Содержание к диссертации
Введение
1 Атомно-молекулярная конверсия в бозе-конденсате 8
1.1 Введение 8
1.2 Постановка задачи. Основные уравнения 12
1.3 Предварительные качественные выводы 17
1.4 Приближение заданной плотности фотонов падающих импульсов 20
1.5 Приближение заданной плотности фотонов второго импульса 27
1.6 Приближение заданной плотности фотонов первого импульса 30
1.7 Приближение заданной плотности атомов 32
1.8 Приближение заданной плотности молекул 38
1.9 Приближение заданной плотности атомов и молекул 39
1.10 Роль расстройки резонанса в атомно-молекулярной конверсии 42
1.11 Теорема "площадей" 42
1.12 Оценки характерных величин 46
1.13 Заключительные замечания 47
1.14 Основные выводы 49
2 Роль упругих межчастичных взаимодействий и затухания в атомно-молекулярной конверсии 50
2.1 Введение 50
2.2 Роль межчастичных взаимодействий в атомно-молекулярной конверсии. 51
2.2.1 Обсуждение результатов 54
2.3 Роль затухания в атомно-молекулярной конверсии 66
2.3.1 Обсуждение результатов 67
3 Метод pump-probe для экситонной области спектра при учете упругого экситон-экситонного взаимодействия 71
3.1 Введение 71
3.2 Метод pump-probe для экситонной области спектра при учете упругого экситон-экситонного взаимодействия 75
3.2.1 Постановка задачи. Восприимчивость полупроводника 75
3.2.2 Обсуждение результатов 79
3.3 Метод pump-probe для экситонной области спектра при учете упругого экситон-экситонного взаимодействия и эффекта насыщения дипольного экситонного момента перехода 93
3.3.1 Постановка задачи. Восприимчивость полупроводника 93
3.3.2 Обсуждение результатов 97
Заключение 114
- Постановка задачи. Основные уравнения
- Приближение заданной плотности атомов
- Роль межчастичных взаимодействий в атомно-молекулярной конверсии.
- Метод pump-probe для экситонной области спектра при учете упругого экситон-экситонного взаимодействия
Введение к работе
В 1995 году группами В.Кеттерле [1] и Э.А.Корнелла и К.Э.Вимана [2] было впервые достигнуто бозе-конденсированное состояние разреженных атомарных газов щелочных элементов. С этого события началась эпоха интенсивных экспериментальных и теоретических исследований сверхохлажденных метастабильных систем. Пристальное внимание, уделяемое исследователями этому разделу физики, связано прежде всего с тем, что такие бозе-конденсированные системы являются чисто квантовыми, а потому в них возможно, и имеет место, непосредственное проявление квантовых феноменов, например, таких как дифракция и интерференция материальных волн. Хорошо известно, что существует не так много физических эффектов, в которых квантовые свойства материи и излучения проявляются в чистом виде. Зачастую эти эффекты камуфлируются и подавляются множеством других, не имеющих квантовой природы, что в конечном итоге приводит лишь к косвенной демонстрации квантовых свойств вещества и поля. Среда в бозе-конденсированном состоянии как раз и есть одно из немногих исключений из правил, когда квантовые свойства и эффекты макроскопически наблюдаемы. Другими словами, бозе-конденсаты являются примерами физических систем, на которых можно знакомиться с такими фундаментальными понятиями, принципами и эффектами квантовой механики, как квантовая когерентность, нелокальность, принцип неопределенности и дополнительности, туннельный эффект и.т.п. К сказанному можно добавить, что бозе-конденсаты являются не только демонстрационными объектами, но и объектами, изучая которые можно достичь еще более глубокого понимания квантовомеханических свойств материи. Существует и другая причина повышенного интереса исследователей к явлению бозе-эйнштейновской конденсации - это практическое использование свойств этих объектов в человеческой деятельности. На базе бозе-конденсатов уже создан "атомный лазер", предложено их использование в качестве кубитов квантового компьютера, разрабатывается новое направление когерентной химии сверхнизких температур, так
называемая суперхшшя [3], а также новое прикладное направление - атомтроника [4]. Во множестве экспериментальных и теоретических работ продемонстрирована возможность осуществления управляемых когерентных химических превращений на основе Фешбаж-резонанса или Римановской нелинейности. Заметим, что результаты этих исследований полностью отличаются от классических представлений о динамике и кинетике химических реакций, основанных на законе Аррениуса.
С другой стороны, в последние годы наблюдается всплеск интереса к исследованиям по бозе-конденсации экситонов в полупроводниках. Это связано с недавним наблюдением экситонного конденсата в некоторых кристаллах [5, б]. При интенсивной лазерной накачке в экситонной области спектра в полупроводниках генерируется высокая плотность когерентных экситонов, создающая макроскопическую когерентную поляризацию среды. При определенных условиях (низких температурах, высокой чистоте кристалла и.т.п.) в полупроводнике может иметь место фазовый переход в бозе-конденсированное состояние. В таких условиях в оптической (экситонной) области спектра среды проявляется многообразие различных когерентных нелинейных, в том числе и гистерезисных, эффектов. Природа этих эффектов, также как и в бозе-конденсатах атомных газов, в первую очередь предопределяется квантовой когерентностью ква-зи(частиц) и поля, что собственно и объединяет такие разные системы. Одним из самых точных и популярных оптических методов исследования таких систем (квазичастиц) является метод pump-probe. Он заключается в воздействии на среду двух пучков лазерного излучения: мощного пучка накачки - pump и слабого пучка - probe. Мощный пучок, резонасный конкретному переходу между двумя квантовыми состояниями, приводит к смешиванию этих состояний и, в частности, к генерации плотных систем квазичастиц в кристалле, тем самым существенно изменяя оптические свойства среды в этой области спектра за счет наведенной поляризации. Слабый луч выполняет роль пучка, зондирующего эти изменения.
Актуальность предлагаемой работы основана на том, что одной из важных теоретических задач физики бозе-конденсированного состояния вещества является построение удовлетворительной теории, описывающей процесс стимулированной рамановской атомно-молекулярной конверсии в бозе-конденсате с учетом наиболее существенных факторов, определяющих динамику химических превращений, а именно, с учетом эффектов упругого межчастичного взаимодействия и затухания. С другой стороны, при
исследовании когерентных процессов в физике полупроводников важным и актуальным является построение теории, описывающей экситонные спектры зондирующего излучения при высоких уровнях накачки в стационарных условиях.
Целью представленной диссертационной работы является теоретическое исследование когерентных нелинейных процессов, управляющих рамановской атомно-молекулярной конверсией в бозе-конденсированных разреженных газах, а также построение теории ритр-ргоЬе-спектров полупроводников в экситонной области с учетом упругого зкситон-экситонного взаимодействия и эффекта насыщения дипольного момента экситонпого перехода.
Первая глава диссертационной работы посвящена построению теории стимулированной рамановской атомно-молекулярной конверсии. На основе представленного обзора работ по данной тематике предложен гамильтониан взаимодействия, описывающий процесс конверсии атомов в молекулы, и наоборот, как единый. Этот процесс состоит в следующем. Два атома, находящиеся в основном состоянии, поглощая квант лазерного излучения одной частоты, связываются в молекулу и при этом сразу излучают квант света на другой частоте, совершая переход в основное состояние. На базе предложенного гамильтониана решается задача об эволюции бозе-конденсата. Указаны все возможные приближения, в рамках которых решение задачи можно представить в неформальном аналитическом виде. Во всех приближениях представлен подробный анализ процессов эволюции в конденсате. Отмечается важная роль начальной разности фаз материальных и электромагнитных воли, а также роль расстройки резонанса. В приближении заданных полей внешних рамановских импульсов получен аналог теоремы площадей для процесса оптической атомно-молекулярной конверсии. Показано, что при конечной площади импульсов невозможна полная конверсия атомов в молекулы.
Во второй главе диссертационной работы исследуется влияние наиболее существенных факторов, определяющих эволюционные процессы в бозе-конденсате. А именно, учтена роль упругих межчастичных столкновений и эффекта затухания. Показано, что учет упругих межатомных, межмолекулярных и атомно-молекулярных столкновений приводит к появлению большого разнообразия различных эволюционных режимов конверсии. Продемонстрировано наличие эффектов усиления и подавления колебаний в системе, указаны критерии проявления этих эффектов в конденсате. Показано, что учет затухания приводит не только собственно к уменьшению амплитуд молекулярной
и атомной мод со временем, но и к апериодичности колебательных режимов конверсии атомно-молекулярного конденсата. Это объясняется возникающей нелинейной зависимостью фазы колебаний от времени. В конечном счете учет затухания приводит к тому, что в колебательных режимах эволюции всегда имеет место конечное количество осцилляции плотности молекул и атомов.
Третья глава представленной работы посвящена исследованию когерентных оптических процессов, имеющих место в полупроводниках в условиях сильного лазерного возбуждения в области экситонной полосы поглощения при зондировании слабым лазерным излучением в стационарных условиях. Предсказаны эффекты усиления пробного излучения, штарковские фиолетовые и красные сдвиги полос поглощения и усиления. Показано, что при определенных условиях они носят скачкообразный характер, обусловленный гистерезисной зависимостью плотности экситонов от величины и частоты поля накачки. Исследована роль эффекта насыщения. Предсказано, что гистерезис-ная зависимость плотности экситонов всегда имеет место в ограниченном спектральном интервале и интервале амплитуд поля накачки. Соответственно, скачкообразные штарковские сдвиги полос поглощения при учете насыщения должны проявляться в более ограниченных условиях. Продемонстрировано, что при определенных условиях существуют две полосы усиления.
Научная новизна работы заключается в исследовании когерентных нелинейных процессов в бозе-конденсированных атомных газах и полупроводниках и выражается в построении:
последовательной теории стимулированной рамановской атомно-.молекулярной конверсии, рассматриваемой как одноступенчатый (не двухступенчатый) процесс, учитывающей эффекты упругого межчастичного взаимодействия и затухания в бозе-эйнштейновских конденсатах;
последовательной теории pump-probe спектров полупроводников в экситонной области спектра при стационарных условиях возбуждения среды лазерным излучением и при учете эффектов упругого экситон-экситонного взаимодействия и насыщения дипольного момента экситонного перехода.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения результатов исследования для
построения оптимальных схем управления и контроля когерентными химическими реакциями в бозе-конденсатах;
создания новых интегрально-оптических устройств, базирующихся на использовании нелинейных оптических гистерезисных эффектов, обусловленных экситонной нелинейностью.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7-20] и докладывались на конференциях: International Symposium on Non-Linear Electromagnetic Systems (ISEM'97)(12-14 May 1997, Braunschweig, Germany), Fifth Conference on Optics (ROMOPTO'97)(9-12 September 1997, Bucharest, Romania), International Conference «Optics of Excitons in Condensed Matter» (14-18 September 1997, St.Petersburg, Russia), VIII Международная конференция «Onmo-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы» (2006, Ульяновск, Россия), XIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2006» (2006, Москва, Россия), Third International Conference on Materials Science and Condensed Matter Physics (3-6 October 2006, Chishinau, Moldova), III Украинская научная конференция no физике полупроводников (17-22 нюня 2007, Одесса, Украина), научно-практических конференциях «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2001, 2003, 2005, 2007), а также на научных семинарах отдела теории полупроводников и квантовой электроники Института прикладной физики АН РМ (Кишинев), научных семинарах физико-математического факультета Приднестровского государственного университета им.Т.Г.Шевченко и научно-исследовательских конференциях профессорско-преподавательского состава ПГУ им.Т.Г.Шевченко (Тирасполь, 1998-2008 г.г.).
Постановка задачи. Основные уравнения
Интерес представляет рассмотрение динамики атомно-молекулярных бозе конденсатов, считая рамановский процесс связывания двух атомов в молекулу единым процессом. Ниже представлены результаты исследования этого процесса. Показано, что плотности исходных атомов, молекул ті фотонов существенно влияют на скорость протекания процесса и указано, что реакции могут быть как периодическими, так и апериодическими во времени. Кроме того, отмечена существенная роль разности фаз исходных компонентов реакции и предсказывается возможность фазового контроля химической реакции. Макроскопическая когерентность бозе-конденсата атомов, молекул и фотонов обоих импульсов предопределяет квантовую интерференцию всех компонентов реакции и, соответственно, значимость фазовых соотношений. В принципе, исследуемый процесс можно было бы назвать также оптической ра-мановской нутацией в условиях атомно-молекулярной конверсии, состоящей в периодическом изменении населенностей атомного и молекулярного состояний под действием двух когерентных рамановских импульсов лазерного излучения и в периодическом усилении одного из импульсов и ослаблении другого. Предположим, что два одинаковых свободных бозе конденсированных атома с нулевой кинетической энергией (нулевая температура) и полной энергией 2 = 2bwo переходят в молекулярное состояние с энергией Ет = TtO0 через возбужденное молекулярное состояние Еи, поглощая и излучая кванты света с энергиями to і и со2 соответственно (рис.1). При этом используются два фазово когерентных импульса с частотами и ! и ios и определенными значениями амплитуд полей и фаз. Каждая пара атомов, связываясь в молекулу, приводит к переносу одного фотона от первого импульса ко второму. Поэтому усиление одного из импульсов и ослабление другого в процессе атомно-молекулярной конверсии могло бы быть указанием на существование когерентности процесса. Что касается промежуточного, возбужденного уровня с энергией Еи, то его можно исключить из рассмотрения, используя принцип адиабатического следования [75]. В [80] изучался индуцированный рамановский перенос атомного бозе-конденсата из одной ловушки в другую через возбужденный общий уровень системы.
Процесс переноса атомов рассматривался как двухступенчатый. Численное решение системы уравнений для населенностей двух нижних уровней и верхнего, возбужденного показало, что его населенность исчезающе мала по сравнению с населенностями нижних уровней. В [66-69] показано, Рис. 1.1: Схема процесса индуцированной рамановской атомно-молекулярной конверсии. Уровень аа соответствует энергии двух свободных атомов, уровень Ь - энергии свободной молекулы. что максимально возможная населенность верхнего уровня составляет величину порядка Ю-3 — 10 6 от населешюстей нижних уровней. Мы предлагаем модельный гамильтониан взаимодействия #j„t, который описывает процесс индуцированной рамановской атомно-молекулярной конверсии как единый (не двухступенчатый) процесс под действием коротких импульсов резонансного лазерного излучения: где a, b - бозонные операторы уничтожения атомного и молекулярного состояний соответственно, с\ и С2 - операторы уничтожения фотонов с частотами и; і и иі2, а д -константа взаимодействия. В сущности, предлагается общий тип нелинейности, которая может приводить к образованию молекулярного бозе-конденсата через стимулированную двумя рамановскими импульсами эмиссию молекулярных бозонов из атомного бозе-конденсата. Подобный гамильтониан, описывающий процесс однофотонной атомно-молекулярной фотоассоциации, обсуждался в [75]. Информация об амплитуде и других параметрах падающего импульса содержалась в коэффициенте фотоассоциации. Как и в [3, 70-72, 75-79], используем приближение среднего поля (mean field approximation). Условия применимости приближения среднего поля детально обсуждаются в обзоре [26]. Атомно-молекулярный бозе-конденсат характеризуется ненулевыми параметрами порядка для атомного (а) = а ф 0, молекулярного (b) = b ф О и электромагнитных (cf,2) = cifl ф 0 полей, которые мы далее будем называть амплитудами материального и электромагнитного полей. Усредняя гайзенберговские уравнения движения для операторов а, Ь, с\ и \ (iha= [a,Hint] и т.д.), в этом приближении мы получаем уравнения движения для соответствующих амплитуд а, Ь, с\ и с2. При этом учитывается то обстоятельство, что в предположении полной когерентности системы возможна факторизация среднего значения от произведения нескольких операторов в произведение средних значений каждого из операторов, т.е. в произведение соответствующих амплитуд полей. Получающаяся таким образом система нелинейных дифференциальных уравнений с использованием гамильтониана (1.1), описывающая временную эволюцию амплитуд материальных и электромагнитных полей, имеет вид: ic2 = U2C2 + gaab Cj. Эту систему уравнений необходимо дополнить начальными условиями, которые можно представить в виде Из (1.2) видно, что стимулированная рамановская атомно-молекулярная конверсия в конденсате является существенно нелинейной по амплитудам как материального, так и электромагнитного полей.
Введем далее в рассмотрение плотности частиц п = \а\2, N = Щ2, fi = с;2, /г = \с2\2 и две компоненты "поляризации" Q = i(aab ciC2 — a a bclc2), R = aab cid + a a bclc2. Используя (1.2), приходим к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений: где A = 2ш — і? + u i — U2 - расстройка резонанса. Используя (1.2), можно записать начальные условия для плотностей частиц: и для компонент "поляризации" начальная разность фаз. Решая систему уравнений (1.4)-(1.6) с использованием условий (1.7)-(1.8), получаем четыре независимых интеграла движения для плотностей частиц и компонент "поляризации": выражения для функций Rn Q: Используя далее уравнение N = — gQ из (1.4) и выражение для Q{N) из (1.12), можно получить формальное решение в квадратурах для плотности молекул N(t) в виде гиперэллиптического интеграла: Рассматривая процесс атомно-молекулярной конверсии как химическую реакцию aaci — Ьс2, при которой два атома связываются в молекулу с участием двух рама-новских фотонов су и С2, будем интересоваться далее концентрацией образующихся молекул N(t) в зависимости от времени при различных значениях плотностей исходных компонентов реакции и других параметров системы. Тогда изменения во времени других компонентов системы (п, fj, fs) могут быть найдены, используя интегралы движения (1.10). Указанная реакция может идти как в одну, так и в другую сторону, она может быть автомодельной, периодической либо апериодической во времени. Изучим временную эволюцию системы для случая точного резонанса (Л = 0), когда разность энергий двухатомного и молекулярного состояний Н(2ш0 — О о) точно равна разности энергий обоих фотонов h(ui2 — о ;) . Используя (1.12), уравнение для временной эволюции молекул в этом случае можно представить в виде: где Выражение (1.14) молено рассматривать как уравнение колебаний нелинейного осциллятора, где (dN/dt)2 играет роль кинетической энергии осциллятора, a \V(N) и Ео являются потенциальной и полной энергиями соответственно. Из (1.16) видно, что если плотность одной из компонент системы в начальный момент времени равна нулю, то полная энергия осциллятора Ео равна нулю. При этом исчезает влияние начальной разности фазы о на эволюцию системы. Важной особенностью уравнения (1.14) является то, что если атомы в начальный момент отсутствуют (щ = 0), то эволюция системы невозможна, т.е. система остается в покое, даже если плотности всех остальных трех компонент при t = 0 отличны от нуля.
Приближение заданной плотности атомов
Рассмотрим теперь решения в приближении заданной плотности атомов Щ fiotfso, N0 при начальной разности фаз &о = ±(fc + )тг (к = 0,1,2,...). Этому приближению соответствуют качественные результаты, представленные на рис. 1.2(c,f,i). Детальное поведение функции N(t) определяется соотношением плотностей Ng и /20. При /во No решение уравнения для N(t) имеет вид: Из полученных решений видно, что при N0 Ф ho плотность молекул осциллирует со временем (рис. 1.9(Ь,с)). При/20 N0 плотность молекул N(t) изменяется в пределах от No — ho Д No + //о. С ростом ho уменьшается минимальная (фоновая) плотность молекул и растет период колебаний (рис. 1.9(c)). При fso = N0 фоновая плотность молекул оказывается равной нулю (рис. 1.9(Ь,с), кривые, разделяющие две области решений). При этом плотность молекул монотонно стремится к нулю при начальном условии No 0, а при No О она сначала растет, достигает максимального значения, равного No + fio в момент времени = arthv /W(W +/j0) gnoy/No+fw затем монотонно убывает, так что на больших временах оба решения (со знаками (+) и (—)) обращаются в нуль. При ho N0 плотность молекул колеблется от нуля до N0 + fio (рис. 1.9(b,c)). Что касается периода колебаний, то он растет с ростом отношения ho/щ, обращается в бесконечность при ho = N0, затем монотонно убывает (рис. 1.10). Рассмотрим теперь эволюцию системы при начальной разности фаз Оо = ±&7г (к = 0,1,2,...). В этом случае потенциальная W(N) и полная Е0 энергии нелинейного осциллятора определяются выражениями Точки поворота классической траектории определяются из решения кубического уравнения W(N) — Е0. Одним из корней этого уравнения является начальное значение плотности молекул N = No- Два других корня кубического уравнения выражаются формулами Корень N- является отрицательным, a N+ определяет верхний либо нижний предел колебаний плотности молекул. Если параметры No, Щ, fw, fzo таковы, что /20 fw + fwfzo/No, то в этом случае N+ N0. Тогда функция N(t) является осциллирующей (рис. 1.9(a,d)) и изменяется в пределах N0 N N+. Решение уравнения для N(t) при этом выражается формулой Из полученных решений следует, что характер эволюции системы при начальных условиях О0 = 0, ±7Г и &о = ±7г/2 существенно отличаются.
Интересным является решение N = No, когда система, подготовленная определенным образом, не эволюционирует во времени (рис. 1.9(a,d), прямые, разделяющие две области с различными решениями). Рассматривая общий случай начального условия на разность фаз &о, т.е. полагая &о ф kit и &о ф ±(& + )7Г {к = 0,1,2,...), получаем выражения (1.15) и (1.16) для потенциальной W{N) и полной Е0 энергий. Условие W = Е0 приводит к кубическому уравнению которое имеет три действительных корня Nmax Nmin 0 N-. Корень JV_ всегда отрицательный. Корни Nmax и Nmin определяют максимальное и минимальное значение функции N(t) в процессе эволюции, причем они оказываются такими, что Nmin N0 Nmax. При фиксированных значениях параметров N0, щ, /ю и ho изменение &о от нуля до 7г/2 приводит к существенному изменению всех трех корней. С ростом &о от нуля до тг/2 корень Nmax монотонно растет, приближаясь к значению No +/10 при 0о = тг/2. Корень Nmin, наоборот, убывает с ростом 0О, причем при 0о = к[2 он оказывается равным No — /20 при N0 ho либо нулю при N0 ho- Корень N-, оставаясь отрицательным, уменьшается по абсолютному значению с ростом Обсудим кратко результаты, полученные в приближении заданной плотности молекул No Э /10,/20, по при начальной разности фаз О0 = ±п/2. Если /10 п0/2, то эволюция плотности молекул определяется выражением Отсюда видно, что при /ю п0/2 плотность молекул осциллирует во времени (рис. 1.12), изменяясь в пределах N0 — /20 N N0 + /ю, тогда как при /10 п0/2 плотность молекул монотонно растет от значения N0 до N0 + п0/2 при условии 9 о — —їх12 либо сначала убывает, достигает минимальной величины No — fso, затем растет, асимптотически приближаясь к значению No + п0/2 при QQ = тт/2 (рис. 1.12). Отметим, что при начальном условии в0 ф ±(к + )7Г (к = 0,1,2,...) при любых соотношениях между плотностями fro и По имеет место осцилляционный режим эволюции молекул с малой амплитудой. В приближении заданной плотности молекул амплитуда колебаний примерно равна /ю +fso, что намного меньше N0. Поэтому эволюция плотности молекул в этом приближении представляет собой малоамплитудные осцилляции на фоне большой начальной плотности No- Самые простые решения задачи получаются в приближении заданной плотности атомов и молекул: rio,No 2 fio,fso- Поскольку в этом приближении задача становится линейной, то удобно одновременно учесть влияние расстройки резонанса Л и начальной разности фаз OQ на динамику системы. Используя (1.12), легко получить выражение для плотности молекул N{t), которое имеет вид Знаки (+) и (—) в аргументе синуса определяются начальной разностью фаз: (—) при О &о 7Г и (+) при 7Г 0о 2% (с периодом 27г). Решения со знаками (±) смещены друг относительно друга на величину существенно определяется этими параметрами.
Это дает возможность управлять динамикой системы с помощью начальной разности фаз О0 и расстройки резонанса Л. На рис. 1.13(c) изображена временная эволюция плотности молекул в зависимости от расстройки резонанса д. Видно, что с уходом от нулевой расстройки резонанса амплитуда колебаний плотности молекул над фоновой сначала резко падает, а затем с ростом абсолютной величины 6 меняется незначительно, при этом частота процессов конверсии быстро растет. Колебания плотности молекул представляет собой мелкую рябь над огромной фоновой плотностью N0. Амплитуда колебаний А имеет лоренцоподобную форму в зависимости от расстройки резонанса Л и периодически зависит от начальной разности фаз G0 (рис. 1.14). Период колебаний Т монотонно убывает с ростом расстройки резонанса Л, а увеличение начальной концентрации атомов щ и молекул No приводит к уменьшению периода колебаний. При учете расстройки резонанса потенциальная энергия системы (1.15) принимает вид Второе слагаемое в (1.76) является строго положительной квадратичной функцией N, имеющей один минимум в точке No (локализованный в интервале 0..), который является также ее двукратно вырожденным корнем. Это слагаемое "подтягивает" функцию W(N) в верхнюю положительную часть плоскости (W, N). При этом все двукратно вырожденные корни функции W(N), находящиеся в диапазоне: 0.. (см.рис. 1.13(a-b, d-h)) и определяющие апериодические режимы конверсии в бозе-конденсате, становятся однократными корнями, т.к. вырождение снимается. Во всех случаях область возможных эволюционных процессов (V(N) 0) сужается. В результате, все апериодические режимы трансформируются в периодические, характер же периодических не меняется. Следовательно, во всех случаях включение ненулевой расстройки резонанса Л приводит к уменьшению амплитуды конверсионных процессов (см. например рис. 1.13(c)), и возникновению новых только периодических процессов. Можно сказать, что в данном случае проявляется эффект подавления конверсии, причем с ростом величины расстройки резонанса Л амплитуда колебаний всегда уменьшается. Заметим, что включение расстройки никак не сказывается на режимах, когда система находится в покое (см. конец раздела 1.2), т.к. величина потенциальной энергии в момент времени t = 0 по-прежнему остается нулевой. Одним из важных вопросов, на который обращают внимание исследователи, является эффективность атомно-молекулярной конверсии.
Роль межчастичных взаимодействий в атомно-молекулярной конверсии.
Цель исследования, изложенного в этом разделе, состоит в выяснении роли упругих межчастичных столкновений в процессе атомно-молекулярной конверсии в бозе-конденсате. Как в главе 1 и работах [13, 14], рассматривается стандартная Л-конфигурация энергетических уровней системы (рис. 1.1), один из которых соответствует основному состоянию двух свободных атомов, а два другие - возбужденному и основному состояниям двухатомной молекулы. Возникновение молекулы из пары атомов приводит к поглощению кванта света с энергией Ней і и излучению кванта с энергией hios, распад молекулы на два атома приводит к обратному результату. Как и ранее, на основании принципа адиабатического следования исключаем промежуточный уровень возбужденного молекулярного состояния из рассмотрения, из-за исчезающе малой по сравнению с нижними уровнями населенности этого состояния [66-68,90,91,93]. Модельный гамильтониан взаимодействия Hint, описывающий явление индуцированной рамановской атомно-молекулярной конверсии с учетом процессов упругих межчастичных взаимодействий, представим в виде: где a, b, ci, и с2-бозонные операторы уничтожения атомного, молекулярного состояний и фотонов с частотами со і и ив, соответственно, д- константа атомно-молекулярной конверсии, і/і, 1/2 и і/-константьі упругих межатомного, межмолекулярного и атомно-молекулярного взаимодействий соответственно. Последние три слагаемых в (2.1) учитывают упругие межчастичные взаимодействия. Подобный гамильтониан, описывающий процесс однофотонной атомно-молекулярной фотоассоциации, обсуждался в [66,68,90,91], в частном случае приближения заданных полей обоих импульсов излучения. В приближении среднего поля (mean field approximation) получаем систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений для амплитуд материальных и электромагнитных полей Вводя плотности частиц n = a2, N = fe2, fi = \cj \s, fs = \cg \2 и две компоненты "поляризации" Q = i(aab ciC2 — a a bclc2) и R = aab C\C2 + a a bc\c2 и используя (2.2), получаем следующую систему уравнений: где Л = 2ш — Q + ы} — и 2 - расстройка резонанса.
Начальные условия для плотностей частиц п, N, //, fs и для компонент "поляризации" R, Q, по-прежнему, полагаем заданными в виде (1.7)-(1.8). Решая систему уравнений (2.3) с использованием условий (1.7)-(1.8), несложно получить четыре независимых интеграла движения для плотностей частиц и компонент "поляризации" (1.10). Как и следует ожидать, учет упругих межчастичных взаимодействий не меняет законы сохранения числа частиц. Для компоненты "поляризации" R из (2.3) и условий (1.7)-(1.8) получаем: торые нормированные сборные коэффициенты, которые также назовем коэффициентами межчастичного взаимодействия. Используя (2.3),(2.4) и интегралы движения (1.10), получаем выражение для Q в зависимости от плотности молекул N: Уравнение N — —gQ из (2.3) и выражение для Q(N) из (2.5), как и в главе 1, дают возможность выписать формальное решение для плотности молекул N(t) в виде гиперэллиптического интеграла (1.13). Процесс атомно-молекулярной конверсии будем характеризовать плотностью образующихся молекул N(t), так как плотности других компонент бозе-конденсата (п,/г,/2) могут быть найдены с помощью интегралов движения (1.10). Плотности материальных и электромагнитных полей нормированы на полное число атомов в бозе-конденсате по + 2N0 в начальный момент времени, компоненты "поляризации" йи Q -на (п0 + 2N0)5f2, а время t на д(п0 4- 2N0)3I&. Поэтому далее п 4- 2N = 1. С учетом нормировки и выражения (2.5), основное уравнение, описывающее временную эволюцию плотности молекул N, представляет собой уравнение колебаний нелинейного осциллятора Здесь ( -j- ) и W(N) играют роль "кинетической" и "потенциальной" энергий осциллятора соответственно. Влияние начальной разности фаз Од на эволюцию системы было изучено ранее. При начальной разности фаз Оо отличной от 7г/2 имеет место сдвиг "полной" энергии системы в область отрицательных значений. Без учета упругих межчастичных столновений, этот сдвиг приводит к превращению всех имеющихся апериодических режимов в периодические, а периодических - в новые периодические режимы с меньшей амплитудой осцилляции плотности молекул. В данном случае, т.е. при учете упругих столкновений, и при условии 0о = 7г/, как будет видно далее, сдвиг "полной" энергии может приводить к изменению имеющихся, и в общем случае, к возникновению новых периодических и/или апериодических режимов конверсии в БЭК. Тем не менее, изменение начальной разности фаз 90 не приводит к изменению качественных динамических свойств поведения системы. Поэтому, простоты ради, далее положим начальную разность фаз о = п/2. Из (2.6- 2.7) следует, что если в начальный момент времени плотность атомов По либо плотности любых двух других компонент системы (из набора N0, fio, /20) равны нулю, то никакие динамические процессы в системе невозможны [13,14].
Другими словами прежний результат (глава 1) сохраняет силу. Из системы уравнений (2.3) видно, что при учете межчастичных столкновений имеет место один особый случай. Если выполняются условия то потенциальная энергия W(N) не зависит от констант межчастичного взаимодействия и имеет вид (1.76). Поэтому, при выполнении условия (2.8) бозе-конденсат ведет себя так, как если бы упругие межчастичные взаимодействия в системе отсутствовали. Все результаты, изложенные ранее в главе 1, полностью остаются в силе для этого случая. По-видимому, можно утверлодать, что когерентность "движения" атомов и молекул в конденсате такова, что упругие межатомные, мелшолекулярные и атомно-молекулярные столкновения "компенсируют" друг друга, и потому никак не сказываются на динамике эволюционных процессов. Легко видеть также, что при выполнении условия А(и — щ) = и2 упругие межчастичные взаимодействия приводят к перенормировке собственных частот системы и, в конечном счете, к перенормировке расстройки резонанса: А = Л + {2vt — и)(па + 2N0). Дополнительные нелинейные слагаемые в {/(./V) не появляются. Как видно из (2.7), уравнение нелинейного осциллятора является достаточно слолсным. Аналитическое решение этого уравнения в общем виде можно указать только формально (1.13). Частное решение этого уравнения в общем виде можно указать, но для этого необходимо найти все корни потенциальной энергии из (2.7) для данного набора параметров, что возможно сделать только численно. Более того, даже используя приближения, изученные в главе 1, не удается указать неформальные аналитические решения уравнения (2.7), не прибегая к численному поиску корней уравнения V(N) = 0. Лишь в некоторых случаях при определенных упрощающих условиях возможно указать конкретный вид решения. Рассмотрим, например, приближение заданного поля атомов по 3 fwif2o,No в условиях точного резонанса (Л = 0), отсутствия молекул в начальный момент времени No = 0 (щ = 1) и предпололсения одинаковости констант межчастичного взаимодействия 1 = 2 = - Тогда уравнение (2.7) приведется к виду.
Метод pump-probe для экситонной области спектра при учете упругого экситон-экситонного взаимодействия
Хорошо известно, что физические свойства атомов могут изменяться под действием интенсивного электромагнитного излучения. Аналогичная ситуация может иметь место и в твердых телах при межзонных оптических переходах и переходах в экситонные состояния. Поэтому в последние десятилетия теоретические и экспериментальные исследования оптических свойств полупроводников при высоких уровнях лазерного возбуждения притягивают большое внимание. Результаты этих исследований могут быть использованы при конструировании высокоскоростных чисто оптических устройств, например, таких, как логические (бистабильные) элементы с характерными временами переключения порядка пикосекунды и менее. Электромагнитно-индуцированная прозрачность, оптический Штарк-эффект, голубой и красный сдвиги атомных и экситопных резонансов и многие другие нелинейные оптические эффекты являются предметом исследования многих теоретических и экспериментальных работ. Впервые оптический Штарк эффект был обнаружен на экситонах при переходе из Is в 2р состояние в Си20 [95], в GaAs [96-98], GaSe [99] и в других полупроводниках [100,101]. Экспериментально оптический Штарк эффект проявляется в смещении эксптонного уровня под действием лазерного излучения и его возвращении в исходное положение после окончания действия излучения. В [103] наблюдался очень большой вы-сокоэнергетичный сдвиг нижайшего эксптонного уровня в структурах с множественными квантовыми ямами на GaAs, возникающий после облучения образцов фемтосекунд-ными лазерными импульсами. Такие резонансные сдвиги обычно объясняются в терминах экситонов, "одетых" фотонами. Экспериментальное и теоретическое описание сильного Штарк-эффекта в экситонной области спектра в полупроводниках представлено в работе [102]. В [105] были изучены особенности поведения системы экситонов в полупроводниках в присутствии интенсивного когерентного лазерного излучения, приводящего к макроскопической когерентной поляризации среды и предложена интерпретация этого эффекта, базирующаяся на идее бозе-конденсации экситонов, индуцированной полем.
Оказалось, что заполнение фазового пространства виртуальными электронами и дырками приводит к изменению внутренней структуры экситона. Эти явления аналогичны тем, которые имеют место при спонтанной бозе-конденсации экситонов [106]. В [107,108] были изучены полосы поглощения и усиления слабого зондирующего излучения в присутствии бозе-конденсированных экситонов, возникающих в неравновесных условиях в поле когерентного излучения. Показано, что в спектре возникают нестабильности, обусловленные реальным выходом двух фотонов лазера и их превращением в две внеконденсатные частицы, которые существенно влияют на поглощение пробного сигнала. В работе [109] продемонстрирована возможность создания среды с большим показателем преломления и подавленным поглощением. В [110] показано, что в системах с высокой плотностью экситонов, моделируемых как ангармонические осцилляторы, имеет место эффект свето-индуцированной прозрачности, возникают изменения в дисперсионных свойствах среды и возможность усиления. Особую значимость в связи с этими и другими исследованиями при экспериментальном и теоретическом изучении оптических спектров полупроводников в экситонной области спектра при больших уровнях возбуждения кристалла приобрел метод pump-probe. Он основан на использовании двух пучков лазерного излучения: мощного пучка накачки (pump) и слабого, зондирующего пучка (probe). Слабый пучок зондирует изменения оптических свойств кристалла, обусловленные действием поля сильной электромагнитной волны - полем накачки. Эти изменения определяются амплитудой и частотой поля накачки и параметрами самого кристалла. Метод pump-probe использовался при экспериментальном исследовании оптического Штарк эффекта в полупроводниках, в частности, при исследовании излучательной рекомбинации и нелинейного отклика системы экситонов и биэкситонов большой плотности [111], красного и голубого сдвига экситонного резонанса в условиях пикосекундной накачки [95,96,112], аналога эффекта Аутлера-Таунса на биэкситонах в CuCl [113]. Работы [8,107,108,110,114-117] посвящены построению удовлетворительной теории метода pump-probe для системы экситонов и биэкситонов большой плотности. Результатом действия pump-пучка (пучка накачки) на полупроводники с большими значениями оптических нелинейностей в экситонной области спектра является генерация экситонов высокой плотности, которая в свою очередь, порождает многообразие нелинейных и, в частности, гистерезисных эффектов. Оптический гистерезис вообще, и оптическая бистабильность, в частности, -предмет широких теоретических и экспериментальных исследований. Это обусловлено несколькими причинами, из которых наиболее важные следующие: огромные перспективы практического применения и физический интерес к этому явлению, как яркому примеру фазового перехода в системах, далеких от термодинамического равновесия. Оптическая бистабильность (и мультистабильность) представляет собой одно из проявлений самовоздействия световой волны, заключающегося в том, что прошедший через среду световой поток может оказаться многозначной функцией падающего светового потока, т.е. может иметь место гпстерезисная зависимость прошедшего потока света от падающего. При увеличении (уменьшении) интенсивности падающего пучка интенсивность прошедшего светового пучка может претерпевать резкое изменение, т.е. может происходить перескок с одной ветви гистерезисной кривой на другую.
В условиях, когда имеет место оптическая бистабильность использование нескольких пучков света (т.е. pump-probe техники), открывает широкие возможности управления ими, тем самым открывает богатейшие перспективы применения бистабильных элементов в качестве ячеек памяти, усилителей, мультивибраторов, переключающих устройств, оптических транзисторов и т.д. Экситонная нелинейность, приводящая к оптической бистабильности, впервые начала изучаться в работах Тоядзавы [118,119]. Было показано, что концентрация экситонов (либо других квазичастиц с хорошо определенным порогом энергии образования), генерируемых резонансным светом большой интенсивности, может быть неоднозначной функцией интенсивности п частоты света, если ширина и положение линии поглощения достаточно сильно зависят от концентрации экситонов. Поэтому в некотором интервале частот и интенсивностсй возбуждения плотность экситонов может оказаться трехзначной функцией интенсивности возбуждения, так что установившееся стационарное состояние может существовать в кристалле в виде двух областей (доменов) с высокой и низкой плотностью экситонов. В переходной стадии граница раздела доменов перемещается таким образом, что область существования более стабильного из них расширяется. Результаты исследования динамических процессов в экситонной области спектра при высоких уровнях возбуждения представлены в [120,121]. Нелинейная нутация экситонов и фотонов изучена при учете экситон-фотонного и экситон-экситонного взаимодействий, а также эффекта насыщения. Приведены аналитические выражения, определяющие временную эволюцию плотности экситонов и фотонов в среде. В работе [122] рассмотрено явление бозе-эйнштейновской конденсации экситонов в полупроводниках под действием сильного когерентного электромагнитного поля и получено кубическое уравнение для определения плотности экситонов, исследование которого показало, что плотность экситонов немонотонно зависит как от интенсивности, так и от частоты поля, следовательно, имеют место как амплитудный, так и частотный гистерезисы. К этому же кругу вопросов относятся близкие по идее и по полученным результатам работы [123,124].
