Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. 3
1.1. Токовый слой и особые линии магнитного поля 3
1.2. Токовый слой в природе и эксперименте.. 4
1.3. Модели пересоединения 8
1.4. Модель токового слоя с антипараллельными полями . 18
2. Постановка задачи 28
3. Образование токового слоя из волны и картина течения. Числа Сыроватского . 35
3.1. Формирование слоя из волны возмущения 35
3.2. Магнитное поле и течение плазмы в окрестности слоя 38
3.3. Числа Сыроватского... 45
3.4. Самовозбуждение токового слоя при импульсном возмущении на границе области 49
3.5. Токовый слой, созданный малым возмущением на границе области 56
4. Тепловые эффекты в токовом слое 58
4.1. Роль теплопроводности 58
4.2. Численное моделирование токового слоя в двухтемперату-рном приближении . 73
5. Предельная скорость пересоединения ... 83
5.1. Результаты расчетов при сильном граничном возмущении... 83
5.2. Возрастание напряженности магнитного поля вблизи токового слоя 95
5.3. Накопление магнитных линий в космических и лабораторных условиях . 99
6. Роль продольной компоненты магнитного поля... 101
7. Нестационарность плазменных параметров в токовом слое и быстрая перестройка магнитного поля и течения ... III
7.1. Уменьшение толщины слоя и флуктуации величин в квазистационарном резшме III
7.2. Резкое изменение конфигурации магнитного поля и течения 119
7.3. Эволюция токового слоя с плохой теплопроводностью 128
8. Заключение... 136
Литература
- Модели пересоединения
- Самовозбуждение токового слоя при импульсном возмущении на границе области
- Численное моделирование токового слоя в двухтемперату-рном приближении
- Накопление магнитных линий в космических и лабораторных условиях
Модели пересоединения
Конечные размеры зонда и вызываемое им возмущение в плазме мешают достаточно хорошо измерить величины в структурах с малыми размерами. При численном моделировании если выбрать соответствующим образом параметры плазмы (что сравнительно легко сделать) можно работать со структурами, имеющим достаточно большие размеры. Для расчета таких структур можно применять разностную схему с достаточно хорошей точностью. 1.3. Модели пересоединения.
Процессы пересоединения могут происходить также в бессиловых конфигурациях магнитного поля (когда п X Юъ п- 0 ) gg—68J . Для неустойчивости связанной с таким пересоединением необходимо, чтобы ( К, п )=0 ( к - волновой вектор). Такое условие может быть выполнено только на особых силовых линиях [69J .
В настоящей работе рассматривается токовый слой в плоском приближении (все величины не зависят от координаты i? ). Формирование токового слоя происходит в окрестности нейтральной точки
Гради ент магнитного поля, см. рис. 2 ) из волны, вызванной перпендикулярным плоскости электрическим полем. Исследуется также роль продольной компоненты магнитного поля (т.е. параллельной оси Z ).
Электрическое поле создает дрейфовое движение плазмы в окрестности нейтральной точки - плазма будет втекать и вытекать в эту окрестность в направлениях, перпендикулярных силовым линиям (например, втекать вдоль оси Ц , а вытекать вдоль оси X ). Если выполнено приближение вмороженности [70,7l] , то нейтральная точка будет обладать интересной топологической особенностью - плазма сможет втекать и вытекать в её окрестность не накапливаясь, чего нельзя сказать о магнитных силовых линиях Чтобы выйти из окрестности нулевой точки магнитные силовые линии должны пересоединяться, что недопустимо при идеальной вмороженности. Поэтому магнитные линии будут накапливаться и вытягиваться в конфигурацию, соответствующую токовому слою. Накопление силовых линий приводит к увеличению градиента магнитного поля, а следовательно к непрерывному росту плотности тока в слое. Реальная плазма всегда обладает конечным сопротивлением, сколь бы мало оно не было, поэтому всегда имеется хотя бы малая диффузия магнитного поля, вследствие которой происходит пересоединение силовых линий. Рост плотности тока будет приводить к увеличению диффузии магнитного поля. Накопление силовых линий в слое будет продолжаться до тех пор, пока диффузия магнитного поля не возрастет на столько, что приход силовых линий вместе с потоком плазмы будет скомпенсирован пересоединением в слое. Очевидно, что в полученном таким образом квазистационарном токовом слое существенную роль играет течение плазмы - оно создает слой и поддерживает его на протяжении всего времени существования.
Разумеется, обратное влияние магнитных сил на течение плазмы играет существенную роль при формировании и дальнейшем развитии токового слоя. Магнитное давление заставляет плазму втекать в слой, а магнитное натяжение выбрасывает плазму вдоль слоя. Таким образом возникает самоподдерживающийся режим. Наличие продольного магнитного поля П не меняет рассуждений, поскольку продольное магнитное поле может приходить и уходить с потоком плазмы.
Для самосогласованного учета взаимного влияния магнитного поля и течения плазмы, решалась полная двумерная система МГД-урав-нений. Поскольку до настоящего времени не найдено аналитических ре шений, способных описать весь процесс образования и дальнейшего развития токового слоя, задача решалась численно.
В токовом слое приход силовых линий сбалансирован их пересоединением в слое из-за диффузии, вследствие чего на величину плотности тока в слое и толщину слоя должно оказывать существенное влияние магнитное число Рейнольдса: где У. = - z=r - альвеновская скорость на границе области, t - линейный размер области, у -п- F магнитная вязкость, о - проводимость плазмы. Фактически, число Рейнольдса представляет собой отношение изменения напряженности магнитного поля вследствие переноса вмороженных силовых линий плазмой к изменению напряженности, вызванному магнитной диффузией. Как показали расчеты, квазистационарный режим наступающий после образования токового слоя соответствует медленному изменению плотности плазмы, плотности тока, скорости и других величин. Если представить себе идеализированную стационарную картину, пренебрегая всеми медленными изме-нениями, то аналог магнитного числа Рейнольдса для слоя Нт І— должен быть равен единице (здесь v - скорость втекания плазмы непосредственно в слой, а С - толщина слоя).
Самовозбуждение токового слоя при импульсном возмущении на границе области
Схематическое изображение поведения величин в токовом слое. Сплошными линиями обозначены силовые линии магнит ного поля. Стрелками указаны направления движения, по линиям, состоящим из точек, течет плазма. Жирными линиями обозначены фронты ударных волн, за которыми располагают ся области поджатого магнитного поля и сильно повышенной плотности плазмы. Заштрихована область повышенной плот ности плазмы внутри слоя. Области ограничиваются линия ми: " ..-,—«,-область тока большой плотности, - . - -у - . - . - "области обратного тока, появившегося в результате поджатия магнитного поля потоками плазмы, выходящими из слоя, области пониженной плот ности вблизи слоя. В точках, обозначенных цифрами: I - скачок плотности в 1,5 раза; 2 - скачок плотности в 4 раза. продиссипировало в.слое необходимо, чтобы пересчитанное на толщину слоя магнитное число Рейнольдса было 1 . Уменьшение толщины слоя и увеличение плотности тока в нём происходит также при уменьшении газодинамического давления (Табл.2), поскольку при этом увеличивается скорость отекания плазмы в слой, а следовательно эффективное число Рейнвяьдса.
Как видно из Таблицы 2,, для представления влияния газодинамического давления и проводимости на токовый слой в качестве безразмерных параметров удобно использовать числа Сыроватского L и о . При симметричных наборах /, и р (т.е. при ц = А , - 0 и і г $ » $ И ) поведение величин в слое мало различается. Если и и $ приблизительно равны, то отношение толщины слоя к ширине по порядку величины совпадает с /, или д . Параметр L фактически является числом Рейнольдса, пересчитанным по скорости плазмы в волне возмущения. Грубо говоря, /, показывает, во сколько раз в уравнении для магнитного поля (2.1) член Хоъ [ VX У ), определяющий вмороженность превышает член / W( & іоі И ), определяющий диффузию. Параметр Р является отношением избытка магнитного давления возмущенного поля по сравнению с невозмущенным к газовому давлению. Поскольку начальная конфигурация магнитного поля соответствует отсутствию токов ( ъА Н (о ) = о ) , следовательно, магнитная сила равна нулю, то эта сила приближенно пропорциональна магнитному полю возмущения. Поэтому \ показывает, во сколько раз магнитные силы в уравнении движения (2.ЗЬревосходят градиент газового давления. Безразмерные параметры L И $ фактически являются отношениями по порядку величины членов, способствующих образованию тонкогог слоя к членам, препятствующим этому процессу в уравнениях магнитного поля и движения.
Толщина слоя и плотность тока в нем в основном определяются минимальным значением L и р в случае, когда L и У не сильно отличаются. Увеличение одного из этих параметров на порядок величины при неизменном другом приводит к увеличению плотности тока и отношению ширины слоя к толщине в 3 раза (Табл.2). Если такая тенденция верна и для значительно больших L и $ , чем используемые в данной работе, то она окажется важной для возможности существования тонких слоев в атмосфере Солнца, где L Ю10, л/ 3-Ю.
Теплопроводность слабо влияет на толщину слоя и плотность тока в нём. При изменении теплопроводности на три порядка толщина слоя и плотность тока в нем меняются на 1/3 своего значения. Уменьшение теплопроводности приводит к увеличению плотности тока в слое и уменьшению толщины слоя (Табл.2), поскольку температура в слое повышается, а проводимость
Для того, чтобы увидеть насколько может измениться толщина слоя при изменении параметров, распределения плотности тока и плотности плазмы приведены на рис.5,6,10,13.
Самовозбуждение токового слоя при импульсном возмущении на границе области. Не возникает сомнения, что отключение возмущения на границе, т.е. задание там гиперболического магнитного поля и нулевой скорости приведет к исчезновению токового слоя и восстановлению.гиперболического поля во всей области. Естественно, что численные расчеты полностью подтверждают этот факт, однако процесс затухания происходит немонотонно.
Численное моделирование токового слоя в двухтемперату-рном приближении
При моделировании токового слоя в двухтемпературном приближении I I40J коэффициенты теплопроводности и теплообмена выбраны таким образом, чтобы соотношения между джоулевым нагревом и отводом тепла в слое соответствовали ситуации в солнечной атмосфере (2). Процесс формирования токового слоя из волны возмущения мало отличается от случая, когда рассматривается однотемпературное приближение (см. 3,1). Слой образуется из сходящейся к центру волны возмущения. Вследствие джоулева нагрева током на фронте ударной волны растет электронная температура. Рост ионной температуры происходит вследствие теплообмена и слегка отстает от роста электронной температуры. Если в момент X =1,8 максимальное значение ионной температуры ( Т = 2,521) составляло 90 % от максимального значения электронной температуры ( е =2,713), то в момент X =1,9 максимальное значение и составляет 80 % от максимума Те , т.е. ц =3 AAZ при Те =4,047. Положение максимума н перемещается к центру с небольшим запозданием по сравнению с положением максимума Те , так в момент Г =1,9 макси мальное значение электронной температуры достигается в точке (X =0,23; У = 0), а ионной - в точке (X =0,27; У = 0).
С момента времени X =2 начинается квазистационарная фаза развития токового слоя. Характерные для этого периода распределения плотности тока, плотности плазмы и температур приведены на рис.31-34. Ионная и электронная температуры и плотность в слое значительно выше, чем в окружающем пространстве. Газодинамическое давление уравновешивается полем токового слоя и потоком плазмы в слой. Распределения \е и / несколько сглаживаются благодаря теплопроводности, так что максимум плотности плазмы в середине слоя становится более резким чем максимум плотности тока.
Течение в окрестности слоя устроено таким образом, что в единицу времени из слоя вытекает больше плазмы, чем втекает в него, так что с течением времени плотность плазмы в слое падает (Табл.5). Особенно быстро плотность плазмы падает не в центре, а вблизи него (Табл.6) так чтобы градиент плотности оставался высоким. Падение плотности плазмы приводит к утоньшению слоя со временем и возрастанию плотности тока в нем (Табл.5), за полуширину и полутолщину слоя приняты расстояния от центра вдоль оси X и соответственно оси у , на которых плотность тока уменьшается в 2 раза по сравнению с его значением в центре). Вследствие джоулева нагрева в слое растет электронная температура (см. Табл.6). Обмен энергией между электронной и ионной компонентами и отвод тепла от слоя вследствие теплопроводности устроены таким образом, что до момента Т =6 рост ионной температуры мало отстает от роста электронной температуры. Начиная с момента I =6 имеет место быстрый рост \ , в то время как ц растет очень медленно (за промежуток времени от 1 =6 до Г =9,75 (е воз-расла от 16 до 70, a 1J от II до 20 (Табл.6). Из-за резкого уменьшения плотности плазмы с удалением от центра вдоль оси , ток большой плотности нагревает область вблизи середины слоя, в которой плотность плазмы мала. Это приводит к появлению локальных максимумов электронной и ионной температур вблизи середины слоя. Максимальные значения 7е и \ вьше их значений в центре на 1-3 % и располагаются при - 0,1а - 0,8а (а - полуширина токового слоя). Положения максимума Те и его значения в зависимости от времени приведены в Таблице 6. Положение максимума
Т и её относительное значение по сравнению с величиной в центре слоя мало отличается от этих значений для е . Небольшой максимум электронной температуры можно заметить, если внимательно вглядываться в её распределение в момент Г =3 на рис.4.
Поскольку максимум плотности плазмы в слое более крутой, чем максимум плотности тока, распределение токовой скорости имеет локальный минимум в середине слоя (рис.35). Токовая скорость возрастает с течением времени (Табл.7) в основном вследствие падения плотности плазмы, а также из-за роста плотности тока. При этом максимальное значение токовой скорости увеличивается на много быстрее её значения в центре слоя (Табл.7). Максимальная плотность обратного тока в ударной волне на краю слоя в среднем растет со временем, хотя этот рост нерегулярен и иногда испытывает флуктуации (Табл.7). Скорость вытекания плазмы из слоя медленно падает до момента t =5, начиная с которого её величина практически не меняется (Табл.7).
Начиная с момента t =9 нормальная слою компонента поля при Х С 0,1 становится положительной, т.е. в этой части слоя магнитные силы препятствуют движению плазмы к краю слоя, из-за чего скорость вдоль слоя замедляется. Такое уменьшение скорости вытекания приводит к тому, что максимум плотности плазмы начиная с момента t =9 будет располагаться не в центре слоя, а вблизи точки (X =0,07; =0). Максимальное значение плотности плазмы при в t 9,75 на 3-5 % выше значения плотности плазмы в центре слоя. Колебания величин отражают немонотонность распределения плотности тока в плоскости ( X, jf ) (в момент t =6,5 см.рис.36 и I =7,5 - рис.37), а также немонотонность распределения плотности плазмы (момент Т =6,5 рис.38).
Полученные результаты показывают, что характер взаимодействия величин в окрестности слоя и отходящих от него быстрых ударных волн и характер флуктуации величин в слое существенно не отличается от аналогичных эффектов в однотемпературном приближении.
Накопление магнитных линий в космических и лабораторных условиях
В случае малых возмущений токовый слой гораздо тоньше, но скорость втекания плазмы непосредственно в слой мала так же как и в рассматриваемом случае. Эффективное магнитное число Маха на границе слоя в расчётах при і =0,1 ( 3) равно Afa =0,18 -f 4 0,2. Тонкий токовый слой, образовавшийся из волны малой амплитуды, можно свести к нашему случаю заменой координат (растяжением вдоль осей). В этом смысле нет принципиальных отличий между токовыми слоями в случаях большого и малого возмущений, если не говорить о характере течения вблизи границы области. Это соответствует общему свойству подобия задачи по параметру - с E]/ /i0 (где г - электрическое поле, f\ -градиент магнитного поля). Параметр может быть сделан сколь угодно мальм выбором достаточно большого масштаба ь при фиксированных и по , если магнитное поле остаётся гиперболическим вплоть до этого масштаба.
Вместе с тем нужно иметь в виду, что при I ширина слоя остаётся малой по сравнению с размером рассматриваемой области и влияние границы не очень существенно. На это указывает тот факт, что свойства слоя определяются практически полностью параметрами и и j (3.3). Напротив, при 1 слой выходит своими концами на границу области. При этом размер, точнее безразмерный параметр , становится существенным параметром задачи 72J . Именно, режимы с Х I и I отличаются принципиально, Это уже видно из того, что в режиме 8 «1 альвеновское число Маха нигде внутри области не достигает значений М & у . Поэтому простым расширением области (изменением за счёт размера ь ) нельзя свести один режим к другому. Иными словами, в задаче с М 1 граница области должна рассматриваться как реальная физическая граница, вне которой поле не может быть продолжено гиперболически. Другим проявлением различия этих режимов служит то, что для « / течение выходит со временем на стационарный режим, тогда как в режиме 1 течение нестационарно. При 1 происходит непрерывное накопление плазмы и магнитного поля.
Существование конечной скорости пересоединения в связи с противодавлением магнитного поля, силовые линии которого накапливаются вблизи слоя, имеет важное значение для многих задач физики плазмы и астрофизики. В частности, представляет интерес пересоединение в лобовой части земной магнитосферы в случае, если магнитное поле солнечного ветра имеет компоненту,направленную против поля Земли (южную компоненту).
Известно, что в солнечном ветре Па » 1 , если определить /Ч - l4i НУЖН0 подчеркнуть, что определенное таким образом /)а не совпадает с используемым выше параметром , который подразумевает линейный рост поля с расстоянием. Если на некотором расстоянии {,. поле начинает отличаться от гиперболического, то число должно определяться для этого расстояния и уже не будет равно числу Маха на больших расстояниях. Как следует из предыдущего, при (()«1 пересоединение будет стационарным, а при (Q / будет происходить нестационарное накопление силовых линий.
В солнечном ветре из-за Па У? і можно ожидать,что при появлении южной компоненты перед областью пересоединения будет наблюдаться нестационарное накопление силовых линий, изменяющее всю картину течения. Вероятно с этим обятоятельством как раз и связано наблюдаемое отличие структуры поля в лобовой части магнитосферы от вытекающей из простой модели Данжи. Именно, как показано в fbZj и находит косвенное подтверждение в наблюдениях, в лобовой части возникает область поджатого магнитного поля, получившая название "забрало".
Если картина строго двухмерная, т.е. вместо магнитного поля Земли рассматривать бесконечный цилиндрический диполь, то будет происходить непрерывное накопление силовых линий. Однако, из-за трехмерности магнитного поля Земли силовые линии имеют возможность конвектировать вместе с потоком, огибающим магнитосферу в третьем измерении. Такая конвекция приведет к установлению процесса и накоплению конечного числа магнитных силовых линий. Полученное в лабораторных экспериментах ["52J "забрало", так же как и область накопленных силовых линий, найденная в расчётах будет создавать магнитное давление набегающему потоку плазмы. Это давление снижает скорость втекания до величин много меньших альвеновской скорости.
В лабораторных экспериментах с малыми числами Маха в потоке плазмы, набегающем на диполь, эффектов накопления силовых линий не наблюдается. В этом случае происходит близкое к модели Данжи стационарное пересоединение Г » как и в расчётах в случае малых возмущений.
Втекание плазмы в токовый слой с доальвеновскими скоростями является типичным для модельных экспериментов магнитных хвостов комет, хотя скорость солнечного ветра, обтекающего комету, превосходит альвеновскую [l4l] .
