Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения Зотов Андрей Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Зотов Андрей Владимирович. Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.04.02 : Москва, 2004 90 c. РГБ ОД, 61:04-1/978

Содержание к диссертации

Введение

2 Голоморфные расслоения и интегрируемые системы 13

2.1 Введение 13

2.2 Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха . 13

2.3 Системы Хитчина 16

2.4 Процедура модификации расслоений 20

2.5 Модификации и преобразования Бэклунда 21

3 Приложения геометрических методов 23

3.1 Примеры интегрируемых систем 23

3.1.1 Эллиптическая модель Калоджеро-Мозера 23

3.1.2 Эллиптическая модель Годена 25

3.1.3 Эллиптический SL(JV,C) волчок 26

3.2 Связь между системами Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда 28

3.3 Преобразования Бэклунда в модели КМ: єі(2, С) случай 33

3.3.1 Модификация в sl(2, С) случае 33

3.3.2 О представлении алгебры Ли sl(2, С) дифференциальными операторами 35

3.3.3 Проверка каноничности .. 36

3.3.4 Преобразование Бэклунда 36

3.4 Система взаимодействующих волчков 37

3.5 Система Русенарса-Шнайдера и і-оператор Хасегавы 40

4 Теоретико-полевые обобщения 41

4.1 Системы Хитчина бесконечного ранга 41

4.1.1 L(GL(NtC)) голоморфные расслоения . 41

4.1.2 Калибровочные симметрии и симплектическая редуклия 42

4.1.3 Законы сохранения и уравнения движения 45

4.1.4 Гамильтонианы в случае si (2, С) 46

4.2 Полевое обобщение моделей Калоджеро и Годена 47

4.2.1 L(SL(iV,C})-paccnoeHHe над эллиптическими кривыми 47

4.2.2 L-оператор 48

4.2.3 Гамильтонианы для si (2, С) двумерной модели Калоджеро 49

4.2.4 L-A пара для двумерной эллиптической si (2, С) модели КМ . 50

4.2.5 Соответствие 2d КМ - уравнение Ландау-Лифшица 52

4.2.6 Предел к уравнению синус-Гордона 53

4.2.7 Гамильтонианы для 2d эллиптической модели Годена 53

5 Уравнение Пенлеве VI и модель Калоджеро - Иноземцева 56

5.1 Введение 56

5.2 Представление Лакса для модели Калоджеро - Иноземцева 57

5.3 Алгебраическая интегрируемость в 2 х 2 случае 59

5.3.1 Эллиптическая модель Годена к редукция к модели КИП . 59

5.3.2 Алгебраическая интегрируемость 61

5.4 Эллиптическая форма уравнения Пенлеве VI 63

6 О связи формул Вейля и Концевича для квантового умножения 66

6.1 Введение 66

6.2 Представление формулы Концевича в виде диаграмм 69

6.3 Вычисления во втором порядке 70

6.4 Вычисления в третьем порядке 71

6.5 Значения коэффициентов из требования ассоциативности 75

7 Заключение 77

8 Приложения 78

8.1 А. Необходимые сведения по эллиптическим функциям 78

8.2 В. Синус-алгебра 83

8.3 С. Приложение к главе 5 84

9 Список литературы 86

Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха
Связь между системами Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда
Калибровочные симметрии и симплектическая редуклия
Эллиптическая модель Годена к редукция к модели КИП

Введение к работе

Интегрируемые системы классической механики представляют собой исключительные случаи систем дифференциальных уравнений, для которых существует нужное число независимых интегралов движения. Значительный прогресс в изучении таких систем появился в связи с открытием в конце 60-х годов К.Гарднером, ДжХрином, М.Крускалом и Р.Миурой метода обратной задачи рассеяния, или метода изоспек-тральной деформации, сформулированного П.Лаксом. Идея метода очень проста. Пусть уравнения движения некоторой динамической системы удалось записать в виде

d_tL = [L,M],

где L и М - пара матриц (пара Лакса). Тогда из этого уравнения следует, что матрица L(t) в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия:

Щ = д(1Щ0)д-\г), М = d_tgg~\

Следовательно, собственные значения L(t) от времени не зависят, и являются интегралами движения.

Однако во многих важных случаях рассмотрение лишь конечномерных алгебр Ли недостаточно. Например, число функционально независимых инвариантов полупростой алгебры Ли равно ее рангу, так что указанные выше интегралы обеспечивают интегрируемость лишь для тех орбит, размерность которых не превышает удвоенного ранга. Это приводит к естественному обобщению конструкции - рассмотрению уравнений Лакеа, содержащих дополнительный параметр z {так называемый спектральный параметр), рассматриваемый как локальная координата на римановой поверхности:

d_tL(z) = [L(z),M(z)).

В таком виде уравнения Лакса впервые появились в работах И.Кричевера и С.Новикова [1]. Инварианты tr{L(z)^k), как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят от z и, тем самым, являются производящими функциями законов сохранения.

Уравнения Лакса со спектральным параметром оказались исключительно полезными для исследования интегрируемых систем. Было доказано, что в общем положении эти уравнения линеаризуются на многообразии Якоби алгебраической кривой, заданной характеристическим уравнением:

det(L(*) - А) = 0.

Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения в терминах тета-функций Римана (в этом случае система называется алгебраически

интегрируемой). Взгляд па матрицу Лакса, как на мероморфную матричнозначную функцию на римановой поверхности, позволил использовать методы алгебраической геометрии.

Существенное развитие геометрического подхода произошло с появлением работы Н.Хитчина [2]. В ней было показано, что вполне интегрируемые системы естественным образом возникают на пространстве модулей голоморфных расслоений над ри-мановыми поверхностями. Равенство количества степеней свободы количеству независимых интегралов в инволюции оказалось в этой конструкции следствием теоремы Римана-Роха. Первые явные примеры систем Хитчина появились в работах А.Горского и Н.Некрасова [3, 4]. В частности, в работе Н.Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, расширяющая класс спиновых обобщений модели Калоджеро-Мозера [о] (КМ). Сопоставление каждому интегрируемому случаю некоторой алгебро-геометрической конструкции оказалось удобным и наглядным для классификации. Например, интегрируемые системы с рациональными потенциалами _:возникают на сфере, а с эллиптическим - на торе.

Параллельно развивался теоретико-групповой подход к изучению интегрируемых систем. Например, в работах М.Олыпанецкого и А.Переломова [6] было показано, что динамика некоторых многочастичных интегрируемых систем может быть получена в результате редукции свободного движения на фазовом пространстве большей размерности.

Объединение алгебро-геометрических z теоретико-групповых методов позволило решить ряд важных задач и достигнуть понимания во многих вопросах, некоторые из которых составляют содержание диссертации.

Оказалось, что применение теоретико-группового подхода к описанию систем Хитчина позволяет описывать интегрируемую динамику сразу в терминах представления Лакса со спектральным параметром [7]. Изначально свободная динамика задается на пространстве сечений голоморфного векторного расслоения Е над римановой поверхностью „ с п отмеченными точками с помощью матричнозначных полей Ф є l_cL („, End* Е) и связности А, задающей на Е комплексную структуру. Для этого вводится симплектическая форма

и= [ tr(D$ADA)

и гамильтонианы

где V} - некоторые (1 — j, 1)-дифференциалы на 2„. Тогда динамика по временам tj, соответствующим j'-ым гамильтонианам, свободна:

а,* = о.

Заданные таким образом симплектическая форма и гамильтонианы инвариантны относительно калибровочных преобразований:

Заметим также, что для преобразованного поля Ф' = /^-1Ф/ уравнение движений имеет вид:

то есть записывается в лаксовой форме. Инвариантность симплектической формы позволяет провести гамильтонову редукцию относительно калибровочных преобразований. В результате этой редукции поле Ф становится лаксовой матрицей со спектральным параметром (локальной координатой на „) и определяется как решение уравнения моментов:

/*(Л,Ф) = ёФ + [Л,Ф] = 0.

Наличие отмеченных точек фиксирует полюса и вычеты Ф(-г).

В то же время решение уравнения моментов зависит и от некоторых дополнительных данных, например, от степени расслоения Е. По сути, этот топологический инвариант определяет граничные условия для решения уравнения момента. Так, для degE = 0 на эллиптической кривой решением будет лаксова матрица модели Калоджеро, а для degi? = 1 - эллиптического s\(N,C) волчка. Вообще, все явные результаты, излагаемые в работе, относятся к эллиптическому случаю. Преобразование, меняющее степень, называется модификацией расслоения Е. На языке лаксо-вых матриц соответствующих систем оно выглядит как сингулярное калибровочное преобразование

L(z)^E(z)L(z)E(zy\

где под сингулярностью имеется в виду вырожденность Н(я) в некоторой точке. Оказывается возможным определить Е(з) явно и, тем самым, установить калибровочную эквивалентность некоторого семейства систем, включающую эллиптическую модель Калоджеро и эллиптический волчок [8].

Таким образом, описанная выше конструкция с одной стороны выполняет классификационную роль, с другой - позволяет получать новые интегрируемые модели, такие как, например, системы взаимодействующих волчков. Кроме того, гапкЕ-кратное применение модификации переводит исходную систему в себя, то есть описывает преобразования Бэклунда.

На данный момент далеко не все вполне интегрируемые системы удалось описать как системы Хитчина. Так, например, до сих пор нерешенной остается проблема доказательства алгебраической интегрируемости для бесспиновых систем, построенных по полупростым алгебрам Ли. В рамках подхода Хитчина воспроизведены

системы только для An серии. Проблема состоит в том, что размерность многообразия Якоби спектральной кривой det(L(^) — А) оказывается для указанных систем больше размерности фазового пространства. Один из естественных способов решения - проведение редукции по некоторым дискретным симметриям из спиновой At/ системы, замораживающей степени свободы, связанные с орбитами коприсоеди-ненного действия. Пример такой процедуры используется для описания системы Калоджеро-Иноземцева [9] с одной степенью свободы, и алгебраическая интегрируемость в этом случае доказана [10]. Важность этой системы заключается еще и в том, что ее уравнения движения представляют из себя автономный аналог знаменитого уравнения Пен леве VI:

<Ри хг^ 1 и \

где т - модуль эллиптической кривой S, w_a = {0, |, 5) ^2¹}, ft ^va - произвольные константы. Неавтономность означает, что потенциал явно зависит от времени, роль которого играет модуль т. Оказывается, что данное уравнение можно записать в виде:

dtL(z)-d_zM(z) = [L(z),M{z)]

с теми же L(z) и M(z)_t что и для автономной системы. Вообще, описанная выше конструкция систем Хитчияа допускает обобщение яа уравнения изомондромных деформаций. При этом, модификации используются для описания и вычисления дискретных групп симметрии.

Метод обратной задачи рассеяния, разработанный Л.Фаддеевьш, В.Захаровым и А.Шабатом [11,12], позволяет получать законы сохранения для уравнений в частных производных в случае, когда они записываются в виде уравнений нулевой кривизны:

d_tL(z)-d_xM(z)=[L(z),M{z)].

Например, использование метода обратной задачи рассеяния позволило А.Белавину и В.Захарову получить инстантонные решения уравнений дуальности для полей Янга-Миллса [13]. Оказывается, существует обобщение систем Хитчина, дающее конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщений классических интегрируемых систем. Другими словами, в классе систем Хитчина можно указать способ получения L(z)_r M{z).

Для многочастичной системы это означает, что импульсы и координаты частиц pi, Qj должны рассматриваться как поля:

ІР, О} = 1 —» {p(x),q(y)} = 5{х - у).

Переменная х может быть координатой на вещественной прямой или окружности. В последнем случае все поля считаются периодическими функциями на этой окружности, а гамильтониан задается интегралом Н = f h(x). Вычисление плотности h(x) является нетривиальной задачей, так как tr(L*) уже не являются сохраняющимися величинами.

Интегрируемые системы проявили себя во многих областях теоретической физики. Оказалось, что многие известные системы описывают эффективное низкоэнергетическое действие в суперсимметричных калибровочных теориях [14]. Например, чистые калибровочные ЛГ — 2 теории связаны с цепочками Тоды, XXX спиновой цепочке отвечает J\f = 2 суперсимметричная квантовая хромодинамика с группой SU(N_C) и числом мультиплетов материи Nj < 2N_C. Модель Калоджеро появляется с введением присоединенного Л/* = 2 гипермультшшета. Также активно изучается связь квантовых интегрируемых систем с уравнениями ренормгрушщ в калибровочных теориях. Показано, что в однопетлевом приближении спектр аномальных размерностей некоторых операторов в суперсимметричных калибровочных теориях совпадает со спектром квантовых интегрируемых депочек. Методы интегрируемых систем активно используются в исследовании задач лапласовского роста и матричных моделях.

В работе также изучаются некоторые вопросы деформационного квантования. Задача ставится следующим образом. Пусть на некотором гладком пуассоновом многообразии М задана скобка Пуассона. В локальных координатах {х*} для пары функций / и д имеем:

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Скобка Пуассона, по определению, должна быть антисимметричной и удовлетворять тождеству Якоби:

a^fJ = -оЛ cfⁿd_ntt>* + а^ыд_па?> + а>^пд_паР* = 0.

Стандартная каноническая скобка для {х*} = {р, q} Є К²" записывается с помощью постоянной 2п х 2п матрицы $^ц, которая в виде блоков пхп выгладит следующим образом:

"-(:.!)'

При квантовании функции / ставится в соответствие некоторый оператор /. Для того, чтобы это соответствие было однозначным, необходимо зафиксировать упорядочение. Далее, произведение двух операторов fg тоже должно быть упорядочено. В результате получиться выражение, соответствующее уже не просто произведению

fg, а тому, что называется квантовым умножением / * д:

1,9 — f,9
і і

fg —Y f*g

Формула для квантового умножения в случае стандартной пуассоновой структуры на Ж^ы давно известна. Для симметрического (вейлевского) упорядочения она имеет следующий вид:

f*9 = f9 + h№difd_i3+ +f Р^дА/д&д + f&W^didMdjdtdng + ...=

⁰⁰ fcn п п n

n=0 Іі,...,Іі.Ш,."іЗп*=1 *=1 k=l

оо n-0 ГЄС

где выражения В_Га(/,д) строятся с помощью графов Г є G_n (или диаграмм) Концевича, ш_г - постоянные коэффициенты, отвечающие графам Г Є G_n. Для значений коэффициентов указаны интегральные формулы. Однако вычислить эти коэффициенты в произвольном случае оказывается очень сложной задачей, и для юс нахождения используются различные технические приемы. В диссертации предлагается воспользоваться теоремой Концевича, утверждающей, что все формулы квантового умножения эквивалентны по модулю диффеоморфизмов и некоторой калибровочной группы, действующей на пространстве квантовых умножений. Тем самым, сделав замену переменных х —* z{x) в известной формуле Вейля, можно ожидать, что с помощью калибровочной группы полученное выражение можно будет представить в виде формулы Концевича в координатах z с некоторой а^аЬ{$з, z) [16]. В работе такие вычисления проделаны до третьего порядка по Н. Таким образом, можно получить формулу Концевича с численными значениями коэффициентов. Кроме того, выясняется, что при замене переменных пуассонов бивектор преобразуется нековариантным

образом. Более точно, при замене переменных к пуассоновому бивектору пояапяются квантовые поправки вида

<*<* = №д>2?д#^ъ + h²a$> {z,x) + ...

Содержание диссертации

Введение обосновывает актуальность изучения рассматриваемых задач, содержит обзор литературы и методов решения.

В главе 2 описана конструкция систем Хитчина. Динамика на пространстве модулей голоморфных векторных расслоений возникает в ней в результате редукции из свободной гамильтоновой теории поля. В результате редукции это матричнознач-ное поле становится лаксовой матрицей для некоторой интегрируемой системы, а пространство модулей (параметров) расслоений является для этой интегрируемой системы конфигурационным пространством. Системы, получаемые вышеуказанным способом, существенно различаются в зависимости от топологического инварианта (степени) рассматриваемых расслоений. Так, например, может быть описана система Калоджеро

»=1 i>j

где *fj - импульсы частиц, а и* - сопряженные им координаты, или эллиптический волчок

Я^ = ^tr(SpS),

где S - матрица JV х N с нулевым следом (матрица моментов), р(а) - обратные компоненты главных моментов инерции и pS = ^2 S_ap(a)<7_a.

Однако, как показано в главе 2, существует преобразование (модификация расслоений), которое изменяет этот инвариант, и, соответственно, переводит одну систему в другую. На языке лаксовых матриц это преобразование устанавливает калибровочную эквивалентность: 1ц(г) = 3(z)L₂(z)3(z)~^l. На эллиптической кривой размерность пространства модулей голоморфных стабильных расслоений равна НОД(ІУ, deg), где JV - ранг, deg - степень расслоений. Поэтому, N последовательных применений верхних (или нижних) модификаций переводит систему в себя. Тем самым, такая процедура описывает преобразования Бэклунда.

L^iop = E(z)L^KUE(z)-¹.

Таким образом устанавливается калибровочная эквивалентность между указанными системами. Интересен случай, когда НОД(,ЛГ, deg) ^ 1, N, Этой ситуации отвечают системы взаимодействующих волчков. В главе 3 эти системы описаны явно. Гамильтониан таких систем имеет вид:

Н = \ Е «? - 5 Е Е Tr(S₇2S-_m,__n)Tr(S₇i?_ran)p(^)-

i=i

I то,»

I?* J m,n

где Е_тп - некоторый базис в алгебре Ли sl(JV, С), Si - матрица, соответствующая I-ому волчку, a v/, v,j - его импульс и координата.

В главе 4 описан конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщении для некоторых классических интегрируемых систем. Другими словами, для систем Хитчина указан способ получения L, М по паре Лакса в механике L, М. Метод продемонстрирован на примере двухчастичной системы Калоджеро, уравнения движения которой можно записать в виде:

ц = 2hpf(2u)

Результатом теоретико-полевого обобщения являются следующие уравнения / «t =-ej?(l - 7?). h=u* + i? = cmat,

представимые в виде уравнения нулевой кривизны для некоторых L(z),M(z), выписанных в главе 4 явно.

При этом, процедура модификации Ь\ = 5ЇгЕ^-1 + д_хЕЕ~¹ устанавливает калибровочную эквивалентность полученного уравнения с уравнением Ландау-Лифшица [17,18], описывающим непрерывный предел в XYZ магнетике и являющимся полевым обобщением sl(2, С) волчка:

d_tS=^l-[S,J(S)] + ~[S,d_x*S]. Этот результат можно изобразить на диаграмме:

2-х частичная

система КМ

SL(2, С) — эллиптический волчок

2-х частичная теория поля КМ

уравнение Ландау-Лифшица

В главе 5 предложено представление Лакса со спектральным параметром для эллиптической модели Калоджеро-Иноземпева, задаваемой гамильтонианом:

. ff N If з

^//КИ = 2^^ + ^²^ W^u* - «і) + Р(«< + «і» + И ^У«Р^ + ^ш)'

і=1 i>j і=1 л=0

В случае iV-частичной задачи пара Лакса задана 3JV х 3iV матрицами. Однако, как показано в главе 5, в случае одной степени свободы существует 2x2 представление. Гамильтониан в этом случае имеет вид:

где "П" напоминает о связи этой системы с уравнением Пенлеве VI. Показано, что та же пара Лакса удовлетворяет кроме уравнения Лакса и уравнению изомонодромных деформаций:

%Ь-д,М = [Ь,М].

При этом, последнее уравнение эквивалентно уравнению Пенлеве VI.

В главе 6 проверяется утверждение М. Концевича об эквивалентности формул деформационного квантования пуассоновых многообразий по модулю диффеоморфизмов и некоторой группы симметрии. Установление такой эквивалентности между формулами Вейля и Концевича дает метод нахождения коэффициентов в формуле для квантового умножения. Явные вычисления проведены до третьего порядка.

Показано, что если в формуле Вейля, записанную в терминах постоянного пуас-сонова бивектора т? для функций / (х) и д{х), сделать замену переменных х —^ г(х), то используя калибровочные преобразования, можно получить формулу Концевича с фиксированными численными коэффициентами:

+П² [iafVaA/flWtf + \o^d_sc^{d_adbfd_cg + $^)] + +³ [^а^^дЛ^/дьдЛд + ^"д^'дАа^ФЛ/дьд - дЛзд_ь1)+

+[la^d"d_pa^a'd_sc^ + \a^a*'d_t>a^d'dea^cb\d&fd_bd_dg+

+%a^a'a^ctdAoi^M(dAdJd_dg - d_ad_bd_cgd_df)+

+50^0,0^0^(^^ - d,Adhff9_c0d/)] + 0(fi*)-

Члены бивекторного типа отсутствуют, так как они не влияют на ассоциативность в третьем порядке.. Однако, они могут быть использованы для переопределения a(z). Показано, что при замене координат пуассонов бивектор приобретает поправки по k:

" ^— " dx^ldx>^"' |_31^w ^v " дх<дх*дх"> дхідх¹8х^а

-^дудЛа⁰* - \№№¹&ш^д<^д^^Ь] + ^(бивекторные члены),

_Г7Г„ собс _ ,gij qjfct /jV Si' а^ , fly Дг« fe* , ЗУ дг"_ дгЛ
іде о г/ і/ ^ Зі^і* дхз Th? "" S^&e* SiJ 0? "" ві^йс* 9ж' а?/

В заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.

Благодарности

Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам Г. Брадену, В. Дол-гушеву, А. Левину, М. Олыпанецкому и Ю. Чернякову, а также искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения А. Александрову, Э. Ахмедову, Д. Васильеву, И. Горделию, А. Горскому, А. Герасимову, А. Городенцеву, В. До-лотину, А. Дымарскому, А. Забродину, С. Клевцову, И. Кричеверу, Д. Лебедеву, С. Локтеву, А. Лосеву, Д. Малышеву, А. Маршакову, А. Миронову, Т. Мироновой, Г. Нозадзе, В. Пестуну, В. Побережному, И. Полюбину, А. Рослому, В. Рубпову, К. Сарайкину, К. Селиванову, А. Соловьеву, Т. Султанову, А. Червову, Л. Чехову, С. Харчеву и С. Хорошкину.

Я многим обязан своему научному руководителю М.А.Ольшанецкому, который помог мне сделать первые шаги в области интегрируемых систем. Я искренне признателен ему за предложенные задачи и большое внимание к моей научной работе.

Также я хочу выразить особую благодарность А.М.Левину и А.Ю.Морозову за поддержку и многочисленные разъяснения научных вопросов.

Я благодарен С.В.Облезину за плодотворные научные дискуссии и пенные замечания при прочтение предварительного текста диссертации.

Мне приятно поблагодарить Е.С.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

2 Голоморфные расслоения и интегрируемые системы

2.1 Введение

В этом разделе опишем способ получения Лаксовых уравнений с помощью гамипьто-новоа редукции. С этой целью построим некоторые расслоения (расслоения Хиггса) на римановой поверхности и в терминах сечений (полей Хиггса) зададим гамильтонову динамику. Инвариантность симплект и ческой формы и гамильтонианов позволит провести гамильтонову редукцию. При этом специальные свойства расслоений _:(квазипараболические структуры в отмеченных точках) зафиксируют после редукции структуру особенностей Лаксовой матрицы.

2.2 Пространство модулей голоморфных расслоений в опи
сании Чеха

Пусть Е - тривиальное голоморфное векторное расслоение ранга г со структурной группой G над римановой кривой Е„сп отмеченными точками. Рассмотрим такое покрытие кривой „ открытыми дисками U_a, 0 = 1,2..., что любая карта содержит не более одной отмеченной точки w_a.

Как известно, по векторному расслоению и покрытию {Ы_а} можно построить. функции перехода [д_аь}, удовлетворяющим требованию коцикла:

Д4(')ДсС0л»(г) = Hi zeWanWbfnW,:, (2.1)

9<* = 9ъ- (2-2)

Поэтому набор {gab} называют также склеивающим коциклом.

Функции переклейки Даб определены на пересечении карт Каь = и_аГ\Ыъ. Тривиальность расслоения Е означает, что на каждой карте Ы_а существует G-значная_:функция h_Bt являющаяся сечением локального пучка fl.„(_n, Aut Е) и д^ = h_ah^¹. Голоморфность расслоения означает, что функции д^ - голоморфны, то есть

BbQat = 0, д_аЬ Є njk{U_ab, Aut E).. (2.3)

Голоморфная структура на Е может быть задана с помощь дифференциала d". Па каждой карте И_а он записывается в виде

Р±. <С = Д, + А., A. = h~^ld_ah_a, В_л = -gr,

где z_a - локальная координата на Ы_а. В этом случае

h_ad_a = d_bhb = О,

а условие (2.3) означает, что А\ = А\д_аЩ ш&Ц^.

Преобразование h_a —> f_ah_a, заданное с помощью функции, голоморфной на Ы_а(fa Є itftgiiUa, Aut E)), не меняет A_a. Аналогичным образом, преобразование ftj —> Jbhb, заданное с помощью функции Д є f^fWjpjAut Е), не меняет Аъ. Следовательно, ГОЛОМОрфНЫе Структуры, Заданные ФУНКЦИЯМИ переклеЙКИ д_аь И faOabfb¹, -

эквивалентны. Глобально имеется набор отображений

s = {^() = K{z_a)h^{zb{z*)), ^ Є iU, я, Ь = 1,2...,} , (2.4)

задающий голоморфные структуры на Е или Р = AutE, в зависимости от выбора представления. Индекс "С символизирует чеховское описание.

Степенью расслоения Е называется степень линейного, детерминантного расслоения L = det д. Данное выше определение голоморфных структур работает для произвольной степени.

Рассмотрим открытое подмножество стабильных голоморфных структур C_s'^st в С%. На C-^St калибровочная группа Q^ действует автоморфизмами:

да -* Л&ьЛ"¹. Л = /(). Л = A&W), /6(^-. (2.5)

Калибровочные преобразования (¹ в отмеченных точках зададим локально. Рассмотрим некоторый набор

* 1 j і "аі - і 'в

параболических подгрупц группы G, приписанных к отмеченным точкам. Далее, положим

^f 1_а⁰⁾ + г_а1^+..., Д⁰⁾ЄР_о, если

/. = 4

f) л. , *<0 a. j-m - ^ *- - ^"^

z_a = z — w_a) w_a — отмеченная точка /Г + z_af_a⁴ + ..., fi⁰⁾ Є G если а ф a,

( в Ыа нет отмеченных точек)

Из (2.5) следует, что левое действие калибровочной группы в отмеченных точках сохраняет флаги

Е_а ~ Р_а \ G, Е_а = Л, (а) э => Fl_la (а) э Fl_Ba+l{a) = 0. (2.7)

Такую структуру в отмеченных точках будем называть квазипараболической. Следуя [19], определим пространство модулей стабильных голоморфных расслоений

M_n = G%*\%". (2.8)

Для G = GL(JV, С) получим несвязное объединение компонент нумеруемых степенями d = сі ((let Е) : M_n(,G) = \JM^{»>.

Касательное пространство к A4„(E,G) изоморфно h^l(H_tEndE). Его размерность вычисляется с помощью теоремы Римана-Роха. Для кривых без отмеченных точек (п = 0) имеем:

dim А(Е, EndE) - dim А¹ (Г, EndE) - (1 - з) dim G.

Для стабильных расслоений dim ft(S, EndE) = 1, тогда

dim M₀(E, G) = (g~ l)N² + 1

для GL(jV,C), и

dim jM₀(S, G) = ($ - 1) dim G + 1

для простых групп.

Наиболее важным в приложениях является случай эллиптической кривой:

dim Л¹ (Е, End) = dim Л (Е, End).

М.Атья [20] доказал, что

dunMi = HOIl{N,d}. (2.9)

В этом случае структура пространства модулей для тривиальных расслоений (то есть для случая deg() = 0) и, например, для расслоений степени один deg(E) = 1 различны.

Для квазипараболических расслоений имеем:

dim МІ = dim M^d₀ + J2f"> (²-¹⁰)

где f_a - размерность соответствующего флага Е_а. В частности, для G = GL(iV,C) получаем:

U = \ Ы² - Х>?(а) j , щ(а) = dimFU(a) - dimFl_i+l{a), (2.11)

где s_a определяются из (2.7). Пространство % похоже на двумерную решеточную калибровочную теорию. Действительно, границы покрытия {Ы_а, о = 1, - - } образуют

ориентированный граф, вершины которого V_a - некоторые внутренние точки U_a, а ребра Lai, соединяют только те вершины V_a и VJ, для которых соответствующие им карты имеют непустое пересечение ІІ^ь ф- й- Выберем ориентацию графа таким образом, что а > Ь на ребре Ь_аь и зафиксируем голоморфную функцию гь{г_а), задающую голоморфное отображение из Іі_а в Ц,. Тогда пространство С% можно задать следующим набором данных: каждому ребру L^, а > Ь припишем матричнозначлую функцию gab Є G и голоморфное отображение z_b(z_a). Калибровочные поля /„ в таком случае приписываются вершинам V_a, а калибровочные преобразования заданы в (2.5).

2.3 Системы Хитчина

Следуя [7], опишем конструкцию систем Хитчина в подходе Чеха. Рассмотрим кока-сательное расслоение Т*% к голоморфным структурам на Р = AutE (2.4). Теперь,

Т*, = {гкь,9сь\ Vab Є П$?Щл,(ЕшШ)"), _ваЬ є 1^1 (Ц*.Р)} (2-12)

1-формы Г}аь называются полями Хиггса. Указанное расслоение можно снабдить сим-плектической структурой с помощью 1-формы Мауера-Картана на 1^(^ Р).

Пусть Г^фу) - ориентированное ребро в 14_аь с вершинами в тройных пересечениях /З Є Mate = Д, П4 ПІ^, 7 WoM- Поля у^Янь соответствуют ребру Г^(/?7)- При смене ориентации графа на противоположную Г(/?7) ~~* Га(7/-0» поля т}аЬ)9аЬ также поменяются, а именно, д^а = д^ (см. (2.2)) и

%бЫ = 9аЬ (*a)»ft«(z*fo)W () (2-13)

Следовательно, интеграл

/ trfibst^JiJg^i¹^)) (2.14)

не зависит от ориентации графа.

Можно расположить данные (2.12) на графе {Г*}, соответствующему покрытию {/<,}. Принимая также во внимание (2.14), определим симплектическую структуру следующим образом:

ш = V / Dtr {т)М>9_аъ9л ()) (2-15)

Так как %& и д^ - голоморфны в U^-, интеграл не зависит от выбора пути Г' внутри Uob. Заметим здесь, что условие коцикла (2.1) не накладывает дополнительных ограничений, так как оно сохраняется под действием (2.5).

Построенная симплектическая форма инвариантна относительно калибровочных преобразований (2.5), сопровождаемых

Набор инвариантных коммутирующих гамильтонианов на Т*С%:

⁷&=Е/ *&ц(*МчЙ(*)), (4 = 1,--,»Д (2-17)

edges*

где dj - порядки инвариантных полиномов группы G и i/R - (l~dj, 0)-дифференциалы. Локально они связаны с (1 — j, 1)-дифференциалами по формуле vf_k = ді/^ и

Uj = dim h^l(E, Т^'і-Ч) = (2^ - 1)(^ _ 1) + (dj - l)n, (j == 1,..., r) .

для простых групп, и

(2j -1)(₉-1) + (j - 1)_П] (j= 2,...,N)

J = l

^4"

для GL(JV,C). Общее число независимых гамильтонианов:

Это число больше размерности пространства модулей ,М (2.10). "Лишние" гп интегралов, соответствующие (j = г), станут функциями Казимира орбит ^присоединенного действия после симплектическои редукпии, к рассмотрению которой сейчас перейдем.

Выполним симплектическую редукцию по действию группы (2.5), (2.16). Отображение момента:

Здесь коалгебра Ли Lie" (6⁰¹) определена относительно спаривания:

edges '*№<)

Тогда локально имеем:

( '-L + «« ²« ²⁾ +.. .j dz_OJ _a Є Lie*(P_a), (W_a содержит

a = *J Отмеченную ТОЧКУ ffl₀) (2-18)

(^-1^^-4 + г-²^і~²⁾ + ) dz_a, Й* Є Lie*(6)( не содержит _We).

Канонические калибровочные преобразования (2.5), (2.16) симплектической формы (2.15) генерируются гамильтонианом

где Г_а - ориентированный контур вокруг Ы_а.

Зафиксируем ненулевой уровень момента специальным образом в окрестности отмеченных точек. Пусть G_a С Р_а - максимальная лолупростая подгруппа параболической группы Р_а, определенной в точке w_a. Опустим здесь для простоты индекс а. Выберем упорядочение в подалгебре Картана fj Є Lie (G), согласованное с вложением Р C.G. Пусть fj = f) n G - подалгебра Картана в G. Рассмотрим ортогональное разложение [)*:

f,* = Ь* + ft" .

Зафиксируем некоторый вектор р^⁰' f|* как элемент общего положения в Ї)" и

- <Р⁽⁰⁾,6')=0, (2.19)

где { , ) - скалярное произведение Киллинга в I)*. Так как if* CLie*(F), то Цдны можно рассмотреть в виде

Рф = _w = >Vdz₀₎ р⁽⁰⁾ Є У , (2.20)

Q=l

где z_a = z — w_a - локальная координата в Ыа. Уравнение момента (Лдш = /х_и следует из выражения для F_tM. Из определения Lie*^'*⁰*) следует, что т}аь - граничное значение некоторой голоморфной или мероморфной 1-формы Н_а на К_а:

0.0),

T)_ab(z_a) = Н_а(г_а), for z_a Є %>, H_a fijtf" Р4, End*(Е)), (2.21)

^za Ра + Щ' + г_аЯа ' + ..., ЄСЛИ W_a Содержит

#а = < отмеченную точку w_a (2.22)

ЯІ⁰' + г„#а + ..., если U_a не содержит w_a.

Фиксация калибровки означает, что функции переклейки д^ являются элементами пространства модулей Лї(Е,і?). Симплектический фактор

называется расслоением Хиггса с квазипараболическими структурами. На этом фактор-пространстве симплектическая форма выглядит следующим образом:

^ш= Е / ^(Vob(z_a)Dg^^_a)) + 2mJ2Yi^DtT(^^DS^(9^r^l) (2-24)
edges ^Jr%Wii «=і ь

Последняя сумма задает симплектические формы Кириллова-Костанта на орбитах коприсоединенного действия 0(п) = (Ои... О_а,..., С„), где

О_а = {р_а Lie*(G) | р_а = №)-^l№gW} (2-25)

Заметим, что dim(O_a) = 2f_a из (2.11).

Стандартный подход к системам Хитчина [2] основан на описании голоморфных расслоений в терминах оператора d". Фазовое пространство до редукции имеет вид:

Т*_я = {Ф, d" | Ф Є П(Е„, End* Е)} , (2.26)

где Ф по определению называется полем Хиггса. Симплектическая форма:

w^D= f іт{ОФ A DA) (2.27)

инвариантна относительно действия калибровочной группы

Ф-/-*$/, A-*f-^lBi + f~^lAf. (2.28)

Калибровочно инвариантные гамильтонианы имеют простой вид (сравните с (2.17)):

^J& = f *&)^te<**)> (A = 1. - , »j). (2.29)

где i^ являются (1 — j, 1)-дифференциалами на Е„. Симплектическая редукция по действию этой группой приводит к отображению момента:

/і : Т*_п->1леЧ#Г) Л = аФ + [ДФ]. Поле Хиггса Ф связано с т\ простым соотношением:

Г}аЬ = /С^1ф/*в1«.»

и Л о = h~^ld_ah_a> Голоморфность tj эквивалентна уравнению ц(Ф,А) = 0, и Ф имеет те же полюса, что и Н_а (2.21). Для простоты, будем называть 7} также полем Хиггса. Расслоение Е с 1-формой jj будем называть расслоением Хиггса. В этом подходе орбиты р_а в отмеченных точках вводятся простым добавлением соответствующих форм Кириллова-Костанта к форме (2.27). В этом случае уравнение моментов /і = О приобретает правую часть в виде суммы дельта функций [4].

2.4 Процедура модификации расслоений

В этом параграфе будем рассматривать только GL(N, С)-расслоения.

Пусть Е и Е - два расслоения на одинакового ранга. Предположим, что существует отображение Е⁺ : Е. -+ Ё (более точно отображение пучков сечений Т(Е) —У Т(Ё)) таких, что оно является изоморфизмом на дополнении к точке w Є S и имеет в этой точке одномерное коядро:

0-+Я^Я-+С|_ш-»0. (2.30)

Такое отображение называется верхней модификацией й+ расслоения Е в точке ти. Аналогичным образом, если на дополнении к точке ш задать отображение

Е Ё,

такое, что 5~Н⁺ =Id, то оно называется нижней модификацией &~ в точке w.

Рассмотрим теперь два квазипараболических расслоения Е и Е со структурой флагов в отмеченных точках. Структура флага Е_а (s) в точке w_a для расслоения Е имеет форму (2.7), а для Ё определим ее так:

Ё_а{в) = ЁЦа) D - - Э Fl,_a(a) D Fl_3a+l(a) = 0,

где Fh Flk-i/Fl_Sa для s_a + 1 > к > 2. Построим Ё.а терминах пучков сечений Т(Е). Пусть HJ - отображение пучков сечений Г(Е) — Т(Е), являющееся изоморфизмом на дополнении к отмеченной точке w_a Є Е. Пусть также а е Г() и Е+ : а -+ а Є Г(). Если ^ є *Ъ__Ь то a\_Wa Є F7₄.

Назовем ~+ верхней модификацией квазипараболического расслоения Е. Нижняя модификация квазипараболического расслоения действует в противоположном направлении. Она схожа с нижней модификацией (2.30) и мы временно предположим, что S+ имеет одномерное коядро.

Пусть флаг Е_а (2,7) имеет одномерное подпространство (dim(F_Sa) = 1). В этом случае верхняя модификация S+ строится следующим образом. Пусть (ei,..., ejv) -базис локальных сечений Е, совместимый со структурой флага

Fli -* (ei,..._teff),...^1^ -> (e_N).

Из определения следует, что Е+ может быть преобразовано к канонической форме

На самом деле, пучок сечений Г(Ё) совпадает с пучком сечений Т(Е) с полюсом первого порядка в точке w_a, и особые сечения лежат в ядре S⁺ (см. [21]).

Аналогичным образом нижняя модификация приводится к виду:

*(«!, f)- ⁽²-³²⁾

Определим отображение между расслоениями Хиггса / : (E,rj) —I (E,fj) как отображение расслоений / : Е -> Ё такое, что

/Ч = Ч/- (2.33)

Рассмотрим два расслоения Хиггса (E,rj) и (Ё,т}), где Е - квазипараболическое расслоение, а его отображение вЕ- верхняя модификация Н+ расслоения Е в точке w_a Є Е. Назовем (Е, fj) верхней модификацией расслоения (Е,т}), если E+tj = 77Н+.

Пусть w_a - отмеченная точка. Поле Хиггса г} имеет полюс первого порядка в w_a(2.22) и вычет р_а определяет орбиту О_а.

Лемма 2.1 Калибровочные преобразования Е*

we меняют порядок особенности поля Хиггса в w_a;

симплектические;

сохраняют гамильтонианы (2.17).

Выбор р_а (2.19) совместим с каноническими формами (2.31),(2.32) для 2* и их действие не меняет порядок полюсов. Действие на форме (2.24) симплектично, так как ~* зависит только от pa . Инвариантность гамильтонианов следует из (2.33).

В частности, из Леммы 2.1 следует, что Н^ сохраняет все гамильтонианы (2.17) и симплектическую форму (2.24).

2.5 Модификации и преобразования Бэклунда

Рассмотрим расслоения Хиггса с квазипараболическими структурами в отмеченных точках. Калибровочные преобразования 2* зависят только от отмеченной точки w_a. Они задают отображения между системами Хитчина

6+~: T*M^{di(Z_n,G)^T*M^ld+1\i:_n,G), (2.34)

6„~fo: T^mM^{A{Hn,G)~^T*M^{d-^l){T_in,G). (2.35)

Рассмотрим последовательно выполненные верхнюю и нижнюю модификации

Q=eⁱ'$»- (2.36)

Так как deg(E) не изменяется, то данное преобразование Т*.М(, Е) - симплекти-ческое. То есть "' переводит решения уравнений иерархии Хитчина в себя.

Лемма 2.2 Отображение (2.S6) является преобразованием Бэклунда, параметризованное парой отмеченных точек (ш_аі,и)_ог).

Можно обобщить (2.36) следующим образом:

Так как преобразование Бэклунда является каноническим, то можно рассмотреть дискретную гамильтонову систему на пространстве Т*Ліп(Е,Е). Такие преобразования попарно коммутируют и в терминах переменных действие-угол генерируют решетку на торе Лиувилля [22, 28].

Заметим также, что когда 2„ - эллиптическая кривая, системы Хитчина соответствующие d = kN и d = 0 {d =deg(F)) эквивалентны. Тем самым, в этом случае можно построить преобразования Бэклунда применяя верхнюю модификацию N раз.

Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха

Эллиптическая модель Калоджеро - Моэера (КМ) [5] является одним из ключевых примеров многочастичных интегрируемых систем. Она определяется гамильтонианом Важным инструментом для изучения интегрируемых систем является представление Лакса со спектральным параметром. Для системы КМ пара Лакса была построена Кричевером [36]. Расширение семейства интегрируемых систем типа Калоджеро было предложено Олыпанецким и Переломовым [6]. Позднее Докер и Фонг и другие [37, 38] нашли для этих систем представление Лакса со спектральным параметром. Для нас представляет интерес, найденная Иноземцевым [9], модель Калоджеро-Иноземцева (КИ). Она задается гамильтонианом на эллиптической кривой {1,г), ша = {0, , -f1} с пятью произвольными константами 5) va. В оригинальной работе [9] была определена пара Лакса и показана возможность выделения спектрального параметра. Однако в явном виде это сделать не удалось. Следуя указанным выше работам, мы предъявим 3JV х 3JV матрицы Лакса для системы КИ с явной зависимостью от спектрального параметра.

Спектральная кривая и алгебраическая интегрируемость в 2 х 2 случае Мы приведем явное выражение для спектральной кривой Г4 и покажем, что она. представляет из себя двулистное накрытие над QP1 разветвленное в восьми точках. Эта кривая имеет род 5. Указанная выше редукция Г4 - КИП позволит уменьшить род с пяти до рода один, что и будет доказательством алгебраической интегрируемости в 2 х 2 случае.

Эллиптическая форма уравнения Пенлеве VI Уравнение Пенлеве VI (PVI) [43] в эллиптической форме [44, 45, 46] представляет из себя неавтономную версию уравнений движения системы (5.3)

При этом уравнение PVI в стандартной форме может быть описана [47, 48] как система Шлезингера [49] изомонодромных деформаций на СР}\{хі,Х2,Хз,Х4}. Возникает естественное желание описать PVI как систему Шлезингера на торе. Воспользовавшись 2x2 представлением Лакса для (5.3), эту задачу можно легко решить. Отметим, что изомонодромные деформации на торе и кривых старшего рода уже неоднократно изучались [50, 51, 52, 53]. Кроме того линейная задача для некоторого частного случая уравнения Пенлеве VI обсуждалась в [54, 55, 56].

Как было отмечено во введении модель КИ определяется гамильтонианом на эллиптической кривой (1,т), где ша = {0,\,\, s1}» а St a - пять произвольных констант. Предложение 5.1 Для модели Калоджеро-Иноземцева (5.1) существует предста-ьлкние Лакса е матрицах ЗЛГ х 3N со спектральным параметром на эллитгшческой кривойt где все входящие блоки - N х N матрицы, причем V,D, С± и С% - диагональны, в то время как остальные внедиагоналъны: Из этого утверждения следует, что для модели PCI (5.3) существует 3x3 представление Лакса. Однако, оказывается, имеет место более сильное Ниже будет объяснен факт существования 2x2 представления Лакса (5.4) для системы КИП. А именно, будет показано, что оно может быть получено редукцией из sl(2} С) эллиптической модели Годена [4] с четырьмя отмеченными точками на эллиптической кривой (Г4),

Связь между системами Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда

Однако, часто фазовое пространство динамической системы не является плоским. Простейшим примером такой ситуации является врашение твердого тела. Фазовым пространством является двумерная сфера. Таким образом, возникает задача написания формулы для квантового умножения в случае произвольного пуассонова бивектора а"ь. Рецепт написания такого квантового умножения был сформулирован М.Конпевичем [15]: где выражения ВГа(/,д) строятся с помощью графов Г є Gn (или диаграмм) Концевича, шг - постоянные коэффициенты, отвечающие графам Г Є Gn. Для значений коэффициентов указаны интегральные формулы. Однако вычислить эти коэффициенты в произвольном случае оказывается очень сложной задачей, и для юс нахождения используются различные технические приемы. В диссертации предлагается воспользоваться теоремой Концевича, утверждающей, что все формулы квантового умножения эквивалентны по модулю диффеоморфизмов и некоторой калибровочной группы, действующей на пространстве квантовых умножений. Тем самым, сделав замену переменных х — z{x) в известной формуле Вейля, можно ожидать, что с помощью калибровочной группы полученное выражение можно будет представить в виде формулы Концевича в координатах z с некоторой ааЬ{$з, z) [16]. В работе такие вычисления проделаны до третьего порядка по Н. Таким образом, можно получить формулу Концевича с численными значениями коэффициентов. Кроме того, выясняется, что при замене переменных пуассонов бивектор преобразуется нековариантным образом. Более точно, при замене переменных к пуассоновому бивектору пояапяются квантовые поправки вида

Однако, как показано в главе 2, существует преобразование (модификация расслоений), которое изменяет этот инвариант, и, соответственно, переводит одну систему в другую. На языке лаксовых матриц это преобразование устанавливает калибровочную эквивалентность: 1ц(г) = 3(z)L2(z)3(z) l. На эллиптической кривой размерность пространства модулей голоморфных стабильных расслоений равна НОД(ІУ, deg), где JV - ранг, deg - степень расслоений. Поэтому, N последовательных применений верхних (или нижних) модификаций переводит систему в себя. Тем самым, такая процедура описывает преобразования Бэклунда.

В главе 3 методы и конструкции, описанные в главе 2, демонстрируются на различных примерах. Эллиптическая система Калоджеро и волчок описаны как системы Хитчина с deg = 0 и deg-Е = 1, соответственно. Матрица E(z) построена таким образом, что Таким образом устанавливается калибровочная эквивалентность между указанными системами. Интересен случай, когда НОД(,ЛГ, deg) 1, N, Этой ситуации отвечают системы взаимодействующих волчков. В главе 3 эти системы описаны явно. Гамильтониан таких систем имеет вид: где Етп - некоторый базис в алгебре Ли sl(JV, С), Si - матрица, соответствующая I-ому волчку, a v/, v,j - его импульс и координата.

В главе 4 описан конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщении для некоторых классических интегрируемых систем. Другими словами, для систем Хитчина указан способ получения L, М по паре Лакса в механике L, М. Метод продемонстрирован на примере двухчастичной системы Калоджеро, уравнения движения которой можно записать в виде:

Результатом теоретико-полевого обобщения являются следующие уравнения / «t =-ej?(l - 7?). h=u + i? = cmat, представимые в виде уравнения нулевой кривизны для некоторых L(z),M(z), выписанных в главе 4 явно. При этом, процедура модификации Ь\ = 5ЇгЕ-1 + дхЕЕ 1 устанавливает калибровочную эквивалентность полученного уравнения с уравнением Ландау-Лифшица [17,18], описывающим непрерывный предел в XYZ магнетике и являющимся полевым обобщением sl(2, С) волчка:

Калибровочные симметрии и симплектическая редуклия

Эллиптическая модель Калоджеро - Моэера (КМ) [5] является одним из ключевых примеров многочастичных интегрируемых систем. Она определяется гамильтонианом

Важным инструментом для изучения интегрируемых систем является представление Лакса со спектральным параметром. Для системы КМ пара Лакса была построена Кричевером [36]. Расширение семейства интегрируемых систем типа Калоджеро было предложено Олыпанецким и Переломовым [6]. Позднее Докер и Фонг и другие [37, 38] нашли для этих систем представление Лакса со спектральным параметром. Для нас представляет интерес, найденная Иноземцевым [9], модель Калоджеро-Иноземцева (КИ). Она задается гамильтонианом на эллиптической кривой {1,г), ша = {0, , -f1} с пятью произвольными константами 5) va. В оригинальной работе [9] была определена пара Лакса и показана возможность выделения спектрального параметра. Однако в явном виде это сделать не удалось. Следуя указанным выше работам, мы предъявим 3JV х 3JV матрицы Лакса для системы КИ с явной зависимостью от спектрального параметра.

Редукция из эллиптической модели Годена Другой сюжет связан с подходом Хитчина [2, 7, 40] к изучению классических интегрируемых систем. Первые явные примеры таких систем были предъявлены Некрасовым [4]. Основными представителями оказались спиновые обобщения КМ [41], и эллиптические волчки [42], (Между последними была обнаружена естественная связь [32, 8].) Однако до сих пор в рамках подхода Хитчина-Некрасова воспроизведены системы только для Aft серии.. Проблема заключается в том, чтобы провести редукцию, замораживающую спиновые степени свободы. Пример такой редукции будет приведен в настоящей главе для системы КИ с одной степенью свободы, которая характеризуется гамильтонианом где "П" напоминает о связи этой системы с уравнением Пенлеве VI (см. ниже). Для системы (5.3) мы укажем 2x2 представление Лакса со спектральным параметром. Будет показано, что эта пара Лакса может быть получена редукцией из 2 х 2 эллиптической модели Годена [4] с четырьмя отмеченными точками на эллиптической кривой (Г4). В результате редукции Казимиры орбит, соответствующие этим точкам, перейдут в четыре константы t/a гамильтониана (5.3). Спектральная кривая и алгебраическая интегрируемость в 2 х 2 случае Мы приведем явное выражение для спектральной кривой Г4 и покажем, что она. представляет из себя двулистное накрытие над QP1 разветвленное в восьми точках. Эта кривая имеет род 5. Указанная выше редукция Г4 - КИП позволит уменьшить род с пяти до рода один, что и будет доказательством алгебраической интегрируемости в 2 х 2 случае. Эллиптическая форма уравнения Пенлеве VI Уравнение Пенлеве VI (PVI) [43] в эллиптической форме [44, 45, 46] представляет из себя неавтономную версию уравнений движения системы (5.3) При этом уравнение PVI в стандартной форме может быть описана [47, 48] как система Шлезингера [49] изомонодромных деформаций на СР}\{хі,Х2,Хз,Х4}. Возникает естественное желание описать PVI как систему Шлезингера на торе. Воспользовавшись 2x2 представлением Лакса для (5.3), эту задачу можно легко решить. Отметим, что изомонодромные деформации на торе и кривых старшего рода уже неоднократно изучались [50, 51, 52, 53]. Кроме того линейная задача для некоторого частного случая уравнения Пенлеве VI обсуждалась в [54, 55, 56]. Как было отмечено во введении модель КИ определяется гамильтонианом на эллиптической кривой (1,т), где ша = {0,\,\, s1}» а St a - пять произвольных констант. Предложение 5.1 Для модели Калоджеро-Иноземцева (5.1) существует предста-ьлкние Лакса е матрицах ЗЛГ х 3N со спектральным параметром на эллитгшческой кривойt f D + A В\ -С[ где все входящие блоки - N х N матрицы, причем V,D, С± и С% - диагональны, в то время как остальные внедиагоналъны: Из этого утверждения следует, что для модели PCI (5.3) существует 3x3 представление Лакса. Однако, оказывается, имеет место более сильное Предложение 5.2 Для модели Калоджеро - Иноземцева - Пенлеве (5.3) существует представление Лакса в матрицах 2 х 2: Ниже будет объяснен факт существования 2x2 представления Лакса (5.4) для системы КИП. А именно, будет показано, что оно может быть получено редукцией из sl(2} С) эллиптической модели Годена [4] с четырьмя отмеченными точками на эллиптической кривой (Г4),

Эллиптическая модель Годена к редукция к модели КИП

Существует естественный способ изобразить каждый -член ряда (6.48) в виде диаграммы [15]. Для члена , содержащегося в п — ом порядке возьмем п вершин (точек), каждой из которых приписывается бивектор а и две точки, сопоставляемые функциям f та. д. Первые п вершин будем располагать горизонтально. Из каждой из них выходят две стрелки , соответствующие паре градиентов в свертке оҐ дц Л дь. Стрелка заканчивается на той вершине, которую дифференцирует выбранный градиент. На двух точках, соответствующих функциям, стрелки могут только заканчиваться. Поэтому, расположим их справа по вертикали. Для выражения (6.50) набор диаграмм (графов) Концевича приведен на рисунке. Заметим, что в приведенных выше диаграммах нет "петель", то есть структур вида дса ддо . Петли, по всей видимости, появятся в графах бивекторного типа, то есть в выражениях, содержащих два внешних индекса. Такие члены не влияют на ассоциативность в третьем порядке. Однако их существование можно предсказать исходя из требования тождества Якоби (6.46). К этому вопросу вернемся в следующих параграфах.

Мы опустим значек стрелки, имех в виду, что все отрезки направлены направо . Рассмотрим формулу Вейля (6.47) до второго порядка и сделаем в ней замену переменных х —ь Как видно, полученное выражение не записывается в виде (6.49) и явно содержит зависимость от диффеоморфизма х -ь z. Другими словами выражение (6.52) не представляется в виде зависящего только от а и производных по г.. Утверждение Концевича состоит в том, что существую калибровочные преобразования (6.43), которые эту проблему решат.

Предпоследний член в (6.43): \h2$i$klgfi&rofio-Jда/дьЗ - бивекторного типа и симметричен, поэтому он легко устраняется по аналогии с тем, как в первом порядке бивектор приводился к антисимметрической форме (6.44). Соответствующее калибровочное преобразование легко выписать:

Заметим, что по тем же причинам мы вольны добавлять во второй порядок петлевую диаграмму с произвольной постоянной А, так как этот член является симметрическим бивектором. Добавление этого члена скажется на вид формулы деформационного квантования в старших порядках. Кроме того, выражение (6.54) можно использовать для переопределения Пуассонова бивектора: Мы, однако, положим А = 0, исходя из желания получить ответ в максимально приведенном виде. Возвращаясь к (6.54), рассмотрим теперь члены вида д2/дд и д2дд/: Необходимо подобрать калибровочное преобразование, переводящее выражение (6.56) в К д а дЛІ сЯ + дЛвдс/), с некоторой константой К0. Подставляя сюда а" = 7 -( получим: ( Исходя из тензороной структуры (6.56) и (6.57), будем искать калибровочное преобразование в виде: где А\ - постоянная. Заметим, что 56 симметричен по своим индексам а, 6, с. Преобразование (6.58), (6.59) добавляет к (6.56) следующие члены: &2U9) - fD2(g) - зВД) = З ідЛІ З + дЛддЛ = 3 (А + 2Р2) (6.60) Тем самым из (6.56), (6.60) и (6.57) получаем уравнение на К0 и К±:, Итак, искомое калибровочное преобразование: Щ = 1 + fc2D2 + йЗД = 1 - ±S 8M - Ж йдЛ (6.61) где S" определено в (6.59). 6.4 Вычисления в третьем порядке В третьем порядке для Вз(/,д) появятся поправки за счет калибровочных преобразований, выполненных во втором с помощью D " (6.61). Вид поправки следует из общего определения (6.43): Выпишем, как и ранее для второго порядка, члены, получающиеся заменой переменных в умножении Вейля (6.48):, ЛІІЛкІЛтп ( Й3/ дг» в? М. _- аі/ (- — 8 с 4- a " " 4 dx dx dx"1/ "" dx dxkdx дял} \дхьд# д& Ox WЗг""1" \u-wj Далее, как уже отмечалось, следует к полученному выражению добавить (6.62), то есть где D2 и D определены в (6.58), (6.59) и (6.53). Наша задача - представить сумму выражений (6.63) и(6.64) в виде диаграмм Кон-цевича в новых координатах. Ниже будет показано, что нет необходимости делать калибровочное преобразование в третьем порядке, так как калибровочных членов (6.64) окажется, по существу, достаточно для получения ответа. Некоторая неоднозначность возникнет лишь с диаграммами бивекторного типа. Важные следствия такой неоднозначности анализируются в конце настоящего параграфа.

Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения Зотов Андрей Владимирович

Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха

Связь между системами Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда

Калибровочные симметрии и симплектическая редуклия

Эллиптическая модель Годена к редукция к модели КИП

Похожие диссертации на Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения