Содержание к диссертации
Введение
Глава I. МЕТОДЫ В НЕРАВНОВЕСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКИ! ФИЗИКЕ
1.1. Континуальные интегралы по кощу тирующим и антикоммутирующим переменным.
1.2. Средние от функционалов. Функции Грина 17
1.3. Система взаимодействующих носителей заряда ионов. Частичные матрицы плотности 24
Выводы 30
Глава II. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗОНШХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА 31
2.1. Уравнения движения для среднего отклика и спектр поляризации зонных носителей заряда 33
2.2. Нелинейные оптические коэффициенты 39
2.3. Генерация новых частот и влияние когерентности интенсивного и зондирующего излучений на распространение зондирующей волны 51
2.4. Нелинейные оптические свойства зонных носителей заряда в магнитном поле . 59
Выводы 69
Глава III. МЕТОДЫ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ СВЯЗИ В КИНЕТИКЕ ЭЛЕКТРОН-ФОНОНШХ И ЭЛЕКТРОН-ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ 71
3.1. Нелинейный отклик электрон-фононной системы при произвольной силе связи 72
3.2. Полярони в интенсивном электромагнитном поле. Циклотронный резонанс 81
3.3. Квазиэнергетический спектр поляронов и конденсонов в сильном поле. Функции Грина
Глава ІV. МЕТОД КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ
НЕЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА ЭЛЕКГРОФОНОННОЙ СИСТЕМЫ 102
4.1. Уравнения движения частичных матриц плотности 104
4.2, Нелинейные оптические коэффициенты с учетом ВПВР и разогрева ИЗ
4.3, Нелинейный циклотронный резонанс с учетом ВПВР и разогрева электронов 124
Выводы 131
ЛИТЕРАТУРА 133
- Континуальные интегралы по кощу тирующим и антикоммутирующим переменным.
- Уравнения движения для среднего отклика и спектр поляризации зонных носителей заряда
- Нелинейный отклик электрон-фононной системы при произвольной силе связи
- Уравнения движения частичных матриц плотности
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам кинетики зонных носителей заряда в интенсивном электромагнитном поле.
Поскольку работы, связанные с данной, имеют широкий тематический спектр, представляется целесообразным обзорную часть диссертации построить следующим способом.
Во введении представлены те работы, результаты и методы которых послужили основанием для постановки задачи данного исследования. Другие яв результаты, имеющие прямое отношение к настоящей работе, рассмотрены в начале глав, а также в соответствующих параграфах по мере надобности в непосредственной связи с материалом диссертации,
В известной работе Фейнмана, Хеллварса, Иддингса и Платцмана (ФХИП) /"977 <&ло показано, что метод матрицы плотности является наиболее универсальным подходом в электронной и поляронной кинетике, пригодным и в тех случаях, когда другие методы (например, кинетическое уравнение) перестают работать. Был вычислен импеданс электрон-фононной системы в однородном переменном электрическом поле, который выражался через функцию отклика (адмитанс), представленную в виде двойного интеграла по траекториям. Взаимодействие с фононами имитировалось фиктивной частицей, упруго связанной с электроном. Но проведенное в этой работе разложение по разности точной и модельной фаз влияния привело к результату, который не мог быть распространен на область низких частот электрического поля и на область циклотронного резонанса (ЦР).
В работах Покатилова и Клюканова /"71, 72/ фаза влияния моделировалась квадратичным по скоростям функционалом с комплексными тензорными коэффициентами, что позволило обобщить метод ФХЙЇЇ на случай произвольных напряженностей магнитного поля Н1 а также рассмотреть ситуацию циклотронного резонанса. Но данный метод дает корректные физические результаты только в области слабой электрон-фононной связи.
Последовательный метод расчета, пригодный для произвольной силы электрон-фононного взаимодействия, был найден Фейн-маном и Торнбером /"П7, 118J. Он состоит в замене точной фазы влияния модельной фазой, структурно подобной ей, но квадратичной по координатам электрона, причем параметрі пробного действия вычисляются самосогласованным способом, путем согласования двух возможных в этом приближении выражений отклика электрона на зондирующую силу Wt в присутствии постоянного электрического поля^7 . Таким образом был рассчитан стационарный нелинейный отклик на электрическое поле произвольной напряженности.
Покатилов и Фомин /12, 98 - 101, III/ использовали представление матрицы плотности в виде интеграла по траекториям для вычисления нелинейного отклика зонных электронов в высокочастотном электрическом поле произвольной интенсивности. Избранный метод позволил обобщить результаты предшествующих работ /24, 38, 66, 69У на случай произвольных температур и механизмов рассеяния. Эти же авторі в работе /102 J обобщили метод Торнбера-Фейнмана на переменные электрические поля и получили самосогласованное выражение для отклика электрона в интенсивном электромагнитном поле при произвольной силе электрон-фононной связи, справедливое также в области ЦР и при предельном переходе к постоянному ПОЛЮ.
В работе [87/ метод самосогласованной параболической фазы был применен к расчету корреляционных функций электронов и сформулирован критерий применимости этого приближения.
Несколько другой, но близкий метод был развит Клюкано-вым [53 7 в задаче вычисления линейного отклика электрон-фо-нонной системы на переменное электрическое поле, основанный на кумулянтном разложении корреляционных функций электронов и последующем использовании флуктуационно-диссипационной теоремы. В результате получено самосогласованное выражение для тензора электропроводности поляронов произвольной силы связи.
Достоинство фейнмановского подхода интегралов по траекториям заключается в возможности точного учета электрон-фонон-ного взаимодействия в линейном по координатам осцилляторов приближении. Однако одноэлектронная постановка задачи серьезно ограничивает выбор объектов исследования и затрудняет сравнение с экспериментом, так как полупроводники с такими высокими концентрациями электронов, при которых необходимо учитывать межэлектронное взаимодействие и вырождение, представляют собой стандартный объект экспериментального изучения кинетических эффектов.
Наиболее естественным обобщением, снимающим одноэлект-? ронное приближение, является представление матрицы плотности и наблюдаемых величин в виде континуальных интегралов по коммутирующим и антикоммутирующим переменным от функционалов, соответствующих квантовомеханическим операторам. В кинетической теории электрон-фононных систем этот метод был применен Ауслендером и Калашниковым [9J. В этой работе получено интегральное уравнение дая производящего функционала неравновесной электрон-фононной системы, и на его основе выведены кинетические уравнения без предположения о слабости эле-ктрон-фононного взаимодействия, в приближении квазиравновесного ПФ.
Данная работа появилась как результат применения метода континуального интегрирования по коммутирующим и антикоммути-рующим переменным (виковским и антивиковским символам) к задаче вычисления нелинейного отклика зонных носителей заряда, взаимодействующих с колебаниями решетки и примесями, а также между собой.
Цель настоящей работы - построение теории кинетических эффектов в сильных полях при произвольной силе электрон-фо-нонного и электрон-примесного взаимодействия для многочастичных систем без предположения о равновесности фононной подсистемы
Актуальность темы диссертации вытекает из необходимости дальнейшего развития теории кинетических свойств зонных носителей заряда в полупроводниках.
Научная новизна и практическая ценность работы состоят в том, что в рамках метода континуального интегрирования по символам разработана методика расчета кинетических и оптических коэффициентов газа зонных носителей заряда произвольной температуры и концентрации. Построена система кинетических уравнений для неравновесных электронов и фононов в сильном электромагнитном поле для произвольных значений константы электрон-фононной связи. Впервые проведен расчет нелинейного ЦР с учетом как влияния поля на вероятность рассеяния, так и разогрева носителей заряда.
Первая глава диссертации представляет собой краткое изложение основ функционального представления квантовой механики и развиваемого метода расчета неравновесных средних в формализме континуального интегрирования.
Во второй главе в приближении слабой электрон-фононной и электронно примесной связи вычислены нелинейные оптические коэффициенты (тензор диэлектрической восприимчивости Z{Q*} и тензор генерации гармоник и смешивания частот Gt (^) газа зонных носителей заряда произвольной температуры и степени вырождения, для различных механизмов рассеяния. Исследуется влияние магнитного поля и кулоновского взаимодействия на нелинейные оптические эффекты, а также вклад, обусловленный когерентностью интенсивного и зондирующего излучений.
Третья глава посвящена методам расчета нелинейного отклика, пригодным в области промежуточной электрон-фононной связи и в области ЦР. Рассчитан тензор диэлектрической восприимчивости как функция среднего отклика электрона. Исследуется также зависимость поляронных и конденсонных параметров (массы и затухания) от интенсивности и частоты сильного поля.
В работах Фомина и Покатилова fl2, 98 - 1017 в качестве источника нелинейности рассматривалось влияние поля на вероятность рассеяния, т.е. зависимость от амплитуда электромагнитного поля волновых функций начального и конечного состояний в матричных элементах электрон-фононного взаимодействия. Другой источник нелинейности отклика носителей заряда - изменение функции распределения носителей в сильном поле излучения, - так называемый разогрев. Во многих работах разогрев традиционно считается главным и даже единственным источником оптической нелинейности, в то время как последовательный расчет требует учитывать и разогрев, и влияние поля на вероятность рассеяния. В работе Фомина и Покатилова /ДОЗJ такой расчет нелинейного отклика был проделан на основе системы кинетических уравнений, полученных с использованием ПФ от коммутирующих и антикоммутирующих переменных в сочетании с методом выделения необратимых решений уравнения Неймана, развитым Зубаревым [45 J *
В четвертой главе диссертации построены кинетические уравнения электрон-фононной системы в электромагнитном поле при произвольной силе связи в вигнеровском представлении. В пределе слабой связи они совпадают с уравнениями работы [ЮЗ].
Сравнивается вклад в нелинейный коэффициент поглощения от двух источников нелинейности для различных температур и концентраций носителей заряда. Исследуется также нелинейный ЦР с учетом разогрева и влияния поля на вероятность рассеяния. Результаты сравниваются с экспериментальными данными.
Основные положения, выносимые на защиту:
Развитие теории кинетических свойств многоэлектронных систем в сильных полях при произвольной силе электрон-фонон-ного и электрон-примесного взаимодействия с использованием метода интегрирования по виковским и антивиковским символам.
Результаты вычисления нелинейных оптических эффектов в газе зонных носителей заряда произвольной температуры и концентрации, в присутствии постоянного магнитного поля, с учетом кулоновского взаимодействия и влияния когерентности сильной и зондирующей волн.
Самосогласованное приближение для расчета среднего отклика электрон-фононной системы в интенсивном электромагнитном поле при произвольной силе связи.
Результаты расчета влияния сильного поля излучения на основное состояние, эффективную массу и затухание поля-ронов и конденсонов.
Нелинейные оптические эффекты с одновременным учетом разогрева и влияния поля на вероятность рассеяния (ВПВР), и вывод о большой роли ВПВР в области температур ~]~^ Шд где - - частота сильного поля.
Найденная логарифмическая зависимость кинетических коэффициентов от интенсивности излучения при низкой температуре решетки, обусловленная разогревом.
Квантовые кинетические уравнения, применимые в области ЦР для сильной электромагнитной волны.
Результаты расчета нелинейного ЦР в А о/' Въ , которые позволили сделать выводы о вкладе различных механизмов рассеяния в сдвиг и ширину полосы ЦР и о роли ВПВР и разогрева в их зависимости от интенсивности поля.
Континуальные интегралы по кощу тирующим и антикоммутирующим переменным
Метод континуального интегрирования по коммутирующим и антикоммутирующим переменным лежит в основе одной из оригинальных и нетрадиционных формулировок квантовой механики. Впервые он был подробно описан в книге /"15 j. В последующие годы разработанный в ней математический аппарат нашел широкое применение в квантовой теории поля и статистической физике (см., например, [2, 4, 16, 21, 33, 40, 41, 77, 79]). Одновременно с этим развивалась и соответствующая математическая область, которая получила в дальнейшем название суперматематики. Большинство авторов имеет в виду под этим названием такое обобщение всех основных понятий анализа, при котором образующие грассмановой алгебры играют равноправную роль с С -числами [17J. В настоящее время суперматематика уже является в основных чертах законченным разделом математики.
В методе континуального интегрирования по коммутирующим и антикоммутирующим переменным устанавливается однозначное соответствие между множеством операторов, составленных из элементарных операторов рождения и уничтожения 2j ; CLj и множеством функционалов от символов CC;l ttj , являющихся -числами для операторов Бозе и образующими грассмановой алгебры, удовлетворяющими перестановочным соотношениям для операторов Ферми.
Уравнения движения для среднего отклика и спектр поляризации зонных носителей заряда
Мы будем рассматривать систему зонных электронов в единичном объеме, взаимодействующих с колебаниями решетки,ионизованными примесями и между собой, в присутствии постоянного магнитного поля п и набора электромагнитных волн произвольной интенсивности. Предполагается, что характерная длина рассеяния носителей мала по сравнению с длиной волны излучения, и поэтому можно считать поле однородным.
Нелинейный отклик электрон-фононной системы при произвольной силе связи
Поиск эффективных способов расчета нелинейного отклика зонных носителей заряда без предположения о слабости электрон-фононного и электрон-примесного взаимодействия являются актуальной задачей. Даже в случае слабой связи в резонансных ситуациях разложение искомых средних по константе связи неприменимо. Квантовые кинетические уравнения /42, 59J здесь также оказываются неприменимыми, т.к. их интегралы столкновений в точке ЦР являются неустойчивыми по отношению к малым изменениям амплитуды электромагнитного поля.
Методы промежуточной связи, развитые в работах, рассмотренных выше ["53, 67, 102], применимы только в невырожденном случае. Таким образом, поведение многоэлектронных систем в сильном поле при произвольной константе связи с фононами и примесями остается нерассмотренным.
Исследование влияния электромагнитного излучения на энергетический спектр и затухание электрон-фононной системы представляют собой проблему, тесно связанную с первой. К ее решению можно подходить с различных сторон.
Наиболее естественный путь состоит в том, чтобы связать поляронные параметры с наблюдаемыми величинами, например, с характеристиками формы полосы поглощения в области ЦР. Этот подход разрабатывался в работах Клюканова и Покатилова /"71, 72], но влияние поля в этих работах не учитывалось.
Эффективная масса и затухание поляронов и конденсонов являются не параметрами системы, а функциями ее состояния. Поэтому они не только могут, но и должны зависеть от условий эксперимента. Влияние поля на поляронные и конденсонше состояния не сводится к перенормировке эффективной массы и затухания, а приводит к существенной перестройке энергетического спектра этих состояний.
Метод функций Грина в технике Келдыша /49, 84] позволяет непосредственно рассчитать энергию и затухание поляронов как полюсы гриновских функций и определить закон дисперсии, который в общем случае является непараболическим.
class4 МЕТОД КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ
НЕЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА ЭЛЕКГРОФОНОННОЙ СИСТЕМЫ class4
Уравнения движения частичных матриц плотности
В этом параграфе мы построим систему кинетических уравнений электрон-фононной системы, не предполагая при этом слабости взаимодействия электрона с фононным полем. В операторном исчислении аналогичные уравнения были выведены Боголюбовым [227, но фононная подсистема в этой работе предполагалась равновесной. Лось и Мартыненко f6ljпостроили замкнутое кинетическое уравнение для электронной подсистемы, взаимодействующей с фононами, для произвольных начальных состояний обеих подсистем, но конкретные результаты на его основе не были получены.
Метод континуального интегрирования имеет преимущество простоты вывода основных соотношений и дает возможность выбора приближений, которые в операторном исчислении не очевидны.
В этой главе рассматривается многоэлектронная система, взаимодействующая с неравновесной фононной подсистемой, находящаяся в электромагнитном поле, состоящем из набора волн произвольной интенсивности, и в постоянном магнитном поле.
