Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Нелинейная электродинамика вакуума, основные модели и их экспериментальный статус
1. Основные модели нелинейной электродинамики вакуума 7
2. Современный экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума 16
Глава II. Развитие формализма Ньюмена-Пенроуза для интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума
3. Уравнения нелинейной электродинамики произвольного вида в формализме Ньюмена-Пенроуза 18
4. Уравнения для поля электрического диполя электродинамики Борна-Инфельда в формализме Ньюмена-Пенроуза 28
5. Стационарное решение для распределенной системы зарядов в гравитационном поле силового центра в электродинамике Борна-Инфельда 33
Глава III. Постмаксвелловские эффекты нелинейной электродинамики вакуума в астрофизических приложениях
6. Генерация кратных гармоник вращающимся пульсаром в параметризованной постмаксвелловской нелинейной электродинамике 38
7. Непертурбативное исследование движения фотона в поле массивного заряженного силового центра 50
8. Эффективная метрика для фотона в теории Эйнштейна-Борна-Инфельда 51
9. Метрика фонового пространства-времени заряженного силового центра 56
10. Свойства изотропных геодезических в поле массивного заряженного силового центра в теории Эйнштейна-Борна-Инфельда 61
11. Распространение электромагнитных волн в поле быстро вращающегося пульсара 68
Глава IV. Прецизионные измерения эффектов постмаксвелловской нелинейной электродинамики вакуума в лабораторных условиях
12. Исследование эффектов постмаксвелловской нелинейной электродинамики вакуума в лабораторных лазерных прецизионных экспериментах 84
13. Взаимодействие электромагнитных волн в постоянном однородном магнитном поле в эксперименте с кольцевым
лазером 87
Заключение 98
Список литературы 100
Приложение 110
- Современный экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума
- Уравнения для поля электрического диполя электродинамики Борна-Инфельда в формализме Ньюмена-Пенроуза
- Непертурбативное исследование движения фотона в поле массивного заряженного силового центра
- Свойства изотропных геодезических в поле массивного заряженного силового центра в теории Эйнштейна-Борна-Инфельда
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время исследование новых эффектов нелинейной электродинамики вакуума представляется крайне актуальной проблемой теоретической физики. Прежде всего, это связано с приближением техники эксперимента к порогу регистрации этих эффектов. Первое подтверждение нелинейной природы электромагнитного вакуума уже получено в экспериментах по неупругому рассеянию фотонов в поле интенсивного лазерного излучения, выполненных на Стенфордском ускорителе. Хотя эти эксперименты однозначно свидетельствуют в пользу нелинейности электродинамики вакуума, однако выбор той или иной теоретической модели из этих результатов сделать нельзя. В то же время техника создания "сильных" электромагнитных полей в лаборатории, получившая активное развитие, позволяет существенно расширить ряд экспериментов, в которых эффекты нелинейной электродинамики вакуума могут быть зарегистрированы в ближайшее время. В связи с этим возникает задача расчета новых экспериментов, дающих возможность выяснить экспериментальный статус различных теорий нелинейного электромагнитного вакуума. Значительный интерес представляет исследование эффектов нелинейной электродинамики вакуума вблизи астрофизических источников сильных полей — пульсаров и магнетаров. В этих условиях возможны генерация кратных гармоник вращающимся пульсаром и воздействие быстрого вращения пульсара на запаздывание рентгеновского излучения, проходящего вблизи его поверхности.
Кроме того, интерес к нелинейной электродинамике вакуума также продиктован возможностью получения новых решений уравнений поля со свойствами, существенно отличающимися от свойств решений линейной электродинамики Максвелла. Например, хорошо известно регуляри-
зирующее влияние нелинейности в электродинамике Борна-Инфельда, приводящее к конечности собственной энергии электромагнитного ПОЛЯ точечного заряда в псевдоевклидовом пространстве-времени. Поиск других точных решений в различных моделях нелинейной электродинамики вакуума, как правило, требует развития новых методов интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Целью диссертационной работы является теоретическое изучение макроскопических эффектов нелинейной электродинамики вакуума. Оно включает развитие новых методов интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума, нахождение новых точных решений этих нелинейных уравнений, а также выяснение возможностей регистрации новых эффектов нелинейной электродинамики вакуума как в лабораторных, так и в астрофизических экспериментах.
Научная новизна.
В диссертации впервые выведены уравнения формализма спиновых коэффициентов для поиска новых точных решений уравнений нелинейной электродинамики произвольного вида. Впервые исследованы эффекты генерации кратных гармоник вращающимся пульсаром; взаимодействия электромагнитных волн в постоянном однородном магнитном поле; влияния быстрого вращения пульсара на эффект запаздывания электромагнитных волн, распространяющихся вблизи его поверхности. Выполнено непертурбативное исследование изотропных геодезических в поле массивного заряженного силового центра теории Эйнштейна-Борна-Инфельда.
Научная и практическая значимость работы.
Полученные результаты могут быть использованы для поиска точных решений согласованной системы уравнений нелинейной электроди-
намики вакуума и гравитации, для исследования процессов, происходящих вблизи поверхности пульсаров, а также при планировании и проведении прецизионных экспериментов с кольцевыми лазерами.
Результаты могут быть использованы: ОИЯИ, РУДН, ФИАН, ГА-ИШ МГУ, Институте космических исследований РАН при проведении работ по проекту "Спектр РГ".
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях: "Ломоносов -2005" (Москва-2005), "Ломоносов -2006" (Севастополь-2006), "Ломоносов -2009" (Москва-2009), а также на научных семинарах кафедры квантовой теории и физики высоких энергий и кафедры теоретической физики МГУ.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 7 работ, из которых три являются статьями в журнале, входящем в перечень ВАК.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, приложения и списка литературы. В основном объеме диссертации содержится 10 рисунков. Объем диссертации составляет 112 страниц.
Современный экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума
Первое экспериментальное подтверждение нелинейных свойств электромагнитного вакуума было получено на Стенфордском электронном ускорителе (SLC). Основные результаты этих экспериментов содержатся в работах [1], [59] и в более позднем обзоре [60]. В рамках данных исследований проводилось рассеяние электронов с энергиями 46.6 ГэВ на лазерных импульсах с длиной волны 527 нм и пиковым значением интенсивности 1019 Вт/см2 с целью обнаружения эффектов нелинейного рассеяния Комптона и рассеяния света на свете. Согласно теоретической модели процесса Брейта-Уилера (Breit-Wheeler) [61], при неупругом рассеянии света на свете происходит рождение электрон-позитронных пар, поэтому регистрация позитронов в канале этой реакции должна указывать на нелинейные свойства электромагнитного вакуума. В эксперименте по неупругому рассеянию света на свете [ 1 ] было зарегистрировано рождение 106 ± 14 позитронов, что можно считать надежным свидетельством в пользу нелинейности электродинамики вакуума. Однако количественные параметры той или иной модели нелинейной электродинамики в этом эксперименте определить невозможно. Прежде всего это связано с наличием фоновых процессов, точные теоретические модели которых на сегодняшний день не разработаны. Например, оценка влияния конкурирующего процесса рождения электрон-позитронных пар при взаимодействии электрона и пяти лазерных фотонов была выполнена авторами с помощью модельного процесса, в котором рождение пары происходит в результате взаимодействия реальных фотонов лазерного импульса с виртуальным фотоном, испущенным начальным электроном с энергией 46.6 ГэВ . В работе [59] приведены результаты экспериментов для нелинейного рассеяния Комптона с поглощением не более четырех фотонов. Вывод о нелинейности этого эффекта был сделан из-за отклонения импульсов рассеянных электронов от значений, предсказываемых обычным эффектом Комптона. Несмотря на то, что такое уменьшение импульсов электронов можно объяснить несколькими последовательными рассеяниями, полученные электронные спектры однозначно указывают на нелинейный процесс рассеяния.
Более того, авторами работы [59] было выполнено дополнительное исследование процесса комптоновского рассеяния с поглощением двух фотонов в области, где последовательные однофотонные рассеяния запрещены; результаты этих измерений также свидетельствуют в пользу нелинейности электродинамики вакуума. Поиск точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев не может быть выполнен из-за отсутствия общих методов интегрирования таких уравнений. Как правило, в этих случаях интегрирование сводится к подбору комбинации функций, обеспечивающих частное или общее решение задачи. При этом, чем меньше ограничений в подборе таких комбинаций, тем вероятнее возможность обнаружить решение, поэтому применение методов интегрирования, обеспечивающих наибольшее число степеней свободы в подборе решений, наиболее предпочтительно. В данной главе уравнения нелинейной электродинамики произвольного вида будут записаны в рамках формализма Ньюмена-Пенроуза (который часто называют формализмом спиновых коэффициентов) — одного из наиболее продуктивных методов поиска точных решений нелинейных уравнений. Следует отметить, что большинство точных решений уравнений гравитации, известных на сегодняшний день, (например, метрики Керра-Ньюмена-Унти-Тамбурино, С-метрики Элерса-Кундта и другие [2]) получены благодаря использованию именно этого метода.
Последовательное описание процедуры построения уравнений гравитации в формализме Ньюмена-Пенроуза можно найти в работах [3]-[7]. Уравнения нелинейной электродинамики произвольного вида в рамках этого формализма были получены нами в работе [8]. В наиболее общем случае лагранжиан нелинейной электродинамики имеет вид: где L—некоторая функция инвариантов J i и J , а с/ определитель метрического тензора. Общековариантные уравнения поля для нелинейной электродинамики произвольного вида, полученные в результате варьирования лагранжиана (2.1) по переменным электромагнитного поля, имеют вид: где использованы обозначения F& = FmFnmFmk — третья степень тензора электромагнитного поля, Vj— ковариантная производная по координате хг в пространстве-времени с метрическим тензором gik.
В основе формализма Ньюмена-Пенроуза лежит переход к четырем специальным изотропным векторам 1к, щ, ти и fhk, которые принято называть базисной тетрадой. Векторы Z&, пк будем считать действительными, а гпк и fhk - комплексно сопряженными. Их скалярные произведения зададим в виде: Переход к формализму Ньюмена-Пенроуза заключается в проецировании уравнений (2.2)-(2.3) на векторы базисной тетрады (2.4). Используя эти векторы, метрический тензор псевдориманова пространства — времени и антисимметричный тензор электромагнитного поля представим следующим образом: +{пігпк - гПіПк)Н + {пітк - гпгпк)/з + і(гщтк - т{тк) , (2.6) где скалярные коэффициенты /І7 /2, /3 , /4 имеют смысл новых переменных электромагнитного поля. Переменные Д и /4 являются действительными, а/ги/з- комплексными. Изотропные векторы fc, nk1mk,fhk\\ скалярные коэффициенты /1,/2, /зі /4 определяются совместным решением системы уравнений Эйнштейна и уравнений нелинейной электродинамики (2.2) и (2.3). Так как векторы 1к, пк, тк, тк образуют базис, то любой тензор может быть разложен по этому базису. Поэтому и ковариантные производные Vi от базисных векторов также могут быть разложены по этим векторам. Запишем ковариантные производные в псевдоримановом пространстве - времени от базисных векторов в виде:
Уравнения для поля электрического диполя электродинамики Борна-Инфельда в формализме Ньюмена-Пенроуза
Для проверки корректности соотношений (2.10)-(2.11) найдем уравнения описывающие поле электрического диполя электродинамики Борна-Инфельда в формализме Ньюмена-Пенроуза. Результат решения этих уравнений сравним с полем диполя, рассчитанным методом последовательных приближений в сферическом координатном базисе без применения формализма спиновых коэффициентов. Соответствие результатов этих вычислений будет свидетельствовать о правильности процедуры построения уравнений электромагнитного поля (2.10)-(2.11). Прежде всего получим описание плоского пространства-времени в терминах формализма спиновых коэффициентов. Для этого будем придерживаться обозначений и результатов работы [7]. Для плоского пространства-времени следует принять следующие величины равными нулю: Для остальных переменных нужно потребовать чтобы выполнялись соотношения: Векторы базисной тетрады при этом будут иметь компоненты: U = где принято обозначение р = 1/л/2(1 — UCO Для ковариантных производных по направлениям векторов базисной тетрады получим выражения: Сохраним симметрию координат, использованных в работе [7] при описании метрики Ньюмена-Унти-Тамбурино, связь которых со сферическими координатами имеет вид: В дальнейшем будет использовать новую переменную С = х2 + гж3, которая связана с углами сферической системы координат соотношения Заданием последних соотношений завершается процесс построения плоского пространства-времени с аксиальной симметрией координат в формализме спиновых коэффициентов, после чего перейдем к описанию поля электрического диполя. В рассматриваемой задаче магнитное поле отсутствует, поэтому инвариант тензора электромагнитного поля четвертой степени можно выразить через инвариант второй степени J4 = Jf /2.
В этом случае, для производных плотности лагранжиана электродинамики Борна-Инфельда по инвариантам тензора электромагнитного поля получим:Используем выражение (2.6), а также компоненты векторов базисной тетрады (2.14), для построения тензора электромагнитного поля: 2pV Последние выражения соответствуют электромагнитному полю произвольной структуры, нас же будет интересовать только аксиально симметричное электрическое поле, для выделения которого выполним преобразование от координат (2.16) к сферическим координатам: Теперь потребуем, чтобы компоненты тензора F(k соответствовали полю электрического диполя в сферической системе координат. Так как магнитное поле в этом случае отсутствует, следует положить F[2 = F{3 = F22 = 0, причем эти соотношения должны выполняться при произвольных значениях углов ip и в, поэтому система уравнений может иметь только тривиальные решения, откуда получим связь между переменными электромагнитного поля: Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного поля Fik при этом должны иметь вид: Поле электрического диполя аксиально симметрично, поэтому компонента і о не должна зависеть от аксиального угла р, а компонента FQ3 должна быть равна нулю. Обоим этим условиям можно удовлетворить одновременно, если потребовать, чтобы выполнялось соотношение /2 = /2.
В этом случае переменную поля /2 нужно искать в виде /2 = (F(r, СС), где F— некоторая вещественная функция полярного угла F = F. С учетом полученных зависимостей между переменными отличные от нуля компоненты тензора электромагнитного поля в системе координат с аксиальной симметрией (2.16) примут вид: Инварианты этого тензора имеют вид: Наконец, воспользовавшись (2.15), получим окончательные выражения для производных по направлению векторов базисной тетрады 5 и 5, вы разив их через переменную : Все дальнейшие вычисления будем проводить на сфере, поэтому согласно результатам [7] следует положить U — —1/2. В результате уравнения для аксиальносимметричного электрического поля электродинамики Борна-Инфельда, записанные в формализме Ньюмена-Пенроуза, примут вид:
Непертурбативное исследование движения фотона в поле массивного заряженного силового центра
Нелинейные свойства электродинамики вакуума существенно сказываются на процессах, происходящих в сильных электромагнитных полях, принципиально изменяя их характер. В частности, такое влияние в постмаксвелловском приближении приводит к искривлению световых лучей в электромагнитном поле [12], [16], эффектам нелинейноэлектро-динамического запаздывания [14], [15], [71] и микролинзирования [65], [66]. Как правило, при расчетах таких эффектов учитывают независимое влияние нелинейной электродинамики вакуума и гравитации на лучи распространяющиеся во внешнем электромагнитном и гравитационном поле. Вместе с тем, описание эффектов нелинейной электродинамики вакуума в искривленном пространстве-времени вне рамок теории возмущений может иметь качественно новый характер. Например, даже в псевдоевклидовом пространстве-времени известно регуляризирующее действие электродинамики Борна-Инфельда [37] — теории обладающей точным выражением для лагранжиана (1.1). Наличие точного лагранжиана в этой теории позволяет выполнить непертурбативное рассмотрение новых эффектов электродинамики вакуума. Существенный интерес представляет исследование вне рамок теории возмущения процесса распространения по законам теории Эйнштейна-Борна-Инфельда слабых электромагнитных волн во внешних сильных электромагнитном и гравитационном полях. В дальнейшем в 10 нами будет выполнено такое исследование для фотона, движущегося в поле массивного заряженного силового центра. При этом мы будем учитывать действие нелинейных свойств электродинамики вакуума как на эффективное пространство-время [52] - пространство в котором движется фотон, так и на фоновое пространство-время силового центра, тем самым определяя точное движение фотона.
Получим закон распространения электромагнитной волны в искривленном пространстве-времени, содержащем сильные электромагнитные поля, не прибегая при вычислениях к теории возмущений, за исключением требования слабости электромагнитной волны по сравнению с внешними полями. В отличие от [72], где подразумевается движение фотона на фоне псевдоевклидова пространства-времени, и [52], [73], где аналогичные вычисления проводятся в рамках теории возмущений, запишем лагранжиан электродинамики Борна-Инфельда (1.1) в терминах инвариантов: Особенность такого выбора переменных заключается в том, что предельный переход к псевдоевклидовому пространству-времени выполняется особенно просто, так как при этом новые инварианты принимают вид 12 — Е2 — В2 и h —» (Е В)2. В терминах предложенных обозначений лагранжиан и уравнения нелинейной электродинамики Борна-Инфельда можно записать в следующем виде: ,(2)i где F 1 — FljFjk - вторая степень тензора электромагнитного поля. Следует отметить, что в полученных выражениях под Fjk подразумевается суммарное поле слабой электромагнитной волны и сильное внешнее поле. Для выполнения линеаризации по полю слабой волны достаточно считать, что действие ковариантных производных распространяется на поле этой волны, а остальные тензорные выражения, не содержащие ковариантных производных, включают только внешние сильные поля. В силу поперечности слабой электромагнитной волны в вакууме, независимыми среди уравнений (3.16), (3.17) являются только шесть, для которых в уравнении (3.16) к = a = 1...3 и в уравнении (3.17) Решение для слабой электромагнитной волны будем искать в виде: где 5(г, і)-эйконал. Также учтем, что амплитуда F m волны слабо изменяется вдоль луча распространения по сравнению с изменением фазы Vji m/(F mVj5) С 1, поэтому во всех дальнейших вычислениях амплитуду волны будем считать постоянной. Из уравнений (3.19), используя (3.20), выразим компоненты магнитного поля волны:
После подстановки Fap в слагаемые, содержащие ковариантные производные от тензора электромагнитного поля в уравнениях (3.18), последние приобретут однородный вид относительно компонент электрического поля слабой волны: TV FQlx — 0, где для упрощения записи введено обозначение +c В последнем выражении и в дальнейших вычислениях будем обозначать -трехмерный символ Кронекера, a gf - метрический тензор фонового пространства-времени. Очевидно, что условием существования нетривиального решения для поля слабой волны является требование равенства нулю определителя Den. = 0. Для вычисления этого определителя удобно воспользоваться известным тензорным выражением: где инварианты П(5) и соответствующие степени П? тензора Иар согласно [36], [74] определяются соотношениями: Дальнейшие вычисления будим проводить аналогично [72], введя четырехмерное обобщение тензора Ilf: Q = П. Согласно результатам [72], [75] релятивистская ковариантность уравнения эйконала )еЕЩ = 0 будет обеспечена во всех допустимых системах отсчета тогда и только тогда, если потребовать обращения в нуль тензора: где Q(2)rn и Qf3)m - вторая и третья степени тензора Q , a Q(i) и ( - инварианты этого тензора. Подстановка явного выражения для Q в последнее равенство приводит к уравнению Гамильтона-Якоби, описывающему распространение электромагнитной волны в эффективном пространстве-времени:
Свойства изотропных геодезических в поле массивного заряженного силового центра в теории Эйнштейна-Борна-Инфельда
Исследуем изотропные геодезические в пространстве с эффективным метрическим тензором (3.23) и сравним их свойства со свойствами геодезических в пространстве Райснера-Нордстрема, подробно описанными в [76], [80]. Как отмечалось ранее, радиальное движение фотона определяется только свойствами метрики фонового пространства-времени, а в случае, если момент импульса фотона отличен от нуля, возникает дополнительное влияние нелинейной электродинамики Борна-Инфельда. Поэтому рассмотрим эти случаи движения отдельно. а) радиальное движение фотона Для определения свойств радиальных изотропных геодезических, аналогично [76], рассмотрим световой луч, распространяющийся из точки с координатой наблюдателя г = го до точки г. Координатное время, измеренное по часам удаленного наблюдателя, необходимое для такого движения, определяется из равенства нулю интервала для светового луча: Знак минус принимается для лучей идущих от удаленного наблюдателя к силовому центру, а знак плюс - при движении в противоположном направлении. В некоторых частных случаях выражение для функции R(r) можно получить аналитически, например, для метрики Шварцшиль-да R(r) — r + rg\n\r — rg\, а для решения Райснера-Нордстрема эту функцию можно представить в виде: где горизонты г+ и г- определяются из (3.26). Область пространства времени, доступная для удаленного наблюдателя, согласно [76], определяется областью изменения г, в которой координатное время xQ, а следовательно и функция R(r), изменяется от — оо до +оо. На Рис. 7 изображена зависимость координатного времени х = —R(r), необходимого для распространения светового луча, исходящего от удаленного наблюдателя, до точки, удаленной от силового центра на расстояние г, в случаях метрики
Шварцшильда, метрики Райснера-Нордстрема и численного решения для метрики (3.23), учитывающей влияние электродинамики Борна-Инфельда. При построении всех зависимостей было принято М = 350М и Q = 337Q. Для метрики Шварцшильда координатное время стремится к +оо по мере приближения г к горизонту г д. На самом же горизонте г — гд световой луч испытывает бесконечно большое инфракрасное смешение. В случае решения Райснера-Нордстрема координатное время стремится к +оо на горизонте г+ и к —оо на горизонте Коши: г = г_, на последнем из них световые сигналы имеют бесконечно большое фиолетовое смещение. Из Рис. 7 видно, что полученное нами численное решение, как и отмечалось ранее, не имеет горизонта сходного по свойствам с горизонтом Коши, а единственный горизонт, на котором происходит обращение координатного времени в бесконечность, расположен при г 358.6rs0, что соответствует значению, полученному для данных массы и заряда звезды при вычислении функции горизонта событий в 9. Таким образом, свойства изотропных радиальных геодезических в пространстве массивного заряженного силового центра теории
Эйнштей-на-Борна-Инфельда во многом аналогичны свойствам изотропных геодезических в метрике Шварцшильда, достаточно подробно описанным в литературе [81]. В отличие от решения Райснера-Нордстерма, существование лучей с неограниченным фиолетовым смешением в теории Эйнштейна-Борна-Инфельда не допускается. б) круговые орбиты фотона Рассмотрим сначала наиболее общий случай движения фотона. Для этого получим решение уравнения Гамильтона-Якоби (3.21) с учетом выражения (3.25) для метрического тензора фонового пространства-времени, а также найдем уравнение траектории и уравнение движения: Анализ движения удобно выполнить, рассматривая, аналогично [82]-[84], перемещение фотона в некотором поле с эффективным потенциалом Ve/f, в терминах которого уравнение движения (3.28) примет вид:
