Содержание к диссертации
Введение
2 Инстантон в непертурбативном вакууме КХД 7
2.1 Роль инстантонов в вакууме КХД 7
2.2 Стохастический вакуум и метод вакуумных корреляторов 8
2.3 Инфракрасная стабилизация инстантонов в непертурбативном вакууме 10
2.3.1 Эффективное инстантонное действие в фоновом глюонном поле 11
2.3.2 Однопетлевая перенормировка инстантона в непертурбативном вакууме 13
2.3.3 Прямое взаимодействие инстантона с непертурбативными полями 19
2.3.4 Численные результаты: распределение инстантонов по размерам 25
2.3.5 Зависимость Sdia и рс от функций D и D 30
3 Билокальный коррелятор в глюодинамике при конечной темпе ратуре в рамках модели разреженного инстантонного газа 32
3.1 Введение 32
3.2 Хромоэлектрический и хромомагнитный корреляторы при конечной температуре 34
3.3 Вклад калоронов в хромомагнитный коррелятор 35
3.4 Численные результаты 36
3.5 Обсуждение: структура вакуума глюодинамики при конечной температуре 39
4 Кварковый и глюонный конденсаты при конечной температуре 42
4.1 Введение 42
4.2 Термодинамика КХД в фазе конфайнмента 43
4.3 Зависимость масс адронов от массы тг-мезона и от температуры . 45
4.4 Конденсаты при Т ^ О 45
4.5 Обсуждение 49
5 Эффективный киральный лагранжиан в рамках метода ваку умных корреляторов 50
5.1 Введение 50
5.2 Вывод эффективного кирального лагранжиана 51
5.3 Массы псевдоскалярных мезонов 56
5.4 Функции Грина псевдоскалярных мезонов 59
5.5 Массы радиальных возбуждений 62
Заключение 65
Приложение 74
- Стохастический вакуум и метод вакуумных корреляторов
- Численные результаты: распределение инстантонов по размерам
- Хромоэлектрический и хромомагнитный корреляторы при конечной температуре
- Термодинамика КХД в фазе конфайнмента
Введение к работе
1.1 Актуальность темы
Квантовая хромодинамика (КХД) - это неабелева калибровочная теория, описывающая сильные взаимодействия. КХД успешно объясняет многие свойства сильных взаимодействий, такие как закономерности в спектре адронов и скей-линг в глубоко неупругом рассеянии лептонов. В 70-х годах были открыты явление асимптотической свободы и нетривиальные топологические свойства вакуума неабелевых калибровочных теорий. В настоящее время не вызывает сомнений, что именно сложная непертурбативная структура вакуума КХД ответственна за такие крайне важные свойства теории, как явления конфайнмента, т.е. певылетания цвета, и спонтанного нарушения игральной инвариантности.
В КХД при температуре около Т ~ 170 МэВ имеет место фазовый переход, при котором существенно меняются структура и свойства КХД вакуума. Выше температуры фазового перехода находится фаза деконфайнмента, в которой восстанавливается игральная симметрия. То, что фазовые переходы деконфайнмента и восстановления игральной инвариантности происходят при одной температуре, было недавно показано в расчетах на решетках.
Вакуум глюодинамики, т.е. теории без динамических кварков, в которой единственными динамическими полями являются поля глюонов, во многом обладает теми же свойствами, что и вакуум КХД. В частности, в глюодинамике также имеет место конфайнмент (т.е. закон площади для петли Вильсона). Поэтому изучение глюодинамики, как чисто теоретическое, так и в решеточных вычислениях, представляет собой очень важную и интересную задачу.
Существуют различные модели КХД вакуума, достаточно успешно описывающие его свойства. Среди хорошо разработанных моделей вакуума следует назвать модель инстантонной жидкости и модель стохастического вакуума.
Модель инстантонной жидкости была предложена в работах Шуряка [Nucl. Phys. В 203, 93 (1982); Phys. Rept. 115, 151 (1984)] и Дьяконова и Петрова (Nucl. Phys. В 245, 259 (1984)). В этой модели основными непертурбативными полями в вакууме КХД являются инстантоны и антиинстантоиы. Они достаточно хорошо разделены, так что средняя плотность псевдочастиц составляет п = 1 фм-4, в то время как средний размер инстантопов и антиинстантонов равен р = 0.3 фм. Таким образом, имеется малый параметр - отношение размера инстаптона к среднему расстоянию между псевдочастицами - pjR ~ 0.3. Плотность инстантонов такова, что инстантоны. и антиинстантоны дают, основной вклад в глюонный конденсат: ((G* ) ) = 327г2п. Инстантопный вакуум приводит к спонтанному нарушению игральной симметрии, с правильным значением глюонного конденсата {qq) = —— {Щ*у) — —(240 МэВ)3. В рамках этой модели естественным образом объясняется масса ^'-мезона. Принципиальным недостатком данной картины вакуума является невозможность объяснить конфайнмент. Кроме того, неясен механизм подавлеїшя шкт^н'йМйв'бЛЫйедз!
Т БИБЛИОТЕКА /
СПетер«ург ГІЛ X
размера, которое не удается объяснить только классическим взаимодействием между инстантонами.
Модель стохастического вакуума основывается на методе вакуумных корреляторов, который бьш предложен в работах Доша и Симонова [Phys. Lett. В 190, 177 (1987); Phys. Lett. В 205, 339 (1988); Nucl. Phys. В 307, 512 (1988)). В рамках данного метода КХД вакуум описывается в терминах калибровочно инвариантных вакуумных средних глюонных нолей - корреляторов. При этом предполагается гауссова доминантность, или стохастичность вакуума, т.е. считается, что основной вклад в физические величины дается низшим билокаль-ным коррелятором, а учет высших корреляторов приводит к небольшим поправкам. Данная модель вакуума позволяет успешно описать большое число явлений в КХД. Самым важным свойством модели является то, что конфайнмент естественным образом присутствует в такой картине вакуума, т.к. натяжение струны просто выражается через билокальный коррелятор о = \ J d?zD(z2).
Следует отметить, что общепринятого и полностью самосогласованного описания вакуума КХД до сих пор не существует. Таким образом, изучение структуры КХД вакуума и его непертурбативных свойств является важной и актуальной задачей.
1.2 Цели и задачи исследования
Развитие последовательного калибровочно-инвариантного метода вычисления эффективного действия для инстантона в непергурбативном вакууме. Изучение инфракрасного поведения инстантона в стохастическом вакууме.
Вычисление билокального коррелятора в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа, и сравнение с данными решеточных вычислений.
Вывод эффективного кирального лагранжиана при нулевой температуре в рамках метода вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Исследование свойств этого лагранжиапа.
Изучение зависимости глюонного и кваркового конденсатов во всей области температур от нуля до критической температуры в рамках модели адронного резонансного газа.
1.3 Научная новизна и практическая ценность работы
Развит калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного дей
ствия для инстантона в непертурбативном вакууме. Показано, что взаи
модействие с непертурбативным вакуумом приводит к инфракрасной ста
билизации инстантона по размеру. Вычислен средний размер ипстантона,
показано, что р — 0.2 -т- 0.3 фм. Найдена зависимость характерного размера инстантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в непертурбативном вакууме.
Вычислен билокальный коррелятор в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа в низшем порядке по плотности инстантонов. Показано, что корреляционная длина значительно уменьшается с ростом температуры.
Выведен эффективный киральный лагранжиан в рамках метода вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Показано, что для псевдоскалярных мезонов выполняются соотношения Гелл-Манна-Окса-Реннера. Вычислены массы радиальных возбуждений пионов и К-мезонов, и показано, что учет киральных эффектов является существенным, и приводит к поправкам порядка ~ 10%.
В рамках модели адронного резонансного газа получены температурные зависимости глюонного и кваркового конденсатов. Показано, что при критической температуре одновременно обращается в нуль кварковый конденсат, и "испаряется" примерно половина глюонного конденсата (хромо-электрическая компонента). Показано, что плотность энергии при температуре деконфайнмента равна примерно є(Тс) ~ 1 ч- 1.5 ГэВ/фм3. При учете температурного сдвиг адронных масс критическая температура в КХД равна Тс а 190 МэВ.
Положения, выносимые на защиту
Вывод эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме. Инфракрасная стабилизация инстантона по размеру за счет взаимодействия со стохастическими полями в непертурбативном вакууме. Вычисление распределения инстантонов по размеру и среднего размера ин-стаптоиов, р = 0.2 -f- 0.3 фм.
Вычисление вклада разреженного инстантонного газа в билокальный коррелятор при конечной температуре. Сравнение зависимости корреляционной длины в инстантонном газе с решеточными данными, и обсуждение вопроса о плотности инстантонов и структуре вакуума.
Вывод эффективного кирального лагранжиана в методе вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Изучение свойств этого лагранжиана, и вычисление масс псевдоскалярных мезонов и их радиальных возбуждений.
Изучение зависимости глюонного и кваркового конденсатов от температуры в модели адронного резонансного газа. Обсуждение явления магнитного конфайнмента и плотности энергии в точке фазового перехода.
1.5 Апробация работы и публикации
Результаты диссертации докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, на международных конференциях "Quark Confinement and the Hadron Spectrum" (Каргано, Италия, 2002), 10-й (2001) и 11-й (2003) Ломоносовских конференциях по физике элементарных частиц (Москва, Россия) и "Hadron'2003" (Ашаффен бург, Германия, 2003). Результаты опубликованы в 8 научных работах.
1.6 Структура и объем диссертации
Стохастический вакуум и метод вакуумных корреляторов
В этой главе рассматривается отдельный инстантон в фоновом непертурбатив-ном поле. Фоновое поле будем описывать в рамках стохастического вакуума, т.е. с помощью калибровочно инвариантных вакуумных средних глюонных полей (корреляторов): - это оператор параллельного переноса, который необходим для сохранения калибровочной инвариантности. Как обсуждалось во введении, стохастический вакуум означает гауссову доминантность, т.е. предполагается, что для вычисления физически наблюдаемых величин достаточно учета билокального коррелятора, а поправки, возникающие за счет учета высших корреляторов, невелики [33, 20]. Билокальный коррелятор, тензорная структура которого следует из антисимметрии по лоренцевым индексам, в наиболее общем виде записывается как к» = ЧІ\А = (х - У)ц/\я -у\ единичный вектор, (G2) ЕЕ {g2G G u} и, как следует из условия нормировки, D(0) + D(0) = 1. Связь функций D(z) и D(z) с функциями, входящими в стандартную параметризацию билокального коррелятора [19, 20, 34, 35], приведена в Приложении I. Функции D{z) и D(z) содержат как пертурбативный, так и непертурбатив-ный вклады. Далее мы не учитываем пертурбативную часть, т.к. она будет учтена в однопетлевой перенормировке инстантона в фоновом поле (в величине S n). Основными источниками данных о непертурбативных составляющих этих функций являются результаты численных расчетов на решетке. Значение глюонного конденсата {G7} также определяется из решеточных данных, но кроме того, существует оценка этой величины из анализа спектра чармония на основе правил сумм КХД {G2) 0.5 ГэВ4 [36]. Согласно данным решеточных расчетов, функции D(z) и D[z) экспоненциально убывают D{z) = A0exp(—z/Tg), D(z) = A\zexT[)(—z/Tg)/Tg, где Тд - радиус корреляции, значение которого было измерено на решетке [35, 37] и оценено аналитически [38] и равно Тд 0.2 фм. Кроме того, в соответствии с решеточными измерениями Лі ; А0 (Ai AQ/10). Данные решеточных расчетов из статьи Ди Джиакомо [34] приведены в Таблице 1. SU(3) full относится к хромодинамике с 4 кварками, a SU{2) и С/(3) quenched - к чистой SU(2) и 5(7(3) глюодинамике.
Билокальный коррелятор также измерялся на решетке без использования процедуры охлаждения [37], и для корреляционной длины было найдено значение около 0.1 — 0.2 фм (в приближении, когда не учитываются динамические кварки). Значение (G2) = 1.02 ± 0.1 ГэВ4, полученное Нарисоном [39] на основе правил сумм, находится в хорошем согласии с решеточными вычислениями [35] глюонного конденсата, (С?2) = 0.87 ГэВ4, для 5(/(3) QCD. Поскольку полностью самосогласованной картины инстантонного вакуума не существует, и что самое важное, в рамках инстантонного вакуума невозможно объяснить конфайнмент, естественно предполагать, что кроме квазиклассических инстантонов в вакууме существуют другие непертурбативные поля. Эти поля ответственны за различные непертурбативные явления, и в частности, за конфайнмент. В данной главе показывается, что учет взаимодействия с непер-турбативным вакуумом решает проблему инфракрасного раздувания инстантонов. В работе [40] было рассмотрено взаимодействие инстантона малого размера, р 0.2 фм, с длинноволновыми глюонными флуктуация ми, которые описываются локальным вакуумным конденсатом {(gG )2), Было показано, что влияние таких полей приводит к еще более быстрому росту плотности инстантона с увеличением его масштаба р. С другой стороны, изучение инстантонов в стохастическом КХД вакууме, параметризуемым нелокальными калибровочно-инвариантными вакуумными средними напряженности глюонного поля {\,iGiii,{x) {xty)G fx{y) {y ))i где Ф(х,у)- оператор параллельного переноса, было начато в [41, 42]. Было показано, что в НП вакууме меняется стандартная теория возмущений и нелокальное взаимодействие инстантона большого размера (р 1 фм) с непертурбативным фоновым полем не ведет к его инфракрасному раздуванию [42].
В данной главе последовательно развивается калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для инстантона в НП вакууме [43]. Показано, что инстантон существует как стабильная топологически нетривиальная полевая конфигурация с характерным размером рс. Значение рс функционально определяется свойствами бил охального коррелятора непертурбатив-ных полей (trG(x)Q(x,y)G(y) b(y,х)), т.е. параметрически двумя величинами: (G2) - значением глюонного конденсата и "мерой его неоднородности" Тд - корреляционной длиной в конденсате. Следует отметить, что в рамках данного подхода невозможно ответить на вопрос о распределения инстантонов в 4-Евклидовом пространстве, т.е. на вопрос о плотности инстантонов N/V. Данный вопрос подробно обсуждается в главе 3. Тем не менее ясно, что с учетом того, что глюонный конденсат насыщается не только инстантонами, но и остальными непертурбативными флук-туациями, следует ожидать, что плотность инстантонов должна быть меньше, чем в модели инстантониой жидкости N/V 1 фм-4.
Численные результаты: распределение инстантонов по размерам
Численные результаты для S a приведены на Рис. 3. Три кривые соответствуют S s(p), S (p) и Sen(p) = S (p) + S$f(p) в случае 1/(3) глюодинамики, при (G2) = 1.0 ГэВ4 и Тд = 0.3 фм. В Таблице 2 приведены значения рс для различных величин (G2) и Тд в случае 5(/(3) глюодинамики. Значения рс для КХД с N/ = 2 представлены в Таблице 3. Дифференциальная плотность инстантонов dnjSzdp ехр(—5ея) и соответствующие решеточные данные [10] показаны на Рис. 4. Все графики нормированы на общепринятую инстантонную плотность 1 фм-4. Размер инстантона p 1/3 фм был впервые получен в численных расчетах на решетке в работе [49]. Следует отметить, что решеточные расчеты в течение последних лет давали различные результаты (см. конференции [50]). Различные группы совпадают между собой в вычислении размера инстантона с точностью до множителя 2, например р = 0.3...0.6 фм для SU(Z) глюодинамики. В отношении плотности N/V согласие отсутствует полностью. Таким образом, полученный результат для рс находится в согласии с феноменологическим значением р и решеточными данными. Более того, мы можем привести физические аргументы для объяснения существующих расхождений с некоторыми решеточными группами, дающими большие, чем феноменологические, значения размера инстантона. Решеточные вычисление включают в себя процедуру охлаждения, в ходе которой отбрасываются некоторые решеточные конфигурации глюонного поля. Эта процедура может привести к изменению глюонного конденсата (G2), и поэтому распределение инстантонов по размерам вычисляется при значении глюонного конденсата {G2)co0i, которое отличается от физического значения (С2). Следует отметить, что неохлажденное распределение инстантонов по размерам изучалось в работе [51], где авторы ввели новую масштабную переменную ("радиус охлаждения"), которая помогает выделить информацию о неохлажденном распределении. На Рис. 5 показана зависимость рс от (G2) при нескольких значениях Тд.
Можно видеть, что увеличение (G2) приводит к уменьшению размера инстантона, и этот эффект является следствием нелокального "диамагнитного" взаимодействия инстантона с непертурбативными полями. На Рис. 6 приведена зависимость рс от Тд для нескольких значений {G2}. Чем меньше значение Тд, тем больше размер инстантона. Физически ясно, что менее скоррелированные непертурбативные поля (Тд — 0) оказывают меньшее воздействие на инстан-тонную конфигурацию, занимающую 4-мерный Евклидов объем с характерным размером р (p S Тд). С другой стороны, пертурбатшшые квантовые флуктуации стремятся раздуть инстантон, и поэтому рс увеличивается при уменьшении Т 1д При вычислении эффективного действия было использовано кластерное разложение, и были оставлены только первые два слагаемых разложения. Можно оценить лидирующие слагаемые в кластерном разложении, и рассмотреть, к ка ким изменениям приведет учет следующих членов кластерного разложения. Из численных расчетов следует, что доминирующими в области р рс являются слагаемые Sdia, 55 L. з Ііа и Т-Д- Суммируя их, получаем Sdia+ ia+iSdU+.. . = — ln(l — Sdia)- Таким образом, учет следующих членов кластерного разложения не только сохраняет инфракрасную стабилизацию, но даже приводит к некоторому уменьшению рс. Таким образом, предложенная модель описывает физику стабилизации отдельного инстантона в непертурбативном вакууме не только качественно, но и количественно с неплохой точностью. Рассмотрим к каким численным изменениям в эффективном действии приводит учет функции D(z) в билокальном корреляторе (2.2.1). Как было показано выше, нелокальное "диамагнитное" взаимодействие приводит к стабилизации инстантона с ростом р. Соответственно, рассмотрим поправки к S , возникающие при учете D и при выборе экспоненциальной параметризации бил окал ьного коррелятора.
Исходя из выражений (2.3.66)-(2.3.69), с учетом (А.6) получаем для dia (вместо (2.3.73)): Ha Рис. 7 приведены графики для Sdia вычисленного по формулам (2.3.73)-(2.3.77) и (2.3.82). Видно, что различие очень незначительно, и поэтому наше приближение, когда мы пренебрегаем D(z) по сравнению с D(z)7 вполне оправдано. На Рис. 7 также приведен график для S jia, вычисленного в предположении что D(z) = е Тз и D{z) = 0. Очевидно, что конкретный вид функции D{z) Рис. 7: dia с учетом (пунктирная линия) и без учета (сплошная линия) D(z). Штрих-пунктирная линия - Sa\& ПРИ D(z) = ехР{ !-г1/ } не оказывает значительного влияния на результат. Необходимо только, чтобы она была монотонно убывающей с характерной длиной корреляции Тд.
Хромоэлектрический и хромомагнитный корреляторы при конечной температуре
Хромоэлектрический и хромомагнитный корреляторы при конечной температуре Калибровочно-инвариантные двухточечные корреляторы напряженности поля в глюодинамике определяются следующим образом: где F = F%t\ и - это оператор параллельного переноса вдоль прямой линии, соединяющей точки xuy;z = x — у. Бил окал ьный коррелятор определяется двумя независимыми функциями: При конечной температуре (которая в теории поля определяется как периодические или антипериодические граничные условия для полей вдоль временной оси ф(х,і) = ±0(х, t + P), Р = 1/Г) естественно рассматривать отдельно электрический и магнитный корреляторы, которые выражаются через четыре независимые функции DE(x2), Df(x2), DB(x2) и Df(x2): В случае вычисления этих корреляторов на самодуальном поле, очевидно, Df = Df = 0, DE = DB (см. [53]). Поэтому достаточно рассматривать только хромо-магнитный коррелятор. Поле инстантона с центром в начале координат в сингулярной калибровке имеет вид: где х = (г,т). Данное выражение легко обобщается на случай цепочки инстан тонов, расположенных вдоль временной оси, т.е. калорона [68]: Напряженность поля калорона имеет вид: 9з Ір\дг) ЇІдг2 +гїідг Хромоэлектрическое поле равно хромомагнитному в силу самодуальности поля калорона F = FM„. Далее необходимо вычислить оператор параллельного переноса на калороне: Имея в виду сравнение с данными вычислений на решетках, будем рассматривать случай 24 = 0. Тогда: Ф(х, у) = Рехр (-ita J ds [nZjZid, In П + 7. In П] ) . (3.3.5)
В общем случае необходимо вычислять упорядоченный вдоль пути интеграл, однако существуют частные случаи, когда показатель экспоненты при различных $ коммутирует, и интеграл сводится к вычислению обычной экспоненты. Очевидно, это имеет место при т = 0, т = Р/2 и т = /?, т.к. $4 1пП(г,т = 0; /3/2; 0) = 0. Другим случаем является поле одного инстантона, т.к. д\ In nin3t = т(1/г)(01пПіп"70г). Для вычисления вклада разреженного газа калоронов в двухточечный коррелятор в низшем по плотности приближении необходимо вычислить вклад одного калорона, и усреднить по его положению, или, что то же самое, усреднить по у при фиксированном z = х — у. Усреднение по у сводится к интегралу f d y = fd?yf0 dy4. Усреднение по трехмерному вектору у не вызывает трудностей, а интеграл по у І вычислить не удается, т.к. в силу сказанного выше коррелятор может быть численно определен только при г = 0,/3/2,/?, Тем не менее, как будет видно из сравнения со случаем одного инстантона, при низких температурах достаточно вычисления при т = 0, а при высоких температурах корреляционные длины при г = 0 и г = 0/2 совпадают, так что усреднение по т тривиально. Определим функции d и d\. где Z4. = 0, и функции d и di зависят от z2 и у4 = т: d = rf(r,22);di = di(r, z2). Усредняя по г/4 имеем: f dTd{r,z2) = DB(z2)t Jo 4тГ2 j drd1(r,z i) = Df(z2) = 0t Jo DB(z2 = 0) = -. (3.4.2) Последнее равенство следует из того, что д2 j d?yfQ dy ( ) = 32тг2 (в силу самодуальности поля этот интеграл пропорционален топологическому заряду JdtyFF). Определим корреляционную длину Лт как коэффициент в показателе экспоненты, наиболее хорошо аппроксимирующей функцию d(r, z2):
Как обсуждалось выше, мы будем вычислять только d(r = 0, г2) и d(r = Р/2, гг). Однако, этой информации достаточно, чтобы определить корреляционную длину функции DB(z2). Действительно, усреднение по т показывает, что нормированные на 1 функции d{r = 0,z2)/d{r = 0,22 = 0) и DB{z1)jD {z2 = 0) практически совпадают. Дело в том, что инстантон - это хорошо локализованная полевая конфигурация, и его поле быстро спадает при удалении от его центра. Это проиллюстрировано на рис. 8, где показана функция rfnst(r, z2),
Термодинамика КХД в фазе конфайнмента
Мы будем рассматривать КХД с двумя легкими кварками. Тогда, зная давление в адронной фазе, Рь{Т), и используя соотношение Гелл-Манна-Окса-Реннера (ГОР), можно найти температурную зависимость кваркового конденсата: где FTC = 93 МэВ есть аксиальная константа распада тг-мезона. Выражение для глюонного конденсата (С?2)г = {(? у)2)г было получено в [78] исходя из ренормгруппового рассмотрения аномального вклада в след тензора энергии-импульса в КХД с Nf = 2 при конечной температуре. Связь глюонного конденсата с термодинамическим давлением в КХД имеет БИД [78] здесь Ь = 11ЛГе/3 - 2Л7/3 = 29/3, (G2)0 = 0.87 ГэВ [39]. При выводе (4.2.2) использовались низко-энергетические теоремы КХД [79] и соотношение ГОР, связывающее массу легкого кварка с массой тг-мезона. Выражения для {щ)т и {G2)T В КХД с Nf = 3 получены в [80]. Таким образом, зная давление Р как функцию температуры и массы тг-мезона, можно найти температурные зависимости кваркового и глюонного конденсатов в адронной фазе. Для описания термодинамики КХД в фазе конфайнмента используется модель адронного резонансного газа. В данном подходе термодинамические свойства системы определяются суммарным давлением релятивистских Бозе и Ферми газов, описывающих тепловые возбуждения массивных адронов. Главная мотивация использования данного подхода состоит в том, что в рассмотрение включены все существенные степени свободы сильно взаимодействующей материи. Более того, использование адронного резонансного спектра эффективно учитывает взаимодействие между стабильными частицами. Кроме того, описание множественного рождения частиц при столкновении тяжелых ионов в рамках адронного резонансного газа [81] приводит к хорошему согласию с экспериментальными данными. Давление в фазе конфайнмента записывается в виде
При численных расчетах учитывались адронные состояния с массами до 2 + 3 ГэВ. Более тяжелые состояния во-первых, очень широкие, и их нельзя рассматривать как частицы с определенными массами, и во-вторых, их вклад в давление и другие термодинамические характеристики экспоненциально подавлен, и пренебрежимо мал при температурах Т Тс 190 МэВ. Для количественного изучения конденсатов в фазе конфайнмента необходимо знать зависимость давления / от массы легкого кварка (в случае N/ = 2), или, что то же самое, от массы 7г-мезона. В рамках модели адронного резонансного газа это эквивалентно знанию зависимости масс всех резонансов от массы легкого кварка. Данная зависимость изучалась численно в решеточных расчетах, и в работе [82] была предложена пяти-параметрическая формула, инспирированная моделью мешков, которая при определенном выборе параметров хорошо описывает массы всех рассмотренных авторами [82] частиц физическая масса адрона, Nu - число легких кварков (Nu = 2 для мезонов, Nu = 3 для барионов), а = (0.42 ГэВ)2 - натяжение струны. Далее, необходимо учитывать, что с увеличением температуры меняются массы адронов. В рамках конечно-температурной конформно-обобщенной нелинейной сигма модели с легкими и массивными адронами [83] было показано, что температурный сдвиг масс адронов можно учесть с помощью замены сравнению с остальными частицами зависимость массы тг-мезона является проявлением его Гольдстоуновской природы. В киральном пределе, mq — 0, приведенное соотношение для масс адронов является строгим следствием низко-энергетических теорем КХД [79].
Формулы (4.2.1)-(4.3,2) определяют термодинамические свойства системы в ад-ронной фазе и позволяют вычислить кварковый и глюонный конденсаты во всей области температур ниже критической Тс. Мы учитываем все адронные состояния с массами ниже 2.5 ГэВ для мезонов и 3.0 ГэВ для барионов. В общей сложности, это составляет 2078 состояний (с учетом факторов вырождения &). Ясно, что при температурах ниже массы пиона, Т mx = 140 МэВ, главный вклад в термодинамические величины будут давать тепловые возбуждения тг-мезонов, т.к. остальные состояния значительно тяжелее, и экспоненциально подавлены Больцмановским фактором ос ехр{— mhjT}. Однако, при Т тж большое количество тяжелых состояний начинает оказывать существенное влияние на термодинамику системы. На Рис. 12 вклад пионов показан штрих-пунктирной линией. Видно, что действительно до температуры Т = 120 МэВ пионы дают основной вклад в Р . При более высоких температурах главный вклад в давление определяется всеми остальными адронными состояниями. На Рис. 12 также показаны решеточные данные [84] для давления Р в КХД с Nf = 2. Видно, что в области температур Т Тс модель адронного резонансного газа с учетом температурного сдвига масс правильно описывает рост давления с температурой. На Рис. 13 приведена плотность энергии є как функция температуры. Значение 1 ГэВ/фм3, соответствующее оценкам плотности энергии при кварк-адрон-ном фазовом переходе, достигается при Т с 175 МэВ, т.е. в области температуры фазового перехода, полученной в решеточных вычислениях [85]. На Рис. 14 и Рис. 15 приведены зависимости кваркового и глюонного конденсатов от температуры, Важно, что кварковый конденсат обращается в нуль при той же температуре, при которой испаряется половина глюонного конденсата, и это значение при учете температурного сдвига адронных масс есть Г 190 МэВ. Строго говоря, необходимо самосогласованно (с использованием эффективного дилатоиного лагранжиана при Т ф 0) находить температурный сдвиг глюонного конденсата с учетом сдвига адронных масс (см. [83]). Однако, численные расчеты показывают, что вплоть до температур Т mfl глюонный конденсат уменьшается очень слабо и при Т = mw, A(G2)T « 0.02{G2)o- С ростом температуры, Т 77, глюонный конденсат резко падает и в достаточно узком температурном интервале, AT 50 МэВ, происходит основное изменение глюонного конденсата на величину 50%. Соответственно, мы приводим численные расчеты с температурным сдвигом адронных масс на 16% (хт/хо = 0-84 — (0.5)1 4).
