рамках теории р-адических струн, введенных Воловичем в [86] (для обзора см. [87, 88]). Рассмотрение р-адических струн обусловлено флуктуациями на планковских масштабах метрики и топологии пространственно-временного многообразия, а также нарушением архимедовости числового поля.
Расширение многообразия элементарных частиц, помимо теорий (супер)струн предположительно позволяющее в новом виде разрешить проблему объединения всех фундаментальных взаимодействий, также связывается с задачей построения последовательной формулировки классического и квантового описания так называемых (супер)полей высших (при s > 2) (супер)спинов, включая нахождение ковариантной формы классических действий и их калибровочных симметрии. Характерной чертой подобных теорий как в случае бозонных, так и фермионных полей высших спинов является впервые реализованная, например, в безмассовом случае Фронсдалом и Фэнгом в [89, 90] особенность включения уже на свободном уровне полей разных спинов. Успехи и трудности на пути создания непротиворечивой теории взаимодействующих полей высших спинов, существенно различающихся в случае пространств Минковско-
го и (анти-)де-Ситтера разной размерности, известны (см. работу Васильева и Фрадкина [91], а для обзора [92-94]). Среди методов, содержащих рецепты построения классических действий и уравнений движения для полей высших спинов, выделяются так называемый "развернутый" ("unfolded") формализм [95, 96] и метод, основанный на нахождении БРСТ-заряда для связей, определенных структурой неприводимого представления соответствующего спина группы Пуанкаре [97, 98]2. Их применением стало соответственно построение, например, Васильевым и Лопатиным теорий как свободных, так и взаимодействующих с (анти-)де-Ситтеровским фоном полей высших спинов [100, 101] и, например, Бухбиндером, Крыхтином, Пашневым моделей фермионных безмассовых полей высших спинов [102], лагранжевые действия которых обладают приводимыми калибровочными симметриями.
Другим перспективным направлением, служащим для эквивалентного описания эффективного перенормированного действия, содержащего высшие, в сравнении с затравочным классическим действием калибровочной теории, калибровочно-инвариантные члены взаимодействия, стала некоммутативная теория калибровочных полей. Предложенная в рамках теории струн Сайбергом и Виттеном связь между некоммутативным и коммутативным описанием калибровочной теории [103] основана на введении параметра некоммутативности и осуществляется посредством так называемого отображения Сайберга-Виттена. Анализ этого отображения, согласованно деформирующего исходные действие и калибровочные преобразования классической модели в некоммутативную теорию с деформированным действием инвариантным относительно деформированных калибровочных преобразований, изучался для янг-миллсовских и черн-саймоновских теорий с использованием техники БРСТ-симметрии в рамках метода Фаддеева-Попова в работах [104-106], а в рамках БВ-метода в [107].
2Эти подходы рассмотрены с единой точки зрения Барнихом, Григорьевым, Семихатовым и Типу-ниным в [99].
Дополнительно к БРСТ-симметрии квантовый лагранжиан теории, полученный по правилам Фаддеева-Попова, инвариантен относительно открытой в работах [108-110] "анти-БРСТ-симметрии". Ныне общепринятым термином является "расширенная БРСТ-симметрия", объединяющая БРСТ- и анти-БРСТ-симметрии. Разнообразному использованию расширенной БРСТ-симметрии в калибровочных теориях посвящено достаточное число работ. Например, перенормируемость и калибровочная инвариантность в теориях с замкнутой алгеброй в лагранжевом формализме исследовались в [111, 112].
Одна из геометрических реализаций (БРСТ) расширенной БРСТ-симметрии была предложена Бонорой, Пасти, Тониным [113, 114] за счет расширения пространства Минковского (одной) двумя антикоммутиру-ющими координатами так, что сами (БРСТ) расширенные БРСТ-пре-образования представлялись сдвигами вдоль этих координат. Подобная формулировка обеих БРСТ-симметрий использовалась для построения лагранжевых действий для теорий Янга-Миллса [115-117], гравитации [118], простой N = 1 супергравитации [119].
В рамках БФВ-метода [53-57] расширенная БРСТ-симметрия была впервые проанализирована в работе Хванга [120] для динамических систем со связями первого рода в специальных калибровках. Для произвольных калибровок в работе [121], при постоянных структурных функциях в соотношениях инволюции был предложен унитаризующий гамильтониан [53] инвариантный относительно расширенных БРСТ-преобразований.
Принцип расширенной БРСТ-симметрии в наиболее последовательном виде был реализован Баталиным, Лавровым и Тютиным в рамках правил гамильтонова [122-124] и лагранжева [125-127] Sp(2)-ковариантных квантований калибровочных теорий. Эти методы обеспечивают эквивалентность (продемонстрированную в работах [122, 125]) результатов канонического и лагранжева квантований калибровочной модели на основе стандартной и расширенной версий БРСТ-симметрии.
Исследования по применению расширенной БРСТ-симметрии развивались также группой Энно (см., например, [128-131]), в работах Нер-сесяна, Дамгаарда, Де Ионга, Беринга и Татару [132-135]. В частности, решения производящих уравнений 8р(2)-ковариантных методов квантования для неприводимых калибровочных теорий с точностью до третьего порядка по полям и координатам вспомогательного сектора в лагранже-вой и гамильтоновой версиях соответственно были найдены в работах [136-138].
В целом правила квантования на основе стандартного [48,49, 53-58] и расширенного [122-127] вариантов реализации БРСТ-симметрии являются сейчас наиболее общим методом исследования квантовых свойств калибровочных теорий таких как анализ условий унитарности [30, 139, 140], изучение перенормировки, зависимости от калибровки [127, 141— 145], совместно с выводом тождеств Уорда [122, 125].
Ингридиенты БВ-метода, рассмотренные с точки зрения теории супермногообразий [146], нашли четкую классификационную градацию в работах А.Шварца [147, 148] (см. также [149]), представляя собой более сложный аналог симплектической геометрии. Само лагранже-во квантование [48, 49] усовершенствовалось в направлении введения так называемых неабелевых, при вычислении относительно антискобки, калибровочных условий (гиперкалибровок) Баталиным и Тютиным в работах [150-152]. Эти условия применимы в случае произвольного антисимплектического многообразия и позволяют определить более широкий класс функционалов, содержащих результирующее квантовое действие, соответствующее исходной калибровочной теории и получающееся в результате интегрирования в функциональном интеграле по той половине специальных неантиканонически сопряженных координат указанного многообразия (из координат Дарбу), относительно которых гиперкалибровки разрешимы. 8р(2)-ковариантное лагранже-во квантование также совершенствовалось в виде обобщения до Sp(2)-
симметричного метода [153], сформулированного Баталиным и Марне-лиусом (см. также [133, 134]), затем Баталиным, Марнелиусом, Семи-хатовым до триплектического [154, 159] и Гейером, Гитманом, Лавровым до модифицированного триплектического [155, 156] методов (в связи с концепцией супермногообразий Федосова [157, 158]). Соответствующая этим методам геометрия была развита в работах [159-163].
В свою очередь, наличие ^-градуированных дифференциальных структур и величин на супермногообразиях привело к обобщению концепции (обыкновенных) дифференциальных уравнений посредством введения Шандером в [164] так называемого супервремени % = (,#), включающему дополнительно к четной переменной t R нильпотентный параметр в.
Упомянутая ранее реализация БРСТ (расширенной БРСТ) симметрии в виде трансляций вдоль переменных в (в, в), расширяющих пространство Минковского R1'-0-1 [113-117], стимулировала появление первых работ по суперполевому обобщению лагранжева БРСТ-квантования [165, 166] и 8р(2)-ковариантного [167]. Развитие суперполевого метода [165, 166] для случая введения более широкого класса абелевых гиперкалибровок в сравнении с рассматриваемыми в БВ-методе с помощью бозонного функционала фиксирующего калибровку (впервые предложенного в [168]) было рассмотрено Гейером, Лавровым и Мошиным [169, 170]. Указанный функционал удовлетворяет тому же уравнению, что и квантовое действие, если в уравнении для квантового действия заменить нильпотентный оператор первого порядка V на нильпотентный оператор U [169, 170]. Сами операторы У, U являются существенными ингридиента-ми в [165, 166] и [169, 170] с точки зрения суперполевой интерпретации БРСТ-преобразований.
В гамильтоновом формализме Баталиным, Берингом и Дамгаар-дом [171, 172] также была предложена версия суперполевого квантования как в рамках метода функционального интеграла, так и в оператор-
ной формулировке с ее обобщением на случай произвольного фазового пространства. В данной версии особенностью получения лагранжева су-перполевого вакуумного функционала [171] является его воспроизведение из гамильтонова интегрированием по так называемым пфаффиановским гостам и импульсам в функциональном интеграле. При этом в отличие от ковариантного формализма реализация принципа БРСТ-симметрии основана на нетривиальном зацеплении переменных і и ^, представленном фермионным оператором Т> = дд + Odt ([Р,Р]+ = 2с^), что позволяет унифицированно описывать динамику и калибровочные симметрии.
Исследования по суперполевому квантованию тесно коррелируют-ся с методами построения обобщенных пуассоновских сигма-моделей [173, 174], с геометрической суперполевой точки зрения разработанных впервые Александровым, Заборонским, Концевичем и А.Шварцем в [175] и алгоритмически развитых Баталиным и Марнелиусом [176, 177] (см. также [178]). Геометрия D = 2 суперсимметричных сигма-моделей [179] с произвольным, N > 1, числом грассмановских координат была применена для классического и квантового описания D = 1 сигма-моделей Халлом [180] и независимо для построения вакуумного функционала (статистической суммы) при N = 2 Гоззи, Деотто, Рейтером, Такке-ром [181-183]. Квантование с одним фермионным суперзарядом Q(t,6), содержащим операторы БРСТ-заряда и унитаризующего гамильтониана [171], было недавно обобщено Баталиным и Дамгаардом для ./V = 2 (не пространственно-временных) суперсимметрий [184], а затем Баталиным и Берингом и на случай произвольного числа суперзарядов Qk(t, в1,..., 9N), к = 1,...,АГ, зависящих от грассмановских переменных 9к [185]. Предложенная Григорьевым и Дамгаардом [186] модификация квантования [171, 172] выявила тесную взаимосвязь между квантовым действием БВ- и БРСТ-зарядом БФВ-методов. Наконец, следует отметить об использовании суперполевого подхода Баталиным и Марнелиусом в [187] при описании динамических систем со связями второго рода
в качестве калибровочных моделей, а также Барнихом и Григорьевым в [188] при вторичном квантовании калибровочных теорий.
В формализме работ [165, 166, 169, 170] осуществлен сравнительно полный анализ свойств суперполевого квантования (БРСТ-инвариантность, калибровочная независимость S-матрицы). Указанный анализ основан на структуре решений производящих уравнений (мастер-уравнений для квантового действия и действия фиксации калибровки). Однако детального соответствия между этими решениями и определением самой калибровочной модели указано не было. Представляется естественным снабдить метод [165, 166, 169, 170] явным суперполевым описанием структурных функций калибровочной алгебры, определяющих данную модель теории поля [196, 197].
Определение производящего функционала функций Грина ^[Ф*] в [165, 166], а также вакуумного функционала Z работ [169, 170] включает, в общем, зависимость калибровочного фермиона Ф[Ф] и квантового действия 5[Ф, Ф*] (для Z более чем линейную зависимость действия фиксирующего калибровку, Х[Ф, Ф*]), от полей Xа - компонент суперполя ФА(в) в мультиплете (ФА,ФА)(6) = (фА + ХА9, ф\ - 9JA)Z. Это приводит к отличию функционалов ^[Ф*] и Z от производящего функционала функций Грина БВ-метода и вакуумного функционала "первого уровня" [150] соответственно.
Суперполевое квантование, использованное в [165, 166, 169, 170], основано на построении производящего функционала функций Грина, а задача построения в суперполевой форме производящего функционала вершинных функций Грина (эффективного действия) в этих работах не рассматривалась. В связи с этим следует отметить, что определение производящих функционалов функций Грина, включая эффективное действие, не рассматривалось и в методе квантования с неабелевыми гиперкалибровками [150-152].
3Набор переменных фА, ф*А, Xа, J а соответствует полям, вспомогательным полям, вводящим калибровку, антиполям и источникам к полям фА, составляя полный набор переменных БВ-метода [48, 49].
Кроме того интересной представляется формулировка правил ла-гранжева квантования, в том числе суперполевого, при условии, что калибровочная модель изначально задается квантовым действием - функционалом на антисимплектическом многообразии полей и антиполей так, что для задания производящих функционалов функций Грина невозможно без нарушения ковариантности и локальности наложить независимые гиперкалибровки. Следовательно, возникает задача описания правил квантования с приводимыми гиперкалибровками, чей набор полон, т.е. содержит необходимое подмножество независимых гиперкалибровочных функций.
В свою очередь, правила квантования [165, 166, 169, 170], предложенные для специального случая координат Дарбу, включающие классические поля исходного конфигурационного пространства, естественно сформулировать в рамках общих координат на произвольном антисимплектическом многообразии для выявления геометрического содержания объектов суперполевого квантования.
Разрешению вопросов, связанных с вышеуказанной проблематикой, а также приложениям, основанным на изучении формы калибровочной зависимости различных физических величин в рамках БВ и Sp(2)-KO-вариантного лагранжевых методов квантования калибровочных теорий и посвящается настоящая диссертация, чем и обусловлена ее актуальность.
Основными задачами диссертации являлись следующие:
доказательство независимости от малой вариации калибровки эффективного действия с составными полями на массовой оболочке в рамках 8р(2)-ковариантного лагранжевого квантования; представление формы зависимости от калибровки эффективного действия с составными полями в методе БВ-квантования с помощью квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями;
изучение зависимости от калибровочного параметра в специаль-
ной однопараметрической бэкграундовской калибровке однопетлевого эффективного действия в эйнштейновской гравитации;
построение и изучение свойств нечетных лагранжевой и гамиль-тоновой формулировок произвольной приводимой 9-локалъной суперполе-вой модели (ЛСМ) как естественного расширения обычной модели калибровочной теории классических полей в лагранжевом формализме;
построение #-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках для приводимой калибровочной модели, специально выделенной из общей суперполевой модели; определение и изучение свойств #-локальных производящих функционалов функций Грина, включая суперполевое эффективное действие;
решение задачи дуального описания41 калибровочной теории конечной L-стадии приводимости в ковариантной формулировке в терминах БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями 1 рода (L + 1)-стадии приводимости;
построение суперполевого лагранжева квантования в произвольных координатах на антисимплектическом многообразии;
построение ^-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования для произвольной калибровочной модели в неабелевых зависимых гиперкалибровках конечной К-стадии приводимости.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе проведено исследование зависимости эффективного действия (ЭД) с составными полями от малой вариации калибровки для калибровочных теорий общего вида в рамках 8р(2)-ковариантного лагранжевого (Баталина-Лаврова-Тютина) метода квантования. Выведены тождества Уорда для производящих функционалов обычных Z(J, Фаіфі L), связных W(J, *, ф, L) и вершинных (ЭД) Г(, ф*а,ф, ) функций Грина. Вариация ЭД с составными полями получена в терминах
4Под дуальным описанием понимается возможность взаимосвязанного описания приводимой калибровочной модели в терминах величин лагранжева и гамильтонова формализмов.
нильпотентных операторов, являющихся деформациями по усредненным составным полям Иш квантовых генераторов расширенных БРСТ-преобразований. Доказана теорема о независимости от малых вариаций калибровки ЭД с составными полями в 8р(2)-ковариантном формализме. Рассмотрен частный случай теоремы для калибровочно-инвариантных составных полей. Полученный результат позволил придать новую форму вариации ЭД с составными полями при вариации калибровочного ферми-онного функционала АХ(ф,ф*) соответствующего инфинитезимальному антиканоническому преобразованию в рамках БВ-метода квантования. Ответ для вариации ЭД с составными полями представлен как в виде действия генератора БРСТ-преобразований с составными полями на усредненный функционал ((АХ)), так и в следствие использования тождеств Уорда (для ЭД с составными полями) в форме пропорциональной экстремалям данного ЭД.
В главе 2 проведен анализ зависимости от калибровки эффективного действия для янг-миллсовских теорий в рамках частного случая БВ-метода квантования, описываемого правилами Фаддеева-Попова [11]. С помощью диаграммной техники Барвинского-Вилковысского [189] в схеме размерной регуляризации метода интегрирования по собственному времени Швингера вычислена расходящаяся часть эффективного действия в эйнштейновской гравитации в специальной однопараметрической бэкграундовской калибровке. Результат опровергает утверждение работы [190] о зависимости в рассматриваемой модели однопетлевого эффективного действия от калибровки на массовой оболочке и соответствует общим утверждениям о независимости физических величин в неаномальных теориях от калибровки на экстремалях перенормированного эффективного действия.
В главе 3 предложена общая процедура построения нечетных ла-гранжевой и гамильтоновой формулировок5 ЛСМ, представляющими со-
5 Термины "нечетные лагранжева и гамильтонова формулировки" локальной суперполевой модели отличаются от понятий "лагранжево и гамильтоново квантования".
бой специальные расширения обычной модели теории классических полей в ^-локальную суперполевую модель. ЛСМ задана соответственно на нечетных касательном и кокасательном расслоениях с базой расслоения, являющейся конфигурационным пространством обобщенных классических суперполей. Эти суперполя при в = 0 и нулевом гостовском числе совпадают с классическими полями. Подобное вложение обычной модели в ЛСМ позволило указать на новый способ вывода двух форм мастер-уравнений в нечетных гамильтоновои и лагранжевои формулировках как условий существования нетеровского интеграла, связанного с глобальными ^-трансляциями.
Для специально ограниченной ЛСМ, соответствующей обычной модели теории калибровочных полей, сформулированы правила локального суперполевого лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках. Для этого, во-первых, предложен суперполевой алгоритм построения квантового действия в исходных координатах на основе интерпретации соотношений приводимости ЛСМ как специальных калибровочных преобразований гостовских суперполей минимального сектора, преобразованных в единую интегрируемую гамильтонову систему. Во-вторых, построено дуальное описание произвольной калибровочной теории L-стадии приводимости в терминах БРСТ-заряда формальной, ввиду отсутствия четного временного параметра, динамической системы со связями первого рода (L + 1)-стадии приводимости. В-третьих, в терминах квантового и соответствующего неприводимым гиперкалибровкам калибровоч-но-фиксирующего действий определены производящий функционал функций Грина Z(0) и эффективное действие Г(0). Суперполевые преобразования БРСТ-симметрии реализованы в виде ^-сдвигов вдоль интегральной кривой гамильтоново-подобной системы, построенной в терминах ^-локальной антискобки. Выведены суперполевые тождества У орда для всех производящих функционалов функций Грина.
На основе компонентной формулировки установлены соответствия
локального квантования с формализмом "первого" уровня Баталина-Тютина, БВ-методом и суперполевым методом работ [165, 166, 169, 170]. Предложено обобщение функционального суперполевого лагранжева квантования [165, 166, 169, 170] на случай произвольного антисимплек-тического многообразия. Найдены ограничения на геометрию супермногообразия и на дополнительные гиперкалибровочные условия, определяющие функциональную меру, из требований антикоммутирования всех операторов и корректного преобразования указанной меры.
Предложена формулировка локального суперполевого лагранжева квантования произвольной калибровочной теории в приводимых неабеле-вых гиперкалибровках конечной К-стадии приводимости. Структурные функции и соотношения калибровочной алгебры гиперкалибровок описаны с точностью до первого порядка по суперантиполям, сопряженным лагранжевым множителям минимального сектора. Калибровочно-фикси-рующее действие определяется в неминимальном секторе и для него предложена соответствующая фазовому антиканоническому преобразованию процедура фиксации калибровки, задаваемая так называемым калибровочным фермионом второго уровня, зависящим только от лагранжевых множителей. Построены производящие функционалы функций Грина, включая ЭД. Суперполевые БРСТ-преобразования реализованы в виде ^-сдвигов вдоль интегральной кривой гамильтоново-подобной системы (содержащей дополнительные нетривиальные уравнения), построенной по разности локальных квантового и калибровочно-фиксирующего действий. Доказана калибровочная независимость S-матрицы, выведены более общие, в сравнении с случаем неприводимых гиперкалибровок тождества Уорда и установлена связь с формализмом "первого" уровня и функциональным суперполевым квантованием [165, 166, 169, 170].
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.
Результаты, положенные в основу диссертации, обсуждались на
научных общегородских семинарах по теоретической физике Томского политехнического университета,
научных семинарах кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета,
научных семинарах физического факультета Барселонского университета (Испания),
научных семинарах физического факультета Сарагосского университета (Испания),
научных семинарах Института теоретической физики Лейпцигского университета (Германия),
а также докладывались на следующих конференциях:
Международной конференции Quantum Field Theory and Gravity, Томск, август 1994,
Второй международной конференции Quantum Field Theory and Gravity, Томск, июль-август 1997,
Международной конференции Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation, Томск, июль, 2002,
Международном семинаре Supersymmetries and Quantum Symmetries, Дубна, июль, 2003,
Международном семинаре Quantum Field Theory, Supersymmetry, High Spin Fields, Gravity, Томск, март, 2005.
Результаты исследований опубликованы в статьях [191-198].
Диссертация выполнена в Томском государственном педагогическом университете по открытому плану научных исследований в рамках международных проектов ISF Grant RI1000, RI1300, ISSEP Grants A12-F, А96-140, А97-357.
Зависимость от калибровки производящих функционалов функций Грина с составными полями в 8р(2)-ковариантном квантовании
Задача построения теоретико-полевых моделей реализующих описание известных в настоящий момент фундаментальных взаимодействий между элементарными частицами в рамках единого взаимодействия по-прежнему является основной в теоретической физике высоких энергий. Результаты, полученные в этом направлении в течение последних 30-35 лет хорошо известны [1-7]. Они существенно используют математический аппарат теории калибровочных полей.
Принцип локальной калибровочной инвариантности, впервые введенный Г.Вейлем [8] в связи с попытками построить единую геометрическую электрогравитационную теорию и в современном понимании сформулированный Янгом и Миллсом [9] для описания сильных взаимодействий, подразумевает существование калибровочных полей. В настоящий момент в семейство калибровочных полей вместе с электромагнитным и гравитационным включены неабелевые калибровочные поля Янга-Миллса.
Противоречия (например, неунитарность S-матрицы), указанные Фейнманом [10] в связи с попытками применения при квантовании неа-белевых калибровочных теорий методов, используемых ранее для теории электромагнитного поля, положили начало систематическому исследованию общих правил квантования таких теорий. Непротиворечивые правила квантования теорий с калибровочной группой в ковариантном (ла-гранжевом) формализме известные сейчас как правила Фаддеева-Попова были сформулированы в работах Фаддеева и Попова [11], Девитта [12], Манделстама [13], Фрадкина и Тютина [14].
Обобщенные тождества Уорда, полученные Славновым [15] и Тейлором [16], стали важным моментом в развитии квантовой теории калибровочных полей, первоначально представляя основу для доказательства калибровочно-инвариантной перенормируемости теории безмассовых калибровочных полей.
Спонтанное нарушение калибровочной симметрии у частиц, описываемых калибровочными полями, с возможностью генерации массы без нарушения свойства перенормируемости такой модели, обоснованное т Хуфтом [17], привело к реальному применению теории калибровочных полей в физике элементарных частиц, в том числе к различным вариантам построения единых теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий (см., например, [18-21]). К тому же преимущество неа-белевых калибровочных теорий отразилось в построении моделей [22, 23] в которых отсутствует проблема "нуля-заряда" [24, 25], присущая всем ранее известным теориям.
Современное становление теории калибровочных полей было инициировано работами Бекки, Руэ, Стора [26, 27] и Тютина [28]. В них калибровочная инвариантность первоначальной классической теории достраивается до специальной глобальной суперсимметрии (БРСТ-симметрии) квантового действия, построенного по правилам Фаддеева-Попова. БРСТ-инвариантность привела к возможности переформулировки Зинн-Жустином [29] правил Фаддеева-Попова для теорий Янга-Миллса в виде инвариантном для всех калибровочных теорий, способствующим более простому проведению общих расссуждений. А именно, введя дополнительные источники к БРСТ-преобразованиям, он представил содержание калибровочной теории в виде квадратичного уравнения для расширенного действия без явного упоминания об исходной калибровочной группе.
Наличие БРСТ-инвариантности позволило проводить анализ унитарности теории непосредственно в ковариантном методе квантования, опираясь на формализм, открытый Куго и Оджимой [30]. Нетеровский нильпотентный БРСТ-заряд, соответствующий БРСТ-инвариантности, являясь основной величиной данного формализма, позволяет корректно выделить подпространство физических состояний и проанализировать проблему унитарности физической S-матрицы.
Значительный шаг в расширении представления о калибровочной теории был осуществлен в связи с открытием суперсимметрии [31-36] и ее локальным вариантом, реализованным в теориях супергравитации [37-39] . Главные отличия суперсимметричных теорий от янг-миллсовских отражаются как в зависимости структурных функций алгебры генераторов локальной суперсимметрии от полей, так и разомкнутости ее самой слагаемыми, пропорциональными уравнениям движения (открытые алгебры).
Работа Фрадкина и Васильева [43], посвященная квантованию супергравитации, указала на необходимость изменения правил Фаддеева-Попова. Для простой N = 1 супергравитации модифицированные правила ковариантного квантования были даны в работах Нильсена [44] и Каллош [45, 46]. Лагранжево квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй было предложено де Вит и ван Хольтеном [47]. Работы Баталина и Вилковыского [48, 49] придали современный и окончательный вид методу квантования произвольных калибровочных теорий в лагранжевом формализме (БВ-метод).
Калибровочная зависимость эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования
Наличие БРСТ-инвариантности позволило проводить анализ унитарности теории непосредственно в ковариантном методе квантования, опираясь на формализм, открытый Куго и Оджимой [30]. Нетеровский нильпотентный БРСТ-заряд, соответствующий БРСТ-инвариантности, являясь основной величиной данного формализма, позволяет корректно выделить подпространство физических состояний и проанализировать проблему унитарности физической S-матрицы.
Значительный шаг в расширении представления о калибровочной теории был осуществлен в связи с открытием суперсимметрии [31-36] и ее локальным вариантом, реализованным в теориях супергравитации [37-39] . Главные отличия суперсимметричных теорий от янг-миллсовских отражаются как в зависимости структурных функций алгебры генераторов локальной суперсимметрии от полей, так и разомкнутости ее самой слагаемыми, пропорциональными уравнениям движения (открытые алгебры).
Работа Фрадкина и Васильева [43], посвященная квантованию супергравитации, указала на необходимость изменения правил Фаддеева-Попова. Для простой N = 1 супергравитации модифицированные правила ковариантного квантования были даны в работах Нильсена [44] и Каллош [45, 46]. Лагранжево квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй было предложено де Вит и ван Хольтеном [47]. Работы Баталина и Вилковыского [48, 49] придали современный и окончательный вид методу квантования произвольных калибровочных теорий в лагранжевом формализме (БВ-метод).
Одновременно с ковариантным развивался и гамильтонов (канонический) метод квантования динамических систем (калибровочных теорий), характеризующихся обязательным наличием связей первого рода (разделение связей на первый и второй род предложено Дираком [50]). В работе Фаддеева [51] была построена каноническая S-матрица для динамических систем с бозонными связями первого рода в канонических калибровках. Фрадкин [52] получил выражение для производящего функ 1 Последовательное изложение теорий суперсимметрии и супергравитации смотри также в [40-42]. ционала функций Грина и канонической S-матрицы для динамических систем со связями первого и второго рода произвольной грассмановской четности в канонических калибровках.
Квантование динамических систем с бозонными связями первого рода в релятивистских калибровках было выполнено Фрадкиным и Вил-ковыским [53] и расширено на случай произвольной грассмановской четности Баталиным и Вилковыским [54]. Наконец, Фрадкин и Фрадкина [55] проанализировали случай динамических систем с бозонными и фермион-ными связями первого и второго рода, а Баталии и Фрадкин обобщили его для систем с приводимыми (в случае невозможности ковариантного выделения независимых связей среди избыточных) связями первого [56] и второго [57] родов. Квантование по правилам [53-57] сейчас носит название обобщенного канонического формализма или БФВ- (Баталин-Фрадкин-Вилковыский) метода (см. также обзор Энно [58]). Важным применением этого метода стало, например, последовательное каноническое квантование эйнштейновской гравитации [59] и супергравитации [43].
Однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации
Отметим, что успехи достигнутые в рамках глобально-суперсимметричных теорий, связанные с сокращением расходимостей (см., например, модели работ [60-62] с N = 4 расширенной суперсимметричной теорией Янга-Миллса и [63] с двумерными суперсимметричными сигма-моделями), все же не обеспечили конечность во всех порядках теории возмущения теорий супергравитаций несмотря на возможность 1 N 8 [64-66]. Следовательно, использование только принципов суперсимметрии оказалось не достаточным для построения квантовой теории гравитации. Современные представления об унификации взаимодействий подразумевают возможность вывода последовательной квантовой теории гравитации в качестве некоторого (низкоэнергетического) предела более фундаментальной эффективной теории.
Работы Ионеи, Неве, Шерка и Дж.Шварца [67-73], а далее Грина, Дж.Шварца, Виттена, Гросса, Харви, Мартеника и Рома [74-79] предложили в качестве таковой теорию суперструн (протяженных геометрических объектов малых размеров). К настоящему моменту известно пять различных формулировок суперструны [80] (для обзора теории (су-пер)струн см. [80, 81]), являющимися составными частями единой 11-мерной М-теории (см., например, [82-85]).
Одно из направлений для последовательного описания процессов рассеяния частиц на очень малых, так называемых планковских расстояниях, например, в окрестности космологической сингулярности и при гравитационном коллапсе, реализуется в рамках теории р-адических струн, введенных Воловичем в [86] (для обзора см. [87, 88]). Рассмотрение р-адических струн обусловлено флуктуациями на планковских масштабах метрики и топологии пространственно-временного многообразия, а также нарушением архимедовости числового поля.
Расширение многообразия элементарных частиц, помимо теорий (супер)струн предположительно позволяющее в новом виде разрешить проблему объединения всех фундаментальных взаимодействий, также связывается с задачей построения последовательной формулировки классического и квантового описания так называемых (супер)полей высших (при s 2) (супер)спинов, включая нахождение ковариантной формы классических действий и их калибровочных симметрии. Характерной чертой подобных теорий как в случае бозонных, так и фермионных полей высших спинов является впервые реализованная, например, в безмассовом случае Фронсдалом и Фэнгом в [89, 90] особенность включения уже на свободном уровне полей разных спинов. Успехи и трудности на пути создания непротиворечивой теории взаимодействующих полей высших спинов, существенно различающихся в случае пространств Минковского и (анти-)де-Ситтера разной размерности, известны (см. работу Васильева и Фрадкина [91], а для обзора [92-94]). Среди методов, содержащих рецепты построения классических действий и уравнений движения для полей высших спинов, выделяются так называемый "развернутый" ("unfolded") формализм [95, 96] и метод, основанный на нахождении БРСТ-заряда для связей, определенных структурой неприводимого представления соответствующего спина группы Пуанкаре [97, 98]2. Их применением стало соответственно построение, например, Васильевым и Лопатиным теорий как свободных, так и взаимодействующих с (анти-)де-Ситтеровским фоном полей высших спинов [100, 101] и, например, Бухбиндером, Крыхтином, Пашневым моделей фермионных безмассовых полей высших спинов [102], лагранжевые действия которых обладают приводимыми калибровочными симметриями.
Другим перспективным направлением, служащим для эквивалентного описания эффективного перенормированного действия, содержащего высшие, в сравнении с затравочным классическим действием калибровочной теории, калибровочно-инвариантные члены взаимодействия, стала некоммутативная теория калибровочных полей. Предложенная в рамках теории струн Сайбергом и Виттеном связь между некоммутативным и коммутативным описанием калибровочной теории [103] основана на введении параметра некоммутативности и осуществляется посредством так называемого отображения Сайберга-Виттена. Анализ этого отображения, согласованно деформирующего исходные действие и калибровочные преобразования классической модели в некоммутативную теорию с деформированным действием инвариантным относительно деформированных калибровочных преобразований, изучался для янг-миллсовских и черн-саймоновских теорий с использованием техники БРСТ-симметрии в рамках метода Фаддеева-Попова в работах [104-106], а в рамках БВ-метода в [107].
Локальное суперполевое квантование с неприводимыми гиперкалибровками
Дополнительно к БРСТ-симметрии квантовый лагранжиан теории, полученный по правилам Фаддеева-Попова, инвариантен относительно открытой в работах [108-110] "анти-БРСТ-симметрии". Ныне общепринятым термином является "расширенная БРСТ-симметрия", объединяющая БРСТ- и анти-БРСТ-симметрии. Разнообразному использованию расширенной БРСТ-симметрии в калибровочных теориях посвящено достаточное число работ. Например, перенормируемость и калибровочная инвариантность в теориях с замкнутой алгеброй в лагранжевом формализме исследовались в [111, 112].
Одна из геометрических реализаций (БРСТ) расширенной БРСТ-симметрии была предложена Бонорой, Пасти, Тониным [113, 114] за счет расширения пространства Минковского (одной) двумя антикоммутиру-ющими координатами так, что сами (БРСТ) расширенные БРСТ-пре-образования представлялись сдвигами вдоль этих координат. Подобная формулировка обеих БРСТ-симметрий использовалась для построения лагранжевых действий для теорий Янга-Миллса [115-117], гравитации [118], простой N = 1 супергравитации [119].
В рамках БФВ-метода [53-57] расширенная БРСТ-симметрия была впервые проанализирована в работе Хванга [120] для динамических систем со связями первого рода в специальных калибровках. Для произвольных калибровок в работе [121], при постоянных структурных функциях в соотношениях инволюции был предложен унитаризующий гамильтониан [53] инвариантный относительно расширенных БРСТ-преобразований.
Принцип расширенной БРСТ-симметрии в наиболее последовательном виде был реализован Баталиным, Лавровым и Тютиным в рамках правил гамильтонова [122-124] и лагранжева [125-127] Sp(2)-ковариантных квантований калибровочных теорий. Эти методы обеспечивают эквивалентность (продемонстрированную в работах [122, 125]) результатов канонического и лагранжева квантований калибровочной модели на основе стандартной и расширенной версий БРСТ-симметрии. Исследования по применению расширенной БРСТ-симметрии развивались также группой Энно (см., например, [128-131]), в работах Нер-сесяна, Дамгаарда, Де Ионга, Беринга и Татару [132-135]. В частности, решения производящих уравнений 8р(2)-ковариантных методов квантования для неприводимых калибровочных теорий с точностью до третьего порядка по полям и координатам вспомогательного сектора в лагранже-вой и гамильтоновой версиях соответственно были найдены в работах [136-138].
В целом правила квантования на основе стандартного [48,49, 53-58] и расширенного [122-127] вариантов реализации БРСТ-симметрии являются сейчас наиболее общим методом исследования квантовых свойств калибровочных теорий таких как анализ условий унитарности [30, 139, 140], изучение перенормировки, зависимости от калибровки [127, 141— 145], совместно с выводом тождеств Уорда [122, 125].
Ингридиенты БВ-метода, рассмотренные с точки зрения теории супермногообразий [146], нашли четкую классификационную градацию в работах А.Шварца [147, 148] (см. также [149]), представляя собой более сложный аналог симплектической геометрии. Само лагранже-во квантование [48, 49] усовершенствовалось в направлении введения так называемых неабелевых, при вычислении относительно антискобки, калибровочных условий (гиперкалибровок) Баталиным и Тютиным в работах [150-152]. Эти условия применимы в случае произвольного антисимплектического многообразия и позволяют определить более широкий класс функционалов, содержащих результирующее квантовое действие, соответствующее исходной калибровочной теории и получающееся в результате интегрирования в функциональном интеграле по той половине специальных неантиканонически сопряженных координат указанного многообразия (из координат Дарбу), относительно которых гиперкалибровки разрешимы. 8р(2)-ковариантное лагранже-во квантование также совершенствовалось в виде обобщения до Sp(2) симметричного метода [153], сформулированного Баталиным и Марне-лиусом (см. также [133, 134]), затем Баталиным, Марнелиусом, Семи-хатовым до триплектического [154, 159] и Гейером, Гитманом, Лавровым до модифицированного триплектического [155, 156] методов (в связи с концепцией супермногообразий Федосова [157, 158]). Соответствующая этим методам геометрия была развита в работах [159-163].
В свою очередь, наличие -градуированных дифференциальных структур и величин на супермногообразиях привело к обобщению концепции (обыкновенных) дифференциальных уравнений посредством введения Шандером в [164] так называемого супервремени % = (,#), включающему дополнительно к четной переменной t R нильпотентный параметр в.
Упомянутая ранее реализация БРСТ (расширенной БРСТ) симметрии в виде трансляций вдоль переменных в (в, в), расширяющих пространство Минковского R1 -0-1 [113-117], стимулировала появление первых работ по суперполевому обобщению лагранжева БРСТ-квантования [165, 166] и 8р(2)-ковариантного [167]. Развитие суперполевого метода [165, 166] для случая введения более широкого класса абелевых гиперкалибровок в сравнении с рассматриваемыми в БВ-методе с помощью бозонного функционала фиксирующего калибровку (впервые предложенного в [168]) было рассмотрено Гейером, Лавровым и Мошиным [169, 170]. Указанный функционал удовлетворяет тому же уравнению, что и квантовое действие, если в уравнении для квантового действия заменить нильпотентный оператор первого порядка V на нильпотентный оператор U [169, 170]. Сами операторы У, U являются существенными ингридиента-ми в [165, 166] и [169, 170] с точки зрения суперполевой интерпретации БРСТ-преобразований.
