Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Неминимальная теория Эйнштейна—Янга-Миллса 12
1.1 Краткий обзор 12
1.2 Общий формализм 16
1.2.1 Историческая справка 16
1.2.2 Основные определения 18
1.2.3 Минимальная теория Эйнштейна-Янга-Миллса 21
1.3 Неминимальное обобщение лагранжиана 22
1.3.1 Конструкция лагранжиана взаимодействия 22
1.3.2 Примеры однопараметрических моделей 27
1.3.3 Тензор энергии-импульса в неминимальной теории . 29
1.3.4 «Эффект Чеширского кота» в неминимальной теории . 31
1.3.5 Эффективные метрики в неминимальной теории Эйнштейна-Янга-Миллса 37
Глава 2. Точные решения в сферически симметричном случае 38
2.1 Сферически симметричная модель 38
2.1.1 Метрика пространства-времени 39
2.1.2 Сферически симметричное калибровочное поле 40
2.2 Неминимальный монополь Ву-Янга 43
2.2.1 Точные решения уравнений Янга-Миллса 43
2.2.2 Точные решения уравнений гравитационного поля . 45
2.2.3 Заключение 51
2.3 Поле точечного электрического заряда 52
2.3.1 Анзац для калибровочного поля 52
2.3.2 Уравнения Эйнштейна для случая точечного электрического заряда 54
2.3.3 Точно интегрируемые модели 55
2.4 Асимптотические решения в случае точечного диона 57
2.4.1 Калибровочное поле диона 58
2.4.2 Решения системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса . 59
Глава 3. Кротовые норы в неминимальной теории Эйнштейна- Янга-Миллса 61
3.1 Введение 61
3.2 Точные решения без центра в статических моделях со сферической симметрией 62
3.3 Неминимальная кротовая нора Ву-Янга 67
3.4 Заключение 71
Глава 4. Космологические модели в неминимальной теории Эйнштейна-Янга—Миллса 74
4.1 Введение 74
4.2 Обобщённое условие самодуальности 75
4.3 Неминимальные модели с нулевой индукцией 76
4.4 Примеры точных решений 78
4.5 Заключение 81
Глава 5. Оптические и цветные метрики в пространстве с неминимальным монополем 83
5.1 Введение 83
5.2 Ключевые уравнения и фоновые поля 84
5.3 Электродинамическое описание динамики фотонов 86
5.3.1 Приближение геометрической оптики 87
5.3.2 Оптические метрики 91
5.4 Динамика фотонов 92
5.4.1 Траектории фотонов 94
5.4.2 Численное моделирование траекторий фотонов 97
5.5 Заключение 99
Основные результаты и выводы 101
Литература 104
- Историческая справка
- Тензор энергии-импульса в неминимальной теории
- Сферически симметричное калибровочное поле
- Точные решения без центра в статических моделях со сферической симметрией
Введение к работе
Актуальность работы
Неминимальная теория поля (скалярного, векторного и тензорного) приобрела в последние два десятилетия особую актуальность, и в подтверждение тому можно привести четыре аргумента. Во-первых, крупнейшее открытие последних лет в области космологии — ускоренное расширение Вселенной — потребовало введения новой экзотической субстанции, так называемой «тёмной энергии»; неминимальная теория поля, основанная на введении взаимодействия известных физических полей с кривизной, является альтернативным подходом и также способна объяснить данный космологический феномен. Во-вторых, при исследовании объектов с нетривиальной топологией, таких как кротовые норы, возникает необходимость введения субстанций с экзотическим уравнением состояния, например, фантомного поля; и в этом случае неминимальная теория поля способна представить достойную альтернативу. В-третьих, появились явные примеры того, что проблема сингулярностей, возникающих в теориях гравитации, может быть решена в рамках неминимальной теории поля. Наконец, по справедливому замечанию Р. Фейнмана, нелокальное расширение теории поля неминуемо приводит к учёту взаимодействия физических полей с кривизной, что является краеугольным камнем неминимальной теории поля.
В настоящий момент неминимальная теория поля представлена хорошо разработанными абелевыми моделями взаимодействия скалярного и электромагнитного полей с кривизной пространства-времени. Актуальной проблемой становится расширение идей и методов абелевой неминимальной теории поля на случай неабелевых взаимодействий. Настоящая работа посвящена изучению неминимальной теории Эйнштейна-Янга-Миллса как одного из фрагментов общей неминимальной неабелсвой теории поля.
Цели и задачи диссертационной работы
Целью диссертационной работы является построение неминимальной трёхпа-раметрической модели Эйнштейна-Янга-Миллса, изучение её общих свойств и поиск точных решений уравнений гравитационного и калибровочного полей.
В диссертационной работе решаются следующие задачи:
1) Вывод модифицированной самосогласованной системы уравнений гравитационного и калибровочного полей с учётом неминимального взаимодействия.
2) Исследование структуры и свойств эффективного тензора энергии-импульса калибровочного поля в трёхпараметрической неминимальной модели.
3) Получение и исследование точных статических сферически симметричных решений, описывающих гравитационное и калибровочное поля точечных магнитных монополей, электрических зарядов и дионов.
4) Построение и изучение свойств точных решений, описывающих кротовые норы, поддерживаемые сферически симметричным магнитным полем, неминимально взаимодействующим с кривизной.
5) Исследование точных космологических решений в неабелевых неминимальных моделях с отличной от нуля космологической постоянной.
6) Приложение неминимальной теории к исследованию траекторий безмассовых пробных частиц в окрестности гравитирующего центра, при на личии неминимального взаимодействия между гравитационным полем и калибровочным полем, описывающим данную частицу.
Научная новизна
В диссертации получены следующие новые результаты:
1) Найдено новое точное решение самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, являющееся неминимальным трёхпарамет-рическим обобщением решения для монополя Ву-Янга. Предъявлено однопараметрическое семейство решений, для которого метрика гравитационного поля, создаваемого магнитным монополем, не имеет сингу-лярностей.
2) Получены новые точные решения для неминимального монополя Ву-Янга в модели Драммонда-Хатрелла, характеризующиеся регулярной метрикой и одним, двумя или тремя горизонтами в зависимости от величины параметра неминимального взаимодействия.
3) Впервые для неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса получено точное решение, описывающее проходимую кротовую нору, поддерживаемую сферически симметричным калибровочным полем магнитного типа.
4) Впервые получены космологические решения в неминимальной самосогласованной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с неабелевым калибровочным полем. Для указанных решений метрика пространства-времени совпадает с метрикой де Ситтера, тензор индукции калибровочного поля тождественно равен нулю при отличной от нуля напряжённости поля.
5) Динамика безмассовых частиц в окрестности неминимального монополя Ву-Янга с регулярной метрикой исследована с двух позиций: аналитически построены эффективные (цветные, оптические) метрики и численно
смоделированы траектории частиц для различных значений прицельного параметра. Благодаря этому установлено, что сингулярности в эффективных метриках имеют динамический характер и связаны с точками возврата и самопересечения траекторий.
Достоверность результатов диссертации
Достоверность результатов обеспечивается тем, что в диссертации рассматриваются точные решения полной самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса. Найденные решения проверены с помощью программы аналитических расчётов Maple V Release 4. Достоверность выводов и научных положений диссертации подтверждается согласием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях.
Научные положения, выносимые на защиту
1) Полученное в работе трёхпараметрическое семейство точных решений самосогласованной системы неминимально модифицированных уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, определяемое параметрами неминимального взаимодействия qi, (/2, 3 и представляющее собой неминимальное обобщение сферически симметричного решения, известного как монополь Ву-Янга, содержит однопараметрическое подсемейство решений с регулярной метрикой, не содержащей горизонтов.
2) Среди точных решений в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с одним, двумя, тремя и более горизонтами существуют классы регулярных решений (например, в обобщённой модели Драммонда-Хатрелла) и решения, имеющие сингулярности различных типов (модели с q\ = 0, с/з = — 4г/2 с магнитным зарядом, модели с q\ + 2 = 0, q$ = О и 3 7i + qi2 = 0) 3 = 0 с электрическим зарядом, модель с с/2 = 7з = 0 для диона).
3) Сферически симметричное калибровочное поле магнитного типа при специальном выборе параметров неминимального взаимодействия gi, q 7з обеспечивает существование проходимых кротовых нор. Данные кротовые норы обладают положительной асимптотической массой, которая зависит от радиуса горловины кротовой норы и ограничена снизу значением, соизмеримым с планковской массой.
4) Неминимально самодуальное неабелевое калибровочное поле с нулевой индукцией и отличной от нуля напряжённостью обеспечивает формирование регулярной изотропной космологической модели Вселенной десит-теровского типа.
5) Неминимальное взаимодействие собственного калибровочного поля пробных безмассовых частиц с гравитационным полем неминимального монополя Ву-Янга вызывает эффект, аналогичный двойному лучепреломлению в оптике, и приводит к появлению точек возврата и самопересечения в траекториях частиц. Неминимальный монополь Ву-Янга играет роль рассеивающего центра для потока безмассовых частиц с раз-,-личными значениями прицельного параметра.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике, посвященной 90-летию со дня рождения проф. К.П. Станюковича (Москва, 2006), XIII Международной конференции «Физические интерпретации теории относительности» (Москва, 2007); семинарах отдела теоретической физики Констанцкого университета (Констанц, Германия, 2006), кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедры геометрии Татарского государственного гуманитарно педагогического университета, итоговых научных конференциях КГУ (2006, 2007 гг.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, среди которых три статьи [46,48,49] опубликованы в зарубежных журналах (Physics Letters В, Physical Review D), одна статья [43] в российском журнале в российском журнале «Гравитация и космология» (Gravitation and Cosmology), три статьи [8-Ю] в трудах конференции и две — в архиве электронных препринтов библиотеки Корнеллского университета (http://arxiv.org) [47,52].
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 122 страницы. Список литературы содержит 160 наименований.
Глава 1 посвящена построению трёхпараметрической неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с лагранжианом взаимодействия, линейным по компонентам тензора кривизны и квадратичным по компонентам тензора, напряжённости калибровочного поля, анализу структуры и свойств модифицированных уравнений гравитационного и калибровочного полей.
В главе 2 рассматриваются примеры статических сферически симметричных решений в неминимальной теории, в частности в § 2.2 получено точное решение, представляющее собой трёхпараметрическое неминимальное обобщение монополя Ву-Янга.
Глава 3 посвящена изучению кротовых нор в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса, в § 3.3 построен пример такого решения.
В главе 4 рассматриваются изотропные космологические неминимальные модели. Получены точные решения самосогласованной системы неминимальных уравнений Эйнштейна и Янга-Миллса с нулевой индукцией калибровочного поля, для которых напряжённость поля Янга-Миллса отлична от нуля.
Глава 5 посвящена исследованию уравнения эйконала в рамках модели с регулярной фоновой метрикой, описывающей неминимальный магнитный монополь Ву-Янга без горизонтов. Построены оптические и цветные метрики, демонстрирующие наличие эффекта двойного лучепреломления, индуцированного неминимальным взаимодействием гравитационного поля монополя и собственного калибровочного поля пробной частицы.
В заключении перечислены основные результаты диссертации.
Соглашения и обозначения, принятые в диссертации
Во всей диссертационной работе приняты следующие соглашения. Латинские индексы из середины алфавита (г, j, к,...) принимают значения 0, 1, 2, 3 и используются для обозначения координат в пространстве-времени. Сигнатура метрики, знаки тензоров Римана и Риччи, скалярной кривизны совпадают с использованными в книге Ландау и Лифшица [12]. А именно, sigll( A-) = ( + , -, -, -) иг _ a -ni _ Q -пі і -пі -рР _ у і пР JL ктп — vmi. f.n uni km T J- pmi- kn J- pni- km , Rkn — R kin ) R — Rf: Везде, где это не оговорено особо, используется планковская система единиц, в которой h—G — c= 1.
Историческая справка
Основу теории калибровочных полей составляет принцип локальной (калибровочной) инвариантности. Этот принцип впервые был использован Г. Вейлем в 1918 году для геометрического описания электромагнитного поля в рамках своей объединённой модели гравитации и электромагнетизма [156], где он ввёл электромагнитное поле из требования инвариантности теории от? носительно локальных, то есть зависящих от точки, растяжений интервала. Впоследствии было показано, что все уравнения теории поля можно сделать инвариантными относительно локальных фазовых преобразований абелсвой группы /7(1), вводя электромагнитное поле в соответствующие уравнения. Кардинальный шаг сделали Ч. Янг и Р. Миллс в 1954 году, обобщившие метод Вейля на неабелеву группу SU(2). В их работе [159] осуществлена попытка построить теорию сильных взаимодействий, опираясь на принцип инвариантности относительно локальных вращений изотопического спина, то есть на неразличимость протонов и нейтронов во всех точках пространства-времени, в отсутствие электромагнитного поля. При этом, для того чтобы обеспечить калибровочную инвариантность лагранжиана системы, потребовалось введение дополнительного компенсирующего поля (так называемого 6-поля), кванты которого являются переносчиками взаимодействия. Этот подход был позднее развит Р. Утиямой в [149], где были получены уравнения динамики для калибровочного поля, соответствующего заданной группе симметрии. В ней была сделана, также, попытка получить уравнения Эйнштейна, исходя из калибровочного принципа. Позднее калибровочная теория была переформулирована на языке расслоенных пространств (см., например, обзор [77]), что позволило для анализа её решений и ряда других проблем применить мощный аппарат дифференциальной геометрии и алгебраической топологии.
Динамика калибровочных полей описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Поэтому получение точных решений этих уравнений само по себе является большой проблемой. Первое точное решение уравнений поля в теории Янга-Миллса, известное в литературе, было получено Икедой и Миячи в 1962 году [101]. Оно представляло собой обобщение кулоновского потенциала на случай калибровочной группы SU(2).2 Спустя семь лет By и Янг построили первое решение монопольного типа [158]. Монополь Ву-Янга имеет особенность в начале координат. Однако, в отличие от монополя Дирака [81] в электродинамике, он не содержит нефизической нити сингулярности (дираковской струны).
Общей особенностью описанных выше решений является то обстоятельство, что все они эффективно абелевы, то есть с помощью соответствующего калибровочного преобразования можно обратить в нуль все коммутаторы в уравнениях поля, и, следовательно, эти решения являются простыми обобщениями /7(1)-симметричных решений в электродинамике Максвелла. Впервые неабелсвые решения в теории Янга-Миллса в евклидовом пространстве (ин-стантоны) были получены Белавиным, Поляковым, Шварцем и Тюпкиным в 1975 году [58].3
В том же году было начато изучение теории гравитирующих калибровочных полей (теории Эйнштейна-Янга-Миллса). Обобщая решение Ву-Янга, Ф. Ясскин получил первое решение в такой теории [160].4 В отличие от теории калибровочных полей в пространстве-времени Минковского, модель Эйнштейна-Янга-Миллса допускает неабелевые регулярные решения. Такие решения были построены в 1988 году Бартником и Маккинноном [57]. Теории Янга-Миллса посвящено множество различных учебников, монографий и обзоров (см., например, [1,2,7,11,16,18,77,131,152]). Следуя [16], мы будем рассматривать поле Янга-Миллса, принимающее значения в алгебре Ли калибровочной группы SU(n): Ат =-iG tia)A$ . (1.2.1) Здесь t(a) — эрмитовы бесследовые генераторы группы SU(n), а вещественные коэффициенты Am представляют собой потенциалы калибровочного поля.0 Групповой индекс (а) пробегает значения от 1 до п2 — 1, причём здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам будет подразумеваться суммирование. Генераторы t(a) удовлетворяют коммутационным соотношениям: [ (a)st(6)] = i/.(a)(6)t(c) , (1.2.2) где символы /,т(с) обозначают вещественные структурные постоянные калибровочной группы SU(n). 4 Одновременно аналогичные решения в теории Эйнштейна-Янга-Миллса-Хиггса были построены в работах [40,74]. Множитель —г введён для того, чтобы величины Ат были антиэрмитовыми; Q является константой калибровочного взаимодействия.
Тензор энергии-импульса в неминимальной теории
В случае минимальной теории тензор Т\к удовлетворяет слабому энергетическому условию [151]: для любого времениподобного вектора U% справедливо неравенство Т\к \JlUk 0. В случае неминимального взаимодействия тензор энергии-импульса Ту. имеет гораздо более сложную структуру. Он содержит дополнительные слагаемые 1 к , 1 к , 1 к , которые играют существенную роль в областях с сильными гравитационными полями или быстро меняющейся напряжённостью калибровочного поля. Благодаря им, тензор энергии-импульса неминимальной теории Эйнштейна-Янга-Миллса может не удовлетворять ни слабому, ни другим энергетическим условиям. Более того, возможна такая ситуация, когда Ту. — 0 во всех точках пространства-времени, несмотря на то, что напряжённость калибровочного поля отлична от нуля. Примеры подобных конфигураций будут описаны нами ниже.
Отдельного внимания заслуживает случай, когда пространство-время является плоским. В этом случае все компоненты тензора Римана равны нулю. Уравнения (1.3.4) при этом переходят в обычные минимальные уравнения Янга-Миллса (1.2.19). Можно было бы ожидать, что в пространстве-времени Минковского неминимальные поправки к тензору энергии-импульса исчезнут. Однако это не так.
В соответствии с общей философией теории относительности, тяготение есть проявление кривизны пространства-времени, созданной наличием материи. Однако, как показано в статьях [39,136], в теориях с неминимальным взаимодействием между скалярным и гравитационным полями или в теории Бранса-Дикке-Максвелла возможна ситуация, когда определённая конфигурация полей материи не создаёт вокруг себя гравитационного поля, то есть, существует точное самосогласованос решение уравнений Эйнштейна (без космологической постоянной) и полевых уравнений, в котором метрика пространства-времени совпадает с метрикой Минковского. Существование подобных решений, в которых поле материи не является источником гравитационного поля, позволяет говорить о наличии в данной модели так называемого «эффекта Чеширского кота10 » [39]. Более того, для некоторых моделей, в принципе, возможна и обратная ситуация, когда в отсутствии поля материи, метрика пространства-времени остаётся произвольной.
Всё выше перечисленное, в принципе, является различными видами патологий, и их наличие или отсутствие в данной конкретной теории может служить критерием при определении её корректности. Причём, немаловажную роль в подобном исследовании должны играть также вопросы полноты и устойчивости данных решений. Так, как показано в [136], в модели Бранса-Диккс-Максвелла, существуют (при определённых значениях параметров) «Вот это да! — подумала Алиса. — Кот с улыбкой - и то редкость, но уж улыбка без кота - это я прямо не знаю что такое!» Л. Кэрролл, Алиса в стране чудес (в пересказе Б. Заходера). нсгравитирующие решения типа волновых пакетов, которые являются ограниченными во всём пространстве. Между тем, решения, полученные в [39], являются сингулярными, что, в свою очередь, подразумевает наличие каких-то неучтённых источников.
В данном параграфе мы исследуем аналогичные свойства неминимальной теории Эйнштейна-Янга-Миллса. Мы покажем, что, в отличие от модели, описанной в [136], «эффект Чеширского кота» для регулярных параллельных полей в ней отсутствует [10].
Для того, чтобы ответить на вопрос о наличии или отсутствии в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с параллельными полями указанного эффекта, рассмотрим общее решение уравнений (1.3.30). При этом, будем считать, что калибровочное поле не имеет источников. В этом случае, общее решение можно записать в виде интеграла Фурье Am = f dkzikxAm{k) , kmAm(k) = 0, ЛІ(к) = Лп(-к), (1.3.37) /с2=0 где интеграл вычисляется по поверхности светового конуса к[к1 = 0, кх = к{Х\ а обозначает комплексное сопряжение. Компоненты тензора Fik тогда можно записать как Fmn = І сІкеікхРтгг(к), Fmn{k) = і (ктЛп(к) - кпЛт(к)) . (1.3.38) /,-2=0 -35 — Причём, величина Ттп, как легко убедиться, удовлетворяет следующим соотношениям Fmn(±k)kn = 0 , тп(±к)ГтП(к) = 0 , Тіп(±к) п(к) = hkj Лп(±к)Лп(к). (1.3.39) Найдём теперь компоненты эффективного тензора энергии-импульса (1.3.32)-(1.3.35) T f = J dkdk е + %j {к, к ), 2=4/2 = 0 %j{k, к!) - щЪпЛк)Ттп(к ) - і {Тіп{к) п{к ) + Ъп{У)Ъп{к)] - (1 + ) Tfc,- тп(к)Ттп(к ) + + ( + f) ( + ВД№ + ЩТтп{к)Гпп{к ) - f тп{к)Т3п{к ) + іп{к )Т3п{к)] - [knKnF(k)rjn(tf) + ( /M] (1-3.40) Поскольку равенство (1.3.31) должно выполняться при любых значениях координат, отсюда следует, что Tij(k,k ) = 0, V к, к . (1.3.41) Пусть, для простоты, к т = ztkm. Тогда, используя тождества (1.3.39), получаем Т{](к, ±к) = ±kikj Лп{±к)Лп{к). (1.3.42) Следовательно, Л (к)Лп(к) — 0 " = Лп(к) кп = Гтп(к) = 0. (1.3.43) -36 — Полученный результат свидетельствует о том, что в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с параллельными полями эффект «Чеширского кота» отсутствует, так же, как и в минимальной теории, когда параметры q\, Чъ 7з равны нулю. Заключение Таким образом, мы показали, что в описанной неминимальной модели взаимодействия калибровочного поля с гравитацией указанный эффект, в отличие от теории Бранса-Дикке-Максвслла, не имеет места. То есть, равенство нулю тензора кривизны пространства-времени означает, при отсутствии источников, непременное равенство нулю и тензора напряжённости. Очевидно также и обратное: если нет калибровочного поля, то мы будем иметь дело в обычными вакуумными уравнениями Эйнштейна. Отметим также, что, поскольку модель с параллельными полями эквивалентна /(1)-калибровочной теории [160], полученный результат может быть перенесён на неминимальную, теорию Эйнштейна-Максвелла [45].
Тем не менее, в случае искривлённого пространства-времени равенство нулю эффективного тензора энергии-импульса Т вовсе не означает равенства нулю тензора напряжённости, даже при условии выполнения уравнений поля (подобный пример см. в работе [43] и 4.4).
Остаётся открытым вопрос о наличии или отсутствии эффекта «Чеширского кота» в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с неабелевы-ми полями, теориях со скалярными полями, взаимодействующими с гравитацией и калибровочными полями, и так далее. Всё это будет являться темой будущих исследований.
Распространение волн в различных средах может быть описано в рамках формализма эффективных метрик (см., например, [54,154]). Первый тип эффективных метрик, а именно оптические метрики, были введены Гордоном [92] для изотропной среды. В эффективном пространстве-времени с оптической метрикой свет распространяется также как в вакууме: световые лучи являются геодезическими линиями [128], а волновой вектор является изотропным вектором для этой метрики. Второй тип эффективных метрик — акустические метрики [54,154]. Используя метрики этого типа, можно рассматривать звуковые волны как квазичастицы, движущиеся в эффективном пространстве-времени (см., например, [153]).
Сферически симметричное калибровочное поле
Впервые вопрос о симметриях калибровочных полей был рассмотрен П. Бергманном и Э. Флаерти в 1978 году [60]. Существуют три формальные возможности удовлетворить соотношению (2.2.8): во-первых, w — О, во-вторых, w = ±v, в-третьих, (l + 27Z0ipо ) = 0. Если пространство-время является асимптотически плоским (Rikmn( r со) — 0), то последний множитель в уравнении (2.2.8) не может быть равен нулю тождественно. Когда w = ±z/, из (2.2.7) получаем, что F равно нулю и, следовательно, данное решение описывает так называемую чистую калибровку. Наконец, когда w = 0, мы имеем дело с монопольным решением Ву-Янга, напряжённость поля Янга-Миллса которого F = WAsin#tr, такая же, как в минимальном случае [158]. Как известно, это решение является эффективно абелевым, так как с помощью подходящего калибровочного преобразования U = ехр(—iOtp) оно может быть преобразовано в произведение потенциала дираковского типа и генератора калибровочной группы t(3).
Когда г —» 0, функция а (г) может стремиться к бесконечности, если (3 положительна, может стремиться к нулю, если (3 отрицательна, и остаётся равной единице, если /3 = 0. Другими словами, метрический коэффициент fjoci = J2N может быть нерегулярным в начале координат г = 0, когда 10 7i + 4 2 + 7з Ф 0- Более того, когда параметр q\ положителен, а(г) равна нулю в точке V(s) — (ftqi) , если (3 0, и становится бесконечной, если (3 О, обеспечивая равенство бесконечности инвариантов кривизны при г у Чтобы проиллюстрировать это замечание, положим, что (3=1, или, эквивалентно, 6qi + 4 + Цз — 0. Что касается величины N(r ), то она может быть конечной, бесконечной или равной нулю в зависимости от соотношения между (/і, q 2, М и к. Например, когда q\ = - , q i = — и М = Щу/к, получаем, что Г(8) = Y и Лг(г (8)) = 0, однако скаляр Риччи Л и квадратичные инварианты кривизны RikRlk, RikmnRlkmn регулярны в точке Г(д). В других случаях эти инварианты обращаются в бесконечность. Таким образом, можно определить такую точку г — Г(3) как особую неминимальную сингулярность. Когда qx отрицательно, такая сингулярность не появляется.
В минимальном пределе условие к = 2М2 представляет так называемую экстремальную чёрную дыру Рейсснера-Нордстрёма, для которой оба горизонта совпадают. Если с/2 0, специфические радиусы Г(ш), Г(Н2) и г(нз) играют роль неминимальных радиусов горизонтов. Заметим, что, когда г/2 стремится К НУЛЮ, 7-(ні) - / (Н2) - М И (ИЗ) - 0. Модель Драммонда-Хатрелла Пусть г/1 = — 5(7, (/2 — 13(/) 7з = 2г/ (г/ 0). В этом случае 10(71 + 4(72 + — 0, 4 7i +(72 — —7q и решение уравнений Эйнштейна (2.2.17), (2.2.18) примет вид: 2М к + 2щ 5«(/ 7Г -1 г (2.2.29) а(т) = 1, N(r) = 1 + г 2т2 Функция N(r) всюду является конечной и в начале координат принимает отрицательное значение N(0) = —2/5. Поэтому метрика (2.2.29) имеет несколько горизонтов (один, два или три, в зависимости от соотношений между параметрами). Если q к/96, то существует такое значение массы M(crit) M(crit) 2ЇЇ, -3 г К 2\ 96(7 к + (2.2.30) что при М M(crjt) метрика имеет три горизонта, при М = M(crjt) — два горизонта. В остальных случаях метрика имеет только один горизонт. — 50 — Регулярная однопараметрическая модель Когда lOgi + 4q2 + g3 = 0, 4gi + q2 = 0, то есть, дг = —q, q2 = 4q, q3 — -6q, и q положительно, мы получаем новое явное точное решение Найденная функция TV (г) принимает значение N = 1 в трёх точках: N(0) — 1, -/V ( ) = 1, iV(oo) = 1 (асимптотически). Если М = 0 вторая и третья точки совпадают, N{r) 1 и 7V(r) имеет только один экстремум, максимум, в точке г (щах) = {щ)1 Если М ф 0 наблюдается следующая тенденция, когда масса М возрастает. Для небольших М имеется минимум в некоторой точке г(mjn) (V(min) )) для которой 0 A (min) 1. Затем этот минимум достигает значения -/V(min) = 0, когда масса принимает некоторое критическое значение M(crit), (crit) = f (4 + 1 , (2.2.32) где г, 1 + - + 1 . (2.2.33) Таким образом, когда М M(crit) метрика (2.2.31) не имеет горизонтов, когда М M(crit), существуют два горизонта, г_ и г+. Когда М — M(crit) функция N(r) равна нулю только при г = г , то есть, в этом случае метрика (2.2.31) является неминимальным аналогом экстремального решения Рейсснера-Нордстрёма. Если q = 0, параметр г совпадает с радиусом Рейсснера-Нордстрёма, rg — sj . Решение (2.2.31) регулярно в точке г = 0, так как знаменатель не может обращаться в пуль. В добавок, прямые вычисления показывают, что инварианты кривизны R, RikRlk, RikmnRlkmn конечны при г — 0. Эффективный тензор энергии-импульса для данного решения в окрестности начала координат не удовлетворяет слабому энергетическому условию, — 51 — так как О(еГГ) = к . г4 + 16М,г-3 167Г {ГА + Щ)2 К и, следовательно, при достаточно малых г (например, при г = 0) существует времениподобный вектор U1 = 5г0, для которого Т! 1 UlUk 0.
Мы показали, что трёхпараметрическая неминимально расширенная теория Эйнштейна-Янга-Миллса допускает обобщение модели монополя Ву-Янга, которая является точно решаемой. Действительно, неминимальная подсистема Янга-Миллса допускает точное решение в стандартной явной форме (2.2.2), (2.2.7); решения уравнений гравитационного поля, обобщающие результат работы [97], присутствуют в квадратурах для произвольных qi, 2 И" с/з (см. (2.2.18), (2.2.23)), и явно в элементарных функциях для специального выбора параметров взаимодействия (см. (2.2.21), (2.2.24), (2.2.29), (2.2.31))... Анализ этих точных решений позволяет выделить три особенности.
Точные решения без центра в статических моделях со сферической симметрией
Ключевые уравнения Возьмём метрику статического сферически симметричного пространства-времени в форме удобной для изучения геометрии кротовой норы: ds2 = a2NdL2 - - (г2 + а2) (сЮ2 + sin2 tf#2) , (3.2.1) где метрические функции а и N, также как в главе 2, зависят только от /. Свойства проходимой кротовой норы диктуют некоторые дополнительные требования для метрики (3.2.1), которые детально обсуждаются в [115,151]. — 63 В частности, мы отметим, что 1) радиальная координата г принимает значения от —со до +оо. Две асимптотические области г = — со и г = +оо связаны с помощью горловины кротовой норы, радиус которой равен а, расположенной в г = 0. 2) Так как пространство-время проходимой кротовой норы не имеет ни сингулярностей, ни горизонтов, метрические компоненты _9оо = cr2N и —дгг — 1/ N должны быть регулярны и положительны при любых г. Заметим, что, в частности, это означает положительную определённость функции N(r), а также то, что функции а(г) и N(r) являются всюду конечными и не равными нулю. 3) Вдобавок, можно потребовать асимптотической плоскостности пространства-времени кротовой норы при г = ±оо. Это обеспечивается следующими асимптотическими условиями для функций а я N:
Эта метрика описывает регулярное (то есть не имеющее сингулярностей) пространство-время, содержащее две асимптотически плоские области г = ±оо, соединённые горловиной, расположенной в г = 0. Таким образом, метрика (3.3.7) описывает кротовую нору, которую мы будем здесь и в дальнейшем называть неминимальной кротовой норой Ву-Янга. Структура пространства-времени кротовой норы Ву-Янга существенно, зависит от значения безразмерного параметра а — ак 1/2. Заметим, что для а 1/2 функция N(r) является положительно определённой (см. рис. 3.1), и, следовательно, компоненты метрики goo = o 2N и — grr — 1/N конечны и положительны во всей области (—оо,+оо). Это означает, что пространство-время не имеет горизонтов событий, то есть в этом случае кротовая нора Ву-Янга является проходимой. В случае а 1/2 функция N(r) меняет знак. Она положительна для \г\ г л, отрицательна для \г\ Т/ь и равна нулю при \r\ Г/г, то есть /V(dhr/j) = 0 (i h — некоторый параметр, который может быть легко найден численно для каждого а 1/2). В окрестности \г\ = г/г имеем goo (г — г ) и grr (г — г/,)-1.
Отметим, что для а = 1/2 оба горизонта \r\ = Г/г сливаются друг с другом и образуют горизонт событий, расположенный в горловине кротовой норы г = 0. Теперь в окрестности г = 0 имеем goo / 2 и grr г-2, и это значит, что г = 0 является экстремальным горизонтом. В этом случае Т-область отсутствует, а горизонт событий разделяет две R-области.
Следовательно, геометрия данной кротовой норы полностью определяется двумя параметрами модели: радиусом горловины а и зарядовым параметром к, — S-ir /Q2, или, что то же самое, а и безразмерным параметром а = акГ1 2. Отметим, что в минимальном пределе, когда Ч\ = 42 — Яз = 0, соотношения (3.4.1) дают а = 0, то есть такая кро -72 товая нора не существует. Другими словами, найденное точное решение является существенно неминимальным.
2) Параметр а может рассматриваться как управляющий. Действительно, в случае а 1/2 пространство-время кротовой норы Ву-Янга не имеет горизонтов событий, и, таким образом, она является проходимой в принципе. Условие а 1/2, или, по-другому, а 1у/2, означает, что радиус горловины проходимой кротовой норы а необходимо больше, чем 5 1//2- В случае а 1/2 (а к1 2) пространство-время кротовой норы (3.3.7) обладает двумя горизонтами шварцшильдовского типа при \г\ — гь, где Г/г — радиус горизонта, получаемый из уравнения a2N(rft) = 0. Наличие горизонтов событий означает, что кротовая нора Ву-Янга является непроходимой с точки зрения удалённого наблюдателя. Стоит отметить, что в этом случае горловина кротовой норы, расположенная в г = 0, скрыта за горизонтами. В этом смысле можно назвать такие объекты «чёрными»-кротовыми норами. Для частного случая а = 1/2 (а — \к1 2) два горизонта событий сливаются друг с другом и формируют один горизонт в, горловине г = 0. Теперь в окрестности г = 0 метрические функции ведут себя как goo т2 и дгг г-2, таким образом, метрика (3.3.7) ведёт себя вблизи горизонта как экстремальная метрика Рейсснера-Нордстрёма.
3) Для удалённого наблюдателя кротовая нора Ву-Янга проявляет себя через свою асимптотическую массу М. Она определяется через зарядовый параметр к и радиус горловины а (см. уравнение (3.3.9) и рис. 3.2). Возможно ли наблюдателю реконструировать невидимый для него радиус горловины кротовой норы, используя найденную массу? В принципе, да, но такая процедура неоднозначна, так как двум значениям а соответствует одно значение массы.
4) Важной особенностью является существование ниоюнего предела для массы неминимальной кротовой норы Ву-Янга. Другими словами, масса кротовой норы не может быть меньше некоторого минимального значения Мт-т ж 0.653 /с1у/2, то есть М Mmjn. Для того, чтобы сделать оценки, мы предположим, что магнитный заряд монополя и равен единице, v = 1, а квадрат константы калибровочного взаимодействия равен Q2 = 47TQ cm, где аст = е2/Яс « 1/137 постоянная тонкой структуры. Тогда (в размерных единицах) имеем Мт\п 10.8 Мр\, ат\п 9 Lp\, где Мрі и Lpi — соответственно, планковские масса и длина.
