Содержание к диссертации
Введение
1 Ренормгруппа в стохастической динамике 16
1.1 Квантовополевая модель задачи стохастической динамики 16
1.2 Ренормировка модели А 23
1.3 Ренормировка модели турбулентного перемешивания примеси 28
2 Модель А: є-разложение константы ренормировки Ъ% 34
2.1 Двухпетлевой расчет 34
2.2 Трехпетлевой расчет 43
2.3 Четырехпетлевой расчет 53
2.3.1 Диаграммы группы А 54
2.3.2 Диаграммы групп С и D 59
2.3.3 Диаграммы группы В 65
3 Модель турбулентного перемешивания примеси: є-разложение константы ренормировки ZK 71
3.1 Однопетлевой расчет 71
3.2 Двухпетлевой расчет 75
4 Выражение физических величин через вычисленные константы ренормировок 83
4,1 Динамический критический индекс z модели А 83
4.2 Турбулентное число Прандтля 90
Заключение 93
Введение к работе
Фазовые переходы второго рода носят универсальный характер. Описывающие их критические индексы не зависят от деталей рассматриваемой модели, а лишь от таких общих характеристик, как симметрия системы, размерность пространства, число компонент параметра порядка. Единая теория критических явлений, объясняющая универсальность фазовых переходов второго рода, была предложена Ландау в 1937 г. [52, 53], однако предсказанные им значения критических индексов оказались приближенными, т.к теория среднего поля никак не учитывает флуктуации параметра порядка, неограниченно возрастающих при подходе к критической точке. Предложенная позже идея критического скеилинга (гипотеза подобия) была сформулирована Домбом и Хантером [15] для модели Изинга, Вайдомом [36, 35] для перехода жидкость-газ, Паташинским и Покровским [56] для ферромагнетиков и Када-новым [26] для корреляционных функций. Ее суть заключается в том, что при подходе к критической точке сингулярная часть свободной энергии является обобщенно однородной функцией физических переменных модели, которым приписывают некоторые критические размерности, Все критические индексы выражаются через эти размерности, поскольку индексов больше, чем размерностей, между последними существуют определенные связи, Однако феноменология критического скеилинга не дает рецепта нахождения значений размерностей; лишь в начале семидесятых годов Вильсон предложил способ вычисления критических индексов на основе метода ренормгруппы (РГ) [37, 38]. Этот метод был первоначально разработан в середине пятидесятых
годов в релятивистской квантовой теории поля. Первые шаги были сделаны независимо Штюкельбергом и Петерманом в работе [34], в которой было отмечено существование группы ренормировочных преобразований в квантовой теории поля, и Гелл-Манном и Лоу в работе [19], предложивших способ получения ультрафиолетовой (УФ) асимптотики в квантовой электродинамике. Год спустя Боголюбов и Ширков установили тесную связь между этими двумя подходами [49, 48, 59] и вскоре построили общую квантовополевую теорию ренормгруппы [50].
В настоящее время ренормгруповой подход является основным методом исследования фазовых переходов второго рода и критических явлений, а также задач неравновесной нелинейной стохастической динамики [8, 7, 43, 51]. Исходная задача сводится к квантовополевой модели, к которой затем применяется техника ренормгруппы. Для этого модель расширяется в нефизическую область значения некоторого параметра є так, чтобы при є —» 0 теория среднего поля становилась все более точной. Введение формального малого параметра є было впервые сделано Вильсоном в работах [40, 39]. Для физической модели этот параметр имеет некоторое значение физ- Обычный смысл такого параметра в теории фазовых переходов второго рода — отклонение реальной размерности пространстваd = 3 от критической размерности dKmT. Во многих случаях ^крИТ = 4 (в частности, в рассмотренной далее А модели), но бывают модели с другими йкрит) например, с йкрит = 6. В моделях неравновесной динамики параметр є чаще всего не связан с размерностью пространства.
Метод ренормгруппы позволяет обосновать критический скейлинг и вычислять параметры этого скейлинга — критические показатели и универсальные отношения амплитуд — в виде разложения по формально малому параметру є. Получающиеся ряды носят асимптотический характер, а параметр разложения — обычно величина порядка единицы. Для асимптоти-
ческих разложений известно, что с определенного члена разложения вклады резко возрастают. Однако первые члены разложения могут вполне адекватно описывать экспериментальные данные. Опыт показывает, что для различных величин ситуации могут быть совершенно разными. В общем случае расчет определенного отрезка ряда по є необходимо дополнить процедурой суммирования по Борелю, в котором учитывается также асимптотическое поведение членов разложения с очень большими номерами, полученное Липатовым [54, 9].
Для фазовых переходов второго рода можно различать статический случай — исследование термодинамических свойств системы и задачу исследования динамики равновесных флуктуации. В первом случае в настоящий момент рассчитано 5 членов разложения критических индексов по є и проведена процедура борелевского суммирования [27]. Полученные результаты находятся в хорошем согласии с экспериментом. В задачах критической динамики расчеты намного сложнее. Здесь в наиболее простой модели (модель А согласно классификации [23]) получено 3 члена разложения [47]. В неравновесных задачах в большинстве случаев рассмотрен лишь первый порядок теории возмущений. Как в статическом, так и в динамическом случае расчеты проводились аналитическими методами, это потребовало создания весьма изощренной техники. Оказалось, что эта техника сталкивается в старших порядках теории возмущений со сложностями принципиального характера. Поэтому рекордные достигнутые результаты (5-ый порядок в статике и 3-ий в динамике) держатся соответственно с 1991 и 1984 гг. Как нам известно, в динамике предпринимались попытки расчета 4-го порядка теории возмущений, но они оказались неудачными. Поэтому естественно возникло желание произвести соответственные численные расчеты. Такие расчеты и являются содержанием настоящей диссертации. Задача и в этом случае весьма нетривиальна, т.к. речь идет о расчете многократных интегралов, содержащих син-
гулярности по є высокого порядка.
Первая из рассмотренных задач относится к классу неравновесных, а именно, к расчету стохастической модели турбулентности. Метод ренорм-группы в этой задаче является в настоящее время наиболее развитым техническим приемом, позволяющим пересуммировать прямолинейную теорию возмущений, параметр разложения которой настолько велик при больших числах Рейнольдса, что она становится совершенно непригодной. Долгое время ренормгрупповой расчет в этой модели ограничивался первым порядком теории возмущений. Описание основано на стохастическом уравнении Навье-Стокса для несжимаемой жидкости [31, 33]
dtipi + (
где <р — поле турбулентных пульсаций скорости, v — коэффициент кинематической вязкости, Р — давление, ц — случайная сила. В силу условия несжимаемости д{Щ = 0. Для случайной силы принимается гауссова статистика с заданным парным коррелятором, в который входит параметр є с физическим значением Єфиз = 2. В данном случае он не связан с размерностью пространства. Доказано, что в этой модели существует устойчивая неподвижная точка, что позволяет рассчитывать параметры критического скеилинга в виде рядов
Же) = 53^(^- (2)
Для некоторых физических величин, таких, как критический индекс, описывающий спектр энергии турбулентных пульсаций, использование галлилеевой инвариантности показывает, что ряд (2) обрывается на линейном члене [2].
ЗдеСЬ реНОрМГруППОВОЙ ПОДХОД Дает ТОЧНЫЙ ОТВЄТ, ЧТО ПРИВОДИТ При Є = Єфиз
к известному спектру 11/3 Колмогорова [13]. В то же время для многих других важных физических величин, например, для константы Колмогорова — амплитуды в степенном спектре энергии, этот ряд не обрывается. Встает во-
прое, насколько є-разложение способно описывать такие величины. Проведенный в работе [1] расчет во втором порядке теории возмущений показал, что в данном случае ряд начинает плохо вести себя с самого начала, так что "поправочный член" практически равен главному. При этом выяснилось интересное обстоятельство, что большая величина поправки почти полностью обусловлена вкладом единственной диаграммы, определяющей более 90 % результата. Анализ зависимости коэффициентов разложения от d показал, что это единственная диаграмма, имеющая сингулярность ^2 ПРИ d —> 2. Таким образом, ее вклад неограниченно растет при d —> 2, что, по-видимому, проявляется в большом значении диаграммы и при d = 3. В старших порядках разложения (2) степенные сингулярности усиливаются. Возможности ренормгруппы позволили построить процедуру улучшенного є-разложения. В первом порядке такого разложения коэффициент C\(d) рассчитывается точно, а во всех остальных учитываются главные по -^-^ вклады. На следую= щем шаге точно вычисляются первые два коэффициента, а во всех остальных учитываются по два члена ряда Лорана по d — 2 и т.д. Произведенный расчет [5, 6] показал значительное улучшение теории возмущений и привел к неплохому согласию с экспериментом.
Интересно было проверить, насколько хорошо работает такая улучшенная теория возмущений для других объектов, поэтому была поставлена задача рассчитать хорошо измеримую характеристику турбулентности — так называемое турбулентное число Прандтля. Речь идет об изучении процесса турбулентного перемешивания пассивной примеси, описываемого уравнением
діф + (<Ркдк)Ф — *о&Ф (3)
Здесь поле ф может иметь смысл концентрации примесных частиц, в этом случае Ко — коэффициент диффузии-, а может иметь смысл неоднородного поля температуры, тогда k,q — коэффициент температуропроводности. Фактически это уравнение диффузии с учетом конвективного переноса. В отли-
чиє от популярной сейчас упрощенной модели Крейчнана [29], в которой поле пульсаций <р моделируется гауссовой случайной величиной, в данной работе рассматривается случай, когда (р удовлетворяет уравнению Навье-Стокса (1). Примесное поле не входит в это уравнение, отсюда название — пассивная примесь. Безразмерное отношение щ к «о называют числом Прандтля для поля температуры и числом Шмидта для поля концентрации. Для систем с сильно развитой турбулентностью процесс рассасывания неоднородностей температуры или примеси сильно ускоряется, что приводит к формированию эффективных коэффициентов вязкости и диффузии г/эфф и «эфф, которые в число Рейнольдса раз превышают соответствующие молекулярные величины г/о и kq. Отношение ^эфф/^эфф = Prt называется турбулентным числом Прандтля (Шмидта). В отличие от своего молекулярного аналога, оно является универсальным и не зависит от свойств конкретной жидкости или газа. Впервые турбулентное число Прандтля было рассчитано (в однопетле-вом приближении) в рамках ренормгруппы и є-разложения в работах [18, 44] (уточним, что в работе [18] речь шла о магнитном числе Прандтля), что привело к весьма неплохому согласию с экспериментом [55, 11у 10]. Насколько этот факт является случайным, должен показать расчет поправочного слагаемого: в настоящей работе проведены двухпетлевые расчеты констант ренормировок и функций отклика, которые определяют эффективные значения турбулентной вязкости и диффузии. Результат для d — 3 довольно неожиданный — поправка оказывается небольшой и приводит к еще лучшему согласию с экспериментом, хотя порознь поправки к иэфф и /%фф большие, Оказывается, что как и для константы Колмогорова, основной вклад в эти величины дают диаграммы, сингулярные при d —> 2, но в отношении этих величин сингулярные вклады нацело сокращаются, так что поправка к величине Prt конечна при d — 2 и процедура улучшения є-разложения в данном случае не требуется, хотя она может стать необходимой в старших поряд-
ках теории возмущений. Экспериментальное значение эффективного числа Прандтля, приводимое в литературе, равно 0.81 ± 0.05 согласно [11], первый порядок ренормгруппы дает 0,7179, а второй — 0.7693. Таким образом, поправка относительно невелика и приводит к заметному улучшению согласия с экспериментом. Соответствующие результаты опубликованы в работах [4, 3]. Следующая задача, которая решается в диссертации — ренормгруппо-вое исследование модели А критической динамики. Согласно гипотезе динамического скейлинга, кроме статических критических размерностей, в системе появляется дополнительная критическая размерность [16, 17, 20, 21]. Модель А самая простая из динамических моделей без сохранения параметра порядка и описывается уравнением Ланжевена со статическим действием
4-модели Гинзбурга-Ландау:
г est
%> = А0— + 77, 5s* - -{дір)2/2 - то<р/2 - W724 - (4)
Здесь v? — поле параметра порядка, Ао — коэффициент Онзагера, tq — отклонение от критической температуры а до — константа взаимодействия. Случайная сила г} моделирует тепловые флуктуации, ее парный коррелятор непосредственно зависит от коэффициента Онзагера.
Эта модель, в частности, описывает поведение магнетиков. Поле параметра порядка (намагниченность) может быть скаляром, и тогда мы имеем дело с одноосным ферромагнетиком или моделью Изинга: в узлах кристаллической решетки располагаются спины, которые выравниваются по определенному направлению, Если параметр порядка — n-компонентный вектор, то говорят об Оп-симметричном ферромагнетике Гайзенберга, при этом спины в узлах решетки могут вращаться с равной вероятностью во всех направлениях. Динамика поведения магнетиков, стремящихся в равновесное состояние, выглядит как релаксация за время тг. По истечении этого времени система достигает состояния равновесия, которому соответствует минимум энергии. Случайная сила г) моделирует тепловые флуктуации. При подходе к крити-
ческой температуре среднее время релаксации и характерный масштаб флуктуации расходятся степенным образом: тг ~ z и ~ \Т — Тс\~и. Индекс v (показатель корреляционной длины) относится к статической модели, в рамках ^-разложения для Оп-у?4-модели он известен с пятипетлевой- точностью. Индекс z (динамический критический показатель) отражает динамические свойства системы, для его нахождения требуются более трудоемкие вычисления и в настоящий момент в рамках є-разложения он известен с трехпетлевой точностью. Как уже отмечалось, трехпетлевой результат был получен еще в 1984 г., в настоящей работе ставится цель осуществить четырехпет-левой расчет, используя метод численного расчета констант ренормировок, разработанный на кафедре и впервые примененный в этой задаче.
Изложим вкратце сущность метода. Рассмотрим для примера модельную четырехпетлевую диаграмму на Рис, 1,
Рис. 1: модельная четырехпетлевая диаграмма
В силу трансляционной-инвариантности модели левую точку диаграммы Го можно фиксировать, по координатам г і остальных точек подразумевается интегрирование по двумерному пространству. Таким образом, имеем 8-кратный интеграл
/= drx...dr4F(r1...r4) (5)
Каждой линии в диаграмме сопоставляется множитель - функция от модуля
12 разности координат концов линии/(] Г|—Tj |), т.е. подынтегральная функция
^ = 11-^- I) (6)
является в данном случае произведением восьми сомножителей /. Функция f(r) хорошо убывает на больших расстояниях, а на малых имеет степенную асимптотику
Яг) ~ ф; (7)
где є - малый положительный параметр. Сингулярное поведение функции f(r) в нуле является причиной появления полюсов по є в интеграле 1(e), Сама по себе эта функция интегрируема, но когда в диаграмме встречается ее квадрат, как в случае сближении точки г і к г3 или г 2 к Г4, то возникает двумерный интеграл по относительной координате вида
Jo f{r}rdr~Jo ^~2І'
(8)
расходящийся в нуле при є -» 0, что и приводит к появлению полюса по е, Эти полюса нетрудно было бы выделить подходящим разделением области интегрирования на части, однако в диаграмме имеются причины и для появления других полюсов. Рассмотрим в двухпетлевом подграфе, обведенном левым пунктиром, область интегрирования по гх и гз, которая "сжимается" в точку (т.е. близка к началу координат - левой точке диаграммы го). Если рассматривать такой интеграл в четырехмерной сферической системе координат с модулем радиуса-вектора Л, то радиальная часть интеграла имеет в области малых R вид
/До R3 !
т.е. опять появляется полюс по є. Аналогичная картина имеет место в трех-петлевом подграфе, обведенном правым пунктиром. Наконец, вклад в полюсную структуру дает область интегрирования, когда вся диаграмма стягивается в точку (так называемая поверхностная расходимость). Таким образом,
мы имеем дело с перекрывающимися областями интегрирования, дающими вклад в исследуемые сингулярности. Их выделение путем разбиения на подобласти - непростая задача. Анализ показывает, что общая структура функции 1(e) такова
/() = ^ + ^ + % + ^+const + ... (10)
є4 є6 єг є
Задача численного нахождения коэффициентов Сі этого ряда Лорана состоит в построении алгоритма, позволяющего представлять эти коэффициенты в виде сходящихся интегралов. Такой алгоритм строится на основе известной в теории ренормировок так называемой R'-операции. В теории ренормировок утверждается, что при построении теории возмущений в квантово-полевой модели в данном порядке теории возмущений (в рассматриваемом примере -четвертом), помимо рассмотренного существенно четырехпетлевого вклада, всегда появляются соответствующие данному порядку произведения вкладов низших приближений, которые в совокупности можно представить как действие определенной R'-операции на исходную диаграмму. Эта операция убирает все расходимости в подграфах и оставляет лишь вклад поверхностной расходимости. Это упрощает ситуацию, однако структура ответа при этом не меняется в том смысле, что все старшие полюса сохраняются, Факт сведения расходимости к поверхностной является фундаментальным, приводящим к самой возможности ренормировки теории, Вторым важным положением теории ренормировок является утверждение о том, что после применения R'-операции все старшие полюса в ряде Лорана известным образом выражаются через произведения диаграмм низших порядков. Таким образом, из исходной диаграммы можно построить объект, содержащий лишь первый полюс, а его выделить уже существенно проще. Проблема в том, что указанные сокращения расходимостей в подграфах и сокращение старших полюсов теорией ренормировок гарантируются, но лишь в сосчитанных порознь объектах (в которых помимо интегрирования входят и другие операции), а желаемая про-
стота была бы достигнута, если бы результат был представлен в виде единого интеграла, содержащего лишь первый полюс. Первая часть задачи (сведение к единому интегралу результата действия R'-операции) решается просто, путем подходящего выбора построения R'-операции. Предложенный в работе подход позволяет решить и вторую часть задачи, при этом удается не только предъявить интеграл, содержащий лишь первый полюс, но и выделить его в явном виде, так чтобы в дальнейшем уже иметь дело со сходящимися интегралами, зависимость которых от є можно находить разложением в ряд подынтегральных выражений. Добавим, что реально в А модели встречается диаграмма рассмотренного вида, но каждой точке соответствует интегрирование по координате в четырехмерном пространстве, а также интеграл по времени.
Изложенная техника вычисления была применена для расчета констант ренормировок А модели в четырехпетлевом приближении. Всего было рассчитано 25 диаграмм, Полученные результаты позволили найти динамический критический индекс z в четвертом порядке е-разложения. Приведем полученный результат (принято давать ответ для отношения R = [z — 2)/77 где 77 статический индекс Фишера):
R = (61n(4/3)-l) (l-0.18848e+ [-0.1000+4^8П^]'5] єЧО(є3)\ ,
I L (та+ 8) J I
(И) е-разложение критического индекса 77 начинается с члена ~ є2 и известно с
точностью до члена ~ є5. Таким образом, в индексе z последний учтенный член 4. Удобство записи z через R связано с тем, что первые два слагаемых є-разложения величины R не зависят от числа компонент параметра порядка та (в то время как зависимость та от п нетривиальна). Заметим, что вычисленный в работе [47] член порядка є3 в z являлся до последнего времени единственным примером трехпетлевого расчета в критической динамике. Полученный авторами ответ в этой работе был выражен аналитически через
спецфункции, что потребовало весьма большого объема работы. Мы воспроизвели этот ответ численно с относительной погрешностью 10_3 %, причем объем работы при нашем способе расчета оказался несравненно меньшим, Оригинальным результатом настоящей работы является получение следующего члена е-разложения, вклад этого слагаемого в R зависит от п, таким образом гипотеза о полной независимости Л от п оказывается неверной.
Из результатов работ предшественников интересно отметить работу [22] в которой был найден предел величины R при п —> оо вне рамок е-разложения. Переходя к пределу п —* оо в (11), можно сравнить полученный результат с соответствующим отрезком разложения по є ответа работы, [22] при этом оказывается, что первые два члена этого разложения в точности совпадают с (11) (поскольку те не зависят от п), а последнее совпадает с относительной точностью 0.05 %, что явилось хорошей проверкой точности расчета многократных интегралов (максимальная кратность достигала 9).
Таким образом, впервые в динамической задаче было получено 4 члена ^-разложения динамического критического индекса z (результат опубликован в работе [46]). Это дало основание поставить задачу суммирования по Борелю полученного разложения. Полученные результаты, показали, что в данном случае такое суммирование не является еще актуальным ввиду малой величины поправочного члена.
При п = 1, Єфиз = 1 найденное численное значение индекса z равно 2.0189. Это находится в согласии с экспериментальными данными, однако более детальное сравнение не имеет смысла проводить из за недостаточной точности эксперимента.
Ренормировка модели А
Простейшим примером задачи Ланжевена является динамическая модель А (по терминологии, принятой в [23]), которой соответствует статическое действие у 4-модели Гинзбурга-Ландау и вещественная константа AQ в качестве коэффициента Онзагера Здесь (р — поле параметра порядка, т0 Т — Тс — отклонение от критической температуры, до — константа взаимодействия. Эта модель, в частности, описывает поведение магнетиков. Поле параметра порядка (намагниченность) может быть скаляром, и тогда мы имеем дело с одноосным ферромагнетиком или моделью Изинга: в узлах кристаллической решетки располагаются спины, которые выравниваются по определенному направлению. Если параметр порядка — n-компонентный вектор, то говорят об Оп-симметричном ферромагнетике Гайзенберга, при этом спины в узлах решетки могут вращаться с равной вероятностью во всех направлениях. Хотя самой привычной является ситуация, когда п = d — 3, число компонент п не всегда совпадает с размерностью пространства d. Например, при п = 2 и d = 3 вес спины вращаются вдоль одной плоскости. При подстановке (1.16) в (1.12) уравнение Ланжевена принимает вид: Динамика поведения магнетиков, стремящихся в равновесное состояние, выглядит как релаксация за время тг. По истечении этого времени система достигает состояния равновесия, которому соответствует минимум энергии. Случайная сила rj моделирует тепловые флуктуации.
При подходе к критической температуре среднее время релаксации и характерный масштаб флуктуации расходятся степенным образом: тг z и \Т — Tc\ v. Индекс v (показатель корреляционной длины) относится к статической модели, в рамках е-разложения для Оп- /?4-модели он известен с пятипетлевой точностью. Индекс z (динамический критический показатель) отражает динамические свойства системы, для его нахождения требуются более трудоемкие вычисления и в настоящий момент в рамках є-разложения он известен с трехпетлевой точностью. Другой пример стандартной задачи стохастической динамики — уравнение Навье-Стокса, описывающее движение жидкости или газа и широко используемое при изучении теории развитой турбулентности [55] где (pi(x,t) — векторное поле скорости, VQ — кинематический коэффициент вязкости, р(х, Ї) и ту(х, і) — давление и случайная сила. Представленное таким образом уравнение не сводится к стандартному виду (1.1) из за вклада давления. Если считать жидкость несжимаемой, поле if оказывается поперечным дірі — 0 и давление можно исключить, т.к. его градиент является чисто продольным и сокращается с продольным вкладом ((рд)ср. Случайная сила rji также полагается поперечной и уравнение (1.18) можно упростить до такого вида: Уравнение (1.19) теперь совместимо с общей динамической задачей, но все же не укладывается в рамки уравнения Ланжевена, т.к. функционал /(х, ; ір) в данном случае нельзя представить в виде чьей-то вариационной производной. Уравнение Навье-Стокса допускает стационарное решение, которое зависит от конкретных начальных и граничных условий. Этому решению соответствует плавное ламинарное течение жидкости, в которой спонтанно возникающие флуктуации тут же гасятся. Такое стабильное течение бывает только при относительно небольших числах Рейнольдса Re — uL/щ, где ип L — характерная скорость жидкости и внешний масштаб обтекаемого объекта. При увеличении числа Рейнольдса, после некоторого порогового значения і?естг-(, течение становится нестабильным, флуктуации начинают расти и в жидкости появляются хаотичные завихрения — вознивает явление турбулентности. Особый интерес вызывает режим развитой турбулентности Re Recrit- самые большие вихри размером L вследствие нелинейности уравнения дробятся на все меньшие и меньшие вихри до размера Л-1, где за счет вязкости дис-сипируют в тепло. В процессе дробления встречаются вихри всевозможных размеров Л-1 г L, но в диапазоне Л-1 г Д называемом инерционным интервалом, турбулентное движение жидкости оказывается однородным и изотропным, если под скоростью ш понимать отклонение от средней скоро- сти. Изучение однородной и изотропной системы привлекательно, т.к. модель становится существенно проще, и поэтому дальше будем рассматривать только режим развитой турбулентности в инерционном интервале. Турбулентное перемешивание скалярной пассивной примеси представляет собой распространение примесных частиц в турбулентной среде.
При ее относительном небольшом количестве примесь считается пассивной, т.е. ее появление не влияет на поведение турбулентной жидкости. Тогда для описания такой системы можно ограничиться дополнительным уравнением на поле концентрации частиц ф(х, ) где «о — молекулярный коэффициент диффузии, /(х, t) — источник скалярного пассивного поля. В обычном режиме неоднородности концентрации примеси сглаживаются за счет тепловых флуктуации, что отражается в наличии диффузионного члена в (1.20). В режиме развитой турбулентности процесс сглаживания многократно ускоряется и нужно ввести понятие эффективного коэффициента диффузии. По аналогии определяется также эффективный коэффициент вязкости. Оказывается, отношение этих двух эффективных коэффициентов является универсальной величиной, т.е. не зависит от индивидуальных свойств вещества. Отношение молекулярных коэффициентов диффузии и вязкости не обладает свойством универсальности, оно имеет разные значения для различных веществ. Следует отметить, что формальная тождественная проблема турбулентного теплопереноса описыватся теми же уравнениями (1.19) и (1.20), где ф имеет смысл поля температуры a KQ — коэффициента температуропроводности. Модель А критической динамики определяется статическим функционалом действия и коэффициентом Онзагера из (1.16) для стохастического уравне- ния Ланжевена (1.12, 1.13). Далее под моделью А будем иметь ввиду ее кван-товополевой аналог с функционалом действия (1.10), который после необходимых подстановок приобретает вид: где (х,t) и фг(х,і) — основное и вспомогательное поля, Ф = {ф,1р }. Различные объекты вычисляются по теории возмущений с использованием диаграммной техники Фейнмана, диаграммы представляют собой интегралы и обычно расходятся в области больших импульсов. Наличие УФ-расходимостей определяется по каноническими размерностямивеличип, входящих в действие. Каноническая размерность dp произвольной величины F находится из условия безразмериости каждого вклада в действие. В статике выделяется пространственная каноническая размерность dFF с дополнительным условием нормировки d?p — —d%. = 1, В динамике появляется временная размерность dF с условием d" = —df = 1. По виду действия (1.21) видно, что dt д2 или и jo2, так что можно ввести суммарную размерность dp — dFF-\-2dF. Полученные таким образом размерности приведены в таблице 1.1 (d — размерность пространства).
Трехпетлевой расчет
Трехпетлевой вклад в 1-неприводимую функцию Грина (т/Л/ )1н определяется суммой всех комбинаций диаграмм ренормированной теории с тремя вершинами, изображенных на Рис. Рис. 2.2: трехпетлевые диаграммы 1-неприводимой функции (ip ip)ln, коэффициенты перед двумя последними диаграммами — соответствующие комбинаторные множители Отвечающие диаграммам Рис. 2.2 вклады в 7 запишем в виде Рассмотрим подробно вычисление первой диаграммы. После интегрирования по трем временным переменным ей сопоставляется следующее выражение: встречаться конструкция из суммы импульсов подобно той, что в знаменателе (2.40), поэтому удобно ввести следующее обозначение Выделяя в (2.40) интересующий нас коэффициент при iw и переходя к безразмерным переменным, получаем двухпетлевой диаграммой, имеет поверхностную расходимость в области, когда все импульсы k, р и q одновременно велики или, что тоже самое, когда в координатном представлении все три вершины сближаются. В диаграмме присутствуют также расходимости в подграфах, когда при фиксированном р или q остальные два импульса стремятся к бесконечности или, что нагляднее, когда две вершины, соединенные линией с перечеркиванием, сближаются. В этом случае можно говорить о нелокальности расходимости, т.к..вклад в нее дает конфигурация, когда одна из вершин находится на конечном расстояние от двух остальных. В результате действие R -операции из исходной диаграммы вычитаются контрчлены, сокращающие все расходимости в подграфах, остается лишь поверхностная расходимость.
Таким образом, общая расходимость диаграммы становится локальной, это позволяет подменить исходную ИК-регуляризацию на обрезание импульсом т, т,к, все полюса по є теперь зависят только от УФ-поведения интеграла. Действие R -операции показано графически на Рис. 2.3, пунктир вокруг подграфа обозначает операцию L (1.30) выделения контрчлена, а оставшаяся часть диаграммы вычисляется после стягивания подграфа в точку. Рис. 2.3: R -операция, примененная к первой диаграмме на Рис.2.2 Имея перед глазами пример действия R -операции, изложим детальнее общую схему вычислений n-петлевой логарифмической диаграммы 7 на основе использования соотношений (2.24), (2.21) и (2.23). Первичной задачей является вычисление величин R 7- Таким величинам сопоставляется диаграммное представление вида Рис, 2,3, в котором используется контрчленная операция L. Результат действия оператора (2.15) на 7 можно записать в виде где суммирование ведется по всевозможным наборам Щ непересекающихся пунктиров, окружающих существенные подграфы 7fc, a jUi - диаграмма, получающаяся после стягивания подграфов (с учетом множителей р2 и іш, воз- никающих при действии оператора Кг). Дифференцируя (2.43), получаем Выделим в (2.44) вклады, формирующие величипу R d/y. Помимо д , в их число целиком войдет второе слагаемое, т.к. дифференцирование в нем не затрагивает расходящихся подграфов. Что касается третьего слагаемого, то здесь надо различать ситуацию, когда операция дифференцирования д3 действует на диаграммы логарифмически расходящихся подграфов (ф ф ) {фгф3)1 (обозначим их 7І ) в этом случае дифференцирование снимает поверхностную расходимость в подграфе и делает его тем самым не суще-ственным, т.е. не участвующим в искомой R/ -операции, и когда операция ds действует на диаграммы квадратично расходящихся подграфов {ф ф} , становящихся в результате логарифмическими (обозначим их 7 )- В последнем случае соответствующий контрчлен должен участвовать в построении R/-операции, при этом из полного оператора вычитания Ко Ч-К , действующего на этот подграф в (2.44), в него надо включить лишь первое слагаемое KQ. Таким образом, приходим к соотношению Формулу (2.46) можно значительно упростить. Для этого надо в вели-чинах dsK 7fc выделить УФ-конечный вклад R/ dg k (как это было сделано в (2.22) для 7) и собрать подобные члены при каждом таком множителе. Результат сводится к тому, что величина yUi заменяется на R/ jUi и мы получаем где суммирование ведется по всем существенным подграфам7г- и 7] , результат их стягивание обозначен 7 и 7 соответственно. Мы не имеем сейчас доказательства этой формулы в общем виде, но убедились в ее справедливости для многих частных случаев (включающих, разумеется, все случаи, необходимые для дальнейших вычислений).
Наконец, величину 5R;7 из (2.19) с учетом (2.43) можно записать в виде Вернемся к диаграмме Рис. 2.3. Входящий в нее однопетлевой логарифмический подграф Х Х легко вычисляется. Действуя на этот подграф Pi оператором Ко, т.е. вычисляя его при нулевой внешней частоте и импульсе, получаем 3 Очевидно, что в данном случае KPi = К Pi, т.е. обе операции вычитания приводят к одинаковому результату, поскольку (2.50) имеет вид чистого полюса. Таким образом, вклад (2.48) в рассматриваемую диаграмму отсутствует. 3Разумеется, для однопетлевой диаграммы все вычисления тривиальны, однако для единообразия мы придерживаемся общей схемы расчета Остающиеся после стягивания подграфов диаграммы 7 совпадают с диаграммой Рис. 2.1, вычисленной в предыдущем разделе. Таким образом, для вклада (2.47) с учетом (2.49) получаем Переходим к вычислению вклада Jja согласно (2.45). Для этого удобно записать сначала все три вклада диаграмм Рис. 2.3 в виде единого интеграла, затем по простым правилам можно будет получить выражение (2.45). Используем соотношение (2.42) для основной диаграммы, гдер и q - импульсы, циркулирущие в расходящихся подграфах. Учет вычитательных слагаемых сводится к последовательному занулению в подграфах втекающего в них импульса к. Используя ИК-регуляризацию с обрезанием, получим L{k,p}4{k,q} Ф) V(k,p} F7{k,q}2J Перейдем в интеграле (2.52) к сферическим координатам. Во всех рассматриваемых трехпетлевых диаграммах зависимость подынтегрального выражения от угловой части импульсов сосредоточена в слагаемых вида (к, р) = кр cos в. Введем три единичные вектора, ориентированные вдоль импульсов k, р и q: Рассмотрим произвольную функцию fx зависящую от всех комбинаций скалярных произведений векторов Пі, П2 и Пз: COS #12 = (Пі, П2), COS #13 = (Пі, Пз) и cos #23 = (п2,пз) и пусть размерность пространства d 3. Очевидно, что невозможно использовать три угла в в качестве независимых переменных интегрирования. Зафиксируем направление пі и направим Пг и Пз так, чтобы они составили с Пі соответственно угол д\2 и #13. Пусть теперь 23 угол между проекциями П2 и пз на плоскость перпендикулярную Пі. Ясно, что в отличие от #23) произвольное изменение 9?23 никак не влияет на 9\2 и #13, а угол Тогда усреднение / по пі, Пг и Пз можно заменить на усреднение по 2, #і.
Диаграммы группы В
В отличие от рассмотренных случаев в диаграммах группы В в качестве подграфа встречается двухпетлевая квадратично расходящаяся диаграмма 1-неприводимой функции (,0 V,)IH (Д СИХ П0Р подграфами были логарифмически расходящиеся диаграммы). Рассмотрим в качестве примера первую диаграмму Рис- 2.14: диаграмма В\ Действие R -операции на эту диаграмму изображается графически в виде Обозначим через q, v импульсы линий (iftift)0, циркулирующие в подграфе и через к, р — импульсы оставшихся {фф)0 линий. Тогда к + р = р — импульс, втекающий в подграф, соответствующую частоту обозначим и;. Для основной диаграммы после интегрирования по временным переменным получаем Для определения константы ренормировки Z2 мы вычислили ранее вклад icj в диаграмму на Рис. 2.1. Теперь эта диаграмма входит как квадратично расходящийся подграф в диаграмму на Рис.2.15 и определяет второе слагаемое величины (2.47). В таком случае необходимо знать также и контрчлен, пропорциональный квадрату втекающего импульса р, т.е. вычислить величину Мы учли, что диаграмма Рис. 2.15 не содержит расходящихся подграфов, а также выделили в ней вклады, естественно формирующиеся при расчете. Выполняя интегрирование по времени, имеем Первый интеграл в этом выражении совпадает с 7 , что учтено в записи на Рис. 2.15, второй интеграл не зависит от направления втекающего импульса р, усредняя по его ориентациям, получаем После стягивания в точку подграфа, окруженного пунктиром на Рис. 2.15, получаем диаграмму вида где крестику сопоставляется множитель iuj/X или р2. Удобнее использовать их линейные комбинации іш/Х — р2 и р2, как в (2.107).
Множитель —iuj/X -+-р2 в первом вкладе сокращает одну из линий (ip ip)0, в результате остается диаграмма Рис. 2.1. Второй вклад, содержащий множитель р2, сводится к интегралу (2.110). В итоге для вклада Jglb получаем Аналогичный расчет дает для вклада (2.48) Из интеграла (2.110) удобно выделить вклад 7 (см. (2.115)), записав Учитывая интегральное представление для подграфа (2.108), для диаграммы с R -операцией из Рис. 2.15 получаем Выделив в (2.115) коэффициент при вкладе ги , получаем Переходя в (2.116) к сферическим координатам и применяя к полученному выражению операцию ds, с учетом диктуемых формулой (2.45) вкладов по- Для остальных трех диаграмм Рис. 2.13 расчеты аналогичны, результаты приведены в таблице. Перепишем уравнения Дайсона (1.39) и (1.40) для функций отклика в ренор- мированных переменных при и = 0 Здесь величины Ар и Аф(и) определяются однопетлевыми вкладами в собственно-энергетические операторы Е , Е , а коэффициенты (ц{ , а-ц представления (3.4) констант ренормировки Z„, ZK находятся из условия УФ-консчности выражения (3.3). В однопетлевом приближении величинам Е , Тчр -ф соответствуют диаграммы, изображенные на Рис. 3.1 и 3.2. Рис. 3.1: однопетлевая собственно-энергетическая диаграмма . Линиям сопоставляются пропагаторы (1.36), (1-37), их перечеркнутым концам соответствуют поля ірї, неперечеркнутым — поля (р. Вершинам отвечает множитель VtJS = і (kjS{S + к55 ) Рис. 3.2: однопетлевая собственно-энергетическая диаграмма Еф ф. Линиям сопоставляются пропагаторы (1.36), (1-38), их перечеркнутым концам соответствуют поля ф , неперечеркнутым — поля ip и ф. Вершинам отвечает множитель VjjS = ikj В этих диаграммах линиями сопоставляются пропагаторы (1.36), (1.37), (1.38), их перечеркнутым концам соответствуют поля ср , ф , неперечеркнутым — поля ip и ф. Вершинам на Рис. 3.1 и 3.2 отвечают множители Vijs — і (kjSis -f- ksSij) и \kj соответственно. Для индексной части диаграмм для Ly и ІЛЛ получаем соответственно где fci = fci/A; — единичный вектор. Сворачивая значки, выполняя интегрирование по временам и переходя к безразмерному импульсу интегрирования (в единицах внешнего импульса р), получаем с учетом = (к, р)/кр Интегралы (3.6), (3.7) УФ расходятся при є — 0, вычет при полюсе легко находится отбором в подынтегральных выражениях асимптотических вкладов при к — оо и отбрасыванием несущественной области интегрирования к 1. Таким образом, для коэффициентов а , ( (ІІ) констант ренормировок Zu и ZM призванных сократить расходимости в выражениях (3.3), требование УФ-конечности сводится в однопетлевом приближении к где k = к/к. Заменяя интегрирование по направлению единичного вектора к на усреднение по его ориентациям [dk = 1 (...) и учитывая, что приходим к следующему результату для а\і и а\г : В однопетлевом приближении константы ренормировки Zj, и ZK были найдены в работе [44]. РГ-функции определяются соотношениями где /хс о — оператор іідц при фиксированных затравочных параметрах , Щ и гхо- Последние равенства для / -функций в (3.13) - следствие связей между константами ренормировки в (1.46). УФ-конечность РГ-функций 7 (P)I 1K(QIU) из (3.13) позволяет выразить их через коэффициент при первом полюсе по є в выражении (1.47) для констант Положение неподвижной точки ( 7 ,it ) определяется условиями Pg{g ) = 0 и At( 7 , ) = 0. Инфракрасно-устойчивой является нетривиальная точка g О [44], для которой из (3.13), (3.14) следует соотношение Коэффициенты а ,, аф в ведущем порядке по с учетом сказанного могут быть записаны в виде Здесь для краткости введены обозначения С(и) = а /Sd и В(и) = а /Sd для коэффициентов при д2 в разложении (1.47). Их расчет приводится ниже [отметим, что как и однопетлевой множитель а-ц , двухпетлевые коэффициенты при полюсах по в представление (3.23) не являются полиномами по 4 Двухпетлевые вклады в константу ренормировки ZK удобно находить из условия УФ-конечности величины Иф (3.2) в пределе к — 0. В терминах приведенной величины это условие можно записать в виде Предел к —- 0 в (3.24) существует, если обеспечена ИК-регуляризация диаграмм. В схеме MS константы ренормировки не зависят от способа такой регуляризации, при нашем выборе функции накачки (1.42) она осуществляется обрезанием пропагатора ( w)0 из (1.36) при к т. Условимся выбирать в дальнейшем импульсы интегрирования так, чтобы по линиям {tp(р) 0 протекал простой импульс (для диаграмм Е такой выбор всегда возможен). Тогда интегрирование по модулю всех импульсов будет проводиться в пределах от т до од.
Турбулентное число Прандтля
Интересующий нас инерционный интервал соответствует области импульсов т С к С Л, где Л-1 — размер диссипирующих за счет вязкости вихрей. По соображениям размерности Л {DQ/VQ)1 = д0- є //, так что мы можем сформулировать условие ИК-асимптотики = k/ц С 1. Теория возмущений представляет собой ряд по степеням параметраg С 2є неограниченно растущего в этой асимптотике. Переход к РГ-представлению для функций отклика позволяет преодолеть эту трудность. РГ-представление для функций (3,2) определяется соотношениями удовлетворяющие РГ-уравнениям вида и нормированные условиями д(1,д) = д., v(l,g,v) = v, й(1,д,и) — и. При С —» 0 инвариантные заряды д и V стремятся к инфракрасно-устойчивой неподвижной точке #(С, д) — 9 = О (є), V(,g,u) — и = О (є:0), а инвариантная вязкость имеет степенное асимптотическое поведение Таким образом, предсказываемое РГ-представлением выражение для эффективного обратного числа Прандтля (1.41) в инерционном интервале с учетом (3:2) и (4.24) имеет вид Величина ueff, определенная соотношением (1.41), универсальна - результат ее вычисления в инерционном интервале с помощью соотношения (4.27) не зависит от схемы ренормировки. Тем не менее, отдельные множители в правой части уравнения (4.27) не обладают этим свойством. В частности, в используемой нами схеме MS, величины Щ и Rv отличны от 1, поэтому инвариантный заряд и не совпадает с обратным эффективным числом Прандтля ueff. Однако в низшем порядке теории возмущений значение иі не зависит ОТ СХеМЫ ренормировки, В ЭТОМ Приближении Нф — Щ = 1 И Ueff — гг . Это объясняет совпадение значений эфективного числа Прандтля, вычисленных с помощью РГ-подхода в разных схемах ренормировки [44, 58, 42], хотя в этих работах оно отождествлялось с величиной и . Подставляя (3.5) в (4.27), получаем С учетом того, что д = О (є), для нахождения ueff в ведущем порядке є-разложения достаточно знания заряда гг в однопетлевом приближении. Во втором порядке, помимо уточненных значений и и # , необходимо вычислить также коэффициенты av и а (п ) разложения скейлинговых функций (3.2), (3.5) в ведущем порядке по е.
Подставляя (3.54), (3.53) в (4.28) и учитывая (3.52), получаем Подставляя значение В{и ) из (3.47), а также а , а из (3.22) и Л из (3.50), получаем окончательное выражение для эффективного обратного числа Прандтля (4.30) При физическом значении є = 2 для турбулентного числа Прандтля Prt получаем следующие результаты соответственно для однопетлевого и двухпетлевого приближений. Как видно из (4.30) и (4.31), двухпетлевая поправка к числу Прандтля мала даже при реальном значении є = 2. Это объясняется почти полной компенсацией двух больших вкладов: слагаемого, пропорционального Л в скобках из (4.29), обусловленного константой ренормировки вязкости Д, (см. (3.49)), и слагаемого, пропорционального В и обусловленного константой ренормировки коэффициента диффузии ZK (3.23). Действительно, при d = 3 второе слагаемое равно —800J3/3 1.111, тогда как, согласно (3.50), Л —1.101 и, таким образом, все выражение в скобках равно Л — 800В/3 с 0.010, т.е. на два порядка меньше, чем каждое слагаемое в отдельности. Рассмотрение индивидуальных диаграмм, определяющих величину В (см. Рис.3), показывает, что самый большой вклад дается диаграммой 5, и соответствующий коэффициент Ь5 (см. Таблицу 3.1) почти равен всей сумме В — 5И ==1Ьг. Анализ показывает, что 5 единственная диаграмма с особенностью при d — 2; 65 СІ —1/1024( і — 2). Похожая ситуация имела место при расчете величины Л в [1]: самый большой вклад давали диаграммы, имеющие полюс по d — 2. Как следует из (3.52), коэффициент при сингулярном вкладе в Л таков, что двухпетлевой вклад к ueff в целом оказывается конечным при d = 2 (см. (4.29)). Отметим также существенную компенсацию в (4.29) конечных при d = 2 вкладов в разности а — а-ф (см. (3.22)). В задачах настоящей диссертации — что характерно для теории возмущений в квантовополевых моделях — мы оперируем с асимптотическими (полусходящимися) рядами с типичным факториальным ростом числа диаграмм с порядком теории возмущений (ожидаемый рост числа диаграмм был детально рассмотрен для простой модели пассивной примеси с заданным случайным гауссовым полем скорости в [32]). Полусходящиеся ряды могут быть использованы для численной оценки, пока абсолютная величина очередной учтенной поправки меньше, чем вклад предыдущего порядка, При этом известно априори, что это свойство для рассматриваемых асимптотических рядов в каком-то порядке обязательно будет нарушено, Самый известный физический пример успешного использования полусходящихся рядов — квантовая электродинамика. В рамках ренормгруппового исследования динамической модели А был разработан численный метод расчета констант ренормировок, Основанный на известной R -операции, этот метод позволяет выделить расходящуюся часть диаграмм в виде единых УФ-конечных интегральных выражений, которые соответствуют вычетам полюсов по е.
В широко используемой схеме MS операция вычитания К сводится к отбору полюсной части ряда Лорана поэтому константы ренормировки содержат лишь отрицательные степены по е. Сама R -операция построена на основе операции вычитания К и порождает контрчлены, которые сокращают в исходной диаграмме расходимости подграфов Однако полученные контрчлены нельзя объединить с диаграммой в виде единого интегрального выражения, поэтому приходится использовать другую операцию вычитания К и построенную на ее основе R -операцию. В такой новой схеме действительно удается представить вычеты как интегральное выражение, которое находится затем численно методом Монте-Карло. Казалось бы задача может считаться решенной, но на самом деле нежелательно отказываться от схемы MS, поскольку, во-первых, используется ответ для уже вычисленных именно в схеме MS статических констант ренормировок, а во-вторых, минимальные вычитания позволяют заменить исходную ИК-регуляризацию на более удобную. Поэтому приходится учитывать также различие этих двух схем — оказывается, впрочем, что соответствующая добавка выражается рекуррентным образом через младшие диаграммы, что существенно облегчает счет. На основе этого метода был проведен четырехпетлевой счет констант реномировок для динамической модели А, что позволило рассчитать динамический критический индекс z сєА точностью: z = 2+0.0134є2 + 0.0110є:3 — 0.0056 є4+0(є5). Как видно, последняя поправка оказалась по величине в два раза меньше предыдущей (при є = 1 или d = 3), тем самым мы еще находимся на сходящемся участке асимптотического ряда. Заранее предсказать, начиная с какого члена разложения вклады резко возрастут, невозможно. Помимо критического индекса z интерес представляет величина R = (z — 2)/77, где г] - индекс Фишера. Добавив зависимость от числа компонент параметра порядка п, можно увидеть, что все члены разложения R по є кроме последнего не зависят от п, т.е. только найденная в данной работе последняя поправка зависит от п. Этот факт решает вопрос о полной независимости R от числа компонент. Следует вспомнить работу [22], в которой величина R была сосчитана вне рамок ег-разложения в пределе п —» од. Сравнивая разложение этого результата по є = 4 — d с полученным в данной работе выражением для R в пределе п —» оо, оказывается возможным проверить правильность вы- числений для части четырехпетлевых диаграмм, а именно диаграмм группы А: точность составляет примерно 0.05 %. Таким образом, в динамической задаче критического поведения впервые в рамках е-разложения получен четвертый порядок теории возмущений. На основе этих результатов были осуществлены различные варианты боре-левского суммирования с использованием асимптотики высоких порядков.
