Содержание к диссертации
Введение
1 Минимальная суперсимметричиая стандартная модель 13
1.1 Определение модели 13
1.2 Спектр физических полей МССМ 16
2 Элементарные процессы для определения констант БХ 23
2.1 Элементарные процессы для определения констант на е+е -линейном коллайдере 24
2.2 Элементарные процессы для определения констант на LHC . 33
3 Формализм однопетлевых мультидиаграммных вычислений 39
3.1 Теория возмущений и основные подходы к ее реализации . 39
3.2 Вершинная функция 41
3.3 Подход базисных диаграмм Фейнмана 44
3.4 Систематизация и расчет базисных диаграмм Фейнмана . 49
4 Перенормировка и редукция вершинной функции 81
4.1 Перенормировка электрослабого и хиггсовского секторов . 81
4.2 Алгебраическая редукция однопетлевых скалярных интегралов 88
5 Константы и ширина распада в однопетлевом приближении 99
5.1 Постановка задачи 99
5.2 Расчет констант Хннн, Хнин, Хннн, Хннн в однопетлевом приближении 101
5.3 Численные результаты для Хннн, Хнин, Хннн, Хннн и анализ 103
5.4 Расчет констант ХНА А, ХНА А В однопетлевом приближении . 107
5.5 Численные результаты для ХНАА, ХНАА И анализ 108
5.6 Расчет амплитуды распада в однопетлевом приближении . 110
5.7 Численные результаты для Г( — hh) и анализ 111
6. Сечения рождения пары БХ в однопетлевом приближении 115
6.1 Постановка задачи 115
6.2 Кинематика процесса типа 2 —> 2. Сечение процесса 116
6.3 Расчет амплитуд процессов е+е~ — hh, hH, НН, АА в однопетлевом приближении 118
6.4 Численные результаты для сечений и анализ 135
Заключение 140
Приложения 142
- Элементарные процессы для определения констант на е+е -линейном коллайдере
- Систематизация и расчет базисных диаграмм Фейнмана
- Алгебраическая редукция однопетлевых скалярных интегралов
- Расчет констант Хннн, Хнин, Хннн, Хннн в однопетлевом приближении
Введение к работе
Механизм генерации масс фундаментальных частиц (МГМ) - один из ключевых элементов в построении большого класса калибровочных моделей квантовой теории поля (КТП), например, Стандартной модели (СМ), Минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ) и их модификаций. Благодаря этому механизму в таких калибровочных моделях удается непротиворечивым образом получить массовые члены для полей материи и полей промежуточных калибровочных бозонов. При этом модели сохраняют ряд важных свойств, таких как калибровочная инвариантность и иеренормируемость. МГМ основан на введении калибровочно инвариантного юкавского взаимодействия скалярных полей с фермионами [1] и механизме Хиггса спонтанного нарушения калибровочной симметрии. Последний, в свою очередь, состоит в том, что потенциал самодействия скалярных полей достигает минимума при их ненулевых значениях, т. е. у нейтральных компонент скалярных полей появляются ненулевые вакуумные средние [2-Ю].
Становление МГМ последовательно происходило в период развития квантовой теории поля с середины 50-ых до конца 60-ых годов двадцатого столетия в работах Дж. Голдстоупа [2], Й. Намбу [3], А. Салама, С. Вайпберга [4], П. Хиггса [5-7], Р. Брута, Ф. Энглета [8], Г. Гуральника [9], Т. Киббла [10] и др. В 1967 году С. Вайнберг [11] и независимо от него А. Салам [12] в 1968 году предложили реалистичную квантово-полевую модель, построенную на результатах предшественников, в рамках которой давалось единое описание электромагнитного и слабого взаимодействий. Данная модель получила название Стандартная модель электрослабых взаимодействий, или модель Глэшоу-Вайнберга-Салама (ГВС). Именно в рамках предложенной модели МГМ получил последовательную и замкнутую структуру.
В 1963 году М. Гелл-Манном [13] и Г. Цвейгом [14] была предложена модель, объясняющая спектр сильно взаимодействующих частиц при помощи элементарных частиц, названных кварками. Данная модель стала основой современной калибровочной теории сильных взаимодействий - квантовой хромодинамики (КХД), основанной на цветовой группе SU(3)c-
Современная Стандартная модель физики элементарных частиц (СМ)
ВВЕДЕНИЕ
включает в себя как модель Глэшоу-Вайнберга-Салама, так и квантовую хромодинамику и построена на группе симметрии SU(3)c х SU(2)l х U(1)y [15]. Данная модель стала самой успешной моделью квантовой теории поля 20-ого столетия, поскольку в рамках последней удалось объяснить все экспериментальные данные физики элементарных частиц [16].
Однако впоследствии было установлено, что в СМ существует ряд внутренних трудностей. Во-первых, масса бозона Хиггса СМ - свободный параметр, имеет широкую область допустимых значений. Квантовые поправки к массе БХ существенно превосходят возможные значения древесной массы при энергиях выше 1 ТэВ, что является неустранимой трудностью теории [17-18]. Во-вторых, предположение о единой природе фундаментальных взаимодействий и их объединении, косвенно подкрепленное многими экспериментальными фактами, приводит к необходимости объединения калибровочных констант сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий при очень высоких энергиях, что не имеет места в СМ [19-20]. В-третьих, нет ответа на вопрос о происхождении иерархии масс наблюдаемых элементарных частиц [17]. В-четвертых, СМ не предсказывает количество поколений элементарных частиц, которых следует ожидать в природе. В-пятых, проблема барионной асимметрии Вселенной и т.д.
В работе [21] было показано, что для решения указанных проблем СМ необходимо расширить хиггсовский сектор СМ, как минимум, до двухдуб-летной системы полей. Здесь был дан детальный обзор Стандартной модели с двумя дублетами нолей Хиггса (ДДСМ), сформулированной в работах [22-25]. В данной модели МГМ в своей структуре не претерпел серьезных изменений в сравнении с СМ. Однако его реализация сопровождалась введением вакуумного состояния второго дублета, наложением дополнительных условий на связь между параметрами модели и вид лагранжиана юкавского взаимодействия.
В работах [26-28] было показано, что учет новой симметрии - суиерсим-метрии (СУСИ) в квантово-полевой модели может привести к решению многих проблем, существующих в СМ (например, объяснение причины реализации СНКС, сокращение квадратичных расходимостей во всех порядках теории возмущений). В работах [25],[29-31] была сформулирована минимальная суперсимметричная стандартная модель (МССМ), хиггсовский сектор которой также содержал два дублета полей Хиггса. В отличие от СМ, в ДДСМ и МССМ физический спектр полей Хиггса характеризовался пятью состояниями: тремя нейтральными состояниями и двумя заряженными.
В работах [29-34] сформулирована неминимальная суперсимметричная стандартная модель (НМССМ). Построение новой модели было обусловле-
ВВЕДЕНИЕ
но проблемой // - слагаемого, возникшей в МССМ. Разрешить указанную проблему стало возможным путем введения дополнительного комплексного скалярного синглета. При этом соответствующим образом модифицировался суиерпотенциал. Сценарий МГМ здесь более сложный в связи с тем, что СНКС реализуется с учетом трех ненулевых вакуумных средних, однако общая структура остается прежней. В НМССМ существует семь физических полей Хиггса: 3 нейтральных СР-четных, 2 нейтральных СР-печетных и два заряженных.
Таким образом, МГМ абсолютно необходим в калибровочных теориях слабых взаимодействий, однако на сегодняшний день он не получил еще прямого экспериментального подтверждения. Последнее должно быть достигнуто путем выполнения программы, сформулированной в работе [35] в рамках СМ и МССМ.
Бозоны Хиггса (БХ) должны быть открыты. Их массы должны быть измерены.
Необходимо доказать прямопропорциональную зависимость констант взаимодействия бозонов БХ с лептонами и кварками от масс последних, т. е. А/ ~ ш/.
Константы взаимодействия бозонов Хиггса, предсказанные в рамках модели, должны быть идентифицированы на эксперименте. Задача становится еще более актуальной в суперсимметричных модификациях СМ, где структура констант определяется также принципами суиерсимметрии и механизмом ее мягкого нарушения (последний в настоящее время также не имеет прямого экспериментального подтверждения).
В программах предстоящих исследований на будущих линейных коллай-дерах (TESLA, NLC, ILC), а также на коллайдере LHC одной из главных задач является определение констант взаимодействия бозонов Хиггса.
Для решения проблемы определения констант взаимодействия БХ необходимо во-первых, выполнить в низшем приближении анализ сечений элементарных процессов, предсказываемых в рамках модели, аналитические выражения для которых определяются указанными константами. Выявить среди прочих те процессы, которые характеризуются максимальными значениями сечений и чувствительности последних к вариации констант. Во-вторых, необходимо выполнить высокоточные теоретические расчеты констант взаимодействия БХ, их масс и сечений избранных процессов, сопровождающиеся учетом петлевых поправок высших порядков теории возмущений к указанным параметрам. Расчет последних уже в первом порядке
ВВЕДЕНИЕ
теории возмущений в рамках указанных моделей сопряжен с огромными математическими вычислениями. Последние обусловлены большим числом возможных типов взаимодействий, дающих вклад в соответствующий процесс. И все же учет радиационных поправок принципиально необходим, поскольку а) неоднократно было показано, что однопетлевые поправки к параметрам хиггсовского сектора в указанных КТП - моделях могут быть существенными и, следовательно, значительно изменять древесные значения параметров [36-39]; б) прецизионные теоретические предсказания для физических наблюдаемых дадут рецепты их оптимального экспериментального поиска. При положительном исходе последнего они позволят определить природу бозонов Хиггса и, следовательно, модель, адекватно описывающую их свойства. В-третьих, выполнить серию экспериментов по измерению сечений избранных процессов данной модели и провести сравнительный анализ результатов теории и эксперимента. Согласование данных экспериментов с результатами теоретических расчетов сечений (для конкретного выбора модели) позволит однозначно зафиксировать константы взаимодействия и, следовательно, определить структуру хиггсовского потенциала.
В связи со сказанным целью диссертационной работы является прецизионный теоретический расчет вершинных функций (констант) трехча-стичных взаимодействий бозонов Хиггса в рамках Минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ) и соответствующих физических наблюдаемых - ширины распада Г(# —> hh) и сечений процессов е+е~ —> hh, е+е~ —> hH, е+е~ —> НН, е+е_ —» А А, включающих указанные взаимодействия и могущих быть протестированными данными соответствующих экспериментов на будущих коллайдерах с высокой светимостью. Расчет проводится в однопетлевом приближении в рамках фейнма-новского диаграммного подхода (ФДП).
В соответствии со сформулированной целью в рамках настоящей работы решены следующие основные задачи:
Расчет одноистлевых вкладов (допустимых в МССМ) в одно-, двух-, трех- и четырехточечные вершинные функции (ВФ). Представление одно-петлевых вкладов в аналитической форме.
Построение алгоритмов алгебраической редукции скалярных функций -Sq, Со для представления их в форме, наиболее удобной для использования процедуры перенормировки и численного расчета.
Расчет системы контрчлеиов (в рамках On-shell-схемы перенормировки электрослабого и хиггсовского секторов МССМ [40]) для следующих объектов: а) одноточечных ВФ бозонов Хиггса h, Я; б) собственных энергий 7> W,Z-калибровочных бозонов, h, А,Н-бозонов Хиггса; в) энергий
ВВЕДЕНИЕ
смешивания у — Z, h — Н, А — Z; г) шести констант трехчастичного взаимодействия нейтральных БХ МССМ. Представление их в терминах как исходных контрчленных параметров и констант перенормировки поля (5ml, 5т\, ^mi2> ^vh 5V2> %hv %h2i Z\ > %2i %Y> ^Y\ так и неперенормирован-ных собственных энергий, энергий смешивания и одноточечных ВФ для БХ.
4.Расчет шести констант трехчастичного взаимодействия нейтральных БХ (Xhhh, \hhjj, XhHH, Хннн, XhAA, Аялл) в однопстлевом приближении с учетом tt-, ЬЬ-, се-, rf- петель в ФДП.
Расчет ширины распада Г(# —> hh) с учетом tt-, bb-, ее-, rf- петель в ФДП.
Расчет амплитуд и полных сечений процессов е+е" —» hh, е+е_ —» hH, е+е~ —» НН, е+е~ —> АА в полном однопетлевом приближении в ФДП.
Общая методика исследований. В данной работе при решении поставленных задач используются следующие традиционные методы кванто-во-полевых вычислений:
Основным методом решения поставленных задач является метод кван-тово-полевой теории возмущений с использованием фейнмановского диаграммного подхода.
В петлевых вычислениях используется калибровка т'Хоофта-Фейнма-на.
Приемы тензорной [41, 42] и размерной [43, 44] редукции последовательно используются при вычислении аналитических выражений соответствующих фейнмановских диаграмм.
On-shell - схема [40] процедуры перенормировки применена для получения конечных физических результатов.
Результаты петлевых вычислений, как правило, представляются линейными комбинациями скалярных интегралов Велтмана-Пассарино
[45, 46].
6. Для численного анализа результатов используются как традиционные
[45], так и новые алгоритмы расчета указанных интегралов.
Достоверность полученных результатов обеспечивается (1) строгостью используемых автором общепринятых методов квантовой теории поля, органически сочетающих в себе как традиционные теоретико-полевые методы, так и новейшие алгоритмы символьных и численных компьютерных расчетов; (2) согласием данных результатов, полученных в рамках фейнмановского диаграммного подхода с результатами предшественников, полученных в рамках других пертурбативных подходов; (3) согласием теоретических предсказаний (полученных в настоящей работе) для областей допустимых значений исследуемых величин с имеющимися для них экспе-
ВВЕДЕНИЕ
риментальными ограничениями. Научная новизна диссертации состоит в следующем.
В рамках фейнмановского диаграммного подхода с использованием калибровки т'Хоофта-Фейнмана сформулирован новый подход базисных диаграмм Фейнмапа (БДФ), основанный на обобщении стандартных правил Фейнмана СМ и МССМ. Выполнена систематизация всех фейнманов-ских силыюсвязных однопетлевых диаграмм по указанным БДФ. Результаты для однопетлевых вкладов в одно-, двух-, трех-, четырехточечные ВФ представлены в виде суперпозиции дираковских матричных структур. При этом коэффициентами разложения являются линейные комбинации минимального набора стандартных скалярных интегралов. Преимуществами подхода являются компактность аналитических результатов и удобство в практическом использовании последних для построения компьютерных программ. Скорость машинных вычислений петлевых поправок согласно данному алгоритму много больше, чем у программ-аналогов (FeynCalc, Form), поскольку затяжные операции тензорной и алгебраической редукций изначально выполнены.
В работе дано новое представление результатов алгебраической редукции скалярных функций Bq,Cq. Предложенное представление является оптимальным при использовании процедуры перенормировки и численного расчета.
При реализации программы перенормировки [40] аналитически решена система 11 линеаризованных уравнений, определяемых условиями перенормировки, ОТНОСИТеЛЫЮ Переменных 5гп\, $mh ^m12> &vli &V2, Z#j, Zh2,
Zf, Zf, Z^, ZY Полное решение системы впервые представлено в редуцированном явном виде. Контрчлены для констант взаимодействия, собственных энергий и энергий смешивания БХ получены в аналитической форме, в наиболее общем виде.
В данной работе впервые построены аналитические выражения для шести констант трехчастичного взаимодействия нейтральных бозонов Хиг-гса МССМ в первом порядке теории возмущений, с учетом tt-, bb-, ее-, тт- петель, в рамках ФДП.
Получены новые аналитические выражения для ширины Г(Я —> hh) с учетом it-,bb-, се-, тт-петель в рамках ФДП.
Впервые построены и представлены в явном виде аналитические выражения для амплитуд и полных сечений процессов е+е~ —» hh, е+е~ — hH, е+е" —> НН, е+е~ -> ЛА в рамках модели МССМ с учетом полного набора однопетлевых диаграмм. Проведена оценка роли петлевых вкладов суперсимметричных частиц в определении итогового результата.
Личный вклад автора. Все результаты, составившие основу диссер-
ВВЕДЕНИЕ
тации, получены лично автором или при его определяющем участии. Ряд работ выполнен с М.Н. Дубининым (Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына, МГУ), В.М. Долгополовым, М.В. Долгополовым, И.А. Смирновым, А.В. Бачуриной, А.Н. Ивушкиным (Самарский государственный университет).
Практическая значимость работы.
Полученные результаты и методы могут быть использованы для интерпретации результатов экспериментов по изучению природы и свойств БХ, для определения значений свободных параметров моделей или области их допустимых значений.
Разработанные алгоритмы и подходы удобны для составления компьютерных программ, что и было использовано при создании комплекса компьютерных программ VertexLoopCalc-2, предназначенного для петлевых вычислений вершинных функций.
Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докладывались и обсуждались автором на следующих научных семинарах и конференциях:
XVII, XVIII Международных семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля (QFTHEP) (Самара, 2003; Санкт-Петербург, 2004);
научной конференции секции ядерной физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий "(Москва, ИТЭФ, 2002, 2005);
международном семинаре "Selected Problems of Modern Physics"(Саратов, 2003);
шестой международной школе, посвященной вопросам физики высоких энергий ИТЭФ (Москва, ИТЭФ, 2003);
учебно-методической конференции "Межсессионная работа со студентами: традиционные и новые формы" (Самара, СамГУ, 2001);
научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Л.И. Кудряшева "Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике"(Самара, СГАУ, СамГУ, СГЭА, 2001);
конференции "100 лет квантовой теории" (Самара, СамГУ, 2001);
научном семинаре "Проблемы связанных состояний в квантовой теории поля" (Самара, МГУ, СамГУ, 2004);
конференции "Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века" (Самара, СамГУ, 2005);
конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века"(Самара, СамГУ, 2005);
третьей всероссийской школе "Физика фундаментальных взаимодействий", посвященной вопросам физики высоких энергий (Протвино, фонд "Династия", 2006);
ВВЕДЕНИЕ
научных конференциях преподавателей и сотрудников Самарского государственного университета (Самара, СамГУ, 2002-2006);
научных семинарах кафедры общей и теоретической физики (Самара, СамГУ, 2001-2006).
Исследования были поддержаны грантами 02-02-26561-зм, 03-02-26501-зм российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), грантом 294Е2.4К Самарского областного конкурса 2006 года, стипендиальной программой для аспирантов фонда "Династия".
По теме диссертации имеется 18 публикаций [47-64], среди них 9 журнальных статей, 2 тезисов в трудах международных конференций, 2 статьи в трудах региональных конференций.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (170 наименований), приложений. Работа содержит 34 рисунка и 6 таблиц. Общий объем диссертации - 163 страницы машинописного текста.
Содержание работы. Данная работа имеет следующую структуру.
В первой главе представлен краткий обзор МССМ: базисные принципы, на которых основана модель, состав полей (суперполей), полный лагранжиан. Особое внимание уделяется хиггсовскому сектору МССМ и, в частности, теоретическим аспектам построения вершинных функций взаимодействий бозонов Хиггса в низшем приближении. Представлен полный спектр физических полей МССМ.
Вторая глава посвящена детальному анализу сечений процессов парного и трехчастичного рождения БХ в низшем приближении, допускаемых МССМ, которые могут быть исследованы как на линейных е+е_-кол-лайдерах, так и на LHC. Среди прочих определяются процессы, имеющие максимальные сечения и чувствительности к вариации констант. Определяются оптимальные условия для идентификации констант взаимодействия.
В третьей главе представлен краткий обзор основных иертурбативных подходов, используемых в настоящее время при вычислении параметров МССМ в высших порядках теории возмущений. Отдельный параграф посвящен определению ВФ и ее роли в расчете наблюдаемых. Сформулирован новый подход базисных диаграмм Фейнмана. Представлен полный набор одно-, двух-, трех-, четырехточечных БДФ. Проведена систематизация однопетлевых фейнмановских диаграмм по представленным БДФ. Выполнен расчет однопетлевых вкладов в одно-, двух-, трех-, четырехточечную ВФ. Итоговые результаты представлены в аналитической форме.
В четвертой главе рассмотрена On-shell-схема перенормировки электрослабого и хиггеовского секторов, предложенная в работе [40]. Построе-
ВВЕДЕНИЕ
на линеаризованная система 11 уравнений, определяемых условиями перенормировки. Получены аналитическое решение системы уравнений, а также явный аналитический вид контрчленов для шести констант взаимодействия, собственных энергий и энергий смешивания нейтральных БХ МССМ. Здесь также представлен новый алгоритм алгебраической редукции скалярных интегралов Д), Cq. Итоговые результаты для интегралов представлены в форме, адаптированной к процедуре перенормировки и численным расчетам.
Пятая глава посвящена расчету шести констант взаимодействия А/^, Аш/, А/іЯя, Аяяя, Каа, Аяла) и ширины распада Г(# -> hh) в одно-петлевом приближении с учетом tt-, bb-, ее-, тт-петель. Представлены аналитические результаты, проводится сравнительный графический анализ новых результатов с результатами, полученными ранее в рамках ре-нормгруппового подхода и подхода эффективного потенциала.
Шестая глава посвящена расчету амплитуд и полных сечений процессов е+е~ -> hh, е+е~ -» hH, е+е~ -* НН, е+е~ -> ЛА в рамках МССМ с учетом полного набора однопетлевых диаграмм.
В заключении диссертации приведена общая характеристика работы и сделаны основные выводы по полученным результатам.
Вершинные факторы базисных древесных ВФ, используемых в работе, вынесены в приложения.
Все используемые и цитируемые источники представлены в заключении работы, в разделе "Литература".
Элементарные процессы для определения констант на е+е -линейном коллайдере
МССМ является логичным обобщением СМ. Она не отвергает результаты, полученные в СМ, и более того теоретические результаты, полученные в рамках МССМ, редуцируются к результатам СМ в определенной области пространства параметров, например, в режиме decoupling при низких энергиях. При этом МССМ имеет ряд серьезных преимуществ перед СМ: 1) масса легчайшего БХ имеет жесткие ограничения сверху и не может превышать 135-140 ГэВ [74]; 2) на однопетлевом уровне все квадратичные расходимости в пертурбативных вычислениях сокращаются естественным образом; 3) в рамках данной модели существует несколько кандидатов на звание "частица темной материи".
Ключевым элементом в МССМ (как и в СМ) является МГМ, который может быть проверен экспериментальным путем. Для этого необходимо прежде всего выполнить детальный сравнительный анализ сечений элементарных процессов, допускаемых моделью, которые определяются константами взаимодействия БХ. Выявить среди прочих те процессы, которые характеризуются максимальными значениями сечений и чувствительности последних к вариации констант, определить оптимальные условия достоверной регистрации сечений процессов рождения БХ. Затем необходимо выполнить высокоточные теоретические расчеты констант взаимодействия БХ, их масс и сечений избранных процессов, сопровождающиеся учетом петлевых поправок высших порядков теории возмущений к указанным характеристикам. И наконец выполнить серию экспериментов но измерению сечений избранных процессов и провести сравнительный анализ результатов теории и эксперимента.
В связи со сказанным возникает задача поиска элементарных процессов-кандидатов, которые смогут быть использованы для выполнения программы экспериментального обоснования МГМ и по сечениям которых будут определены значения констант взаимодействия БХ. Этой проблеме посвящена следующая глава.
Как было отмечено во введении, для полной экспериментальной верификации МГМ необходимо определить константы трех- и четырехчастичного взаимодействий бозонов Хиггса. Это позволит также определить сценарий реализации МГМ, обнаружить косвенные факторы, подтверждающие или опровергающие существование суперсимметрии в природе и реализацию механизма мягкого нарушения суперсимметрии.
Предварительные теоретические расчеты показывают, что на будущих е+е -линейных и адронных коллайдерах с высокой светимостью процессы парного рождения БХ посредством каналов (1) отщепления пары БХ, от W-, Z-бозонов [75-77] и (2) WW-, ZZ-слияния [77-83] позволят непосредственно определить константы трехчастичного взаимодействия. Как было показано, процесс дд —» НН на рр - коллайдерах [83-8G], [87] также как и процесс 77 НН на будущих высокоэнергетических фотонных коллайдерах [77, 78, 88] "чувствительны" к определению константы А##я. В случае модели МССМ все возможные процессы многочастичного рождения бозонов Хиггса были подробно рассмотрены в работе [89]. Здесь был представлен сценарий совместного экспериментального исследования констант трехчастичного взаимодействия.
Данная глава посвящена анализу сечений элементарных процессов парного и трехчастичного рождения БХ, вычисленных в низшем приближении в рамках МССМ, путем изучения которых на е+е -линейных коллайдерах и LHC [90-91] можно получить информацию о константах взаимодействия БХ. Опираясь на результаты теоретических исследований конечных состояний в рамках иартонных представлений [92-94] и моделирования возможностей детектора [93], будет дана оценка количества наблюдаемых событий для рассматриваемых процессов. Количество искомых событий определяют точность измерения констант взаимодействия. Таблица 2.1: константы трехчастичного взаимодействия нейтральных БХ, которые могут быть определены в процессах парного и трехчастичного рождения БХ.
Если бы сечения всех процессов были доступны на эксперименте, то можно было бы однозначно определить все константы трехчастичного взаимодействия (метод восходящей линии). Так, процессы с конечными состояниями ZAA и AAA могли бы быть использованы для определения констант \АА, HAA I процессы с конечными состояниями Zhh и Ahh позволили бы получить информацию о Xhhh и Ащу. Наконец, ZHh—процесс может быть использован для определения Хннн, a ZHH—процесс для - Хннн- Оставшиеся AHh—, АНН—процессы позволили бы получить дополнительную информацию о данных характеристиках.
Однако не все сечения смогут быть измерены на эксперименте, поскольку некоторые из них являются слишком малыми. В этом случае, проводя сравнительный анализ предсказаний теории с данными эксперимента для доступных каналов, фиксируя значения свободных параметров, можно строго определить константы взаимодействия БХ (метод нисходящей линии). Так, константы, отвечающие за взаимодействие пары А—бозонов с СР—четными нейтральными БХ, ХИАА, НАА являются малыми. В сравнительном анализе можно обойтись без результатов для процессов с ZAA— и AAA—конечными состояниями. Однако сечения процессов с конечными состояниями ZHiHj и Ahh необходимы для определения констант взаимодействия СР—четных БХ (смотри часть таб. 2.1, выделенную двойной линией).
Отметим, что процессы е+е — ZHiA, е+е — veveHiA \Щ — h, Н] не могут быть использованы для определения констант трехчастичного взаимодействия, поскольку данные процессы реализуются благодаря распаду виртуального Z— бозона (Z -+ ЩА), и, следовательно, не включают соответствующих вершин в низшем приближении.
В отличие от СМ, в рамках МССМ допускается рождение тяжелого БХ Я, сопровождающееся резонансным распадом на пару легких бозонов h. Данный распад играет существенную роль в процессах рождения Я-бозона при условии 200 Мн 350 ГэВ и малых tg/3( 3) [95]. В этом случае брэнчинг канала, определяемый шириной распада не является столь малым, но и не близок к единице, чтобы быть измеренным непосредственно. Как было показано в работе [89], резонансный распад Я— бозона увеличивает полное сечение процесса парного рождения h— бозона на порядок величины, т.о. увеличивая возможность измерения константы \hhH- Последний объект является единственной константой трехчастичного взаимодействия, доступной для экспериментального исследования благодаря резонансному распаду.
Систематизация и расчет базисных диаграмм Фейнмана
На сегодняшний день основным инструментом в квантово-полевых вычислениях является квантово-иолевая теория возмущений. Согласно современным представлениям, под квантово-полевой теорией возмущений понимается метод решения задач КТП, основанный на разложении в ряд но одной или нескольким константам взаимодействия (малым параметрам) S- матрицы, удержании в рассмотрении лишь конечного числа слагаемых ряда и расчете релятивистски инвариантной амплитуды рассматриваемого процесса с соответствующей степенью точности. Количество слагаемых ряда, удерживаемых в рассмотрении, определяется максимальными степенями констант взаимодействия (по которым проводится разложение в ряд) - порядком теории возмущений, диктуемым требуемой степенью точности [105].
В наши дни при вычислении радиационных поправок по ТВ к физическим наблюдаемым сектора Хиггса в рамках МССМ традиционно используются три альтернативных подхода: ренормгрупповой (РГП) [106-110], подход эффективного потенциала (ПЭП) [111-116] и фейнмановский диаграммный подход (ФДП) [117-119].
Ренормгрупповой подход (РГП) основан на предположении о существовании двух (или более) масштабов энергии, существенно отличающихся друг от друг но значению; например, в рамках суперсимметричных теорий такими масштабами традиционно являются: MSUSY масштаб энергии элементарных процессов, при котором реализуется мягкое нарушение суперсимметрии и Mz - масса Z - бозона - масштаб энергии, характерный для электрослабых процессов, экспериментально достижимый в наши дни На интервале энергий, заключенном между указанными масштабами, рассматривается эффективная теория, в рамках которой используется определенный набор степеней свободы, спектр масс которых принадлежит указанному интервалу. Согласно стандартным алгоритмам теории ренормгруппы записывается и решается система (несуперсимметричных) уравнений [120]. Явный вид решений последних определяется с использованием экспериментальных данных, полученных при энергиях Q = Mz, учитывая также древесные соотношения между параметрами модели как граничные условия справедливые при энергиях Q = MSUSY- Данный подход имеет одно существенное преимущество: он позволяет легко получить лидирущие одиопет-левые поправки, которые, как правило, пропорциональны log(MsusY/Mz), так что даже при условии, что масштаб MSUSY на несколько порядков больше Mz, теория возмущений по-прежнему имеет место. Однако использование аппарата суперсимметрии в рамках современных КТП-моделей, призванного решить проблему естественности СМ, приводит к важному следствию: значительная часть массовых параметров МССМ но значению должна быть заключена в относительно малой окрестности масштаба нарушения электрослабой симметрии, Gp 0.25 ТэВ. Согласно современным представлениям величина MSUSY — 1 ТэВ, следовательно, строгое выполнение неравенства (3.1) является весьма проблематичным.
Подход эффективного потенциала (ПЭП) основан на предположении о построении эффективного лагранжиана модели в заданном приближении с учетом петлевых поправок к параметрам исходного древесного лагранжиана модели [111-114]. Массы и константы взаимодействия полей отождествляются с соответствующими производными эффективного потенциала, вычисленными в точке минимума последнего. Согласно определению ПЭП, в рамках последнего удается вычислить собственные энергии и ВФ трех- и четырехчастичных взаимодействий с нулевыми внешними импульсами. На примере расчета одиопетлевых радиационных поправок к массам БХ было показано, что ПЭП обеспечивает более высокую точность вычислений, чем РГП [118-119]. Однако в случае, когда квадрат 4-имиульса внешней частицы близок по значению к пороговому значению энергии рождения частиц, с которыми она взаимодействует, то полная поправка может существенно отличаться от соответствующего значения поправки при нулевом импульсе. Другим важным недостатком ПЭП является зависимость рассматриваемых величин от выбора калибровки и выбора масштаба энергии (схемы перенормировки). Хотя эффективный потенциал является масштабно ин вариантным, указанная зависимость появляется благодаря производным, фигурирующим в потенциале, после процедуры перенормировки полей. В расчете лидирующих однопетлевых поправок к массам БХ МССМ указанные проблемы не возникают, поскольку здесь нет фиктивных зависимостей от параметра калибровки . Эффекты перенормировки поля, ответственные за масштабную зависимость в общем случае малы в сравнении с величиной полной поправки.
Фейнмановский диаграммный подход (ФДП) основан на расчете всех петлевых поправок, необходимых для поддержания требуемой точности вычислений, без каких-либо приближений в расчете скалярных интегралов Фейнмана и построении схемы полной однонетлевой перенормировки, однозначно конкретизируемой вводимыми параметрами и соотношениями, связывающими параметры перенормировки и физические величины. Как показывает опыт использования данного подхода [40, 118], последний является наиболее точным инструментом вычисления физических наблюдаемых, являясь формально масштабно независимым и инвариантным относительно выбора калибровки. В рамках ФДП учитываются эффекты ненулевых значений импульсов внешних частиц, играющие существенную роль на масштабах энергии, близких к значениям пороговой энергии рождения частиц.
Основным объектом дальнейших теоретических исследований настоящей работы является вершинная функция (ВФ). Рассмотрим далее вопрос определения данного объекта в рамках произвольной КТП - модели и его связь с другими ключевыми объектами.
Рассмотрим элементарный процесс, в который вступают N частиц Pfc , результатом его реализации являются М частиц, Р\ : Основное назначение используемой КТП - модели - определение вероятности реализации указанного процесса, и, для заданных условий эксперимента. Вероятность процесса (3.2) определяется амплитудой процесса, А д: о ш = A[i_ f\ . Амплитуда элементарного процесса является ключевым объектом, который может быть построен в рамках используемой КТП-модели и традиционно представляется в виде: Ац д = / і , здесь і -вектор Г ml \N состояния исходной системы частиц Ркf \ , / - вектор конечио { ,f\} \М Р\ . Вектор состояния / может быть получен из вектора г посредством унитарного S-оператора [121]: \f =S\i .
Алгебраическая редукция однопетлевых скалярных интегралов
. В качестве критерия систематизации петлевых диаграмм Фейима-иа по классам выберем количество точек (древесных вершин взаимодействия), которые определяют структуру данной диаграммы. В связи со сказанным будем иметь дело с четырьмя классами (базисных) диаграмм Фей-нмана. В качестве критерия (внутриклассовой) систематизации петлевых диаграмм по видам будем использовать набор типов полей виртуальных частиц (образующих петли) с учетом их последовательности. Данный набор определяет обобщенную структуру - базисную диаграмму Фейнмаиа (БДФ) и соответствующее ей аналитическое выражение. Важно отметить, что посредством введения БДВФ, определяемых выражениями (3.10)-(3.21), типы внешних полей искомой ВФ не является более принципиальными в систематизации диаграмм, поскольку структура БДВФ охватывает всевозможные ситуации.
Аналитическое выражение, соответствующее рассматриваемой БДФ, должно быть редуцировано с помощью стандартной техники тензорной [41-42] и размерной [43-44] и алгебраической редукции к суперпозиции ди-раковских матричных структур, коэффициенты разложения при которых в свою очередь представляются линейной комбинации минимального набора стандартных скалярных интегралов [45-46]. Необходимость сведения результата к "разложению" по скалярным интегралам диктуется технической стороной вычислений - компьютеры основную часть времени расчета тратят на вычисление интегралов, поэтому в мультипетлевых вычислениях для оптимального проведения расчета необходимо исключить повторение интегралов с идентичной структурой. 6. Предполагается , что п-точечная вершинная функция, Т п\ в амплитуду процесса входит с множителем і. К основным преимуществам данного подхода мультидиаграммных вычислений стоит отнести следующие основные положения: 1. Итоговый результат для наблюдаемой представлен в редуцированной аналитческой форме. Это позволяет провести пошаговый сравнительный анализ данных результатов с результатами предшественников. 2. Процедура сравнения результатов многократно упрощается и ускоряется, поскольку результат представляется в виде разложения по допустимым инвариантным матричным структурам и по минимальному набору скалярных интегралов (есть аналоги базиса в векторном пространстве). Данная процедура сводится к сопоставлению коэффициентов при одинаковых матричных структурах и (или) интегралах с идентичными аргументами. 3. В рамках настоящего подхода уже не нужно прибегать к процедурам тензорной, размерной и алгебраической редукции и, следовательно, отпадает необходимость в использовании дорогостоящего программного обеспечения для работы с символьными исчислениями. 4. Поскольку в численных расчетах основную часть времени занимает вычисление скалярных интегралов, то благодаря разложению результата по минимальному набору скалярных интегралов, время вычислений значительно сокращается. При этом необходимо лишь один раз предварительно просчитать все имеющиеся скалярные интегралы, а затем просто подставить в ВФ. 5. Простая и последовательная структура подхода, позволяет легко отобразить последний даже на примитивном языке программирования и т.о. построить новую компьютерную программу для мультидиаграмм-ных однопетлевых вычислений. Изложенный в предыдущем параграфе подход БДФ применен к расчету совокупности всевозможных однопетлевых диаграмм, дающих вклад в одно-, двух-, трех-, и четырехточечные ВФ. Расчет БДФ для каждого вида диаграмм Фейнмана будет выполняться согласно следующему плану действий: 1. Используя основные положения теории возмущений [123], стандартную технику диаграмм Фейнмана [121], а также обозначения иропа-гаторов и БДВФ (см. предыдущий параграф), построим всевозможные базисные однопетлевые диаграммы. Для контроля и подстраховки действий задействован пакет FeynArts [124-125]. 2. Затем используя правила Фейнмана, изложенные в предыдущем параграфе, строим соответствующее БДФ аналитическое выражение. 3. Используем стандартную технику тензорной [41], размерной [43] и алгебраической редукции результата для представления аналитического выражения для БДФ в виде суперпозиции дираковских матричных структур, где коэффициентами разложения являются линейные комбинации минимального набора скалярных интегралов. Первые две процедуры выполняются с помощью пакета FeynCalc [126], последняя - вручную. 4. Затем определяется перечень формул, задействованных как в построении исходного аналитического выражения (например для БДВФ), так и для представления редуцированного, итогового результата (например для скалярных интегралов). 5. Явное представление итогового результата. Отметим, что аналитическое выражение для любой диаграммы Фейнмана (из рассматриваемых) может быть сведено к линейной комбинации четырех основных скалярных интегралов AQ, В0, СО, D0. Однако сценарий представления результата в терминах указанных интегралов зависит как от величин квадратов и скалярных произведений 4-импульсов внешних частиц, так и от масс частиц петли. Поэтому единого рецепта редукции выражения к данным интегралам нет. И лишь на этапе конкретизации аргументов интегралов данная процедура становится возможной. Перейдем к рассмотрению одноточечных однопетлевых БДФ, определяющих вклад в соответствующую ВФ.
Расчет констант Хннн, Хнин, Хннн, Хннн в однопетлевом приближении
В главе 2, в рамках МССМ на основе анализа областей чувствительности было показано, что константы трехчастичных взаимодействий Xhhhi нпн характеризуются максимальными областями чувствительности к определению в элементарных процессах на е+е -коллайдерах.
Константа взаимодействия \ннн вызывает особый интерес, поскольку последняя характеризует ширину распада Г(# — hh), которая в низшем приближении представляется выражением (2.2). В работе [95] было показано, что данный распад определяет основную моду распада Я-бозона при малых значениях tg(3 ( 3) и 200 Мн 350 ГэВ. Было установлено, что если процессы парного рождения БХ на е+е - коллайдере реализуются через канал резонансного распада Я-бозона, то полное сечение процесса возрастает на порядок [89] и на 2 порядка в случае процессов парного рождения бозонов посредством глюонной аннигиляции на LHC [101].
Поскольку сечения этих процессов чувствительны к величине Г(Я — hh), то необходимо провести расчет Г(Я — hh) на более высоком уровне точности, чем древесный. Расчет ширины Г(Я — hh) в высших порядках теории возмущений (ТВ) неразрывно связан с вычислением констант трехчастичного взаимодействия, Xhhhi hihih \нн в соответствующем порядке ТВ.
Вычисление указанных констант, а также \JIHHI HAAI НАА В однопетлевом приближении и анализ их поведения были выполнены в рамках различных подходов. В рамках регюрмгруппового подхода, в работах [3G-39] были вычислены лидирующие однопетлевые поправки к константам, обусловленные вкладом t-кварка и его суперпартнеров, с иснользованием асимптотических выражений для скалярных интегралов. В рамках метода эффективного потенциала были вычислены лидирующие однонетлевые tt- поправки к константам в режиме decoupling (вновь задействована асимптотика скалярных интегралов) [96,159,160]. В рамках фейнмановско-го диаграммного подхода вычислены поправки, обусловленные как лишь вкладом tt-сектора [161], так и с учетом вклада 66-сектора [162] и в полном одноиетлевом приближении [47, 50] с использованием точных результатов для скалярных интегралов [45, 46]. Резюмируя проведенную работу, можно утверждать, что однопетлевые радиационные поправки к константам трехчастичиого взаимодействия с участием легчайшего БХ (h) могут быть весьма значительными в определенных областях пространства параметров МССМ и их учет существенно модифицирует итоговые результаты для наблюдаемых. При этом было показано, что однонетлевые 66- поправки являются существенными при больших tg/? и в общем случае должны быть приняты во внимание.
Ширина распада Г(Н — hh) была исследована как с учетом tt - поправок [96], с учетом tt, 66-поправок [162], так и в полном однопетлевом приближении [57], с использованием процедуры перенормировки [118, 119]. Показано, что данные поправки существенно увеличивают значения Г(# — hh), следовательно, увеличивая наши шансы в измерении \hhii Основной задачей данной части диссертации является вычисление в рамках ФДП шести констант трехчастичиого взаимодействия нейтральных бозонов Хиггса и парциальной ширины Г (Я —» hh) с учетом юкавских однопетлевых поправок, обусловленных как вкладами і, Ъ-кварков, так и вкладами с-кварка, т-лептона и их суперпартнеров с использованием новых точных результатов алгебраической редукции двух- и трехточечных скалярных интегралов [49, 52, 53, 63]. Учет TT- , ее-петель автор считает целесообразным, поскольку структуры юкавских констант 6-кварка и т-лентона идентичны (константы прямо пропорциональны массам частиц), а массы данных частиц и с-кварка одного порядка. Юкавскими вкладами других частиц будем пренебрегать, поскольку их массы много меньше масс указанных частиц. Интерес к поставленной задаче обусловлен анализом модификации потенциала Хиггса с учетом петлевых вкладов, не рассмотренных ранее, а также использованием для этих целей усовершенствованной схемы On-shell-перенормировки, представленной в главе 4.
Всякая константа трехчастичного взаимодействия нейтральных СР-четных БХ в однопетлевом приближении согласно (3.15) может быть представлена в следующем виде:
где ДЦ-константа в низшем приближении, определяемая системой (1.16),
{Тц.Л-совокупность одпопетлевых поправок, характеризующих петлевой вклад в константу, явный вид которых представлен в главе 3; 5Гф - контрчлен для соответствующей ВФ, для рассматриваемых четырех типов взаимодействий БХ явный вид последнего определен системой (4.19).
Для определения зависимости констант трехчастичного взаимодействия от массы рассматриваемого БХ необходимо вычислить последнюю в соответствующем порядке ТВ. Поскольку как и в случае констант, лидирующими однопстлевыми поправками к массам БХ являются юкавские поправки [36], то будем вновь принимать во внимание лишь t, b, с, т-петли.
Определим явный вид однопетлевых вкладов в одноточечную ВФ БХ /г, Я, характеризуемых диаграммами типа "головастик"(см. рис. 3.2.1-2) и представляющихся в виде где Tw,, и T2 si определяются (3.23), (3.24), соответственно, явный вид факторов для БДВФ представлен в приложении В. Значения масс ферми-онов СМ взяты из работы [163-164].
