Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Собственно-энергетическая поправка в водородоподобных ионах 14
Глава 2 Собственно-энергетическая поправка в присут ствии внешнего поля 29
2.1 Собственно-энергетическая поправка к сверхтонкому расщеплению 33
2.1.1 Детальное рассмотрение 35
2.1.2 Численные результаты и обсуждение 38
2.2 Собственно-энергетическая поправка к фактору свя занного электрона 46
2.2.1 Подробности вычисления 49
2.2.2 Численные результаты и обсуждение 51
Глава 3 Собственно-энергетическая поправка в атомах с несколькими электронами 57
3.1 Подробности вычислений 62
3.2 Численные результаты и обсуждение 66
Глава 4 Двухпетлевая собственная энергия 74
4.1 Поправка петля-за-петлей 78
4.1.1 Численный расчет 79
4.1.2 Аналитическое вычисление 84
4.2 Компактная часть двухпетлевой СЭ поправки 88
4.2.1 М-член 97
4.2.2 Р-член 105
4.2.3 F-члея 113
4.3 Численные результаты и обсуждение 120
Заключение 127
- Детальное рассмотрение
- Собственно-энергетическая поправка к фактору свя занного электрона
- Численные результаты и обсуждение
- Компактная часть двухпетлевой СЭ поправки
Введение к работе
Наука о взаимодействии вещества с квантованным электромагнитным полем квантовая электродинамика (КЭД) - зародилась более семидесяти лет назад. За время ее существования были достигнуты значительные успехи в объяснении и предсказании многих физических явлений. Одним из традиционных объектов исследования КЭД эффектов является простейшая связанная система - атом водорода. Наиболее точное на сегодняшний день измерение энергий перехода в атомных системах выполнено для 2s-ls перехода в атомарном водороде, где экспериментальная точность достигла относительного уровня 1.8 ХІ0"14 или 46 кгц [1]. В будущем экспериментальную точность планируется довести до значения, приближающегося к естественной ширине спектральной линии 2s уровня (1.3 кгц). Современные теоретические значения уровней энергии несколько превосходят по точности соответствующие экспериментальные результаты (32 кгц для Is состояния и 4 кгц для '2s состояния [2]); их погрешность в значительной степени определяется неопределенностью экспериментального значения зарядового радиуса протона. На сегодняшний день расчеты КЭД эффектов в различных системах позволяют получить наиболее точные результаты для некоторых фундаментальных констант (постоянная тонкой структуры, масса электрона, отношение масс электрона и протона, радиус протона). С другой стороны, знание КЭД эффектов в атомных системах, в совокупности с высокоточными экспериментальными результатами, позволяет осуществлять поиски новой физики вне рамок стандартной модели. Несмотря на то, что характерный уровень энергий в атомных системах на много порядков меньше, чем на современных ускорителях, достижимая экспериментальная и теоретическая точность делает их весьма перспективным объектом для таких поисков.
Помимо поисков новой физики и уточнения значений фундаментальных констант, важным направлением исследований является проверка предсказаний КЭД в различных условиях. Объектами пристального внимания со стороны как теоретиков, так и экспериментаторов в последнее время становятся системы, которые еще недавно считались экзотическими - тяжелые ионы с одним или несколькими электронами (многозарядные ионы). Интерес к таким системам объясняется прежде всего стремительным прогрессом экспериментальной атомной спектроскопии. В последнее время стали возможными
настолько точные измерения спектральных характеристик многозарядных ионов, что на повестку дня ставится вопрос о проверке КЭД во втором порядке по постоянной тонкой структуры а. Важность этой задачи определяется тем, что проверка будет производиться в новой области сильного кулоновского поля. С практической точки зрения, кулоновское поле, в котором находится электрон в водоро-доподобном ионе урана, является, по-видимому, наиболее сильным электрическим полем, доступным для прецизионного экспериментального изучения в настоящее время. Представляется естественным, что в поиске границ применимости теории (в данном случае, КЭД) наиболее перспективными являются именно подобные области с экстремальными характеристиками. Тем самым проблема расчета КЭД эффектов в спектрах многозарядных ионов приобретает фундаментальный характер.
Одним из первых высокоточных экспериментальных результатов в тяжелых ионах с несколькими электронами явилась работа Швеппе и соавторов [3], опубликованная более десяти лет назад. В этом эксперименте энергия 2^1/2-25 перехода в литиеподобном уране была измерена с точностью 0.1 эе, что на порядок меньше, чем КЭД поправка второго порядка по а. Эта работа во многом мотивировала начало теоретических расчетов КЭД поправок второго порядка в области сильного внешнего поля (т.е., во всех порядках по параметру Za, где Z - заряд ядра). С тех пор прецизионные экспериментальные результаты были получены также для ряда других Li-подобных ионов.
В тяжелых водородоподобных ионах достижимая экспериментальная точность оказывается существенно ниже, чем в ионах с несколькими электронами, что объясняется тем, что соответствующие переходы лежат в области жесткого рентгеновского диапазона. Тем не менее, точность измерения лэмбовского сдвига основного состояния в водородоподобном ионе урана за последнее десятилетие была увеличена в 10 раз и в настоящее время составляет 13 эв (около 5% от полного КЭД вклада) [4]. В ближайшем будущем планируется увеличение точности измерения до уровня 1 эе, что сделает эксперимент чувствительным к двухпетлевым КЭД эффектам.
Еще один важный класс экспериментов состоит в нахождении д-фактора электрона в водородоподобном ионе. Величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, является комбинация (дМ/т), где М - масса иона, т - масса электрона ид- (/-фактор электрона.
Важность данного эксперимента определяется тем. что комбинируя экспериментальное значение для (д М/т) с прецизионным теоретическим результатом для электронного ^-фактора, можно получить значение массы электрона. К настоящему моменту соответствующие измерения выполнены для водородоподобных ионов углерода и кислорода. Несмотря на применимость разложения по параметру Za в этих системах, высокая экспериментальная точность результатов (для углерода достигнутая относительная точность составляет 5х10~10 [5]) определяет то, что вычисления КЭД эффектов желательно выполнять во всех порядках по Za.
Прецизионное экспериментальное изучение осуществляется сегодня также и для сверхтонкой структуры (СТС) уровней тяжелых ионов. Первым высокоточным экспериментальным результатом в этой области явилось измерение длины волны перехода между компонентами СТС основного состояния в водородоподобном ионе висмута 209BiS2+ [6], погрешность которого на три порядка меньше соответствующего КЭД вклада. К сожалению, непосредственное теоретическое исследование СТС уровней водородоподобных ионов затруднено вследствие большого вклада ядерных эффектов, прежде всего, эффекта распределения магнитного момента по ядру (эффект Бора-Вайскопфа). Достижимая на сегодняшний день точность теоретического описания эффекта Бора-Вайскопфа невелика и находится на уровне полного КЭД вклада. Тем не менее оказывается, что введенная в [7. 8] специфическая разность интервалов СТС водородоподобных и литиеподобных ионов может быть теоретически описана с точностью на уровне нескольких процентов от полного КЭД вклада (вследствие сокращения ядерных эффектов). Это открывает перспективы для проверки КЭД эффектов в СТС уровней тяжелых ионов. Подобная проверка представляется особенно важной, так как, вследствие большой сингулярности оператора взаимодействия электрона с магнитным полем ядра (~ 1/У2), характерная область взаимодействия оказывается гораздо ближе к ядру, чем в случае лэм-бовского сдвига или (/-фактора. Тем самым проверка предсказаний КЭД производится в эффективно более сильном поле.
С теоретической точки зрения, ситуация сильного внешнего ПОЛЯ соответствует тому, что разложение по параметру Za, которое является традиционным инструментом исследований КЭД эффектов, является неприменимым в таких системах. В этом случае рассмотрение должно производиться в представлении Фарри с использованием
связанного электронного пропагатора, являющегося функцией Грина уравнения Дирака с внешним потенциалом. Вследствие значительно более сложной структуры связанного электронного пропагатора (по сравнению со свободным случаем), получение окончательных результатов в большинстве случаев возможно только с применением современных компьютерных средств.
Целью диссертации является исследование собственно-энергетических поправок в первом и втором порядке по постоянной тонкой структуры а и во всех порядках по внешнему полю для ионов с одним и несколькими электронами.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:
Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра Z > 40.
Для части двухпетлевой собственной энергии, т. н. поправки петля-за-петлей, выполнен численный и аналитический расчет ведущего логарифмического члена разложения по параметру Za. Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от предшествующих аналитических вычислений.
Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к g-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для случая Is и 2s состояний. Получены наиболее точные теоретические значения для р-фактора водородоподобных ионов.
Выполнен расчет двухэлектрошгой собственно-энергетической поправки к уровням энергии гелиеподобных и литиеподобных ионов во всех порядках по параметру Za.
Произведено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней Is и 2s состояний водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Продемонстрировано хорошее согласие полученных результатов с расчетами, основанными на разложении по Za. и выделен вклад высших порядков. Получены наиболее точные значения для
собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде.
Научная и практическая ценность проведенных исследований определяется следующими положениями:
Двухпетлевая собственная энергия является на сегодняшний день наиболее сложным КЭД эффектом в теории многозарядных ионов, вычисленным во всех порядках ло Za. Это определяется тем. что все другие расчеты КЭД поправок второго порядка выполнялись посредством обобщения схем, разработанных для первого порядка, в то время как настоящий расчет не сводится к такому случаю. Впервые вычисление без разложения по Za выполнялось для диаграмм, содержащих перекрывающиеся расходящиеся под-графы и парциальное разложение по двум независимым параметрам. Разработанная схема может быть применена к вычислению других КЭД эффектов в атомных системах.
Вычисление ведущего логарифмического вклада, выполненное для поправки петля-за-пет лей, позволило разрешить дискуссию, существовавшую в литературе. Неясность ситуации была обусловлена тем. что значение для коэффициента при ведущем логарифмическом вкладе разложения по Za этой поправки оказывалось различным в численном и аналитическом расчетах. Проведенные вычисления восстановили согласие численного и аналитического подходов.
Наиболее точное вычисление однопетлевой собственно-энергетической поправки к ^-фактору связанного электрона в водородо-подобных ионах привело, в совокупности с другими поправками, к существенному увеличению точности теоретических значений для (/-фактора. Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей общепринятое значение.
Расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки был использован для получения наиболее точных теоретических значений для энергии 2plj/2-l2s перехода в литиеподобных ионах и двухэлектронной части энергии основного состояния гелнепо-добных ионов. В результате было существенно улучшено согласие с экспериментальными данными. В случае литиеподобного
урана сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными позволило произвести проверку КЭД эффектов второго порядка на уровне 15%. На сегодняшний день это наиболее точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля.
5. Произведенное вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре водородоподобных ионов было использовано для получения наиболее точных теоретических значений сверхтонких интервалов основного состояния водородоподобных и литиеподобных ионов. Полученные результаты были также использованы для уточнения теоретических значений сверхтонкого расщепления в водороде, дейтерии и ионе Не+.
Структура диссертации следующая. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы основные задачи диссертации, кратко изложено содержание диссертации по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту.
В главе 1 обсуждается собственно-энергетическая (СЭ) поправка первого порядка по постоянной тонкой структуры а к уровням энергии водородоподобных ионов. Приводится краткий анализ различных методов и подходов, разработанных для расчета этой поправки без разложения по внешнему полю. Дается подробное изложение одного из таких подходов (метода потенциального разложения), который будет являться основой для последующего рассмотрения СЭ поправок в более высоких порядках теории возмущений. Обсуждается ряд моментов, которые являются общими для расчета всех СЭ поправок. В заключении главы приводится сравнительный анализ вычислений СЭ поправки первого порядка в двух различных калибровках, а также результаты расчетов для высоковозбужденных состояний водородоподобных ионов.
Детальное рассмотрение
Сверхтонкая структура (СТС) уровней в атомах с одним ж несколькими электронами представляет собой значительный экспериментальный интерес. Более 30 лет назад сверхтонкое расщепление (СТР) уровня основного состояния в атоме водорода было измерено с точностью около б х Ю-15 [63, 64]. Долгое время этот результат считался наиболее точным экспериментальным измерением в физике. Недавно прецизионные измерения СТС уровней стали возможными также и для тяжелых атомов. Так, погрешность экспериментального значения длины волны перехода между компонентами СТС основного состояния в ионе 2U9Bi8- "1" [6] на три порядка меньше соответствующего КЭД вклада. Высокоточные измерения СТС основного состояния были выполнены также для ряда других тяжелых водородопо-добных ионов: 165По66+, 185Rc74+, 187Re74h, 20W1+ [65, 66, 67].
В то время как исследования СЭ поправок к СТС с помощью разложения по параметру Za ведутся уже несколько десятилетий (см., например, недавний обзор [68]), соответствующие расчеты во всех порядках по Za начались относительно недавно. Впервые вычисление СЭ поправки к СТС без разложения по Za было выполнено в работах шведско-немецкой группы [69, 70] для основного состояния водороде подобных ионов. Для одного конкретного случая Z — 83 и точечной модели ядра подобный расчет был выполнен независимо в пашей работе [71]. Однако, как выяснилось позднее, оба этих расчета нельзя считать полностью корректными. Как показал детальный анализ формул, приведенных в [69], в работах [69, 70] была допущена ошибка в аналитическом вычислении интегралов по угловым переменным, что привело к ошибке численного результата на 0.8% для Z = 83. В нашей работе [71] была использована нековариантная процедура парциальной перенормировки, которая привела к возникновению неучтенных паразитных членов (см. обсуждение в главе 1). Ошибка численного результата работы [71] составляет около 3% для Z = 83.
Более корректные расчеты СЭ поправки к СТР уровня основного состояния водородоподобных ионов были выполнены американской группой [72, 73], в наших работах [74, 54] и в работе шведско-немецкой группы [75]. Результаты, полученные в этих трех независимых вычислениях, находятся в хорошем согласии. СЭ по правка к СТР уровня 2s состояния была вычислена в наших работах [74. 76, 54]. Для одного конкретного случая 2 — 83 такой расчет выполнялся также американской группой [77]. которая подтвердила наш результат для иона висмута.
Для рассмотрения СЭ поправки к СТС можно использовать формулы, полученные в предыдущем разделе. Под невозмупденной волновой функцией в этом случае надо понимать полную волновую функцию системы (электрон+ядро) а) \FMFIj) = С и1Па фт фЫПа, (60) М,та где CjUfj 1Па обозначает коэффициент Клебша-Гордана, фтм} есть ядерная волновая функция. jaWa электронная волновая функция. F - значение полного момента атома, а Мр - его проекция. Возмущающий оператор 6V в диполы-юм приближении дается известным выражением Ферми-Брейта [78] Л Я, = Ш5 , (61) где а обозначает вектор, составленный из матриц Дирака, a (J, есть оператор магнитного момента ядра, действующий в пространстве ядерных состояний.
Для практических вычислений удобно произвести отделение ядерных переменных уже в общих формулах. Для того, чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим выражение для смещения уровня энергии в низшем порядке: АЕ{1) - {FMFI]\Hft\FMFIj}. (62) Используя свойства смешанного произведения векторов, получаем 47Г MmaM m a г (63) В последнем уравнении подразумевается скалярное произведение матричных элементов. Применяя теорему Эккарта-Вигнера, можно получить АЕ(Х) = 27[ +1)-/(/+1)-Л 1)]0и/2 Ь й1/2), (64) где, по определению, /і = {II\i_iz\II) есть магнитный момент ядра. Вводя явно нерелятивистское значение для сдвига уровня основного состояния EF (энергия Ферми) EF = \ІЕ \{Zaf\F{F + 1)- Щ + 1)- j(j + 1)], (65) 47Г і 6 запишем предыдущее выражение как
Аналогичные магнитном поле ядра. Таким образом, мы заключаем; что формулы (46)-(48) могут быть использованы для вычисления СЭ поправки к СТС, если в качестве начального состояния а положить а) = Ь«1/2), (67) а возмущающий оператор SV взять в видепреобразования можно произвести в общих формулах для СЭ поправки в
Рассмотрим СЭ поправку к СТС несколько более детально. Неприводимый вклад (46) выражается через недиагональные матричные элементы СЭ оператора. Соответствующий расчет может быть произведен с помощью обобщения схемы, разработанной для вычисления СЭ поправки первого порядка и рассмотренной в главе 1. Возмущенная волновая функция \5а) в случае точечной модели ядра может быть вычислена аналитически в замкнутом виде с помощью метода обобщенных вириальных соотношений [79]. Соответствующие явные выражения приведены в работе [80].
Как обсуждалось ранее, вершинный и приводимый вклады делятся на О-потенциальные и многопотеыцнальные части. Вычисление 0-потенциального приводимого вклада [ф. (52)] особых сложностей не представляет и производится аналогично вычислению 0-иотенциального члена для СЭ поправки первого порядка. Вычисление 0-потснциального вершинного вклада является более сложным и заслуживает отдельного обсуждения.
Собственно-энергетическая поправка к фактору свя занного электрона
Фактор связанного электрона в водородоподобном атоме является, наряду с лэмбовским сдвигом и сверхтонким расщеплением, одной из наиболее важных характеристик простых атомных систем, допускающих высокоточное экспериментальное определение. Экспериментальная проверка расчетов (/-факторов частиц в связанных состояниях осуществляется уже на протяжении многих лет. Измеренные значения (/-фактора электрона в водороде, дейтерии и ионе 4Не находятся в хорошем согласии с теоретическими результатами (см, например, обзор в работе [89]). Недавно экспериментальная область таких исследований была существенно расширена. Были получены прецизионные результаты для (/-фактора электрона в водородоподобном атоме углерода [5] и кислорода [90].
Величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, является комбинация (дМ/т), где М - масса иона, т масса электрона g-фактор электрона в атоме. Эта величина была измерена с относительной точностью 5х10 10 [5]j что в 4 раза превышает точность принятого на настоящий момент значения массы электрона [91]. Таким образом, достигнутая экспериментальная точность создает предпосылки для независимого определения значения массы электрона путем сопоставления экспериментального результата с прецизионным теоретическим значением для электронного д-фактора. Это обстоятельство, а также перспективы дальнейшего уточнения измерений и распространения их на более тяжелые водо-родоподобные и литиеподобные ионы, мотивировали появление целого ряда работ, посвященных расчетам поправок к (/-фактору связанного электрона [92, 93, 94, 89, 95, 9G, 97, 98, 99., 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107].
Однопетлевая СЭ поправка является одним из ведущих вкладов в ?-фактор связанного электрона. Несмотря на то. что существующие измерения выполнены для достаточно легких ионов, высокая точность экспериментальных результатов приводит к тому, что использование известных членов разложения по Za для СЭ поправки является недостаточным и вычисление следует производить во всех порядках по Za. Первый такой расчет был выполнен американской группой [72]. В независимой работе шведской группы [108] была достигнута значительно лучшая точность в области малых значений Z и были получены полные теоретические значения для электронного -фактора в водород оподобных ионах. Позднее работа шведской группы была продолжена Байером и соавторами [92, 93]. Наиболее точный расчет СЭ поправки был произведен в наших работах [102. 105. 1091; в последней работе был также впервые выполнен расчет СЭ поправки для 2s состояния водород оподобных ионов. В совокупности с другими поправками, наш расчет позволил существенно увеличить точность теоретического значения для иона углерода и произвести независимое определение массы электрона.
Рассмотрим случай связанной системы, состоящей из электрона и ядра со спином ноль и помещенной в однородное магнитное поле. Общие выражения для СЭ поправки к сдвигу уровней энергии такой системы даются формулами (46)--(48). где возмущающий оператор должен быть взят в виде SV(x) = — еа А(х), А есть векторный потенциал А(х) = (1/2)[Вхх], (84) а В обозначает напряженность магнитного поля, (/-фактор связанного электрона может быть определен через сдвиг энергии под воздействием внешнего магнитного поля следующим образом: АЕ = дц0В та, (85) где д обозначает р-фактор, до = є/(2?7і) есть магнетон Вора, В = В, та - проекция полного момента электрона, а магнитное поле предполагается ориентированным вдоль оси z. В низшем порядке значение -фактора находится как 9D = —„—(jama\5V\jama) . (86) В случае s состояния и точечного ядра простое вычисление дает дв = іи + Щ, (87) где еа есть энергия начального состояния. Перенормировка общих выражений для СЭ поправки может быть произведена стандартным образом. В частности, для ковариантного отделения УФ расходимостей в вершинном и приводимом членах достаточно выделить вклад свободных пропагаторов [ф. (49), (50)]. Именно такой подход был использован в первом расчете СЭ поправки
Потенциальное разложение для вершинной диаграммы. Волнистая линия, оканчивающаяся крестообразной вершиной, соответствует взаимодействию с внешним магнитным полем. Штриховая линия обозначает взаимодействие с кулоновским полем ядра. Остаток, содержащий два и более кулоновских взаимодействия, вычисляется как поточечная разность нсперенор миров а.нно го вклада и двз х первых членов потенциального разложения. к р-фактору [72}. Практические вычисления показали, что в данном случае стандартный: подход сопряжен с значительными техническими трудностями. Основная проблема заключается в медленной сходимости парциалы-юго разложения в многопотенциальных членах (Дф и Дг(І+)). Поскольку в практических вычислениях такого типа обычно приходится ограничиваться явным вычислением первых 30-50 парциальных вкладов и экстраполяцией полученных частичных сумм в бесконечность, медленная сходимость парциального разложения оказывается фактором, лимитирующим точность вычислений.
Эта проблема была частично решена в работах шведской группы [108, 92] в рамках следующего подхода: в потенциальном разложении вершинного и приводимого вкладов был явно выделен член, содержащий одно взаимодействие с кулоновским полем ядра. Соответствующее представление для вершинной диаграммы изображено на Рис. 4.
Численные результаты и обсуждение
Численные результаты для экранированной СЭ поправки к уровням энергии гелиеподобных и литиеподобных ионов приведены в Табл. 9. Результаты представлены в виде безразмерной функции F(Za), определенной следующим выражением AE = ma2{ZafF{Za). (133)
Расчеты производились с учетом конечного распределения заряда по ядру, для моделирования которого исполвзовалось приближение равномерно заряженной сферической оболочки. В таблице производится также сравнение наших данных с результатами соответствующих вычислений, выполненными шведской и американской группами. Как можно видеть, наши вычисления для основного состояния гелиеподобных ионов очень хорошо согласуются с расчетом Саннер-грена. в то время как для литиеподобных ионов они несколько отличаются от аналогичных расчетов Сапирштейна и Ченга.
В Табл. 10 мы приводим компиляцию всех двухэлектронных вкладов в энергию основного состояния гелиеподобных ионов. (Напомним, что с экспериментальной точки зрения, теоретические значения, представленные в таблице, соответствуют разности энергий ионизации основного состояния гелие- и водородоподобного ионов.) Настоящая компиляция отличается от опубликованной в нашей работе [1.28] более современным значением среднеквадратического радиуса ядра в случае иона тория (Z = 90).
Полученные теоретические значения сравниваются с результатами аналогичной компиляции, опубликованной шведской группой [127]. а также с экспериментальными данными [120, 121]. Как можно видеть, настоящая экспериментальная точность не является пока достаточной для идентификации двухэлектронных КЭД эффектов. Тем не менее, уже в ближайшем будущем ожидается увеличение точности эксперимента в несколько раз. в результате чего проверка вычисленных вкладов может стать осуществимой. Отметим, что представленные теоретические значения включают в себя все КЭД поправки второго порядка. Это значит, что полученные результаты не могут быть существенно уточнены в обозримом будущем.
Кратко обсудим отдельные двухэлектронные вклады. Поправка на одноф о тонный обмен вычислялась с использованием фермиевской модели для распределения ядерного заряда; параметры модели опре Численные значения экранированной СЭ поправтаї для гепиеподобных л .питиеподобных ионов, выраженные в единицах функции F(Za), определенной выражением (133). Полная экранированная СЭ поправка для основного состояния гепиеподобных ионов дается вкладом Д ; для состояния (ls)2v питиеподобных ионов - суммой Дй + ДДр ; где v = 2s, 2p-L. 2, 2рз/з- (г2)1/ 2 обозначает средне-квадратмчеекий радиус ядра, выраженный в ферми.
Отдельные двухэпектроняые вклады в энергию основного состояния ге-лиеподобиых ионов, в зв. Обозначения в таблице следующие: ,;1фот.,: - поправка иа однофотонный обмен, "2фот. рел." - поправка на двухфотонный обмен в приближении Брейта [ф. (134)], "2фот. КЭД" - поправка на двухфотонный обмен, все высшие члены по Za; "СЭ" - экранированная СЭ поправка, :ВГР- экранированная поправка на поляризацию вакуума, "Зфот.;) поправка на трехфотоннътй обмен и прочие члены высшего порядка, "Теор." - полное теоретическое значение, ,:Экеп." - экспериментальные результаты [120, 121]. делились через значения среднеквадратичного радиуса ядра, приведенные в Табл. 9 [135, 136. 137, 138]. В случае, когда погрешность значения среднеквадратичного радиуса не указана явно, она предполагается равной одному проценту. Погрешность, приписанная поправке на однофотонный обмен, складывается из двух частей. Первая часть представляет собой зависимость результата от выбранной ядерной модели. Она оценивалась как разность между значениями. полученными с использованием фермиевской модели и модели равномерно заряженного шара. Вторая часть возникает из-за погрешности в экспериментальном значении среднеквадратичного радиуса ядра.
Последовательный КЭД расчет поправки на двухфотонный обмен для рассматриваемого состояния производился в работав [139, 140]. В таблице соответствующий вклад разделен на две части. Первая из них может быть получена в рамках релятивистской квантовой механики; она содержит весь нерелятивистский вклад и ведущий член [ (Za)2} релятивистской поправки [141, 142, 143]: ДЯгві = та2[-0.15766638 - 0.6356(aZ)2]. (134)
Оставшаяся часть представляет собой "нетривиальный КЭД вклад в двухфотонный обмен и дается соответствующей разностью. Экранированная СЭ поправка была вычислена в нашей работе [128]; поправка на экранированную вакуумную поляризацию была так лее получена в работах нашей группы [144. 145].
Поправка, на обмен тремя и более фотонами вычислялась с помощью коэффициентов 1/Z разложения для нерелятивистской части этой поправки [141] и ведущего члена релятивистской части [143], Погрешность, связанная с неучтенными КЭД вкладами порядка а , оценивалась как полная КЭД поправка порядка оА деленная на Z. Наконец, двухэлектронные вклады в эффект отдачи ядра учитывались умножением поправки на однофотонный обмен на множитель (1 — т/М). что соответствует учету этого эффекта в нерелятивистском приближении. Погрешность такого нерелятивистского рассмотрения принималась равной 100% в области больших Z и включена в общую погрешность результата.
Компактная часть двухпетлевой СЭ поправки
Задачей настоящего параграфа является выяснить причину расхождения численных расчетов с аналитическими вычислениями [177, 68] и получить явное выражение для дополнительного логарифмического вклада, происходящего от диаграммы 8(a). Для удобства дальнейшего анализа, запишем выражение для LAL поправки (142) в импульсном пространстве:где р. к., к , р - 4-векторы, чьи временные компоненты фиксированы и равны значению энергии начального состояния єа. Для того, чтобы обеспечить возможность почленного сравнения с предыдущими вычислениями, будем использовать ту же калибровку Фрнда-Иеппе. что и в работах [177, 68].
Ведущий (по Za) вклад в LAL поправку происходит от диаграммы 8(a) и имеет порядок a2(Za)b. Он был получен в работах [187. 188, 175), где было показано, что для его вычисления достаточно рассмотреть релятивистские ( т) значения промежуточных моментов, а внешние моменты поместить на массовую поверхность р — р = (т., 0). Следующий по порядку величины вклад содержит In (Za). Вычисление этого вклада, представленное в работах [177, 68]. основывалось на использовании квазилокальных эффективных операторов. В этом подходе, СЭ оператор заменяется на эффективный оператор на массовой поверхности, tip, к) -+ VsE(kr) = -S- j lnkr (149) (kr = k), который выбран таким образом, чтобы воспроизвести ведущий логарифмический вклад в СЭ поправку первого порядка. Очевидно, что интегрирование по петлевому моменту кг в логарифмической области Za С кг С т приводит к вкладу, содержащему ln"(Za). Дополнительная степень логарифма может быть получена, если In кг интегрируется вместе с множителем 1/fcf, fmdkr \n3Za. (150)
В работах [177. 68} множитель l/kr возникает от второго члена потенциального разложения Gmc{ в (148). Это объясняет, почему в таком рассуждении диаграмма 8(b) порождает вклад, содержащий In (Za). а диаграмма 8(a) - нет. Как будет показано ниже, более аккуратное рассмотрение членов вне массовой поверхности приводит к появлению вкладов 1/кт также и для диаграммы 8(a).
Следует отметить, что подход, основанный на применении квазилокальных эффективных операторов не является строго обоснованным в том смысле, что не было показано, что таким способом находится весь вклад интересующего нас порядка. Тем не менее, этот подход довольно широко применяется в литературе и его результаты обычно совпадают с полученными более строгими методами. В нашем случае ошибочный результат связан, по-видимому, с попыткой применения такого подхода к диаграмме, вклад которой не является полностью калибровочно инвариантным.
Перейдем теперь к обсуждению последовательного вычисления ведущего логарифмического вклада от диаграммы 8(a). Соответствующее выражение записывается следующим образом rdpdkdp -АЕ = /-(2 )g- (p)Vfc(p-k) где Vc-(q) = — inZafq2 есть кулоновский потенциал, а Гд - временная компонента перенормированного вершинного оператора в калибровке Фрида-Йенне. Нас будет интересовать второй член разложения этого выражения по Za. (Ведущий член разложения имеет порядок a2(Za)5 и нас в данный момент не интересует.) Предполагая, что внешний импульс р находится вблизи массовой поверхности, разложим свободный вершинный оператор Гн{р}к) в ряд Г (р,А;)иГо(5,й:) + (7-р)Г1(5,Л:) + (р-к)Г2(5,А:)+р2Гз(5)А:) (152) где s = (т,0). Здесь и далее, знак примерного равенства () означает, что были опущены члены, несущественные для настоящего рассмотрения. Продемонстрируем возникновение вкладов содержащих куб логарифма для первого члена разложения (152). Обозначим соответствующий вклад в сдвиг энергии через АЕ$: Лп 153) (k)r0(S,fc) r0(M (k). ;2тг)з 2 - 1 Для удобства записи, мы перешли к единицам, в которых т. — 1, и ввели следующее обозначение dp р0{к) 1541 2тг) г с(к-рЩр). ( Оставляя ведущий член для большой и малой компоненты ipQ, получаем N ЫМ (155; Х.и,ат0\Щ № Za кг v — arctg—х-к,/т.а(к) где Л " = (2т1") 3 2(32(.2а. ) /7г) 2. Учитывая, что логарифмические поправки возникают обычно от интегралов типа (150). мы можем обрезать интегрирование по к,- в (153) сверху некой константой Л 1 и разложить Го(з,/с) в ряд по кг:
Для того: чтобы получить второй член разложения выражения (153) по Za, следует рассмотреть вклады, содержащие произведение большой компоненты i/?o на малую. В результате получаем:
Если Za положить равной нулю в подынтегральном выражении, интеграл будет расходиться при малых значениях kr. Таким образом, Za выступает в роли эффективного параметра обрезания. Для получения ведущего члена этого интеграла мы можем обрезать интегрирование снизу параметром Za и затем положить Za = 0 под знаком интеграла, Л fe,. bZa 2- кт 12 y v y Тот же ответ может быть получен строгим вычислением интеграла ,/. Таким образом, ведущий логарифмический вклад от выражения (153) равен АЕм ("у) (Za)6ln3tZa)"2 (163) Похожие вычисления для остальных членов в разложении (152) дают окончательный результат для ведущего логарифмического вклада от диаграммы 8(a) [184] AE [- (Za)6tf(Za)-\ (164) или, в единицах коэффициента -Вез, ІЗбз(асІсІ) = —2/3, что хорошо согласуется с численным результатом, полученным в предыдущем разделе ?бз(ас1с1) = -0.652(30).
