Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Канонический ф0рїлализм в электродинамике . ограниченных кристаллов 18
1.1, Различные формы гамильтониана взаимодействия излучения с веществом 18
1.2. Гамильтоновский метод в электродинамике сплошной среды 23
1.3. Квантовый подход. Выбор модели и приближения 27
1.4. Преобразование Гепперт-Майер 33
1.5. Выводы 36
ГЛАВА II. Поляритоны в ограниченных кристаллах 37
2.1. Диагонализация гамильтониана квантованного электромагнитного поля, взаимодействующего с ограниченным кристаллом. Граничные условия 37
2.2. Нормальные моды системы "кристаллическая пластинка + поле излучения". Качественное рассмотрение 44
2.3. Поляритоны в изотропной плоскопараллельной пластинке 49
2.4. Классификация процессов в пластинке 57
2.5. Выводы 61
ГЛАВА III. Теория нелинейных оптических в ограниченных кристаллах 62
3.1. Оператор нелинейного взаимодействия поляритонов . 62
3.2. Нелинейные эффекты в плоскопараллельной пластинке 66
3.3. Расчет тензора нелинейной поляризуемости молекулярных кристаллов . 71
3.4. Выводы , 79
ГЛАВА ІV. Проявление электрооптйческого механизма в рассеянии света 81
4.1. Теория рассеяния света на внутримолекулярных колебаниях 82
4.2. Рассеяние света на межмолекулярных колебаниях с учетом деформации молекул 87
4.3. Электрооптический эффект в релеевском рассеянии света 92
4.4. Выводы 100
Заключение . 102
Литература
- Гамильтоновский метод в электродинамике сплошной среды
- Нормальные моды системы "кристаллическая пластинка + поле излучения". Качественное рассмотрение
- Классификация процессов в пластинке
- Расчет тензора нелинейной поляризуемости молекулярных кристаллов
Введение к работе
Большие успехи в спектроскопии поверхности, интегральной и волноводной оптики, в создании тонкопленочных покрытий с заданными нелинейными свойствами делают актуальным изучение ограниченных кристаллических структур и поиск новых механизмов рассеяния. Все это требует адекватного описания в рамках,кристаллооптики.
В литературе, изучающей оптические, процессы, существует три теоретических метода, отражающих градацию уровней описания взаимодействия излучения с веществом: . феноменологический , полуклассический и поляритонный. Рассмотрим их более подробно.
I. Феноменологический подход основан на использовании уравнений Максвелла с токами и зарядами. Последние представляют собой непрерывные или кусочно-непрерывные функции координат и выра-жаются через усредненные макроскопические поля t и п с помощью так называемых материальных соотношений. Процедура усредне-ния полей и токов или же эквивалентных им поляризаций Р и п не входит в задачи феноменологической теории, она изучается на более глубоких уровнях описания. Феноменологическая же теория занимается исследованием самых общих свойств материальных констант.
Так опираясь на кристаллографическую симметрию, она позволяет найти форму тензоров линейной и нелинейной поляризуемостей [i-4 ] .Широко используются соотношения Крамерса-Кронига между вещественной и мнимой частями восприимчивости [i] , а также некоторые идеи термодинамики: симметрия кинетических коэффициентов Онзагера и флуктуационно-диссипационная теорема (ЗЗДГ) [ 5,6 J
Так с помощью ФДГ удалось найти сечение рассеяния света на объемных и поверхностных модах с учетом диссипации энергии [7J. Когда же диссипативными процессами в кристалле можно пренебречь, наряду с аппаратом, основанном на Щ, можно воспользоваться тео- рией возмущений с эффективным.гамильтонианом взаимодействия. Он представляет собой свертку амплитуды электрического поля, найденной в результате решения Максвелловских уравнений, с тензором нелинейной поляризуемости [8] . Аналогичным образом вводится эффективный гамильтониан, приводящий к комбинационному и релеевско-му рассеянию света [і ] . Эти расчеты по существу являются феноменологическими, поскольку гамильтониан здесь не выводится из первых принципов и правомочность этого метода вытекает лишь из соответствия с результатами,, полученными другими методами, в частности, методом ЗВДГ..
Если амплитуды поля являются квантованными, то с помощью эффективного гамильтониана удается описать такие тонкие эффекты, как антикорреляция фотонов [9,10J в параметрическом рассеянии света. Сама же проблема квантования электромагнитного поля в рамках феноменологической теории нетривиальна. Она изучалась в работах [2,11-14] , где основная идея сводилась к разложению поля в ряд Ззурье и последующей замене амплитуд поля операторами с бо-зонными коммутационными соотношениями.
Энергия поля в рамках этого метода используется лишь для нахождения нормировочной константы в разложении полевых переменных, но не: выступает как функция гамильтона, зависящая от канонических координат и импульсов, как это осуществляется в последовательной теории квантования [l5,I6j . Строго говоря, канонические переменные - координаты и импульсы, в феноменологической теории не определены и поэтому квантование поля в ее рамках представляется формальной процедурой.
Другим недостатком описанной выше схемы квантования поля является ее неконструктивность и отсутствие в ней какого-либо эвристического элемента. По существу, она приспособлена лишь для описания трансляционно-инвариантных сред и не указывает хотя бы ка- чественно, каких-либо путей для обобщения на случай ограниченных кристаллов.
Отсутствие последовательной гамильтоновской формулировки феноменологической электродинамики' связано с тем, что благодаря использованию диэлектрической проницаемости lJ , уравнения Максвелла относительно времени оказываются интегральными. Гамильтонов же формализм имеет дело с дифференциальными уравнениями.
2. Первой ступенью к более глубокому пониманию принципов взаимодействия излучения с веществом является полуклассическая теория. Подобно феноменологической теории, она основана на использовании макроскопических уравнений Максвелла. Однако вместо материальных соотношений в ней фигурирует уравнение Шредингера с внешним полем, где оператор взаимодействия выбирается либо в виде произведения тока на векторный потенциал, либо - напряженности поля на поляризацию. Связь между этими гамильтонианами устанавливается посредством канонического преобразования Гепперт-Майер [l?J . Весьма обстоятельное изложение этого вопроса содержится в монографии [l8] .
Поскольку в полуклассическом подходе электромагнитное поле описывается неоператорными уравнениями Максвелла, то в его рамках не удается описать эффекты антикорреляции фотонов, исследовать тепловые и статистические свойства электромагнитного поля.
Существует три разновидности полуклассического метода, первая из которых изучает отклик кристалла на поперечное макроскопическое поле, вторая - на полное макроскопическое поле и третья -на действующее или локальное поле. Соответственно, в первом случае гамильтониан среды содержит мгновенное кулоновское взаимодействие как ближайших, так и далеких соседей. Возбуждения среды, в гамильтониане которой полностью учтена кулоновская энергия, обычно называются кулоновскими [19 J или шредингеровскими экситонами [20] .
Если же из полной кулоновской энергии вычесть энергию макро- скопического.поля,-а ..оставшуюся часть.включить в гамильтониан среды, то возбуждения..с учетом неполного, кулоновского взаимодействия называются механическими экситонами . Еш] и представляют собой базис, удобный для нахождения отклика системы на полное макроскопическое поле.
И, наконец, в третьем подходе оператор энергии среды представляет сумму гамильтонианов отдельных молекул. При этом поле, действующее на Y) -ю молекулу создается как внешними источниками, так и всеми частицами среды за исключением данной. Поэтому в области, где находится И -ная молекула, действующее на нее поле удовлетворяет уравнению Д^ламбера.
Метод действующего поля наиболее удобен для описания молекулярных кристаллов, т.е. в тех случаях, когда волновая функция среды может быть факторизована и представляет собой произведение волновых функций отдельных молекул. Условия применимости метода действующего поля (МДП) и модели экситона Френкеля совпадают. Это утверждение подтверждают работы [2I,22j , где в первой из них показано, что такое специфическое явление как Давыдовское расщепление в спектрах молекулярных кристаллов, впервые получившее объяснение на основе концепции экситона, может быть также объяснено в рамках ВДП. Для этого необходимо лишь обобщить формулу Лоренц-Лорентца на случай кристалла с несколькими молекулами в элементарной ячейке. В работе JJ22J решена обратная задача: выражение для восприимчивости кристалла, полученное на основе модели экситона Френкеля , путем алгебраических преобразований приведено к произведению поляризуемости изолированной молекулы на тензор действующего поля, т.е. по существу получена формула Лоренц-Лорентца.
При изучении нелинейных поляризуемостей в рамках ВДІ Блом-берген показал, что тензор нелинейной поляризуемости кристалла выражается через аналогичную характеристику молекулы, свернутую с тремя коэффициентами.действующего.поля- [23] . Как отмечалось в работе 1_24J , результат этот справедлив при условии, что нелинейная часть поляризации значительно меньше линейной. идеи метода действующего поля могут быть применены и к изучению оптических свойств ограниченных кристаллов. Для дальнейшего обощения МДП требуется не дифференциальная формулировка электродинамики, а интегральная, согласно которой напряженность полей Е и Н , а также их градиенты выражаются с помощью гриновского оператора через поляризацию среды \%5\ . Применение интегральных уравнений к задаче о взаимодействии света с полубесконечной средой привело к теореме погашения Эвальда-Озеена , следствиями которой являются законы отражения-преломления света на плоской границе р раздела и соотношение Лоренц-Лорентца. Теорема погашения используется также для задач рассеяния света [25J и нелинейной оптики |_23] , а также для изучения неоднородных волн [26] .
В тех случаях, когда не удается выделить структурную единицу кристалла, внутри которой локализовано возбуждение- это может быть экситон Ванье-Мотта [27 ] или экситон промежуточного радиуса [28J ,- изучают отклик на макроскопическое поле, а не на действующее. Разумеется, отклик системы на макроскопическое поле может бтъ 'Изучен и в рамках модели молекулярного кристалла [29J .
Во многих работах, посвященных вычислению поляризуемости кристаллов, не оговаривается, полное или поперечное макрополе выступает в качестве возмущения [30,3IJ . Хорошо известно, однако, что в теории линейного отклика восприимчивости системы, найденные как отклик на полное и поперечное поле отличаются друг от друга. В первом случае они содержат полюса на частотах механических эк-ситонов, а во втором - на кулоновских Г19J , Связь между двумя типами восприимчивостей бесконечных кристаллов изучалась в работах [19,32] .
Тем не менее для.ограниченных кристаллов более удобным пред ставляется изучение отклика на полное макрополе [32] , которое используется в феноменологической теории, при этом функция откли ка аналитически зависит от волнового вектора . Именно это обстоятельство делает наиболее простым переход от дан ного варианта полуклассической теории к феноменологии.
Следует однако отметить, что число работ, посвященных расчету восприимчивостей кристалла на полное макрополе невелико (см. соответствующие ссылки в L2J ), а нелинейной, для анизотропных кристаллов,- вообще нет.
Наиболее последовательный расчет нелинейной восприимчивости в экситонной области спектра методом отклика на поперечное поле осуществлен в работе [34J . Однако в ней не принят во внимание очень важный и тонкий вопрос, связанный с так называемым энгармонизмом в кулоновской подсистеме [35] Формально его можно обойти [36 J , если с самого начала оперировать точными волновыми функциями кристалла , в которых содержится информация об энгармонизме. Однако для расчетов предпочтительней использовать экситон-ные волновые функции, которые являются собственными состояниями квадратичного гамильтониана. Более того, неясно как можно учесть кулоновский ангармонизм.в рамках метода отклика на поперечное пола
Линейная функция отклика на поперечное поле описывается тензором j_ , который для трансляционно-инвариантных сред является неаналитической функцией волнового вектора, а для ограниченных кристаллов - интегральным оператором. Ясность в вопросе об отклике полубесконечного кристалла, в котором полностью учтено кулонов-ское взаимодействие, была достигнута сравнительно недавно в работах [37] , где было показано, что в состав возмущающего поля необходимо включить неоднородную волну с равным нулю квадратом волнового вектора -"утерянную" волну.
При переходе же от кулоновских экситонов лолубесісонечного кристалла к механическим в качестве возмущающего, следует брать полное макрополе, из которого "утерянная" волна выпадает.
Отсюда следует, что для описания ограниченных кристаллов более предпочтителен базис механических экситонов, так как при этом не требуется введения новых понятий по сравнению с теми, которые существуют в феноменологической теории. С другой стороны механические экситоны так же, как и макроскопическое продольное поле, можно однозначно определить при малых |]| , т.е.. практически в центре зоны Бриллюэна. При произвольных же. волновых, векторах более предпочтительным является базис кулоновских экситонов, которые представляют собой хорошо определенные состояния кристалла.
3. Истинными состояниями системы являются не механические или кулоновские экситоны, а . смешанные экситон-фотонные моды - поляри-тоны. Вдали от центра зоны Бриллюэна нижняя ветвь поляритонов асимптотически приближается к ветви кулоновских экситонов, а верхняя -к ветви поперечных фотонов.
С квантовомеханической точки зрения поляритоны возникают в результате диагонализации гамильтониана системы поперечных фотонов, взаимодействующих с кулоновскими экситонами. Однако впервые поляритонный закон дисперсии был получен при изучении динамики решетки [38,39 *67] путем решения совместной системы классических уравнений движения для электромагнитного поля и смещений ионов. Квантовое решение задачи было получено позднее в работах J40-42J . Совпадение результатов классического и квантового расчетов объясняется тем, что решения линейных гейзенберговских уравнений движения имеют такой же вид, что и решения соответствующих классических уравнений. Эта идея легла в основу квантовой теории нормальных электромагнитных волн в плоскопараллельной пластинке, разработанной В.И.Сугаковым еще в 1966 году . - II -
Но поскольку даже полуклассическая теория взаимодействия поперечного электромагнитного поля с ограниченным кристаллом была развита корректно лишь в 80-е годы [37] , то в работе Г43І была сформулирована лишь принципиальная сторона вопроса. Она заключалась в том, что поляритонная мода представляет собой в ограниченных кристаллах не одну плоскую волну, а комбинацию падающей, отраженной и прошедшей волн. В связи с тем, что при нормальном падении света на кристалл полное макроскопическое поле совпадает с поперечным, а кулоновское поле, созданное сеткой диполей [44,45,45] , экспоненциально убывает с расстоянием, в работе [43] был исследован именно этот случай. Квантовые состояния для наклонного падения света, а также волноводные и поверхностные моды описаны не были. Было также неясно, как следует применять предложенные в [43] решения для расчета оптических процессов в плоскопараллельной пластинке.
Следующий шаг в разработке этой теории был сделан в работе Бирмана с сотрудниками [47J , где была использована аналогия с теорией рассеяния.
Как известно, в теории рассеяния [48,49^ начальное состояние описывается суперпозицией падающей плоской волны и расходящейся сферической , а конечное - суперпозицией сходящейся сферической и уходящей плоской волны. Эти состояния не являются линейно независимыми и образуют два базиса в гильбертовом пространстве. Первый из них принято называть ІАЯ -базисом, а второй - WL-базисом. Оператор, связывающий эти два базиса, играет фундаментальную роль в теории столкновений и квантовой теории поля. Это матрица рассеяния или р-матрица |ш1 .
В работе |47] начальное состояние описывалось совокупностью падающей, прошедшей и отраженной волн, а конечное - двумя падающими с двух сторон волнами и одной уходящей. Хотя такой выбор, подека - занный аналогией с теорией рассеяния, является, несомненно, правильным, аргументация авторов [47J представлена не вполне убедительной и ясной.
Важный вклад в понимание этого вопроса внесла работа В.М.Аграновича и Т.А.Лесковой [8J , где один процесс (комбинационное рассеяние света на поверхностных поляритонах) изучался двумя способами; квантовомеханически, с использованием Ьа и ои -состояний, и методом, основанном на ЗЗДГ. В этой работе термодинамические концепции позволили сделать правильный выбор начального и конечного состояний.
Этот выбор можно сделать и не выходя за рамки квантовой теории, необходимо лишь привлечь глубокие»и оригинальные идеи, сформулированные в монографии [50} о том, что начальное и конечное состояния не являются стационарными,.а представляют собой волновые пакеты, которые являются суперпозицией стационарных состояний. При t-^-co волновой пакет, составленный из ІУІ -состояний с близкими значениями волновых векторов движется по направлению к плоскопараллельной пластинке, причем главный вклад в амплитуду пакета вносит падающая-, волна, а вклад * от расходящихся волн исче-зающе мал. Последний, будет существенным-лриХ-> оо.
В случае- Owi-состояний будет иметь место.обратная ситуация: при t -* - ОО с двух сторон к пластинке приближаются два волновых пакета, а при t -* оо удаляется один, унося всю энергию излучения.
В настоящее время не разработана поляритонная микроскопическая теория нелинейных оптических процессов в ограниченных кристаллах. Это связано с тем, что нелинейная оптика главным образом развивалась в рамках феноменологической теории. Если же в задаче существенную роль играли квантовые свойства света, то в таких случаях прибегали за помощью к эффективным гамильтонианам [9,10,511 , - ІЗ - в которых параметрами служили нелинейные восприимчивости, вычисленные полуклассическими методами.
Впервые вид оператора нелинейного взаимодействия поляритонов в безграничном кристалле без привлечения идей феноменологической и полуклассической теории был установлен в работе Л.Н.0вандера[35]. Матричные элементы оператора нелинейного взаимодействия в поляри-тонном представлении включали в себя слагаемые, связанные как с ангармонизмом, идущим от взаимодействия кристалла с поперечным полем, так и с кулоновским ангармонизмом. Они однако были весьма громоздкими и привести их к виду, удобному для конкретных расчетов и для сравнения с полуклассическими результатами не удалось.
Заметим, что вопрос о сопоставлении поляритонной теории, предложенной в [зб] и развиваемой позже в работах [52-54І с результатами феноменологической и полуклассической теории имеет принципиальное значение, так как он позволит выяснить, не теряется ли при переходе от микро- к макроописанию какая-либо информация. Обсудим состояние этого вопроса.
В работе [52] , посвященной расчету тензора нелинейной поляризуемости (ТНП) поляритонной системы методом отклика на сторонние токи [55] , было показано, что тензор нелинейной восприимчивости удается привести к известной полуклассической форме, содержащей резонансные знаменатели на частотах кулоновских эксито-нов, если в матричных элементах опустить слагаемые, ответственные за кулоновский энгармонизм и положить скорость нормальных волн в среде равной скорости света. При менее грубых предположениях, а именно при неравном единице показателе преломления, удалось воспроизвести эти результаты в работе [53] . Неясным оставался вопрос о роли кулоновского ангармонизма в нелинейной поляризуемости и о соотношении с методом действующего поля, в рамках которого расчет ТНП был проведен в [2з] , а также вопрос о структуре ТНП в анизотропных кристаллах, где частоты механических и кулоновских экситонов различны.
Располагая имеющимися в литературе данными, мы видим, что внутренняя логика изложенных выше вопросов требует разработки последовательной микроскопической поляритоннои теории рассеяния света в ограниченных кристаллах , а также ее сопоставления с феноменологической и полуклассической теорией. Это составляет цель настоящей диссертации.
Один из возможных способов ее реализации состоит в преобразовании исходного микроскопического гамильтониана к такой форме, где поперечное и продольное макрополя выступают на равных основаниях и выделение эффектов локального поля осуществляется автоматически.
Обсудим трудности, с которыми связано такое преобразование гамильтониана. Они основаны на заблуждении, состоящем в том, что от полуклассической к квантовой теории достаточно сделать всего один шаг: к энергии кристалла, на который действует внешнее поле, прибавить гамильтониан поперечных фотонов.
На самом деле необходимо сделать и второй шаг, который должен состоять в проверке, удовлетворяет ли таким образом сконструированный гамильтониан уравнениям Максвелла.
Как показано в работе Мандела [5б] , подобная процедура имеет место лишь когда оператор взаимодействия с поперечным полем взят в виде произведения тока на векторный потенциал. Если же в качестве гамильтониана взаимодействия выбрать произведение оператора дипольного момента на напряженность поля, то раскрытие скобок Пуассона приводит к уравнениям поля, отличным от Максвеллов-ских. Работа J56"] вызвала дискуссию, изложенную в публикациях Гб7І , см. также работы [58] » ЕД бшо показано, что полуклассическому взаимодействию типа - dt в последовательной квантовой теории должен соответствовать гамильтониан, в котором каноническим импульсом служит не напряженность поля Е , а индукция К) . В последнем случае напряженности поперечного и про-дольного полей определяются в виде разности й-471 г соответствующих компонент векторов индукции 0 и поляризации среды Р . Это обстоятельство проливает свет на пути построения гамильтонов-ской электродинамики, в которой выступают равноправно продольное и поперечное поле.
Изложенная идея впервые была реализована в работах [59-.61] , посвященных расчету восприимчивостей в поляритонной теории, а в работе \р2\ было показано, как можно ее обобщить на случай трансляционно неинвариантных сред. Этот материал составляет содержание первой главы диссертации.
В следующей главе.рассматривается конкретное применение этих идей к задаче о диагонализации,,гамильтониана, системы, состоящей из квантованного электромагнитного поля, взаимодействующего с ограниченным кристаллом, где в явном виде показано, что амплитуды, приводящие исходный оператор энергии к нормальной канонической форме, удовлетворяют феноменологическим уравнениям Максвелла, в которых фигурирует полное макрополе. В этой же главе найден полный набор состояний данной системы, который содержит совокупность радиационных поляритонов и нерадиационных: волноводных и поверхностных.
Нам представляется чрезвычайно важным то обстоятельство, что поправка к гамильтониану, предложенному в первой главе, обусловленная энгармонизмом или деформацией решетки, пропорциональна произведению напряженности действующего поля на изменение поляризации Hurt= ~ UV Sr Е** . Поскольку оператор действующего поля представляет собой суперпозицию операторов поперечного и кулонов-ского полей, то в нем содержится информация о кулоновском ангармо-низме.
В III главе проводится расчет коэффициентов кубического энгармонизма, которые удалось представить в компактном виде свертки трех амплитуд действующего поля с нелинейной восприимчивостью молекулы. Там же рассматривается проблема вычисления полного ТНП анизотропного кристалла методом отклика на сторонний ток и найденное выражение впервые сопоставлено с полуклассическим результатом, а также рассмотрены некоторые вопросы теории нелинейного взаимодействия поляритонов в плоскопараллельном кристаллическом слое.
В: четвертой главе изучается общее проявление эффектов локального поля и линейного электрооптического эффекта в рассеянии света. Рассмотрено релеевское рассеяние света в кристалле с дефектами за счет электрооптической модуляции'Случайным электрическим полем поляризуемости кристалла. Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе суммируются в разделе Заключение.
Сформулируем основные положения, выносимые на защиту.
Развит канонический формализм для описания взаимодействия поля излучения с пространственно неоднородными средами на основе модели молекулярного кристалла. Методом унитарного преобразования Гепперт-Майер гамильтониан системы "ограниченный кристалл + поле излучения" приведен к форме, где каноническими переменными поля являются векторный потенциал и индукция : A_l , 0.
Показано, что процедура диагонализации гамильтониана системы "ограниченный кристалл + поле излучения" математически эквивалентна решению уравнений Максвелла с учетом граничных условий и уравнения, связывающего поляритонные амплитуды поляризации и действующего поля. Установлено, что полный набор решений этой системы содержит радиационные моды и нерадиационные: волноводные и поверхностные.
В результате выделения слагаемых кубического ангармонизма, получена компактная форма оператора взаимодействия n.±=jdvbP-L , содержащего информацию как о кулоновском, так и за счет взаимодействия с поперечным полем энгармонизме и таким образом учитывающем эффекты действующего поля. На основе полученного оператора п ілі развита теория нелинейного взаимодействия поляритонов в ограниченном кристалле.
4.Впервые получено методом отклика на сторонние токи точное выражение для полного тензора нелинейной поляризуемости анизотропного кристалла. в компактной форме, благодаря чему удалось провести сопоставление с результатами полуклассической теории.
5.Изучены проявления электрооптического механизма в комбинационном и релеевском рассеянии света в плоскопараллельной пластинке и получено, наиболее общее, соотношение,- связывающее тензоры КР изолированной молекулы и кристалла.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ ДонЗэТИ АН УССР по темам: "Изучение рассеяния света кристаллами в окрестности полосы поглощения"(номер государственной регистрации Р777036036), "Теория взаимодействия кристаллических возбуждений между собой и с дефектами кристалла" (№81061875), "Влияние экстремальных напряжений и магнитных полей на распространение электромагнитных волн оптического диапазона в молекулярных кристаллах" (Н95036037).
Гамильтоновский метод в электродинамике сплошной среды
Гамильтоновский метод в электродинамике сплошной среды Опираясь на идеи предыдущего парграфа, рассмотрим гамильто - 24 новскую формулировку уравнений феноменологической электродинамики, в которой не учитывается частотная дисперсия. Это соответст -вует тому, что дипольные моменты частиц среды безынерционно следуют за полем и в связи с этим в лагранжиане вещества не содержится кинетической энергии [б?] .
Для простоты будем учитывать лишь электрические и магнитные дипольные возбуждения среды, пренебрегая высшими мультиполями.
В качестве исходного рассмотри лагранжиан (І.І.20), полагая, что сторонние токи и заряды равны нулю: а в лагранжиане вещества, L w мы должны опустить кинетическую энергию, зависящую от Р и К и сохранить потенциальную,: как функцию обобщенных: координат, р и М . Ограншшваясь.гслагае-мыми, квадратичными по координатам, -запишем лагранжиан среды где смысл коэффициентов ol , ь , у будет виден из дальнейшего.
Необходимо иметь в виду, что если среду описывать как систему точечных диполей, то при использовании лагранжиана (I.I.20) в уравнениях движения будут появляться расходящиеся слагаемые. Это обстоятельство приводит к необходимости регуляризационной процедуры [68] .
В континуальном приближении расходимостей нет, однако для соблюдения принципа соответствия при переходе от дискретного описания к модели сплошной среды, необходимо к лагранжиану С1.2,1) добавить контрчлен выбор которого продиктован тем, чтобы в статическом пределе лагранжиан взаимодействия вещества с полем сводился к суілме кулонов-ских энергий электрических и магнитных диполей.
Поскольку лагранжиан (1.2,2) не зависит от скоростей и в связи с этим канонические импульсы ЪвС/Ър и йЭС/Ь М неопреде лены, то координаты Р и И можно выразить через Е и "Я из условий связи, которые получаются с помощью (I.2.I) - (1,2,3):
Подобные преобразования широко используются в теории магнитных зарядов Гб9 ) , где показано, что путем дуального поворота можно прийти либо к чисто электрической, либо к чисто магнитной системе уравнений. Применительно к формуле (Г.2.6) дуальная симметрия означает, что матрица, стоящая при 6-ти векторе/р Н) в уравнениях Максвелла сохраняет свой вид при. этих преобразованиях.
Не представляет принципиальных трудностей обобщить изложенный метод для анизотропных многокомпонентных неоднородных сред. Для этого необходимо считать величины оС , & , Y тензорными. По смыслу они представляют собой обратные поляризуемости молекул. Если кристалл имеет сложную структуру и состоит из нескольких под-решеток, то необходимо для каждой подрешетки ввести свою поляризацию и свои тензоры Л , (Ъ , у ; в случае неоднородной среды они являются функциями координат.
Для немагнитных веществ ЙГ s D , Y-D ив этом случае можно ввести диэлектрическую проницаемость с помощью которой можно привести выражение для энергии поля в среде к известному виду
Параметр оС в рамках изложенного подхода является феноменологическим и его величина может быть оценена в микротеории. Более того, оказывается, что этот параметр зависит от частоты и вол нового вектора и информацию об этом можно извлечь только из микроскопического анализа. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением немагнитных сред, полагая М =0 Квантовый подход. Выбор модели и приближения.
Модель среды, рассмотренную, в предыдущем параграфе, можно описать более детально = с позиций-квантовой, теории. Для этого необходимо записать гамильтоновский оператор молекулярного кристалла, взаимодействующего, с, квантованным..электромагнитным полем , который состоит из четырех.слагаемых:.первые два описывают свободное электромагнитное поле и систему, невзаимодействующих молекул, третье - кулоновское взаимодействие, а четвертое - взаимодействие молекул с поперечным электромагнитным полем здесь яГо - объем элементарной ячейки, \х)0 - плазменная частота. Перейдем ко вторично-квантованному представлению гамильтониана (1.3.1) и оператора дипольного момента а . Полагая, что в кристалле возбуждается малая часть молекул, т.е. амплитуда возбуждения молекулы много меньше единицы, проквантуем эти амплитуды по Бозе [l9]
Нормальные моды системы "кристаллическая пластинка + поле излучения". Качественное рассмотрение
Анализ системы (2.1.15) и (2.1.19) весьма сложен и в общем случае не может быть проведен. Однако для однородной среды, пере — ходя к фурье-трансформантам 1 ()и ЕЛ(Д) , получим
Тензор, связывающий РА с ЕА » представляет собой линейную поляризуемость кристалла, зависящую от j . Для неоднородной среды, в частности, для ограниченного кристалла, поляризуемость описывается интегральным оператором структура которого определяется рядом факторов, связанных как с формой интегрального ядра так и с особенностями приповерхностного слоя.
Асимптотика решений системы (2.1,15).,(2.1.19) вдали от границы представляет собой линейную комбинацию плоских волн. В вакууме или в среде без пространственной дисперсии число волн с заданной частотой и проекцией волнового вектора на плоскость границы раздела равно четырем (две падающие волны, различающиеся поляризацией, и две отраженные). В кристалле их может быть больше -появляются так называемые добавочные волны [20] . Между асимптотическими значениями амплитуд плоских волн, распространяющимися внутри и вне кристалла, существуют линейные соотношения, вид которых определяется быстротой убывания интегрального ядра Т , что и составляет несколько постоянных решетки - величину малую по сравнению с длиной световой волны. В силу этого границу можно считать резкой, а асимптотические решения сшить.
Условия сшивания представляют собой граничные условия, которые удобно разбить на две группы. Одну из них обычно называют максвелловскими граничными условиями -МГУ, которые вытекают из анализа уравнений (2.1.15). Другую группу называют дополнительными граничными условиями - ДГУ, которые следуют из (2.1.19).
На граничном слое №4 цепочка обрывается. Мы предположим, что матрица резонансного взаимодействия Т между всеми слоями остается неизменной, но поляризуемость молекул в слое с hM от-личается от 36А . Для граничного слоя вместо .2.1.26) запишем и представим это уравнение в следующем виде:
Поскольку решение системы (2.1.15),(2.1.19) в глубине кристалла представляется в виде линейной, комбинации плоских волн, чтобы данное решение имело место и для первого.слоя, необходимо положить добавку,к "идеальному" уравнению в (2.1.28) равной нулю:
Заметим, что изменение тензора поляризуемости молекул на поверхности может быть вызвано радом причин, одна из которых состоит в отличии статического кристаллического поля, действующего на граничную молекулу, от кристаллического поля внутри образца. В этом случае имеет место штарковское расщепление уровней молекул на поверхности.
В заключение параграфа найдем условие нормировки для ампли-туды Ее удается выразить через тензор диэлектрической проницаемости в двух случаях: либо когда среда трансляци-онно инвариантна, либо в случае отсутствия пространственной дисперсии.
Соотношение (2.1.32) представляет собой искомое условие нормировки, которое эквивалентно феноменологическому выражению для энергии поля в диспергирующей среде, полученному Бриллюэном в 1921 году ( соотношение (80.12) в [l ).
В зависимости от величины следует различать два основных класса решений. Если 4- D , то Е\(г) представляет комбинацию экспонент с вещественными показателями. Чтобы удовлетворить условиям нормировки (2.1.32), необходимо в решении (2.2.4) аннулировать волны, экспоненциально возрастающие по мере удаления от поверхности ППП, тогда
Как будет показано в следующем параграфе, подобные решения возможны не при любых значениях ъ » а для некоторого дискрет ного набора частот Ь)Д(ии,С,к) [тб,77] , где И -целое число, нумерующее решения, I - толщина пластинки.
Волновые функции могут разделяться на четные и нечетные относительно плоскости, проходящей через центр ППП . В свою очередь нерадиационные поляритоны подразделяются на поверхностные и вол-новодные. Волноводные представляют собой комбинацию бегущих волн, иначе говоря, волна в пластинке испытывает- полное внутреннее отражение и не может выйти наружу [78- 80І .
Когда же внутри и вне пластинки поле изменяется экспоненциально, принято говорить о поверхностных модах [81 - 83 J . Подобное название оправдано для достаточно толстых ППП с t4» с/іщ., когда поле практически локализовано в слое порядка длины волны А " С/ЮУ вблизи поверхности. В тонких же пленках конфигурация полей в поверхностной-и волноводной модах .могут .быть схожими L78J.
Обратимся к рассмотрению случая ? \ .Согласно выражению (2.2.4) поле вне ППП представляет суперпозицию четырех волн: две из них падают, на.пластинку и.две отражаются (необходимо иметь в виду, -что.каждая, из.волн представляет сумму двух волн, отличающихся поляризацией.
Решая волновое:уравнение.с граничными условиями (2.1.24), мы можем вместо четырех амплитуд в (2.2,4) в качестве независимых ос тавить две. Полагая одну из них равной нулю, выразим оставшиеся волны через все параметры, допустим, падающей волны Е . Таким образом, нормальные моды с \ 1 можно характеризовать так же, как и плоскую волну в вакууме: амплитудой Ел » поляризацией J и волновым вектором од . Эти моды образуют непрерывный спектр, поскольку каждому значению ь можно поставить в соответствие континуум частот от D до (У) и мы в дальнейшем будем именовать радиационными
Классификация процессов в пластинке
Заметим, что при фиксированной частоте Ю область значений тангенциального вектора рефракции разбивается на две части: область непрерывного спектра при )Ь\ \ для радиационных мод и область дискретных значений для 4. При & осуществляются волноводные решения, а при г - поверхностные, причем дискретные значения jh находятся из уравнений (2,3.11) и (2,3,15) ( см. рис.Зс).
Сумма по А состоит из двух частей, одна из которых включает в себя радиационные моды, а другая - нерадиационные.
Так как радиационные состояния характеризуются теми же параметрами, что и фотоны в вакууме, то суммирование по ним должно совпадать с суммированием по фотонным состояниям. Аналогично, сумма по нерадиационным модам должна переходить в сумму по состояниям фотонов в среде, если объем образца Vo неограниченно возрастает. Указанные свойства радиационных и нерадиационных со шо выразить через шютниить оиитшшии стояний можно выразить через плотность состояний где J описывает поляризацию ( ТЕ или ТМ ), - четность состояния, а плотность о имеет вид Здесь оп ($Jw) представляет " п " -тый корень одного из трансцендентных уравнений (2.3.11),(2.3.15).
Первое слагаемое в формуле (2.3.21) соответствует радиационным модам, на рисунке Зс ему соответствует центральный круг единичного радиуса. Второе же слагаемое в (2.3.21) описывает систему концентрических окружностей с радиусом, большим единицы и определяемым из уравнений (2.3.II) и (2.3.15).
Как отмечалось в 2.3 , нормальные электромагнитные моды в ограниченном кристалле-не исчерпываются непрерывным спектром: имеют место также волноводные- и поверхностные моды, учет которых существенно усложняет классификацию процессов. Одну из возможных классификационных схем мы приведем ниже.
Разобьем все процессы на два класса: трехквантовые и двухкван-товые. Под трёхквантовым эффектом мы будем понимать упругое превращение двух- квазичастщ в одну или.распад одной квазичастицы на две, причем частоты всех квантов, участвующих в процессе, лежат в области оптического диапазона.
В двухквантовом же процессе участвуют лишь две квазичастицы с высокими энергиями. Подразделяться они могут на упругие - типа релеевского (РРС) и неупругие - типа комбинационного рассеяния света (КРС).эффекты. В чисто упругом процессе один квант превращается в другой за счет столкновения с дефектами кристаллической структуры, такими, как примеси, вакансии, дислокации и т.п. В не упругом же процессе участвуют по крайней мере три квазичастицы, однако частота одной из них много меньше двух других: это могут фононы, магноны или еще какие-нибудь квазичастицы. В экспериментальном аспекте условность разделения эффектов на упругие и неупругие связана с возможностью обнаружить сдвиг линий.
Описанная выше классификация имеет место и в идеальном кристалле. При наличии же границы, когда нельзя не принимать во внимание нерадиационные моды, количество эффектов увеличивается и их интерпретация становится более сложной. Например, если в упругом рассеянии один из квантов является нерадиационным, то превращение радиационной моды, допустим, в волноводную, можно интерпретировать как поглощение света, а обратный ему процесс - как люминесценцию.
Для того, чтобы перечислить возможные процессы взаимодействия поляритонов, удобно воспользоваться методом фейнмановских диаграмм. Кванты радиационных мод обозначим волнистой линией, нерадиационных - пунктирной, дефекты - символом Д, а низкочастотные кванты - двойной волнистой линией.
Расчет тензора нелинейной поляризуемости молекулярных кристаллов
Тензоры как функции отклика, найденные полуклассическим методом, используются в качестве материальных констант в феноменологических уравнениях Максвелла, которые описывают полное макрополе, т.е. поле, содержащее как продольную, так и поперечную компоненты. Поскольку продольное электрическое поле представляет один из способов описания кулоновского взаимодействия в системе, то функция отклика на полное макрополе должна содержать информацию о гамильтониане системы, в которой длинноволновая часть кулоновского взаимодействия отсутствует, а нелинейная поляризуемость содержит полюса на частотах механических экситонов.
Расчет ТНП в системе механических экситонов в литературе не проводился . В большинстве случаев исследовался нелинейный отклик на поперечное поле Ь [34] и предполагалось,что кулоновское взаимодействие в системе учтено точно. G точки зрения экситонной теории точный учет кулоновского взаимодействия означает, что принят во внимание ангармонизм в кулоновской подсистеме. При расчете эк-ситонных зон [і9,29І кулоновский ангармонизм не учитывается , в связи с этим в работах [34] , посвященных вычислению нелинейной функции отклика на поперечное поле экситонной системы, информация о кулоновском энгармонизме оказывается утерянной.
Более того, неясно, как можно учесть энгармонизм кулоновской подсистемы в рамках полуклассического метода.
Заметим, что при изучении отклика системы механических экси-тонов на полное макрополе информация о кулоновском энгармонизме была бы частично восстановлена. В этом случае неучтенным оказался ба энгармонизм, связанный с продольными микрополями и так называемым полем Лоренца, информация о которых содержится в гамильтониане механических экситонов.
В связи с вышесказанным-- есть основания полагать, что при нахождении отклика системы не на поперечное El или на полное по-ле t , am--действующее-поле- h » можно полностью учесть эффекты кулоновского энгармонизма, причем гамильтониэн системы в этом случае будет-представлять собой сумму энергий невзаимодействующих молекул. При этом тензор нелинейной поляризуемости представляет собой свертку ТИП изолированной молекулы Y1 и тензоров действующего поля А-—jr- [23J -
Перейдем-к обсуждению другого метода расчета. ТНП, основанному на поляритонных- -представлениях и методе сторонних токов, который позволяет учесть как энгармонизм кулоновской подсистемы, так и связанный с взаимодействием поперечного поля с веществом. В дальнейшем мы будем следовать этому методу, считая его наиболее адекватным проблеме нахождения
Ооглэсно ТНП кристалла может быть представлен через коэффициенты кубического энгармонизма гіулл , впервые полученные в j_35j . В силу громоздкости и сложности выражений для коэффициентов "WbX X » содержащих-матричные элементы дипольных моментов и токов на состояниях кулоновских экситонов, многие авторы в окончательном выражении для ТНП использовали упрощающие предположения [52,53] и пренебрегали многими слагаемыми вУуц , в том числе ответственными за кулоновский энгармонизм. Более того, в этих работах не учитывался тензорный характер среды (т.е. пРеД полагалось, что l =So » хотя, как известно, в изотропных средах практически невозможно наблюдать многие оптические эффекты -из-за отсутствия условий фазового синхронизма. Поэтому может создаться впечатление, что второй метод расчета ТНП , основанный на методе сторонних токов, недееспособен и в силу своей громоздкости уступает полуклассическому подходу. На самом деле громоздкие формулы получаются за счет неудачно выбранной формы оператора кубического ангармонизма. Мы покажем, что использование гамильтониана, взятого в форме (3.I.I), где коэффициенты ангармонизма представлены в компактной форме ІЗД.2), в конечном итоге дает возможность методом сторонних токов найти выражение для ТНП в общем случае анизотропного кристалла.
