Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Гравитация и электромагнетизм в рамках 5-мерной теории Калуцы 14
1.1 Системы отсчета и монадный метод 14
1.1.1 Определение системы отсчета 15
1.1.2 Хронометрическая калибровка 16
1.1.3 Физико-геометрические тензоры 17
1.1.4 Операторы дифференцирования 18
1.2 5-мерная теория Калуцы 19
1.2.1 Формализм 4+1-расщепления 20
1.2.2 Калибровка монады 21
1.2.3 Физико-геометрические тензоры 22
1.2.4 Операторы дифференцирования 22
1.2.5 Геометрические уравнения в монадном виде 22
1.2.6 Переход к электродинамике и ОТО 23
1.2.7 Негеометрические поля в теории Калуцы 24
1.3 Связь между гравитацией и электромагнетизмом на алгебраи ческом уровне 25
1.3.1 Эвристические аналогии 25
1.3.2 Соотношения дуальности и электровакуум Эйнштейна-Максвелла 27
1.3.3 Алгебраическая классификация Петрова в гравитации и электромагнетизме 30
1.3.4 Алгебраическая классификация при наличии электромагнитных полей 33
1.3.5 Алгебраическая классификация систем отсчета в ОТО 37
1.3.6 Интерпретация с позиций 5-мерной теории Калуцы 38
Глава 2 8-Мерная геометрическая модель грави-сильных взаимодействий 41
2.1 Фундамент и ключевые особенности 8-мерной теории 41
2.2 Основные соотношения 8-мерной геометрической теории 44
2.2.1 Формализм 4+1+1+1-f 1-расщепления 44
2.2.2 Физико-геометрические тензоры и операторы диферен-цирования 47
2.2.3 Структура полей, действие и размерная редукция 48
2.2.4 Редукция в бозонном секторе теории 51
2.3 Фермионный сектор 8-мерной геометрической теории 54
2.3.1 Матрицы Дирака и алгебра Клиффорда в N измерениях. 54
2.3.2 Спинорные поля в 8 измерениях 56
2.3.3 Ковариантная производная спинора в N измерениях 56
2.3.4 Расщепленный фермионный лагранжиан 61
2.3.5 Редукция в фермионном секторе 63
Глава 3 Массовый сектор геометрической теории 65
3.1 Конформные (вейлевские) преобразования 66
3.1.1 Определение вейлевской группы W^ 66
3.1.2 Конформные преобразования: бозонный сектор 67
3.1.3 Конформные преобразования: фермионный сектор 68
3.1.4 Лемма о факторизации 71
3.2 Массовый сектор фермионов 72
3.2.1 Процедура усреднения , 73
3.2.2 Унитарное вращение 75
3.2.3 Интерпретация 77
3.3 Редукция на 7-мерие 78
3.3.1 Основные принципы 7-мерной теории 78
3.3.2 Частичная размерная редукция 82
3.3.3 Массы фермионов в 7-мерии 87
Глава 4 Реляционный подход к описанию взаимодействий 89
4.1 Математический аппарат реляционной теории 90
4.1.1 Два множества элементов 90
4.1.2 Фундаментальная симметрия 91
4.1.3 Элементарный базис 91
4.1.4 Фундаментальные отношения и финслеровы спиноры 92
4.1.5 Описание элементарных частиц 93
4.1.6 Пространство скоростей 95
4.2 Взаимодействия в реляционной теории 96
4.2.1 Действие Фоккера-Фейнмана 96
4.2.2 Обобщение принципа Фоккера 98
4.2.3 Базовое (6,6)-отношение 101
4.2.4 Обменный характер взаимодействий, U-, V-состояния 103
4.2.5 Взаимодействия в терминах U-, V-состояний 105
4.3 Алгебраическая классификация взаимодействий 110
4.3.1 Структура А-матрицы для V- и U-состояний 110
4.3.2 Классификация электрослабых и сильных взаимодействий 111
Заключение
- Хронометрическая калибровка
- Физико-геометрические тензоры и операторы диферен-цирования
- Конформные преобразования: фермионный сектор
- Фундаментальные отношения и финслеровы спиноры
Введение к работе
Поиск и построение объединенной теории физических взаимодействий - одна из ключевых задач современной теоретической физики. Исследования в данной области сопряжены с целым кругом смежных задач: описание спектра известных (или предсказываемых теорией) элементарных частиц, выявление механизма генерации их масс, прояснение природы пространства-времени и существующей иерархии взаимодействий на различных масштабах (вплоть до масштаба объединения), включая космологические приложения, и т.д. Представленная работа посвящена анализу и развитию методов геометрического и реляционного подходов к описанию взаимодействий. Охарактеризуем специфику предлагаемых подходов, рассмотрев их в историческом контексте развития физических идей двадцатого столетия, связанных, прежде всего, с успехами общей теории относительности и квантовой теории.
Анализируя весь исторически накопленный к настоящему моменту комплекс идей, касающихся задачи описания и объединения взаимодействий, выделим три ключевых подхода, различающихся по ряду концептуальных предпосылок, что дает основание отнести эти подходы к различным физическим парадигмам [1].
1. Калибровочный подход.
Идея калибровочного подхода к описанию взаимодействий исторически возникла как результат переосмысления и обобщения принципа градиентной инвариантности, присущего электромагнитным явлениям. Прообразом для формирования калибровочной концепции (включая соответствующую терминологию) послужили работы Г.Вейля [25, 26, 27].
Как известно, современная калибровочная трактовка взаимодействий исходит из требования инвариантности лагранжианов относительно локализованных групп преобразований полей. (Так, градиентной инвариантности электромагного поля отвечает абелева группа U(l) фазовых вращений.) При этом векторное поле-переносчик взаимодействий возникает как результат модификации («удлинения») частных производных, компенсирующей нарушение групповой симметрии в процессе её локализации. В связи с этим в работах Д.Д.Иваненко для калибровочных полей был предложен альтернативный термин "компенсирующие поля".
В 1954 году Янг, Миллс [28] обобщили калибровочную трактовку электромагнетизма на случай неабелевых групп симметрии. Соответствующие калибровочные поля получили название полей Янга-Миллса. Первоначально они были введены в рамках классической теории, однако позднее был развит последовательный формализм квантования этих полей [29].
Работы Янга и Миллса стало важной вехой в физике элементарных частиц, прежде всего в физике слабых взаимодействий. Ранее для описания этих вза-
имодействий использовались феноменологические модели: V-A-теория четы-рехфермионного взаимодействия [30, 31] и теория с промежуточным массивным векторным бозоном [32]. Обе эти модели являлись неперенормируемыми. Открытие калибровочного принципа позволило не только построить перенормируемую теорию слабого взаимодействия, но и объединить его с электромагнитным в рамках неабелевой группы 5(7(2) х /(1), получив так называемую Стандартную Модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама -Глэшоу [32, 33, 34]. При этом существенным для описания массивных векторных бозонов являлось использование механизма Хиггса [37], основанного на идее спонтанного нарушения симметрии.
Перенормируемость теорий Янга-Миллса со спонтанным нарушением симметрии была доказана Т'Хофтом [35, 36]. Механизм Хиггса в настоящее время считается общепринятым способом введения масс элементарных частиц в рамках калибровочного подхода, предсказывая при этом существование новой скалярной частицы (хиггсовского бозона). Надо отметить, что экспериментальное обнаружение хиггсовского бозона пока что (2006) не увенчалось успехом, несмотря на активно продолжающиеся поиски.
Распространение калибровочного подхода на случай сильных взаимодействий привело к формулировке квантовой хромодинамики - калибровочной теории, в которой сильные взаимодействия описываются безмассовыми векторными полями группы 5(7(3) (глюонами). В рамках этой теории оказалось возможным описать явление асимптотической свободы, а также выдвинуть соображения в пользу существования шестого (t-) кварка, исходя из требования сокращения квантовых аномалий.
С формальной точки зрения объединение теорий электрослабых и сильных взаимодействий достигается путем перехода к так называемой минимальной группе 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1), что и составляет основу современной стандартной модели в физике элементарных частиц в низкоэнергетическом приближении. Однако остается неясным вопрос о применимости стандартной модели на масштабах, значительно превышающих 100 ГэВ [40].
Более последовательный взгляд на «объединение» предполагает, что сильные и электрослабые взаимодействия являются проявлениями единого фундаментального взаимодействия, существующего на более высоком энергетическом масштабе («масштаб объединения» порядка 1019 ГэВ) [32]. В литературе предлагался ряд калибровочных моделей (так называемых теорий Великого Объединения), описывающих данное гипотетическое взаимодействие в рамках достаточно широких калибровочных групп, включающих в себя минимальную группу стандартной модели. Назовем в качестве наиболее известных примеров теорию Джорджи - Глэшоу, основанную на группе 5(7(5) [38], а также модели с группами 5О(10) [39] и Eq. Во всех этих моделях электрослабые и сильные взаимодействия возникают как результат цепочки спонтанных
нарушений симметрии при спуске на более низкие энергетические масштабы. Объединение взаимодействий в рамках этой концепции должно эффективно выражаться в слиянии констант связи на масштабе объединения. На основе этих теорий делается ряд предсказаний. Так, в модели SU(5) вследствие несохранения барионного числа становится возможным распад протона, что имеет определенные космологические следствия, связанные с барионной асимметрией [32]. В число наименее проясненных вопросов описанных теорий входит выбор сценария нарушения симметрии, а также наличие чрезвычайно обширного мультиплета хиггсов.
Новый виток в развитии калибровочных теорий берет начало с появлением концепции суперсимметрии [41, 40]. В настоящее время идея суперсимметрии является весьма популярной. Построены суперсимметричные расширения янг-миллсовских теорий, стандартной модели и упомянутых теорий Великого Объединения, сформулированы принципы построения супергравитации. Наибольшее звучание идея суперсимметрии приобрела в связи с теорией струн [42, 43, 44] и М-теорией [45]. Несмотря на это, стоит отметить, что экспериментальный статус суперсимметричных теорий в настоящее время остается неясным из-за отсутствия доказательств существования суперпартнеров элементарных частиц.
В контексте калибровочного подхода следует упомянуть также работы по калибровочной теории гравитации [46, 54], в которых делались попытки истрактовать гравитационное взаимодействие в духе локализации группы Лоренца или Пуанкаре.
В целом калибровочный подход, наиболее интенсивно развивавшийся во второй половине XX века, оказался весьма плодотворным и успешно зарекомендовал себя в физике элементарных частиц. Однако по-прежнему остается неясным, как в рамках данного подхода построить целостную и непротиворечивую объединенную теорию, включающую в себя гравитацию. Гравитационное взаимодействие стоит особняком в ряду прочих видов взаимодействий, свидетельством чего является вот уже более чем полувековые безуспешные попытки проквантовать гравитацию (это не удается сделать по стандартным рецептам квантования янг-миллсовских теорий).
Указанная трудность имеет, по-видимому, концептуальный характер и отражает известную и насущную проблему совмещения двух главных физических теорий XX века - общей теории относительности и квантовой теории, что неоднократно подчеркивалось рядом авторов.
2. Геометрический подход.
Факт исключительной природы гравитации наводит на мысль о другом возможном подходе к построению объединенных теорий. Он заключается в том, чтобы описывать остальные виды взаимодействий по аналогии с гравитацией как проявление нетривиальных метрических или топологических
свойств пространственно-временного многообразия в соответствии с духом общей теории относительности [1]. Иными словами, данный подход предполагает геометрическую природу фундаментальных взаимодействий.
Одной из самых плодотворных идей, выдвинутых в русле данного подхода, является увеличение размерности пространства-времени, иными, словами, идея многомерия. Основы математического аппарата, адекватно отражающего представления о многомерных пространствах в рамках дифференциальной геометрии, были заложены в трудах Б. Римана [65], Г. Грассмана, А. Кэли и др.
Следующий важный шаг в этом направлении был сделан Т. Калуцей, который в своей классической работе 1921 г. [55] предложил геометризовать электромагнетизм, объединив его с гравитацией путем повышения размерности пространства-времени на единицу. Электромагнитные взаимодействия связывались с этим дополнительным пространственно-подобным измерением. Математически это отражено в структуре пятимерного метрического тензора, компоненты Gfyi (м = 0...3) которого имели смысл векторного потенциала Ац электромагнитного поля, в то время как 4-мерная часть G^v 5-мерной метрики Gab отвечала метрике физического 4-мерного пространства-времени ОТО.
При этом имеет место ряд удивительных фактов (названных Саламом " чудесами Калуцы"), свидетельствующих о нетривиальном физическом содержании теории. Так, 15 пятимерных уравнений Эйнштейна автоматически распадаются на 10 обычных гравитационных уравнений, 4 уравнения для векторного поля, тождественные максвелловским, а оставшееся уравнение для компоненты (j55 допускает ряд далеко идущих физических интерпретаций. Кроме того, спроецированные на 4-мерие уравнеия Эйнштейна автоматически содержат в правой части тензор энергии-импульса электромагнитного поля с правильным знаком.
В работе Калуцы использовалось условие цилиндричности метрики по 5-й координате, которое позднее было ослаблено в работах Эйнштейна, Бергмана, Баргмана [66, 67] и заменено условием периодичности. К этим работам восходит также идея о замкнутости мира по пятой координате (что соответствует топологии вида V4 х ,9і, где Vi - физическое 4-мерное пространство-время). Фактическая ненаблюдаемость пятой координаты связывалась с чрезвычайной малостью периода компактификации, сравнимого с масштабами планковских длин.
Вслед за Калуцей 5-мерную теорию развивали и другие авторы, в частности, О.Клейн [68], заслуга которого состоит в обобщении линеаризованного варианта Калуцы на общий случай, а также в попытке использовать 5-мерие для геометризации массивных полей. Сегодня многомерные теории объединенных взаимодействий носят название теорий Калуцы - Клейна.
Пятимерная теория Калуцы стимулировала развитие ряда математических методов, в частности, монадного формализма l+n-расщепления, впервые использованного в трудах Бергмана [69] и Эйнштейна, Бергмана [66] и фактически заложившего основы метода систем отсчета в теории гравитации (см. главу 1 настоящей работы).
Наряду с калуцевским вариантом 5-мерия существовала и другая ветвь многомерного подхода, основанная на проективной диффренциальной геометрии. Было предложено описывать 4-мерное многообразие посредством пяти однородных координат. Цикл работ в этом направлении, выполненный Ван Данцигом [71], Схоутеном [72], Гофманом, Вебленом [73], привел к построению проективной теории гравитации и электромагнетизма. Упомянем также работы Э. Шмутцера [74, 75]. Впоследствии оказалось, что между классическим вариантом Калуцы и проективным вариантом существует взаимно однозначное соответствие.
Результаты, полученные в рамках перечисленных работ, вскрыли глубокую связь между гравитацией и электромагнетизмом. Как оказалось, общность этих понятий проявляется не только на геометрическом, но и на алгебраическом уровне, примером чего могут служить более поздние работы Райнича (см. [76]), где устанавливалась алгебраическая связь между тензором Риччи Rpv и тензором электромагнитного поля F^v для уравнений типа Эйнштейна-Максвелла. В первой главе настоящей работы также анализируется определенный класс алгебраических и геометрических аналогий между гравитацией и электромагнетизмом, после чего дается их интерпретация с позиций 5-мерной теории Калуцы.
Следующий всплеск интереса к 5-мерию наблюдался в 40х - 50х гг. [70] и был связан с работами П. Иордана [78, 79], предложившего интерпретировать величину Ст55 как дополнительное скалярное поле. В ряде исследований [80, 81] были изучены физические возможности и следствия 5-мерных теорий с дополнительным скалярным полем, что впоследствии послужило толчком для создания целого класса моделей типа скалярно-тензорной теории Йордана - Бранса - Дикке. Из отечественных исследований того периода следует упомянуть цикл работ Ю.Б.Румера [63, 64] по 5-оптике.
В 70-х годах интерес к многомерию возрос во всем мире в связи с развитием теории полей Янга-Миллса. Довольно быстро было осознано, что многомерные теории типа Калуцы - Клейна можно понимать как геометризацию классических калибровочных полей [60, 54]. Для этого необходимо выбрать пространственно-временное многообразие нужной размерности и подходящей топологии внутреннего пространства дополнительных измерений. Было выполнено значительное число работ по геометризации известных на тот момент калибровочных теорий (см., например, [83, 84]). Широко стали использоваться пространства большего, нежели пять, числа измерений
[82, 62, 48]. Данный ракурс исследований был явно сориентирован на сочетание калибровочного и многомерного подходов, поскольку предполагалось, что компактное пространство дополнительных измерений априори должно иметь группу изометрии,.соответствующую геометризуемой калибровочной группе. В контексте объединения электрослабых и сильных взаимодействий Э.Витттеном были проклассифицированы типы топологии компактного пространства дополнительных измерений, группа изометрии которых включала бы в себя минимальную группу стандартной модели [62]. В частности, минимальное пространство такого типа обозначается М001 и имеет топологию СР2 X S2 X S1. Приведем примеры других, неминимальных, пространств:
М101 = 5 х 2? М011 = Ср2 х S3
В связи с развитием концепции суперсимметрии были построены модели калуцы - клейновской супергравитации (см. [62]). Сегодня идеи многомерных теорий Калуцы - Клейна приобрели широкое звучание в контексте теории суперструн [42, 43], поскольку было показано, что непротиворечивая теория струн существует только в пространстве высшего числа измерений, часть из которых в соответствии с духом теорий Калуцы - Клейна свернута в особый тип компактных многообразий, называемых пространствами Калаби-Яу [44]. При этом считается, что классический вариант теорий Калуцы-Клейна можно рассматривать как низкоэнергетическое приближение суперструнной теории или М-теории.
Надо сказать, что геометрический подход не исчерпывался одним лишь многомерием. В качестве геометрической характеристики, отвечающей за проявления электромагнетизма, можно было взять не размерность, а, например, неметричность Qa/3j = V7^a/j. Данный вариант был использован Вейлем [26] при построении единой теории гравитации и электромагнетизма, которая долгое время конкурировала с теорией Калуцы. Впоследствии в теории Вейля обнаружился ряд критических недостатков [2], что нисколько не умаляет её важное историческое и математическое значение: фактически, именно в рамках этой теории впервые были введены вейлевские конформные преобразования и предложена калибровочная трактовка электромагнетного потенциала как поля, компенсирующего нарушение локальной (конформной) симметрии
И-
Среди дополнительных возможностей геометрического подхода следует назвать также использование геометрий с кручением [2, 4]. Существуют также теории (напр., геометродинамика Уилера), где предлагается радикальным образом геометризовать также и материю, лишив ее независимого статуса и трактуя как совокупность определенных топологических особенностей единого искривленного пространственно - временного фона [1, 53]. Геометрические идеи проникли и непосредственно в калибровочные теории Янга-Миллса, которые стали формулироваться в терминах форм связностей на главных рас-
слоенных многообразиях в духе дифференциальной геометрии [46, 29], что оказалось существенным в попытках построения калибровочных теорий гравитации [46].
Среди отечественных исследований конца XX века в области классических многомерных теорий следует выделить цикл работ научной группы Ю.С.Владимирова [1-22]. Ракурс этих исследований был ориентирован на максимально последовательное проведение геометрического подхода с использованием методов задания систем отсчета [23] и формализма 4+п-расщепления. Рассматривался ряд пяти-, шести-, семи- и восьмимерных теорий, так или иначе связанных с задачей описания известных видов взаимодействий. Оказалось, что геометрическая трактовка полей-переносчиков взаимодействий может быть проведена без привнесения калибровочной идеологии на уровень компактных внутренних пространств: достаточно брать их в форме топологии тора. При этом калибровочная симметрия эффективно восстанавливается в ходе размерной редукции на 4-мерие. Во второй главе представленной работы формулируется 8-мерная теория грави-сильных взаимодействий, в рамках которой исследуется вопрос о механизме описания масс фермионных полей с учетом вейлевских конформных преобразований (что представляет собой геометрический аналог механизма Хиггса), а также решается проблема перенормировки планковских масс. Данное направление исследований в области классического многомерия представляет собой концептуальный интерес в связи с отсутствием экспериментальных свидетельств в пользу существования хиггсовских бозонов и суперпартнеров.
Кроме того, в упомянутых работах развит формализм частичной размерной редукции, позволяющей эффективно свести 8-мерный случай сильных взаимодействий к 7-мерному варианту теории электрослабых взаимодействий [1, 20] и таким образом уменьшить общее число измерений, необходимых для описания всех видов взаимодействий, с одиннадцати до восьми.
В последнее время многомерный подход получил распространение еще в одном ракурсе - в свете многомерной космологии и идеологии миров на бране (Brane World), где снимается требование обязательной копактификации дополнительных измерений. В среде отечественных ученых этот подход анализировался в ряде работ в научных группах К.А.Бронникова, В. Н. Мельникова, В.Д.Иващука [115, 116, 117]. Это направление представляет собой самостоятельный интерес в контексте современной космологии, однако обсуждение данного подхода выходит за рамки настоящей работы.
Надо отметить, что геометрический подход, как и калибровочный, не решает всех проблем, связанных с описанием физических процессов на планковских масштабах длин и энергий. На сцену вновь выходит проблема корректного совмещения принципов теории относительности с квантовой теорией, которая формулируется как проблема «квантования гравитации». Многолетние
безуспешные попытки её решения заставляют предположить, что искомая теория, возможно, должна быть сформулирована на совершенно иных концептуальных предпосылках, значительно корректирующих наши представления о природе пространства-времени, материи и фундаментальных взаимодействий. В связи с этим рассмотрим ещё один возможный подход к объединению взаимодействий, не столь широко известный в настоящее время, но истоки которого можно усмотреть в работах классиков теоретической физики XX века - Фоккера, Фейнмана, Уилера [51, 52], Хойла, Нарликара и др.
3. Реляционный подход.
Реляционный подход к построению теории физических взаимодействий принципиально отличен от двух предыдущих. Основная концептуальная предпосылка данного подхода проявляется в особом понимании природы пространства-времени как совокупности отношений (relations) между материальными частицами. Если в стандартных физических теориях, таких, как квантовая теория поля и ОТО, пространство-время представляет собой априори постулируемый непрерывный фон (многообразие, обладающее свойствами бесконечной делимости и гладкости), который может быть расширен и обобщен до многомерных пространств, расслоений, суперпространств и т.д., то в теории, основанной на реляционном подходе, пространство-время имеет вторичный характер. В качестве первичной категории вводится понятие отношения между реальными физическими объектами микромира, которое задает в конечном итоге всю динамику их взаимодействий. Пространство-время же (равно как и поля-переносчики взаимодействий) трактуется как эффективный фон, возникающий в результате специфического усреднения характеристик микроскопических процессов с участим больших ансамблей частиц.
Известно, что в XX веке предпринимался ряд попыток построения физики микромира без привлечения координатного пространства. Для примера назовем идею описывать все физические процессы на языке S-матрицы в импульсном пространстве [87] или твисторную программу Р. Пенроуза [88, 89]. Стимулом для развития такого рода теорий являлась неудовлетворенность сложившейся квантовополевой парадигмой, в которой обнаруживался ряд известных проблем вроде расходимостей. (Заметим, что вопрос о физической приемлемости теории, требующей процедуры перенормировок, до сих пор является в определенном смысле дискуссионным. Вполне вероятно, что бесконечности - неизбежный изъян всякой теории, опирающейся на принцип локальности.)
В настоящее время даже в рамках квантовополевых теорий делается утверждение о принципиальной неприменимости пространственно-временных представлений на масштабах порядка планковскои длины, в связи с чем формулируются гипотезы о зернистой, дискретной структуре простран-
ства. Для примера упомянем направление "петлевая квантовая гравитация" (Ли Смолин, Аби Аштекер), где пространство-время имеет дискретный характер и описывается в рамках особой конструкции, получившей название "спиновых сетей". Иными словами, сейчас все больше укрепляется мнение, что физическая теория, претендующая на адекватное описание микромира, должна как минимум выявить те пределы, в которых допустима привычная трактовка пространства-времени. Это обстоятельство заставляет по-особому взглянуть на реляционную программу как на перспективный путь, отвечающий существующим идейным запросам.
Идея о макроскопической природе пространства-времени как некоторой суперпозиции отношений между объектами отнюдь не нова [90], однако вплоть до нашего времени не получала адекватного математического отражения. Отчасти это связано с тем, что привычный всем аппарат математического анализа и дифференциальных уравнений невозможен без традиционного понимания пространства как бесконечно делимого и гладкого многообразия. Исторически утвердилась именно традиционная парадигма пространства-времени, которая допускает наиболее эффективную математику. Реляционный подход же, не имея возможности обратиться к аппарату анализа, должен опираться на комплекс совершенно иных математических понятий, лежащих, скорее всего, в области алгебр дискретных множеств.
Если затрагивать вопрос о физических взаимодействиях, то традиционное понимание пространства-времени неразрывно связано с концепцией близко-действия, наиболее ярко воплотившейся в полевых уравнениях Максвелла. В противоположность этому, реляционная парадигма, устраняя наряду с непрерывным пространством (допускающим непосредственную близость точек) саму идею поля, с необходимостью влечет за собой концепцию дальнодействия (оно может иметь место на световом конусе, как, например, в теории Фоккера-Фейнмана [106]). В этой парадигме фундаментальные взаимодействия должны рассматриваться не иначе как на базе отношений между частицами, взятых вне пространственно-временного фона.
Упомянем ряд ключевых идей, так или иначе имеющих отношение к реляционной парадигме. Во-первых, это принцип Маха, согласно которому масса и инерционные свойства материи обусловлены влиянием всех частиц окружающего мира [1]. Во-вторых, это теория прямого межчастичного взаимодействия Фоккера-Фейнмана, в которой оказывается возможным придать понятию поля эффективный характер [108, 52]. Сюда же примыкает идея А. Сахарова об индуцированном характере гравитации [91].
В работах Ю.С.Владимирова и Ю.И.Кулакова был сформирован математический аппарат, который, как представляется, адекватно отражает суть реляционного подхода к описанию взаимодействий. Речь идет о так называемой теории физических структур, первоначально открытых в новосибир-
ской группе математиков и развитых в последующих циклах работ (см., напр., [104, 105, 106, 109, 110, 111, 112, 113]). Данная математическая теория представляет собой формулировку геометрии на языке отношений между точками абстрактных дискретных множеств. Был открыт принципиально новый класс геометрий - бинарных геометрий (см. главу 4). В работах Ю.С.Владимирова было показано, что бинарная геометрия в сочетании с принципами Фоккера-Фейнмана и идеями Калуцы-Клейна позволяет эффективных образом переформулировать основные закономерности электрослабых и сильных взаимодействий на языке теории отношений.
Мотивация и цели работы На сегодняшний день исследования в области объединенных теорий взаимодействий нацелены на решение целого ряда актуальных вопросов, таких как описание спектра частиц, выявление механизма генерации их масс, а также прояснение природы пространства-времени и существующей иерархии взаимодействий на различных масштабах (вплоть до масштаба объединения) и др. Наблюдается повышенный интерес к многомерным теориям, что обусловлено, в частности, интенсивным развитием суперструнных моделей.
В связи с этим представленная работа нацелена на следующий круг задач:
1)развитие и анализ возможностей геометрического подхода к объединению фундаментальных взаимодействий в рамках многомерных теорий типа Калуцы-Клейна (в частности, упомянутых 8- и 7-мерных теорий сильных и электрослабых взаимодействий, включая процедуру частичной размерной редукции).
2)выход на ряд смежных задач, имеющих непосредственное отношение к геометрическому подходу в рамках 4-мерия: анализ алгебраических соотношений и эвристических аналогий между гравитацией и электромагнетизмом, интерпретация этих результатов с позиций 5-мерной теории Калуцы, а также связанная с этими вопросами задача алгебраической классификации систем отсчета в ОТО;
3)анализ фермионного сектора 8- и 7-мерных геометрических теорий, описание механизма генерации масс элементарных частиц с учетом конформных преобразований вейлевского типа, а также сопряженный с этим вопрос перенормировки планковских масс заряженных полей;
4)описание взаимодействий в рамках реляционного подхода, основанного на теории бинарных систем комплексных отношений [105], что можно рассматривать как распространение принципов геометрического подхода на более широкий класс геометрий - бинарных. При этом оказывается возможным придать различным каналам взаимодействий алгебраическую трактовку на основе принципов алгебраической классификации Петрова [92].
Цели и задачи данной работы представляются актуальными в контексте современных многомерных объединенных теорий, а методы и специфика
предложенных в работе подходов к описанию масс и взаимодействий (в рамках геометрической и реляционной парадигм) - имеющими теоретический и методологический интерес.
3. Схема и план работы.
В первой главе, носящей вводный характер, изложены ключевые понятия и математический аппарат, которые используются в последующих главах. Описан монадный метод задания систем отсчета и формализм 4+1-расщепления, в рамках которых изложена классическая 5-мерная теория Ка-луцы. Некоторое внимание уделено вопросам алгебраической связи между гравитацией и электромагнетизмом, существующей на 4-мерной уровне, и интерпретации их с позиций 5-мерной теории Калуцы, в рамках чего оказывается возможным выход на задачу классификации систем отсчета в ОТО.
Вторая глава посвящена изложению основных принципов 8-мерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий, развитой в работах [1, 19, 20], включая доказательство ряда вспомогательных утверждений и анализ фермионного сектора.
В третьей главе решается вопрос о механизме генерации масс в фермион-ном секторе 8-мерной теории с учетом возможности вейлевских конформных преобразований. Анализируется также проблема планковских масс.
Четвертая глава нацелена на обоснование возможности реляционного подхода к описанию взаимодействий на базе бинарных систем копплексных отношений с применением принципов алгебраической классификации Петрова.
Хронометрическая калибровка
Обозначим через Уд четырехмерное пространство событий, использумое в ОТО. Пространство V\ наделено структурой гладкого псевдориманова многообразия. В математическом смысле задание системы отсчета в некоторой области пространства V± сводится к заданию конгруэнции непересекающихся времени-подобных линий, заполняющих всю рассматриваемую область многообразия и обладающих тем свойством, что через каждую точку проходит ровно одна такая линия. Данную времени-подобную конгруэнцию можно отождествить с семейством мировых линий физических наблюдателей. Предполагается, что каждый локальный наблюдатель располагает часами, позволяющими определять интервалы собственного времени, а также имеет возможность измерять временные проекции тензорных величин, отделяя их от пространственно-спроецированных. Таким образом, мы имеем континуум наблюдателей, каждый из которых принимает и обрабатывает информацию на своих мировых линиях. Данная совокупность локальных налюдателей и формирует систему отсчета в ОТО.
Задание конгруэнции времени-подобных линий естественным образом влечет возможность ввести гладкое поле т Є 7- касательных векторов к этим линиям, отождествляемое с полем 4-скоростей локальных наблюдателей. Тем самым можно осуществлять проекции тензорных величин на эти касательные векторы и ортогональные к ним пространственные 3-сечения. Данный метод задания систем отсчета, опирающийся на выделение одного времени-подобного вектора т 1 в каждой точке рассматриваемой области многообразия, носит название монадного метода, а сам вектор г называется монадой.
Для согласования с метрической структурой многообразия V4 вводятся следующие соотношения, составляющие основу так называемого формализма 1+3-расщепления: где д и - метрика на 14, а кц„ - тензор, характеризующий пространственное 3-сечение, ортогональное rM: hliurv = 0. При этом монада Тц, будучи отождествленной с 4-скоростью dx /ds, удовлетворяет условию нормировки г = 1. С физической точки зрения концепция систем отсчета означает, что наблюдатель оперирует лишь с величинами, спроецированными на времени-подобный вектор монады и ортогональные ему пространственные 3-сечения. Для произвольного тензора В." определим, соответственно, его временную проекцию В (как проекцию по всем индексам на векторное поле монады т ) и пространственную проекцию В р. где введен оператор пространственного проецирования
Введенные проекционные операторы, очевидно, взаимно ортогональны (в силу условия Ь,цити = 0) и реализуют разложение произвольной тензорной величины по каждому индексу на «временную» и «пространственную» составляющие. Кроме того, из тензорных величин высокого ранга можно образовывать смешанные проекции по различным индексам, содержащие как «временную», так и «пространственную» части.
Обсудим вопрос о соотнесенности системы координат {х } с заданной конгруэнцией т мировых линий системы отсчета. Подходящим выбором кординат-ного базиса всегда можно добиться того, чтобы линии х, выделяемые условиями Xі = const, совпадали с указанной конгруэнцией. При этом выделяется целый класс таких координатных систем, называемых хронометрическими и связанных между собой преобразованиями вида [1, 23]
Вектор тм при этом приобретает простой вид т = (т, 0,0,0), что отражает переход к так называемой хронометрической калибровке монады, а вместе с ней и системы отсчета в целом.
С другой стороны, отождествление конгруэнции г с заданным семейством координатных линий х позволяет говорить о хронометрическом способе задания систем отсчета (также называемых при этом хронометрическими). Такие системы отсчета оказываются весьма удобными в приложениях, и в дальнейшем мы будем использовать хронометрическую калибровку.
Заметим, однако, что имеются и иные способы согласования координатных систем с конгруэнцией мировых линий. В частности, существует кинемет-рический способ задания систем отсчета [23] основанный на отождествлении конгруэнции г с ковекторным полем нормалей к однопараметрическому семейству глобальных пространственно-подобных гиперповерхностей, на которые расслаивается многообразие V4. Этот метод также приводит к группе выделенных координатных преобразований, задающих класс эквивалентных кинеметрических систем координат. Применимость кинеметрического способа связана с условиями, при которых многообразие V\ допускает указанное глобальное рассечение гиперповерхностями. Данного способа мы в дальнейшем касаться не будем. Выпишем ряд соотношений для поля монад Тц и тензора h , характерных для хронометрической калибровки. Эти соотношения являются прямым следствием формул 1+3-расщепления, условий нормировки монады т и того факта, что монада в данной калибровке имеет лишь одну (временную) ненулевую компоненту.
Заметим, что у ковариантных компонент тензора /І , имеющих вид отличны от нуля лишь компоненты с пространственными индексами г, к = 1,2,3, как и следовало ожидать от 3-мерного метрического тензора.
В дальнейшем эти формулы будут обобщены на многомерный случай при рассмотрении 8-мерной геометрической теории Калуцы - Клейна, где также используется хронометрическая калибровка обобщенной системы отсчета.
В рамках хронометрических систем координат справедливы следующие весьма полезные утверждения [1]:
1. Пространственно-спроецированные тензоры того или иного ранга определяются величинами только с 3-мерными компонентами (г, к ... = 1, 2,3) этого же ранга, а времени-спроецированные тензоры - ковариантными компонентами с индексом 0.
2. Переход между ко- и контравариантными пространственными компонентами указанных спроецированных величин осуществляется при помощи объекта hjk, играющего роль метрического тензора 3-мерного пространственного сечения.
3. Спроецированные тензорные величины инвариантны при произвольных преобразованиях координаты х (1.4) и ковариантны относительно чисто пространственных преобразований координат (1.5), в связи с чем носят название хронометрически инвариантных 3-тензоров.
Физико-геометрические тензоры и операторы диферен-цирования
Пятимерная теория Калуцы, оказавшись весьма плодотворной в объединении гравитации и электромагнетизма, допускает естественное расширение на случай остальных фундаментальных взаимодействий - сильного и слабого, описываемых в стандартной модели неабелевыми калибровочными полями групп 577(3) и SU(2). Для этого, в соответствии с идеологией Калуцы, необходимо увеличить размерность многообразия. При этом возникает определенный произвол в выборе топологии внутреннего пространства дополнительных измерений, которое по-прежнему полагается компактным. Отсюда появляется целый ряд вариантов теорий типа Калуцы - Клейна, различающихся способом компактификации.
1. Часто практикуется следующий подход: компактное пространство внутренних симметрии выбирается таким образом, чтобы его группа изомет-рий соответствовала геометризуемой калибровочной группе. Так, в случае геометризации группы 577(3) можно осуществлять компактификацию на 2-мерное комплексное проективное пространство СР2, чья группа изометрий и является упомянутой калибровочной группой. При этом коэффициенты разложения многомерной метрики в наинизшем порядке по набору линейно независимых векторов Киллинга играют роль калибровочных полей в присоединенном представлении группы сильных взаимодействий [62].
При этом само компактифицированное пространство внутренних симметрии считается вакуумным состоянием (ground state) для поля метрики, подчиняющейся многомерным уравнениям Эйнштейна, а возбуждения над этим состоянием и дают динамику калибровочных полей (так называемая идеология спонтанной компактификации, см. [54]).
Данный вариант построения моделей Калуцы - Клейна характерен тем, что геометризация взаимодействий в нем осуществляется за счет специального выбора топологии внутреннего пространства, который производится искусственно с учетом заведомо известной калибровочной группы. Калибровочный принцип, таким образом, здесь играет определяющую роль, а принцип геометризации взаимодействий оказывается вторичным средством, с помощью которого реализуется уже известный калибровочный подход. Данный метод хорошо отвечает идеологии многомерной супергравитации и особенно широко практикуется в контексте различных ветвей теории суперструн.
2. Упомянутый выше подход - не единственно возможный вариант развития многомерных моделей типа Калуцы - Клейна. Поставим вопрос: обязательно ли топология внутреннего пространства должна отвечать калибровочной группе? Уместность такой постановки вопроса обусловлена тем фактом, что в 5-мерной теории Калуцы, рассмотренной в предыдущей главе, выбор цилиндрической топологии внутреннего пространства a priori никак не соотносился с абелевой группой U(l) электромагнетизма, а производился из других соображений (в частности, для устранения лишних членов в спроецированных уравнениях Эйнштейна). Развивая эту идеологию на случай высших измерений для геометризации сильных взаимодействий, можно строить теорию на основе топологии тора, которая, являясь простейшим обобщением цилиндрической топологии, одновременно позволила бы получить соответствие со стандартным лагранжианом хромодинамики. Такой подход, по-видимому, в большей степени отвечает геометрической парадигме, поскольку не постулирует калибровочный принцип в качестве первичного (что, конечно, не исключает возможности достичь соответствия со стандартной калибровочной моделью на уровне 4-мерия в процессе размерной редукции). Помимо своей очевидной эвристической и технической простоты, такой подход позволяет дать наглядную интерпретацию дополнительных измерений, соотнося их с характеристиками цветовых зарядов частиц.
3. Отметим еще один ключевой пункт, касающийся теперь уже перехода к 4-мерию. Наряду с идеологией спонтанной компактификации (предполагающей получение многомерных уравнений Эйнштейна варьированием многомерного действия NS и проецированием их на 4-мерное пространство-время), существует и другая возможность: непосредственно получать 4-мерное действие 4S интегрированием («усреднением») функционала NS по дополнительным измерениям, замкнутым в тор с чрезвычайно малыми (планковскими) периодами компактификации. Этот способ позволяет получить сответствие со стандартной калибровочной моделью на уровне лагранжиана КХД [19], что автоматически обеспечивает возможность дальнейшего квантования теории по стандартным рецептам.
4. Отдельно отметим вопрос описания масс покоя бозонных и фермионных полей. Общей проблемой для калуцы-клейновских теорий является проблема планковских масс. В предлагаемой теории предлагается достаточно нестандартный и эффективный способ перенормировки этих масс посредством использования процедуры конформного (вейлевского) преобразования метрики, о чем будет подробно скзано далее.
5. Наконец, забегая вперед, отметим, что предлагаемый вариант 8-мерной теории Калуцы - Клейна, изначально нацеленной на описание сильных взаимодействий, допускает процедуру частичной размерной редукции, позволяющей эффективно перейти к 7-мерной теории грави-электрослабых взаимодействий (ранее развитой в работах [12, 2]). Факт существования такой процедуры означает, что для включения электрослабых взаимодействий нет необходимости дополнительно наращивать число измерений, как это делается в стандартных моделях Калуцы-Клейна, а достаточно обойтись теми, которые уже используются для геометризации сильных взаимодействий.
6. Как показывают ранние работы [1, 2], для геометризации сильных взаимодействий с использованием топологии тора необходимо не менее 4 дополнительных измерений. (Заметим, что это имеет место и в случае компактификации на СР2.) С другой стороны, это число оказывается и достаточным. Таким образом, полное пространственно-временное многообразие оказывается 8-мерным и имеет структуру V& = V\ х В4, где V4 - физическое 4-мерное пространство-время, а В\ = S1 х S1 х S1 х S1 - четырехмерный тор с план-ковскими периодами компактификации.
Конформные преобразования: фермионный сектор
Будем искать Ts в виде ряда по линейно независимым базисным элементам алгебры Клиффорда. Базис алгебры Клиффорда С(1, N — 1) может быть выбран в виде набора величин причем все индексы (A\...Aj) считаются упорядоченными по возрастанию. Таких различных комбинаций индексов для фиксированного J существует Cjf HIT. Поэтому полное число базисных элементов eJ(Ai...Aj), определяющее размерность алгебры Клиффорда, равно dimC(l,iV — 1) = EjLoCjv = 2 . Итак, мы принимаем исходное разложение искомые числовые коэффициенты разложения. Сумма по индексам (A\...Aj) идет с учетом метрики Минковского в TViq. Так как все эти индексы по предположению упорядочены по возрастанию и различны, то комбинации Г-матриц в этом разложении будут антисимметричны. Поэтому для однозначности разложения достаточно положить коэффициенты разложения Qs \A\...AJ) антисимметричными по перестановкам индексов (A\...Aj). Подставив это разложение в основное уравнение (2.50), получим:
Поскольку базисные элементы алгебры Клиффорда линейно независимы, а слева стоит линейная комбинация Г-матриц, справа должны выжить лишь члены, имеющие лишь первую степень по Г-матрицам. Попробуем установить, какую степень может иметь каждое слагаемое в правой части этого уравнения. 1. Рассмотрим первое слагаемое Г(Л)Г(Лі)...Г(Л,/), которое содержит J + 1 Г-матриц. Имеем два случая. 1а) Индекс А равен какому-нибудь Ak в этом ряду, где к Є (0... J). Пронесем Г (А) к Т(Ак) через остальные матрицы (не равные Г (А) в силу различности всех Ak). Учитывая, что Т(Ак)2 /, получим степень J — 1. 16) Индекс А не равен ни одному Ak в этом ряду. Тогда это выражение имеет степень J+1 (заметим, что этот случай возможен лишь при «7 N—1).
Итак, первое слагаемое может иметь степень J±l по образующим алгебры Клиффорда. Рассмотрим второе слагаемое Г(0)Г (Aj)...T (Ai)T(0)T(A), содержащее J + 3 Г-матриц. Имеем следующие 3 подслучая: Ни один из индексов A, Ak не равен 0. Пронося крайнюю слева матрицу Г(0) к Г(0) справа и сокращая ее в силу Г(0)2 = I, получим выражение, по форме эквивалентное случаю 1. Поэтому оно будет иметь степень J ± 1. 26)
Ровно один из пары индексов A, Ak (для некоторого к, единственного по построению) равен 0. Если А = 0, то имеем выражение T(0)r (Aj)...T\(Ai)\Ak o, имеющее степень J + 1. Если же Ak = 0, то пронесем слева Г(0) к Г(Л ). Сокращая эти матрицы, получим выражение rt(i4j)...rt( fc+i)rt(i4jb_i)...rt(i4i)r(i4)r(0)U#o, содержащее, всего J + 1 матриц. Тогда если А равен какому-нибудь индексу Aj в получившемся ряду Г (Л;)-матриц, то, пронося Т(А) к Г (Aj) и сокращая, получим степень J — 1; в противном же случае степень будет, очевидно, равна J +1 (учитывая АфО). 2с) A = Ak = 0 для некоторого (единственного) к. Это немедленно понижает степень исходного выражения до (J + 3) — 4 = J — 1.
Итак, 2-е слагаемое, так же как и первое, может иметь степень J± 1 по образующим. Ранее было отмечено, что в (2.53) справа должна присутствовать лишь первая степень. Приходим к условию J ± 1 = 1, откуда следует, что коэффициенты разложения Q(s (Ai...Aj) будут ненулевыми лишь для J = 0 или J — 1.
Примечание: при более внимательном анализе можно усмотреть еще одну возможность, которую априори исключать нельзя. Может оказаться так, что для некоторого набора индексов [A\...Aj\ где J ф 0, J ф 2, суммарное выражение в квадратных скобках в (2.53) окажется тождественно равным нулю, так что Qg(A\...Aj) могут при этом оказаться ненулевыми. (Заметим, что равенство нулю выражения в квадратных скобках должно выполняться тождественно для произвольного индекса А, поскольку коэффициенты Qs \A\...Aj) его не содержат.) Однако нетрудно показать (путем несложного анализа на четность перестановок индексов), что такая ситуация невозможна.
Преобразуем это выражение: пользуясь свойством {Y(A),Y(B)} = 2г](АВ), перенесем матрицу Y(A) во 2-м слагаемом правой части до конца вправо, Г(0) из 3-го слагаемого - влево, а также переставим в 3-м слагаемом произведение матриц тЦв2)гЦВі), чтобы упорядочить индексы (Ві,В2) по примеру 2-го слагаемого. Учтем, что для используемой сигнатуры Г (В) = e(B)Y(B), где е(В) означает знак В-то диагонального элемента метрики Минковского. Теперь, вынося за скобки Г (Л), получим:
Видно, что ImQs (B\B2)=0. Это следует из линейной независимости базисных элементов алгебры Клиффорда. В самом деле, возьмем любые два фикси оо рованных индекса Ві,В2, не равных друг другу (если они равны, то случай тривиален, так как Qy(BiB2) = 0 в силу антисимметрии) и выделим из суммы в третьей строке член (здесь нет суммы по индексам). Уравнение (2.57) на самом деле представляет собой N уравнений, нумеруемых индексом А. Поскольку для каждого из уравнений коэффициенты Qs (В1В2) общие, то рассмотрим член (2.58) в уравнении с номером А, не равным Bi,B2 (очевидно, всегда можно выбрать такой индекс А при N 2). Тогда комбинация Г(В2) (Ві)Т(А) есть один из (кубичных) линейно независимых базисных элементов алгебры Клиффорда, который больше нигде не встретится в уравнении (2.57). Следовательно, ко эффициент при нем ImQg (В1В2) — 0. Поскольку выбранные индексы В\,В2 произвольны, то это и доказывает сделанное утверждение.
Этот факт немедленно упрощает уравнение (2.57) до уравнения AS(AB) - 2QS2\[AB]) - 2BjeQ{s)rj(AB) = 0. (2.59) Ясно, что в этом соотношении должны быть по отдельности равны нулю антисимметричное и симметричное слагаемые, поскольку они являются независимыми (неприводимыми) частями тензора 2 ранга. Из 2KeQs = 0 заключаем, что Qs является произвольной чисто мнимой величиной. Обозначим Qs = і As, где As - некоторое векторное поле на многообразии Удг.
Фундаментальные отношения и финслеровы спиноры
Очевидно, в рассматриваемой геометрической теории грави-сильных взаимодействий, отвечающей N=8, указанная замена переменных выглядит как X = 3. Видно, что конформное преобразование приводит к появлению аддитивного конформного добавка к гиперплотности бозонного лагранжиана. Заметим, что скалярное поле х конформного фактора входит (вместе со своими производными) в полученную формулу как коэффициент при метрике GMN, содержащей квадратичные комбинации тетрад W. Иными словами, это поле вносит вклад в квадрат массы бозонных полей. Это дает возможность использовать конформный добавок к кривизне в качестве контрчлена, компенсирующего нежелательный планковский массовый член R(m).
2. В рамках этого подхода конформное преобразование от исходной метрики Gjvfjv к "физической" метрике GMN можно интерпретировать как эффект спонтанной фиксации конформной калибровки теории, что в известном смысле является аналогом спонтанного нарушения симметрии в теориях поля (где система самопроизвольно выбирает одно из вакуумных состояний). Иными словами, рассматриваемому конформному переходу, управляемому скалярным полем х и вносящему вклад в массовую часть лагранжиана, можно придать смысл динамического эффекта. Здесь напрашивается аналогия с известным динамическим механизмом Хиггса генерации масс, которая будет обсуждена далее.
3. Конформный фактор, как и любые поля на V& = V4 х В можно разложить по экспоненциальным гармоникам, заданным на торе В±. Следует также учесть симметрию калуцевских координат х5,х6,х7, выражающуюся в равенстве соответствующих периодов компактификации. Кроме того, конформный фактор в ходе размерной редукции (интегрирования по ха) не должен ощутимым образом нарушать экспоненциальную структуру выражений, дающих бозонный сектор взаимодействия. Исходя из этих соображений, в ра боте [56] конформный фактор брался в наиболее простом виде
Вообще говоря, эта функция комплексна, что, однако, не является критическим обстоятельством, поскольку 8-мерная метрика в общем случае также комплексна (см. гл. 2). Малые величины фі в самом общем случае могут быть полями на (тогда они играли бы роль, аналогичную скалярному дублету Хиггса в 4-мерии), а в частном случае - считаться константами всюду на Vg. Как показывает анализ, последний вариант достаточен для перенормировки масс глюонов до нуля. Перенормировка состоит в усреднении модифицированного бозонного лагражиана (3.7), в ходе чего конформный добавок компенсирует планковский массовый член Щт) .
Рассмотрим, как учитываются конформные преобразования в фермионном секторе теории, описываемом гиперплотностью лагранжиана
1. Поскольку данный лагранжиан включает в себя негеометрические поля, необходимо продолжить действие группы вейлевских преобразований W% на пространство этих полей. В данном случае это означает, что необходимо задать закон конформного преобразования спиноров Ф(ж).
В общем случае представление -0[И ] вейлевской группы W% в пространстве 16-компонентных спиноров задается действием некоторого матричного оператора D [(#)], индуцированного конформным преобразованием метрики GMN - (X)GMN
Мы ограничимся случаем линейного представления, сохраняющего естественное правило: сумма спиноров переходит в сумму. Кроме того, в соответствии с духом локальной теории мы будем считать, что зависимость опера-тора D от (ж), а также характер его действия на спинор Ф являются локальными (не интегральными), а кроме того, не включают в себя производных конформного фактора. При этом последний играет роль локализованного (на пространстве Vs) параметра матричной группы !)[(#)].
Очевидно, композиция двух последовательных конформных преобразований i о 2 перестановочна, откуда следует, что группа Wf обладает абелевой структурой. Следовательно, все её конечномерные линейные представления в виде 16-рядных матриц .D[(#)] над полем комплексных чисел приводимы в силу известной леммы Шура. Для наших целей достаточно ограничиться наиболее простым случаем кратного вполне приводимого представления, когда оператор D сводится к умножению на некоторую аналитическую с-числовую функцию D((x)) конформного фактора: Z)[(a;)] = D((X))IIQ.
Нетрудно видеть, что абелева структура группы W% однозначно определяет вид функции D(). Совершив два последовательных конформных преобразования, мы найдем, что в каждой точке многообразия Vg удовлетворяется функциональное соотношение
Второе равенство представляет собой очевидное начальное условие, соответствующее тождественному (единичному) конформному преобразованию. Аналитическое решение данного функционального уравнения имеет вид D() = и, где ш - произвольное число.
Таким образом, мы принимаем следующий трансформационный закон для спиноров: Показатель ш, называемый конформным весом спинорного поля, a priori не фиксирован, и его выбор производится из эвристических соображений, например, из требования конформной инвариантности уравнений движения, из соображений канонической размерности спиноров и т.д. Так, для обеспечения инвариантности безмассового дираковского фермионного лагранжиана в N-мерии (при вещественном конформном факторе) часто полагают ш = (1- N)/2 [58].
