Содержание к диссертации
Введение
1. Основные понятия, используемые в работе 18
1.1 Основы суперсимметрии 18
1.2 Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель . 22
1.3 Перенормировка суперсимметричных моделей в схеме DR . 26
1.4 Полюсная и бегущая массы кварков 31
2. Технические детали расчета 35
2.1 Асимптотическое разложение пертурбативных интегралов: общая постановка задачи 35
2.2 Асимптотическое разложение: рецепт разложения по большим массам 40
2.3 Алгоритм вычисления 43
3. Поправки порядка 0(a2s) к массам тяжелых кварков 54
3.1 КХД сектор МССМ 54
3.2 Диаграммы Фейнмана и асимптотически неприводимые подграфы 61
3.3 Перенормировка СуперКХД 64
3.4 Анализ 0(a2s) поправки 69
4. Лидирующие двухпетлевые вклады в полюсную массу -кварка 78
4.1 Предел исчезающих электрослабых констант 78
4.2 Необходимые контр-члены 88
4.3 Анализ вклада 0(al + asay + а2) в полюсную массу Ь-кварка 96
5. Бегущая масса 6-кварка в КХД и МССМ 101
5.1 Эффективные теории поля и минимальные схемы перенормировки 101
5.2 КХД — низкоэнергетическое приближение МССМ: процедура отщепления тяжелых частиц 104
5.3 Переход DR —> MS с точки зрения эффективной теории поля. Отщепление є-скаляров в КХД НО
5.4 Функция отщепления для массы 6-кварка в МССМ 119
5.5 Численный анализ 125
Заключение 133
A. Перенормировка скалярного сектора 137
B. Эпсилон-скаляры в КХД и СуперКХД 141
8.1 Нефизические -скаляры в КХД и СуперКХД 141
8.2 Реализация лагранжиана для -скаляров на FeynArts . 147
Литература
- Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель
- Асимптотическое разложение: рецепт разложения по большим массам
- Диаграммы Фейнмана и асимптотически неприводимые подграфы
- Необходимые контр-члены
Введение к работе
В настоящее время суперсимметрия, или симметрия между частицами с целыми и полуцелыми спинами (бозонами и фермионами), является основой для построения большинства современных теорий за рамками Стандартной Модели (СМ). Теория поля, обладающая такой симметрией, имеет ряд замечательных свойств. Так, например, гарантируется сокращение квадратичных ультрафиолетовых расходимостей, что, в свою очередь, можно рассматривать как решение проблемы иерархии в Теориях Великого Объединения (ТВО). Так же нельзя не отметить, что объединение калибровочных констант можно получить только в том случае, если в интервале между электрослабой и планковской шкалой возникает какая-то новая физика.
Поиск проявлений суперсимметрии ведется как в большинстве экспериментов в области высоких энергий, так и в прецизионных неускорительных экспериментах. Пока все они дают отрицательный результат. Это может быть связано с тем, что шкала новой физики в несколько раз превышает электрослабую шкалу1 (Mew ~ 100 ГэВ). Наиболее интересной является область энергий в районе 1 ТэВ. Именно на такие энергии рассчитан большой адронный коллайдер LHC, который должен быть запущен в ближайшее время. Предполагается, что на нем будет досконально изучена тэвная область, открыт бозон Хиггса, прояснен механизм образования масс и найдена суперсимметрия (см., например, /1/).
В данной работе рассматривается простейшая из суперсимметричных моделей — Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель (МССМ). В рамках МССМ каждой частице СМ ставится в соответствие суперпартнер противоположной статистики. Модель привлекает большое внимание, так как имеет сравнительно мало свободных параметров и, поэтому, обладает значительной предсказательной силой.
используются единицы ft = с = 1.
Радиационные поправки (РП) играют существенную роль в исследовании МССМ. Так, например, на "древесном" уровне масса легчайшего нейтрального бозона Хиггса / оказывается меньше массы Z-бозона. Добавление РП к древесному значению позволяют "увеличить" массу ho до величины 115 ГэВ < Mh0 < 130 ГэВ, совместной с имеющимися экспериментальными ограничениями. Кроме того, в МССМ петлевые эффекты позволяют получить нарушение электрослабой симметрии естественным образом в результате явления, известного как радиационное нарушение симметрии.
С точки зрения экспериментального исследования МССМ, большой интерес вызывают поправки к сечениям рождения и ширинам распада суперпартнеров. По известным параметрам они позволяют более точно вычислять наблюдаемые величины, связанные с новой физикой. Кроме того, важность РП трудно переоценить и при нахождении самих параметров модели. Если суперсимметрия будет открыта, учет РП при обработке экспериментальных данных даст возможность отличить МССМ от других теорий, описывающих сходные явления. Наконец, ввиду асимптотического характера ряда ТВ лишь РП позволяют, определить точность используемого приближения и оценить схемную зависимость результата.
Наибольший произвол в предсказания МССМ связан с так называемыми "мягкими" параметрам, основная функция которых состоит в описании расщепления в спектре между частицами СМ и их пока ненаблюдаемыми суперпартнерами. Говоря о параметрах теории в старших порядках ТВ, необходимо упомянуть, в какой перенормировочной схеме они определены. В МССМ обычно используется минимальная схема DR, основанная на размерной редукции. Параметры, определенные в рамках DR, будем называть бегущими, так как они зависят от произвольной шкалы перенормировки ц. Несмотря на внутреннюю математическую противоречивость DR, в низших петлях эта схема является удобным инструментом для вычислений, так как в отличии от размерной регуляризации она явно не нарушает суперсимметрию. Преимущества же минимальной схемы наглядно видно при феноменологических исследованиях МССМ с помощью ренорм-группы: в DR бета-функции и аномальные размерности имеют наиболее
простой вид.
Важнейшим элементом анализа МССМ является выбор требований как теоретического, так и экспериментального характера, которым должно удовлетворять пространство параметров. Наиболее замечательным фактом является то, что в рамках МССМ все известные ограничения могут выполняться одновременно.
Радиационные поправки являются одним из источников информации о мягких параметрах. Так, например, из-за наличия суперчастиц, калибровочные и юкавские константы в МССМ и СМ перенормируются по-разному. Учет однопетлевых вкладов суперчастиц в перенормировку калибровочных констант дает возможность получить оценку шкалы нарушения суперсимметрии (Msusy ~ 1 ТэВ), позволяющей реализовать идею ТВО в калибровочном секторе. Более того, требование сокращения однопетлевых квадратичных поправок к массе хиггсовского бозона также дает сходное значение для шкалы Msusy-
Ренормгрупповой метод, являющийся одним из основных инструментом исследования МССМ, позволяет согласованно использовать ограничения на параметры модели, заданные при различных энергиях. Объединение калибровочных констант и универсальность мягких слагаемых являются примером высокоэнергетических ограничений. Адекватное описание низкоэнергетических процессов в подпороговой области можно считать другим естественным условием, которому должна удовлетворять модель. Такие условия обычно накладываются на электрослабой шкале Mew-
В данной работе уделяется внимание ограничениям, позволяющим в рамках МССМ правильно описывать массы тяжелых Ь- и ^-кварков. Важность такого рассмотрения следует из того, что связанные с массами юкавские константы, уь и yt, сильно влияют на перенормировку остальных параметров модели. К тому же, от значения уь и yt при низких энергиях зависит возможность реализации идеи объединения юкавских констант.
Существует две возможности наложения низкоэнергетических требований. Первая состоит в рассмотрении связи параметров МССМ с некоторыми экспериментально известными наблюдаемыми. Во втором случае используется подход, основанный на рассмотрении эффективной теории, по-
лучаемой из МССМ путем отщепления ("отынтегрирования") частиц, масса которых больше характерных энергий процесса. При этом устанавливается связь между параметрами МССМ и известными параметрами эффективной теории, гарантирующая правильное описания мира "легких" частиц в МССМ.
Для различных величин тот или иной способ может оказаться более или менее удобным. Так, для і-кварка в экспериментах определяется полюсная масса М*, поэтому кажется естественным использование первого подхода для нахождения ограничений на соответствующую бегущую массу mPR(/i) и юкавскую константу связи yfR(/i). В случае 6-кварка ситуация несколько иная. В данной работе для вычисления бегущей массы 6-кварка в МССМ предложено использовать не полюсную массу, а значение бегущей массы в КХД при фиксированной шкале /і. Это соответствует второму подходу, так как при этом КХД рассматривается как полученная из МССМ эффективная теория, описывающая сильное взаимодействие кварков и глюонов. Несмотря на то, что РП в этих двух вариантах вычисляются к различным величинам, будем, когда различие не принципиально, называть их просто "поправками к массам кварков".
В обоих случаях ограничение на бегущие параметры МССМ {щ}, і — 1... п, перенормированные на шкале д, можно записать в виде
/ = ДМ, rt = /(fliM, , an(n),fi). (0.1)
Здесь функция / вычисляется по теории возмущений, а / — числовое значение некоторой величины. В первом подходе, / — независящая от \i наблюдаемая, например, полюсная масса для ^-кварка
Mt = т^) (1 + Azmt(fi)), (0.2)
где Azmt = Amt/mt — функция параметров МССМ, соответствующая РП к Mf. Во втором случае / представляет собой значение некоторого бегущего параметра эффективной теории на фиксированной шкале /і. Так, для 6-кварка можно использовать
mFW-m^)(l + 5U(/i)). (0.3)
Здесь mIS(/і) — бегущая масса кварка, которая определяется в КХД, перенормированной в MS схеме, а (ть = 1 4- 6(ть представляет собой так называемую функцию отщепления2, вычисляемую по ТВ.
При ренормгрупповом исследовании МССМ функции f({ai},fi) могут быть использованы по-разному. Прежде всего, они позволяют находить значения одних параметров, задав другие, тем самым сокращая размерность пространства параметров теории. Указанные выше формулы (0.2) и (0.3) обычно используются именно таким образом, так как с их помощью можно найти численное значение бегущих масс в МССМ на фиксированной шкале /і, зная Mt и т^3(ц) и задав остальные параметры модели. В некоторых случаях, однако, это оказывается не очень удобным, например, из-за сложной зависимости f({ai},fi) от своих аргументов, не позволяющей с нужной точностью решить соответствующую связь. Тогда (0.1) используют в качестве дополнительного ограничения, дающего возможность исключить рассматриваемую точку из пространства параметров. К последним можно отнести ограничения, связанные с редкими распадами, аномальным магнитным моментом мюона, а также астрофизические ограничения.
Выбор различных / и вычисления РП к соответствующим функциям параметров является важнейшей задачей в МССМ. Электрослабые наблюдаемые и однопетлевые суперсимметричные поправки к ним были исследованы в работе /2/. За последние несколько лет появилось множество компьютерных кодов, использующих результаты /2/ для нахождения спектра суперпартнеров, совместного с имеющимися экспериментальными и теоретическими ограничениями.
Однопетлевые поправки к массам тяжелых кварков оказались значительными (до 30 %). Наиболее существенный вклад появляется из-за сильного взаимодействия виртуальных суперпартнеров кварков и глюонов. Для і-кварка он является доминирующим, в случае же 6-кварка лидирующий вклад возникает при дополнительном учете поправок от суперпартнеров хиггсовских бозонов, частично сокращающих вклад 0(as).
Когда величина поправки превышает десятки процентов возникает
2В англоязычной литературе используется термин "decoupling constant".
вопрос о вычислении старших РП. К тому же, исследования, выполненные в работе /3/, показали, что различный учет РП в компьютерных кодах, приводит к довольно большому расхождению в предсказаниях масс суперчастиц в определенных областях пространства параметров. Нельзя не упомянуть, что причина этого кроется в связанном с юкавскими константами "быстром беге" хиггсовских мягких параметров. Поэтому, учет двухпетлевых вкладов позволит, если не уменьшить эту неопределенность, то хотя бы правильно оценить точность полученных ранее результатов.
В преддверии запуска LHC, первоочередной задачей теоретического исследования является указание проявлений новой физики на адрон-ных коллайдерах. Современный анализ экспериментальных данных немыслим без привлечения генераторов Монте-Карло, позволяющих в рамках рассматриваемой теории смоделировать возможные события с участием еще не открытых частиц. В то же время, использование таких генераторов невозможно без знания параметров модели, которые подставляются в известные формулы для масс, сечений и ширин распада. Это говорит об исключительной важности максимально точного определения параметров МССМ.
Основной целью работы является рассмотрение в рамках МССМ двухпетлевых поправок к массами Ь- и ^-кварков, а также исследование, как учет полученного результата влияет на предсказания спектра супер-партнеров в ограниченной МССМ (MSUGRA).
Научная новизна и практическая ценность. В работе впервые вычислены 0(а1) поправки к соотношению между полюсными и бегущими массам для Ь- и і-кварка. В случае 6-кварка также найдены двухпетлевые вклады, пропорциональные юкавским константам уь и yt. Как и в однопет-левом случае, учет последних привел к уменьшению абсолютной величины результата. Исследована зависимость юкавских вкладов от фиксации калибровки в электрослабом секторе.
Полученное выражение для полюсной массы Ь-кварка используется для нахождения связи между бегущими массами 6-кварка т^ и mfR, определенными в КХД и МССМ соответственно.
Так как схема DR отличается от MS-схемы присутствием так пазы-
ваемых нефизических ^-скаляров, предложен способ пересчета параметров из DR в MS с помощью процедуры, аналогичной используемому в КХД методу "отщепления" тяжелого кваркового аромата (см., например, /4/).
Проведено исследование зависимости спектра масс суперпартнеров от факта учета найденных РП в ренормгрупповом анализе МССМ. Результаты работы показали, что в случае t-кварка роль старших РП существенна. В то же время для 6-кварка в исследуемой области параметров двухпет-левая поправка оказалась пренебрежимо малой (около 1%) по сравнению с однопетлевым результатом (до 25 %). Ввиду асимптотического характера ряда ТВ, данное обстоятельство говорит о надежности однопетлевого приближения, используемого в данный момент во многих компьютерных кодах.
Содержание работы
Во введении обсуждается актуальность работы, излагается мотивация проводимых исследований. Дается краткое содержание диссертации, характеристика научной новизны и практическая ценность полученных результатов.
В первой главе даны определения различных понятий и величин, используемых в диссертации.
Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель
Суперсимметричное обобщение калибровочного преобразования имеет вид: С помощью данного преобразования можно добиться устранения вспомогательных (С, х, М, N) компонент векторного суперполя. Такая калибровка называется калибровкой Весса-Зумино. В этом случае в нашем рассмотрении останутся поля Уц и А, являющиеся компонентами векторного супермультиплета (1-3), и вспомогательное поле D, которое может быть исключено из лагранжиана с помощью уравнения движения.
Суперсимметричный калибровочно-инвариантный лагранжиан выглядит следующим образом: где киральное суперполе Wa является аналогом тензора F в калибровочных несуперсимметричных теориях Wa = -\tPe-VDaeV Wa = -lD2e-vDaev Теперь мы готовы к тому, чтобы записать лагранжиан, инвариантный как относительно преобразований суперсимметрии, так и относительно ка 22 либровочных преобразований:
С точки зрения феноменологии суперсимметрия может существовать только как нарушенная симметрия, так как в природе не наблюдаются частицы с равными массам, но разными спинами. Среди возможных способов нарушения суперсимметрии различают
В обоих случаях суперсимметрия нарушается при появлении у вспомогательных компонент суперполей (векторного и кирального соответственно) вакуумных средних. С феноменологической точки зрения оба механизма оказываются неприемлемым. Например, спектр масс, получаемый в результате удовлетворяет соотношению Е т = Е т бозонные состояния фермионные состояния что в природе не наблюдается. К тому же, вакуумное среднее суперполей, содержащих частицы СМ, неминуемо приведет к нарушению 577(3) или U(l) калибровочной симметрии, поскольку они не являются синглетами по отношению к этим группам.
Данное обстоятельство предполагает наличие других источников спонтанного нарушения суперсимметрии, которые мы рассмотрим ниже. Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель
Наиболее распространенной моделью, соединяющей в себе привлекательные черты Стандартной Модели и суперсимметрии является Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель (МССМ) /14, 15/. Построить эту модель довольно просто: для каждой частицы Стандартной Модели добавим суперпартнер с теми же квантовыми числами, а также включим в рассмотрение дополнительный дублет скалярных хиггсовских полей.
Лагранжиан МССМ можно записать следующим образом: где Сдаиде имеет вид (1.11), a Wa соответствует всем входящим в модель калибровочным суперполям. Лагранжиан Creaking отвечает за нарушение суперсимметрии. Более подробно мы поговорим о нем чуть ниже. Суперпотенциал Суика-ша имеет вид (5[/(2)-свертка подразумевается):
Так как мы ввели в теорию много новых частиц, необходимо сказать несколько слов о возникающих при этом новых взаимодействиях. Например, возможны взаимодействия типа
Надеюсь, что в дальнейшем из контекста будет попятно, когда под ц подразумевается лоренцевский индекс, когда шкала перенормировки, а когда параметр лагранжиана Однако, как нетрудно убедиться, члены взаимодействия подобного типа приводят к несохранению лептонного числа L (первый и второй пример) и бариошюго числа В (третий пример). Для того, чтобы "решить" эту проблему вводится так называемая Л-четность
Для частиц Стандартной Модели полагается R = 0, а для суперпартнеров - R = ±1. Требование . -инвариантности приводит к тому, что из теории исключаются нежелательные взаимодействия. Взаимодействия частиц и суперчастиц аналогичны взаимодействиям частиц Стандартной Модели, причем из сохранения Я-четности следует что суперчастицы рождаются и исчезают только парами, самая легкая суперчастица стабильна.
Важно также то, что константа связи, стоящая в вершине взаимодействия, одна и та же, как для взаимодействия обычных частиц, так и суперчастиц.
В Минимальной суперсимметричной стандартной модели мы должны рассматривать два нарушения симметрии: нарушение суперсимметрии и нарушение 577(2) х /(1)-симметрии. Нарушение суперсимметрии дает массы суперчастицам порядка MSUSY 1 ТэВ, а нарушение SU(2) х приводит к появлению масс у обычных частиц.
Говоря о нарушении калибровочной симметрии, необходимо сказать, почему в данный модели требуются два дублета хиггсовских полей. В Стандартной Модели массовые члены для кварков получаются из членов лагранжиана
Суперсимметричный вариант этих взаимодействий не может считаться правильным, так как суперпотенциал должен зависеть только от Н, но не от i/t. Чтобы избежать эти трудности вводят второй хиггсовский дублет с противоположным гиперзарядом, тогда #i(l,2, — 1) дает массу cf-кваркам, а #2(1,2,1) - «-кваркам. Второй причиной, по которой в МС-СМ вводят дополнительный дублет, является необходимость сокращения аксиальных аномалий, возникающих при учете фермионных суперпартнеров скалярных хиггсов (хиггсино) в треугольных диаграммах. В контексте данной работы нельзя не отметить, что существенную роль в нарушении электрослабой симметрии в МССМ играют РП, связанные с юкавским взаимодействием тяжелых кварков (радиационное нарушение симметрии).
Возвращаясь к проблеме низкоэнергетического нарушения суперсимметрии, будем предполагать наиболее распространенный сценарий "скрытого" сектора /16/. В его контексте рассматривают два сектора полей. Первый - "видимый" - содержит все поля Стандартной Модели. Второй - "скрытый"- содержит поля, которые приводят к нарушению суперсимметрии при появлении у них вакуумных средних. Предполагается, что эти два сектора практически независимы. Их взаимодействие сводится лишь к обмену квантами полей, называемых "посредниками", которые переносят нарушение суперсимметрии из скрытого сектора в видимый. В качестве таких полей могут выступать гравитоны, калибровочные бозоны и т.д.
Можно только предполагать, как именно происходит нарушение суперсимметрии в "скрытом" секторе. Для феноменологических целей в многих случае достаточно знать, как это отразиться на теории при низких энергиях. В рамках МССМ удобно предположить, что нарушение в скрытом секторе приведет к появлению дополнительных (мягких) слагаемых breaking в (1-12), которые содержат новые свободные параметры. В общем случае количество дополнительных параметров довольно велико, что уменьшает предсказательную силу теории. Обычно, чтобы избежать указанной трудности используют так называемую "гипотезу универсальности", предполагая что различные параметры мягкого нарушения суперсимметрии равны друг другу при высоких энергиях: массы всех скалярных частиц кладутся равными то, массы частиц со спином 1/2 (калибрино) — mi/2, а все кубические и квадратичные члены пропорциональны AQ и В и повторяют структуру суперпотенциала
Асимптотическое разложение: рецепт разложения по большим массам
Подставляя (2.6) и (2.3) в исходный интеграл получим следующее выражение (к= {р/М,т/М}): где оставлены только члены, дающие вклад нужного порядка. Формула (2.8) и есть искомое разложение. Оговорюсь, что ситуация, рассматриваемая здесь, сильно упрощена. Существует множество тонких моментов, о которых я не упомянул. Отмечу лишь некоторые из них, показавшиеся мне существенными в контексте данной работы.
Во-первых, выше я рассмотрел разложение в самом младшем нетривиальном порядке. В принципе, можно попытаться найти старшие члены ряда. Это приведет к более сингулярным при q — 0 членам в (2.4), которые, как функционалы, определены на более узком подпространстве (пробные функции, имеющие нули нужного порядка при q = 0). Поэтому, расширяя область действия функционала, придется добавлять к наивному тейлоровскому разложению не только -функции, но и их производные. При этом коэффициенты перед ними будут фиксироваться из сравнения действия не разложенного и разложенного функционала на конечный набор пробных функций.
Во-вторых, как уже было сказано, кроме изначальной ультрафиолетовой (УФ) расходимости (первое слагаемое в (2.8а)) отдельные интегралы в (2.8) имеют дополнительные ИК и УФ расходимости (2.8Ь), которые, однако, в размерно-регуляризовашюм случае "магическим образом" сокращаются. Это можно понять, если использовать более строгий подход, в котором удается придать смысл обоим слагаемым (2.8Ь) по-отделыюсти в четырехмерном пространстве-времени /49/ .
Наконец, рассмотренный подход рекурсивным образом обобщается на многопетлевой случай. Хотя именно этот случай представляет наибольший интерес в контексте интересующей меня задачи, его описание в терминах обобщенных функций выходит за рамки данной работы. Для более подробного ознакомления можно воспользоваться уже цитируемым обзором /49/ и указанными в нем ссылками. В следующем разделе я представлю один из практических рецептов асимптотического разложения по большим массам, а также продемонстрирую на уже рассмотренном примере, как он работает.
Рассмотрим интеграл Фейнмана Fp, зависящий от набора больших масс М = {Mi,...}, малых масс т = {ті,...} и малых внешних импульсов р = {pi,...}. Далее введем понятие асимптотически неприводимого (AI) подграфа, удовлетворяющего следующим условиям: содержит все "тяжелые" линии, одночастично неприводим (ОЧН) по отношению к "легким" линиям.
Линия называется "тяжелой", если масса соответствующего пропагатора принадлежит к набору М, и "легкой" — если масса принадлежит к т. В общем случае AI подграфы могут быть несвязными и состоять из нескольких связных компонент (7 = Uj7i), являющихся в свою очередь ОЧН по отношению к "легким" линиям.
Для получения асимптотического разложения FY в пределе к, —» 0 (к = {р/М, т/М}) необходимо рассмотреть все AI подграфы 7 = 7iU...U7i (ъ - связные компоненты для каждого подграфа j вычислить интеграл, соответствующий Fr, разлагая пропагаторы, входящие в 7, по малым параметрам, причем внешние по отношению к 7 импульсы (они могут включать в себя и импульсы интегрирования) необходимо также считать малыми; просуммировать получившиеся выражения. Удобно представить это предписание в виде формулы
Здесь FY/J — подграф Fr, полученный путем удаления линий 7 = 7iU...U7i, a M1{F1{ — оператор, ставящий в соответствие подграфу 7г его разложение в ряд Тейлора по малым параметрам. Полученный рецепт носит название "разложение по подграфам" /50/.
Рассмотрим пример, обсуждавшийся в предыдущем разделе (см. (2.2) и Рис 2.1), и получим его асимптотический ряд с помощью формулы (2.9). Для этого перечислим необходимые AI подграфы. Во-первых, это подграф, состоящий из одного хиггсовского пропагатора (7)- Во-вторых, можно к 7 добавить линию, соответствующую fr-кварку, и получить новый AI подграф, который соответствует всей диаграмме.
Таким образом, имеется два вклада. Первый — от подграфа у. Заметим, что М№т — оператор тейлоровского разложения не только по исходными малым параметрам р, т, но и по импульсу интегрирования q, который в данном случае является внешним по отношению к 7- Кроме того, простой подсчет степеней к говорит о том, что подграф 7 имеет порядок 0{к2) и, поэтому, может быть опущен в низшем порядке разложения.
Диаграммы Фейнмана и асимптотически неприводимые подграфы
В этом разделе я рассмотрю диаграммы Фейнмана, необходимые для вычисления двухпетлевых вкладов в полюсную массу тяжелых кварков, а также соответствующие им прототипы разложения (см. Раздел 2.3). Как видно из (3.13) кварки q в рамках СуперКХД взаимодействуют с глюонами д, а также со скварками q и глюино д. Пакет FeynArts /7/ позволяет довольно легко найти диаграммы, которые содержат эти частиц в виртуальном состоянии. На Рис. 3.1 схематически изображены диаграммы, приводящие к поправкам порядка 0(а3) и 0{a2s). Скварковые линии соответствуют собственным состояниям массовой матрицы (3.21). Поэтому, под q на Рис. 3.1 подразумеваются поля q \ и q\.
Для вычисления интегралов Фейнмана было использовано разложение по большим массам, представленное в Разделе 2.2. В контексте рассматриваемой задачи для собственной энергии 6-кварка параметром разложения служило отношение кь = гпь/М, где M = {mt,MSvsY}, гпъ М, (3.29) а для і-кварка — отношение nt = mt/MsusY, где в обоих случаях MSUSY = {щ, Щх, Щ2} (3.30) При этом, ввиду того, что mj mj, в последнем случае, для упрощения конечного выражения было положено5 гпь = 0.
Принимая во внимание указанную иерархию массовых масштабов, можно легко сопоставить каждой диаграмме на Рис. 3.1 прототип разложения. Учитывая различные симметрии двухпетлевых диаграмм, а также возможность добавления фиктивных тяжелых линий (см. Раздел 2.3), приходим к минимальному набору прототипов: 1. Все линии соответствуют тяжелым частицам (Рис. 3.2); 2. Имеются лишь две легкие линии, одновременное "разрезание" которых приводит к тому, что диаграмма разделяется на две несвязные части (Рис. 3.3); 3. Лишь одна линия соответствует легкой частице (Рис. 3.4).
Диаграмма имеет разрез (пунктирная линия в левой части). Кроме 7о = Г необходимо учет подграфа 71 Пунктирная линия в правой части говорит об отсутствии сооответствующего пропагатора. ветствуют легким частицам (глюонам и кваркам), толстые — массивным суперпартнерам.
Каждому прототипу ставится в соответствие асимптотическое разложение согласно формуле (2.9). В первом случае, асимптотический ряд совпадает с тейлоровским. Если же диаграмма содержит "разрез" из двух легких линий, то ее наивное разложение (70 = Г) будет приводить к дополнительным ИК расходимостям, которые сокращаются вкладом от подграфа 7ь Нетрудно также заметить, что однопетлевой интеграл для Г/71 приводит к логарифмической зависимости результата от малых параметров. Наконец, последний прототип необходим, если искомое разложение рассматривается в старших порядка по кя, так как интеграл для Г/71 в этом случае дает квадратичую зависимость6 от малой массы.
Для случая 6-кварка параметр разложения кь тпъ/mt 0.02, в то время как для і-кварка — к Tnt/MsusY 0.2 (MSUSY = 1 ТэВ). Уже такие простые оценки говорят о том, что в первом случае лидирующий порядок асимптотического разложения даст хорошее приближение для искомой величины. Для і-кварка ситуация выглядит несколько хуже, поэтому было принято решение найти члены порядка 0(Kt), которые могут возникнуть в выражении благодаря присутствию с СуперКХД массивного глюино. Так как в рамках асимптотического разложения ничего не стоит найти также члены следующего порядка по Kt, окончательное выражения для поправки к полюсной массе М было получено с точностью до слагаемых порядка 0(к%) включительно.
В данном разделе представлены константы перенормировки для параметров СуперКХД. Рассмотрим подробно соответствующие выражения. калибровочная константа сильного взаимодействия.
Переход от затравочного параметра к перенормировашюму в DR-схеме gs = д состоит в следующей подстановке Ыв = Z9s gs = (1 + 6Zgs) gs. (3.31) Калибровочная 5[/(3)-инвариантность и инвариантность относительно преобразований суперсимметрии, гарантирует равенство констант перенормировки, стоящих в различных вершинах лагранжиана взаимодействия (3.1). Поэтому для нахождения 5Z9s можно вычис лить расходимость одной из "сильных" вершин. Например, рассмотрим взаимодействие Ь-кварков с глюонами, задаваемое на древесном уровне лагранжианом
В данной главе была использована схема, в которой е-скаляры безмассовые. Такой выбор позволяет довольно легко находить суммарный вклад -скаляров и глюонов в функции Грина, не содержащих внешних векторных индексов. Для этого достаточно использовать при вычислении четырехмерную векторную и спинорную алгебру7.
Как уже упоминалось в Разделе 1.3, в теориях со спонтанно нарушенной суперсимметрией РП приводят к появлению у -скаляров массы. Поэтому для того, чтобы использовать безмассовый пропагатор при вычислении двухпетлевых диаграмм, необходимо сократить однопет-левые поправки к гл с помощью неминимального контр-члена
Необходимые контр-члены
Зависимости одно- и двухпетлевых поправкок к полюсной масс 6-кварка от Шф- Кривые QCD соответствуют КХД поправкам, a SQCD — дополнительным вкладам от тяжелых суперпарнеров. При этом, окончательный результат в рамках СуперКХД получется при суммировании всех четырех вкладов. при этом также велика (до 70%). С точки зрения расчета в рамках СуперКХД, это связано с тем, что при вычислении используется минимальная схема DR, в которой наблюдаемые могут зависеть логарифмическим образом от масс всех частиц. Поэтому, обратной стороной того, что ть -С -MsusY) является присутствие в выражении для Ать/гпь больших 1пк&. Подробнее я поговорю об этом в Главе 5, в которой для нахождения mfR вместо соотношения между Мь и mfR будет использоваться связь между бегущи ми массовыми параметрами тщ и m , определенными в МССМ и КХД соответственно.
Кроме того, из опыта однопетлевых вычислений известно, что в рамках МССМ положительный9 0(as) вклад в полюсную массу Ь-кварка сокращается отрицательной поправкой, пропорциональной юкавским константам связи yt и уь- Последняя при этом может составлять 30% от величины вклада 0(as). В следующей главе я постараюсь учесть соответствующие поправки на уровне двух петель.
На Рис 3.7 представлены некоторые зависимости найденных величин от то при фиксированном тп\/2 = 1 ТэВ и различных tan/З и AQ. В случае і-кварка, зависимость от AQ и то слабая. Для Ь-кварка ситуация обстоит похожим образом, однако поправки, как уже отмечалось, значительно больше (см. также анализ в Разделе 4.3). Напомню, что для нахождения спектра суперпартнеров в рамках МССМ используют различные компьютерные коды/8, 72, 73, 74/. Это связано с тем, что универсальные граничные условия ставятся на некоторой высокоэнергетической шкале Мсит? которая, как не раз отмечалось, не удобны для вычисления известных низкоэнергетических наблюдаемых. Поэтому, все указанные программы используют РГ уравнения для нахождения значений параметров на интересующей нас электрослабой шкале Mz- Однако, стоит обратить внимание, что решение РГ уравнений невозможно без знания безразмерных констант связи на шкале MQUT- В противоположность мягким параметрам, калибровочные и юкавские константы сильно ограничены известной электрослабой физикой, поэтому граничные условия для них естественным образом задаются при низких энергия порядка Mz. В настоящее время единственным "источником информации" о юкавских константах являются массы фермионов СМ. Поэтому соотношение между бегущей и полюсной массой кварка может быть использовано для наложения указанных ограничений на соответствующие константы связи. Однако, связь (1.28) представляет собой сложную функции всех параметров МССМ. Чтобы разомкнуть этот порочный круг и используются компьютерные программы. При этом, в самом начале вычисления делается некоторое разумное предположение
Зависимости двухпетлевых 0(af) поправок к полюсной массе тяжелых кварков при различных выборах AQ и tan/? (гпф = 1 ТэВ). Верхний ряд соответствует t-кварку, нижний — Ь-кварку. Левая колонка — случаю tan/? = 35, а правая — tan/? = 50. значениях неизвестных параметров на MGUT ИЛИ на Mz а затем после нескольких итераций получают искомое решение с подходящей точностью. После этого найденные бегущие параметры используют для вычисления спектра суперпартнеров.
В связи с этим, рассмотренные выше примеры не претендуют на полноту, так как соответствующие значения получены с помощью параметров, удовлетворяющих однопетлевому соотношению между полюсной и бегущей массой кварка. Чтобы оценить, как влияет на спектр суперпартнеров факт учета двухпетлевых поправок, была модифицирована необходимым образом программа SOFTSUSY. По тем же причинам, что и раньше, в данной разделе я буду учитывать только поправки к Mj.
