Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Ориентационные эффекты. Теория 8
1. Экспериментальные исследования 8
2. Теоретический обзор 12
ГЛАВА II. Кинетическое уравнение быстрых частиц, двиещихся в атомных средах 23
1. Модель и исходные уравнения 23
2. Основное кинетическое уравнение 27
3. Интеграл столкновений в анизотропных средах 33
4. Распределение атомов и некоторые приближения для интеграла столкновений 38
5. Неупругие столкновения ионов в твердых телах.. 42
ГЛАВА III. Методы временных усреднений кинетических уравнений 47
1. Асимптотические свойства кинетических уравнений и вопросы расщепления фазового пространства 47
2. Обобщенное временное усреднение I 54
3. Метод временного усреднения II кинетических
уравнений с периодическигли коэффициентами . 60
ГЛАВА ІV. Расщепление фазового пространства на области каналирования и неупорядоченного движения . 67
1. Проблемы дифференциального разложения ИС 67
2. Расщепление фазового пространства. Каналирование 69
3. Неупорядоченное движение 73
ГЛАВА V. Исследование неупорядоченных процессов 75
1. Аморфное приближение. Угловые распределения ионов, движущихся в аморфном теле 75
а) рабочее уравнение в аморфном приближении.. 78
б) приближенное решение для углового распределения 80
2. Неупорядоченное движение в кристалле 85
3. Два типа воздействия решетки на движение ионов в неупорядоченных направлениях 98
4. Потенциал абсолютно твердых сфер (нейтроны). Вопросы движения электронов в кристалле 102
ГЛАВА VІ. Диффузионные процессы при осевом и плоскостном каналирований 107
1. Временное усреднение кинетического згравнения и расщепление поперечного процесса 107
2. Осевое каналирование в энергетическом представлении. Диффузионные коэффициенты 118
3. Плоскостное каналирование 131
4. Кинетические уравнения ПК 137
Заключение 147
Иллюстрации 150
Приложения 163
Список сокращений и обозначении 199
Литература 202
- Распределение атомов и некоторые приближения для интеграла столкновений
- Асимптотические свойства кинетических уравнений и вопросы расщепления фазового пространства
- Два типа воздействия решетки на движение ионов в неупорядоченных направлениях
- Осевое каналирование в энергетическом представлении. Диффузионные коэффициенты
Введение к работе
Экспериментальное исследование заряженных частиц, прошедших через кристалл, привело к открытию эффектов, названных ориен-тационными (эффекты каналирования, теней (блокировки) и пр.). Качественная сторона ориентационных эффектов (ОЭ), причины их возникновения и некоторые количественные характеристики -этап формирования состояний - были выяснены на основе свойств совокупного потенциала кристаллической решетки (анизотропия и короткодействие). Особенно полезной в описании состояний каналирования оказались концепция непрерывного приближения и гипотеза о наступлении статистического равновесия в поперечном фазовом пространстве. Разработанная в таком подходе кинетическая теория Линдхарда /36/ была призвана для объяснения диффузионных процессов - этап переходов из одного состояния в другое.
Сформулированное Линдхардом диффузионное уравнение, впоследствии обобщенное в уравнение типа Фоккера-Планка, вполне удовлетворительно описывало деканалирование и ряд других нестационарных явлений при не очень больших глубинах проникновения частиц в кристалл. Однако и классическая теория Линдхарда и квантовые модификации страдают ограниченностью -они могут описывать лишь односторонние переходы из состояния каналирования в режим неупорядоченного движения (ЦЦ). Поэтому стала актуальной задача формулировки теории, в рамках которой можно было бы объяснить всевозможные типы процессов -режимы каналирования, состояние ЦЦ-> а также переходные состояние.
В данной диссертации предлагается подобная теория в классическом приближении. Математическое выражение теория принимает в обосновании и формулировке кинетического уравнения, описывающего произвольные процессы движения быстрых частиц в кристаллах, и получении из него тех или иных модификаций для всех возможных частных случаев. В этом аспекте описание, например, процессов каналирования включает в себя определение состояний каналирования (фазовых областей) и распределений частиц в этих состояниях, в частности, изменение числа частиц, заполняющих выделенную фазовую область, то есть, деканалиро-вание.
Основная идея анализа общего уравнения заключается в нахождении условий, позволяющих получать асимптотически замкнутые уравнения для распределений от меньшего числа фазовых переменных. Математическим средством служит временное усреднение функций распределения.
Некоторые общие математические понятия, такие как метрические свойства фазового пространства, степень сходимости рядов, гладкость и степень неоднородности функций и пр., ограничены качественным анализом. Это оправдано тем, что соответствующие результаты привлекаются также в качественном плане - входят в соотношения порядков значений.
Диссертация состоит из б глав, заключения и приложений.
I глава является обзорной. Дана краткая характеристика основных экспериментальных фактов. Главное внимание в теоретическом обзоре уделяется принципам, лежащим в основе имеющихся теоретических разработок.
Во II главе из уравнения Лиувилля, с помощью цепочек Боголю-
бова для двухкомпонентной системы, выводится основное кинетическое уравнение для распределения частиц в атомной среде. Рассматриваются различные случаи распределений атомов и соотношений масс. Показана возможность учета в классическом приближении близких неупругих столкновений частицы с атомными электронами.
III глава посвящена методам временных усреднений. В их основе лежит масштабно-временная иерархия, определяемая : асимптотическими свойствами кинетического уравнения, которые связываются с метрическими свойствами фазового пространства. Цель методов - экономное описание более медленных составляющих процесса. Первый метод носит обобщенный характер и применим к линейным процессам, в которых вклад стохастичности мал. Второй является одновременно частным случаем первого и модификацией метода осреднения Боголюбова.
В ІУ главе рассмотрены вопросы разделения процессов канали-рования и ВД. В основе такого разделения лежит качественное различие в асимптотике интеграла столкновения (ИС): все возможности дифференциального приближения ИС определяют области каналирования; остальные - область Щ. Решается проблема устранения возможных расходимостей в дифференциальном (малоугловом) разложении ИС. В режиме Щ осуществляется переход к уравнению для распределения по скоростям.
Расчету угловых распределений частиц в состоянии Щ посвящена У глава. Формулируется достаточно простое уравнение для случая движения ионов в аморфном теле и из него находится в аналитической форме эволюция углового распределения. На основе результатов аморфного приближения предлагаются два взаимно дополняющих метода решения уравнения в случае Щ ионов
в кристалле. Рассчитываются также распределения частиц, для которых атомы представляются абсолютно твердыми сферами.
В УІ главе исследуются процессы каналирования. С помощью методов усреднения осуществляется последовательный переход к распределению по поперечным переменным и затем к энергетическому представлению. Приведены результаты расчета диффузионных коэффициентов. Рассматривается возможность описания переходных процессов (большие поперечные энергии) с помощью уравнений диффузионного типа. Плоскостное каналирование исследуется как множество состояний с заданными продольными скоростями.
Большое внимание в диссертации уделяется выяснению физического содержания теории. Поэтому все важные преобразования и результаты сопровождаются, хотя и в ущерб краткости, трактовкой их физического смысла, а математические выкладки и громоздкие результаты вынесены в Приложения.
Первая цифра в нумерации формул, идентифицирующая главу, при ссылках в пределах данной главы опускается. То же относится и к Приложениям.
По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
В конце диссертации дан список сокращений и некоторых постоянных буквенных обозначений.
Распределение атомов и некоторые приближения для интеграла столкновений
Принципы непрерывного приближения и достижения состояния статравновесия также являются ограниченными и недостаточно обоснованными.
Если для ОК принцип непрерывного приближения достаточно нагляден и количественно обоснован в /17/, то его приложение к ПК более проблематично. В режиме ПК играют свою роль эффекты цепочек продольной атомной плоскости. До тех пор,пока неопределен вектор продольной скорости, остается неопределенным и указанный эффект. Но если мы описываем распределение, завися - 19 щее и от вектора продольной скорости, то и исходить нужно из уравнения, которое не усреднено по продольным координатам.
В отношении достижения статравновесия обратная картина. В случае ПК этот принцип более приемлем чем для ОК. В работах Эллисона и др. /50,51/ показано, что состояние статравновесия для ПК есть более вероятное состояние, чем при ОК. Решая задачу о движении частицы в одномерном потенциальном поле, Эллисон связывает понятие статравновесия именно с тем, с чем это понятие связано физически, - с асимптотическими свойствами усредненных по времени динамических функций при устремлении интер вала усреднения к бесконечности.
Для 0К состояние статравновесия есть приближение даже при временном усреднении. Большие интервалы усреднения брать нельзя, так как со временем все большую роль играют ОЭ в поперечной плоскости. Можно даже сказать, что при больших глубинах проникновения состояние статравновесия становится все менее вероятным (это демонстрирует моделирование на ЭВМ /52,81/). Малые интервалы усреднения, естественно, дают более грубое приближение.
Все сказанное выше демонстрирует актуальность обобщения теории таким образом, чтобы исходное уравнение имело наиболее общий характер в рамках всего круга возможных процессов.
В общем случае такая теория должна исходить из основ квантовой статистики. Правда,квантовые поправки для быстрых ионов (протоны, Ы. -частицы и пр.) в упругом приближении особой роли не играют /1,17/. Однако неупругие электронные соударения (особенно далекие) могут быть описаны лишь квантовыми методами. Исходной моделью в таком подходе будет, как минимум,трех - 20 компонентная система: частицы, электроны и ядра. Очевидна громадная трудность анализа такой системы. Лишь при некоторых ограничениях удается получить замкнутое уравнение для статистического оператора, определяющего эволюцию системы частиц.
Соответствующая квантовая кинетическая теория развивалась в работах /53-56/. При этом вся система разбивается на подсистемы: I - кристалл (электроны и фононы), II - подбарьерные (каналированные) частицы и III - надбарьерные частицы. Полагая взаимодействие частиц с кристаллом малым, статистический оператор разлагается по потенциалу взаимодействия. Вводится понятие "температур" для разных подсистем таких, что її IB иТі «ТІ? . Далее ( Зубарев, Кашлев /55/) рассматриваются односторонние процессы:гfj,Щ s ) rjjjj (Ft,К - вероятность перехода из I -ой подсистемы в К -ую). При расчете скорости деканалирования из плоскостного канала в /56/ вводится предположение /Vfll Ч N П (N і - число частиц в I -ой подсистеме), справедливое для не очень больших глубин проникновения.
Несколько особняком стоят работы, посвященные движению электронов и позитронов ( Калашников и др. /61,62/, Рябов и др. /63,64/ ) и излучению фотонов каналированными частицами (см., например, /92/ ) Эти процессы также квантовомеханические; существенен в них и релятивизм.
Из классических основ статистической механики исходят работы Гавриленко и Федянина /57-59/. Из уравнения Лиувилля для двухкомпонентной системы (атомы и частицы) они методом проекционных операторов получают формально замкнутое уравнение для распределения частиц. Однако к действительному замыканию они пришли лишь в первом приближении разложения по потенциалу взаимодействия, получив уравнение распределение атомов кристалла. Это же уравнение было сформулировно еще ранее Власовым и Кураевым /60/.
В сущности, других альтернатив, кроме описанных, для выбора кинетической теории нет. Или можно исходить из традиционной теории, постулирующей уравнение типа (2) и принципы Линдхарда. Или на основе квантовой статистики искать уравнение для статистического оператора. Или же исходить из классического уравнен ния Лиувилля.
Каждое из этик направлений имеет свои недостатки. Относительно первого мы уже говорили и отмечали его ограниченность и недостаточную обоснованность. Второе направление связано с большими математическими трудностями, преодолеть которые удается лишь для частных случаев (только каналирование) и при довольно сильных допущениях (наличие "температур", односторонность переходов и т.п.). Недостаток третьего направления - его определенная неполнота. Взаимодействие быстрых ионов с атомами в упругом приближении еще можно считать классичеісим, но процессы ионизации и возбуждения атома (неупругие процессы) выходят за рамки классической механики. То есть, даже строгую класичес-кую кинетическую теорию ОЭ необходимо дополнять учетом неупругих соударений, выходящих за ее рамки. Естественно, такое дополнение возможно не на любом этапе анализа.
Асимптотические свойства кинетических уравнений и вопросы расщепления фазового пространства
Физический смысл условий (5,6) заключается в том, что для С1 -частиц атомы представляются в виде весьма разреженного газа (5), медленно взаимодействующих частиц (б). Малая плотность Q -частиц (7) позволяет отвлечься от влияния Q -частиц друг на друга и на распределение С -частиц. В частности, можно рассматривать движение одной G-частицы (ГЦ=0), заменяя усреднение по ансамблю на усреднение по множеству испытаний.
Итак, мы имеем дело с процессом, определяемым большим числом изолированных актов быстропротекаюших (X -С-столкновений, на каждый из которых в отдельности не влияют С - С и Q - О-взаимодействия. Процедура замыкания цепочек уравнений (3) в такой модели вполне аналогична анализу Боголюбова однокомпонен-тной системы /65/. Правда, для полной аналогии при формулировке условия ослабления корреляций необходимо пренебречь корреляциями в распределениях ближайших атомов. Тогда в первом приближении приходим (см. Приложение I) к линейному уравнению /66, 98/ Г распределение С-частиц, X иХ1, определяются динамикой (Х-С -взаимодействия: (о свойствах операторов вида Є см. Приложение І, а более развернуто в монографии Пригожина /67/).
Той, же методикой можно найти и поправки к уравнению (8). Однако многопараметричность разложения затрудняет выделение из этих поправок наиболее существенных в физическом приложении. В то же время специфика задачи позволяет упростить схему Боголюбова так, чтобы анализ следующих приближений был не столь проблематичным.
Рассмотрим сначала соотношения порядка и степени влияния членов связанных с малыми параметрами (5-7). Прежде всего отметим, что ни в физическом ни в теоретическом плане взаимное влияние CL -частиц для нас не представляет интереса. В экспериментах., обычно имеют дело с очень разреженными пучками быстрых частиц, так что практически Ля. =0. Математические трудности, чаще всего, представляет описание дальнедействующих частиц. В нашей модели, в этом случае, достаточно считать поле CL-частиц самосогласованным ( iJ = Q U.Q )» а средний потенциал Q-Q-взаимодействия — однородным:
В ряде физических приложений может оказаться интересным влияние Q/-частиц на распределение С-частиц (ШЛО). В нашей задаче мы этим влиянием будем пренебрегать, полагая в (8) и далее распределение С -частиц независимым. То есть считаем, что за время релаксации системы С -частиц (время кинетической стадии) двух и более кратных столкновений Q-частиц с одной и той же С -частицей не происходит.
Итак, мы ограничиваемся описанием движения одной О,-частицы в "большой" системе С -частиц. Функция [{ZSV) является фазовой плотностью вероятности, а статистический ансамбль реализуемся множеством независимых испытаний. Если оценить параметры0( /% и Jb flc Zc при движении быстрых ионов в твердом теле, то заметим, что первый параметр в широкой области температур твердого тела и энергий ионов по крайней мере на порядок меньше второго. Так, для протонов с энергией 1мэв имеем О . 10 -г 10 ; Zno/s / п: Jb lO . Поэтому мы далее пренебрегаем и членами, связанными со( представляя твердое тело в течение ас как систему невзаимодей-ствующихся атомов. Теперь отметим, что й —10" несравненно большая величина, чем его аналог для однокомпонентних газов, который имеет поря-Q о док Ют 10 . Однако, величины поправок , учитывающих одновременное взаимодействие частицы с двумя и более атомами, от этого не становятся существенней. Дело заключается в одной особенности, отличающей твердые тела от газов, а именно — атомы твердого тела сильно локализованы около положений равновесия: U 2С , где U1 - амплитуда тепловых колебаний атомов, Z-порядка среднего растояния между атомами. Совместно с условием короткодействия это дает основание утвеждать: вероятность одновременного взаимодействия частицы с двумя и более атомами эквипотенциально мала. Ясно, что для этого нет необходимости требовать очень малых значений 9"S4jc и /Зс» Достаточно» к примеру, иметь. Прежде чем выяснить} какие из оставшихся эффектов нужно учесть, мы получим уравнение (8); несколько модифицированным методом, связанным со спецификой именно нашей задачи. Уточнение (8) произведем в следующем параграфе с помощью такой модификации . Оущественная особенность движения частиц в твердом теле заключается в следующем: можно определить интервал времени СС0 такой, что за этот промежуток времени произойдет максимум одно полное столкновение частицы с атомом и притом в течение меньшей части этого интервала - Ъ » . Для одних видов процес-сов Со является минимумом для времен свободного пробега, для других - инвариантом движения, имеющим конкретное значение. В последних случаях (каналирование в кристалле) можно даже сказать так: в процессе движения можно выделить интервал времени П.,СС0 (17.» I, целое) , за который происходит ровно П столкновений.
Два типа воздействия решетки на движение ионов в неупорядоченных направлениях
Актуальность предлагаемых методов связана с двумя традиционными постулатами классической теории каналирования. Во-первых, это принцип непрерывного приближения и его обобщение (по продольной координате усредняются и потенциал и диффузионные коэффициенты). Второй постулат предполагает достижение статистического равновесия в поперечном фазовом пространстве: по истечении некоторого времени распределение зависит от поперечных переменных через поперечный гамильтонианj
При всей разнице статистических и динамических свойств, лежащих в основе этих двух допущений, их объединяет одно существенное в кинетической теории обстоятельство. В обоих постулатах утверждается, что при соответствующем сужении фазовой области можно получить замкнутое уравнение для функции распределения меньшего числа фазовых переменных.
Пусть мы хотим получить уравнения для функций где Z - продольная координата,ОСо. - совокупность поперечных переменных, \\± - поперчный гамильтониан. Очевидно, буквальное содержание приведенных постулатов сразу приводить к желаемому результату. Однако, кинетические уравнения для частиц, движущихся в кристалле, не допускают точного выполнения равенств (2). То есть замкнутых уравнений для / или / мы не получим. Если же считать результат непосредственного использования (2) некоторым приближением точного (но неизвестного) уравнения, то вряд ли можно найти поправки, уточняющие это приближение. Действительно, такие поправки будут содержать в себе исходную функцию / , которая никак не выражается через / или / , так как преобразования (I) являются необратимыми . Итак, если нельзя получить точные замкнутые уравнения для /. или / , то нельзя учесть, не привлекая решение исходного уравнения, и поправки, уточняющие равенства (2). Разрешение этой проблемы, по-видимому, связано с предварительньм преобразованием функции распределения / , автоматически приводящим к равенствам (2) с заданной точностью. Таким преобразованием и будет выступать временное усреднение. Причем, "платой" за разрешение проблемы будет уменьшение количества и качества информации. Измерение физических величин в экспериментах всегда содержит в себе момент усреднения по некоторому интервалу времени Л С . Уверенность в том, что измеренная таким образом величина соответствует своему точному аналогу, основывается на предположении малости изменения точной величины за интервал At. Можно добавить, что физическое значение дифференциала dt ограничено снизу интервалом A L . Уравнения, описывающие исследуемый процесс, также являются приближенными в смысле "огрубления" временной эволюции. Однако , верхняя грань математического значения u С может быть меньше чем ЛL. То есть процесс может содержать нестационарности, характеризующиеся интервалом О t Д L , В этом случае теория дает больше информации, чем может (или хочет) исследовать экспериментатор. В теории кинетических уравнений, таким образом, вырисовывается следующая проблема. Пусть распределение сзпцественно меняется за интервал усреднения . Встает вопрос: в какой фазовой области и для каких динамических величин мы можем оперировать усредненной функцией Иначе говоря, ищется фазовая область Li и класс функций г\ таких, что с заданной точностью Разрешение этой прблемы мы свяжем с выделением метрически неразложимых областей из фазового пространства. х0бласть, которую нельзя разложить на две инвариантные части, называют метрически неразложимой. Инвариантной частью фазового пространства называют область, любая точка которой остается в ней в течение рассматриваемого промежутка времени. Мы будем ограничиваться областями ненулевой меры, исключая из рассмотрения счетные множества точек или сечений . Не претендуя на строгость, рассмотрим качественную связь асимптотических свойств кинетических уравнений и метрических свойств фазового пространства. Пусть уравнение, описывающее процесс движения частиц в стохастической среде в течение времени 1 , задано в некоторой фазовой области .
Осевое каналирование в энергетическом представлении. Диффузионные коэффициенты
Если в разложении Къ }=№у)+8& 1+... при расчете их = fy -Zj не прибегать к малоугловому приближению, то в соответ-ствующем представлении J0i в дифференциальный ряд расходимос-теи не будет. И естественен вопрос: можно ли в этом ряду ограничиться первыми членами? Ответ на него зависит от степени неоднородности распределения ионов, в частности, по направлениям скоростей - т.е. угловой разрешимости0,3(1 д?)» 4eBnflH при Ы0 - 0 будет возрастать роль членов с высшими производными. Анализируя величины коэффициентов точного дифференциального ряда, можно прийти к следующим оценкам. При главным можно считать первый член (301 - О 1 ). Если то следующим по порядку малости ЯВЛЯЕТСЯ второй член, Установ-ление дальнейшей иерархии затруднительно. На практике й 10 и 94 1 S2 5 . Ясно, что "размазывание" (10) практически выводит из рассматриваемого круга ориентационные эффекты. 2. Расщепление Фазового пространства. Каналирование. Итак, пользоваться уравнением типа Фоккера-Планка во всей фазовой области G (т.е. для произвольных процессов движения быстрых ионов в кристалле) мы не можем, если хотим различать небольшие углы в направлениях движения. Б то же время локализо-ванность атомов около узлов решетки позволяет достаточно строгим образом определить инвариантные и метрически неразложимые подобласти, в которых разложение J02 в дифференциальный ряд сходится намного более быстрее (для JL И С4 Дстаточно корректны приближения (3) во всей области G ). Пренебрегая пространственной диффузией, представим J0 / в форме, в которой явно выделены члены наиболее специфичные по своему вкладу, Член Q [ определяет детерминированный процесс движения частиц в среднем поле кристалла W( S). В J.. / из-за множителя _г(?-ф" Г ( 2 )J вклад близких столкновений мал и его разложение быстро сходится. Медленно сходящиеся члены содержатся в аморфном приближении ИС JdM / . Очевидно исходным условием для определения искомой области должно быть требование Однако величина !] 1 может быть сравнимой и даже на поря док большей, чем J ix І Т.е. из (14) с необходимостью сле дует или, учитывая локализованность атомов около узлов,\& Нр\ ІІг=\І2 Uj . В последней форме (недоступность узлов решетки) мы имеем заранее очевидное условие. Сказанным выше лишь обосновывалось его необходимость и достаточность и теперь важно сформулировать это условие на языке инвариантов движения. При этом нужно рассмотреть все возможности такого ин вариантного определения, чтобы попутно найти весь набор изоли рованных (точнее, почти изолированных) состояний частиц. В искомой области дифференциальный ряд по определению сходится с первых же членов. Т.е. первичные эффекты определяются траекторией в среднем поле кристалла, а вторичные (диффузионные) эффекты сказываются в слабом расгошвании траектории (отсутствуют скачкообразные переходы), что приводит к медленному изменению инвариантов первичного процесса. Поэтому можно записать наше условие в траекторном приближении: и искать интегралы движения в поле W(?)» с помощью которых определяются соответствующие (15) инвариантные фазовые области. Прежде всего отметим, что в случае притяжения (min.W( 3 )=W(R )) условие (15) не выполнимо. Далее будем считать W(Rp)=rncixW(,2). Первым интегралом является полная энергия Е= +W(3) и при Е W(U2\ U2I = 2 } условие (15) выполняется. Однако у нас E- W(Rff) и нужно искать другие инварианты. В Приложении 9 подробнее рассмотрена задача движения частицы в слабом (С»\Л/(ъ) ) периодическом поле кристалла. Новые интегралы возникают лишь в случаях, когда направление движения лежит вблизи кристаллографических направлений ПЕ (далее оси, обозначаемые через единичные вектора Ґ12,Гі„,... считаются кристаллографическими). Этими интегралами являются поперечные энергии. Прежде всего это энергии соответствующие поперечной плоскости ( p- -(X,L) ).
