Содержание к диссертации
Введение
1 Непертурбативные методы в квантовой теории поля 7
1.1 Топологические решения в теории ПОЛЯ 7
1.2 Нарушение киральной симметрии 17
1.3 Конфайнмент 21
1.4 Цветовая сверхпроводимость 28
2 Ферми воды как модель нарушения киральной симметрии 33
2.1 Модели нарушения киральной симметрии 33
2.2 Постановка задачи 36
2.3 Решение уравнения Дирака в поле фермивода 38
2.4 Суперпозиция нескольких фермиводов: расщепление уровней оператора Дирака вблизи нуля 43
2.5 Разреженный газ фермиводов 4G
2.6 Компьютерный эксперимент 50
2.7 Обсуждение результатов 59
3 Центральные вихри как модель нарушения киральной симметрии 63
3.1 Роль центральных вихрей в физике непертурбативных эффектов 63
3.2 Фермионные моды в двумерном абелевом поле 66
3.3 Нулевые моды в поле абелевых пересекающихся вихрей в четырех измерениях 71
3.4 Уравнение Дирака в неабелевом поле 72
3.5 Расщепление спектра оператора Дирака 76
3.6 Обсуждение результатов 79
4 Цветовой ферромагнетизм Зи(2)-калибровочной модели теории поля 82
4.1 Ферромагнетизм и сверхпроводимость цвета 82
4.2 Бозонный сектор 84
4.3 ФермионныЙ сектор 88
4.4 Фазовый переход: нулевая температура 90
4.5 Ферромагнетизм при конечной температуре 94
4.6 Обсуждение результатов 100
Заключение 104
Список литературы 107
- Нарушение киральной симметрии
- Решение уравнения Дирака в поле фермивода
- Фермионные моды в двумерном абелевом поле
- Бозонный сектор
Введение к работе
Б квантовой теории поля важнейшим методом исследования физических явлений является теория возмущений. Изначально взаимодействующие поля квантуются как свободные, а затем взаимодействие между ними учитывается как некоторая поправка, малость которой характеризуется постоянной связи д. В результате интересующие физические величины определяются в виде рядов по этой константе. Такой подход хорошо зарекомендовал себя в квантовой электродинамике (КЭД), где постоянная связи весьма мала. Однако в квантовой хромодинамике (КХД) на адронных масштабах д ~ 1, и теория возмущений перестает быть применимой.
С точки зрения формализма континуального интегрирования, для расчета той или иной интересующей нас величины необходимо вычислить соответствующий континуальный интеграл, то есть интеграл по всем возможным конфигурациям полей в рамках рассматриваемой теории. На практике строго проделать такой расчет не удается, и приходится использовать приближенные методы. Метод теории возмущений состоит в том, что при континуальном интегрировании рассматривается фактически окрестность пертурбативного вакуума, т. е. решения уравнений свободных полей, минимизирующего действие. В простейших случаях такое решение оказывается тривиальным, т.е. пертурбативным вакуумом, в котором все поля равны нулю.
Однако в КХД есть ряд явлений, объяснить которые методами теории возмущений невозможно. Такие явления называют не пертурбативным и. Невозможность исследовать их с помощью пертурбативных методов указывает на то, что основную роль в них играет не окрестность пертурбативного вакуума, а конфигурации полей, далекие от вакуумной. В основном непертурбативные явления связаны с низкоэнергетической областью, соответствующей большим расстояниям. Примерами таких явлений могут быть конфайнмент кварков, адронизация материи, приобретение кварками ненулевой массы и т.д.
Существуют различные методы исследования ненертурбативных эффектов. Среди наиболее употребимых отметим расчеты на решетке, метод операторного разложения, построение различных эффективных моделей. В частности, некоторые непертурбативиые эффекты можно объяснить, используя метод точных решений для волновых функций и функций Грина во внешних полях достаточно простой конфигурации, моделирующих истинное сложное распределение вакуумного поля [1,2] (см. также [3]). Рассматриваемые в настоящей диссертации методы сводятся к тому, чтобы кроме окрестности пер-турбативного вакуума тем или иным способом учесть еще и вклад некоторых нетривиальных полевых конфигураций. Их выбор ограничивается следующими соображениями.
Во-первых, вклад рассматриваемых конфигураций в континуальный интеграл должен быть заметным. С учетом того, что каждая конфигурация подавляется быстро осциллирующим экспоненциальным множителем ехр(—iS) (или exp(-S), если время евклидово), необходимо, чтобы действие было не слишком велико. Желательно, чтобы рассматриваемые конфигурации удовлетворяли уравнениям движения поля, т.е. были седловыми точками в континуальном интеграле. В некоторых случаях экспоненциальный множитель компенсируется энтропийным фактором за счет большого разнообразия рассматриваемых полей. Но, вообще говоря, экспоненциальный множитель является ограничивающим фактором, благодаря которому большинство полевых конфигураций не играет заметной роли в континуальном интеграле.
Во-вторых, рассматриваемые конфигурации должны объяснять возникновение механизма для интересующего нас непертурбативного явления. Например, если речь идет о конфайнменте кварков, описываемом законом площадей для петли Вильсона, то интерес представляют только фоновые поля, для которых петля Вильсона нетривиальна.
Настоящая диссертация состоит из четырех глав. Глава 1 представляет собой введение и литературный обзор основных публикаций по теме диссертации. В главе 2 изучаются вихреобразные калибровочные конфигурации ("фермиводы"), которые обеспечивают одномерное движение кварка без потери амплитуды. Благодаря этому они могут служить моделью для описания явления нарушения киральной симметрии кварков (НКС), образование кварк-антикваркового конденсата и ненулевой массы кварка. В главе 3 рассматривается ситуация, когда вакуум КХД заполнен несколькими парами пересекающихся центральных вихрей. Исследуется возможность описания с помощью такой модели нарушения киральной симметрии и конфайнмента кварков. В главе 4 рассматривается модель, основанная на постоянном хро-момагнитном поле. В ее рамках исследуется возможность возникновения цветового ферромагнетизма при определенных плотностях кварков.
Нарушение киральной симметрии
Нарушение киральной симметрии (НКС), наряду с конфайпментом (см., па-пример, обзор [19]), — одни из наиболее ярких непертурбативных явлений квантовой хромодинамики (КХД). Заключается оно в том, что в результате спонтанного нарушения симметрии фермионы, изначально входившие в теорию как безмассовые частицы, приобретают массу. Несмотря на то, что сильные взаимодействия обладают киральной симметрией SU(3)yiSU(3), она тем или иным образом нарушается до наблюдаемой симметрии адронов SU(3). Предполагается, что НКС происходит за счет каких-либо нетривиальных конфигураций калибровочного поля, далеких от пертурбативного вакуума. Окончательного ответа на вопрос о природе конфигураций, обеспечивающей механизм НКС, до настоящего времени не было дано. НКС и нулевые моды оператора Дирака
Рассмотрим для примера евклидово четырехмерное пространство, в котором фермионы ф взаимодействуют с калибровочным полем А. Как известно, безмассовые фермионы обладают тем свойством, что след их пропагатора в отсутствие калибровочного поля TrSo(x,y) =Тг х\(д + тп) \у —ї 0 при т — 0. В используемых ниже обозначениях ТУ означает не только свертку по дискретным матричным ин дексам, но и интеграл по непрерывным координатам х — у, в отличие от tr. означающего только свертку но дискретным матричным индексам. Однако при наличии внешнего калибровочного поля возможен ненулевой след. В поле А в пропагаторе д заменяется на D = д — іА, в результате чего получается Тг5 = (5 + 75S75) = Тг( + т) 1 + Тг(- + т)-1 = п г, j rfAmp(A)/(A2 + т2) -» тгр(О) l ; при т - 0, где р(А) — спектральная плотность оператора Дирака. Таким образом, во внешнем калибровочном поле с ненулевой плотностью нулевых мод р(0) след пропагатора становится ненулевым, что можно интерпретировать как эффективное возникновение массы.
Параметром порядка, определяющим степень НКС, является кварк-анти-кварковый конденсат фф , где под ... понимается интегрирование по траекториям. Очевидно, что в отсутствие калибровочного поля этот конденсат равен нулю. Во внешнем поле А конденсат может стать ненулевым. В работе [20] установлена связь кварк-антикваркового конденсата с плотностью нулевых мод оператора Дирака: фф = -7г р"(0) , (1.26) где /о(А) = /?(А)/14 — плотность нулевых мод на единицу четырехмерного объема.
Это соотношение демонстрирует роль конфигураций внешних полей, в которых оператор Дирака имеет ненулевую плотность нулевых мод, в объяснении эффекта нарушения киральной симметрии. Как правило, такие конфигурации создаются как суперпозиции элементарных образований, во внешнем поле которых есть нулевые моды. Зачастую их наличие гарантируется топологическими свойствами конфигураций.
Один из методов исследования НКС основывается на теореме, связывающей спектр оператора Дирака во внешнем калибровочном поле с топологическим зарядом рассматриваемой калибровочной конфигурации. Это теорема Атьи-Зингера.
Для безмассовых фермионов в евклидовом пространстве-времени уравнение Дирака во внешнем поле распадается на два независимых уравнения Вей-ля для левых и правых двухкомпонснтных спиноров хь и XR- Соответствующие двухкомпонентные операторы Дирака DL И DR запишутся в виде:
Теорема Атьи-Зингера [21] связывает числа нормируемых правых и левых нулевых мод NR, NL с топологическим зарядом Q калибровочного поля: NL-NR = Q. (1.28)
Например, теорема Атьи-Зингера предсказывает, что в поле инстантона правых нулевых мод на одну меньше, чем левых. Непосредственный расчет показывает, что NL = 1, ЛТд = 0. Для антиинстантона N = 0,NR = 1. Для пары "инстантон-антиинстантон" Ni = NR. Например, в статье [22] рассматривалась конкретная пара инстантон-антиинстантон. Исследовался вопрос о том, равны ли NR L 0 или 1. Непосредственное изучение уравнения Дирака показало, что NR = NL = 0.
Как видно, теорема Атьи Зингера не дает возможности сразу определить значение р(0) во внешнем поле. Во-первых, ее предсказания относятся к дискретному спектру, а для изучения НКС важен непрерывный спектр оператора Дирака. Во-вторых, теорема еще не указывает, сколько именно есть правых и левых нулевых мод, а дает лишь разность. Для того, чтобы преодолеть эти проблемы, были созданы различные модели НКС.
Модель инстантонного вакуума Основополагающие работы, в которых было произведено исследование инстантонного вакуума и вычисление в нем кваркового конденсата и пропага-тора, были статьи Дьяконова и Петрова (см., например, [23]). Модель иснтантонного вакуума заключается в том, что пространство-время предполагается заполненным с определенной плотностью топологическими образованиями инстантонного типа. Число инстантоиов равно числу анти-инстантонов, т.е. в целом полевая конфигурация топологически нейтральна. Было обнаружено эффективное отталкивание инстантоиов, что привело к стабилизации инстантонного газа, т.е. фиксации отношения среднего расстояния между (анти)инстантонами и их размерами. Были вычислены плотность инстантонов, величина глюонного конденсата F и некоторые другие величины.
После построения модели инстантонного вакуума было дано возможное объяснение НКС Предложенный механизм основан на следующем. Если бы инстантоны и аптиинстантоны были изолированы друг от друга, то в поле каждого из них имелась бы одна нормируемая фермионная нулевая мода. Однако за счет того, что в рассматриваемой модели инстантоны и антиин-стантонь] интерферируют, спектр оператора Дирака в окрестности нулевого собственного значения изменяется. Наличие нормированных нулевых мод уже не гарантируется, зато в непрерывном спектре возникает конечная плотность нулевых мод оператора Дирака, описывающая НКС.
Решение уравнения Дирака в поле фермивода
Рассмотрим уравнение Дирака г(тЛ + т)ф(х) = 0, где 0 = 3 - гЛ (х) (2.4) в 4-мерном евклидовом пространстве-времени во внешнем неабелевом калибровочном поле An (мы не будем указывать цветовые и ароматовые индексы явно). Статический фермивод, предложенный в [17], — это такое калибровочное поле Ар, в котором уравнение Дирака (2.4) имеет статическое трехмерно-нормируемое решение. Форма такого фермивода (и траекторий фермионов в нем) — прямая, параллельная оси мнимого времени х±- Естественно искать статический фермивод как статическое калибровочное поле, например, в га-мильтоновской калибровке АІ{Х) = 0, дААі{х) = 0. (2.5) В этой калибровке свойство [д , D] = 0 означает, что фермионное решение следует искать как стационарное д - — Е, что соответствует стационарным решениям в пространстве-времени Минковского (жо = —%х±) с энергией Е: ф{х) = е Е ф{х) = е-ІЕхф(х), (2.6) а уравнение Дирака сводится к виду (747 + тъ)Ф(х) - Еф(х). (2.7) Рассмотрим квадрированное уравнение: (70)2ф{х) = (т2 - Е2)ф(х). (2.8)
Нормируемое решение в трехмерном пространстве возможно лишь в случае m2 = Е2 (в противном случае это уравнение перейдет на бесконечности в уравнение Гельмгольца, у которого нет нормируемых решений). Поэтому наше уравнение сводится к виду убф(х) = -m(l F У4)Ф{х). (2.9) Оператор (-yD)2 не положителен, а оператор yD антиэрмитов. Обозначим уВф = ф . При условии Е2 = т2 из квадрированного уравнения Дирака следует {уО)2ф = 0, и тогда О = f д?хф\х){уб)2ф{х) = - [фЧф сРх О, (2.10) следовательно, ф = уОф = 0. В этом случае уравнение (2.9) удовлетворяется, если Ъф(х) = ±ф(х). (2.11) Покажем что при этих условиях четырехмерное уравнение Дирака сводится к трехмерному уравнению Дирака для нулевых мод.
Очевидно, что если фермионы безмассовы, то Е = 0 и всегда можно построить одно левое и одно правое решение. Теорема Атьи—Патоди—Зингера [21] выполняется, так как индекс Понтрягина для чисто магнитного поля нулевой. Последнее уравнение совпадает с уравнением Дирака в трехмерном пространстве для безмассовых фермионов. Это одно из множества полученных недавно абелевых калибровочных конфигураций с соответствующими per пениями уравнения Дирака с нетривиальными топологическими свойствами в трехмерном пространстве (см., например, [18]). Данное поле обладает нетривиальной топологией в трех измерениях, т.е. число Черна -Саймонса не равно нулю, а само поле получается (с точностью до коэффициента) как результат канонического отображения Хопфа S —t-S2 [18], однако в четырехмерном пространстве оно, конечно, топологически тривиально, поскольку индекс Понтрягина равен нулю.
Данное поле — не единственный пример решения, найдено также много других. Это значит, что есть много явных примеров фермиводов. Производя над ними лоренцев поворот (совпадающий в евклидовом случае с обычным вращением), мы получаем более общий класс прямолинейных фермиводов, в которых локализованные фермионы не покоятся на месте, а движутся равномерно и прямолинейно. С ними мы и будем работать в дальнейшем.
Следует также заметить, что поле фермивода, приведенное в (2.14), не удовлетворяет уравнениям калибровочного поля, однако может быть получено (с точностью до коэффициента) в результате абелевой проекции чисто калибровочной неабелевой конфигурации, приведенной в работе [50]. В этом смысле рассматриваемые конфигурации подобны вакуумным составляющим другого вида, а именно, так называемым центральным вихрям. Как известно, хотя последние и не являются решениями классических уравнений для калибровочных полей, однако их вклад определяется связанной с ними большой энтропией, что позволяет рассматривать их как возможный механизм конфайнмента [14,19]. Полевые конструкции, имеющие вид фермиводов, возможно, также играют определенную роль в структуре вакуума КХД. Они также не являются седловьши точками континуального интеграла с действием калибровочного поля, но за счет связанной с ними энтропии они могут давать существенный вклад в формирование континуального интеграла 1К
Если мы возьмем распределение фермиводов с конечной трехмерной плотностью в четырехмерном объеме Vi, то плотность следа пропагатора в таком поле ТгВ/У4 может оказаться конечной, как и в инстантонпом случае. Только в инстантонном случае это обеспечивается за счет четырехмерно нормируемых нулевых мод (дискретный спектр), а в случае фермиводов дискретного спектра нет, зато есть "сгустки" непрерывного спектра около нуля, образованные за счет наличия целого класса трехмерно-нормируемых решений. Как видно, собственные функции непрерывного спектра могут также дать ненулевой вклад в след пропагатора.
Отметим, что в дальнейшем мы будем рассматривать длину фермивода конечной. При этом мы возьмем периодические (а не антипериодические) граничные условия для фермионов. Требование периодичности по мнимому времени приведет к тому, что в окрестности А — 0 выживет лишь решение с А — 0. Зато оно станет нормируемым и в четырехмерном смысле, так как интегрирование по мнимому времени не даст расходимости нормы. Очевидно, что TiS/Vk при этом останется конечным. Это предположение является необходимым для дальнейшего, так как мы будем действовать, как если бы имелись четырехмерно нормируемые решения безмассового уравнения Дирака с большой, но конечной нормой, пропорциональной длине фермивода.
Фермионные моды в двумерном абелевом поле
Рассмотрим фермионы поле во внешнем фоновом вихреобразном электромагнитном поле в двумерном евклидовом пространстве. Лагранжева плотность дираковского поля 1р, взаимодействующего с калибровочным полем А имеет вид Ьр ф{ у{10 + т)ф, (3.2) где Dp, = dp — і Ар и мы используем спинорное представление для гамма-матриц в 2-мерном пространстве Евклида 71 = с 1, 72 — &2- 75 = "з Рассмотрим фоновое калибровочное поле, заданное в лоренцевой калибровке Ар = pVdv4 {r), где /х, v — 1, 2 и г2 = х2 +у2. Обозначив ф (г) — —д(т), получим Л = (-2/ ) (3-3) Предположим, что д(г) демонстрирует следующее поведение: g(r) = а/г + о(1/г), где a =const, при г — оо, и д(г) —ї 0 при г —» 0. Если а 0, то будем называть такое поле вихрем, в противном случае, т.е. при а 0 — антивихрем. Поток такого двумерного поля Ф = Л (3.4) равен Ф = а. На бесконечности R — со калибровочное поле переходит в чистую калибровку, задаваемую калибровочной функцией ш{ф) Є U(l): дритедаиде = -1( )0 ,( ) (3.5)
Он коммутирует с дираковским оператором yD и имеет полуцелые собственные значения, которым отвечают собственные векторы (двухкомпонентные спиноры). Принимая во внимание, что дираковский оператор не смешивает различные спинорные компоненты, можно искать право-винтовые и лево-винтовые (в двумерном смысле) решения с определенным угловым моментом Фт = ( f ).(1) д(гК, „яМ . ( J(f) ) = ( о ) л(г)Л (3.8) Для неизвестных функций /х, /д из уравнения Дирака получим уравнения Они имеют решения при произвольных I: Фь{?) = ( J) e/(i/ -»w№eav ) R( = Г М e;tsw-(/r)rfreiv (зло) Однако не при всех I решения будут нормируемыми. Используя асимптотические свойства д(г), находим ( ! 3! С] приг-юо, и { j j !_, приг- 0. (3.11) Следовательно, нулевые моды будут нормируемыми, если І Є ( —1,а - 1) для левых мод, , , (а +1,1) для правых мод. Заметим, что указанные интервалы являются пустыми для правых мод при а 0 (вихрь), для левых — при а 0 (антивихрь).
Для целочисленных значений потока, равных топологическому заряду Ф = а = Q2, можно убедиться в справедливости теоремы об индексе Атьи-Зингера [21]. Согласно этой теореме, разность числа правых ІУд и левых NL фермионных нулевых мод в фоновом поле равняется топологическому заряду: NR NL = Q. Для группы 7(1) в двух измерениях это значит, что JYR — NL = Q2. Проверим это явно. Пусть а — Qi 0. Тогда нет правых мод, а число левых мод равняется числу целых чисел в интервале (—l,ct — 1), т.е. Q — 1. Решения с I а 1 и / = — 1 логарифмически расходятся. Однако нулевые моды с I = а — 1 можно нормализовать путем "небольшого" изменения профильной функции на бесконечности: д(г) —У g{r) + $д[г), где 6д(г)—малш добавка, исчезающая при г — 0, а при больших г ведущая себя как, например, е/r или (если мы хотим сохранить топологические свойства потенциала) д(г) —» g(r) — l/(rlnr). Можно показать, что без этого изменения д(г) теорема Атьи-Зингера все равно выполняется за счет вклада непрерывного спектра, который становится нулевым, когда логарифмически расходящаяся нулевая мода становится нормируемой. С точки зрения теоремы Атьи-Зингера логарифмически расходящиеся на бесконечности нулевые моды следует учитывать как нормируемые. Логарифмически расходящееся в нуле решение можно сделать нормируемым, только если сделать такое же добавление к д(г) вблизи нуля, однако это приведет к сингулярностям в потенциале д(г) и в решении. Такие решения не вносят вклада в левую часть соотношения теоремы Атьи-Зингера.
Дираковский оператор в таком поле имеет нулевые моды, которые можно сконструировать в виде произведения (а не суперпозиции) нулевых мод для отдельных слагаемых суммы (3.15). В самом деле, конструируя левые (или же правые) решения, мы не сталкиваемся с матричной структурой уравнения Дирака и имеем дело с дифференциальными уравнениями первого порядка.
Проделанное рассуждение легко обобщить на случай более общей конфигурации, в которой N+ вихрей и iV_ антивихрей в плоскости (х, у) пересекаются с М+ вихрями и М_ антивихрями в плоскости (z,r). Как и раньше, соотношения между N+, iV_ и М+, М_ определяют спинорную структуру нулевых мод. Таким образом, число нормируемых нулевых мод будет равно JV+ — N_\\M+ — -М-1, если учитывать логарифмически расходящиеся моды.
Эти свойства позволяют им играть важную роль в объяснении природы кон-файнмента. Мы же исследуем вопрос о наличии фермионных нулевых мод и спектре оператора Дирака вблизи нуля во внешнем поле пересекающихся тонких вихрей, что может иметь значение для объяснения другого непертур-бативного явления — нарушения киральной симметрии.
Эти вихри будут центральными при gi(r) = 1/г. Это сингулярные конфигурации в плоскостях (х,у = 0) и (z, т = 0) соответственно, являющиеся чистыми калибровками вне этих плоскостей. Поэтому наряду с тонкими вихрями рассматривают также толстые центральные вихри. Для толстых вихрей 9i{r) — 1/г + о(1/г) при г —У со и д(т) 0 при г— -0, то есть они обладают свойствами центральных вихрей на достаточно больших (но сравнению со своей толщиной) расстояниях. Поскольку тензор поля имеет в этом случае следующие ненулевые компоненты то индекс Понтрягина (топологический заряд) для данной полевой конфигурации (3.31)
Это нарушение теоремы Атьи—Зингера обусловлено тем, что рассматриваемые конфигурации (прямолинейные тонкие вихри) не становятся чистой калибровкой на пространственной бесконечности. Ожидать ее точного выполнения следует в случае ограниченных (а значит—искривленных и замкнутых) вихрей. В этом случае число пересечений будет четным, а топологический заряд Qi — целым.
Бозонный сектор
Рассмотрим чисто калибровочную теорию Янга-Миллса с группой SU(2) для поля Л (о = 1,2,3) в (3+1)-мерном пространстве. Лагранжиан L = — \/4F l/F t/ можно переписать в виде, демонстрирующем взаимодействие заряженного векторного поля с "электромагнитным" полем: L = -\Ц - \\(D V - Д,Ф„)2 - ъд Ф„ + (КФ - &»%? (4Л) где введены следующие обозначения. Ац = А —нейтральное ("электромагнитное") поле, f,tv = д Ау — дуАр— соответствующий ему тензор напряженности; Ф = "75( ы + гА )—заряженное поле, D = д + igA . Нейтральное поле в нашей задаче является постоянным магнитным. Направим его вдоль оси z, а калибровку выберем в несимметричном виде. Для начала предположим, что заряженное поле отсутствует. Рассматриваемая конфигурация в данных обозначениях имеет вид: Л„ =(4,, = (0, (0,a;iB,0)), ,, Ф„ = Ф; = о. (4 г) Этот набор (Л, Ф) является решением уравнений поля. Однако, если рассмотреть линеаризованные уравнения для заряженного поля Ф, взаимодействующего с внешним хромомагнитным полем Лц, то соответствующие стационарные решения можно записать в виде Фц = eEx0+ihx +tk2x2 j Xi __ /j2j/5_g), где fn(i(%) выражаются через известные волновые функции гармонического осциллятора. Энергетический спектр хорошо известен: Е2 = к1 + 2дВ(п+ )±2дВ, (4.3) где п — 0,1, 2,... Как видно, энергия становится мнимой при ориентации спина, соответствующей знаку " - ", п — 0 и значениях продольного импульса к% дВ (так называемые тахионные моды). Наличие таких решений демонстрирует нестабильность данной конфигурации относительно сдвигов вдоль тахионных мод [81,82]. В [85,86] предлагается метод, с помощью которого удается, спускаясь вдоль тахионных мод, достигнуть однородного квантового состояния Холла. При этом направление спуска определяется как раз условием достижения однородности конечного решения. Требование однородности решения приводит, в частности, к тому, что выбираются лишь моды с к$ = 0, так как не должно быть зависимости от х$. Легко видеть, что при этом возбуждаются самые "жесткие" моды. С учетом этого предположения происходит эффективное понижение размерности пространства, в котором происходит стабилизация тахионной моды. Решения, не зависящие от хз, ищутся в виде функций ФДх) = Фм(хо,хьх2)\/їз, (4.4) где L —протяженность магнитного поля вдоль оси хз- С учетом того, что у тензора "нейтрального" поля отлична от нуля лишь компонента /і2, песта бильная мода может быть описана скалярным полем ер в 2 + 1-мерном пространстве-времени с лагранжианом: Leff = ЧЗД2 + 2і?ВМ2 - щИ - (4-5) Лагранжиан (4.5) имеет сходство с хиггеовским, если рассматривать член взаимодействия с магнитным полем как отрицательный квадрат массы т2/2 = —2дВ 0. Нестабильность симметричного решения ф = 0 соответствует нестабильности постоянного хромомагнитного поля. Переход к стабильному решению, минимизирующему энергию, осуществляется путем сдвига вдоль тахионной моды к истинному вакууму.
Принципиальное отличие нашей модели от модели Хиггса состоит в том, что в лагранжиане присутствуют ковариантные производные, описывающие взаимодействие с магнитным полем. В результате однородных в пространстве решений для уравнений поля с этим лагранжианом не существует. Для того, чтобы свести задачу к известной ситуации с полем Хиггса и однородными вакуумными решениями, в [85] применялся метод, основанный на использованном в [90] подходе для описания фермионов в (2+1)-мерном пространстве. Поскольку в рассматриваемом случае в результате спонтанного нарушения Лоренц-инвариантности система становится эффективно (2+1)-мерной, то наряду с обычным электромагнитным полем может возникнуть еще и Черн-Саймоновский член [50,99]. Рассматривается эффективная (2+1)-мерная модель с топологическим Черн-Саймоновским членом, эквивалентная исходной. Она описывает новые бозоны ра, электромагнитной поле Ад и векторное Черн-Саймоновское поле а лагранжианом Leff = -1( - дА» + адЫ2 + 2дВ\ра\2 - - 04 + а ау, (4.6) где ju, v, А = 0,1,2. Как известно ( [100]), Черн-Саймоновский член изменяет статистику частиц, наделяя их дополнительным магнитным потоком, и делает ее, вообще говоря, дробной, в зависимости от параметра а. Сохраняется статистика лишь при а = 2тгк, где к — целое число. В [85,90] указано, что этого достаточно для того, чтобы описываемые лагранжианами (4.5) и (4.6) модели были динамически эквивалентными. При этом поле ipa описывает новые бозоны, которые конденсируются на пространственно-однородном решении: tpa = v = const. Это решение возникает, когда Чсрн-Сайнмоновекое поле а полностью компенсирует магнитное поле Ар в ковариантных производных, что делает модель чисто хиггсовской: а, = дАі для г — 1,2.
Вообще говоря, для поиска истинного вакуума не всегда следует совершать сдвиг вдоль всех неустойчивых мод, может оказаться достаточно спуститься вдоль части из них. Например, в известном случае п— мерной хиггсовской ямы тривиальное решение имеет п неустойчивых мод, но для достижения настоящего минимума достаточно спуститься вдоль одной моды. Но в данном случае, когда размерность задачи эффективно понижена, может быть лишь уверенность в том, что найденная конфигурация будет устойчива относительно (2+ 1)-мерных возмущений.
Это ограничение придает физический смысл выбору лишь однородного по оси z решения, осуществленному в работах [85,86]. В самом деле, вместо однородного во всем пространстве постоянного хромомагнитного поля можно рассматривать лишь один домен, внутри которого направление и величина хромомагнитного поля постоянны. Ограничение на его максимальный размер и граничные условия простейшим образом моделируют ситуацию, когда он окружен другими доменами, внутри которых хромомагнитное поле имеет другую величину, пространственную и групповую ориентации. Вопрос о граничных эффектах, которые неизбежно возникнут при соприкосновения доменов, в диссертации не исследуется.
Рассмотрим теперь возникшую систему полей с точки зрения цветовой нейтральности. Само по себе включение" постоянного и однородного абелевого хромомагнитного поля не приводит к образованию цвета, так как он является нейтральным по цвету. Однако присутствие конденсата заряженного поля нарушает цветовую нейтральность. Поскольку допустимыми являются лишь бесцветные состояния системы, то мы приходим к выводу, что в чисто калибровочной теории такое состояние невозможно.
Наиболее естественным способом восстановления цветовой нейтральности системы является введение дополнительного поля, взаимодействующего с калибровочным. В [85] для стабилизации системы вводится еще поле кварков, которое является поставщиком цветового заряда.
Как было сказано выше, калибровочная конфигурация, состоящая из постоянного хромомагнитного поля и заряженного однородного конденсата, имеет ненулевой цветовой заряд и потому является нефизичной. Один из путей сделать систему нейтральной заключается во введении фермионов, взаимодействующих с этой конфигурацией.
