Содержание к диссертации
Введение
1 Магнитоэкситоны в графене 18
1.1 Введение 18
1.2 Двухчастичная задача о магнитоэкситоне 21
1.2.1 Состояния электрона и дырки 21
1.2.2 Выделение движения центра масс 23
1.2.3 Дисперсионные зависимости 26
1.3 Многочастичная формулировка задачи 34
1.3.1 Функции Грина 34
1.3.2 Уравнение для электрон-дырочной вершинной части 39
1.3.3 Разделение каналов уравнения для вершины 44
1.3.4 Энергии рекомбинационных фотонов 48
1.4 Выводы 51
2 Электрон-дырочное спаривание в бислое графена 53
2.1 Введение 53
2.2 Режим слабой связи 56
2.2.1 Модель спаривания 56
2.2.2 Управляющие параметры системы 59
2.2.3 Результаты и обсуждение 61
2.3 Отсутствие кроссовера БКШ-БЭК 64
2.4 Многозонное спаривание при сильной связи 71
2.4.1 Введение 71
2.4.2 Описание основного состояния 73
2.4.3 Величина щели при нулевой температуре 78
2.4.4 Неустойчивость нормального состояния 88
2.4.5 Переход Костерлица-Таулеса 93
2.5 Учет динамических эффектов 95
2.6 Выводы 104
3 Фононный механизм сверхпроводимости в графене 108
3.1 Многозонные уравнения Элиашберга 108
3.1.1 Введение 108
3.1.2 Уравнения Элиашберга для графена 110
3.1.3 Случай сильного допирования 112
3.1.4 Окрестность квантовой критической точки 116
3.2 Система взаимодействующих электронов и фопопов в графене 119
3.2.1 Электроны 119
3.2.2 Плоские фононы 122
3.2.3 Изгибные фононы 125
3.3 Описание электронного спаривания 129
3.3.1 Уравнения Горькова 129
3.3.2 Структура параметра порядка 132
3.3.3 Спаривание под действием плоских фононов 134
3.3.4 Спаривание под действием изгибных фононов 138
3.3.5 Симметрия параметра порядка с учетом спина электронов 142
3.4 Выводы 144
Заключение 148
Основные результаты 148
Значение полученных результатов 149
Благодарности 150
Литература 151
- Двухчастичная задача о магнитоэкситоне
- Управляющие параметры системы
- Неустойчивость нормального состояния
- Система взаимодействующих электронов и фопопов в графене
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Графен представляет собой двумерную структуру, составленную из атомов углерода, которые расположены в узлах кристаллической решетки типа «пчелиные соты». Наиболее распространенная форма углерода — графит — может рассматриваться как стопка листов графена, относительно слабо связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса. Один из валентных электронов углерода, не участвующий в образовании ковалентных связей с соседними атомами, заселяет орбиталь 2pz и отвечает за низкоэнергетические электронные свойства графена.
В первых теоретических работах, посвященных исследованию электронных свойств графита, было показано, что валентная зона и зона проводимости графена касаются в двух неэквивалентных точках первой зоны Бриллюэна1, причем в окрестности этих точек дисперсия электронов является линейной. Более того, огибающая волновой функции электрона в графене является четырехкомпонентной (компоненты соответствуют бло-ховским волнам, локализованным на двух треугольных подрешетках кристаллической решетки графена и двум долинам — окрестностям точек касания зон) и подчиняется уравнению, имеющему вид двумерного уравнения Дирака для безмассовых частиц2, в котором роль скорости света играет приблизительно в 300 раз меньшая фермиевская скорость.
Слабое сцепление и относительная независимость слоев графена в кристалле графита уже давно наталкивали исследователей на мысль о том, что графен может быть получен как изолированная двумерная мембрана толщиной в один атом. Связанные с этим технические трудности были преодолены группой К.С. Новоселова и А.К. Гейма в 2004 г., когда методом микромеханического расщепления графита были получены первые образцы графена3'4. При помощи затворных электродов оказалось возможным регулировать тип (электроны или дырки) и концентрацию носителей заряда в графене от нуля до значений порядка 1013см~2. Экспериментальные исследования графена, в частности, изучение осцилляции Шубникова-де
XP.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947).
2G.W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 53, 2449 (1984).
3K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov et al., Science 306, 666 (2004).
4K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov et al., Nature 438, 197 (2005).
Гааза и квантового эффекта Холла4, полностью подтвердили теоретические предположения об эффективно безмассовых электронах в графене.
Графен как двумерный материал атомарной толщины представляет интерес с точки зрения разнообразных приложений5, среди которых особо стоит отметить возможность использования его для создания наноэлек-тронных устройств. Эта возможность является особенно привлекательной ввиду того, что подвижность носителей заряда в чистых образцах графе-на достигает рекордных значений6, открывая путь к принципиально новой баллистической электронике.
Интерес к исследованию графена с фундаментальной точки зрения вызван возможностью изучать поведение безмассовых заряженных частиц, и особенно их коллективное поведение, «на лабораторном столе». Эффективно ультрарелятивистская динамика электронов в графене приводит к ряду электронных явлений, не имеющих аналогов в других физических системах7 (например, полуцелый квантовый эффект Холла, абсолютная прозрачность потенциальных барьеров при нормальном падении, слабая антилокализация и т.п.).
Особенности коллективных электронных явлений в графене непосредственно вытекают из особенностей эффективно релятивистской одноча-стичной динамики электронов, таких как: а) линейная дисперсия энергии электронов; б) близкое расположение и взаимное влияние валентной зоны и зоны проводимости; в) спинорная природа эффективной волновой функции; г) заселение электронами двух долин в окрестностях дираков-ских точек. На проявления этих особенностей в коллективных явлениях в диссертационной работе обращается особенное внимание.
Одним из следствий линейной дисперсии электронов является то, что параметр rs, характеризующий отношение характерных величин кулонов-ской и кинетической энергий квантовой системы (и являющийся аналогом постоянной тонкой структуры), в случае графена не зависит от концентрации электронного газа, а определяется только диэлектрической проницаемостью окружающей графен среды. Кроме того, во внешнем магнитном поле отношение характерного энергетического масштаба кулоновского взаимодействия в электронном газе в графене к расстоянию между уровнями
5А.К. Geim, K.S. Novoselov, Nature Materials 6, 183 (2007).
6S.V. Morozov, K.S. Novoselov, M.I. Katsnelson et al., Phys. Rev. Lett. 100, 016602 (2008).
7A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres et al., Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).
Ландау не зависит от напряженности поля, в противоположность металлам и полупроводникам, в которых расстояние между уровнями Ландау всегда доминирует в достаточно сильных полях.
Близкое расположение валентной зоны и зоны проводимости может проявляться в ряде электронных явлений, в которых обе зоны участвуют одновременно, таких как, например, логарифмическая перенормировка фер-миевской скорости8, возможный переход графена в состояние экситонного диэлектрика9, межзонные одночастичные возбуждения10'11 и рассмотренное в диссертационной работе многозонное спаривание.
Спинорная природа эффективной волновой функции неразрывно связана с сосуществованием валентной зоны и зоны проводимости: состояния электрона в этих зонах отличаются друг от друга лишь различными соотношениями амплитуд спинорных компонент. Одним из проявлений спи-норной природы является наличие у электронов фазы Берри 7Г при обходе вокруг дираковской точки в импульсном пространстве4'12.
Заселение электронами двух долин является аналогом киральности безмассовых частиц — состояниям электронов в разных долинах соответствуют противоположные значения киральности. Дополнительная долинная степень свободы электронов может проявляться в ряде эффектов; в контексте данной работы наибольший интерес среди них представляет возможность образования параметров порядка с различными долинными структурами при спаривании в графене13.
Большое внимание в диссертационной работе уделено коллективным явлениям в бислое графена — системе, состоящей из двух параллельных слоев графена, разделенных диэлектриком. Пространственное разделение слоев графена допускает существование долгоживущих пар, состоящих из электронов и дырок, находящихся в разных слоях. В таком электрон-дырочном бислое можно ожидать появления различных сильно коррелированных фаз благодаря кулоновскому притяжению электронов и дырок. Бислой графена может оказаться более подходящей системой для изучения коллективных явлений, чем связанные полупроводниковые квантовые ямы, благода-
8J. Gonzalez, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano, Nucl. Phys. В 424, 595 (1994).
9D.V. Khveshchenko, Phys. Rev. Lett. 87, 246802 (2001). 10B. Wunsch, T. Stauber, F. Sols, F. Guinea, New J. Phys. 8, 318 (2006). nE.H. Hwang, S. Das Sarma, Phys. Rev. В 75, 205418 (2007). 12T. Ando, T. Nakanishi, R. Saito, J. Phys. Soc. Japan 67, 2857 (1998). 13I.L. Aleiner, D.E. Kharzeev, A.M. Tsvelik, Phys. Rev. В 76, 195415 (2007).
ря атомарной толщине слоев графена, позволяющей сблизить электроны и дырки на очень малые расстояния. В образцах бислоя графена, которые были изготовлены и изучены в недавних экспериментах14'15, расстояние между слоями составляет несколько ангстрем.
Итак, изучение коллективных электронных явлений в графене предоставляет уникальную возможность для исследования поведения безмассовых заряженных частиц в двумерной твердотельной системе. Необычные электронные свойства графена позволяют надеяться на возможность достижения новых режимов поведения квантовых систем в наноструктурах на его основе, а привлекательность графена для различных нанотехнологи-ческих приложений делает возможным создание на его базе принципиально новых наноэлектронных, наномеханических и нанохимических устройств. Ряд электронных явлений, возможных в графене, имеет аналоги в релятивистской физике элементарных частиц и кварковой материи. Таким образом, можно сказать, что исследования графена находятся на стыке физики конденсированных сред и физики высоких энергий.
Цель диссертационной работы:
Теоретическое исследование свойств пространственно непрямых маг-нитоэкситонов в бислое графена, помещенном в магнитное поле.
Изучение конденсации пространственно разделенных электрон-дырочных пар в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Оценка величины щели в спектре и температуры перехода в сверхтекучее состояние.
Исследование возможного сверхпроводящего спаривания электронов в графене, индуцированного различными фононными модами, в том числе изгибными модами.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:
вычислены дисперсионные зависимости пространственно непрямых
магнитоэкситонов в графене и энергии испускаемых при их реком
бинации фотонов;
14Н. Schmidt, Т. Liidtke, P. Barthold, et al., Appl. Phys. Lett. 93, 172108 (2008). 15H. Schmidt, T. Liidtke, P. Barthold, R.J. Haug, Phys. Rev. В 81, 121403(R) (2010).
исследовано однозонное электрон-дырочное спаривание в бислое графена в режиме слабой связи;
показано, что при увеличении силы связи в бислое графена отсутствует переход к газу локальных пар, вместо которого происходит переход к многозонному спариванию;
получены оценки величины щели в спектре бислоя графена в режиме сильной связи с учетом динамического экранирования потенциала спаривания;
исследовано сверхпроводящее спаривание электронов в графене, обусловленное плоскими оптическими и изгибными фононами; найден ряд его особенностей, связанных с зависимостью индуцированного фононами эффективного электрон-электронного взаимодействия от долинной структуры параметра порядка и с необычной пространственно-спиновой симметрией параметра порядка;
исследовано квадратичное взаимодействие электронов с акустической и оптической модами изгибных фононов в графене с учетом вкладов деформационного потенциала и растяжения валентных связей в гамильтониан взаимодействия.
Практическая значимость работы. Найденные в работе характеристики магнитоэкситонов в графене, а также энергии фотонов, испускаемых при их рекомбинации, могут быть сопоставлены с экспериментальными данными, полученными спектроскопическими методами. Магнитоэкситон-ная спектроскопия графена может дать ценные сведения о коллективном поведении безмассовых заряженных фермионов в сильных магнитных полях. Также изучение свойств магнитоэкситонов в графене может оказаться полезным для подбора оптимальных условий эксперимента по осуществлению их бозе-эйнштейновской конденсации.
Предсказанное в работе многозонное спаривание в электрон-дырочном бислое графена может быть реализовано экспериментально. На основе двухслойных графеновых структур со сверхтекучим конденсатом электрон-дырочных пар могут быть сконструированы различные наноэлектронные устройства.
Фононное спаривание электронов в графене может быть обнаружено в экспериментах при сильном химическом допировании образцов. Изучение взаимодействия электронов в графене с изгибными фононами позволяет достичь лучшего понимания вопросов, связанных с механической устойчивостью графена, образованием «рипплов» на его поверхности и их влиянием на электронные свойства графена.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
Вычислены дисперсионные зависимости пространственно непрямых магнитоэкситонов и энергии рекомбинационных фотонов. Обоснована применимость теории возмущений для кулоновского взаимодействия в сильном магнитном поле.
Обнаружено, что при спаривании электронов и дырок в бислое графена (равно как и при электрон-электронном спаривании в одном листе графена) отсутствует кроссовер к газу локальных пар по мере увеличения силы связи. Вместо этого происходит переход ОТ 0ДН030НН0Г0 спаривания типа БКШ к многозонному спариванию, охватывающему как зону проводимости, так и валентную зону спаривающихся частиц.
Показано, что величина и знак эффективного электрон-электронного взаимодействия, возникающего в результате обмена фононами в графене, определяются симметрией данной фононной моды и структурой параметра порядка в пространстве долинной степени свободы.
Детально исследовано квадратичное взаимодействие электронов с изгибными фононами в графене, разрешенное по подрешеткам и долинам электронов.
Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории спектроскопии наноструктур Института спектроскопии РАН. Ряд результатов был доложен на научных сессиях, конкурсах научных работ, российских и международных конференциях:
Научная сессия Отделения физических наук Российской Академии наук, Москва, 27 февраля 2007 г.
International Conference on Theoretical Physics «DUBNA-NANO2008», Dubna, 7-11 July 2008.
51-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва-Долгопрудный, 27-30 ноября 2008 г.
Конкурс работ молодых научных работников, аспирантов и инженеров памяти академика А.П. Александрова, Троицк, 24 февраля 2009 г.
52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва-Долгопрудный, 27-30 ноября 2009 г.
Конкурс работ молодых научных работников, аспирантов и инженеров памяти академика А.П. Александрова, Троицк, 1 марта 2010 г.
Вклад автора. Все представленные в диссертации теоретические результаты были получены автором лично, за исключением аналитического решения многозонных уравнений Элиашберга, описывающих спаривание электронов в графене под действием оптических фононов (1-й раздел третьей главы диссертации), которое было получено в сотрудничестве с аспирантом МИФИ С.Л. Огарковым.
Публикации по теме работы. Представленные в диссертационной работе результаты опубликованы в 8 статьях в ведущих российских и зарубежных рецензируемых журналах. Также по теме диссертации опубликованы 3 печатные работы в трудах научных конференций. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Материал диссертации изложен на 168 страницах машинописного текста и содержит 38 рисунков. Библиография включает 212 наименований.
Двухчастичная задача о магнитоэкситоне
Опишем сначала одночастичные состояния электрона и дырки в графене в магнитном поле. Предположим, что лист графена находится в плоскости (х, у), а магнитное поле направлено вдоль оси z, т.е. Н = ezН. Будем игнорировать поначалу вырождение электронов по проекциям спина и по долинам. В базисе подрешеток {А, В} гамильтониан электрона в долине К в отсутствие магнитного поля равен [6,10] где pi — импульс электрона. Введение векторного потенциала в симметричной калибровке А = [Нхг], сопровождающееся «удлинением» импульса р —» р+(е/с)А (заряд электрона полагаем равным —е) приведет гамильтониан (1.1) к виду: Здесь безразмерный оператор аі = ІнІРі- — ггі-/2#) выражен через циклические компоненты координаты r1± = (гіх ± ігіу)/у/2 и импульса рг± = {р\х ± гр1у)/\/2 электрона, и удовлетворяет коммутационному соотношению [ai,ai ] = 1. Путь к построению системы собственных векторов гамильтониана (1.2) может быть подсказан рассмотрением оператора J\ = Liz + crlz, являющегося проекцией на ось z суммы оператора углового момента электрона Li = [гі х рг] и оператора «квазиспина» \ Ti, действующего в пространстве подрешеток. Для более наглядного представления Ji Глава 1. Магнитоэкситоны в графене 22 заметим, что, наряду с введенным выше оператором аь можно ввести коммутирующий с ним оператор Ъ\ = Іц{рі+ — ІГ\+/21 ), удовлетворяющий соотношению [6i,bf] = 1. Легко показать, что J\ = (afai — b±bi + \ JZ) и [J\,H\\ = О, в результате чего собственные векторы гамильтониана (1.2) молено искать как собственные векторы оператора J\, образующиеся при помощи последовательного действия повышающих операторов а+ и б . Будем задавать состояние электрона двумя квантовыми числами: индексом уровня Ландау п = 0, ±1, ±2,... и индексом ведущего центра k = 0,1, 2,... Волновая функция электрона в этом состоянии будет двухкомпонентной, что может быть представлено как зависимость ее от дискретной координаты — подрешетки w = А, В: Здесь 0nfc(r) — волновая функция нерелятивистского электрона в магнитном поле, которая может быть представлена как (для краткости будем считать, что ф-\к = 0). В явном виде [68,90, стр. 534] где L(x) — обобщенные полиномы Лагерра.
В дальнейшем нам неоднократно понадобится полезная формула [101] — безразмерная собственная функция гармонического осциллятора, Нп{х) — полиномы Эрмита. Энергия электрона в состоянии (1.3) определяется действием гамильтониана (1.2) на это состояние и равнаа значение оператора «Д в этом состоянии равно \п\ — к — 1/2. Таким образом, каждый уровень Ландау п может быть заселен множеством электронов с различными индексами ведущего центра к. Однако, при рассмотрении степени вырождения уровня Ландау, равной Ыф = S/2TTIH (для одной проекции спина и одной долины) удобно считать, что к пробегает значения от 0 до со, однако интегрирование по г производится только по площади системы S. Используя представление (1-5), можно показать, что при таких допущениях число электронных состояний на одном уровне Ландау есть Рассмотрим теперь состояния дырки. Полагая, как обычно принято [106], что операторы уничтожения электрона и дырки связаны между собой эрмитовым сопряжением, получим, что волновая функция дырки на п-м уровне Ландау с ведущим центром к есть ф к(г).
Для дырки с координатой г 2 и импульсом р2 можно ввести аналоги операторов а і и &i, введенных для электронов, а именно, а2 = 1н(р2+ — гг2+/21 ), b2 — 1н{р2-— 2-/21%), которые коммутируют с а\ и Ь\ и подчиняются коммутационным соотношениям [е а ] = 1, [&2 &2І = " Чтобы восстановить первично-квантованный гамильтониан для дырки Н2, аналогичный (1.1), заметим, что должно выполняться соотношение Н2ф„к ф пк (т-е-энергия дырки в каком-либо состоянии равна энергии электрона в этом состоянии, взятой со знаком «минус»). Производя комплексное сопряжение соответствующего выражения для электрона Н\фп = Е фпк, можно показать, что Н2 должен иметь вид Итак, гамильтонианы невзаимодействующих электрона и дырки в графене в магнитном поле равны (1.2) и (1.8), волновые функции электрона и дырки на уровне Ландау п с ведущим центром к равны фпк{т) (1.3) и Фпк(т) соответственно, а их энергии равны Е„ (1.6) и -Е Рассмотрим теперь гамильтониан пары электрона и дырки, представляющий собой сумму их кинетических энергий (1.2), (1.8) и кулоновского взаимодействия между ними V(ri—гг). Без учета взаимодействия гамильтониан в совместном базисе подрешеток электрона и
Управляющие параметры системы
В уравнении (2.5) главный вклад в интеграл дает область вблизи энергии Ферми, в которой динамически экранированное межслойное электрон-дырочное взаимодействие — V(q, и) является притягивающим. В приближении хаотических фаз [115,116] где vq = 27ге2/eg — фурье-образ неэкранированного взаимодействия, Щ = 2(5, to) — поляризационные операторы верхнего и нижнего слоев графена. В случае равных концентраций электронов и дырок, благодаря электрон-дырочной симметрии графена, поляризуемость обоих слоев одинакова: Пі = Щ = П. Условие равенства нулю знаменателя (2.6) описывает две ветви и±(д) плазмонной дисперсии в бислое, соответствующие синфазным (верхняя ветвь и +) и противофазным (нижняя ветвь Ш-) плазменным колебаниям [45, 115,116]. Таким образом, при каждом заданном q взаимодействие —V(q,uj) (2.6) является притягивающим в области 0 ш ы (д), отталкивающим при Ш-(д) ш ш+(д) и снова притягивающим при ш и +{д) Режим слабой связи (или режим БКШ) имеет место, если ширина области спаривания вблизи энергии Ферми является малой по сравнению с размером самой сферы Ферми. В таком случае можно приближенно разделить радиальное интегрирование по переменной = p+q в уравнении для щели (2.5) и интегрирование по углу ip. Интегрирование по мы будем проводить в пределах области, ограниченной энергией обрезания w, в которой динамически экранированное электрон-дырочное взаимодействие является притягивающим. На поверхности Ферми последнее превращается в статически экранированный потенциал V(q) — V(q, и) = 0), который мы и будем использовать при интегрировании по ср.
Предположим, что главный вклад в интеграл в (2.5) дают малые q, не превышающие по порядку величины некоторое характерное значение q. Определим q, например, как величину импульса, на которой статически экранированное взаимодействие спадает в два раза: V(q) = V(0)/2. Явный вид V(q) определяется статической поляризуемостью в длинноволновом пределе [40,44,45] где N — плотность состояний на поверхности Ферми в расчете на одну проекцию спина и одну долину электрона. Введем импульс Ферми рр = ц/v-p и безразмерный параметр определяющий отношение характерной величины кулоновской энергии квантовой системы к ее характерной кинетический энергии [38, стр. 380] [45]. В двумерной полупроводниковой системе величина rs увеличивается с ростом концентрации носителей заряда, но в графене она определяется только диэлектрической проницаемостью є окружающей среды. В рассматриваемой системе имеются три характерные длины: радиус томас-фермиев-ского экранирования l/2pFrs, межслойное расстояние D и среднее расстояние между носителями заряда / 1/PF В каждом из слоев графена. Поведение системы зависит от соотношений между этими тремя длинами, которые определяются двумя безразмерными параметрами rs и pFD (отметим, что при спаривании пространственно разделенных электронов и дырок в СКЯ поведение системы также определяется двумя параметрами rs и pFD, НО с другим выражением для rs [140,141]). Поставляя (2.8) в (2.6) с учетом (2.9), получим длинноволновое выражение для статически экранированного взаимодействия: Характерный импульс q легко может быть найден из (2.10) в двух предельных случаях: rsppD S 1 и rspFD -С 1.
В первом случае эффективное обрезание по импульсу происходит из-за множителя e qD в числителе (2.10), и мы получаем q 2/D. Во втором случае обрезание определяется томас-фермиевским экранированием в знаменателе, и мы получаем q 8rspF- Оба результата могут быть записаны в виде Энергия обрезания w определяется характерной частотой нижней ветви плазменных колебаний, при которой взаимодействие меняет знак, и может быть оценена как w cj-(q)-В приближении хаотических фаз поляризационный оператор в пределе q — 0, ш v-pq равен [44,45] В случае, когда rsppD 1, из (2.7) и (2.12) находим w_(g) = vpqyJ2rsppD и u+(q) = 2vFy/rsppq. Следовательно, энергия обрезания, с учетом (2.11), равна w 2pJ2rs/ppD. В том же случае, когда rsppD С 1, приближенное выражение (2.12) неприменимо, так как формально найденная из него нижняя ветвь плазменных колебаний попадает в область одночастичных возбуждений u) Vpq. На самом деле, в этом случае uJ-(q) v?q и uj+(q) = 2vpy/rsppq, и энергия обрезания равна w 8//rs. Электрон-дырочные куперовские пары имеют размер порядка І/q в направлении, параллельном слоям графена. Режим слабой связи требует малости среднего расстояния между соседними парами по сравнению с размером одной пары, т.е. ql С 1. Используя (2.11), можно сделать вывод, что режим слабой связи имеет место в том случае, если rs 1 или ppD 3 1. В этом случае, как следует из вышеизложенного, энергетическая полуширина слоя спаривания мала по сравнению с химическим потенциалом, w С ц, что и предполагалось изначально (см. Рис. 2.2). Спаривание в бислое графена не обязательно должно быть s-волновым, как в традиционных сверхпроводниках. Из-за пространственного разделения электронов и дырок принцип Паули не накладывает никаких ограничений на относительный угловой момент, проекции спинов и долины спаривающихся электронов и дырок. Однако, поскольку экранированный потенциал (2.10) монотонно убывает с ростом q, то константа связи, возникающая после интегрирования в уравнении для щели (2.5), будет максимальной при s-волновом спаривании, которое и будет рассматриваться в дальнейшем. Для оценки величины щели при слабой связи положим, в духе теории БКШ [73], что щель отлична от нуля и постоянна в слое спаривания энергетической полушириной w: Др = AQ(w — р). При этом интегральное уравнение для щели (2.5) превращается в следующее алгебраическое уравнение относительно Л: Вычисляя асимптотики интеграла по ір в (2.13), мы можем найти оценочные выражения для Д при различных соотношениях между rs, ppD и единицей [56]. В частности, при больших межслойных расстояниях, когда rspFD 1, получим Это выражение применимо при значениях rs, как больших, так и малых по сравнению с единицей. При rHpFD С 1 будем различать случаи малых и промежуточных межслойных расстояний. В первом случае, когда rs l, pFD С 1, щель равна
Рассмотрим более внимательно условия слабой связи при rs 1. Такие значения rs могут быть достигнуты, например, с традиционно используемой подложкой из SiC"2 (є 4). В этом случае сила связи определяется только значением pFD 0.15 х д[эВ] х D [А]. Импульс Ферми pF пропорционален химическому потенциалу ц, который можно изменять в электрически допированном графене от нуля до максимального значения г» 0.3 эВ [18,20]. При разумных концентрациях носителей заряда режим слабой связи (pFD 1) может быть достигнут при межслойных расстояниях D 100 А. С другой стороны, устремляя fj, к нулю, всегда можно достигнуть режима сильной связи. Таким образом, в эксперименте при помощи изменения затворного напряжения может быть прослежен весь переход от слабой к сильной связи. Случай rs 1 имеет место при больших значениях диэлектрической проницаемости є окружающей среды, что может быть осуществлено, например, с использованием НГОг (є 25). В этом случае режим слабой связи сохраняется даже при ц — 0, т.е. при сколь
Неустойчивость нормального состояния
Исследование неустойчивости нормального состояния позволяет определить критическую температуру перехода в сверхтекучее состояние в приближении среднего поля Тс, которая может служить верхней оценкой для температуры перехода Костерлица-Таулеса двумерной системы в сверхтекучее состояние [15,16]. Для этого будем рассматривать вершинную часть в лестничном приближении, задаваемую уравнением Бете-Солпитера. При понижении температуры до критического значения Тс в вершинной части как функции суммарной энергии сталкивающихся частиц появляется полюс, когда обе частицы лежат на поверхности Ферми [110, стр. 429]. Уравнение Бете-Солпитера для вершинной части, отвечающей покоящейся паре, имеет диаграммный вид, приведенный на Рис. 2.11, а соответствующее аналитическое выражение есть: Єп на из верхнего слоя, находящегося в зоне 7і в начальном состоянии и в зоне ті в конечном состоянии, и электрона из нижнего слоя, находящегося в зоне —Тг в начальном состоянии и в зоне —7г в конечном состоянии; р и р — относительные импульсы двух электронов до и после рассеяния, Е — суммарная энергия электронов. При возникновении неустойчивости полюс в вершинной части впервые появляется при Е = 0 [110, стр. 433]. Сумма по частотам в (2.58) при Е = 0 равна где n-p(E) = [exp(E/T) + 1]_1 — распределение Ферми. Для различных индексов зон получим
Будем искать нестабильность в s-волновом канале, когда относительный орбитальный момент сталкивающихся частиц равен нулю. Тогда Г71727 72 (р, р ) не зависит от направлений векторов р и р , а уравнение (2.58) принимает вид: Отсюда можно сразу заметить, что 8 компонент Г71727у, у которых три из четырех зонных индексов одного знака, а четвертый — противоположного знака, равны нулю. Уравнения (2.61) для остальных 8 компонент разделяются попарно на 4 системы. Решим их в приближении постоянной в слое спаривания вершины: Г+727 (р,р ) = r+727j72G(w + р — vpp), Г_727 72(р,р ) = Г_72у7/0(ги — р — гірр), а потенциалы спаривания, как и в уравнениях для щели, заменим их значениями на поверхности Ферми. (Строго говоря, использование для потенциала спаривания нуль-температурных выражений из подраздела 2.4.3 справедливо, если влияние температуры на поляризационный оператор мало на характерных масштабах импульсов PFA S, т-е., если Тс С м/г3.) Тогда уравнения (2.61) для ненулевых компонент вершины примут вид: Положим для качественного анализа Ла = \ = Л, тогда уравнение (2.66) переходит в /++ + /__ = 2/Л, а уравнение (2.67) — в /+_ + /_+ = 2/Л. Как видно из (2.64) и (2.65), интеграл 1++ логарифмически устремляется к бесконечности при Т — 0, а остальные ин тегралы /+_, /_+ и / при Т —» 0 стремятся к конечным пределам. Это означает, что неустойчивость по отношению к диагональному по зонам спариванию будет существовать при сколь угодно малых Л, в то время как неустойчивость по отношению к антидиагональному по зонам спариванию будет иметь место, только если константа связи превышает некоторое пороговое значение, зависящее от w. На Рис. 2.12 изображена фазовая диаграмма системы относительно антидиагонального по зонам спаривания в переменных полуширины слоя спаривания w, отнесенной к химическому потенциалу /л, и константы связи Л.
При фиксированном w и увеличении Л устойчивое нормальное состояние системы сменяется неустойчивым состоянием. Эта неустойчивость существует, только если температура системы Т заключена в некотором интервале от минимального ненулевого значения до максимального, вследствие чего при изменении температуры будет происходить возвратный фазовый переход системы в сверхтекучее состояние. При дальнейшем увеличении Л минимальное значение температуры, ограничивающей область неустойчивости, обращается в нуль, и поведение системы характеризуется обычным однократным переходом, возникающим при уменьшении температуры ниже некоторого критического значения. Такое поведение системы связано с необычным видом двухчастичной функции Грина на поверхности Ферми (2.60) в антидиагональном по зоне канале. В диагональном лее канале двухчастичная функция Грина (2.59) имеет обычный для теории БКШ вид. Для иллюстрации этих выводов на Рис. 2.13 изображены фазовые диаграммы системы в переменных Т и Л при различных значениях w в единицах fi.
Состояние системы устойчиво, если значение Л находится ниже соответствующей кривой, и неустойчиво, если Л лежит выше кривой. Немонотонное поведение кривых говорит о том, что в некоторых диапазонах Л состояние системы неустойчиво в интервале температур от ненулевого минимального значения до некоторого максимального значения. При достаточно больших Л состояние системы неустойчиво в области от Т = 0 до температуры перехода, как и происходит при обычных однократных переходах в спаренное состояние. При w = 2\i на Рис. 2.13 видны колебания границы фаз вблизи Т — 0, казалось бы, указывающие на трехкратный переход. Однако, можно показать, что такие колебания, возникающие и при других значениях w, близких к 2/х, являются артефактом резкого обрезания области спаривания и исчезают при небольшом размазывании этой области в интегралах (2.65). В подразделе 2.4.3 было показано, что максимальное значение констант внутризонного и межзонного спаривания Хаь составляет 1/16. С другой стороны, ширина слоя спарива ния не превосходит по порядку величины значения 8/г х 2.19 17.5/х. Точка w/fu, = 17.5, Л = 1/16 лежит далеко в области устойчивости нормального состояния системы, следовательно, электрон-дырочное кулоновское взаимодействие в бислое графена не может вызвать антидиагонального спаривания. Поскольку диагональный и антидиагональный по зонам способы спаривания являются взаимно конкурирующими (Рис. 2.3), то при при достаточно низких температурах в системе, скорее всего, будет реализовываться диагональное по зонам спаривание, рассмотренное в подразделе 2.4.3. Решая численно уравнение (2.66), можно определить критическую температуру Тс перехода системы в состояние с диагональным по зонам спариванием, а при Тс С /І, Тс С w можно получить асимптотическую формулу для Тс. Интегралы (2.64) в этом случае приближенно равны где С s« 1.78 — постоянная Эйлера. Подстановка таких асимптотик в уравнение (2.67) дает результат совпадающий с обычным соотношением БКШ между щелью при нулевой температуре и критической температурой, где Д+ дается выражением (2.46). Уравнение (2.66) было также решено численно при различных rs и w, и было получено, что отношение между Д+ и Тс весьма близко к (2.68) и при достаточно больших Тс.
Система взаимодействующих электронов и фопопов в графене
В данном разделе мы представим микроскопическое описание системы взаимодействующих электронов и фононов в графене, позволяющее рассматривать электронное спаривание. При этом динамика электронов будет разрешена по подреіпеткам кристаллической решетки графена и по долинам, которые электроны заселяют. Движение атомов углерода, соответствующее различным модам фононов, также должно быть разрешено по подреіпеткам. Представленные здесь результаты опубликованы в работах [62,63]. Кристаллическая решетка графена, изображенная на Рис. 3.1, состоит из двух взаимопроникающих треугольных подрешеток А и В, каждая из которых является двумерной решеткой Браве с периодом a = 2.46 А [3]. Гамильтониан невзаимодействующих электронов в графене в приближении линейной комбинации атомных орбиталей имеет вид [6] где а и bj — операторы уничтожения электрона на г-м атоме подрешетки А и j-м атоме подрешетки В соответственно. Символ (ij) обозначает суммирование по всем парам Рис. 3.1. Кристаллическая решетка графена как совокупность двух треугольных подреше-ток А и В с периодом a = 2.46 А. Векторы dk (к — 1, 2, 3) и t (J = 1,..., 6) соединяют атом подрешетки А с его ближайшими соседями и соседями второго порядка соответственно. атомов, которые являются ближайшими соседями и принадлежат разным подрешеткам. Перейдем в импульсное представление при помощи преобразования Фурье: где N — S/SQ — количество элементарных ячеек в кристалле, 5 — площадь системы, SQ = а2л/3/2 — площадь одной ячейки, R — положение равновесия атома подрешетки w в п-й элементарной ячейке. Нормировочный множитель iV выбран здесь таким образом, чтобы операторы уничтожения в импульсном пространстве подчинялись антикоммутационным соотношениям {ap,ai} = Spp , {bp,bp} = 5РР .
Подставляя (3.32) в (3.31), получим где введены функции а векторы di = (a/2)(ex — еу/\/Ъ), d2 = aey/\/3, d3 = (а/2)(—ех — еу/у/3) показаны на Рис. 3.1. Обратная решетка графена является треугольной и изображена на Рис. 3.2. Неэквивалентные значения импульса электрона, по которым производится суммирование в (3.33), Рис. 3.2. Обратная решетка графена в импульсном пространстве. Первая и вторая зоны Бриллюэна ограничены толстой сплошной и пунктирной линиями соответственно. Массивы эквивалентных точек Г, К и К изображены кругами различных цветов. заключены в пределах первой зоны Бриллюэна (ячейки Вигнера-Зейтца обратной решетки). Валентная зона и зона проводимости графена касаются в дираковских точках К и К — —К, поэтому для описания низкоэнергетической динамики электронов достаточно учесть импульсы электрона, лежащие в окрестности этих точек. Раскладывая сумму в (3.33) в окрестностях К и К и учитывая, что дк+Р = —(а\/3/2)р(ех — iey) + 0(р2), 9к +Р = (ал/3/2)р(ех + iey) + 0(р2), получим где vF = aty/3/2 — фермиевская скорость, а сумма по берется уже по значениям р, малым по сравнению с векторами обратной решетки. Введем, по аналогии с [199,200], четырехкомпонентный спинор операторов уничтожения электрона: тогда гамильтониан свободных электронов в графене (3.34) можно переписать в компакт Глава 3.
Фононный механизм сверхпроводимости в графене 122 ном виде и дираковское сопряжение спинора: Фр = Фр7- С гамильтонианом (3.36), операторный спинор Фр в гейзенберговском представлении подчиняется уравнению, аналогичному двумерному уравнению Дирака для частиц нулевой массы: Рассмотрим взаимодействие с электронами плоских фононов, соответствующих колебаниям атомов в плоскости листа графена. Вектор, задающий положение атома, находящегося в тг-й элементарной ячейке и принадлежащего подрешетке w = А, В, может быть представлен в виде (см., напр., [38, стр. 12]): где qa — вектор поляризации, соответствующий фононной моде и = 1,..., 4 с импульсом q, находящимся в первой зоне Бриллюэна, шЧсг — частота этой моды, cq T и с+а — операторы уничтожения и рождения фонона этой моды, М — масса атома. Нормировка в (3.39) выбрана таким образом, чтобы из антикоммутационных соотношений для операторов фононов {cq(T, Cq/ /} = S4q 5aa следовали канонические коммутационные соотношения для координат и импульсов атомов: [(RnW)k, (AfRnv)}] = i5kj5nni5wwi. Перейдем в представление Гейзенберга для операторов фононов при помощи замены счае гШчаі — cqCT(i), с+аегШчь —» Cqa(t) и введем для удобства вспомогательные операторы Р = (cqCT -f clqa)/ J2NМи ча. Тогда (3.39) молено переписать в виде Глава 3. Фононпый механизм сверхпроводимости в графене 123 Рассмотрим вклад в электрон-фононное взаимодействие, происходящий из-за того, что сближение или удаление соседних атомов изменяет интеграл перескока t электрона между ними, входящий в оператор кинетической энергии на решетке (3.31). Изменение интеграла перескока t%J между г -м атомом из подрешетки А и соседним j-м атомом из подрешетки В может быть разложено в первом порядке по смещению атомов: ttJ = t — AttJ [201], где, с учетом (3.40),
