Содержание к диссертации
Введение
1 Генерация фермионной массы под влиянием калибровочного полявмоделис2+1 измерением 27
1.1 Введение 27
1.2 Модель 29
1.3 Спектр масс 30
1.4 Эффективный потенциал модели 33
1.5 Критическая константа связи 35
1.6 Динамическое поле a 40
1.7 Асимптотическое поведение константы связи . 41
1.8 Связь параметра обрезания с конденсатом m . 44
1.9 Выводы 45
2 Влияние магнитного потока на поведение фермионов в дву мерной модели с нетривиальной топологией 47
2.1 Введение 47
2.2 Вклад фазы Ааронова-Бома в фермионную щель . 50
2.3 Индуцированный ток 54
2.4 Выводы 58
3 Прохождение через барьер в двумерной четырехфермионной модели с двумя типами фермионов 60
3.1 Введение 60
3.2 Коэффициент прохождения 61
3.3 Выводы 66
4 Псевдопотенциальная модель для дираковских электронов в модели графена с линейными дефектами 67
4.1 Введение 67
4.2 Псевдопотенциал для эффективного двумерного уравнения Дирака 71
4.3 Прохождение через барьер 76
4.3.1 Случай Ъ\ ф О, а -
4.3.2 Случай Ъ\ - 0, а ф 0, Ъ^ Ф 0, Ъъ Ф 0 78
4.3.3 Сравнение с другими моделями 79
4.4 Численный анализ результатов 84
4.5 Выводы 91
Заключение 93
Список опубликованных работ 97
Литература 98
- Критическая константа связи
- Вклад фазы Ааронова-Бома в фермионную щель
- Коэффициент прохождения
- Псевдопотенциал для эффективного двумерного уравнения Дирака
Критическая константа связи
В данной главе мы изучили процесс динамического образования массы фермионов в трехмерной модели с одним дополнительным измерением при взаимодействии двух типов фермионов, живущих в трехмерии и на двумерной бране, с учетом воздействия калибровочного поля Аз.
Если поле Аз рассматривать как внешний параметр, то динами ческая масса оказывается осциллирующей функцией (при а ф 0) c амплитудой, уменьшающейся с ростом радиуса компактификации. При этом динамическая масса становится независимой от калибровочного поля при большом радиусе компактификации и стремится к постоянному значению (см. Рис. 1.2а),б)).
Если же рассматривать калибровочное поле Аз как динамическую переменную, то экстремальное значение калибровочной переменной приводит к тривиальному значению константы связи, что изображено на Рис. 1.4а). Следует отметить, что при условии (1.6.2) генерируемая масса (1.3.10) получается порядка Л при (п = 1), что равно калибровочной константе при антипериодических граничных условиях а — , а — . Тем самым мы получаем массу меньшую, чем массы Калуца-Клейновских мод Л„ = %.
Если рассмотреть график константы связи (1.5.4), который лежит немного выше критической величины (т = 0.1Л), то при изменении R в области малых значений мы можем получить различные малые значения констант связи, а следовательно и различные малые массы. Таким образом, в рамках данной модели существует возможность объяснить иерархию масс разных поколений частиц. При этом зависимость константы связи от малого радиуса компактификации дается формулой (1.7.4). Глава 2
Влияние магнитного потока на поведение фермионов в двумерной модели с нетривиальной топологией
В настоящей главе исследуется модель, аналогичная той, которая рассматривалась в предыдущей главе. Будем рассматривать 2+1 мерную модель с четырехфермионным взаимодействием с другой стороны, в рамках моделей с малым числом измерений, включающих в себя реальное поле, аналогично двумерным моделям гра-фена с нетривиальной топологией [36,37] и фулеренов [38]. В этих моделях рассматривается влияние реального магнитного поля на поведение фермионов. Существование такого магнитного поля ведет к редукции числа измерений на две единицы D+1 (D-2)+1, следовательно все эти модели имеют малое число измерений. Реальное магнитное поле в данной задаче создает только магнитный поток, что соответствует задаче Ааронова–Бома [43].
В 1959 году Якиром Аароновым и Дэвидом Джозефом Бомом был предсказан эффект, согласно которому электромагнитное поле в той области, где напряженность электрического поля и индукция магнитного поля равны нулю, может влиять на поведение заряженной частицы на квантовом уровне. Действительно, если в таком случае не равен нулю электромагнитный потенциал, то именно он и оказывает влияние на зараженные частицы. Эффект Ааронова– Бома был проверен экспериментально, сначала в 1960 году [63], а потом и в 1986 [64] в опытах со сверхпроводящими материалами. В дальнейшем, задачи типа Ааронова–Бома стали широко исследоваться и данное направление получило большое развитие.
Из недавних работ стоит отметить, например [39, 65]. В работе [39] рассматривается модель в размерности R2 S 1 - углеродная нанотрубка. В рамках этой модели рассматривается генерация фермионной массы с помощью потенциала поля из компактифицированного измерения (механизм Хосотани [58]), рассчитывается эффективный потенциал модели и с помощью уравнения щели находится выражение для фермионной щели как экстремум эффективного потенциала. Эта щель будет убывать с магнитным полем, и динамическое нарушение симметрии происходит не так, как в большинстве известных случаев. Поскольку в данной задаче магнитное поле выбрано параллельно оси цилиндра, оно не влияет на движущиеся заряженные частицы, а создает лишь магнитный поток, авторы руками добавляют к динамическому вкладу в щель кинетический 2 - фазу Ааронова-Бома, где = eA2yL, и эта полная щель будет возрастать с магнитным полем. Эта добавленная фаза была вычислена в работе [65]. В данной задаче была рассмотрена модель размерности R3 X S1 без внешнего магнитного поля. При этих условиях фаза Ааронова-Бома получается из условия ненулевого электромагнитного векторного потенциала, который нельзя свести к нулю выбором калибровки из-за условия периодичности. В этой задаче фаза Ааронова-Бома не внешний параметр, как в работе [39], а определяется из минимума энергии. Авторы выбирают внешнее поле третьей компоненты как Ау = ЛУз, которое подчиняется калибровочному преобразованию А — А — 9 а, где а подчиняется следующим граничным условиям а(хз+а) = а(хз)+2л7, / є Z, а-длина дополнительной размерности (2лК). После этого из условия минимума эффективного потенциала можно получить В первой части настоящей главы исследуется влияние магнитного потока на генерацию фермионной массы в модели нанотрубки размерности R2 xS1 с двумя типами фермионов, что схоже с работами [39,65].
Вклад фазы Ааронова-Бома в фермионную щель
В настоящей главе мы будем исследовать модель с лагранжианом, аналогичным лагранжиану Главы 1, но с другой точки зрения. После компактификации третьей координаты будем рассматривать получившуюся модель как нанотрубку с магнитным полем, направленным вдоль оси нанотрубки (см. [60]). Такое магнитное поле не будет влиять на поведение электронов, но ненулевой потенциал Аз, направленный вдоль окружности радиуса R (т.е. вдоль компактифицированной третьей координаты), будет вносить свой вклад в генерацию фермионной массы. Постановка нашей задачи отличается от двух предыдущих случаев [39,65] наличием четырехфермионно-го взаимодействия в R2 X S1 размерности и фазового параметра а в периодическом (антипериодическом) граничном условии.
Поскольку в нашей работе присутствует параметр фазового смещения а, выражение для фазы будет несколько другим. Подставляя п = 1 в условие минимума эффективного потенциала, получим ТБ = О(-#) = — искомая фаза Ааронова-Бома. Откуда следует что кинетический вклад для фермионов в виде фазы Ааронова-Бома включен в выражение для фермионной щели, получаемой как собственное значение массовой матрицы (см. [60])
Также в работе [65] было показано, что состояние с наименьшей энергией соответствует фермионам с антипериодическими гранич ными условиями Аз = Атщ = — = j- (а = 2nR), что соответствует полученному результату в нашей задаче: атщ = (я — еАз) при — = еа 2eR 2R антипериодических граничных условиях (а = ), откуда Ат. — —s.
Стоит отметить, что в рамках модели [39] также была рассчитана критическая константа связи, преобразуя которую, можно получить выражение схожее с критической константой нашей задачи с той лишь разницей, что в нашей модели присутствует фазовый параметр а.
Зависимость эффективного потенциала Veff от т a) при различных значениях радиуса компактификации и а = 0, б) при различных малых значениях параметра поля а. Минимум эффективного потенциала достигается при mR 0.1.
Рассмотрим зависимость фермионной щели от фазы Ааронова-Бома (AR от {а - aR) — pR) аналогично работе [39] и убедимся в схожем поведении графика. Поскольку уравнение для щели Рис. 2.2: Зависимость фермионного конденсата AR от фазы Ааронова-Бома pR = (а - аК)/2. включает дополнительный параметр т, мы должны его зафиксировать. Уравнение щели f в нашем случае не решается аналити-чески, оценку для т получим из графика зависимости Vef/A 2 от тЛ-1 при малых значениях поля Аз, поскольку при больших значениях поля фермионная щель будет иметь линейную зависимость от фазы Ааронова-Бома и mR можно будет исключить как малый параметр. Из Рис.2.1а)б) видно, что минимум эффективного потенциала достигается при mR — 0.1, масса мало меняется и значит ее можно зафиксировать. Стоит отметить, что при нахождении Л мы выбрали приближение mR «с 1, теперь можно с точностью сказать что это был обосновано. Теперь построим зависимость AR от (fR (см. Рис.2.2) и убедимся что поведение щели в зависимости от фазы Ааронова-Бома получается схожим с работой [39].
Отличие нашей задачи заключается в наличии четырехферми-онного взаимодействия, поэтому на Рис.2.2 присутствует вторая ветвь где видно, что наряду с возрастающей с фазой Ааронова-Бома фермионной щелью генерируется и малая масса, много меньшая Калуца-Клейновских мод, что было обсуждено в данной работе в Главе 1.
Рассмотрим эффект вакуумной поляризации, приводящий к возможности образования индуцированного тока в модели нанотруб-ки с лагранжианом, аналогичным лагранжиану Главы 1 (см. [66]). Данная задача схожа с [45], где рассматривалась вакуумная поляризация в модели графена в поле тонкого соленоида. Заметим, что именно нетривиальная топология через посредство вакуумных эффектов проявляется в возникновении вакуумного тока. Индуци-рованный ток J = р- направлен вдоль третьей координаты и его можно найти с помощью формулы (1.4.7)
Следует заметить, что приведенный выше интеграл сходится и поэтому мы смогли распространить верхний предел Л до бесконечности.
Как видно из выражения (2.3.1), ток является периодической функцией у = eA R и обращается в нуль при у = л/2 где п = О, ±1, ±2,..., т.е. при еФ/2л = л/2, где Ф = 2nRA — поток калибровочного поля, описываемого потенциалом Аз. Интеграл (2.3.1) в критической точке m = 0 в согласии с (1.4.8) упрощается и принимает вид xdx
Зависимость индуцированного тока от a в критической точке m = 0 при разных значениях радиуса компактификации R. Индуцированный ток обращается в нуль при aR = n/2.
График зависимости индуцированного тока Jind от величины по левого параметра а = Мз в случае т = О показан на Рис. 2.3, где для удобства численных вычислений мы обезразмерили перемен-ные Jind/e — Jmd(e ) a a R — Л (2.3.3) параметром верхнего обрезания Л (см. (1.4.6)). Стоит заметить, что в таком случае величина у = aR остается безразмерной.
Графики зависимости индуцированного тока Jm& от величины т показаны на Рис. 2.4 и Рис. 2.5, где тоже введено обезразмеривание переменных.
Коэффициент прохождения
В настоящей главе рассматривается плоская двумерная модель с четырехфермионным взаимодействием в отсутствии компактифи-кации. В данной модели исследуется взаимодействие двух типов фермионов, аналогично Главе 1, но в рамках другой задачи. Такое взаимодействие создает конденсат, расположенный вдоль оси x, формируя эффективный линейный барьер для прохождения фер-мионов. В данной главе мы рассмотрим двухфермионную систему, не накладывая условия периодичности, т.е. предполагая возможность распространения фермионов по всей плоскости (x, y), однако на прямой y = 0 мы расположим препятствие в виде –образного потенциала. Нашей задачей будет вычислить вероятность прохождения фермионов через этот -образный барьер (см. [66]).
Одним из возможных физических примеров такой модели является линейная дислокация атомов или молекул различных веществ на поверхности графена [52,67-69]. В данных задачах конденсат создается путем покрытия поверхности графена молекулами газа или при помещении графена на поверхность нитрида бора.
В настоящей главе мы исследовали плоскую модель с двумя типами фермионов. В рамках поставленной задачи был получен коэффициент прохождения фермионов через линейный барьер в плоской 2+1 мерной модели в отсутствии калибровочного поля. Такой эффективный барьер может создаваться фермионным конденсатом за счет четырехфермионного взаимодействия.
В рамках данной задачи мы рассмотрели два варианта такого барьера, формируемого о \6 и (J26 потенциалами. Из полученного результата следует, что Х2(5–потенциал не создает препятствия для прохождения фермионов через такой эффективный линейный барьер, а в случае сг\6 потенциала коэффициент прохождения равен единице при любом значении Vo только при значении угла ф = л/2. В настоящей главе была исследована плоская электронная система графена, содержащая дефектную линию с псевдоспиновой и долинной структурой, с использованием схематической модели, включающей в себя дельта–функциональный псевдопотенциал. Было сделано предположение, что структура рассмотренного псевдопотенциала возникает из различных возмущений на линии, в частности различных деформаций, которые приводят к изменениям в NN и NNN амплитудах перескока и выражаются в виде векторных и скалярных калибровочных полей с матричной структурой подре-шеточных (псевдоспиновых) матриц Паули и единичной матрицы в дираковском гамильтониане. Вдобавок, массовый член, зависящий от координат и локализованный в ограниченном пространстве тоже был учтен и был включен в рассматриваемую модель как как дельта–функциональный член с 3 матричным коэффициентом. Основываясь на этом, было рассмотрено прохождение частиц через дефектную линию в структуре графена с различными псевдоспиновыми типами дефектов.
В рамках данной схематической модели была рассчитана вероятность прохождения и долинная поляризация. Более того, были приведены доказательства правомерности использования такого метода –функционального потенциала как предельного случая прямоугольного барьера. Стоит отметить, что в дельта–функциональном пределе прямоугольного барьера наши результаты полностью согласуются с результатами [78], полученными для электростатического потенциального барьера конечной ширины (парадокс Клейна). Более того, рассмотренная псевдопотенциальная модель позволяет эффективно описать дефектную линию, состоящую из повторяющихся двух пентагональных и одного октогонального углеродного кольца [54, 55]. В частности, было показано, что наши результаты соответствуют, полученным ранее, результатам, основанным на методе функций Грина [55], если параметры a, b2 для диагональных и недиагональных псевдоспиновых взаимодействий в псевдопотенциале (4.2.6) взяты не произвольно, а подчиняются соотношению (4.3.16).
Мы надеемся, что предложенный псевдопотенциальный метод и результаты данной главы могут помочь увеличить, по крайней мере качественно, понимание проблемы транспорта заряженных частиц в плоских моделях с линейными дефектами с различными псевдоспиновыми структурами.
Псевдопотенциал для эффективного двумерного уравнения Дирака
Рассмотрим плоскую систему, моделирующую графен с электронами в 2+1 пространстве-времени (см. [57]). Член, отвечающий за взаимодействие (возмущение), в эффективном дираковском гамильтониане, описывающем электроны в графене, может возникать из-за различных физических механизмов. Такие возмущения могут возникать из-за нескольких типов беспорядков, таких как топологические решеточные деффекты, деформации и кривизны. Эти дефекты ожидаемо возникают в графене. Многие эксперименты показывают сильные смещения в образцах, выращенных на различных подложках или металлических поверхностях (см., например [37,76] и указанную там литературу). Стоит отметить, что изменения в расстояниях между атомами и в перекрытии различных орбиталей из-за деформации или искривления приводят к изменениям в ближней-соседней (nearest-neighbor “iViV”) и следующей от ближней-соседней (next-nearest-neighbor “NNN”) амплитудах перескока. Такие изменения приводят к появлению векторных потенциалов Ax(r), Ayif) (члены, содержащие эти потенциалы, должны иметь вид калибровочного поля с матричной структурой матриц Паули сг\ и (Т і) и скалярного потенциала V(r) в дираковском гамильтониане [27,37,53]. Более того, в случае конечной массы гамильтониан для дираковских электронов должен содержать, зависящий от г, массовый член f = v2Fm(f) (m(f) - это эффективная масса с хз матрицей), из-за которого электронный спектр будет содержать конечную энергетическую щель. На практике такой мас совый член можно получить, покрыв поверхность графена молекулами газа [68], или при помещении графена на поверхность нитрида бора [69,77].
Для решения поставленной задачи воспользуемся моделью, построенной во Введении настоящей диссертации в части “Теоретическая модель графена с учетом неоднородности структуры” (см. стр. 20-26). Стартовой точкой нашего исследования, как уже было сказано выше, будет следующее общее выражение для гамильтониана, включающего в себя индуцированные калибровочные потенциалы и член массового типа описывают электроны на двух А, В подрешетках (/ = 1,2); (ТІ — это 2x2 матрицы Паули, / — единичная матрица, Vp — скорость Ферми2.
Стоит отметить, что индуцированное калибровочное поле А = (Ах, Ау) соединяется с псевдоспиновыми спинорными компонентами как комплексное поле А = Ах + іАу, в то время как скалярный потенциал V является реальным. Для других точек Дирака стоит выбрать комплексно-сопряженное поле А [27,53].
Наш выбор знаков перед импульсами и компонентами векторных потенциалов в гамильтониане, по существу, соответствует задачам [20,27]. Он может отличатся от других статей, в которых приняты другие обозначения. Тем не менее, конечный результат не зависит от выбора обозначений. Физический спин электронов, обусловленный свойствами волновой функции из-за пространственного вращения электрона, исключен из рассмотрения в нашем анализе. Спинорная природа волновой функции берет свое начало в подрешеточной степени свободы, называемой псевдоспином. Индекс т = ±1 относится к двум точкам Ферми К, К , относящимся к долинам по углам в первой зоне Бриллюэна и играющим роль индекса ароматов.
Кроме указанных выше эффективных калибровочных полей, электростатический потенциал тоже может влиять на распространение электронов в графене (см., например [78]). Член, отвечающий за это взаимодействие, может быть включен в гамильтониан как электростатический скалярный потенциал еФ(г) (и векторный потенциал Melm).
Существует замечательное свойство “релятивистских” дираков-ских электронов в графене туннелировать через такого рода потенциальный барьер с вероятностью единица. Это так называемое тун-нелирование Клейна для киральных частиц (см., например [78]3). Его присутствие в графене является нежелательным в применении к наноэлектронике. Для преодоления этой трудности можно генерировать щель в спектре, которая будет эквивалентна генерации пространственно-зависимого массового члена. Очевидно, что одновременное существование скалярного потенциального барьера и векторного калибровочного поля А = (Ах, Ау) в одной пространственной области влияет на прохождение электронов, скажем, в направлении оси х. С целью изучения возможной совместной роли этих возмущений, объединим их в модельный гамильтониан (4.2.1).
3О парадоксе Клейна для релятивистских электронов стоит обратиться к оригинальной статье [79]. В этом случае предполагается, что движение электронов описывается уравнением Дирака НТЧТ = ід т с дираковским оператором Гамильтона Нт = сг\ [- Vp ідх - Ax(f)\ + + Т(Т2 — vp іду - Ayif) \+ vF m(r) cr + V(r) I, (4.2.3) где T = ±1 — индекс долины. Выражение (4.2.3) подразумевает, что низкоэнергетическое разложение около другой точки Ферми ст -т приведет к гамильтониану с обращенным временем (t — ). Отметим, что суммарное влияние от обеих долин, описываемое с помощью 4-спиноров (см., например [26] и указанные там статьи), сохраняет T–инвариантность. Будем считать, что все рассмотренные дефекты лежат в одной пространственной области, взятые, для упрощения, в виде линии, лежащей вдоль оси “y” (х = 0). Таким образом наша задача состоит в том, чтобы рассмотреть дельта-функциональный предел более реалистичного барьера, основываясь на нашем схематическом модельном гамильтониане4. Нт = -ісг\дх - ітсг ду + WT(x), (4.2.4) где мы введем псевдопотенциал WT(x) WT(x) = V(x)I - Ax(x)o i - тАу(х)о 2 + т(х)(Гз, (4.2.5) 4Будем считать, что междолинные взаимодействия малы, недиагональные смешанные члены между спинорами принадлежат различным долинам и мы их рассматривать не будем. который в дельта–функциональном пределе можно записать в виде WT(x) = WT6(x) = (al - b\(T\ - Ь тсгг + Ь? (г$)6(х). (4.2.6) В уравнении (4.2.4) и далее по тексту, скорость Ферми положим равной единице Vp = 1. Скалярный и векторный потенциалы и член массового типа выбраны в виде V(x) = ш5(х), Ах = Ь\6(х), Ау = Z?2 5(x), т(х) = Ьз#(х), где a, bi(i = 1,2,3) — это константы, которые описывают взаимодействие частиц на подрешетках с обеих сторон от линейного дефекта и относятся к параметрам перескока.
Похожие диссертации на Генерация массы и фермионного тока в низкоразмерных моделях с нетривиальной топологией
