Содержание к диссертации
Введение
1 Квантовая память для состояний света 16
1.1 Необходимость систем квантовой памяти 16
1.2 Пределы "классического" протокола записи и воспроизведения квантового состояния 20
2 Когерентное рассеяние света в формализме эффективного гамильтониана 28
2.1 Описание совместной динамики света и атомов 29
2.2 Связь эффективного гамильтониана с коллективными переменными 34
2.3 Динамические уравнения 38
3 Квантовая память для света в отсутствии канала потерь 46
3.1 Решение системы динамических уравнений 46
3.2 Структура спиновых поляритонных волн при прохождении светом протяженной атомной среды 51
3.3 Запись и восстановление импульса света в поляризационно сжатом состояния 54
3.4 Запись и восстановление когерентного импульса света 64
4 Протокол квантовой памяти с учетом канала потерь 72
4.1 Восприимчивость среды, взаимодействующей с управляющим и пробным полями 73
4.2 Восприимчивость среды при различных отстройках частоты управляющего поля от атомного резонанса 80
4.3 Эффект задержки пробного импульса при комбинационном рассеянии в атомной среде под действием сильного управляющего поля 84
Заключение 91
А Тензор атомной поляризуемости 93
В Динамика коллективных наблюдаемых атомной и световой подсистем 97
Список литературы
- Пределы "классического" протокола записи и воспроизведения квантового состояния
- Связь эффективного гамильтониана с коллективными переменными
- Структура спиновых поляритонных волн при прохождении светом протяженной атомной среды
- Восприимчивость среды при различных отстройках частоты управляющего поля от атомного резонанса
Введение к работе
Актуальность. Квантовая природа взаимодействия света с атомами является одной из центральных проблем теоретических и экспериментальных исследований с момента зарождения квантовой теории [1]—[5]. Достигнутые на протяжении последних десятилетий результаты значительно расширили возможности существовавших ранее приложений в области атомной и молекулярной спектроскопии высокого разрешения [б, 7, 8]. Принципиально новые возможности открылись для решения проблемы понижения шумов фотодетектирования, особенно актуальных в задачах магнитометрии и стандартизации частот [7]—[10]. Революционные изменения затронули и сравнительно новую область физики — квантовую оптику — где сформировалось новое и стремительно развивающееся направление, известное как физика квантовой информации. Данное направление включает в себя такие приложения как квантовые вычисления, квантовая криптография, а так же квантовые коммуникации и информационные сети [11]—[15]. Эти названия подсказывают нам, что они ориентированы на решение задач, поставленных перед соименными классическими направлениями, но принципиально другим способом, базирующимся на центральном аспекте квантовой теории — предположении об отсутствии в сущностной природе квантовых систем классического детерминизма. Данное обстоятельство было впервые сформулировано Гейзенбергом в виде принципа неопределенности [16].
Системы, поддающиеся квантовому описанию, могут находиться в состояниях, не имеющих аналога в рамках классических представлений о статистической неопределенности и трактовки понятия вероятности.
Использование специфических квантовых состояний материальных объектов, даёт возможность организовать принципиально новые протоколы, такие, например, как квантовая телепорация [17], но одновременно требует и выяснения вопроса о физической реализуемости протокола. Как следствие возникает новый круг задач об изучении возможных неклассических состояний различных физических систем, способов их приготовления и контроля, что является предметом активных обсуждений в литературе [18]—[21]. Впечатляющий прогресс в технике оптического эксперимента и стремительный прогресс теоретических исследований в области квантовой оптики, изучающей взаимодействие в оптическом диапазоне электромагнитного излучения с веществом, позволяет выделить следующую схему. Можно рассматривать свет как идеальный носитель информации, и атомы, как отдельные так и объединенные в многочастичные ансамбли, как удобные ячейки для её хранения и обработки.
В представленной диссертации нас будут интересовать макроскопические, неупорядоченные, пространственно протяженные атомные ансамбли, приготовленные в когерентном состоянии посредством оптической накачки, приводящей к поляризации их внутреннего спинового углового момента. Определенным достоинством подобных систем является богатый экспериментальный опыт работы с ними [22] и относительная простота приготовления и возможность добиться высокой эффективности взаимодействия в когерентном канале благодаря наличию в системе большого числа частиц. Значительный прогресс техники эксперимента по созданию атомных ловушек [23], позволяющих удерживать атомы в виде облака практически неподвижных частиц в условиях близких к идеальному газу, открывает хорошие перспективы для реализации различных квантовых информационных протоколов. В представленной диссертации рассматриваются особенности и оцениваются возможности подобных систем для реализации квантовых логических операций, имеющих большое значение для квантово-информационных задач. Важным примером,
исследованным в представленной работе, является квантовая память, физическая идея которой основана на когерентном контроле обмена квантовыми состояниями между атомной и полевой подсистемами. Также рассматриваемая система при определённых условиях может являться необходимым ресурсом для реализации протокола квантовой телепортации между объектами различной физической природы: электромагнитным полем и атомной средой [24].
Широкий спектр возможностей, открывающийся в процессе взаимодействия света с атомной средой, в значительной степени определяется наличием у атома богатой внутренней энергетической структуры. Важным для нас является существование сверхтонкой структуры, появляющейся вследствие взаимодействия между спиновыми моментами электронов атома и его ядра. Наличие сверхтонкой структуры создает и определенную сложность, связанную с необходимостью учета всех атомных подуровней, принимающих участие во взаимодействии, для корректного прогнозирования развития системы. С целью упрощения расчетов, рядом авторов используется подход в котором рассматривается модельный двухуровневый атом со спином 1/2, ограничивающий изменение поляризации света при когерентном рассеянии эффектом Фарадея [25]. Другим примером является атом со спином 1, допускающий возбуждение Л-типа, тем самым расширяющий канал поляризационных взаимодействий до всех возможными эффектов оптической анизотропии [21]. Подобные приближения являются удобными для теории и позволили описать большое количество известных оптических эффектов, применяемых для реализации квантовых протоколов. Примером является использование для протокола квантовой памяти эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности [26] и вынужденного комбинационного рассеяния света [27]. В реальности же, учет сложной многоуровневой структуры атома с произвольным спином помимо количественных поправок приводит также к ряду дополнительных явлений ввиду интерференции различных каналов, участвующих во взаимодействии.
Цельюнастоящей работы является создание многомодового протокола квантовой памяти при комбинационном рассеянии излучения оптически плотной атомной средой в стимулированном и когерентном режиме. В ходе работы, описанной в диссертации, осуществлено следующее:
Проанализирована предельная точность классических протоколов памяти, основанных на измерении квантовых состояний света: однофотонного, когерентного и сжатого.
Построены динамические уравнения для операторов Гейзенберга, описывающих эволюцию коллективных параметров атомной и полевой подсистем, при когерентном рассеянии вперед квазирезонансного излучения оптически плотным ансамблем атомов в отсутствии потерь.
3. В данной идеализированной модели исследованы особенности
многомодового обмена состояниями между спиновой и световой
подсистемами. В качестве примера, разобран протокол квантовой памяти для
отображения и восстановления импульса света в сжатом либо когерентном
состоянии.
Вычислена восприимчивость среды, состоящей из атомов щелочного металла, находящихся под воздействием сильного управляющего поля, к пробному нолю, действующему на связанном переходе. В данном варианте известного эффекта Аутлера-Таунса нами учтено влияние сверхтонкого взаимодействия, что необходимо для корректного описания динамики пробного импульса в оптически плотной атомной среде.
Проведен расчет динамики пробного импульса, распространяющегося через среду, состоящую из атомов щелочных металлов, в условиях вынужденного комбинационного рассеяния. Исследован эффект задержки и учтено влияние потерь вследствие некогерентного рассеяния.
Достоверность и научная обоснованность результатов и выводов диссертации основаны на использовании современного аппарата теоретической и математической физики. Взаимодействие света с атомной
средой рассматривается на основе квантовой электродинамики в полном соответствии с представлениями и требованиями современной квантовой оптики. В определенной степени новым для оптических приложений является использование в работе методов неравновесной диаграммной техники Келдыша [28], позволяющей как эффективно рассматривать элементарный акт взаимодействия и рассеяния света квантовой системой, так и строить макроскопические уравнения, описывающие процесс нелинейного взаимодействия света со средой. Важным для оценки достоверности представленной работы является сочетание независимых методов: решения задачи о распространении света через вещество на квантово-электродинамическом уровне с использованием формализма Гейзенберга и самосогласованного описания усредненного поля с помощью аппарата функций Грина и уравнений Максвелла. Часть представленных результатов имеет экспериментальное подтверждение.
Основные положения, выносимые на защиту:
Обнаружено, что процесс вынужденного комбинационного рассеяния света оптически плотным атомным ансамблем приводит к формированию спинового поляритона, объединяющего возмущения поляризации поля и спиновой когерентности среды. Показано, что динамика спинового поляритона, как и эффект задержки пробного светового импульса, обусловлена дисперсионными свойствами среды.
Найдено, что эффективность обмена квантовыми состояниями световой и атомной подсистем зависит от модового состава и типа отображаемых состояний. Обнаружено, что для сжатого, однофотошюго и когерентного состояний света имеются специфические для каждого состояния требования к модовому составу отображаемого светового импульса.
3. Установлены оптимальные условия для переноса информации о
различных квантовых состояниях светового импульса на поляризационную
подсистему атомной среды при комбинационном рассеяния света. В
этих условиях для поляризационно сжатого (эквивалентного сжатому), когерентного и однофотонного состояния света получена достоверность протокола квантовой памяти, превышающая предел достоверности, доступный для измерительного протокола.
4. Показано, что сверхтонкое взаимодействие в возбужденном состоянии атома щелочного металла усиливает эффективность вынужденного комбинационного рассеяния и позволяет рассчитывать на более высокий уровень достоверности протокола квантовой памяти, чем предсказанный в приближении лямбда-схемы. Это подтверждено численным расчетом, выполненным для атомов 133Cs находящихся в магнито-оптический ловушке.
Научная новизна представленной работы, по нашему мнению, состоит в следующем:
Анализ динамики световой и атомной подсистем, проведенный в рамках формализма эффективного гамильтониана, позволил получить аналитические выражения для операторов коллективных параметров системы в представлении Гейзенберга. Найденные зависимости полностью учитывают энергетическую структуру электронных состояний атомов щелочных металлов. Получены значения параметров эффективного гамильтониана, зависящие от сверхтонкого взаимодействия в атоме. Они отличаются от предсказания приближения Л-схемы, что представляется весьма существенным при описании динамики системы.
Проведен детальный анализ совместной поляритонной динамики операторов Стокса для поляризационной подсистемы излучения и операторов коллективного углового момента для спиновой подсистемы атомного ансамбля. Показано, что взаимодействие в различных спектральных модах приводит к различной эффективности квантового обмена состояниями этих мод.
3. Подробно рассмотрен протокол квантовой памяти в случае отображения
и восстановления импульса поляризационно сжатого света (эквивалентного
обычному сжатому свету), модовый состав которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты и характеризуется конечной спектральной полосой. Проведена сравнительная оценка предельной достоверности классической и квантовой памяти для света в сжатом состоянии.
4. Проведен расчет структуры Аутлера-Таунса с учетом влияния
сверхтонкого взаимодействия. Показано, что интерференционные эффекты
в системе сверхтонких подуровней возбужденного состояния существенным
образом влияют на восприимчивость среды по отношению к пробному
полю. В частности, исчезают идеальные условия, соответствующие резонансу
электромагнитно-индуцированной прозрачности.
5. Обнаружены условия при которых наличие сверхтонкой структуры
приводит к существенному усилению эффективности когерентного
стимулированного комбинационного рассеяния пробного излучения
атомной средой, находящейся под воздействием сильного управляющего
поля. Показано, что в этих условиях повышается также и предельная
эффективность протокола квантовой памяти для когерентного и
однофотонного состояний пробного света.товой памяти для когерентного
либо однофотонного состояния пробного света.
Общефизическая и практическая значимость работы вытекает из важности проблемы квантовой информации в целом. Фантастический прогресс в технике оптического эксперимента, совершенный в последние десятилетия, продемонстрировал новые возможности проверки и практического применения фундаментальных и глубоко интригующих положений квантовой теории, сжато сформулированных в принципе неопределенности Гейзенберга. Это, по существу, и привело к возникновению нового направления — физики квантовой информации, развивающейся в настоящее время в стремительно восходящем тренде. К истокам этого направления можно отнести ранние исследования энтузиастов: оригинальное предложение идеи квантового компьютера американским физиком Ричардом Фейнманом [29], и предшествующие ему общефизические
обсуждения квантовых пределов для информационных каналов в работах американского математика Клода Шеннона [30] и советских математиков Руслана Стратоновича [31] и Александра Холево [13]. К настоящему времени, понимание важности проблемы еще более возросло, и появился ряд экспериментов, демонстрирующих возможность телепортации состояний, отображения состояний в разных физических системах (квантовая память) и осуществления элементарных квантовых логических операций [21]. Это направление, вовлекающее все большее количество исследователей из разных областей физики, имеет принципиальное значение для выявления предельного знания, которое мы можем получить о состоянии как микроскопического, так и макроскопического объекта в процессе взаимодействия с ним. Этот вопрос, в свою очередь, теснейшим образом связан с выяснением физических пределов в управлении, как микро, так и макрообъектами с помощью современных микро и нанотехнологий.
Существует определенный прагматический интерес к проблеме квантовой информации, сформировавшийся сравнительно недавно благодаря достижениям последних десятилетий в лазерной физике и в квантовой оптике. Речь идет о возможности создания полностью защищенных изолированных компьютерных сетей в пределах расстояний доступных современной волоконной оптике. Разработка подобных систем интенсивно развивается в мире и отчасти является уже коммерческим проектом [32]. Имеются серьезные, но преодолимые технические трудности в расширении радиуса действия квантовых компьютерных сетей. В настоящее время эта проблема интенсивно обсуждается теоретически в плане выбора оптимальных протоколов для проведения демонстрационных экспериментов. Имеются обоснованные надежды, что необходимые для ее практического решения квантовые повторители (аналоги классических оптических усилителей) будут разработаны уже в ближайшие десятилетия. Обратим также внимание на то, что, с принципиальной физической точки зрения, для современных компьютерных сетей, требующих постоянного увеличения
объемов обрабатываемых информационных потоков, по-видимому, в перспективе нет другой альтернативы, кроме как осуществление и использование квантовых информационных протоколов. В связи с этим, исследования в этой области имеют фундаментальное значение для будущего микроэлектроники и прикладных направлений в оптике.
Проведенный анализ когерентного контроля квантового состояния света и спиновой подсистемы атомов приведет, как мы считаем, к появлению новых способов практической реализации квантовых логических устройств, необходимых для проведения квантовых вычислений, и создания систем связи и безопасности. В частности, нами показано, что на основе механизма обмена квантовыми состояниями может быть создано высокоэффективное квантовое запоминающее устройство, выполняющее функции принципиально недостижимые для классического измерительного протокола. Предложенная схема также может оказаться полезной при разработке однофотонного источника света, в котором момент вылета элементарной порции квантового излучения (фотона) контролировался бы как во времени так и в пространстве.
Апробация работы. По материалам диссертации выполнены доклады на следующих конференциях и научных семинарах:
Международной школе-семинаре по фундаментальной физике для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем "КИФМС-2005" (Суздаль-Владимир, Россия, 2005 г.);
NATO Advanced Research Workshop "Quantum information processing from theory to experiment" (Хания, о. Крит, Греция, 2005 г.);
Международных конференциях по квантовой и нелинейной оптике ICONO-2004, ICONO/LAT-2005 и 1СОШ/ЬАТ-2007(Минск, Беларусь, 2004 г., СПб, Россия, 2005 г. и Минск, Беларусь, 2007 г.)
IV-ом и V-ом семинарах по квантовой оптике, посвященных памяти Д.Н. Клышко (Москва, Россия, 2005, 2007 г.г.);
Continuous Variable Quantum Information Workshop (Копенгаген, Дания,
2006 г.)
ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics within the framework of IV International Optical Congress "Optics - XXI Century" (СПб, Россия, 2006 г.)
QUROPE Winter School on Quantum Information (Обэгугль, Австрия,
2007 г.)
XII International Conference on Quantum Optics and Quantum Information (Вильнюс, Литва, 2008 г.);
VII-ой Международной конференции "Лазерная физика и оптические технологии" ЛФиОТ-2008 (Минск, Беларусь, 2008 г.);
а так же на семинарах кафедры "Теоретическиа физика" СПбГПУ, на городском межинститутском семинаре по квантовой оптике при РГПУ им. А.И. Герцена, на семинаре национального центра по квантовой оптике института Нильса Бора (Копенгаген, Дания), на семинаре лаборатории узкополосной и атомной оптики в институте фотонных исследований ICFO (Барселона, Испания).
Основное содержание и результаты диссертации отражены в следующих публикациях:
[1] D. V. Kupriyanov, O.S. Mishina, I.M. Sokolov, В. Julsgaard, E.S. Polzik Mul-timode entanglement of light and atomic ensembles via off-resonant coherent forward scattering.- Phys. Rev. A..- 2005.- V. 77.- P. 032348.
[2] O.S. Mishina, D.V. Kupriyanov, E.S. Polzik Macroscopic quantum information channel via the polarization-sensitive interaction between the light and spin subsystems: NATO Advanced Research Workshop Quantum information processing from theory to experiment, May, Crete, 2005 // Proceedings.- 2006.- V. 199.-P. 346.
[3] 0.(7. Мишина, Д.В. Куприянов, И.М. Соколов, В. Julsgaard, E.S. Polzik Перепутывание световых и спиновых волн при когерентном рассеянии света вперед ансамблем ориентированных атомов.- Известия РАН.- 2006.- №3.- Т. 70.- с. 407.
[4] Oksana S. Mishina, Dmitriy V. Kupriyanov Quantum Memory via Coherent Scattering of Light by Optically Thick Atomic Medium // Quantum Communication and Security: Conf. pres. of NATO Science for Peace and Security Series, D: Information and Communication Security.- Amsterdam: IOS Press, 2007.- V. 11.- P. 155.
[5] O.S. Mishina, D. V. Kupriyanov, J.H. Muller, E.S. Polzik Spectral theory of quantum memory and entanglement via Raman scattering of light by an atomic ensemble.- Phys. Rev. A..- 2007.- V. 75.- P. 042326.
[6] O.S. Mishina, N.V. Larionov, A.S. Sheremet, I.M. Sokolov, D.V. Kupriyanov Stimulated Raman process in a scattering medium in application to quantum memory scheme.- Phys. Rev. A..- 2008.- V. 78.- P. 042313.
[7] O.C. Мишина, H.B. Ларионов, А. С. Шеремет, Д.В. Куприянов Атомная память для света на основе эффекта вынужденного комбинационного рассеяния света // Лазерная физика и оптические технологии: Сборник научных трудов международной конф..- Минск: ООО тип-ия Макарова и Ко., 2008.- т. 3.- с. 86.
Личный вклад автора. Основные результаты, представленные в диссертации получены автором лично; выбор общего направления исследования, обсуждение и постановка рассматриваемых задач осуществлялись совместно с научным руководителем.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений на 9-й страницах. Полный объем диссертации составляет 109 страниц, в том числе 18 рисунков и список литературы (81 ссылка) на 8-й страницах.
Появлением представленной работы на свет, я обязана прекрасным окружающим меня людям, которым хотелось бы выразить безграничную благодарность. Я глубоко признательна научному руководителю, Дмитрию Васильевичу Куприянову, за переданный мне бесценный опыт и отзывчивость. Он открыл передо мной интереснейшие научные горизонты и перспективы дальнейшего развития, с его помощью я стала востребованным
специалистом. Большую благодарность хотелось бы выразить Соколову Игорю Михайловичу за интенсивные дискуссии, ценные советы и замечания в ходе работы над диссертацией. Так же хотелось бы поблагодарить Николая Ларионова, Александру Шеремет и Джонатана Бора Браска за продуктивные обсуждения полученных результатов и неоценимую дружескую поддержку. Признательность и благодарность хотелось бы выразить сотрудникам кафедры "Теоретическая физика" СПбГПУ за поддержку и отзывчивость. Так же хотелось бы поблагодарить членов лаборатории QUANTOP института Нильса Бора за сотрудничество и продолжительные дискуссии о практических приложения полученных в работе результатов. Низкий поклон и благодарность коллективу кафедры "Экспериментальная ядерная физика" на которой я провела свои незабываемые студенческие годы. Так же хотелось бы выразить сердечную благодарность участникам городского межвузовского семинара по квантовой оптике при РГПУ им. А.И. Герцена за активное обсуждение и интерес к представленной работе.
Отдельную, благодарность позвольте выразить моей дорогой маме, Мишиной Лидии Куприяновне, за неоценимый вклад и непосредственное участие в появления рукописи диссертации, и семье за любовь, поддержку и заботу. Так же огромное спасибо моим близким друзьям за сопереживание и присутствие. Отдельное спасибо Павлу Кузнецову, за ценные советы и замечания по лингвистическим вопросам.
Огромное спасибо фондам, финансирующим развитие фундаментальной науки и поддерживающим проводимые в ходе представленной работы исследования: РФФИ (гранты по проектам: 04-02-26578-3, 05-02-16172-а, 08-02-91355-ННФ-а), фонд Дмитрия Зимина "Династия" (годовая стипендия по программе поддержки студентов 2005, двухгодичная стипендия по программе поддержки аспирантов 2006-2007), INTAS (проект ID: 7904), Президента Российской федерации (стипендия для прохождения научной стажировки за границей на 2007-2008 учебный год).
Пределы "классического" протокола записи и воспроизведения квантового состояния
Обсудим более детально проблему, сформулированную в конце предыдущего параграфа, и рассмотрим ограничения классического протокола памяти, диктуемые конкретными процедурами измерительными. Здесь pout - матрица плотности статистического ансамбля, соответствующего восстановленному состоянию системы. Из данного определения следует, что усредненную достоверность F имеет смысл использовать в том случае если достоверность для чистого ансамбля не постоянная функция входного состояния \фгП), как например в случае записи состояния одного фотона, обладающего неизвестной поляризацией. Ввиду того, что разложение произвольного чистого состояния фотона допустимо в любом базисе ортогональных поляризаций, при измерении его поляризации в этом базисе с конечной вероятностью возможны оба результата. Достоверность F будет пробегать значения от F = \ в случае равноправной суперпозиции до 1 в случае состояния, являющегося собственным в базисе детектирования. Задавшись равновероятным распределением направления поляризации получим среднее значение достоверности классического канала F = . Данный результат свидетельствует о том, что информация полученная нами в результате однократного измерения позволит нам воспроизвести фотон, состояние которого будет совпадать с исходным с точностью 66.(6)% [45], в отличии от 50%-го совпадения, соответствующего отсутствию измерения и использованию случайной догадки.
Приведенный пример является ярким представителем класса состояний, удобно описываемых с помощью дискретного набора параметров, проекций волновой функции на счетный набор базисных векторов, определяемых измерительной установкой. В данном случае поляризационный делитель задаёт направление двух ортогональных базисных векторов и каждый фотон измеряется с помощью идеального однофотонного детектора. Эффективность такого прибора на практике, по состоянию на сегодняшний день, стремительно растет, но все же он не является идеальным, смотри [42] и главу 3 кандидатской диссертации [43], что дополнительно снижает качество и/или скорость работы любого измерительного (классического) протокола. Интересно, однако, что в противоположность однофотонным детекторам, более высокой эффективностью обладают аналоговые детекторы измеряющие большие потоки фотонов с высокой точностью. В этом случае исчезает практическая необходимость использовать волновые функции и свойства отдельных частиц для описания динамики системы, и обычно рассматриваются коллективные свойства системы в целом. Действительно, для подобной системы всегда можно изменить число частиц, например на единицу, не поменяв ее макроскопического квантового состояния. Однако, формально, перекрывание волновых функций, рассмотренных на микроуровне, дает (N — 1\N) = 0.
Обычно для описания поляризационных свойств макроскопического потока излучения и введения формализма непрерывных переменных используют набор потоковых операторов Стокса Е = (Hi,2,) (см-[44]), точное определение которых приведено далее в параграфе 2.2 2-ой главы. Каждый параметр представляет собой разность потоков фотонов имеющих ортогональные поляризации в одном из трех базисов: круговом и двух линейных, повернутых на угол 7г/4 по отношению друг к другу. В случае полностью поляризованного излучения наблюдаемые значения этих трех операторов, интерпретируемые как вектор Стокса, находятся на сфере с радиусом, равным среднему значению полного потока фотонов S2 = HQ. Ввиду принципа неопределенности Гейзенберга, реально измеряемые значения параметров распределены в окрестности некоторых ожидаемых значений, а именно области неопределенности, минимальный допустимый размер которой определяется корнем из полного потока фотонов уНо, и представляет главный интерес для квантово информационных приложений. При достаточно большом потоке фотонов часть сферы, занятую областью неопределенности, можно считать плоскостью, ассоциированной с касательным расслоением сферы. Оператор проекции вектора Стокса на его среднее направление, рассматривается как с-число, равное среднему значению потока фотонов, а две оставшиеся проекции при надлежащей нормировке адекватно описываются в терминах канонических переменных гармонического осциллятора. Точность такого приближения, предложенного впервые Голыптейном и Примаковым для перехода от оператора вектора коллективного углового момента к бозонным операторам при описании макроскопической системы спинов [46], определяется обратным отношением числа возбуждений с поляризацией, совпадающей с макроскопической средней к числу возбуждений в моде с ортогональной поляризацией. Как следствие, микроскопическая структура световой подсистемы полностью исчезает из нашего описания и введение коллективных канонических переменных никоим образом не меняется при добавлении или изымании небольшого количества фотонов, число которых много меньше масштаба квантовых флуктуации. Физически подпадающий под данное описание свет всегда можно представить в виде суперпозиции двух полей: сильного когерентного, иногда называемого классическим, с поляризацией, заданной средним направлением вектора Стокса, и слабого квантового в ортогональной поляризации. Отображение слабого излучения на фазовой плоскости его квадратурных компонент полностью эквивалентно распределению флуктуирующих параметров Стокса на плоскости, ортогональной среднему вектору Стокса.
Таким образом, при смешении слабого светового сигнала с определённой поляризацией, находящегося в произвольном квантовом состоянии, с сильным классическим светом в ортогональной поляризации мы можем последовательно перейти к описанию системы в непрерывных переменных и использованию высокочувствительных аналоговых детекторов при балансном поляризационном детектировании. Процедура измерения потоковых наблюдаемых Стокса полностью эквивалентна методу балансного гомоденирования, и позволяет измерить значения квадратур слабого излучения, то есть одну точку на фазовой плоскости, сопоставляемой ожидаемому значению комплексной амплитуды этого излучения. Так как любое квантовое квази-распределение значений канонических переменных на фазовой плоскости носит непрерывный характер, эта точка всегда с ненулевой вероятностью принадлежит к различным состояниям. Таким образом, платой за высокую эффективность измерения является то, что не существует приоритетного базиса на который происходило бы проецирование состояния поля при случайном измерении, ввиду чего, достоверность такой классической схемы памяти принципиально не может достигнуть единицы даже для входного ансамбля, представленного чистым когерентным состоянием.
Наиболее широко исследованными и чаще всего обсуждаемыми являются состояния, статистические ансамбли которых описываются матрицей плотности в представлении Вигнера (определяемым квазивероятностным распределением канонических переменных на фазовой плоскости) в виде гауссовых функций [56]. В случае чистого ансамбля, произведение среднеквадратичных отклонений в гауссовом распределении канонических переменных достигает своего минимального значения в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга.
Связь эффективного гамильтониана с коллективными переменными
Макроскопическими характеристиками излучения, которые будут интересовать нас в дальнейшем, являются потоки фотонов, измеряемые с помощью метода балансного поляризационного фотодетектирования. Принципиальное значение этих наблюдаемых обсуждалось нами в пункте 1.2 предыдущей главе. Здесь для нас важно, что введенный в рассмотрение оператор эффективного гамильтониана (2.5) может быть выражен через соответствующие потоковые операторы коллективных наблюдаемых световой подсистемы и операторы поляризационных моментов атомов.
Поляризационные свойства излучения в наиболее общем случае описываются с помощью четырех потоковых операторов Стокса. Полный поток фотонов через поперечную поверхность площади S определяется оператором So(z, t): So( ,i) = гЁН( )Ё(+)( ) (2.10) Оператор i(z, t) определяется разностью потоков фотонов линейно поляризованных в ортогональных направлении и г), лежащих под углом 7г/4 по отношению к декартовым осям х и у в плоскости перпендикулярной направлению распространения света: Hi( , ) = 2 [E{f\z,t)E +\z,t) -Ё1-\г,1)ЁЫ{гЛ] (2.11) Оператор 2(2, t) определяется разностью потоков фотонов в правой и левой поляризации "2СМ) = 4 [4 W)4+W) "4 W)4+W)] (2.12) Последний из набора операторов Стокса оператор E, (z,t) определяется разностью потоков фотонов линейно поляризованных в направлении х и у НзОМ) = 2 [ -)(г, ) +)(г, ) - E (z,t) E (z,t)] (2.13) Ввиду отсутствия каналов потерь полный поток SQ(Z, t) будет являться интегралом движения, так же как и гейзенбергов оператор полной населенности основного состояния атома. Последний может быть выражен через операторы Т (г,і), рассматриваемые для всех сверхтонких подуровней основного состояния.
В приложениях нас не будут интересовать эффекты, обусловленные наличием сверхтонкой когерентности в основном состоянии. Эта когерентность проявляется в существовании очень быстрых осцилляции атомных поляризационных компонент более общего вида чем определенные соотношением (2.1) и учитывающие возможность FQ = FQ, которые несущественны для описания интересующих нас низкочастотных флуктуации коллективных наблюдаемых, как световой, так и атомной подсистем. По этой причине будут учтены атомные переходы в которых участвуют лишь одно из основных сверхтонких состояний FQ и все разрешенные в дипольном приближении состояния F возбужденного сверхтонкого мультиплета.
Динамика системы, обусловленная данным эффективным гамильтонианом, позволяет выделить важные эффекты, возникающие в процессе взаимодействия. Изотропная компонента 7 уД) обуславливает наличие в среде коэффициента преломления независящего от поляризации поля. Это слагаемое описывает существование светового сдвига основного сверхтонкого подуровня как целого, а также расщепление зеемановского мультиплета, обусловленное эффектом выстраивания и поперечной структурой световой волны.
Слагаемое H At) обусловлено наличием в среде различных коэффициентов преломления для полей с ортогональной круговой поляризацией, известное как эффект оптической гиротропии. Стандартным проявлением оптической гиротропии является поворот плоскости линейной поляризации, отражающейся на взаимном периодическом изменении вдоль среды компонент Стокса Si(z,t), и Нз( ,).
Как было отмечено ранее структура эффективного гамильтониана требует учета поляризационных операторов атомной подсистемы не выше второго ранга. Благодаря коммутационным соотношениям в процессе динамики системы оказываются связанными операторы и боле высоких рангов, включая К 2. Однако, предполагая слабость взаимодействия атомной и световой подсистем, когда элементарные процессы с участием более двух фотонов игнорируются, описание атомной подсистемы может быть ограничено компонентами ориентации ГХд, () и выстраивания Т2о(і), т. е. поляризационными моментами не выше второго ранга. Как будет ясно из дальнейшего изложения, это эквивалентно линеаризации уравнений Гейзенберга, построенных с помощью данного эффективного гамильтониана.
Описанные выше эффекты хорошо известны из полуклассической теории взаимодействия излучения с веществом, в которой атом рассматривается как квантовый объект, а поле, как классический, см. [22]. Подчеркнем, что в рассматриваемом случае мы имеем дело с полностью квантовым подходом, который позволяет следить за эволюцией квантового состояния, как атомной, так и световой подсистем, и контролировать процесс обмена состояниями и перепутывания световой и атомной подсистем.
Заметим, что коэффициенты при различных слагаемых гамильтониана в виде скалярной, тензорной и векторной атомной поляризуемости являются спектрально чувствительными и могут меняться как по абсолютной величине так и по знаку в зависимости от отстройки Ага. Более того, в реальной многоуровневой конфигурации, учитывающей все компоненты сверхтонкого мультиплета, можно обнаружить спектральные области, где один из рассмотренных вкладов гамильтониана является преобладающим. Данная особенность играет важную роль при использовании рассматриваемой системы в качестве физического объекта для реализации различных квантовых протоколов. В следующем параграфе мы проследим, каким образом в процессе когерентного рэлеевского и комбинационного рассеяния вперед можно осуществить некоторые важные для квантово-информациопных приложений логические операции.
Как было отмечено во введении и первой главе, важным элементом квантового алгоритма является квантовая ячейка памяти. Преследуя цель сохранить полную информацию о квантовом состояние света в атомной подсистеме рассмотрим иллюстрирующий пример. Предположим, что состояние света и атомов апроксимируется системой двух взаимодействующих осцилляторов. Отвлекаясь от конкретного механизма взаимодействия, рассмотрим унитарное преобразование под действием следующего гамильтониана Ем = ha(aAaL + а\аА) = ha{XAXL + PAPL) (2.19) Здесь CLAtL\ и aA(j операторы рождения и уничтожения возбуждения в атомной (световой) подсистеме, а ХАщ — (&A(L) A(L))/V И PA(L) = ( A(L) 4(i,))/\/2 соответствующие канонические переменные. Заметим что гамильтониан Нм с точностью до фазового множителя описывает обмен состояниями между атомной и световой подсистемой, который происходит с частотой 2а/тг сек-1. Для осуществления однократного обмена квантовыми состояниями между светом и атомами, необходимо уметь остановить взаимодействие по истечению одного периода (2ск/7г)-1. В результате мы будем иметь атомную систему сохранившую в себе полную информацию о первоначальном квантовом состоянии света, организовав тем самым процесс "записи". Разрешив атомной подсистеме по истечении желаемого времени взаимодействовать с излучением в произвольном квантовом состоянии, можно снова добиться обмена состояниями между атомами и светом, по окончанию которого свет будет находиться в состоянии идентичном первоначальному на этапе записи. Т.о. может быть осуществлен протокол квантовой памяти.
Рассмотренное преобразование содержит лишь идею реализации квантовой памяти. Обратимся теперь к эффективному гамильтониану 7ieff: описывающему реальное взаимодействие между световой и атомной подсистемами. Данный гамильтониан имеет существенно более сложную структуру, чем разобранный пример, но и более интересен с точки зрения реализации различных квантово-информационных протоколов, выполненных экспериментально [61, 24, 62] и предложенных в теории [63, 64]. Обратимся сначала к тензорной части гамильтониана 7" // и покажем при каких условиях её действие аналогично преобразованию под действием Нм- Рассмотрим схему возбуждения приведенную на рисунке (2.1), где все атомы ансамбля находятся в состоянии с максимальной проекцией углового момента т — FQ в направлении z, параллельном распространению излучения.
Структура спиновых поляритонных волн при прохождении светом протяженной атомной среды
Рассмотрим условия необходимые для осуществления протокола памяти, т. е. позволяющие осуществить обмен состояниями между атомной с световой подсистемами. Для этого проанализируем более детально ситуацию, когда динамика системы носит волновой характер, и управляющий параметр А 0. Медленное развитие процесса (2.24) как во времени так и в пространстве, характерное как для параметров Стокса, так и для поляризационных операторов среды, может быть интерпретировано как распространение коллективного, согласованного возбуждения среды и электромагнитного излучения, для которого в литературе используется термин поляритон или в нашем случае спиновый поляритон [65, 59]. Дисперсионные свойства при распространении такой квазичастицы диктуются соотношением между частотой и волновым числом (3.6), определенными в нашем случае преобразованием Лапласа. Для большей наглядности волновых свойств перейдем к описанию обратного преобразования в терминах представления Фурье, что всегда можно сделать в случае динамической задачи. Для этого переобозначим р = iQ и s — — Ш и придем к разложению состояния спинового поляритона в виде суперпозиции плоских волн. Таким образом мы приходим к дисперсионному закону вида Q = Л/fi, совпадающему на крыльях гиперболы с дисперсионным поведением вблизи резонанса типичного лоренцева контура q — А/(ш — LUQ + г\) при наличии линейного затухания с некоторой константой затухания Г IC LOQ.
Ранее было показано, что рассматриваемый нами свет представляет суперпозицию слабой квантовой и сильной классической мод в ортогональных круговых поляризациях, см. п. 1.2 главы 1, а введенные нами потоковые операторы Стокса являются аналогом канонических переменных для квантовой моды. В рассматриваемой геометрии квантовый свет обладает левой поляризацией, а классический — правой. Таким образом, поляритонная динамика, возникающая при стимулированном комбинационном рассеянии излучения, обладает теми же свойствами что и волновая для слабого квантового излучения. Отличие от истинного дисперсионного закона, проявляющееся в наличии расходимости вблизи нуля является естественным следствием пренебрежения некогерентным рассеянием, или говоря иначе, затуханием излучения при прохождении разреженной среды. Интерпретация распространения слабой моды в среде, дисперсионные свойства которой обусловлены эффектом Аутлера-Таунса, будет проведено нами далее. При этом, понимание процесса в терминах распространения спинового поляритона также остается вполне адекватным: происходит периодический динамический переход/обмен возбуждением между световой и спиновой подсистемами. Несмотря на очень сильное упрощение, связанное с игнорированием канала потерь, точность подобного приближения остается высокой, если в обсуждении интересоваться только эффектом задержки светового импульса. Данное утверждение будет далее нами подтверждено представленными численными расчетами.
Дисперсионное соотношение (3.6), связывающее временную и пространственную моды, ответственно и за свойства квантового обмена. Чтобы это показать, рассмотрим характеристики излучения на выходе из ансамбля, определяемые временной зависимостью параметров Стокса на выходной границе образца Hi(L, t) и Е1ш(Ь, і), и пространственное распределений поляризационных операторов по окончанию цикла взаимодействия T\(z,T) и Тш( г, Г). В этом случае частотная переменная О, будет относиться к световой, а волновой вектор Q — к атомной составляющей возникающего поляритона. Важно отметить, что связь между временными модами излучения и пространственными модами среды описывается полностью симметричным дисперсионным соотношением (3.6), что позволяет сделать заключение о том что обмен осуществляется между связанными этим соотношением модами подсистем.
Проиллюстрируем отмеченные выше спектральные свойства рассматриваемого протокола памяти, на примере квантовых состояний определенного типа. В данном параграфе рассмотрим сжатые состояния поля, введенные в главе 1, которые характеризуются нулевым средним значением амплитуды а — О, неизвестным параметром сжатия s и неизвестным углом ориентации эллипса сжатия в фазовом пространстве в, см. рис. 3.1. Как было отмечено ранее, стационарный световой поток сжатого излучения может быть приготовлен, например, с помощью оптического параметрического усилителя в режиме ниже порога генерации, и описывается корреляционными функциями с характерным временем корреляции тс- На спектральном языке, это выражается в наличии конечного частотного диапазона 0 О т 1 в котором наблюдается подавление либо усиление флуктуации параметров Стокса по отношению к дробовому (стандартному квантовому) пределу.
Прямое увеличение параметра ALT, диктуемое необходимостью минимизировать остаточный вклад начального состояния спиновой подсистемы, приводит одновременно к перераспределению входного временного спектра сжатого излучения по большему набору пространственных мод и, как следствие, к уменьшению степени сжатия в спиновой подсистеме для каждой пространственной моды в отдельности. Поэтому эффективность передачи будет тем выше, чем более широкополосным является исходное сжатое излучение. Обратим также внимание на то, что нижняя граница интервала волновых векторов Q —» 0 для ансамбля конечной длины L, превращается в интегральную моду, определяемую предельной разрешающей способностью пространственного спектра L-K В процессе записи это обстоятельство проявляется в том, что при условии L l \А\тс (Т/ТС \A\TL) в область наименьших мод Q должна отобразиться та часть спектра полевой системы где сжатие отсутствует, а сам спектр сжатия полевой подсистемы будет корректно отображен в атомном ансамбле. Если же разрешающая способность мала, и \А\тс L l (\A\TL T/тс), что заведомо выполняется для широкополосного сжатого излучения, то в коллективной моде спиновой подсистемы сформируется некоторое сжатое состояние со степенью сжатия близкой к его значению для входного излучения. Заметим также, что в случае конечного спектра и при выполнении неравенства y/ATL T/TQ ATL интегральная пространственная мода Q L"1 не является оптимальной при желании воспроизвести максимально возможную степень сжатия.
Результатом протокола записи является формирование сжатого состояния в спиновой подсистеме, характеризуемого определенными пространственными корреляционными функциями. Спектр корреляционных функций одного из атомных операторов будет содержать провал ниже стандартного квантового предела, а спектр второго канонически сопряженного ему, соответственно, увеличение среднеквадратичного отклонения. Явление сжатия и разжатия будут наблюдаться в определенном диапазоне пространственных мод. Ввиду того, что обмен состояниями между световой и спиновой подсистемами будет происходить эффективно не для всех мод, световая подсистема так же останется частично в сжатом состоянии, а параметр сжатия для атомных компонент будет несколько ниже чем для входного состояния света. Однако следует отметить, что непосредственно ориентация эллипса сжатия в фазовом пространстве 9 будет идеально отображена по сути протокола. Никакой информации о направлении координатных осей х, у и , г/, к которым привязано определение параметров Стокса, в этом процессе наблюдателю не передается.
Восприимчивость среды при различных отстройках частоты управляющего поля от атомного резонанса
Как было ранее отмечено, существуют по крайней мере две области дисперсионной зависимости восприимчивости среды, имеющие интерес с точки зрения их полезности для протокола квантовой памяти, т. е. обеспечение задержки пробного импульса при его прохождении через атомный ансамбль. Это дисперсия среды вблизи резонансов поглощения (резонансы Аутлера-Таунса) и область электромагнитной индуцированной прозрачности (ЭИП). Каждая из этих областей имеет свои преимущества в зависимости от соотношений между параметрами задачи, а именно между частотой Раби Qc, отстройкой управляющего поля от атомного резонанса А, и скоростью спонтанного распада 7- Как показано в [59], каждая из этих спектральных областей удобна для отображения импульсов определённой длительности. Тем самым протоколы комбинационного рассеяния и ЭИП не конкурируют между собой, а дополняют друг друга. Обсуждаемые в работе [59] оптимальные условия для ЭИП предполагают Qc С 7 и Д — 0 в то время как для работы вблизи резонанса поглощения предпочтительным является неравенство Qc 7- В данном параграфе рассмотрим спектральное поведение восприимчивости среды при различных соотношениях между параметрами взаимодействия, и для различных отстроек Д.
Анализ спектрального поведения восприимчивости среды в присутствии управляющего поля, действующего в крыле атомного резонанса, преследует по крайней мере две цели. Во-первых, будет установлена точность сделанных ранее заключений о дисперсионных свойствах среды, а именно проведено сравнения найденной в параграфе 3.4 главы 3 восприимчивости при отсутствии каналов некогерентного рассеяния (3.17) с вещественной частью восприимчивости (4.5) {UJ). Во-вторых, будет выявлен ряд принципиальных ограничений обусловленных применением более простого приближения идеальной Л-схемы, предполагающей наличие у атома лишь одного возбужденного состояния и игнорирующего сверхтонкое взаимодействие.
В случае однородной среды удобно использовать в качестве естественного масштаба восприимчивости безразмерную плотность no(A/27r)3, где щ — концентрация атомов, Л — длина волны излучения. Рассмотрим типичные спектральные зависимости для различных отстроек, удовлетворяющих неравенству А 7- В качестве внешнего параметра, характеризующего силу взаимодействия с управляющей модой, нами определена частота Раби, заданная матричным элементом связывающим управляющую моду с нижним сверхтонким подуровнем возбужденного состояния Q,c — 2\Vnm \/h. На рисунках 4.2 и 4.3 приведены зависимости для вещественной (дисперсионной) и мнимой ("поглощательной") компонент восприимчивости среды для одинаковых значений частоты Раби Г2С = 157 и различных отстроек управляющей моды А. Реального поглощения света в нашем случае нет, а мнимая компонента восприимчивости ответственна за канал потерь, связанный с процессом некогерентного рассеяния.
На рисунке 4.2 приведена вещественная (дисперсионная) часть восприимчивости х (с ) (сплошная кривая) и проведено сравнение с ее приближенной зависимостью, игнорирующей потери (пунктирная кривая), которая использовалась нами в предыдущей главе, для трех значений отстроек А = — ЮО7, 507, 3067- Для всех трёх случаев отстройка управляющего поля от ближайшего атомного резонанса А 7, однако идеальное совпадений истинной и приближенной зависимостей достигается при первых двух отстройках, а именно, в окрестности нижнего возбужденного состояния атома. Значительное расхождение сплошной и пунктирной кривой при отстройке А = ЗО67 обусловлено тем фактором, что матричный элемент ІКг то І в у7 раз превосходит \Vnm \ тем самым приближая величину эффективной частоты Раби к 407 что сравнимо с величиной отстройки от атомного резонанса. В этом случае ограничение лишь низшим порядком теории возмущения для оценки положения резонансов Аутлера-Таунса недостаточно.
Наблюдение эффектов выстраивания — Л-связывание нижних зеемановских состояний с AM = ±2 — было бы невозможным. Из приведенных зависимостей видно, что обусловленный подобной связью резонансный пик Аутлера-Таунса в окрестности управляющей моды уменьшается с ростом отстройки Д в крыле .Di-перехода (сплошные кривые). В тех же условиях расчет проведенный в рамках изолированной Л-схемы дает постоянное значение амплитуды резонанса вне зависимости от отстройки А (пунктирные кривые), меняется (сужается) лишь ширина резонанса.
Рассмотрим теперь случай, когда управляющая мода резонансна частоте одного из переходов сверхтонкого атомного мультиплета. В отличии от Л-приближения очевидно будет наблюдаться нарушение симметрии структуры резонансов Аутлера-Таунса. Зависимости рисунка 4.4 соответствуют случаю резонансного взаимодействия управляющей моды с переходом \т ) —» п). Для этого случая приведены все три компоненты триплета Аутлера-Таунса демонстрирующие принципиальное различие с менее точным приближением, игнорирующим состояние п ). Из рисунка следует, что "поглощательные" и дисперсионные резонансы вблизи невозмущенного уровня \п) имеют различную амплитуду, что становиться заметным при больших значения частоты Раби Qc Э 7- Появляется так же дополнительный сдвиг квазиэнегритических подуровней, обусловленный наличием верхнего возбужденного состояния.
На вставке рисунка 4.4 показано, что существование сверхтонкого взаимодействия приводит и к новому качественному эффекту. В системе исчезают условия, обеспечивающие идеальное проявление эффекта ЭИП, а точка минимума поглощения оказывается смещенной в низкочастотную область. Величина светового сдвига оказывается весьма существенной, и данный эффект наблюдался в одном из первых экспериментов по замедлению прохождения света в оптически плотных атомных системах [80]. Исчезновения условий идеальной прозрачности является следствием существования интерференционных вкладов в структуре восприимчивости среды в многоуровневой задаче. Этот эффект, хотя и являющийся слабым в своем количественном проявлении, интересен с точки зрения трактовки и определения "темного состояния" , возникающего в условиях Л-резонанса полевых мод. С практической точки зрения, тем не менее, для описания эффекта задержки пробного светового импульса, обусловленного дисперсионной частью восприимчивости среды вблизи нуля, отличие от приближения Л-схемы представляется не столь существенным.
