Содержание к диссертации
Введение
1 Метод независимых каналов при расчете плотности тока эмиссии с нанотрубок и кристаллического графита 13
1.1 Закон автоэлектронной эмиссии для одностеночных углеродных нанотрубок 13
1.2 Закон автоэлектронной эмиссии для кристалла гексагонального графита 21
1.2.1 Невзаимодействующие листы 21
1.2.2 Простой гексагональный графит 22
1.2.3 Простой гексагональный графит. Перпендикулярное слоям электрическое поле 31
1.2.4 Анализ законов эмиссии для простого гексагонального графита. Эффект модуляции плотности тока деформациями 36
2 Метод независимых каналов при расчете распределения эмитированных электронов по энергии при эмиссии с мно гослойного графена 42
2.1 Графеновые нанолисты. Квантово-размерные эффекты при эмиссии 42
2.2 Зонная структура многослойных графенов 43
2.3 Распределение эмитированных электронов по энергиям при автоэлектронной эмиссии из углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, с упаковкой Бернала . 46
2.4 Обсуждение результатов 57
3 Влияние геометрии эмиттера на автоэлектронную эмиссию 59
3.1 Протяженный и осесимметричный эмиттеры 59
3.2 Электрическое поле вокруг протяженного полуэллиптического металлического выступа (бортика) 60
3.3 Потенциал взаимодействия элементарного заряда с металлическим цилиндром 63
3.3.1 Уравнение Пуассона для функции Грина в цилиндрических координатах 63
3.3.2 Потенциал свободного заряда 65
3.3.3 Элементарный заряд в присутствии цилиндрической металлической поверхности 66
3.3.4 Аппроксимация для потенциала сил отражения в случае цилиндра 67
3.4 Расчет геометрических эффектов 68
Заключение 78
Благодарности 79
Литература 80
- Закон автоэлектронной эмиссии для кристалла гексагонального графита
- Анализ законов эмиссии для простого гексагонального графита. Эффект модуляции плотности тока деформациями
- Распределение эмитированных электронов по энергиям при автоэлектронной эмиссии из углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, с упаковкой Бернала
- Потенциал взаимодействия элементарного заряда с металлическим цилиндром
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. В 1995 году три научные группы (Чернозатонского /1/, де Хира /2/ и Ринзлера /3/) обнаружили, что углеродные нанотрубки (УНТ) обладают хорошими автоэмиссионными свойствами: эмиссия характеризуется малыми пороговыми напряжениями, большими токами и хорошей временной стабильностью. Нанотрубки представляют собой сильно вытянутые цилиндры, которые свернуты из одного листа графита — графена, их хорошие эмиссионные свойства обусловлены большим аспектным отношением (отношение длины к радиусу), хорошими механическими свойствами, достаточно большой электропроводностью, а также тем, что УНТ образованы из атомов, соединенных не металлическими, а ковалентными связям. Последнее обстоятельство существенно увеличивает энергию активации атомов поверхностной миграции и приводит к повышению стабильность процесса эмиссии /4/.
В 1998 году Ванг с коллегами разработал дисплей, работающий на УНТ /5/, а в 2000 году был изготовлен первый источник света на данном материале /6/. Сейчас многие научные коллективы проектируют различные приборы, основанные на автоэлектронной эмиссии с углеродных на-нотрубок (например, яркие лампы, рентгеновские трубки, источники электронов для электронных микроскопов с высоким разрешением).
Экспериментальному измерению автоэлектронной эмиссии из нано-трубок и массивов из них посвящено множество работ /7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16, 17, 18/.
Однако исследования показывают, что не только углеродные нано-трубки являются хорошими источниками автоэлектронной эмиссии. Углеродные наноконусы, углеродные наноспирали, углеродные нанохорны, графитоподобные пленки и углеродные нанолисты также являются кандидатами на эту роль /20, 21, 22, 23, 24, 25, 26/. Следует отметить, что обнаруженные на данный момент структуры на основе атома углерода в sp2 гибридизации составляют далеко не полный список всех возможных структур /27/.
Многие теоретические работы по моделированию процесса автоэлектронной эмиссии из конкретных структур представляют собой расчеты из первых принципов (см. например /28, 29, 30, 31, 32/). Зачастую эмиттеры состоят из небольшого числа атомов, так что компьютеры могут моделировать данный процесс в приемлемое время. Однако, наряду с этим, подходы, основанные на модификации туннельной модели Фаулера-Нордгейма /33, 34/, также используется многими исследователями, так как позволяют выявить общие закономерности процесса и понять его физические причины. Актуальность проведения теоретических исследований именно в этом направлении обусловлена тем, что с помощью таких подходов можно ответить на вопрос, каким образом те или иные физические характеристики эмиттера влияют на его эмиссионные свойства. Известная связь между физическими и эмиссионными характеристиками с одной стороны, указывает пути увеличения эффективности эмиссии электронов, а с другой — позволяет исследовать физические характеристики на основе эмиссионных.
Так, учет зонной структуры одностенных углеродных нанотрубок
позволил группе Лианга в 2004 предсказать квантово-размерный эффект эмиссии /35/. Он заключается в том, что с уменьшением диаметра металлические одностенные нанотрубки и полупроводниковые одностенные на-нотрубки ведут себя различным образом, но при увеличении до 2 нм и далее различия пропадают. Используя тот же подход, группа Лианга вычислила вид распределения электронов по энергиям для различных одностеночных и многостеночных нанотрубок при разной температуре /36, 37, 38, 39/.
Специфика эмиссии, обусловленная геометрической формой нано-эмиттеров, в подходе, связанном с модификацией туннельной теории, была учтена Кутлером с сотрудниками в 1991 /40/, а также Фурсеем и Глазано-вым в 1998 году /41/.
Другой оригинальный метод на основе подхода Томаса-Ферми, с помощью которого можно учесть геометрию катода в простой туннельной модели при эмиссии с уединенных нанотрубок и массивов различной плотности, был развит в цикле теоретических работ /42, 43, 44, 45/.
В 2001 году Эйджеомбе был предложен свой метод учета геометрии эмиттера /46, 47/. Им были получены достаточно простые формулы, напоминающие закон Фаулера-Нордгейма для плотности тока и содержащие две функции, которые включают в себя всю информацию о геометрии и силе взаимодействия с зарядом отражения. Функции зависят от безразмерных параметров, являющихся комбинацией напряженности электрического поля, работы выхода, радиуса кривизны и могут быть вычислены с необходимой точностью.
Тем не менее, многие вопросы о влиянии физических свойств эмиттеров на эмиссионные характеристики оставались без ответа, некоторые из
них определили цели данной диссертационной работы. Итак, цели были следующие:
Разработать способ учета зонной структуры при расчете автоэлектронной эмиссии.
Исследовать влияние зонной структуры при автоэлектронной эмиссии с углеродных нанотрубок, графита, углеродных листов.
Рассчитать геометрические эффекты при эмиссии с углеродных листов и трубок.
Научная и практическая ценность данной работы заключается в следующем. В представленной диссертации разработан метод учета зонной структуры при автоэлектронной эмиссии, который может быть назван методом независимых каналов. На основе данного метода найдены законы эмиссии для одностеночных углеродных нанотрубок. Полученные результаты могут быть полезны при экспериментальном определении хирально-сти конкретной нанотрубки.
Разработанный метод был использован для расчета закона автоэлектронной эмиссии с простого гексагонального графита для двух случаев: когда графитовые слои ориентированы параллельно вектору напряженности электрического поля и когда они ориентированы перпендикулярно ему. Обнаружены следующие эффекты: анизотропия плотности эмиссионного тока, связанная с особенностями зонной структуры и влияние механической деформации на автоэмиссионный ток. Данные результаты могут быть использованы при экспериментальном измерении параметров зонной структуры графита.
В рамках метода независимых каналов рассчитано энергетическое распределение при эмиссии электронов с углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, а также найдены законы эмиссии для монослоя графена и двуслоя графена. Положение и количество обнаруженных в энергетическом распределении суб-пиков напрямую связано числом графитовых слоев в листе. Наличие этих суб-пиков является прямым проявлением квантово-размерного эффекта. Полученные результаты показывают, что измерение распределения эмитированных электронов по энергиям может быть использовано как метод определения числа графитовых слоев в листе, а также как метод определения энергии взаимодействия между соседними слоями наряду с такими подходами как Рамановское рассеяние и фотоэмиссионные эксперименты.
Еще одним результатом диссертации является расчет геометрических эффектов при эмиссии с протяженного горизонтального выступа, имеющего полуэллептический профиль, и с вытянутого вертикального полуэллипсоида при нанометровых радиусах кривизны у вершины. Обнаружено, что для протяженного выступа найденные геометрические эффекты выражены гораздо меньше. Полученные соотношения связывают геометрические параметры эмиттера с нелинейностью кривых в координатах Фаулера-Нордгейма и могут быть использованы для оценки радиуса кривизны и фактора усиления поля.,
Положения, выносимые на защиту:
1. Разработан метод учета зонной структуры при автоэлектронной эмиссии. На его основе найдена связь между зонной структурой и законом эмиссии одностеночных углеродных нанотрубок, а также опи-
9 сана зависимость между плотностью тока и диаметром нанотрубок.
Получены законы эмиссии для кристалла гексагонального графита при различных направлениях электрического поля: вдоль и поперек слоев графита. Исследовано влияние деформации кристалла на эмиссионный ток.
Изучено влияние зонной структуры на эмиссию с углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев. Предсказано наличие пиков и суб-пиков в распределении электронов по энергиям. Их положение и количество определяется числом слоев в углеродном листе, что является проявлением квантово-размерного эффекта.
Исследовано влияние геометрии эмиттера с нанометровым радиусом кривизны на эмиссию с протяженных вертикальных и вытянутых горизонтальных структур, имеющих эллиптический профиль. В каждом случае описана связь наклона кривых эмиссии в координатах Фаулера-Нордгейма с геометрическими параметрами и определена зависимость площади эмиссии от напряженности внешнего поля.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, были представлены в качестве постерного доклада на сессии ПКК ОИЯИ, а также докладывались на следующих конференциях:
1. XXIV International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials, March 6-13, 2010, Kirchberg in Tirol, Austria.
International Bogolyubov Conference Problems Of Theoretical And Mathematical Physics, August 21-27, 2009, Moscow-Dubna, Russia.
XIII научной конференции ОМУС-2009, 16-21 февраля 2009 года.
IV научной конференции конференция "Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика", 7-9 сентября 2009 года, Саратов.
"Dubna-Nano2008", July 11-17, 2008, Dubna, Russia.
XII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 4-8 февраля 2008 года.
XXII International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials, March 1-8, 2008, Kirchberg in Tirol, Austria.
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводится расчет закона эмиссии для одностенных углеродных нанотрубок с учетом зонной структуры, полученной с помощью приближения сильной связи. Для расчета использованы приближение Фаулера-Нордгейма, суть которого заключается в разложении показателя туннельной экспоненты в ряд вблизи уровня Ферми и приближение нулевой температуры. В результате плотность тока выражена в форме суммы по всем ветвям в энергетическом спектре, определяющим каналы эмиссии. Каждый следующий член суммы экспоненциально подавляется значением запрещенной зоны для данной ветки, поэтому актуально рассмотрение лишь первых слагаемых. Показано, что различный характер поведения плотности тока металлических и полупроводниковых нанотрубок при изменении их диаметра, обнаруженный ранее группой Лианга, определяется видом первого слагаемого.
Далее тот же метод обобщается для расчета закона эмиссии с простого гексагонального графита (графита типа AAA) в двух различных ори-ентациях: когда вектор напряженности электрического поля коллинеарен графитовым слоям и когда он направлен перпендикулярно к ним. В обоих случаях в полученных законах эмиссии предэкспоненциальнй фактор отличается от предэкспоненциального фактора в законе Фаулера-Нордгейма, в то время как экспонента имеет тот же вид. Далее в работе рассматриваются различные эффекты эмиссии с графита, связанные с зонной структурой. В частности, обсуждается эффект анизотропии при эмиссии в различных направлениях, а также эффект модуляции эмиссионного тока внешним сжатием. Результаты, изложенные в этой главе, были опубликованы в работах /48, 49/
Во второй главе производится учет влияния зонной структуры гра-феновых нанолистов на автоэлектронную эмиссию с помощью описанного в первой главе метода. Зонная структура нанолистов вычисляется из спектра Бернального графита при учете размерного квантования.
В этой главе приводятся различные распределения эмитированных электронов по энергиям для нанолистов. Далее показывается, что результаты точного интегрирования могут быть воспроизведены с помощью геометрических соображений, хорошо иллюстрирующих суть использованного метода независимых каналов. Также исследуется температурное влияние на распределение эмитированных электронов. В конце присутствует обсуждение. Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в работе /50/. Аналогичный расчет для двуслоя с графена с простой гексагональной упаковкой произведен в работе /51/.
В третьей главе, результаты которой опубликованы в /52, 53/, изучено влияние геометрической формы на эмиссию в случае осесимметричного выступа — полуэллипсоида (иголки) и протяженного выступа с полуэллиптическим профилем (бортика). Приводится вычисление электрического потенциала вокруг бортика и потенциала сил зеркального отражения. Рассчитывается влияние внешнего неоднородного электрического поля и изменения площади поверхности, с которой происходит эмиссия электронов. Для характеристики последней вводится новый параметр — эффективная площадь эмиссии. Прведены выражения, связывающие наклон кривых в координатах Фаулера-Нордгейма с геометрическими параметрами эмиттеров. Глава заканчивается кратким обсуждением результатов.
В заключении коротко суммируются основные выводы работы.
Закон автоэлектронной эмиссии для кристалла гексагонального графита
Здесь мы проиллюстрируем, как метод, развитый выше, может быть использован для случая", когда упакованные в стопку графитовые листы не взаимодействуют. Стопка листов ориентирована как показано на рисун ке 1.5. Используем граничные условия Борна-Кармана в направлении у, которые также приводят к размерному квантованию. Далее, полагая лист широким (бесконечным), заменим сумму в (1.2) соответствующим интегралом J2jq — (ly/h) f j(py)dpy, в результате чего получаем где использовано соотношение Sg(py) = 2vp\py\- Интересно отметить, что полученный результат хорошо совпадает с формулой Фаулера-Нордгейма Действительно, экспонента совпадает полностью, немного отличается лишь предэкспоненциальный фактор. Существенно, что в обоих случаях пред-экспоненциальный множитель зависит от напряженности электрического поля квадратично. Известно три возможные конфигурации упаковки слоев в кристалле графита: бернальная упаковка типа АВАВ..., ромбоэдральная упаковка типа АВСАВС... и упаковка простая гексагональная типа AAA.... В последнем случае атомы углерода соседних слоев расположены непосредственно друг над другом /67/. До недавнего времени упаковку типа AAA называли гипотетической, так как в кристаллическом графите она не наблюдалась.
Считалось, что такая конфигурация существует в неупорядоченном или преграфитовом углероде /69/. Однако не так давно графитовые пленки с подобной упаковкой были выращены на (111) плоскости алмаза /70/. Суще ствование двуслойного графепа с такой упаковкой также подтверждается экспериментально /71/. Мы рассмотрим модель графита с AAA типом упаковки, так как в данном случае листы взаимодействуют простейшим образом, зонная структура описывается аналитическим выражением, что позволят в аналитическом виде найти закон эмиссии и, в свою очередь, наглядно оценить эффекты, связанные со взаимодействием. Рассмотрим взаимодействующие слои графита, ориентированные параллельно вектору напряженности электрического поля, как показано на рисунке 1.5. В рамках AAA модели трехмерная зонная структура вблизи уровня Ферми может быть описана с помощью соотношения /67/ Здесь параметр а?о характеризует взаимодействие между ближайшими соседними атомами в одном слое, а параметр а\ — взаимодействие между ближайшими атомами в двух соседних слоях, с — расстояние между ближайшими слоями. Влияние параметров а.ч и а -, которые были введены в /67/, мы не учитываем, а также не учитываем все члены к р разложения за исключением первого. В работе /67/ показано, что максимальный вклад остальных членов, нарушающих цилиндрическую симметрию поверхности Ферми, не превышает пяти процентов. Верхний знак в (1.12) соответствует зоне проводимости, а нижний — валентной зоне. Скорость Ферми связана с параметром взаимодействия а?о как аол/За/2Н = vp. В соответствии с (1.12), форма поверхности Ферми простого гексагонального графита представлена на рисунке 1.7. Поверхность Ферми со держит дырочный карман (валентная зона, знак "минус" в (1.12)) и две половинки электронного кармана (зона проводимости, "плюс" в (1.12)). Эмиссия происходит вдоль оси z.
Траектории вылетающего электрона в пространстве импульса (каналы эмиссии) могут быть разбиты на пять различных групп. Сплошные линии на рисунке 1.7 изображают пять возможных типов каналов: (1) для промежуточной точки между электронным и дырочным карманами, (2,3) для дырок и (4,5) для электронов. Если для конечномерного листа размерное квантование импульса в плоскости ху присутствует, то энергетический спектр записывается следующем виде: где г, j — целые числами ргх находится в области (—пК/с,7г7г/с). Как и раньше, общий ток можно найти, просуммировав все каналы. Рассмотрим вклады каналов каждого типа отдельно. Траектории, пересекающие данную область, характеризуются следующими значениями импульса: — тгН/2с ргх ттН/2с. Как показано на рисунке 1.7, существует два типа каналов в этой области. Канал 1 может быть рассмотрен как промежуточный случай. На рисунке 1.8 показаны все возможные одномерные дисперсионные соотношения. Каналы типа 3 пересекают поверхность Ферми в двух точках, в то время как каналы типа 2 не имеют с ней пересечений. Для каждого отдельного канала плотность тока определяется уже известной формулой jlj = (2e/hlxly) / f(ei:j)D(sij)deij. Интегрирование проводится по занятым электронами состояниям. Д -7"
Анализ законов эмиссии для простого гексагонального графита. Эффект модуляции плотности тока деформациями
На рисунке 1.13 показана плотность тока в зависимости от напряженности внешнего электрического поля. Для сравнения приведена кривая, соответствующая закону Фаулера-Нордгейма. Все различия в поведении кривых обусловлены предэкспоненциальным множителем. Как известно, в рамках модели Фаулера-Нордгейма jFN F2b для любых значений F. В нашем случае, в соответствии с (1.19) и (1.27), предэкспоненциальный множитель имеет другую зависимость от напряженности поля. Когда F мало, j" Fb. При росте F (при этом 2aid —» 0) fl F2b и j /jFN — 0.4. Действительно, при больших а; разность Io(#) — Lo(rr) стремится к 2/(7пк), в то же время при малых х она стремится к единице /68/. Это поведение проиллюстрировано на рисунке 1.14, где приведены относительные зависимости. В соответствии с (1.27), j1- a2Fb при малых F, и j1- a\F2b при больших F, таким образом, отношение j±/jFN стремится к постоянной величине при возрастании F. Можно сделать вывод, что роль взаимодействия между слоями уменьшается при увеличении напряженности внешнего электрического поля. На рисунке 1.14 хорошо видна анизотропия плотности тока при эмиссии с трехмерного графита в разных ориентациях кристалла относительно вектора напряженности электрического поля. Как видно из рисунка, j /j1 2.7, и данное значение почти не меняется на рассмотренном интервале F. Таким образом, происходит почти трехкратное изменение значения тока при изменении ориентации кристалла графита относительно вектора напряженности внешнего электрического поля. Интересно проследить зависимость плотности тока от расстояния между графитовыми слоями. В работе /69/ показано, что параметр а±, характеризующий энергию взаимодействия между соседними слоями, чувствителен к изменению расстояния между слоями. Этот параметр входит в формулы для плотности тока, следовательно, эмиссионный ток также зависит от степени сжатия графита. Основываясь на результатах работы где х = (с — с )/с, с — расстояние между графитовыми слоями в недефор-мированном случае, с — расстояние между слоями в деформированном (сжатом) случае, Qi имеет размерность eV.
Как видно из рисунка 1.15, плотность тока эмиссии сильно зависит от межплоскостного расстояния. Чем меньше это расстояние, тем больше эмиссионный ток. Причем это правило выполняется для каждой из рассмотренных ориентации кристалла. Интересно было бы проверить данную зависимость экспериментально для кристалла графита под внешним давлением. Как видно из рисунка 1.15, j1- более чувствительно к изменению х, чем j". При а\ —» 0 плотность тока j1 — 0, что отражает тот факт, что транспорт через слои невозможен, когда эти слои не взаимодействуют. Рис. 1.15. Изменение плотности тока при изменении расстояния между графитовыми слоями. Степень деформации характеризуется параметром х = (с — с )/с, где с = 3.34А — расстояние между соседними слоями в недеформированном графите, с — то же расстояние в деформированном (сжатом) графите. Видно, что j1- заметно более чувствителен к изменениям х, чем J1 Не так давно путем каталитического осаждения были синтезированы новые углеродные объекты — углеродные нанолисты (УНС) /72, 73/. Они состоят из нескольких графитовых слоев и располагаются относительно вертикально на подложке. В работах /23, 24, 25, 26/ было показано, что данные объекты обладают хорошими эмиссионными свойствами, что делает их привлекательным материалом для катодов вакуумных электронных устройств. Большие плотности тока и малые пороговые напряжения позволяют использовать УНС как эффективные холодные катоды.
До сих пор были измерены лишь вольт-амперные характеристики при автоэлектронной эмиссии с листов. В то же время хорошо известно, что измерение и анализ распределения вылетевших электронов по энергиям также является мощным методом исследования. В частности, такой анализ может дать важную информацию об электронных свойствах катода и особенностях механизма туннелирования /54/. Существует множество проявлений квантово-размерного эффекта при автоэлектронной эмиссии. Например, в распределении для нанотрубок присутствуют пики, связанные со стоячими волнами в цилиндрической части нанотрубки /74/, их" число и полуширина возрастают при увеличении длины трубки. Короткие периодические изменения плотности тока эмиссии наблюдались при изменении толщины металлических пленок /75/. Вычисленные распределения электронов по энергиям пленок содержат характерные "ступеньки", связанные с квантованием "нормальной" энергии /76/. Резонансные пики в плотности тока, обусловленные специфическим туннельным механизмом, наблюдались при эмиссии с наноструктурированных полупроводниковых катодов /77/. Квантово-размерный эффект для плотности тока с нанотрубок также был предсказан в работе /35/. Таким образом, кажется вполне обосновано ожидать наличие квантово-размерных эффектов в эмиссии со структур, содержащих несколько графитовых слоев, у которых, как известно, энергетический спектр очень чувствителен к изменению их количества /78/.
Распределение эмитированных электронов по энергиям при автоэлектронной эмиссии из углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, с упаковкой Бернала
Мы рассчитали плотность распределения электронов по энергиям для графеновых структур, состоящих из нескольких графитовых слоев, и обнаружили присутствие характерных пиков и суб-пиков в этом распределении. Мы показали, что их природа во включении в эмиссию дополнительных ветвей энергетического спектра электронов, положение и количество которых напрямую определяются числом слоев. Наличие этих суб-пиков является прямым проявлением квантово-размерного эффекта для данных структур. Экспериментальное исследование энергетического распределения эмитированных электронов очень важно. Прежде всего, измерение положения данных пиков может стать полезным инструментом для определения числа слоев и энергии взаимодействия между ними (наряду с такими экспериментальными методами как Рамановское рассеяние /85/ и фото-эмисионные методы /86/). Например, отсутствие суб-пиков в распределении будет свидетельствовать о том, что эмиссия происходит с монослоя. Кроме того, распределение электронов по энергиям зависит от температуры, и, зная эту зависимость, можно определить температуру эмиттера через полуширину или относительную высоту пиков валентной зоны и зоны проводимости. Еще одним полезным моментом при экспериментальном измерении Р(є) является возможность определения сопротивления нано-листов на основе подхода, развитого в/87/. Изучение автоэлектронной эмиссии для катодов, не являющихся плоскими, показывает, что кривые в координатах Фаулера-Нордгейма могут менять свой наклон.
Для объяснения этого явления стандартный подход был расширен с помощью учета формы различных осесимметричных эмиттеров /40, 41, 46, 47/. В результате было показано, что соотношения между наклоном, работой выхода и коэффициентом усиления поля зависят от геометрических параметров катода. Однако углеродные нанолисты также показывают хорошие эмиссионные свойства, поэтому необходимость подобного исследования для них можно считать актуальной задачей. Углеродные нанолисты являются весьма протяженными объектами: отношение ширины к толщине может достигать значения порядка 103. В соответствии с этим, для изучения возможных геометрических эффектов в качестве первого приближения мы исследовали эффекты, возникающие при эмиссии с бесконечного металлического выступа, имеющего полуэллиптический профиль (бортик) и радиус кривизны вершины порядка нанометров (рисунок 3.1 (а)). Для того чтобы понять насколько эта ситуация отличается от осесимметричного случая, мы рассмотрели также эмиссию с сильно вытянутого металлического эллипсоида (иголка), имеющего такие же ради усы кривизны (рисунок 3.1 (Ь)). Для решения основной задачи требуется решить две вспомогательные: определить распределение электростатического потенциала вокруг протяженного эмиттера и найти для него силу взаимодействия вылетевшего электрона с индуцированными зарядами. Для данного расчета используем метод отображений в комплексной плоскости, позволяющий решить двумерное уравнение Лапласа, изложенный ранее в /88, 89/. Суть метода заключается в следующем: если нам известно преобразование комплексной плоскости, посредством которого эквипотенциальные границы металлических поверхностей, являющиеся кривыми линиями в комплексной плоскости z = х + гу, можно преобразовать в параллельные горизонтальные линии (плоский конденсатор) в плоскости t — и + iv (в последнем случае распределение потенциала тривиально), и если данное преобразование является регулярной функцией везде за исключением нескольких особых точек, то такое преобразование с точностью до констант будет характеризовать потенциал и силовые линии электрического поля для искомой конфигурации границ. Особые точки будут соответствовать вершинам углов, если линии границ их содержат.
То есть если ш = ф + іф — решение уравнения Лапласа для плоского двумерного конденсатора в плоскости t (так называемый комплексный потенциал, действительная часть - потенциал, мнимая — поток, либо наоборот), то решение для случая произвольных эквипотенциальных границ это и = kf(z), где преобразование / отображает плоскость z7 в которой границы имеют сложную форму, на плоскость t, а к — константа. Если эквипотенциальные линии в плоскости z отображаются с помощью / в прямые в плоскости t, параллельные оси v, то действительная часть функции w(z), равная f)(z), будет описывать потенциал, а мнимая {z) — поток. Если же эквипотенциальные линии будут отображаться в прямые, параллельные оси и, то все происходит наоборот, — мнимая часть функции w(z) будет соответствовать потенциалу, а действительная — потоку. Преобразование
Потенциал взаимодействия элементарного заряда с металлическим цилиндром
Уравнение для функции Грина (ФГ) в цилиндрических координатах имеет вид /90/: где г = (р, ф, z) — точка наблюдения, г = (//, ф , z ) — точка нахождения заряда. Дельта-функции от ф и z можно выразить через систему ортонор-мированных функций: , ФГ раскладывается аналогичным образом: Подставляя эти разложения в (3.6), получаем уравнение для радиальной ФГ дт(р, р ): При р т р это уравнение совпадает с модифицированным уравнением Бесселя для функций 1т(кр) и Кт{кр). Пусть ф кр) — линейная комбинация функций 1т и /Гт, удовлетворяющая требуемым граничным условиям при р р , а фтікр) — другая линейная комбинация, удовлетворяющая граничным условиям при р р (верхний индекс использован здесь для нумерации и не обозначает степень). Так как ФГ симметрична относительно р и //, то здесь р и /э — соответственно наименьшее и наибольшее из чисел р и //. Нормировка произведения ф Фт определяется скачком производной в точке р = р , обусловленным дельта-функцией (сама функция в этой точке непрерывна). Вообще, уравнение (3.10) является частным случаем уравнения Штурма-Лиувилля
Вронскиан двух линейно независимых решений этого уравнения пропорционален 1/р(х): поэтому необходимо нормировать функции ф и фт таким образом, чтобы вронскиан был равен Рассмотрим этот случай, чтобы проиллюстрировать, как работает изложенная выше схема решения уравнения Пуассона. Для свободного заряда граничные условия имеют следующий вид: при р р и в точке р = О потенциал конечен, а в точке р = со потенциал равен нулю. Это значит, что Vm = AIm(kp) и Vm = Km(kp). Условие (3.15) и свойства модифицированных функций Бесселя позволяют определить, что А — 4.ТТ. Таким образом, согласно с (3.11) и (3.9), разложение для ФГ имеет вид Предположим, заряд располагается в точке (р , ф = 0, z — 0). С помощью тождества (см. /91/) В этом случае граничные условия следующие: в точках р == R и р = со, где R — радиус металлического цилиндра, потенциал равен нулю. Это значит, что—у 0, то есть в пределе R = 0 функция -г/ т такая же, как и в предыдущем случае. Условие (3.15) и свойство модифицированных функций Бесселя (3.16) позволяют определить, что, как и раньше, А = 47г. Теперь ФГ можно записать в виде Здесь первое слагаемое совпадает с (3.18), а второе выглядит следующим образом: первое слагаемое отвечает полю самого элементарного заряда, а второе — полю зарядов, индуцированных на цилиндре. Энергию взаимодействия заряда с цилиндром можно определить по обычной формуле /89/ В случае электрона и металлического шара существует простое выражение для энергии взаимодействия: К данному пределу стремится выражение (3.26), когда (p —R) — 0. Мооахно заметить, что оба выражения обобщаются с помощью формулы Это выражение переходит к пределу (3.27) при (р — R) —» 0 вне зависимости от а. Попытаемся подобрать значение а так, чтобы получить хорошую аппроксимацию выражения (3.24).
Из тех соображений, что потенциал силы отражения зависит от той площади, в которой происходит отражение, можно получить естественное ограничение для потенциала цилиндра UqC: откуда Численная аппроксимация (3.25) с помощью (3.28) в промежутке 1 p /R 3 позволяет найти, что а = 1.333 4/3. Относительное отклонение в указанном промежутке значений p /R не превышает 2 %. Для перехода в систему СИ необходимо в предыдущих формулах произвести следующую формальную замену: е р2 2 , е 47ГЄ0 1.44 [eV х пт]. (3.31) 3.4. Расчет геометрических эффектов Плотность тока эмиссии и эффективную площадь эмиссии будем вычислять на основе подхода, развитого в работах /46, 47/. Согласно с ним туннельная экспонента для неплоских эмиттеров может быть записана в виде где Dps — это вероятность прохождения электрона через барьер при эмиссии с плоской поверхности. Функция f(x,q) содержит информацию о форме потенциального барьера, который должен преодолеть электрон, и о силах зеркального отражения. В соответствии с приведенным коэффициентом прозрачности, плотность эмиссионного тока имеет следующий вид: безразмерные параметры, rj = є І (87г h), (3 — фактор усиления поля (отношение напряженности поля в данной точке эмиттера к напряженности поля вдали от эмиттера), (3F = Fi — модуль вектора напряженности локального электрического поля, ар-радиус кривизны вершины эмиттера. Функции f(x,q) и д(х, q) определены посредством следующих выражений: здесь U{t) — потенциал барьера, который преодолевает туннелирующий электрон, t — расстояние от электрона до эмиттера. Пределы интегрирования в (3.34) определяются из условия равенства нулю подынтегральной функции в данных точках.
