Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время нелинейные процессы игра-от все большую роль в исследованиях в различных областях физики. і&к обычно, такие процессы описываются нелинейными дифференциаль--шми уравнениями в частных производных, поэтому приобретает прин-дипиальное значение изучение этих уравнений. В этом направлении значительных успехов достиг метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), гоэволяющий точно интегрировать некоторые классы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме точных решений, ірименение МОЗР дает некоторую информацию и о структуре изучаемых 'равнений.'В частности, интегрируемые по МОЗР дифференциальные ура-«ения имеют бесконечное множество интегралов движения и симметрии, меют солитонные решения и т. д. К сожалению, далеко не все урав-ения интегрируемы, поэтому принципиальным является разработка ке-одов, позволяющих проверить данную систему уравнений на интегри-уемость по МОЗР.
Одним из универсальных методов проверки интегрируемости явля-тся метод Захарова-Шульмана /I/. В ней центральную роль играет воп-ос вырожденности закона дисперсии относительно допустимых процессов аспада " т волн на п волн". Оказывается, для существования у си-гемьг дополнительных интегралов движения (что является необходимым :ловием интегрируемости по МОЗР) необходима или вырожденность за-жа дисперсии относительно данного процесса, или равенство нулю і резонансной поверхности этого же процесса соответствующего мат-ічного элемента классической матрицы рассеяния. Как показывает «штика, обычно достаточно рассмотреть первые,два-три процесса, «этому особый интерес представляет изучение вырожденности законов
- 4.-
дисшрсии относительно простейшего процесса распада I—«-2. Важное: этого вопроса не исчерпывается его значением для метода Захарова-Шульмана. Как показано этими же авторами /2/, от вырожденности закона дисперсии относительно процесса I —»2 зависит, является или нет интегрируемой по Лиувиллю данное многомерное гамильтоновое boj новое уравнение с бесконечным числом интегралов движения. Кроме тогр, если закон дисперсии гамильтоновой системы с кубическим взаимодействием вырожден относительно этого процесса, то соответствующее кинетическое уравнение, независимо от конкретного вида гамилі тониаиа, имеет бесконечное число интегралов движения /3/.
Целью диссертационной работы является исследование вопроса вырожденности многомерных законов дисперсии относительно процесса I—-Z и проверка на интегрируемость по МОЗР конкретных систем: системы уравнений Захарова-Михайлова /4/ и системы уравнений несимме тричного кирального поля на
Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертационной работе получены условия, которым должны удовлетворять вырожденные многомерные законы дисперсии. Их использование, в большинстве случаев, дает возможность без особого труда установить вырожден или нет данный закон'дисперсии относительно процесса 1-»2 (речь идет о процессах распада с участием одного типа волн). В свою очередь, это позволит установить интегрируемо или нет по Лиувиллю данное нелинейное диіТферєнциальное уравнение и имеет или нет соответствующее кинетическое уравнение дополнительные интегралы движения. Кроме того, проверка вырожденности закона дисперсии отно ситепьно процесса I—»2 - эта первая (и иногда конечная1 ступень проверки самого уравнения на существование дополнительных интегралов движения и его интегрируемости по МОЗР.
В диссертации получены условия интегрируемости по МСЗР систем уравнений Захарова-Михайлова и несимметричного кирального ноля на
- 5-ъО(Ц) . Использованный при этом оригинальный метод поиска ингег->алов движения у соответствующих систем обыкновенных дифференциаль-гых уравнений, можно применить и для других конечномерных систем, :оторые имеют полиномиальные интегралы движения. К защите представлены следующие результаты:
-
Найдены двумерные вырожденные законы дисперсии &(к) — -lo(p,
-
Среди аналитических в нуле многомерных законов дисперсии, ;овлетворяющих условию W(0) ~ О > вырожденными на классе докус-1мых функции (см. (3)')относительно процесса I—*2 могут быть толь-> двумерные, которые или имеют вид однородного полинома третьей 'епени, или при К ~*0 разлагаются в следующем виде
ш (Ю ~ ш(і)(к) + U)'3)(K) + ...,
исутствие полинома № (к) необходимо, причем он должен
зть три вещественных корня, два из которых совпадают. Найден ряд /тих необходимых условии вырожденности.
3. Рассмотрены условия вырожденности многомерных законов диспер-;
—#
і, которые при больших К разлагаются в виде (15) с неквазиодно->ным i/ (К) . Доказано,что законы дисперсии размерности боль-чем два, удовлетворяющие этому условию, невырокденны на соответ-іующем классе допустимых функции (см. (16)) относительно процесса 2. Невырождвнны также двумерные законы дисперсии с А/~ф 3
A/ zzl J , среди двумерных законов дисперсии, удовлетворяющих олнительно одному из приведенных в теореме 2.2 условий, вырожден-
ными на соответствующем классе допустимых функции могут быть тольи перечисленные в пункте I. законы дисперсии.
4. Система уравнений Захарова-Михайлова (24) с невырожденным J интегрируется но ШХіР только тогда, когда она совпадает с сие темой уравнений несимметричного карального поля на S0(3) , т. е когда J ~ = О
6. При выполнении условия (37), система уравнений несимметрич ного карального ноля на SO(^f) не интегрируется по МОЗР за исключением случаев (38), (39) и (40). В первом случае елстема ингег рируема, а в двух остальных вопрос остается открытым. Найдены все интегралы движения, которые имеет соответствующая редукцированная система обыкнавенных дифференциальных уравнений.
Апробация результатов. Основные материалы диссертации опублик ваны в 4-х научных работах и докладывались на Международной конференции по нелинейным явлениям в физике (1991, Потсдам (США)).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введени трех глав, в которых изложены результаты работы, Заключения с осно ными выводами и списка литературы из 108 наименований. Работа изло жена на 106 страницах машинописного текста.
