Введение к работе
Актуальность темы и постановка задачи
Пространство-время является фундаментальным понятием, лежащим в основе наиболее значимых физических теорий Поэтому изучение возможных моделей пространства-времени (или кинематик) имеет принципиальное значение для физики В нерелятивистской физике пространство и время рассматривались независимо друг от друга, что математически связано с расслоенностью кинематики Галилея В специальной теории относительности время и пространство представляют неразрывную сущность и рассматриваются как единый объект кинематика Минковского с псевдо-евклидовой геометрией и нулевой кривизной Общая теория относительности привнесла в физику понятие кривизны Кинематики (анти) де Ситтера с постоянной (положительной) отрицательной кривизной представляют простейшие модели релятивистского пространства-времени с кривизной
Развитие физики периодически приводит к такому положению, когда необходимо изменить некоторые из фундаментальных принципов, лежащих в основе наших представлений о строении вещества Эта неудовлетворенность современным состоянием физики связана, в частности, с расходимостями, появляющимися в теории поля Применяя известную процедуру перенормировки, расходимости во многих случаях удается устранить, однако искусственность этого приема и наличие неперенормируемых взаимодействий не позволяют считать проблему закрытой
В качестве исходного пункта преодоления указанных трудностей, по мнению И Е Тамма, может служить понятие координаты частицы Возможность сколь угодно точного измерения координаты частицы в классической физике вступает в противоречие с основными фактами физики высоких энергий Действительно, координаты частицы можно измерить путем рассеяния на ней пробных частиц, например, фотонов или мезонов Увеличение точности измерения требует перехода к более высоким энергиям, но в этих условиях процесс рассеяния будет сопровождаться рождением новых частиц Невозможность различать частицы, участвовавшие в первичном акте рассеяния, и многочисленные вторичные частицы, находящиеся на некотором конечном расстоянии от исходной, ограничивают точность измерения координат
В квантовой физике неопределенность в измерении физических величин выражается в том, что операторы, соответствующие этим величинам, не коммутируют Естественно поэтому считать координаты частицы некоммутирующими друг с другом операторами Такое
предположение было выдвинуто Снайдером и показано, что некоммутирующим координатам отвечают импульсы, которые по-прежнему можно считать обычными числами, но которые теперь образуют не псевдоевклидово, а риманово простанство с ненулевой кривизной Координаты определяются как операторы бесконечно малого сдвига в импульсном пространстве Таким образом, построение теории поля, учитывающей принципиальную неточность определения координат, можно проводить руководствуясь чисто геометрическим принципом - выбором той или иной геометрии пространства импульсов Квантованные пространственно-временные координаты, приводящие к искривленному пространству импульсов, представляют первый пример применения некоммутативной геометрии в квантовой физике Простейшая геометрия искривленного пространства -геометрия пространства де Ситтера с постоянной кривизной -использовалась, вместо плоского пространства Минковского, в качестве модели импульсного пространства в различных вариантах обобщения квантовой теории поля (И Е Тамм, В Г Кадышевский, ЮА Гольфанд)
Универсальные константы, такие как фундаментальная длина \г
, h
фундаментальная масса М, связанные соотношением / = , где п
постоянная Планка, с - скорость света, с необходимостью появляются в таких теориях
Естественно в качестве обобщения псевдоевклидового пространства импульсов выбрать пространство де Ситтера dS(1,3), имеющее постоянную отрицательную кривизну (В Г Кадышевский), которое
, 2 2 2 2 2 і
задается как сфера уп - V, — у2 — У-, — У^ =~і в пятимерном псевдоевклидовом пространстве Ц1,4) Переходя к внутренним бельтрамиевым (или геодезическим) координатам ра =уа/у4, о = 0,1,2,3 и учитывая, что псевдовращения в плоскостях {уа , у4 } порождают сдвиги в направлении р , нетрудно найти оператор сдвига
на вектор к в импульсном пространстве Наиболее характерной особенностью сдвига является его некоммутативность
Поскольку в каждом акте элементарного взаимодействия (то есть поглощения или испускания фотона или мезона) происходит сложение импульсов взаимодействующих частиц, то изменение закона сложения больших импульсов приводит к изменению закона взаимодействия частиц в области малых пространственно-временных интервалов
Операторы координат хп определяются как инфинитезимальные операторы сдвига в пространстве импульсов Для операторов
скалярных волновых функций ср(р) в бельтрамиевых координатах
получены выражения, совпадающие с постулированными X С
Снайдером, относительно которых было установлено, что оператор f
имеет непрерывный спектр, простирающийся от минус до плюс
бесконечности, а каждый из операторов х" - дискретный спектр вида
ml, где т = 0,± 1 а / некоторое положительное число - квант
пространства
В обычной теории поля известно, что уравнения теории можно записать в четырехмерном евклидовом пространстве координат или импульсов, проделать в том же пространстве все промежуточные выкладки, а в конечных выражениях провести аналитическое продолжение от евклидовых величин к псевдоевклидовым Имея в виду такой путь обобщения теории, в работах ЮА Гольфанда, Р М Мир-Касимова построена теория поля с использованием эллиптического пространства постоянной кривизны S4 в качестве импульсного пространства
В упомянутых обобщениях теории поля обычный закон сохранения 4-импульса выполняется только в случае упругого рассеяния В общем случае стандартный закон сохранения энергии-импульса отсутствует В работах В Г Кадышевского, исходя из трансляционно-инвариантной (то есть явно учитывающей сохранение 4-импульса) формулировки квантовой теории поля строится обобщенная теория поля При этом трансляционная инвариантность сохраняется (то есть в обобщенной теории закон сохранения 4-импульса является стандартным), а относительные импульсы модифицируются так, чтобы имела место симметрия относительно сдвигов р-пространства постоянной кривизны, в качестве которого используется пространство анти де Ситтера D(2,3) Такой способ обобщения теории поля приводит к модификации понятия относительных пространственно-временных координат в области малых масштабов
Более широко подошел к проблеме использования в теории поля неплоского пространства импульсов И Е Тамм Заметив, что импульсы физических частиц не инвариантны относительно трансляций в пространстве импульсов, так как в противном случае масса частицы изменялась бы весьма сложным образом, зависящим от направления и величины скорости движения, он предложил рассматривать импульсные пространства инвариантные только относительно лоренцевых преобразований (но не сдвигов) Ясно, что такие пространства уже не будут пространствами постоянной кривизны Метрический тензор дар такого пространства он предложил выбрать в
виде (в некоторой системе координат) gu/l = gu„ f (р~) +
+ РиР\МР~) r^e Suis = (1-—1.-1.-1), а произвольные функции f \л h
, 2 0«/1
являются функциями лоренцевского инварианта р =g риРд, на
которые накладывается ряд условий, вытекающих из требований, чтобы метрика не имела особенностей, интегралы, встречающиеся в теории поля, были конечны, чтобы выполнялся принцип соответствия Операция сложения векторов q = р] /?-, определяется
геометрически с помощью геодезических и параллельного переноса в римановом пространстве
Упомянутые выше обобщения квантовой теории поля имеют общую черту - они предполагают отказ от пространства-времени с коммутативными координатами и переход тем или иным (геометрическим) способом к некоммутативным моделям пространства-времени
В последние годы появился новый подход к изучению некоммутативных объектов - квантовые группы и алгебры, представляющие собой, с точки зрения алгебраических структур, некоммутативные и некокоммутативные алгебры Хопфа Этот подход является активно развивающейся областью исследований как в математике, так и в теоретической физике
Квантовые группы и алгебры Ли возникли при изучении поведения
двумерных интегрируемых систем в квантовой теории ПОЛЯ и
статистической механике в рамках квантового метода обратной задачи
В работах Л Д Фаддеева Л АТахтаджяна, Е К Склянина, П П Кулиша,
Н Ю Решетихина, возникли новые алгебраические структуры,
обобщения которых позднее получили название "квантовые группы", "квантовые алгебры" Похожие структуры появились и при решении некоторых моделей статистической физики (Р Бэкстер) и при изучении факторизованного рассеяния солитонов и струн (А Б Замолодчиков) Объединяющим началом всех этих исследований стали уравнения Янга-Бакстера В Г Дринфельдом было замечено, что квантовые группы есть ни что иное, как алгебры Хопфа , которые во многих случаях являются деформациями универсальных обертывающих алгебр Ли М Джимбо получил те же соотношения исходя из других соображений
Отметим несколько существующих направлений, связанных с реализацией идей о квантовании симметрии в физике (см обзор А П Исаева) Обнаружились возможности применения квантовых групп Ли для классификации элементарных частиц и в исследованиях по ядерной спектроскопии, генетического кода Другое направление, связанное с некоммутативной геометрией предложено в работах А Конна где исследуются стандартные теоретико-полевых модели
(Салама-Вайнберга и др ) на некоммутативном пространстве-времени Многочисленны попытки деформации групп Лоренца и Пуанкаре и соответствующих этим деформациям построений квантовых версий пространства-времени
В последнее время в работах П П Кулиша, Л Д Ляховского и др разработан метод квантовых деформаций универсальных обертывающих алгебр для алгебр Ли преобразованием подобия
копроизведения А (х) = Fk(x)F~ с помощью твиста
F = 2_,f} ft При этом умножение и коединица сохраняются, а
антипод и универсальная R-матрица преобразуются За счет выбора подходящего твиста F тривиальную R-матрицу можно преобразовать в нетривиальное решение квантового уравнения Янга-Бакстера и таким образом получить нетривиальную деформацию универсальной обертывающей как для алгебр Ли, так и для супералгебр
Релятивистские квантовые кинематики изучались преимущественно с точки зрения деформации алгебр Ли их групп движений Так коммутационные соотношения временной и пространственных образующих кинематики к-Мин ко веко го (Ю Лукирский, ЛД Ляховский, П Масланка и др) находятся из деформации алгебры Ли группы Пуанкаре в виде
[*„,*,] = -(я,Л -*,„). <1>
где a t есть 4-вектор в пространстве Минковского, определяющий
направление деформации у = а''х t, причем произвольный выбор аи
эквивалентен описанию к-деформации в пространстве-времени в
произвольном базисе В системе единиц, в которой Л=с=1, параметр
деформации Л = к" имеет размерность длины и может
рассматриваться как фундаментальная длина а к можно
интерпретировать как фундаментальную массу, так как [к] = [ масса]
Для наших целей особый интерес представляют квантовые векторные пространства, отвечающие квантовым ортогональным группам Характерной особенностью этих пространств является некоммутативность их образующих — аналогов декартовых координат обычных векторных пространств Это открывает новые возможности для изучения некоммутативных аналогов кинематик -- моделей пространства-времени, а следовательно и возможных обобщений поведения и законов взаимодействия частиц в области малых
пространственно-временных интервалов Данная проблема является актуальной в настоящее время о чем свидетельствуют современные физические теории и модели, такие как квантовая теория поля с фундаментальной массой и электромагнитной длиной, космология и квантовая гравитация, уравнения Янга-Милса-Хиггса в (1+2)-мерном пространствах де Ситтера и анти де Ситтера, квантовый эффект Холла, исследования суперинтегрируемых систем на пространствах постоянной кривизны в подходе А Н Сисакяна, Г С Погосяна и др Цель работы
Целью настоящей работы является построение некоммутативных аналогов кинематик, то есть релятивистских (кинематики Минковского, де Ситтера, анти де Ситтера) и нерелятивистских моделей пространства-времени с нулевой (кинематика Галилея) и постоянной ненулевой кривизной (кинематика Ньютона), а также экзотических кинематик Кэрролла, на основе изучения квантовых деформаций контрактированных ортогональных групп и соответствующих им квантовых пространств
Объекты и методы исследования
Теоретически возможные кинематики, удовлетворяющие естественным физическим постулатам пространство изотропно, а бусты (вращения в пространственно-временных плоскостях) образуют некомпактную подгруппу, описаны X Бакри и Ж -М Леви-Леблондом Все они представляют собой пространства с постоянной кривизной, реализующиеся на связной компоненте сферы
п III
Л;0)^/С,0)ІУ«+І>Щ/,:!.п=2,3.4
т-\ Ы
в пространстве на единицу большей размерности где параметры /,=1,/,,/. Здесь /, есть нильпотентные образующие //=0, /,/ = / /, ^ 0 Внутренние геодезические (бельтрамиевы) координаты
1 = )\Уп - гк = Ук+\ У'а ' ^=1>2,3 на сфере имеют очевидную физическую интерпретацию и описывают кинематики анти де Ситтера AdS(1,3) и де Ситтера dS(1,3) при /i=1,/, /2=/,/3 =/4=1, соответственно, кинематику Минковского М(1,3) при/,=/, /2=/ /з=А=1 нерелятивистские кинематики Ньютона N(1,3) при ^=1, /2= '2, /з=/4=1, и Галилея G(1,3) при/,=/,, /2= /2 /з=/4=1 Если интерпретировать внутренние координаты по другому
І = УіУ0\ rk=yky~l, =1,2,3, то при /,=1,/,,/, /, = /,=1,
/1=/4 имеем экзотические кинематики Кэрролла, в которых по сравнению с кинематикой Галилея пространство и время как бы
1 I
де Ситтер
Рис 1 Классические (1+3) кинематики Пунктиром указан световой конус Жирные линии изображают собственно пространство в нерелятивистских кинематиках
поменялись свойствами -- здесь абсолютно пространство а время относительно
Эти кинематики (кроме де Ситтера и анти де Ситтера) получаются из сфер (Н А Громов) предельными переходами а их группы движений — контракциями введенными Е Вигнером и Э Иненю и аналитическими продолжениями ортогональных групп SO(n+1) Мы вместо предельных переходов по параметрам используем эквивалентный подход связанный с нильпотентными значеними соответствующих параметров
Существует несколько подходов к построению квантовых групп R-матричный подход Фаддеева-Решетихина-Тахтаджяна (ФРТ) через определяющие соотношения и генераторы (В Г Дринфельд М Джимбо) деформационное квантование или звездное произведение (М Флато Д Стернхеймер) ФРТ подход хорошо работает для квантовых аналогов простых и полупростых групп и алгебр Ли В физике и геометрии однако важную роль играют группы не являющиеся простыми и полупростыми например такие как неоднородные группы включающие группы Пуанкаре Евклида Галилея Геизенберга разных размерностей В данной работе на основе R-матричного подхода
Фаддеева-Решетихина-Тахтаджяна предложен способ получения некоммутативных (квантовых) аналогов моделей пространства-времени и отвечающих им неполупростых квантовых групп с использованием нильпотентных образующих
Научная новизна и практическая ценность работы
Построение квантовых деформаций неполупростых групп и алгебр Ли с помощью контракций известно в настоящее время в основном для алгебр В диссертации разработан способ получения квантовых деформаций неполупростых групп произвольной размерности из квантовых ортогональных групп методом контракций с помощью нильпотентных образующих Для квантовых ортогональных групп, по сравнению с классическим случаем, преобразование образующих дополняется, вообще говоря, преобразованием параметра деформации Вместе с тем, известны контракции квантовых групп, при которых параметр деформации остается неизменным В нашем подходе оба типа контракций рассматриваются в рамках единой процедуры и появляются при разных перестановках а из группы перестановок N-ro порядка
Квантовые деформации ортогональных групп обычно описываются в математическом (или так называемом "симплектическом") базисе, в котором инвариантная квадратичная форма в недеформированном случае задается матрицей с единицами на побочной диагонали В таком базисе R-матрица, задающая коммутационные соотношения, является нижнетреугольной и коммутаторы квантовых образующих имеют особенно простой вид Однако в физических приложениях более распространенным является декартов базис, в котором инвариантная квадратичная форма в недеформированном случае задается матрицей с единицами на главной диагонали В диссертации дана формулировка ФРТ теории квантовых ортогональных групп и квантовых векторных пространств в декартовом базисе, соответственно, контракции этих объектов рассматриваются в декартовом базисе, что облегчает сравнение с классическим (не квантовым) случаем
В диссертации построены некоммутативные аналоги (1+к) моделей пространства-времени при к=1 2,3, таких как релятивистские кинематики Минковского, де Ситтера, анти де Ситтера, нерелятивистские кинематики Галилея и Ньютона экзотические кинематики Кэрролла При этом последовательно рассмотрены и обобщены все этапы получения кинематик, которые имеются в коммутативном случае
Апробация работы Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах Отдела математики (филиал, г Сыктывкар) Института математики и механики УрО РАН, на Февральских чтениях в Сыктывкарском государственном университете, на семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского
отделения Математического института РАН, на международном совещании по классическим и квантовым интегрируемым системам (Дубна 1996), на международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике (Гослар 1996), на международном Вигнеровском симпозиуме (Вена 1997, Колледж Парк 2001), на международной конференции по квантовым группам деформациям и контракциям (Стамбул 1997), на международной конференции по методам симметрии в физике (Ереван 2002, 2003, Прага 2004), на международной конференции по некоммутативной геометрии и теории представлений в математической физике (Карлстад 2004)
Публикации По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 10 работ
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения и списка литературы Она содержит 124 страницы текста и список литературы из 153 наименований На защиту выдвигаются следующие результаты
