Содержание к диссертации
Введение
1 Квантовая раздувающаяся Вселенная в дилатонной гравитации 18
1.1 Классическое действие дилатонной гравитации 19
1.2 Примеры космологии Фридмана с учетом квантовых поправок 22
1.3 Дилатонная космология Фридмана с учетом скалярного потенциала 28
2 Квантовые эффекты во Вселенной анти - де Ситтера 36
2.1 Вселенная анти - де Ситтера с учетом дилатонного потенциала и квантовых эффектов 37
2.2 Эффективные гравитационные уравнения движения 39
2.3 Стабилизация Вселенной анти - де Ситтера с учетом квантовых поправок 46
3 Вселенная Фридмана в модифицированной гравитации 56
3.1 Действие модифицированной гравитации и уравнения движения 57
3.2 Примеры космологии Фридмана в модифицированной гравитации с учетом скалярного поля 62
3.3 Модифицированная гравитация с положительной и отрицательной степенями кривизны: объединение инфляции
и ускоренного расширения Вселенной 67
3.4 Космология Фридмана с вязкостью в модифицированной гравитации 77
Заключение 80
Литература
- Примеры космологии Фридмана с учетом квантовых поправок
- Дилатонная космология Фридмана с учетом скалярного потенциала
- Эффективные гравитационные уравнения движения
- Примеры космологии Фридмана в модифицированной гравитации с учетом скалярного поля
Введение к работе
Космология, как наука, родилась в начале двадцатого века. Обычно дату ее рождения отсчитывают от времени публикации статьи А.А. Фридмана "О кривизне пространства1^ журнале "Zeitschrift fur Physik"B 1922 году (/1/). Работа была посвящена эволюционирующей Вселенной, т.е. расширяющейся и с растущим собственным объемом. Космологическая модель А.А. Фридмана достаточно подтверждена наблюдениями и сейчас является общепринятой. Основываясь на общей теории относительности А. Эйнштейна А.А. Фридман доказал, что Вселенная не остается неизменной, а должна либо расширятся, либо сжиматься (возможно и осциллировать). Спустя несколько лет после этого открытия, сделанного А.А. Фридманом, Э. Хаббл доказал, что наша Вселенная расширяется (/1, 2, 3, 4/). Так, в первой трети XX века исследования и результаты Фридмана и Хаббла объдинились, став фундаментом современных представлений об эволюции Вселенной.
В космологии моделью Вселенной называется теория, в которой описываются один или несколько основных признаков реальной Вселенной. В данном случае фридмановская модель мира описывает эволюцию однородной и изотропной Вселенной, хотя сама Вселенная значительно более сложное образование /5/.
Итак, в 20 - е годы прошлого века российский ученый Александр Александрович Фридман создал теорию однородной и изотропной расширяющейся Вселенной.
Однородность Вселенной следует понимать не как однородность в малых ее частях, а однородность в "размазанной"Вселенной, которая усреднена по "кубам"размерами 108 — 10 световых лет. Они, в свою
очередь, объединяют большое число скоплений галактик (галактические кластеры). В результате, однородность подразумевает то, что свойства вещества в разных точках пространства на больших масштабах (приближенно) одинаковы.
Изотропность же Вселенной означает, что свойства вещества Вселенной, наблюдаемые из одной точки в разных направлениях, являются (приближенно) одинаковыми.
В силу того факта, что плотность, давление и температура являются основными характеристиками вещества, именно они распределенны однородно и изотропно. В космологии вычислен масштаб с которого Вселенная становится приблизительно однородной и изотропной, он имеет размер 200Мпк (1М = 106, а 1пк = 3.263 световых лет).
Рассматривая три различные модели Вселенной, для которых выполняются два фундаментальных предположений А.А. Фридмана, стоит подчеркнуть, что сам он рассматривал только одну модель Вселенной. В такой модели, открытой самим А.А. Фридманом, первого типа, Вселенная расширяется значительно медленнее для того, чтобы в силу гравитационного притяжения между различными галактиками расширение Вселенной замедлялось и, в итоге, совсем прекратилось. В результате такого расширения галактики начинают приближаться друг к другу и Вселенная начинает сжиматься. Между соседними галактиками расстояние возрастает от нуля до некоторого максимума, а затем опять падает до нуля. Для такой модели А.А. Фридмана, в которой Вселенная расширяется и сжимается, пространство искривляется, замыкаясь само на себя, как поверхность Земли, поэтому размеры такого пространства конечны.
Рассматривая модель Вселенной второго типа, можно продемонстрировать, что ее расширение происходит значительно быстрее. В итоге такого рода расширения, гравитационное притяжение хоть и замедляет расширение, но не может его остановить. В такой модели
Вселенной расстояние между галактиками увеличивается, и, в конце концов, галактики удаляются друг от друга с постоянной скоростью. Для этой модели, в которой Вселенная расширяется бесконечно, пространство представляет собой поверхность седла. Таким образом, в этом случае, пространство бесконечно.
При рассмотрении модели Вселенной третьего типа, скорость расширения такой Вселенной только - только достаточна для того, чтобы избежать сжатия до нуля (коллапса). В этом третьем случае, расстояние между галактиками тоже сначала равно нулю, а потом все время возрастает. Однако, скорость удаления галактик друг от друга становится все меньше и меньше, но никогда не падает до нуля. Для этой модели А.А. Фридмана, с критической скоростью расширения, пространство является плоским и, следовательно, будет бесконечным (см., например, /1, 3, 5/).
Изучая модели Вселенной, мы можем (хотя бы приближенно) построить картину эволюции Вселенной. Но какая же из моделей Фридмана годится для нашей Вселенной? Перестанет ли Вселенная, наконец, расширяться и начнет сжиматься или будет расширяться вечно? Известен факт из математической общей теории относительности А. Эйнштейна, что пространство - время, возможно, возникло в сингулярной точке Большого Взрыва, а свой конец оно, возможно, должно находить в сингулярной точке Большого Хлопка (если коллапсирует вся Вселенная) и (или) в сингулярности черной дыры (если коллапсирует какая - нибудь локальная область типа звезда). Ожидается, что в результате учета квантовых эффектов масса и энергия вещества оставшейся части Вселенной меняются. Теперь возникают новые вопросы. Что происходит на очень ранних и очень поздних стадиях развития Вселенной, когда гравитационные поля достаточно сильные, и нельзя пренебречь квантовыми эффектами? Существуют ли у Вселенной начало и конец? Именно этим вопросам посвящена данная диссертационная работа. Чтобы ответить на эти вопросы, нужно знать нынешнюю скорость расширения Вселенной и ее
среднюю плотность. Если плотность меньше некоторого критического значения, зависящего от скорости расширения, то гравитационное притяжение будет слишком мало, чтобы остановить расширение. Если же плотность больше критической, то в какой - то момент в будущем, из - за гравитации, расширение прекратиться и начнется сжатие.
На сегодняшний момент, скорость расширения Вселенной можно определить, измеряя по эффекту Доплера скорости удаления от нас других галактик /3, 4/. Действительно, возможно выполнить такие измерения достаточно точно. Однако, из - за того, что расстояния до других галактик нельзя измерить непосредственно, мы знаем лишь, что Вселенная расширяется за каждую тысячу миллионов лет на 5 - 10 процентов. Но, неопределенности в современном значении средней плотности Вселенной еще больше. При сложении массы всех наблюдаемых звезд в нашей и других галактиках, даже при самой низкой оценке скорости расширения, сумма окажется меньше одной сотой той плотности, которая необходима для того, чтобы расширение Вселенной прекратилось. Заметим, что, по крайней мере, и в нашей и в других галактиках должно быть много темной материи, которую нельзя непосредственно видеть, но о существовании которой мы догадываемся по тому, как ее гравитационное притяжение влияет на орбиты звезд в галактиках. Исходя из того факта, что в основном галактики наблюдаются в виде скоплений, мы можем аналогичным образом сделать вывод о наличии еще большего количества межгалактической темной материи внутри этих скоплений, которое, в свою очередь, влияет на движение галактик. В итоге же, при сложении массы всей темной материи, мы получим лишь одну десятую того количества, которое необходимо для прекращения расширения. Однако, мы не можем исключить возможность существования и какой - то другой формы материи, еще не зарегистрированной, которая могла бы быть распределена равномерно по всей Вселенной и которая сможет довести среднюю плотность Вселенной до критического значения, такого, чтобы остановить
расширение. Подводя итог всему выше сказанному, можно сделать вывод о том, что, вероятней всего, наша Вселенная будет расширяться вечно. Однако, в чем можно не сомневаться, так это в том, что если сжатие Вселенной все - таки произойдет, то никак не раньше, чем через десять тысяч миллионов лет.
Все рассматриваемые модели Вселенной Фридмана различны, но у них есть общее то, что в какой - то момент времени в прошлом (десять - двадцать тысяч миллионов лет назад) расстояние между соседними галактиками должно было равняться нулю. Такой момент принято в космологии называть Большим Взрывом, т.е. когда плотность Вселенной и кривизна пространства - времени должны были быть бесконечными.
В настоящее время, такая теория Большого Взрыва является общепринятой /1, 4, 7, 8/, так как она объясняет два наиболее значительных факта космологии: расширяющуюся Вселенную и существование космического фонового излучения. Рассмотрим пример, воспользовшись известными законами физики и просчитаем в обратном направлении все состояния, в которых находилась Вселенная, начиная с 10 - 43 секунд после Большого Взрыва. На первом этапе, в течение первого миллиона лет, вещество и энергия во Вселенной сформировали непрозрачную плазму, которую иногда называют первичным огненным шаром. К концу этого этапа расширение Вселенной заставило температуру опуститься ниже 3000 К, так что это привело к тому, что протоны и электроны смогли объединяться, образуя атомы водорода. На этом этапе Вселенная стала прозрачной для излучения. В итоге, плотность вещества стала выше плотности излучения, хотя раньше ситуация была обратной. Это и определяло скорость расширения Вселенной. В результате, от сильно охлажденного излучения ранней Вселенной осталось только фоновое микроволновое излучение. Только через один или два миллиарда лет из первичных облаков водорода и гелия начали формироваться первые галактики.
Однако, неумение математиков реально обращаться с бесконечно
большими величинами привело к тому, что, согласно общей теории
относительности (на которой основаны решения А.А. Фридмана), во
Вселенной должна быть точка, в которой сама эта теория неприменима.
Поскольку, все научные теории основаны на предположении, что
пространство - время гладкое и почти плоское, то в результате этого, все
щ эти теории неверны в сингулярной точке Большого Взрыва, ведь именно
в ней кривизна пространства - времени бесконечна. Следовательно, даже если бы перед Большим Взрывом происходили какие - нибудь события, то и по ним все таки нельзя спрогнозировать будущее, так как в точке Большого Взрыва возможности предсказания свелись бы к нулю. Исходя из знания того, что произошло после Большого Взрыва (а мы знаем только это), мы не сможем узнать, что происходило до него. События, которые произошли до Большого Взрыва не могут иметь никаких последствий,
* касающихся нас, и поэтому не должны фигурировать в научной модели
Вселенной. Следовательно, исключив их из модели, мы должны считать
началом отсчета времени момент Большого Взрыва.
На основе теории об однородности и изотропности расширяющейся Вселенной возможно записать метрику такой Вселенной в следующем виде /4/:
dr2 1 — кг2
+ r2(dif + sm2rjdip2)
* ds2 = dt2 - a2{t)
к = +1 - для замкнутой Вселенной Фридмана, к = О - для плоской Вселенной Фридмана, к = — 1 - для открытой Вселенной Фридмана.
Пространство Вселенной для к = +1 представляет собой поверхность сферы радиуса a{t) в четырехмерном евклидовом пространстве, и тогда
* можно a(t) называть "радиусом Вселенной". В свою очередь, для к = О
и к — —1 такое понятие дать нельзя, хотя a(t) также характеризует геометрические размеры пространства, тогда говорят, что a(t) для всех случаев является космическим масштабным фактором.
В космологии a(t) - функция, зависящая от времени и характеризующая изменение расстояний между галактиками со временем. Она показывает как изменяются масштабы Вселенной со временем.
Фридмановская модель Вселенной представляет собой модель, состоящую из частиц, т.е. модель, где галактики заменены пробными частицами, обладающими массой. При анализе такой модели становится очевидным рассматривать непрерывные параметры, а не движение каждой частицы отдельно. Таким образом, вопрос о изучении масштабного фактора очень важен в космологии.
При обсуждении других характеристик нашего мира мы сталкиваемся с параметром плотности Q. Параметр плотности описывает геометрию нашего мира. Для случая, когда О, = 1, то к = 0, геометрия нашего мира совпадает с евклидовой, трехмерное пространство бесконечно. Если П < 1, го к = —1, трехмерное пространство также является бесконечным, но геометрия нашего мира соответствует геометрии Лобачевского. При 7 > 1, мир замкнут и обладает римановой геометрией, его трехмерный объем конечен. Всегда одной из важных задач космологии была задача измерения глобального параметра Г2.
В итоге, расширение Вселенной описывают два уравнения А.А. Фридмана. Он построил два решения уравнений А. Эйнштейна, которые зависят от средней плотности материи во Вселенной. Как уже объяснялось выше, если средняя плотность р меньше некоторой величины pkp или равна ей, то Вселенная может быть пространственно как бесконечной, так и конечной, но расширение ее будет продолжаться всегда. Если же р > pkv (значение средней плотности больше критической), то предпологается замкнутая, но безграничная модель Вселенной. Силы гравитации в этом случае, вероятней всего, должны, в конце концов, остановить расширение
Вселенной и она, возможно, рано или поздно начнет сжиматься.
Обычно в космологии рассматриваются три основных типа уравнений
состояния: радиационно - доминировашюе уравнение состояния (р = ^-), пылеподобное уравнение состояния (р = 0) и вакуумноподобное уравнение состояния или инфляционное уравнение состояния (р = —рс2) /4/.
Известно, что в космологии плотность вещества при расширении уменьшается и обратно пропорциональна масштабному фактору в некоторой степени: p{t) = Ро(^)п-
В случае радиационно - доминированного уравнения состояния
(р = ^-), среда состоит из релятивистских частиц, которые подобны по своему поведению фотонам. При расширении Вселенной плотность обратно пропорциональна четвертой степени масштабного фактора, рс2 ~ а-4 (т.к. меняется и плотность частиц ~ а-3, и энергия каждой частицы ~ а-1).
При рассмотрении пылеподобного уравнения состояния можно сделать вывод о том, что когда давление равно нулю, то среда, в свою очередь, состоит из невзаимодействующих частиц пыли. При этом, плотность такой среды при расширении обратно пропорциональна кубу масштабного фактора ~ а-3.
В случае отрицательного давления (р = —рс2), плотность среды не зависит от времени и масштабного фактора. В физике известно, что только у вакуума плотность не меняется при расширении, поэтому такое состояние иногда называют состоянием фальшивого (или ложного) вакуума /1/.
Заметим, что в мире с постоянным отрицательным давлением (или в мире с Л - членом) /9/ временное и пространственные направления равноправны.
Определив зависимость плотности от масштабного фактора, подставляем ее в уравнения Фридмана и получаем зависимость самого масштабного фактора от времени, т.е. закон расширения нашей Вселенной. Этот закон зависит как от уравнения состояния, так и от топологии Вселенной, т.е. от величины к. Для случая Вселенной, доминированной
пылью (при к = О, т.е. для случая пространственно - плоской, современной Вселенной), зависимость масштабного фактора от времени имеет вид:
a(t) = dot*. Как видно из этого выражения, масштабный фактор увеличивается со временем до бесконечности. В результате, на стадии инфляции возникают силы гравитационного отталкивания, они, в свою очередь, и отвечают за движущую силу расширения Вселенной. Такая сила появляется посредством конденсата скалярного поля на инфляционной стадии, который эквивалентен Л - члену в уравнениях А. Эйнштейна. Впервые расширяющуюся Вселенную с Л - членом описал де Ситтер, и сегодня такая космологическая модель называется моделью (или Вселенной) де Ситтера.
Поскольку основным свойством Л - члена является способность вызывать ускорение, а не замедление Вселенной, то интерес к модели де Ситтера не уменьшается, и любое подозрение на существование стационарного участка в истории расширения, или подозрение на наличие следов ускорения вызывает к жизни старые идеи Эйнштейна - де Ситтера.
Так, в конце двадцатого века было показано, что в ранней Вселенной могла эффективно генерироваться космологическая постоянная, эквивалентная силам отталкивания. В свою очередь академиком А. Старобинским, при анализе квантовых поправок к уравнениям А. Эйнштейна, обнаружено решение, которое эквивалентно решению де Ситтера, и разработана теория согласованного решения, в котором квантовые поправки к уравнениям гравитационного поля служили источником, порождающим ненулевую кривизну пространства - времени.
На основании работ Д. Киржница и А. Линде, А. Гус разработал теорию инфляционной Вселенной, введя эффективную космологическую постоянную, названную конденсатом скалярного поля. Так что приливные силы, генерируемые такой космологической постоянной были огромными, они составляли величину 1074с-2. Такие приливные силы возникают в однородной Вселенной, они не зависят от градиента давления или
температуры; наоборот, они выравнивают всевозможные градиенты, что способствует образованию однородного распределения в веществе. Так, после окончания инфляционной эпохи Вселенная продолжает свое расширение по инерции, что мы и можем наблюдать в настоящее время. Таким образом, предложен ответ на вопрос почему расширяется наша Вселенная.
Хотя изучение будущего Вселенной принципиально отличается от изучения прошлого, но, не смотря на это, прошлое все же оставило свои следы и, обнаруживая их, мы проверяем правильность своих представлений о Вселенной. Картина будущего - это всегда экстраполяция, прямая проверка здесь невозможна. Однако, в настоящее время, фундамент физических и астрофизических знаний достаточно прочен, что позволяет с достаточной уверенностью рассматривать отдаленное будущее Вселенной (/4, 9, 10/).
Следует отметить, что одним из фактов успеха сегодняшнего прогресса космологии является развитие физической теории. Используя в космологии общую теорию относительности А. Эйнштейна, а также достижения квантовой теории и достижения современной физики элементарных частиц, можно с уверенностью сказать, что запросы космологии растут значительно быстрее, чем возможности современного физического эксперимента.
Одним из ярких аспектов современной космологии является изучение распределения темной, невидимой материи. Поистине, грандиозное влияние на физиков оказало открытие факта о том, что наш мир примерно на 30 процентов состоит из вещества непонятной природы. Действительно, в данный момент, сам факт существования темной материи уже не вызывает сомнения. Хотя, природу этой материи еще не узнали. Не известна и форма, в которой это вещество присутствует во Вселенной. Используются различные гипотезы о том, что она может быть в форме, подобной планетам и звездам, т.е. в форме гравитационно связанных тел,
а может быть в распределенной форме, как материя, которая состоит из элементарных частиц, распределенных в пространстве. Не исключают и тот факт, что возможно во Вселенной существует несколько видов темной материи, причем каждый из таких видов может существовать в определенной форме, которая отличается от других видов. Такие предположения следуют из наблюдательных исследований гравитационных линз и крупномасштабной структуры Вселенной.
Еще относительно недавно казалось, что основная масса нашей Вселенной состоит из звезд, планет, межгалактического газа, космической пыли, то есть из видимой барионной материи (излучающей или отражающей электромагнитные волны). Небарионная материя, которая (до недавнего времени) включала только электромагнитное (фотонное) и нейтрийнное излучения, не могла (как казалось) давать существенного вклада в общую массу Вселенной, так как фотоны не имеют массы, а массы нейтрино очень малы.
Вопрос о возможном существовании во Вселенной некой скрытой массы впервые начал серьезно обсуждаться в начале 30-х годов прошлого века. Предпосылкой этому послужило открытие в 1929 году Э. Хабблом факта о том, что наша Вселенная расширяется. Он, используя результаты измерения красного смещения спектральных линий галактик, сделал вывод, что галактики и галактические скопления разбегаются друг от друга (красное смещение - это наблюдаемое смещение спектральных линий в сторону длинных волн от удаляющегося космического объекта по сравнению с длиной волны тех же линий, измеренной в земных условиях от неподвижного источника (эффект Доплера) /4/.
Вопрос о количественном и качественном составе темной материи играет важную роль как для выбора наиболее адекватной модели эволюции Вселенной и дальнейшего ее развития, так и для понимания современного строения Вселенной.
Итак, около 1/3 Вселенной приходится на темную материю.
Оставшаяся часть Вселенной состоит, в основном, из темной энергии и только малая часть остается на долю "обычной"видимой материи звезд и планет. В настоящее время некоторые ученые считают, что такой вид энергии (темная энергия) является силой, противоположной гравитации, и способствует расширению Вселенной. Гравитация действует на все формы вещества, а антигравитация темной энергии проявляется только на дальних расстояниях, заставляя Вселенную расширяться значительно быстрее, чем в том случае, если бы гравитация была доминирующей силой. Ученые все еще не пришли к единому мнению о существовании и природе темной энергии, хотя, безусловно, новые результаты прибавят доверия новой теории.
Космология, как и всякая другая наука, имеет экспериментальные доказательства (и набор наблюдений), которые, в свою очередь, являются критическими для нее. Всякий такой эксперимент был определяющим в становлении современных взглядов на строение и эволюцию нашей Вселенной.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена изучению квантовой раздувающейся Вселенной в дилатонной гравитации. Сценарий раздувающейся Вселенной состоит в том, что Вселенная на самых ранних стадиях своей эволюции находилась в неустойчивом вакуумоподобном состоянии и расширялась экспоненциально быстро. Затем происходил распад вакуумоподобного состояния, Вселенная разогревалась, и дальнейшая ее эволюция описывалась стандартной теорией горячей Вселенной.
В первом параграфе, при применении формализма эффективного действия для построения эффективных гравитационных уравнений, изучены некоторые вопросы квантовой космологии в рамках теории типа Бранса - Дикке. Так же рассмотрена скалярно - тензорная гравитация, в которой присутствует кинетический член для дилатона и дилатонный
потенциал.
Во втором параграфе рассмотрены примеры космологии типа Фридмана с учетом квантовых поправок. При рассмотрении дилатонного потенциала в виде экспоненты от скаляра, а так же учете того, что квантовые эффекты индуцируются некоторым числом спинорных полей, построено однопетлевое эффективное действие, которое используется при решении эффективных уравнений движения.
В третьем параграфе обсуждается дилатонная космология типа Фридмана с учетом скалярного поля. Найдены решения для дилатона, который зависит от времени и в процессе эволюции может уменьшаться. Построены эффективные гравитационные уравнения движения и найдены их частные решения, которые описывают дилатонную Вселенную типа Фридмана (де Ситтера).
Вторая глава затрагивает вопрос о квантовых эффектах Вселенной типа анти - де Ситтера. Такая Вселенная, как и модель де Ситтера, является пространством с постоянной кривизной.
В первом параграфе формулируется модель Вселенной анти -де Ситтера с учетом дилатонного потенциала и квантовых эффектов. Исследуется роль квантовой материи при взаимодействии с классическим дилатоном в стабилизации Вселенной типа анти - де Ситтера. С помощью известной конформной аномалии для конформно - инвариантного скалярного поля построено эффективное гравитационное действие.
Во втором параграфе исследована роль влияния взаимодействия квантовой материи и дилатона на стабилизацию Вселенной анти - де Ситтера. Определены эффективные гравитационные уравнения движения и получены некоторые их решения типа дилатонной Вселенной анти - де Ситтера.
В третьем параграфе рассматривается стабилизация Вселенной анти - де Ситтера с учетом квантовых поправок. Численно показано как форма дилатонного потенциала влияет на квантовое рождение Вселенной анти -
де Ситтера.
Третья глава посвящена Вселенной Фридмана в модифицированной гравитации (в том числе, с учетом скалярного поля). Рассматривается один из привлекательных сценариев модифицирования гравитационной динамики в таком виде, что в результате возникает эффективная темная энергия.
В первом параграфе представлено действие простой модели модифицированной гравитации, а также получены уравнения движения.
Во втором параграфе построены примеры расширяющейся космологии типа Фридмана в модифицированной гравитации с учетом скалярного поля. В теории Эйнштейна - Гильберта, учитывая слагаемое 1/R (где R - кривизна) построены гравитационные уравнения поля в присутствии фантомного поля и идеальной жидкости. Найдены соответствующие космологические решения.
В третьем параграфе рассмотрена модифицированная гравитация, которая обеспечивает обе фазы расширения Вселенной: инфляцию раннего времени и современное космическое ускорение.
В четвертом параграфе рассмотрено действие, содержащее слагаемое Ra. Рассмотрено два случая уравнений состояния идеальной жидкости с учетом вязкости. Показано, что в такой модели модифицированной гравитации реализуется фантомная космология и возникает сингулярность.
Примеры космологии Фридмана с учетом квантовых поправок
Большой интерес к пространству анти - де Ситтера (AdS) объясняется предположением существования некоторого дуализма пространства анти -де Ситтера и конформной теории поля (для обзора см./26/). В результате такого подхода, свойства классического пространства анти - де Ситтера могли бы соответствовать свойствам некоторой дуальной конформной теории поля меньшей размерности.
Квантовая теория поля в искривленном пространстве - времени (для обзора см./27/) полезна при объяснении эволюции ранней Вселенной. Например, модель инфляции, индуцированная конформной аномалией (так называемая, инфляция Старобинского /23/), основана на квантовом рождении Вселенной де Ситтера при помощи квантовых эффектов материи. Этот сценарий был обобщен на случай присутствия дилатона в предыдущей главе нашей диссертационной работы. Далее, возникает вопрос о том, является ли это специфическим свойством пространства де Ситтера или это достаточно общее явление, которое присуще только пространствам с постоянной кривизной.
Данная глава диссертационной работы посвящена исследованию роли квантовой материи, которая взаимодействует с дилатоном в стабилизации Вселенной анти - де Ситтера. Известен тот факт, что без дилатона квантовые эффекты аннигилируют и дестабилизируют Вселенную анти - де Ситтера /24/. Квантовые эффекты учитываются в четырехмерной дилатонной конформной аномалии (см./26/). Такая дилатопная конформная аномалия в теории N = 4 супер Янга - Миллса с конформной супергравитацией N = 4, может иметь голографическое происхождение (в результате соответствия "анти - де Ситтера/конформной теории поля"), это было показано в работах /32, 35, 36/.
В данной работе, при решении поставленных задач, эффективное действие, индуцированное аномалией для скаляра, который взаимодействует с дилатоном, добавляется к классическому гравитационному действию и, полученные таким образом уравнения движения, анализируются для нескольких дилатонных потенциалов. Показано, что существует возможность квантового рождения дилатонной Вселенной анти - де Ситтера.
Рассмотрим квантовые поля в пространстве анти - де Ситтера, а также обсудим квантовую аннигиляцию Вселенной анти - де Ситтера /24/.
Рассматриваемая модель определена в 4 - х мерном пространстве -времени анти - де Ситтера (AdS±), а метрика выбрана в следующей форме /24/: ds2 = e 2K{dt2 - (dx1)2 - (dx2)2) - (d()2, (2.1) где эффективная космологическая постоянная Л = —Л2. Для удобства в вычислениях перепишем эту метрику в конформно - плоской форме, посредством следующего преобразования: о е ЛС У = (2-2) Далее, если принять а = е Л = 1/(А#3) = 1/(Ху), то мы получим следующее выражение для метрики: ds2 = a2(dt2 - dx2) = а\ х хи. (2.3) Необходимо заметить, что это наиболее удобная форма метрики рассмотрения пространств с постоянной кривизной.
Исходя из предположения, что ранняя Вселенная заполнена некоторой материей типа теории великого объединения (GUT), приходим к заключению, что достаточно учитывать только свободные поля, так как радиационные поправки несущественны /27/. Пространство анти - де Ситтера, в отличие от пространства де Ситтера, представляет собой суперсимметричный фон для теории великого объединения (GUT) в случае, когда теория обладает суперсимметрией (SUSY). Обзор по квантовым полям в пространстве с отрицательной кривизной можно найти в /25/.
Для простоты мы будем рассматривать аномалию, при изучении теории квантого скалярного поля в кривом пространстве, в следующей форме (обзор см./37, 38/):
Видно, что Ъ" представляет собой произвольный параметр, который может меняться в зависимости от значения конечной гравитационной ренормализации (перенормировки). В дальнейшем будем считать значение этого параметра равным нулю (Ъ" = 0), так как из этого не следует никаких физических последствий. Члены с коэффициентами ai и аг соответствуют вкладу дилатона, где / является некоторой произвольной функцией от фонового дилатона / = /( )- Такой вклад в 4 - х мерную конформную аномалию найден в работе /22, 39/. Исходное действие для конформного квантового скаляра, взаимодействующего с дилатоном, имеет следующий вид: S = І х -дфЦП- Щф, (2.8) где ф некоторое квантовое скалярное поле. Отметим также, что если в (2.4) опустить члены, содержащие дилатон, мы получим хорошо известную конформную аномалию для конформно - инвариантного скалярного поля.
Дилатонная космология Фридмана с учетом скалярного потенциала
Далее, как и в первом случае, сделаем преобразование космологического времени (для обзора метода см. /45/): dz = a(y)dy. В результате такого подхода, мы получим уравнения движения в терминах z в следующей форме:
Здесь (также как и в предыдущих пунктах) a— da/dz и ф= d p/dz. Повторив анализ предыдущего случая, мы получим следующее решение для а0: а0 = ен , (2.29) 6ка2 и, окончательно, для Н2 решение выглядит следующим образом: Я2 = -- [ - 1 + \Д + АккЬ + АкЪ а (2.30) Такое решение всегда положительное, поскольку третий член подкоренного выражения является очень малым. Полученное значение для Н2 удовлетворяет условию, для того, чтобы получить немнимый масштабный фактор и, следовательно, возникает возможность квантового рождения дилатошюй Вселенной анти - де Ситтера. 3. В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда дилатонный потенциал (2.10) отсутствует. В такой ситуации уравнения движения (2.11) приобретают следующий вид:
При решении этих уравнений, сначала, как и в двух предыдущих случаях, проведем преобразование космологического времени (для обзора метода см. /45/): dz = a{y)dy. После этого, уравнения (2.31) принимают следующую форму:
Также, нетрудно убедиться в том, что полученные уравнения являются достаточно сложными для того, чтобы их решать аналитически и поэтому необходимо искать их решения приближенно. В этом случае, мы будем искать решения в виде: a(z) а0 eHz , p(z) р0 Q aliz . (2.33)
Учитывая (как и в предыдущих случаях), что логарифмический член представляет собой бесконечно малую величину, поскольку In а Hz и Н пропорционален плапковской массе, мы можем им пренебречь. Тогда, после этого преобразования, мы получаем из второго уравнения в (2.32) для а следующее алгебраическое уравнение: 2аха3 + 6а2а = 0 , (2.34) а решения для этого уравнения выглядят
Известно, что в таком случае рождение Вселенной анти - де Ситтера невозможно, т.к. она была бы неустойчивой, поэтому мнимые решения не представляют интерес. Тривиальное решение ведет к тому, что дилатон отсутствует. В заключение, мы приходим к выводу, что квантовая поправка, включенная нами в действие, без дилатона не дает никаких эффектов в ранней Вселенной анти - де Ситтера.
В качестве четвертого и последнего случая рассмотрим ситуацию, когда дилатонный потенциал определяется функцией V((p) = . После подстановки такой формы потенциала в (2.10), мы получим следующие уравнения движения в терминах z:
Как и в рассмотренных пунктах, полученные в данном случае уравнения слишком сложны, для того чтобы их решать аналитически. Поэтому искать приближенные решения, как и было сделано выше, мы будем в виде:a(z) а0 eHz , ф) р0 e aHz . (2.38)
После подстановки (2.38) в уравнения (2.36) и (2.37), а так же снова используя факт, что логарифмический член во втором уравнении является величиной порядка In а Hz и, поскольку Н порядка планковской массы (см. /45/), то, следовательно, этим членом мы можем пренебречь. Кроме того, для простоты, мы рассмотрим случай, когда кинетический член для дилатопа отсутствует, т.е. случай, когда р = 0. Тогда мы получим для а и Н следующие уравнения:
Эффективные гравитационные уравнения движения
В результате имеем не очень удовлетворительное физически решение, поскольку в этом случае Вселенная не расширяется, а сжимается, a(t) t s. Рассмотрим случай, когда р ф 0, но при этом У(ф) = 0, a(i) Q2, 0 2Іпі и у = k t + сІ2- Тогда аг и w удовлетворяют следующему уравнению: (6а2-3)(1+ш) = 0, (3.33) для Вч = л/. В результате получим решение для масштабного фактора при ОІЧ = \ или и = — 1. Если Q2 = I Т0ГДа w = F — з Обозначим данное решение через (5). В другом случае, если 0 = — 1, ТО «2 = — g Следовательно, это решение не представляет интереса, так как Вселенная не расширяется, а сжимается.
Далее мы рассмотрим пример, когда р ф 0 и У(ф) не выбрана в форме (3.21). Если мы предположим, что а() газ, ф В ІШ иу = k$t + d , тогда мы имеем для аз и w эквивалентные решения, как и в предшествующем случае, когда В$ = л/. Для масштабного фактора получаются те же решения при г з = 5 или о = — 1. Теперь, если а3 = 5 т0 w = ее — 2С з Такое решение обозначим через (J5 ). Оно зависит от параметра С, где С - некоторая постоянная величина. Если же ш = — 1, то а = і где = f + 18 з + 12 4- Т0 Решение представляет собой ограниченный физический интерес.
Обсудим наиболее интересные случаи (А), (В) и (? ). Первым рассмотрим случай (А). В этом случае решением для масштабного фактора является а , тогда а;е// = —. Эволюция Вселенной в позднем времени представляет собой инфляцию. В терминах физического времени имеем, что a(t) = t2. Для фантомного поля мы имеем решения (В) и (В ). В случае решения (В) получаем с = \ и тогда а;е/у = р — . Выберем / как положительную постоянную величину. Если &2— оо, то wejf приближается к значению —. Здесь, в этом случае, мы получаем, что в форме материи a(t) становится постоянной величиной. В решении (В1), а = , но jeff зависит от Си к%. Следовательно, мы получили различные явные космологические решения.
Таким образом, получены следующие результаты. Во - первых, модифицированная гравитация переписана в системе отсчета Эйнштейна, где она рассматривается как обычная общая теория относительности с дополнительным скаляром (дилатонная гравитация). Было бы интересно исследовать условия энергодоминантности более детально в фантомной космологии /98, 101/. Во - вторых, для преобразованной теории легко построены космологические решения, описывающие ускоряющуюся Вселенную. Было бы интересно изучить роль квантовых эффектов дилатона в нашей космологии, путем учета 4-х мерной конформной аномалии (для детального обзора см./26/ и результаты первой главы данной диссертационной работы).
Модифицированная гравитация с положительной и отрицательной степенями кривизны: объединение инфляции и ускоренного расширения Вселенной
В данном параграфе будет более детально рассмотрена идея о том, что ускоренное расширение Вселенной может быть связано не с темной энергией, а с модифицированной гравитацией (см. также первый параграф). В случае модифицированной гравитации (объясняющей наблюдаемое ускорение) предполагаются заметные эффекты на масштабах существенно меньших Хаббловского (вплоть до солнечной системы). Кроме того, рассматривается вариант, когда рост космологических возмущений плотности в случае модифицированной гравитации будет более медленным. В данном параграфе мы в основном следуем работе /85/. Рассмотрим общее 4-х мерное действие /85/: S = ±Jd4xV4№), (3.34) где R - скалярная кривизна, f(R) - некоторая произвольная функция. Введем добавочные поля А и В и перепишем наше рассматриваемое действие (3.34) в виде /85/: S = jd xV=j(B{R-A) + f{A)\ (3.35) где В это переменная величина, a A = R. Сделав обратную замену в действии вида (3.35) и используя уравнения движения, мы опять получим действие (3.34).
Далее, решим уравнение для В: в = / (А), (з.зб) тогда А = д(В). (3.37) Теперь подставим А в (3.35) в виде отношения (3.37), тогда имеем: S = 1 JdAx Tg{B{R - д(В)) + /( ?())). (3.38) Воспользовавшись выражениями (3.36) и (3.37) получим: S = ±jd xV=9 (j (A)(R-A) + f(A)y (3.39) По крайней мере классически, эти два выражения для действий (3.38) и (3.39) эквивалентны друг другу.
Действие (3.38) или (3.39) может называться действием в форме Джордана с добавочными полями. Более удобна для работы теория в системе отсчета А. Эйнштейна (см. первую главу данной работы).
Примеры космологии Фридмана в модифицированной гравитации с учетом скалярного поля
Таким образом рассмотрена модель модифицированной гравитации и исследованы уравнения состояния жидкости, когда давление пропорционально плотности и когда жидкость обладает фоновой вязкостью. В итоге, рассматривая такую модифицированную гравитацию, возможно получить гравитационную альтернативу обычному описанию темной энергии. Такой результат может выглядеть привлекательным, поскольку присутствие темной энергии может быть последствием расширения Вселенной.
В качестве следующей проблемы, которая выходит за рамки настоящей диссертации, разумно рассмотреть взаимодействие такой теории с материей. Такая проблема планируется для исследования в нашей группе в 2006 году.
Основные результаты опубликованы в статьях [17], [28], [29], [30], [31], [59], [116]. В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.
1. Изучен ряд вопросов квантовой космологии в рамках теории Бранса - Дикке. Именно, применен формализм эффективного действия (основанный на интегрировании конформной аномалии) при построении и решении гравитационных уравнений. Рассмотрена скалярно - тензорная гравитация, в которой имеется кинетический член для дилатона, а также дилатонпый потенциал, в качестве классического гравитационного действия на фоне которого развивается квантовая динамика.
2. Дилатонпый потенциал обычно может рассматриваться, как зависящая от времени космологическая постоянная. При выборе дилатонного потенциала в виде экспоненты от скаляра и учете квантовых эффектов, которые индуцируются некоторым числом спинорных полей, построено однопетлевое эффективное действие. Построены эффективные уравнения движения и найдены их частные решения, отвечающие дилатонной Вселенной Фридмана специального вида (раздувающаяся открытая Вселенная). Найдены решения для зависящегося от времени дилатона, который в процессе эволюции может уменьшаться, будучи существенным в ранней Вселенной.
3. Исследована роль квантовой материи, взаимодействующей с классическим дилатоном в стабилизации Вселенной анти - де Ситтера. Использована хорошо известная конформная аномалия для конформно - инвариантного скалярного поля.
Исходя из такой конформной аномалии построено эффективное действие, индуцированное аномалией. Выведены соответствующие гравитационные уравнения движения. Найдены условия на параметры модели, обеспечивающие возможность рождения Вселенной анти - де Ситтера. Исследовано влияние взаимодействия квантовой материи с дилатоном на стабилизацию Вселенной анти - де Ситтера. Показано, что в отсутствии дилатона квантовые эффекты ведут к анигиляции Вселенной анти - де Ситтера. Доказано, что с ростом параметра Н2 растет и кривизна, а это означает, что Вселенная анти - де Ситтера становится устойчивой и, следовательно, возникает возможность квантового рождения дилатонной Вселенной анти - де Ситтера.
4. Показано (в том числе численно) как форма дилатонного потенциала влияет на возможность квантового рождения Вселенной анти -де Ситтера. Исследованы уравнения движения для различных дилатонных потенциалов с учетом эффективного действия, индуцированного аномалией для скаляра, взаимодействующего с дилатоном.
5. Построены гравитационные уравнения поля в общей теории относительности с учетом слагаемого 1/R (где R - кривизна), в присутствии фантомного поля и идеальной жидкости. С помощью данных уравнений исследована эволюция Вселенной и построен ряд космологических решений. Показано, что ускоренное расширение Вселенной может быть обусловлено такой модифицированной гравитацией.
6. Исследована модель модифицированной гравитации с учетом слагаемого Ra. Рассмотрено два случая уравнений состояния идеальной жидкости с учетом вязкости. Показано, что в такой модели модифицированной гравитации реализуется фантомная космология и возникает сингулярность.
