Содержание к диссертации
Введение
Некоторые обратные задачи, связанные с диагностикой внутреннего температурного состояния стальных заготовок 18
Общая постановка задачи 18
О единственности восстановления начальной температуры образца прямоугольного сечения по измерениям на некоторой части поверхности 22
О единственности восстановления начальной температуры образца прямоугольного сечения по показаниям движущегося датчика 27
О единственности восстановления начальной температуры цилиндра по измерениям на поверхности (одномерная осесимметричная модель) 30
О единственности восстановления начальной температуры цилиндра конечной длины по измерениям на боковой поверхности (двумерная модель ) 34
О единственности восстановления начальной температуры заготовки цилиндрической формы по показаниям датчика, движущегося по боковой поверхности (трехмерная модель) 38
Формулировка алгоритмов численного решения обратных задач 44
Результаты математических экспериментов на ЭВМ по восстановлению начального распреде ления температуры 47
ГЛАВА 2. Математическое моделирование процессов внутреннего теплообмена заготовок в теплоизолированном контейнере 50
I. Общая постановка задачи и вопросы выбора различных моделей описания процесса 50
2. Математические модели и алгоритмы числен ного решения задач 56
3. Результаты расчетов на ЭВМ и их анализ 62
4. О возможности статистического подхода к моделированию внутреннего теплообмена 64
ГЛАВА 3. Оценки тепловых эффектов при горячей прокатке 73
I. Общая постановка задачи и выбор математических моделей описания процесса 73
2. Алгоритм численного решения обратной задачи восстановления функции источника и его экспериментально-математическое обоснование 78
3. Модель и алгоритм расчета мощности тепло выделения и температурного поля заготовки 81
4. Результаты математического моделирования процесса прокатки и их анализ 87
Литература
- О единственности восстановления начальной температуры образца прямоугольного сечения по измерениям на некоторой части поверхности
- О единственности восстановления начальной температуры цилиндра по измерениям на поверхности (одномерная осесимметричная модель)
- Математические модели и алгоритмы числен ного решения задач
- Алгоритм численного решения обратной задачи восстановления функции источника и его экспериментально-математическое обоснование
Введение к работе
1. В настоящее время метод математического моделирова
ния физических процессов на ЭВМ широко применяется и при
решении технологических задач организации производства
[i~7j Если составлена математическая модель процесса, то математический эксперимент позволяет воспроизвести его на ЭВМ, что даст возможность решать задачи управления.
Математическое моделирование предполагает, что технологический процесс может быть описан системой уравнений с известными краевыми условиями и параметрами, что не всегда возможно. В последнем случае часто можно воспользоваться методом обратных задач, алгоритмы решения которых доставляет теория регуляризации. Так, в работах [8~12j использование метода обратных задач позволило провести моделирование конкретных процессов в целом.
2. Кафедра математики физического факультета МГУ, на
которой выполнена настоящая диссертационная работа, развива
ет интенсивное сотрудничество с АВТО-ЗИЛ. В ходе этого сот
рудничества в работах "5", iZ~l?J решен ряд задач, ка
сающихся конкретных технологических процессов.
Настоящее исследование связано с проектированием на ЗИЛе непрерывного технологического цикла. Речь идет об организации процессов разливки и термической обработки стальных заготовок таким образом, чтобы утилизовать отходы производства и свести к минимуму энергетические потери при переключении элементов технологического цикла. Такое направление
работы, отвечающее директивам ХХУІ съезда КПСС, а также примыкающее к широко развиваемой проблематике математического моделирования, определяет ее актуальность.
В диссертации в рамках подходящих математических моделей решен ряд вопросов, относящихся к организации такого цикла.
Поскольку задачи управления процессом литья достаточно подробно изучены в специальной научной литературе [it 2 ,
18- 2 il » они в наст0ЯЩей работе не затрагиваются. Задачи химико-термической обработки /закалка, цементация/ также изучены, в частности, в работах[4 І7?22'25]. В настоящей диссертации рассматриваются вопросы, связанные с экономией энергии в процессах транспортировки и первичной термообработки заготовок. Необходимо отметить, что вопросами снижения потребления энергии в процессе непрерывного литья стали в последнее время занимаются и за рубежом /см.,например, [26]/' Тем не менее,эти вопросы еще не достаточно хорошо разработаны, и новизна возникающих здесь задач определяет и новизну полученных в диссертации результатов.
Научная достоверность конкретных результатов подтверждена точным математическим анализом проблемы, либо /для результатов методического плана/ численными экспериментами, а там, где возможно, - сопоставлением с данными эксперимента физического.
3. Основное содержание диссертации изложено в трех главах.
Петэвая глава посвящена задачам контроля над внутренним
температурным полем заготовки, полученной методом непрерыв-
ного литья. Такой контроль необходим для оценок степени равномерности внутренней температуры и установления на их основе времени начала очередного этапа термообработки. Целью этой части работы является обоснование и планирование физического эксперимента, предназначенного для измерений температуры некоторой части поверхности. По данным этих измерений, представляющих собой априорную экспериментально доступную исходную информацию, необходимо определить внутреннее температурное поле заготовки как решение обратной задачи.
Обоснованию постановки эксперимента служит решение проблемы единственности восстановления начального температурного распределения ^ /поскольку при заданном температура в любой момент времени t >0 определяется однозначно/. Вопрос о восстановлении начального температурного поля рассматривался наряду с другими в работах [27-2 в J . Однако постановкам задачи в [2? 2 82 соответствует заданное распределение температуры всюду в некоторый последующий момент времени. В [ 2 7} 2 SJ вопросы единственности не затрагивались. В работе [2 3J исследовалась единственность решения одномерной обратной задачи, причем в качестве дополнительной информации использовались показания датчика, движущегося равномерно по отрезку (О, і) . В отличие от этого, в 3,6 Главы I минимальной экспериментально доступной информацией для доказательства единственности неодномерных обратных задач служат данные о температуре на границе области, снимаемые движущимся датчиком в течение отрезка времени О < t±^^ *, . Проблема единственности рассмотрена
нами в рамках ряда конкретных линейных моделей. Установлены, в частности, следующие теоремы.
Теорема I, Двум различным начальным температурным полям
%(ху)&Ы(х,у), fx,y)eQ = {(№) о<х<{^
0
( \Со -класс функций у^ , имеющих ограниченные jg) *
( }C-i,Z) в _0 и ограниченную J^)y У> в (^) ).
Теотзема 2. Двум различным начальным у^ (х? У) -ф. > (х,
v), (х,*>ЯАм <х< е*, о<*<Ь У, ^ * К,,'
отвечают различные fs-fs(^) -^s(^-6, О, -f) S>-i 2
tt^t*ti ( /(^-класс функций ^ , имеющих ограниченные
0х1 Д/* Г (*i, *W,Z) в Q и ограниченные &?&**
Теотзема 3. Двум различным начальным ^ (%)%.(%)
отвечают различные fs = fs (b) = Us (R, -Ь)> t±±h^z
( Ф -класс функций У , имеющих ограниченные
2)^^ (-1,2-} в ? и ограниченную^1^ в ^) ). Теотзема 4. Двум различным начальным у^ (7 2)^^.(^)
(K?)tQ={(^y- ?
отвечают различные /5 = /s (Z,0 = U$ (,2^) 0^2^ ^, =1,2, bt^t^i2 (т~ класс функций у9 , имеющих ограниченные >г V (К-1?2) в ^ir и ограниченную 2\* ^ в Q ). Теотзема 5. Двум различным начальным % (7 ё) ^ ^ (
?х 2), f?,r,z)eQ = {(?Х?) ^< ^
Ой У С 29С У ? $ у отвечают различные
0<Н<Ж, 0<иі<Є? f-ufj^ s = if2,Z?...
( Tg -класс функций
Ъ?8?8?г (<±Л~іЛ, *st><9, WW в Q).
В Приложениях 1,2 приведены альтернативный метод доказательства единственности решения одной из рассмотренных обратных задач и некоторое обобщение Теорем 1,3,4.
Методическим результатом этой части исследования является разработка регуляризирующего по Тихонову оператора /РО/ для решения поставленных обратных задач, который заключается в нахождении решения уравнения Эйлера А*Д У -ь d/jY*-~ А [3 & J * TJI,e Л ~ линейный интегральный оператор прямого отображения, А* -сопряженный оператору /i , f -неточно заданная температура части поверхности,U -параметр регуляризации, который выбирался квазиоптимальным способом.
С помощью этого алгоритма проведен численный эксперимент на ЭВМ по восстановлению начальной температуры. В результате установлена эффективность РО и даны оценки точности, с которой должна быть измерена температура поверхности для получения нужной точности прогнозирования.
Разработанная программа-датчик температурных состояний может в перспективе служить целям оперативного прогнозирования в комплексе с измерительной установкой.
В дополнение к изложенному выше следует заметить, что разработанная в Главе I методика восстановления внутреннего
температурного поля детали по измерениям температуры на ее поверхности может быть эффективно использована и в других технологических задачах. Примером этого может служить, в частности, задача определения температуры конца штамповки вытяжкой [ 3> 1~J .
Во второй главе рассматривается задача, связанная с транспортировкой заготовок квадратного сечения от места отливки к месту последующей термической обработки. Предполагается, что в целях экономии тепловой энергии заготовки помещаются в теплоизолированный контейнер. Такой контейнер, наряду с сохранением тепла заготовок, способствует выравниванию их температур, что важно для последующей обработки.
Задача состоит в том, чтобы оценить время теплообмена в контейнере t * до установления квазиравномерного распределения и средний температурный уровень it , а также оптимальные размеры контейнера с учетом плотности упаковки заготовок, при которых стационарное поле формируется в приемлемые сроки.
Это задача решалась с помощью серии математических экспериментов. Дня этой цели разработана экономичная /точечная/ модель процесса теплообмена, позволяющая проводить расчеты трехмерной конфигурации заготовок. Процесс теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, имеющей общий вид
\J-f(U), U=U(t), t>o, U (о) -- Uo ,
где {J - { Ui(t)j- -температуры выбранной системы конеч-
ных элементов І Ті J как функции времени t
В двумерном варианте модель опробирована сопоставлением с более точной, описываемой системой уравнений в частных производных. Относительное расхождение результатов при расчетах времени теплообмена t * в обеих моделях не превосходит 24$, что соответствует различиям в температурных полях, не выходящим за границы допуска при оценках степени равномерности нагрева 14].
Установлено, что величина * существенно возрастает с увеличением размеров контейнера. Тем самым, малые контейнеры более экономичны. Установлена также зависимость времени теплообмена от величины воздушного зазора между заготовками /см. Рис. 12 /. Это дает возможность выбрать оптимальную внутреннюю конструкцию контейнера. В Приложении 3 приведены также алгоритм и результаты расчетов времени теплообмена заготовок, имеющих форму восьмигранников.
Результатом работы над этой проблемой являются также программы-датчики, предназначенные для диагностики температурного состояния системы заготовок в контейнере /Приложение V.
Наряду с этим во второй главе даны среднестатистические оценки уровня температуры в квазиравновесном состоянии it по ансамблю начальных распределений, поскольку последние носят статистический характер. Именно, на основании неравенства Чебышева получены вероятностные оценки вида
p {її u(x, t, wci) s а, о ве(л) * a j » $ #>,
где -температура, рассматриваемая как
функция пространственных координат X = {Л<} , времени - и независимых случайных величин U>i\ » J^(xt) -математическое ожидание /среднее значение/ величины (/_ , 6 -задаваемый уровень отклонения температуры от среднего значения. Рассмотрены двух- и трехмерные модели плотной упаковки заготовок.
В третьей главе изучается задача о перераспределении температурного поля заготовок, подвергаемых горячей поперечно-винтовой прокатке. Оценка соответствующего эффекта позволит уменьшить энергоемкость последующих стадий процесса термообработки.
Основные элементы теории прокатки /геометрия и кинематика процессов, напряженно—деформированное состояние металла в очаге деформации, направление и действие сил трения на контактной поверхности, расчет усилий и моментов прокатки, тепловой расчет станов/ достаточно подробно изложены как в учебной, так и в специальной технической литературе/ см., например, Г 32 ~39j / Для проведения инженерных расчетов имеются надежные и опробированные формулы, использующие также накопленный экспериментальный материал. Содержанием настоящего исследования является математическое моделирование на ЭВМ тепловых процессов внутри заготовки и на ее поверхности, происходящих в течение прокатки, с использованием некоторых элементов теории прокатки, а также математических методов теории
пластичности.
Разработанная основная модель теплообмена заготовки цилиндрической формы с валками и с внешней средой учитывает следующие факторы:
а/ перераспределение температуры по сечению заготовки вследствие теплопроводности, а также уменьшения ее радиуса, б/ тепловыделение на поверхности в результате трения с валками, в/ теплоотдача на валки в области деформации, г/ поверхностный теплообмен с окружающей воздушной средой, д/ мощность пластической деформации.
Соответственно, процесс описывается следующей совокупностью условий /см. 3 Главы 3/:
^г\ч.о- > - * М ич h^te-Ф (и, % *))ыю ,
o
(g0> 0
L 0, t
$(U,Vfi) =
Для численного решения этой краевой задачи составлена неявная абсолютно устойчивая конечно-разностная схема. Проведенные расчеты на ЭВМ позволили изучить зависимость температуры поверхности заготовки в момент окончания прокатки от параметров модели, характеризующих прокатный стан и реологические свойства материала заготовок. Установлено, что в указанном диапазоне изменения параметров температура поверхности повышается в среднем на 60-Ю0С, что в принципе согласуется с известными данными физического эксперимента.
Математические эксперименты обнаружили также некоторые изменения температурного уровня вдоль оси заготовки. Этому факту дано физическое объяснение.
Изучение распределения температуры в направлении оси проведено также в рамках упрощенной модели источника тепловыделения, движущегося вдоль "тонкого" стержня. В результате расчетов установлено, что температура по длине заготовки меняется несущественно, и заметное уменьшение ее уровня наблюдается лишь в малой окрестности концов в связи с теплоотда-
чей в окружающую воздушную среду.
Значительное число работ в области математической физики посвящено обратной задаче об определении параметров теплового источника по тем или иным характеристикам температурного поля /см., например, /J36~39j /. Подобная задача представляет интерес и в связи с рассматриваемой здесь проблемой ввиду ограниченности объема априорной информации. Отличие нашей задачи от рассмотренных ранее состоит прежде всего в том, что источник движущийся.
В третьей главе изложена, в частности, реализованная в программе для ЭВМ методика определения интенсивности теплового источника по измерениям температурного поля заготовки /в рамках упрощенной модели/. Поскольку методы расчета интенсивности наталкиваются на те или иные некорректные операции, основой методики является общий регуляризирующий оператор А.Н.Тихонова /7 Ъ ОJ с квазиоптимальным выбором параметра регуляризации. На основании этой методики проведен математический эксперимент на ЭВМ по восстановлению функции источни-ка при неточно заданном температурном поле (/$ (к */
о<к<е7 c?
4. Рассмотренный круг вопросов связан с конкретными задачами производственной практики и потому полученные результаты могут найти практическое применение в производстве на предприятиях металлургической промышленности, использующих технологию непрерывного литья.
Диссертационная работа опробирована в докладах на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам /Самарканд, 29.09-6.10 1983/, Научно-технической конференции молодых
специалистов и творческой молодежи АВТО-ЗИЛ /Москва, 8.02 -9.02 1983/, Московской городской конференции молодых ученых и специалистов "Информатика, вычислительная техника, автоматизация в науке и технике, народном хозяйстве" /Москва, 2.12-5.12 1983/, выездной школе-конференции молодых ученых МГУ и молодых специалистов ЗИЛа "Естественные науки и проблемы автомобилестроения" /Моск.обл., Михнево, 16.02 - 19.02 1984/. Основные результаты опубликованы в следующих работах:
Булычев Е.В., Гласко В.Б., Федоров СМ. 0 восстановлении начальной температуры по ее измерениям на поверхности. - Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1983, т.23, № 6, с.1410-1416.
Булычев Е.В., Гласко В.Б. 0 единственности в некоторых обратных задачах теории теплопроводности. - Инж.-физ. журнал, 1983, т.45, №2, с.305-309.
Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Булычев Е.В., Ильин М.Е., Кулик Н.И. Некоторые задачи оптимизации технологических процессов в металлургии. - В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. - Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара, Самарканд, 1983. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с.215-216.
Гласко В.Б., Булычев Е.В., Кондорская Е.Е. 0 восстановлении начальной температуры по ее измерениям на поверхности. - ^копись деп. в ВИНИТИ, № 1284-83 Деп.
В заключение автор считает приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю профессору физического факультета МГУ В.Б.Гласко за постановку задач диссертационной работы и постоянное внимание, академику А.Н.Тихонову за интерес к работе и ценные замечания, зам. главного инженера АВТ0-ЗИІ В.Д.Кальнеру и сотрудникам АВТ0-ЗИІ С.М.Федорову, В.А.Ковригину за предоставление экспериментальных данных, а также инженеру кафедры математики Н.И.Кулик за полезные консультации.
О единственности восстановления начальной температуры образца прямоугольного сечения по измерениям на некоторой части поверхности
Технология термической обработки заготовок непосредственно после разливки предъявляет определенные требования к равномерности их температурных полей. Если заготовка получена способом непрерывного литья и далее, после первичного и вторичного охлаждения остывает в результате теплообмена с окружающей средой, то результатом может быть неравномерное распределение температуры внутри нее. Таким образом, возникает задача о диагностике внутреннего температурного состояния. Как известно 4 О J » последнее может быть рассчитано, если наряду с условиями теплообмена на поверхности (например, конвективного), известно также и начальное распределение температуры. Однако единственно доступной может быть информация о термическом состоянии поверхности, полученная в результате измерений, поэтому перспективным оказывается решение следующей обратной задачи: по данным измерений на поверхности образца рассчитать начальную температуру, а затем прогнозировать внутреннее температурное поле на будущий период времени, установив тем самым начальный момент последующей обработки. Основанный на этом математический метод диагностики предполагает, что (А) имеется возможность измерений температуры поверхности в течение некоторого интерн-вала времени, например, с помощью бесконтактных датчиков, (Б) имеется возможность использования ЭВМ для оперативного определения начального и последующего температурного состоя ния "на потоке".
Вопрос о восстановлении начального распределения темпе ратуры рассматривался наряду с другими в работах 7-.2 3f J
Однако постановкам задачи в 2 7, %-8] соответствует задан ное распределение температуры всюду в некоторый последующий момент времени. В вопросы единственности не рас сматривались. В работе 2.9 J вопрос единственности одномерной обратной задачи рассматривался наряду с проблемой устойчивости решения, причем в качестве дополнительной информации использовались показания датчика, движущегося равномерно по отрезку (0,1). В отличие от этого, в 3 и 6 данной главы минимальной экспериментально доступной исходной информацией для доказательства единственности неодномерных обратных задач служат данные о температурном поле на границе области, снимаемые, подобно l_2-9j , движущимся датчиком в течение определенного отрезка времени t t ta Для доказательства единственности в / 3 1J требуется задание температуры как функции времени в одной (или нескольких) точках в течение бесконечного временного интервала 0 Ь $ и эта модель достаточно далека от практической ситуации.
Для заготовки, ограниченной произвольной поверхностью 2 , естественный процесс остывания может быть описан в линейном приближении следующими условиями: ut = alAU, u=oc(K,t\x&Qt o t T, (I I) где if -температура окружающей среды, h - коэффициент теплообмена с ней, р - начальная температура.
Для определения последней поставим дополнительное условие: где - известная функция, полученная в результате измерений, J( - некоторая часть поверхности (либо определен-ная кривая на ней, по которой движется датчик). Решение краевой задачи (I.I) может быть представлено в виде [4 О] : CcCx,t)= J&tflt) V?V , 7 _Q. (1.2) Рассмотрим (1.2) при х- Х$ t± "г » и обозначим Lt(x$ t) ffX4 і) Полученное соотношение между Р и / можно рассматривать как операторное уравнение _J" рода А У (1.3) где Ц - искомая функция, /\ - линейный оператор. Данная задача относится к классу обратных [30j , при соответствующей постановке, гарантирующей единственность решения, последнее может быть найдено с помощью метода регуляризации ЗОІ эффективного в широком круге обратных задач теплопроводности.
В 2 - 6 настоящей главы доказан ряд теорем единственности решения (1.3) в рамках конкретных постановок для различных _0 , и }CS t отвечающих практике техно логического процесса и возможностям измерительной техники. Тем самым решена задача обоснования и планирования эксперимента по определениям температуры поверхности в указанных целях. Для поиска решения (1.3) при соответствующей организации эксперимента в 7 разработан регуляризиругощий по Тихонову алгоритм. На его основе в рамках одномерной и двумерной аксиально-симметричных моделей проведены математические эксперименты на ЭВМ по восстановлению начального температурного поля У(К) при неточно заданной измерений имитировалась с помощью датчика случайных чисел). Результаты расчетов на ЭВМ внутренних температурных полей приведены в 8 данной главы.
В Приложении I для одномерной задачи приведен альтернативный метод доказательства единственности, основанный на свойствах рядов Дирихле С 4. S3 и позволяющий ослабить требования, налагаемые на функцию 93 в указанной постановке
О единственности восстановления начальной температуры цилиндра по измерениям на поверхности (одномерная осесимметричная модель)
Рассмотрим уравнение теплопроводности в области Qr -Qx(o,T)y Q={(2X о г К, txY zr, v ? e} в цилиндрических координатах при конвективном законе теплообмена на поверхности. Решение соответствующей краевой задачи записывается в виде
Пусть в течение определенного промежутка времени 0 bt $ tz T по некоторой кривой $ , лежащей на боковой поверхности цилиндра , движется датчик, измеряющий температуру. Выберем в виде отрезка винтовой линии, тогда ее уравнение записывается параметрически следующим об ж icthK, а п, m) d , Таким образом, известна функция 1 с(К Vfc), 2(і)}і) Kt). Докажем, что при определенном соотношении между у и oL возможно единственное определение начальной (t У Ю по известной
Рассмотрим функцию комплексной переменной оо оа оо М-И [і)ш ol і + „) (А км СО) И ft + В «ти лій И if і) (1.29) в области Лє ї 0 Нетрудно показать (см. 3), что ряд (1.29) аналитических функций сходится равномерно в любой замкнутой подобласти % области / 2 0 Отсюда ІІ71 вытекает, что $ (Ю является единственным аналитическим продолжением $() С с 0ТРезка [ ti , tzj в правую полуплоскость. Рассмотрим ряд (1.29) при 2- t О Проведя последовательно интегри рование по переменным , У, в формулах для коэффициентов /\Кши Е кши (м- [40] )t получим в классе ц о следующие оценки: \sJj± fg / 4±± (1.30) гДе Л± , А . величины, зависящие от Ki ъ= 2 Kz= 1,2-,3, % Принимая во внимание, что при К7У1- о Ji rK+jf-fH+jr) LiOl получим, что ряд (1.29) при =t 0 сходится равномерно на Q ОО ) . Применим к (t) преобразование Лапласа: (±)где приняты следующие обозначения:
Учитывая (І.30) и проведя те же рассуждения, что и в 3, получим, что функция f (Р) может быть единственным образом аналитически продолжена на всю комплексную плоскость и является аналитической всюду, за исключением полюсов первого порядка
Пусть соотношение между величинами ol и / представляется в виде Гв7 (I.3I) где J -любое натуральное число. Тогда, с учетом условия (I.3I), нетрудно убедиться, что между совокупностью произвольных фиксированных индексов (l(,Wyft)y И0, и точками СІ 2-) Ґ1 2Л комплексной плоскости рКш и Якши существует взаимно однозначное соответствие. Зафиксируем теперь произвольные С К WI И) 7 И О , и вычислим вычеты функции $ (fy в точках Р юи и 1 и соответственно. Тогда получаем: К ,+ Ї ФҐҐР) Р-І-%Ґ/ »)[АКШН(ѻРґ1 Ї і уіир ) (1.32) Перепишем (1.32) в виде следующей системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов А КУПИ » Окиїи : (I.33) где приняты обозначения Из системы (1.33) получаем: Пкн1И Zdi. т.е. имеет место единственность определения /\К[/ИИ Вкми при у] Ф О Рассмотрим в завершение доказательства случай V\-0 Тогда = = U , Р? Ч?. Вычислим вычет % СР) в точке р(1) Получим: ф W = 7и /Ы/С ( &}» +І }») (1.34) Из (1.34) следует единственность определения /KWC, для произвольных 1(, WI . Как видно из (1.28) в качестве одного из сомножителей при коэффициенте R \/ j(f w\? \Ґ\ является функция }ІИ V\ V t поэтому члены ряда У[Ч, % 2) ОО СО О содержание и {.що » обращаются ви и определять R нет необходимости. Таким образом, теорема полностью доказана. 7. Формулировка алгоритмов численного решения обратных задач
Основываясь на доказанных в 2-6 теоремах единственности, обратимся теперь к вопросу о поиске приближенного решения операторного уравнения kf = J$ при неточно задан-ной правой части (- экспериментальная информация о температуре на поверхности) при условии o Эта задача неустойчива, и для ее решения воспользуемся конструкцией общего регуляризиррзщего оператора Тихонова [20] , переходя соответственно к вариационной задаче: найти %, из условия
Математические модели и алгоритмы числен ного решения задач
Рассмотрим сначала двухмерный вариант точечной модели процесса внутреннего теплообмена (в линейном приближении). Пренебрегая температурными градиентами как по длине заготовок, так и по сечениям, выпишем формулу для величины теплового потока между соседними заготовками, имеющими температуры i/c) V при плотной упаковке (см. Рис. 8). Введем для этого фиктивную температуру контактной поверхности и/ и запишем закон теплопроводности Фурье [60j в конечно-разностной форме: где U, -температурное поле на очередном временном слое, Т" -? расчетный шаг по времени, Д -коэффициент теплопроводности, d -удельная теплоемкость, j -плотность материала заготовок.
Схема (2.1) соответствует явной конечно-разностной схеме для пространственно-двумерного уравнения теплопроводности при большом шаге пространственной сетки и является устойчивой при rp j-jZf//l [57] . При J\f-Z расчетная схема аналогична (2.1).
В рассмотренной выше модели плотной упаковки заготовок теплообмен осуществляется исключительно за счет теплопроводности. Обращаясь к модели неплотной упаковки (см. Рис. 7), более близкой к практической ситуации, необходимо учитывать два вида тешюобмена-теплопроводность между заготовками и воздушными слоями и тепловое излучение с поверхностей. Рассмотрим сначала первый из видов. Нетрудно показать, вводя фиктивную температуру контактной поверхности, что тепловой поток между заготовкой и прилегающим к ней воздушным зазором (см. Рис.9) в рамках точечной модели дается формулой V - (V-U) Sd .где $d -площадь контактной поверхности, U -температура заготовки, V -температура воздушного слоя, 2 = . /(Н? %2i) -приведенный коэффициент теплопроводности, 2i -теплопроводность материала заготовок, Яг -теплопроводность воздуха, /У -размер заготовки, S -толщина воздушного слоя.
Переходя к анализу радиационного теплообмена, предположим, что поток излучения распространяется перпендикулярно к излучающей поверхности, а воздушная среда не поглощает и не рассеивает тепловую энергию. В таком случае согласно закону Стефана-Больцмана [ Г і J мощность потока теплового излучения выражается формулой (J&J - ЪЭ&(У- I/9) $ , Составив уравнения теплового баланса для заготовок и воздушных слоев, приходим к системе нелинейных дифференциальных уравнений, имеющей общий вид P=F(&), V= ЇЇЮ, t 0, (2.2) V(o) - U, где U-iUi, U.} 7 й- { Uitf) t і 1,0.,...//) температуры заготовок как функции времени t Уг [ 7fc(t)_, 1-і. 1 .--Ai \ температуры воздушных слоев, Ui{0)= Ц? - начальное термическое состояние заготовок, If /fl)- If начальная температура воздуха в контейнере. Таким образом, в данном случае дело сводится к решению задачи Коши [.58J. Решение полученной системы на ЭВМ осуществлялось с помощью стандартной подпрограммы. Ввиду большого объема системы (2.2) при произвольном J\f , с целью экономии времени расчеты проводились для J[f= Z . Результаты расчетов в сравнении с полученными ранее для плотной упаковки приведены в 3.
В качестве некоторого обобщения двухмерной модели неплотной упаковки разработана трехмерная точечная модель, учитывающая изменения температуры по длине. Пусть заготовка имеет длину сі Произведя мысленно ее разбиение на [_, частей величины j-j (d-L rj± ,(см. Рис.10), предположим что температура внутри каждого "элементарного параллелепипеда" О . . - ffx \j // постоянна и является функцией координаты к и времени і: иchc - % (2Ку )} = U-0S) х Н К-1 1 - L й с } А[ Составив уравнение теплового баланса для каждого О , получим систему вида (2.2). Система решалась на ЭВМ с помощью стандартной подпрограммы при различных значениях величины
Алгоритм численного решения обратной задачи восстановления функции источника и его экспериментально-математическое обоснование
Основываясь на единственности определения правой части уравнения теплопроводности /, [и ] при точно заданном температурном поле її ( к ) » обратимся теперь к вопросу о восстановлении функции движущегося источника / (х- 1/1) по приближенному Us (X } ( М& -измеренная с относительной погрешностью температура боковой поверхности стержня: Для решения задачи воспользуемся конструкцией общего регуляризирующего оператора Тихонова С 02 » переходя соответственно к следующей ее вариационной постановке: найти foi из условия
В качестве стабилизатора был выбран следующий функционал Ввиду сложностей, возникающих при численном расчете функции Грина задачи (3.4) - (3.6) ( &( }У -Г)- 8 Сх-Ч) ), для минимизации функционала р fj нами использован метод прямого поиска (без вычисления производной) Jj5 6 2 Алгоритм численной минимизации строится следующим образом. Произведя разбиения области От± и отрезка (-, +в) , введем сеточные аппроксимации функций f /у и »
Для решения краевой задачи (3.4) - (3.6) составляем разностную схему 57J Тем самым неявным образом задается конечно-разностная аппроксимация оператора Д как соответствие сеточных функций { -fie} и { Ucj} . Аналогичным образом аппроксимируется стабилизатор Q [ -f J . В результате этого исходный функционал ФОІ. СВОДИТСЯ К функции ф // ) переменных fjc, = 1,2., ... 2/)/. Задав некото-рое начальное приближение -[ f ] , используем затем стандартную подпрограмму, реализующую метод прямого поиска Г 65 6 1 Вычисляемый вектор -р - -fK } считается точкой минимума у (f ) , если выполняется условие \ ф ( $ И) - ф ($И і) I с , где V) - номер итерации при поиске, - заданная точность вычисления минимума по функционалу. На основании этого алгоритма был произведен следующий математический эксперимент на ЭВМ. Зададим "точное" решение
С помощью оператора й рассчитывалось температурное поле Цц - Д їіс , затем вносились случайные погрешности: Us - Uс (i+ 9iy), @LJ - случайные числа из интервала Г - 1 2) пол:Учает1е помощью соответствующего датчика, и по полученным "входным данным" восстанавливалось функция источника fa с помощью изложенного выше алгоритма минимизации футшционала. Параметр регуляризации oi О/ выбирался квазиоптимальным способом по условию iinf ІІсІ -т-Ц і Ь A J Результат восстановления показан на Рис. 13. Сплошной линией на рисунке изображено точное решение f ( %)= - S"i0 - ЄКрС 1?1) -С-1?4 t точками-рассчитанные на ЭВМ значения с % ) . Расчеты проводились при следующих значениях параметров модели: Как следует из анализа результатов, относительная по грешность восстановления функции источника на отрезке /1 / 0. 6S С не превышает величины восстановления функции $- (%) с такой же погрешностью вблизи концов интервала С- , +/ требуется увеличение точности измерений температурного поля. Это объясняется тем, что источник - движущийся, поэтому его плотность f (ч) / (Х- V t) ПРИ значениях аргумента % , лежащих в малых окрестностях граничных точек tfe-± не успевает оказать влияние на температурное поле заготовки
В этом параграфе мы рассмотрим более близкую к практической ситуации модель процесса прокатки, включающую в себя прямое моделирование плотности теплового источника с использованием математических методов теории пластичности.
Введем предварительно ряд предположений относительно реологических свойств материала заготовок и кинематики процесса. Пусть материал обладает свойствами идеальной жестко-пластической среды Е С І J , а область деформации в результате контакта с валками представляет собой усеченный конус с углом при вершине t l (см. Рис. 14), утол U принимаем равным углу наклона валков. Части заготовки, расположенные в произвольный момент времени вне очага деформации (они обозначены на Рис. 14 цифрами X и Щ ), предполагаются абсолютно жесткими (недеформируемыми) и движущимися со скоростями if o и 1 соответственно, а сам очаг деформации (обозначен цифрой J/ на Рис. 14 ) является областью пластического течения. Основываясь на условии идеальной пластичности Губера-Мизеса
