Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
НАГРЕВОМ КРУПНОГАБАРИТНЫХ ДЕТАЛЕЙ 18
I. Постановка задач управления нагревом 18
1. Физическое содержание процесса управления 18
2. Математическое описание температурного поля при нагреве и постановки задач управления 19
З. Вопросы корректности задач управления 21
2. Оптимальное управление процессом нагрева при стационарном граничном режиме (температуре) 24
3. О временном управлении нагревом. Формулировка общих свойств алгоритма решения обратных задач управления 30
4. Решение задачи управления в случае линейного пространственно-одномерного оператора 34
1. Общая постановка задачи. Вспомогательные оценки. 34
2. Построение экстремали сглаживающего функционала.
Конечно-разностная схема 38
3.Алгоритм решения задачи минимизации времени КРН.
Результаты численного моделирования 40
5. Решение задачи временного управления в случае
квазилинейного пространственно-двумерного опера
тора прямого соответствия 43
1. Конечномерная аппроксимация задачи нагрева. Реализация разностной схемы для оператора
прямого соответствия 44
2. Алгоритм минимизации сглаживающего функционала без использования производных 52
З. Результаты численного моделирования процесса управления. Основные выводы 54
ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ В ПОРОШКОВЫХ СРЕДАХ 73
I. Содержание и математическая модель процесса диффузии 73
2. Задача восстановления кинетического коэффициента 83
Исходная математическая постановка задачи идентификации кинетического коэффициента 83
п.2. Некоторые вопросы корректности постановки обратной задачи восстановления кинетического коэффициента 85
п.З. О единственности определения кинетического коэффициента 86
3. Регуляризирующий алгоритм решения задачи идентификации краевого режима 91
п. I. Основная структура алгоритма 91
п.2. Вопросы разностной аппроксимации 94
п.З. %сленный эксперимент по восстановлению кинетического коэффициента. Выводы 97
4. Задача подбора, коэффициента диффузии для металлокерамических материалов 106
п.1. Идеализированные модели массопереноса в порошковой среде 106
п.2. Выбор коэффициента диффузии в одно- и двумерных моделях переноса ИЗ
ДОПОЛНЕНИЕ 117
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122
ЛИТЕРАТУРА 123
- Физическое содержание процесса управления
- О временном управлении нагревом. Формулировка общих свойств алгоритма решения обратных задач управления
- Содержание и математическая модель процесса диффузии
Введение к работе
Метод математического моделирования (ММ) физических процессов в настоящее время является одним из наиболее эффективных инструментов познания природы, а его использование в моделировании технологических процессов (ТП) позволяет решать многие прикладные задачи оптимизации и управления ими fi-io] .
Математическому моделированию ТП посвящено большое число работ, появившихся в последнее время. Так, например, в работах [II-I9J рассмотрены некоторые аспекты ММ на ЭВМ процесса индукционной закалки, и решен ряд сопутствующих принципиальных вопросов. Вопросы цементации /5-6J , оптимального нагрева металла [7,20-24/ в основном, рассматривались с точки зрения теории управления системами с распределенными параметрами (20J . Обзор работ, выполненных до 1979 г. и посвященных оптимизации и управлению ТП, приведен в j_25 J . Традиционно этот математический аппарат базируется на математической теории оптимальных процессов /26J . В частности, важную роль в приближенном решении задач управления сыграл метод моментов для систем с распределенными параметрами / 20j ,
Большинство работ по ММ было выполнено с помощью ЭВМ, позволяющей воспроизвести реальный процесс в рамках построенной абстрактной математической модели, согласованной с экспериментом, и с использованием фундаментальных теоретических разработок в области современной математики. К числу последних относятся, в частности, а) теория регуляризации [27-Зш , позволяющая ставить и решать многие задачи интерпретации данных физического эксперимента и управления ТП; б) теория раз 6
ностных схем, обеспечивающая прямое численное моделирование процессов, чаще всего описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных [Zt 3,3I 35J .
В данной работе упомянутые фундаментальные достижения послужили основой ММ физических процессов конкретного технологического цикла, постановки задач управления отдельными этапами цикла и разработки методики решения задач интерпретации, оптимизации и управления ими. Настоящая работа выполнена в рамках сотрудничества кафедры математики физического факультета МГУ с управлением главного металлурга производственного объединения АВТО-ЗИЛ.
Рассматриваемые задачи связаны с технологическим циклом химико-термической обработки (ХТО) деталей в печах, целью которого является получение необходимых механических свойств поверхности металлических деталей. Поперечное сечение нагревательной печи, а также рабочей зоны (садки), в которой помещается обрабатываемый материал, нагревательных элементов, вентиляторов схематично показано на рис. I. Основными этапами этого цикла являются следующие физические процессы:
а) нагрев металла до заданной температуры;
б) создание одинаковых условий для диффузии на различных ,участках поверхности металла;
в) диффузия углерода через поверхность.
Соответственно, материал работы распределен между тремя разделами (две главы и дополнение), каждый из которых содержит результаты исследования по одному из этапов.
Проведенный анализ не претендует на полноту физико-математического описания соответствующих явлений. Ш проведено в рамках моделей, позволяющих завершить работу в намеченные сроки,
Рис. I Поперечный разрез нагревательной печи
- нагревательные элементы
- рабочая зона, садка
- вентиляторы печное пространство, зона вынужденной конвекции но с выделением основных моментов, характеризующих процесс, вопросов, представляющих интерес для производства, и основных проблем, возникающих при решении такого рода задач, относящихся к классу обратных 28J .
Как следует из упомянутых выше работ, метод ММ применительно к задачам управления предполагает решение следующих вопросов.
а. Формулировка математической модели процесса. С ней часто связано решение некоторых обратных задач интерпретации данных физического эксперимента на предмет получения физических пара метров, характеризующих модель, не всегда известных, поскольку речь идет о новых материалах или недостаточно изученных закономерностях. При постановке таких задач принципиальное значение имеет решение проблемы единственности оператора обратного соответствия.
б. Корректная математическая постановка задачи целевого управления, и соответственно, разработка регуляризирующих по Тихонову алгоритмов ее решения.
в. Проведение на ЭВМ численного эксперимента, решающего задачу управления на основе многократного (в автоматическом режиме) воспроизведения в "числах" реального процесса при различных управляющих параметрах, и следовательно, разработка прикладных программ.
г. Построение номограмм, позволяющих компактно характеризовать результаты численного эксперимента вынесение практических рекомендаций.
В приведенной работе, поскольку она связана с конкретными задачами, возникающими на производстве, мы встретились со всеми этими вопросами.
Физическое содержание процесса управления
Проблемы управления нагревом металла стали особенно актуальными в связи с распространением высокопроизводительных производственных процессов и все более повышающимися требованиями, предъявляемыми к качеству нагрева L7-9, 58,59J . Развитие теории управления нагревом и успехи в области решения прикладных задач тесно связаны с общими тенденциями в теории и технике управления I 20,25,26,60-62]] .
В данной главе мы остановимся на задачах управления квазиравномерным нагревом. Поскольку любой технологический процесс имеет конечную продолжительность, то искомый температурный профиль необходимо получить к определенному моменту времени - продолжительность нагрева фиксирована. С другой стороны, с целью увеличения производительности существующего оборудования, целесообразно уменьшить общую продолжительность нагрева, при соблюдении необходимых допусков на конечное состояние.
На практике нагрев металла чаще всего производится регулированием температуры внешней среды (печи), в которую помещена заготовка. Поэтому нашей целью будет анализ условий, при которых изменение внешней температуры или теплового потока приводит к желаемому результату. Отметим, что при повышении температуры поверхности заготовок возрастает скорость образования окалины, происходят необратимые изменения кристаллической структуры, а при достижении определенной температуры наблюдается оплавление поверхности и сваривание металла. Вследствие этого увеличивается количество металла, идущего в брак. Одновременно резко возрастает количество шлака и сажи, что влечет дополнительные затраты на ремонт и обслуживание печи. Отсю- . да следует, что существует благоприятный интервал изменения температуры, включающий заданный уровень, и управляющее воздействие не должно выводить внутреннее температурное поле заготовки из этого интервала.
Оптимальное управление процессом нагрева при стационарном граничном режиме (температуре)
Отметим, что сформулированные задачи характеризуются тем, что параметр и не зависит от допуска о , и тем самым предельный переход, существенный для обоснования РО в задачах интерпретации (28, 72-75] , здесь не имеет смысла. Ближе к задачам управления понятие регуляризованной минимизирующей последовательности (РМП), сформулированное в L28,36j . Для построения последней необходимо выделить в компактное множество Выбирая члены МП из множества , мы обнаружим, что произвольная предельная точка такой последовательности принадлежит , т.е. любая сходящаяся подпоследовательность сходится к их- .
Раполагая такими последовательностями в качестве средства поиска приближенного значения искомого оптимального управления У о » можно брать элементы и с достаточно большими номерами, для которых функционал, в пределах заданного допуска, совпадает со значением Следуя будем строить путем использования стабилизирующих функционалов , согласованных с целевым функционалом и множеством Более точно, минимизацией сглаживающего функционала Тихонова; при фиксированном значении параметра f "t0 0
Как было указано ранее- непрерывная и ограниченная функция на Q (s , , имеющая непрерывные и ограниченные производные Ц , Кц. в Q і . Поэтому выбор в качестве целе-вого функционала той или иной метрики обусловлен удобством численной реализации метода решения и исходной постановкой задачи оптимизации.
Особенность метрики заключается в том, что она вводится с помощью скалярного произведения, и пространство V отождествляется с некоторым гильбертовым пространством, невязка и оказывается дифференцируемой по аргументу (дифференцируема по Фреше), и вместо прямых методов минимизации вариационной задачи можно построить линеаризованное уравнение Эйлера /66 J , решение которого и дает элемент МП. На каждом шаге следует проверять выполнение условия оптимальности конечного состояния:
Содержание и математическая модель процесса диффузии
Одним из процессов ХТО деталей является поверхностная цементация, предназначенная для предания определенных механических характеристик приповерхностным слоям металла. Сущность этого процесса состоит в том, что внешние слои заготовки, помещаемой при высокой температуре в среду, содержащую соединения углерода, насыщаются атомарным углеродом, вследствие диффузии последнего /_47, 86J .
Требования к цементируемым деталям в последнее время значительно уточнены. Фактически, глубина цементируемого слоя замеряется от зоны, содержащей свыше 0А%С. Считают, что "оптимальные предпосылки для закалки" гарантируются при падении концентрации углерода не более, чем на 10% на 1/3 глубины цементируемого слоя. По экспериментальным данным, требуемые механические свойства надежно обеспечиваются при колебаниях концентрации углерода по всей глубине цементируемого слоя в пределах + 0.05%С. Наилучшие механические свойства достигаются при концентрации углерода на поверхности 0,9-I.O C ffflj ,
С расширением ассортимента материалов, которые подвергаются ХТО в газовой среде, возникает задача точного прогнозирования результатов процесса науглероживания, что невозможно без учета всех существенных факторов, влияющих на массоперенос. В первую очередь это относится к коэффициенту диффузии и кинетическому коэффициенту, определяющему механизм перехода углерода из молекулярных соединений (СН4,С0, СО) к атомарному, диффундарующему в металле. Следует учитывать также и тот факт, что науглероживание изделий из некоторых прогрессивных материалов (например, прессованные порошки) обусловлено иными механизмами диффузии: диффузия по границам зерен, по открытым порам, вклад которых в массивных (традиционных) материалах пренебрежимо мал или отсутствует.
Наблюдающееся резкое увеличение концентрации углерода в металлокерамических материалах с физической точки зрения может быть объяснено или изменением условий кинетики перехода углерода из молекулярного состояния в атомарное на поверхности, или значительным увеличением коэффициента диффузии, или тем и другим одновременно [49, 88J .
Физико-химические процессы, происходящие вблизи поверхности при цементации, заключаются в образовании диффундирующего элемента углерода в атомарном состоянии вследствие химических реакций в насыщающей среде или на границе раздела среды с поверхностью металлокерамической матрицы (при насыщении из газовой или жидкой фазы), сублимации углерода (насыщение из твердой фазы), последующей сорбции атомов адсорбата поверхностью металла и их диффузию в поверхностные слои.
На заводах объединения АВТ0-ЗШІ обычно используют для цементации металлокерамических материалов газовую среду. В этом случае легче регулируется концентрация углерода в слое, сокращается длительность процесса, обеспечивается возможность полной его механизации и автоматизации, упрощается последующая термическая обработка. В дальнейшем ограничимся только моделированием процесса цементации из газовой среды.
