Содержание к диссертации
Введение
1 Электронные системы с сильными Кулоновскими корреляциями . 9
1.1 Органические соединения класса (BEDT — TTF)2X 9
1.2 Фазовая диаграмма данной серии 10
1.3 Переход металл-диэлектрик 10
1.4 Антиферромагнитная фаза в изоляторе 12
1.5 Металлическая фаза 12
1.6 Строение кристалла и зонная структура 16
1.7 Оценка кулоновского отталкивания 20
1.8 Величина обменного взаимодействия 21
1.9 Спиновые флюктуации 21
1.10 Энергия перескока "22
1.11 Итог 23'
1.12 Вывод гамильтониана Хаббарда 25
1.13 Модель Хаббарда в приближении слабой связи 27
1.14 Специфика модели Хаббарда 29
1.15 Описание перехода металл-диэлектрик 31
2 Функциональное представление для модели Хаббарда . 33
2.1 Суперкогерентные состояния 33
2.2 Определение суперкогерентных состояний 34
2.3 Оператор эволюции 38
2.4 Скрытые симметрии 40
2.5 Эффективный функционал 43
2.6 Вариационное приближение для энергии 48
2.7 Общая схема 49
3 Электронный спектр и магнитное взаимо действие при сильном отталкивании . 51
3.1 Электронный спектр при большом U 51
3.2 Эффективный функционал металла 53
3.3 Электронный спектр 55
3.4 Обменное взаимодействие 60
3.5 Эффективный гамильтониан 61
3.6 Одночастичные гриновские функции 63
3.7 Обменное взаимодействие 64
4 "Башня симметрии" и переход металл - диэлектрик . 66
4.1 "Башня симметрии" в модели Хаббарда 66
4.2 Величина Н и -матрица 71
4.3 Общая картина 73
4.4 Переход металл-диэлектрик 74
4.5 Общий формализм, операторный подход 76
4.6 Связь с перенормировкой 81
4.7 Диаграммная техника 82
4.8 Расчет металл - диэлектрического перехода 88
4.9 Итоговая часть 91
Выводы. 92
Список литературы. 94
Приложения. 105
- Переход металл-диэлектрик
- Определение суперкогерентных состояний
- Эффективный функционал металла
- Переход металл-диэлектрик
Введение к работе
Актуальность работы. Сильные межэлектронные корреляции определяют многие свойства твердых тел. Особенно важен учет эффектов сильного кулоновского отталкивания при изучении явлений электронных фазовых переходов, таких как высокотемпературная сверхпроводимость, магнетизм, переход металл-диэлектрик, протекающих в твердых телах при изменении температуры, давления и стехиометрического состава. Органические твердые тела, демонстрирующие повышенную проводимость металлического типа при высоких температуах были обнаружены в 1973 году и продолжают привлекать к себе пристальное внимание. Это связано с обнаружением в них очень богатой фазовой диаграммы, содержащей практически все типы состояний многоэлектронной системы и фазовых переходов, которые были обнаружены на классе высокотемпературных сверхпроводников. Продолжает вызывать интерес также низкоразмерный характер движения электронов и спиновых степеней свободы, связанный с наличием в этих соединениях как стопок, дающих квазиодномерное движение, так и плоскостей, приводящих к квазидвумерному поведению носителей заряда и спина. В последние несколько лет внимание исследователей привлек класс органических проводников, демонстрирующих мотт-хаббардовский фазовый переход металл-диэлектрик. Интересным моментом в этих соединениях оказался факт квазидвумерного характера движения электронов по выделенным плоскостям в кристаллической решетке органического твердого тела. Критические индексы, характеризующие данный переход, оказались отличными от тех, что дает картина фазового перехода в других соединениях, демонстрирующих трехмерный тип данного перехода. Близость же этого перехода к сверхпроводящему переходу, который вызывается приложением давления, усилила актуальность изучения данного перехода. Все эти факты привели к усилению внимания к изучению сильного кулоновского отталкивания в рамках модели Хаббарда, которая позволяет проводить совместное рассмотрение сверхпроводящего состояния, металл-диэлектрического перехода и магнитных состояний.
Учитывая, что в режиме сильного отталкивания доминирующими механизмами являются механизмы формирования диэлектрического состояния и магнетизма, возникает сложная задача изучения трех конкурирующих типов упорядочения и учета флюктуации, отвечающих за эти типы состояний. Функциональный интеграл, применяемый наряду с операторным подходом для изучения многоэлектронных систем с кулонов-ским отталкиванием между электронами, обладает рядом привлекатель-
ных черт именно для режима сильного взаимодействия. Он позволяет развить теорию возмущений, а также использовать вариационные методы, позволяющие выйти за рамки теории возмущений. При исследовании режима сильной связи в рамках функционального интеграла можно использовать метод когерентных состояний, что эквивалентно переформулировке задачи на языке теории групп. Формулировка квантовой системы на языке функционального интеграла с использованием когерентных состояний дает нам описание, наиболее близкое к классическому описанию. Это сильно упрощает понимание и интерпретацию динамики и термодинамики квантовых систем, особенно при применении вариационных приближений.
Цель работы: работа посвящена разработке метода описания силь-новзаимодействующей системы электронов на языке функционального интеграла. Рассмотрение проводится в рамках модели Хаббарда. Используется также операторный подход для разработки схемы спонтанного нарушения симметрии в электронных системах. Разработанные схемы применяются для понимания и объяснения металл-диэлектрического перехода на ряде органических соединений, а также объяснения магнитных и термодинамических свойств органических диэлектриков, получающихся в результате перехода металл-диэлектрик.
Научная новизна. В работе развит оригинальный подход к модели Хаббарда на базе функционального интеграла, позволяющий перейти к локально калибровочным схемам, получившим широкое распространение в последние годы при изучении сильнокоррелированных систем электронов. Введены и вычислены суперкогерентные состояния по тем супералгебрам, которые появляются в модели Хаббарда. Обнаружена "башня симметрии" и построены те алгебры, что определяют эффективные модели в предельных случаях слабого и сильного кулоновского отталкивания на одном узле. Дана формулировка функционального интеграла, приводящего к существенно нелинейному выражению для эффективного функционала, описывающего коллективные степени свободы многоэлек-тронпой системы.
Изучен механизм металл-диэлектрического перехода в модели Хаббарда.
Проведено вычисление величины обменного взаимодействия при ди-меризации с образованием волны спиновой плотности для одномерных цепочек в рамках модели Хаббарда. Изучена зависимость обменного взаимодействия от концентрации электронов.
Вычислен линейный коэффициент при температуре в теплоемкости при низких температурах. Прослежена связь данного коэффициента с эф-
фективной массой электронов в металлической фазе. Изучено приближение в функциональном интеграле, приводящее к теории Бринкмана-Райса для металл-диэлектрического перехода.
Практическая ценность. Сверхпроводимость, магнетизм и переход металл-диэлектрик широко применяются в технических устройствах. Поэтому развитие методов описания и разработка механизмов фазовых переходов в моделях, их описывающих, позволят улучшить понимание процессов их протекания и улучшить характеристики материалов.
Публикации. Результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 5 статьях журнала "Теоретическая и математическая физика" и в 6 статьях других журналов.
Апробация работы. Материалы, представленные в диссертации, представлялись на:
5th Int. Conf. on Path Integral from mev to MEV, Dubna, 1996, Russia
XI Int. Conf. Problem on Quantum Field Theory, Dubna, 1998, Russia.
PI07 - 9th International Conference on Path Integrals - New Trends and Perspectives, 23-28 September 2007, Max Planck Institute PKS, Dresden, Germany.
3rd Seminar Highly conducting organic materials for molecular electronics, Poznan, 13-16 September, 1992.
Ha 10 и 12 межвузовском семинарах по органическим полупроводникам, 1983, 1986, Горький.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста, включает 16 рисунков и одну таблицу и состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы (111 наименований) и приложения.
Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая характеристика разделов диссертации.
В первой главе на основе литературных данных, описаны органические соединения со структурной формулой (BEDT — TTF^X, претерпевающих фазовый переход металл-диэлектрик. Приведены особенности кристаллической структуры, содержащей выделенные плоскости из молекул бис-этилендитио-тетратиафульвалена (BEDT-TTF). Приведен закон дисперсии квазичастиц в приближении сильной связи, формирующий зону проводимости. Рассмотрены свойства металлической фазы, температурные изменения сопротивления, теплоемкости, магнитные свойства диэлектрической фазы, время релаксации в ядерном магнитном резонансе. Подробно рассмотрены свойства мотт-хаббардовской фазы. Приведена суммарная фазовая диаграмма класса соединений, претерпевающих фа-
зовый переход метал л-диэлектрик. Дан вывод модели Хаббарда, которая в целом хорошо описывает все особенности данного класса. Приведена общая схема классификации фазового перехода металл-диэлектрик и его отличие в классе органических соединений.
Во второй главе описаны результаты автора по выводу эффективно
го функционала для модели Хаббарда. Многочастичная система описы
вается волновой функцией, задающей представление для динамической
супергруппы, которая действует в пространстве функций атомного бази
са. В данном базисе хаббардовское отталкивание принимаем диагональ
ный вид. Определяются суперкогерентные состояния, задающие конкрет
ный вид волновой функции. Произведено их точное вычисление по ыечет-
нозначным грассмановозначным полям и по четным (вещественным) по
лям по всем степеням. Вычислены функциональные выражения для сим
волов операторов, описывающих магнитные и плотностные степени сво
боды. Проведен анализ предельных случаев и сравнение с выражениями,
введенными для модели Хаббарда в других работах. Выводится выра
жение для оператора эволюции с помощью функционального интеграла-,
описывающего многочастичную систему. Получено общее выражение для
эффективного функционала, получаемого из гамильтониана модели Хаб
барда. ;.
Анализируется вопрос о симметриях сильнокоррелированных систем. Изучено отличие от обычного подхода, основанного на использовании тождества Хаббарда-Стратоновича. Отмечено появление генераторов конформной группы на динамических фермионных полях и своеобразие металл-диэлектрического перехода с групповой точки зрения. Прослежена связь эффективного функционала с пределом слабого взаимодействия, пригодного для описания ферми жидкостей. В приближении постоянства одного из параметров вычислено выражение для энергии. Показано, что данное выражение совпадает с приближением Гутцвиллера для энергии основного состояния. Изучен сценарий фазового перехода металл-диэлектрик, основанный на данном приближении. Определено критическое значение отталкивания. Обсуждается вопрос о получении приближения бесспинового фермионного газа из модели Хаббарда.
В третьей главе изучается трансформация электронного спектра одномерной цепочки при изменении значения отталкивания для зоны, заполненной на 1/4. При таком заполнении спектр будет бесщелевым. Получены уравнения для энергии, описывающие закон дисперсии. Получены точные решения для произвольных величин отталкивания. При стремлении хаббардовского отталкивания к бесконечности получена правильная асимптотика двух зон. Показано, что ширина первой зоны пропорцио-
нальна кинетической энергии, а ширина второй зоны-величине обменного взаимодействия. Данные результаты применяются для описания пай-ерлсовской и спин-пайерлсой сверхструктур в соединении М ЕМ (ТС N Q)2.
Проведено вычисление величины обменного взаимодействия для од
номерной цепочки для модели Хаббарда с зоной, заполненной на 1/4.
Сформулирована эффективная теория на расширенном атомном бази
се из 16 функций димера. Вычислены начальные гриновские функции
и собственно-энергетическая часть. Проведено исследование зависимости
обменного взаимодействия от концентрации электронов. Изучено влияние
димеризации на величину обменного взаимодействия. \
В. четвертой главе описана "башня симметрии" в модели Хаббарда. Приведены феноменологические аргументы и те фазы модели Хаббарда, что задают цепочку алгебр и групп в сильнокоррелированных системах. Проведена классификация тех алгебр, которые появляются в электронных системах с зоной, заполненной на 1/4. Выявлены 12 супералгебр и их размерности. Обсуждается процедура разложения динамических операторов по множеству данных алгебр. Дано выражение для гамильтониана-и способ-вычисления S-матрицы по данному множеству алгебр. Вычислены затравочные пропагаторы по трем начальным алгебрам. Сформулированы правила построения диаграммной техники на "башне".
Изучается переход метал л-диэлектрик. Используя описанную в предыдущих главах конструкцию "башни" симметрии, строится теория перехода металл-диэлектрик исходя из выбора двух алгебр, описывающих соот^ ветственно металл и диэлектрик. Приведена схема разложения основных величин по двум уровням "башни" и получен гамильтониан. Обсуждаются особенности перенормировки при наличии нескольких алгебр в системе. Строится теория возмущений и диаграммная техника. Выявлены преобразования "атомного" базиса, приводящие к приближению Гутцвил-лера. Получены выражения для электронного пропагатора, содержащего параметры перенормировки. В однопетлевом приближении вычислено выражение для энергии при учете двух параметров перенормировки. Минимизация по этим параметрам приводит к переходу металл-диэлектрик. Выяснены ограничения теории Бринкмана-Райса металл-диэлектрического перехода.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору ф.-м.н. Михаилу Андреевичу Марценюку, руководителю лаборатории органических полупроводников Естественно научного института ПГУ, доктору химических наук Георгию Георгиевичу Абашеву, старшему научному сотруднику лаборатории органических полупроводников, к.х.н. Елене Викторовне Шкляевой.
Переход металл-диэлектрик
В соединении с катионом X = Cu[N(CN)2]Cl при увеличении давления до 20-30 Мра наблюдается переход первого рода от диэлектрика к Paramagnetic Insulator Bad metal «, - d-wave Superconductor Pseudogapped Fermi Liquid Fermi Liquid Рис. 2: Диаграмма состояний органических соединенений AC-(BEDTTF)2X в координатах давление Р и температура Т. металлу [7, 3, 2]. При нормальном давлении соединение с X = Сщ{СЫ) является парамагнитным изолятором [7, 3]. При давлениях от 0.35 до 0.4 GPa наблюдается фазовый переход первого рода в сопротивлении. Выше 0.35 GPa сопротивление уменьшается на пять порядков при прохождении точки фазового перехода.
Появление магнетизма и сверхпроводимости вблизи моттовского перехода представляет из себя один из самых интересных вопросов при изучении сильнокоррелированных систем электронов [7]. Этот факт усиливает актуальность изучения физики перехода металл-диэлектрик. Существует две точки зрения на устройство моттовского диэлектрика:
1) в картине Слетера в режиме слабой связи диэлектрический спектр возникает как результат удвоения элементарной ячейки при появлении волны спиновой плотности (ВСП),
2) в мотт-хаббардовской картине, применяемой при сильном отталкивании, диэлектризация наступает без нарушения обычных симметрии, обычно рассматриваемых при электронных фазовых переходах. Щель в электронном спектре в данном сценарии есть результат сильного отталкивания на узле. Виртуальный обмен электронами на соседних узлах приводит к появлению антиферромагнитного фазового перехода при температурах, равных Т = W2/U, существенно меньших, чем величина щели. Фазовая диаграмма для соединения с X = Cu[N(CN)2]Cl демонстрирует линию перехода первого рода, заканчивающуюся при конечных температурах критической точкой с координатами (. ,7 ) = (260bar,40K). В этом соединении температура Нееля Тдг и температура сверхпроводящего перехода Тс встречаются друг с другом при координатах (2806ar, 13А") де монстрируя бикритическое поведение. Данный тип поведения отображен на рис.2.
Экспериментальное подтверждение антиферромагнитного упорядочения ниже 26 К найдено в соединении с X=Cu[N(CN)2]Cl [10] и дейтериро-ванном X=Cu[N(CN)2]Br , наблюдаемое в расщеплении линии магнитного ядерного резонанса. Величина магнитного момента по величине расщепления равна (0.4 — 1.0)//д на димер. Такая большая величина говорит о том, что в системе есть сильное кулоновское отталкивание. Антифер-роромагнитная фаза становится неустойчивой при давлениях выше 300 bar.
Согласно теории ферми-жидкости, развитой Ландау, существующее взаимодействие приводит к формированию эффективных квазичастиц, взаимодействие между которыми слабо. В органических материалах, перечисленных нами, электроны испытывают сильное кулоновское взаимодействие. Органические соли с переносом заряда являются прекрасными примерами для изучения именно тех эффектов, к которым приводит сильное взаимодействие между электронами [9]. Зонные расчеты показывают, что данные материалы должны быть металлами для всех диапазонов температур, давлений и степеней переноса заряда, которые наблюдаются экспериментально для данного класса соединений. Но на практике обнаружены множество состояний, которые возможны только при сильном кулоновском отталкивании. Это-фаза мотт-хаббардовского изолятора, неелевский антиферромагнетизм в диэлектрической фазе, спиновая жидкость в фазе моттовского диэлектрика. Органическая химия позволяет очень тонко менять свойства входящих в твердое тело молекул. Прекрасный пример дает соединение {BEDT — TTF)2Cu[N(CN)2]Br, в котором моттовский переход может быть вызван путем замены 8 водородных атомов в молекуле ЕТ на дейтерий [14]. Можно замещать атомы водорода по одному, так, что тогда можно наблюдать более медленное изменение свойств данного соединения при приближении к фазе моттовского диэлектрика, а также наблюдать сосуществование диэлектрика и сверхпроводника [15].
Изучение металлического состояния в органических соединениях очень важно само по себе [8], поскольку в этих соединениях наблюдается нетрадиционное металлическое поведение, которое получило в литературе на звание "плохого металла". Важность понимания металлического состояния связана с тем, что в нем могут развиваться и сверпроводящая и магнитные неустойчивости, которые приводят к антиферромагнетизму и сверпроводимости. Низкотемпературное металлическое состояние органических соединений демонстрирует ферми-жидкостное поведение. При низких температурах сопротивление ведет себя как р(Т) = ро + AT2, что характерно для ферми систем с кулоновским взаимодействием [16, 17].
Температурная зависимость сопротивления (показанная на рис.3) резко отличается от той, которая наблюдается в простых металлах ( где сопротивление монотонно уменьшается при уменьшении температуры). В данных соединениях при высоких температурах сопротивление растет при уменьшении температуры, достигает широкого максимума, потом падает и демонстрирует квадратичную зависимость при температурах ниже 20К. Максимум сопротивления наблюдается при Ттах, где Ттах 100 К для X—Cu(NCS)2- При увеличении давления Ттах увеличивается, а пик исчезает при больших давлениях. В таких системах [21, 22] коэффициент А в сопротивлении р связан с линейным коэффициентом в теплоемкости, : 7: А/72 =constant. Константа равна 4.0 х 10-137cm (mol/mJ)2 для переходных металлов, и 1.0 х 10-11ficm (mol/mJ)2 для тяжелофермионных систем и для переходных металлов вблизи металл-диэлектрического перехода [23]. В органике это отношение составляет от 5 до 200, что выше предсказанного [24, 20].
Если средняя длина пробега носителей заряда равна расстоянию между молекулами, то нельзя говорить о когерентности в движении носителей тока. В такой ситуации нужно оценивать сопротивление по минимальной проводимости ( предел Иоффе-Регеля), который для приведенных соединений составляет порядка 103S/cm. Проводимость же отмеченного соединения в пике равна IS/ст. Ниже пика сопротивление уменьшается монотонно, что позволяет говорить о "плохом металле". "Плохими металлами" являются такие соединения, как фуллерены, допированные щелочными металлами [40], S RuO Т 02[42]. Все эти материалы являются сильнокоррелированными материалами, находящимися вблизи мотт-хаббардоского перехода.
Определение суперкогерентных состояний
Итак, состояние системы мы будем характеризовать следующей волновой функцией, зависящей от координат x,y,z и времени t через динамические электрические Е = (Е+(х, у, z, t), Е (х, у, zt),Ez{x, у, z, t)): магнитные h = (h+(x, у, z, t), h (x, у, z, t), hz(x, y, z, t)) и грассмановы Xi(x,у, z,і), х(ж,у, z,t),xt(x,у, z,t),xt(x,у, z,t), фермионные поля, составляющие компоненты майорановского спинора и входящие в выражения для суперкогерентных состояний (SCS) следующим образом: Ez О О Е+ G = ехр О , (37) ХІ hz h+ О ХІ hT -hz О Е- -xl ХІ -Ея G действует в пространстве ( 0 , + , — , 2 ), базисе "атомных"функций, на котором задано когерентное состояние.. Эти функции равны: 0 -; + у= af 0 -; - -= аЦО -; 2 У= а а О - . (38) Выражение для G равно: (Полные вычисления приведены в приложении А.) 1 G =\Z(E) + 2ВХ2Х1 ) здесь F = (Fij) — [ \ J, а индекс i,j — 1,2; коэффициенты д \ 9ъ 9з— J приведены в приложении, В = (О, b) + p{ )Z{r)E . Мы вычислили выражение для данного суперкогерентного состояния во втором порядке по грассмановым полям. Далее мы проведем вычисление по грассмановым полям до четвертой степени.
Данное выражение очень содержательно. Оно говорит, что в модели Хаббарда в режиме сильной связи на узле вклад в магнитный момент дают два слагаемых: первый задает спиновую плотность от дело-кализованных электронов и удовлетворяющий линейной алгебре su(2), второй параметризует локализованный вклад и задается представлением для группы SU(2). Таким образом, мы имеем эффективную двузонную модель: делокализованные электроны - локализованные спины. Своеобразие этой модели состоит в величине локализованного спина - он лежит в интервале от 0 до 1. Суммарный спин задается суммой двух компонент так, что общий спин равен 1/2. Тот же самый принцип разделения алгебр просматривается в формуле плотностных операторов. Отметим, что в следующих главах будет проведено вычисление полного выражения для суперкогерентных состояний по грассмановым полям.
Ниже приведен вывод функционального интеграла для модели Хаббарда. Функциональное представление является желательным именно для систем с сильным взаимодействием ввиду отсутствия малого параметра. При его получении ниже широко используются когерентные состояния по тем супергруппам, которые появляются в сильнокоррелированных системах. Более конкретно, нашей задачей будет поиск той групповой структуры в сильнокоррелированных системах, которая позволит описать их специфику. Мы возьмем за основу следующую общую групповую конструкцию: 1) пространственные координаты мы обьединим со временем и будем рассматривать четырехмерное пространственно-временное многообразие как базовое многообразие, на котором действует максимально возможная конформная группа в спинорном представлении, 2) электронные операторы, описывающие электронные степени свободы, дополнят данную группу до супергруппы, которая должна быть суперрасширением бозонных генераторов, задающих в спинорном базисе группу поворотов, 3) рассматривая спинорное (суперспинорное) представление данных супергрупп, мы построим суперкогерентные состояния, которые дадут нам существенно нелинейное представление для волновой функции, описывающей сильнокоррелированный металл 3) используя вычисленные точно суперкогерентные состояния, мы получим существенно нелинейный функционал, описывающий как диэлектрическую, так и металлическую фазы.
Обычные когерентные состояния [69, 70] для простых групп Ли широко используются для формулировки функционального интеграла для гамильтонианов, в которых переменные есть образующие данных алгебр Ли. В случае групп SU(2) и 577(1,1) групповое многообразие является сферой или гиперболоидом и является более сложным пространством нежели плоскость, являющаяся фазовым пространством для простого гармонического осциллятора.
Прежде чем переходить к применению схемы, развитой в предыдущем разделе [74], изучим отличие данной схемы от стандартного функционального подхода, использующего преобразование Хаббарда — Стратоновича. Суть последнего подхода состоит во введении вспомогательных бозон-ных полей, за счет которых удается линеаризовать взаимодействие.
Формально мы получим выражение, в котором оператор будет заменен грассмановозначной функцией фа (это означает использование голоморфного представления для операторов аа, а+. Отметим, что само представление (61) может быть получено из модели Хаббарда применением обобщенных когерентных состояний по супергруппе (ОКСС) путем удержания в G членов до второго порядка. Члены типа Е\, tii при этом происходят от меры интегрирования ОКСС. Матрицы здесь появились следующим образом: мы перенесли операцию свертки бра и кет-векторов на операцию с матричнозначной функцией, вследствие этого появилась операция Sp. Видно, что (63, 61) становятся эквивалентными после взятия Sp. Выражение для (63) инвариантно относительно следующих преобразований: A = S AS, здесь 5 задает группу 50(4) (это группа автоморфизмов канонических антикоммутационных соотношений), а А есть матрица ф. Отметим, что данная группа совпадает с группой 50(4) в спинорном базисе. Между тем наиболее общей группой преобразований является для (63) группа конформных преобразований многообразия i?4, (т. е. обычного пространства-времени). Естественно поэтому рассмотреть преобразования из данной группы на (63). Конформная группа состоит из следующих генераторов: генераторы группы SO(4) (данные преобразования параметризуются полями Ei,hi,i = 1..3 в эвклидовом пространстве), генераторы трансляций, генераторы специальных конформных сдвигов и генератор растяжений (дилатон), и задается преобразованием х = Vx\V Є SU(2,2). Здесь мы сталкиваемся со следующей сложностью. Известно [77] , что генераторы специальных конформных сдвигов на безмассовых представлениях группы Пуанкаре тождественно равны нулю. У нас это проявляется в том, что на двухком-понентном спиноре a-f, ац или а , а определены только три комплексные матрицы из 5L(2,0), содержащие 6 вещественных полей E{,hi,i = 1..3 (не считая единичной матрицы, что дает 2 вещественных поля).
Эффективный функционал металла
Будем, согласно [82], исходить из модели Хаббарда: Н = -W atia Tj + UJ2 п т,іп-а,і + А Е " ,». (79) уст г",сг a,i здесь а , Qfo-j, naji — операторы рождения, уничтожения и плотности на узле г, W, U— перекрытие орбиталей соседних молекул и внутримолекулярное отталкивание электронов. Следуя [82], получим эффективный функционал (ЭФ) из (79). Состояние металла в точке г описывается волновой функцией G(r,t) -, имеющей следующий вид: G(x,y,z,t) У= ехр[-г (/1(х,у,г,Ь)Г{ + bj(x,y,z,t)Bj)]: здесь F\ В3 — операторы Хаббарда, а /г-, bj — соответствующие им поля. Статистическая сумма дается следующим выражением: Z = J e-iI4F(r,t),B(r,t)\drdtDF t)#(r, t). Здесь эффективный функционал L равен: В [82] показано, что в режиме сильной связи данный ЭФ получает- . f ся из (80) интегрированием по суперкоординате, которая возникает при следующей замене полей: Xi = 0\ + Х\\ Хг = е\ + Хз; Х2 = в\ + Хъ\ Х\ = 0\ + Х4, (81) здесь нижние индексы совпадают с индексами операторов Хаббар да / Ехр(9 9) d9 d9. . Отметим, что введенная суперкоордината позво ляет ввести набор фермионных полей, достаточных для описания мотт хаббардовской структуры. После взятия интеграла, F примет следующий вид: F = Lo[E(r,t),h(r,0] + L2[E(r,t),h(r,t),Xz(r,i)]. Здесь Е параметризует в F флюктуирующие электрические поля, а h— флюктуирующие магнитные поля: L2 имеет следующий вид: L2 = J[N]{E, h)xKr, t)Vx,(rt) - M% h)xl{rt)Xj(r, t)]drdt, (82) где M и N — матрицы 2x2. Отметим, что матрицы М и. N являются некоторыми функциями от динамических полей Ei(r,t) и hi(r,t) . Отметим следующее обстоятельство. Когда Е{ = 0 и hi = 0, выражение для I G есть когерентное состояние для фермионов, а ЭФ превращается в стандартное функциональное представление для модели Хаббарда на грассмановых полях. Стартуя с этого представления, интересно проследить изменения, происходящие при росте U с ЭФ. Для этого займемся вычислением матриц М и N. Для их вычисления удобно использовать представление для ЭФ, полученное в [82]. Это представление получается из (80) интегрированием по в. Поскольку мы хотим стартовать с невзаимодействующего предела для ЭФ, то нужно перейти к следующей линейной комбинации полей ХЇ Xіі = Хї + Х2] Х з = Хз + ХА] Х З = ХІ- Хг\ xU = Хз - ХА
Данное уравнение задает связь двух величині? и h. Ниже будет показано, что Е и /і при U Uс связаны посредством условия detN = 0 и данный режим описывает слабо коррелированный металл. Качественно величина Е Определяет вероятность появления состояния 0 И a Q!"0 = в общем числе состояний 0 , 2 и + = otf\0 , — = ctf\0 . Величина h определяет вероятность появления + и — в общем числе состояний. Ясно, что когда вероятности появления каждого состояния равны 1/2, система является невзаимодействующим электронным газом, взаимодействие же приводит к увеличению относительной вероятности состояний + и — по отношению к вероятности появления 0 и 2 . При сильно различающихся вероятностях система будет уже находиться в состоянии локализованной спиновой подсистемы, что означает возможность описания магнитных степеней свободы гамильтонианом Гей-зенберга. Связь detN = 0и задает ту область параметров Е и h, которая определяет область делокализованных спинов. Когда DetN — 0, видно, что Єї = оо, Є2 = const. Обращаясь к выражению для L2, видим, что - - = 0. Обсудим, что означает этот результат. Вместо двух фермионных зон, которые мы имеем в общем виде, остается только одна. Вторая зона исчезает за счет эффективного сужения, определяемого параметрами Е и h. При U Uc detN = 0 и XiVxi = 0, т. е. кинетическая энергия поля Xi исчезает, остается только член вида і,ХьХі который описывает невзаимодействующее с Х2 (выше для этого проводилась диагонализация) поле, которое в лучшем случае может в функциональном интеграле внести вклад в нормировку. Значит L2 описывает в случае DetN = 0 только одно динамическое, т. е. имеющее кинетическую энергию, ферми-поле Х2-Поясним этот результат. Как отмечено в [82], для понимания общих особенностей металл-диэлектрической физики модели Хаббарда обязательно учитывать тот момент "атомного"описания, который связан с введением операторов Хаббарда (т. е. эффективное удвоение размерности представления).
Переходом к другому базису ее можно диагонализовать. Эта процедура отвечает переходу от гамильтониана (78) к (77). Если некоторые диагональные элементы будут равны нулю, а именно, для ненулевого вектора (собственного) появится нулевое собственное значение, что означает наличие нетривиального ядра оператора преобразований, то мы приходим к выше рассмотренной ситуации: переменных в левой части будет меньше, чем переменных в правой части. Данное преобразование отличается от преобразования Боголюбова. Наличие нетривиального ядра у оператора преобразований (93), означает, что вакуумы, которые связывает это преобразование, отличаются топологически. У нас это проявляется в том, что при a-ij = О Xi образуют вектор фундаментального представления группы SO (4), а при а ф 0 это уже вектор для представления группы SU(2,2) или 50(4,2) . Любопытным обстоятельством у нас является то, что биквадратные комбинации полей не определяют те квадратичные комбинации, которые можно построить из полей Xi- Обычно они и являются параметрами порядка слабо взаимодействующих ферми-систем. Перечислим их: s — вектор спина (3 величины), р — параметр порядка волн зарядовой плотности и 5 — сверхпроводящий параметр (2 вещественных числа); итого 6 величин, составляющих базис генераторов группы SO(4). Это означает, что единственным способом рассмотрения таких фазовых переходов является изучение механизмов расширений групп и конструирование на основе этого преобразований типа (93). В современной литературе по модели Хаббарда, как представляется, на основании работ [83], те же вопросы возникают при добавлении топологических инвариантов.
Из (87). ясно,, что при росте U величина, Sp{MN l) уменьшается и: обращается в нуль при U = Uc = 2dW. Видно также, что при U Uc, системе энергетически выгодно иметь, две зоны через механизм нарушения связи, т. е. когда detN ф 0. Чтобы это увидеть, вычислим энергию системы Е = L0+6(U-UC)A2/ + G2/D, здесь в(х) = 1,х О;,0 = 0,ж 0 Численная минимизация при U /"с выражения; о + О2/D показывает, что действительно, связь detN — 0і сопоставляет каждому значению U одно определенное отношение параметров 1-Е и к, при U— Uc и U Uc условие DetN 0і эквивалентно тому, что и Е и h являются параметрами, характеризующими режим U Uc. Итак, мы, показали, что при ::. Е, /г, удовлетворяющих связи detN = 0, мы приходим к ренормированно-му гамильтониану сильно коррелированного металла (в работе [82] было показано, как в этом пределе получаются сильно коррелированный газ ;. Бринкмана — Раиса и-приближение Рутцвиллера). При U Uc мы пере- ходим к газу, в котором магнитные степени свободы,отделяются от трансляционных.
В [84] особенности данного соединения объясняются на основе концепции сильнокоррелированного газа. Между тем в литературе, по нашему мнению, отсутствует убедительный сценарий тех переходов, которые наблюдаются в MEM(TCNQ)2: также нет ответа на вопрос, каким образом режим слабой связи переходит в режим сильной связи. Характерная особенность режима слабой связи — преобладание сверхструктуры на 2кр, неусиленная восприимчивость, особенность же режима сильной связи - наличие двух фазовых переходов, или, другими словами, отщепление зарядово-трансляционных степеней свободы от спиновых, усиленная магнитная восприимчивость. Рассмотренная нами выше задача позволяет качественно объяснить данную трансформацию. Согласно полученным выше формулам, картина следующая. При малых величинах U имеем две вырожденные по спину зоны, которые при учете взаимодействия могут привести к возникновению волн зарядовой или спиновой плотности на 2кр. При U Uc, сильное отталкивание приводит к возникновению бесспиновых фермионов, причем в данной зоне имеем ku Uc = 2kF. Неустойчивость в этой зоне отвечает волне зарядовой плотности с волновым век тором Акр. Спиновые же степени свободы, становясь фермионными, образуют узкую (порядка W2/U) зону, приводящую при Т — 19К к образованию 2кр сверхструктуры.
Переход металл-диэлектрик
Переход металл-диэлектрик, являясь ярчайшим примером проявлений сильных межэлектронных корреляций продолжает привлекать внимание исследователей. Выше отмечалось, что в системах с сильным кулоновским взаимодействием существует своеобразная проблема дуализма, например: локализация - делокализация. Магнетики проявляют локализованное поведение магнитных моментов, но в то же время в них есть делокализованные трансляционные возбуждения; причем и локализованные и делокализованные моды относятся к одной системе электронов. Напрашивается следующая аналогия: система с такими свойствами может рассматриваться как многофазная система с квантовыми флюктуациями между разными фазовыми состояниями. Каждая фаза описывает определенный тип поведения, например локализованный или делокализованный, еще раз отметим аналогию с [104]. Отметим, что каждой фазе при такой интерпретации соответствует один конкретный уровень "башни". Определенная симметрия на этом уровне задает конкретную модель, которая описывает спектр возбуждений, основное состояние и те фазовые переходы, которые связаны с нарушением этой симметрии. Набор динамических алгебр и соответствующих ему симметрии опишет уже набор фаз, формирующих многофазность; вся башня должна описать в конечном счете квантовые переходы и флюктуации между возможными фазами.
Отметим, что при узельном описании при использовании X операторов, мы встречаемся с очень своеобразным произволом или симметрией в формулировке задачи. Данный произвол состоит в том, что динамическая алгебра операторов, т.е. переменных, на которых задан гамильтониан, не определена и в качестве таковой можно выбрать достаточно произвольную алгебру из очень широкого набора возможных алгебр. Данный возможный набор и есть "башня". Собственно, утверждение о наличии "башни"в сильнокоррелированных системах есть указание на тот факт, что: 1) из бесконечного числа генераторов мы можем выделить конечное (в пределе, стремящегося к бесконечности) число бесконечномерных алгебр ("башня", 2) данное множество алгебр само образует какую-то деформацию, возможно, многопараметрическую, бесконечномерной алгебры. Интересно рассмотреть случай одномерной модели Хаббарда. Видно, что "башня" из работы [101], ограниченная на операторы спина, фактически совпадает с янгианом, обнаруженным в [103]. Учитывая работы по когерентным состояниям для квантовых групп [102], мы приходим к выводу, что, по-видимому, под "башней" скрывается многопараметрическая деформация какой-то бесконечномерной алгебры. Конечно, ясно, что каждая определенная алгебра конкретного уровня "башни описывает свою систему, т.е. ее основное состояние, набор возбуждений, отклики на внешние воздействия. Приведем для примера простейшие сопоставления такого рода: 1) слабовзаимодействующая ферми жидкость - ей соответствует набор переменных, образующих алгебру: S\ = (а+,аа,р = {о а а а а а + afai),s = (a"aj_,aja-f,af"a-f — a ajj). Разумно с каждой динамической алгеброй увязать вопрос о наличии теории возмущений, например, переменные имеют смысл только при наличие слабого четырехфермионного взаимодействия и, наоборот, слабое взаимодействие тесно связано с наличием алгебры 5i , 2) антиферромагнетик гейзенберга отвечает динамической алгебре: SH = (S+ = a ai,S = a a ,Sz = a a — a aj.), 3) невзаимодействующий бесспиновый газ:о = (a+,o,n = a+a). Мы привели достаточно простой, но, как нам кажется, весьма содержательный пример, показывающий, как в модели Хаббарда переменные, описывающие низколежащие возбуждения могут сильно меняться. Безусловно, что наличие многих алгебр есть отражение того лишь факта, что модель Хаббарда имеет достаточно богатую фазовую диаграмму, т.е. достаточно много основных состояний. Главная проблема, однако, состоит в том, что положить в основу изучения. В [101] качестве такой основы предложено взять множество алгебр. Ниже изучается фазовый переход металл -диэлектрик с точки зрения "башни" симметрии. Исходно стартуя с двух уровней "башни" параметризующих металл и диэлектрик, мы построим более общую алгебру, из которой алгебра зонного и алгебра "атомного" предела следуют в качестве частного случая. Далее, мы построим диаграммную технику, с помощью которой рассчитаем энергию основного состояния как функцию дополнительных параметров деформации. Точнее, этих параметров будет введено два, второй параметр, как будет видно, связан с параметром вариационного метода Гутцвиллера. Условие минимума энергии позволяет определить зависимости этих параметров от констант модели. Показано, что один из них ведет себя аналогично параметру порядка и пропорционален щели в спектре. Используется операторный подход.
Обычно считается, что главным достоинством приема, описанного выше, и состоящем в переходе к локализованному базису (122), является диагонализация самого опасного члена взаимодействия (121). Далее усилия большинства исследователей направлены на то, чтобы отсуммировать как можно больше диаграмм. Сложности, естественно встречающиеся на этом пути, пытаются преодолеть посредством поиска некоторого принципа или параметра, позволяющего отсуммировать, хотя бы частично, оставшиеся диаграммы. По нашей же логике следует обратить внимание на.совершенно другой момент - на переменные системы, описывающие набор квазичастиц. Диагонализация взаимодействия (121) возможна только на кардинально другой алгебре - = (Xpq), алгебра же операторов Si приводит к диагональному представлению модели Хаббарда в импульсном пространстве. Наиболее существенный момент перехода к базису (122) состоит в том, что именно в узельном представлении возможно конструирование и изучение других динамических алгебр.
Видно, что: 1) они образуют алгебру Si] операторы рождения получаются сопряжением из операторов уничтожения, 2) представляют из себя полиномы и в этом главное отличие описываемой процедуры, в результате мы получим нелинейное разложение по образующим а, а+. Число фермионных генераторов равно 4. Далее, взяв оператор 75 и (а+, аа, р, s) можно сконструировать следующие степени а, которые дают алгебру , (как видно, Xм 75fl T и поскольку 75 р2 — s2, отсюда X а5). Для определения различных характеристик системы нам нужны соотношения (анти)коммутации и процедура вычисления шпура диагональных операторов алгебры.
Видно, что мы получили эффективную двузонную модель, одна зона аа описывает делокализованные электроны, другая Хп описывает атомные состояния. Своеобразие (129) состоит в том, что аа и Xм относятся к одним и тем же электронам, одновременное их наличие отражает дуализм локализация-делокализация, характерный для сильнокоррелированных систем. Задание операции сопряжения между повышающей частью S\ и понижающей частью #2 приводит к несамосопряженности гамильтониана и остается только H ; ic. Поскольку этот гамильтониан описывает перекачку Надтіс в Щапй, которые задают фиксированные точки ренорм-группы ("металлическая" и "диэлектрическая" ) мы приходим к необходимости одновременного исследования всего "веера" слагаемых, состоящих ИЗ Hat0mic, Н Ща%гс И Hband 4.6 Связь с перенормировкой.
