Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к фазовым переходам в неу-орядоченных спиновых системах продолжается уже больше 30 ет. Причина этого интереса состоит в обилии и разнообразии лучайных магнетиков. Примерами служат РККИ и обменные пиновые стекла, допированные магнетики, аморфные магнитные атериалы. Идеи, возникшие в задачах теории грязных маг-етиков, оказались полезными и для понимания свойств многих емагнитных систем. Сюда относятся различные структурно не-аорядоченные вещества, классические и квантовые жидкости и идкие кристаллы в пористых матрицах, случайные сети джо-;фсоновских контактов, полимеры в неупорядоченных средах и ногие другие объекты. В последние годы большие усилия были аправлены на изучение вихревых фаз грязных сверхпроводников,
идеи, позаимствованные из физики спиновых стекол, привели к :пехам в этой области. Другое достижение последних лет состоит
открытии спин-стекольных эффектов в упорядоченных системах, лтересный пример упорядоченной стекольной системы - джозеф-шовские сети. Можно надеяться, что аналогия между спиновыми [еклами и некоторыми упорядоченными системами позволит про-ать новый свет на свойства структурных стекол.
Круг задач, в которых методы теории неупорядоченных маг-гтиков ведут к успеху, выходит за рамки физики конденсиро-інного состояния. В середине восьмидесятых годов была заметна аналогия между задачами теории спиновых стекол и задачей эммивояжера. Методы статистической физики неупорядоченных істем были использованы и в ряде других задач оптимизации, ще один пример далекого, на первый взгляд, от физики вопроса,
котором был достигнут прогресс на основе теории случайных іиновьіх систем, - это задача об ассоциативной памяти. По-/лярные модели нейронных сетей удалось детально исследовать
помощью техники, разработанной для нужд теории спиновых екол.
В настоящее время на основе концепции спонтанного наруш-гая репличной симметрии достигнуто хорошее понимание тех жросов, в которых законно использовать приближение сред-;го поля. Однако, в большинстве случаев это приближение
недостаточно, и возникает задача о флуктуациях вокруг основного состояния. В системах с сильным беспорядком эта задача Оказалась очень трудной. Даже в вопросе о дальнем порядке в трехмерных спиновых стеклах полная ясность не достигнута. Хотя имеются экспериментальные, численные и теоретические аргументы в пользу наличия стекольного порядка в изинговских магнетиках и его отсутствия в вырожденных системах, до сих пор появляются свидетельства, противоречащие этой общепринятой точке зрения. Единственным надежным источником сведений о системах с сильным беспорядком служат поэтому точные решения. К сожалению, решению поддаются обычно упрощенные модели, такие как одномерные спиновые стекла или маттисовский магнетик, в котором отсутствуют фрустрации. Замечательное исключение составляют те модели, которые удается решить точно в любой пространственной размерности на линии Нишимори. Во второй главе диссертации изучена система другого типа, о которой тоже удается получить точную информацию в любой размерности пространства.
Даже в системах со слабым беспорядком флуктуационные эффекты (прежде всего, критическое поведение) поняты недостаточно. В семидесятые годы казалось, что теория фазовых переходов в системах со слабым беспорядком может быть построена по образцу теории, разработанной для чистых систем. Однако, уже через несколько лет стало ясно, что для решения проблемы нужны новые идей. Трудности теории, видимо, связаны со сложной структурой энергетического рельефа неупорядоченных систем. В результате во многих случаях отказывается служить теория возмущений, использованная в ранних работах. Поскольку сложный энергетический рельеф характерен для среднеполевых систем, в которых присутствует нарушение репличнои симметрии, соблазнительно использовать концепцию нарушения репличнои симметрии и в системах с сильными флуктуациями. Этот подход оказался особенно плодотворным при изучении систем, в которых отсутствует дальний порядок. Сюда относятся, в частности, случайные многообразия и вихревые решетки в грязных сверхпроводниках. Для ' описания этих систем был предложен вариационный метод (самосо-
гласованное гармоническое приближение), учитывающий эффекты нарушения репличной симметрии. В задачах о вихревой решетке в неупорядоченном сверхпроводнике и о грязном трехмерном ХУ-магнетике этот метод позволил предсказать алгебраически медленное спадание корреляций. Результаты недавних численных экспериментов, видимо, согласуются с теорией.
В первой главе диссертации с помощью самосогласованного гармонического приближения изучается случайный двумерный XY-магнетик с дипольными силами. В семидесятые годы задача о дипольных силах в магнетиках вызвала большой интерес. В частности, было обнаружено, что в двумерных XY и гейзенберговских магнетиках диполъные силы устанавливают дальний ферромагнитный порядок. Недавно этот интерес возобновился. Этому способствовали экспериментальные достижения: выращивание магнитных пленок гексагональной симметрии (только в таких пленках слабые дипольные силы становятся существенными на меньших масштабах, чем анизотропия) и наблюдение своеобразной доменной структуры в тонких магнитных пленках. В последние годы появился ряд теоретических исследований, посвященных свойствам чистых пленок. Однако, влияние беспорядка на двумерные дипольные магнетики до сих пор не рассматривалось.
Если в системах с беспорядком типа случайное поле. подход, основанный на методе ренормгруппы, привел к безнадежно неправильным результатам, то применительно к системам с беспорядком типа случайная температура подобный подход до недавнего времени не оспаривался. Недавно была высказана гипотеза, что на больших масштабах эффекты нарушения репличной симметрии могут стать существенными и в таких системах. В рамках этого сценария было изучено критическое поведение ряда систем. Удобным кандидатом для проверки гипотезы оказалась двумерная модель Поттса с тремя компонентами. В последнее время она интенсивно изучается на численном эксперименте. В третьей главе диссертации рассмотрено критическое поведение двумерной модели Изинга с беспорядком типа случайная связь в рамках гипотезы о нарушении репличной симметрии.
При изучении моделей ассоциативной памяти вопрос о флук-
туациях играет меньшую роль, чем в теории магнетизма. Причина состоит в том, что отростки соединяют каждую нервную клетку со многими другими. Поэтому приближение среднего поля оказывается адекватным. Однако, методы теории спиновых стекол применимы только к гамильтоновым моделям нейронных сетей. Реальные нейронные сети не могут быть описаны гамильтонианом из-за асимметрии взаимодействия нейронов. Поэтому вместо задачи равновесной статистической механики возникает трудная динамическая задача. Серьезные трудности возникают и при изучении обучающих алгоритмов для нейронных сетей, где тоже приходится иметь дело с динамическими задачами. Интересный пример такой задачи - задача о разобучении. Алгоритм разобучения устроен так, что на первый взгляд, он должен приводить не к обучению сети, а к потере уже изученной информации. Однако, в процессе разобучения объем знаний нейронной сети возрастает. В четвертой главе диссертации предложен способ сведения динамической задачи об обучающем алгоритме к статической задаче. Этот подход позволяет продвинуться в теории разобучения.
ель работы. Диссертация преследует две цели: исследование критического поведения неупорядоченных магнетиков и разработку статистико-механического подхода к обучающим правилам для нейронных сетей.
Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации показано, что в двумерных дипольных XY и гейзенберговских ферромагнетиках с беспорядком типа случайное поле или случайная ось анизотропии ферромагнитное упорядочение отсутствует. В рамках самосогласованного гармонического приближения обнаружено, что при низкой температуре и слабом беспорядке в вырожденном дипольном ферромагнетике со случайной анизотропией имеется логарифмически медленное убывание корреляционной функции намагниченности. Практическая значимость этих результатов связана с интересом, который магнитные пленки представляют для физики твердого тела, и с ролью магнитных пленок в качестве носителей информации.
В диссертации найдено точно критическое поведение поперечной полю компоненты намагниченности вырожденных классических маг-
нетиков в одноосном случайном магнитном поле при нулевой температуре. Обнаружено, что при гауссовом распределении случайного поля асимптотика поперечной намагниченности в сильных полях не зависит от пространственной размерности и имеет вид т± ~ Inho/hl, где h0 - ширина распределения. При бимодальном распределении поперечная намагниченность ведет себя, как т± ~ ехр(—const/(Нс - H)D/2), где D - пространственная размерность, Нс - критическое поле. Практическая значимость новой точно решаемой модели определяется тем, что точные результаты могут служить отправным пунктом для исследования более сложных родственных систем и полезны для проверки надежности приближенных методов.
В работе изучены эффекты нарушения репличной симметрии в критическом поведении двумерной модели Йзинга с беспорядком" типа случайная температура. Показано, что критическое поведение теплоемкости остается таким же, как в реплично-симметричном случае. Практическая значимость этого результата состоит в том, что он помогает проверке гипотезы о нарушении репличной симметрии в двумерных и трехмерных системах.
В диссертации предложен статистико-механический метод описания обучающих правил для нейронных сетей. Практическая значимость понимания механизмов обучения вытекает, прежде всего, из потребностей компьютерной технологии.
Структура диссертации. Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, трех приложений и списка литературы. Объем диссертации составляет 89 страниц, включая 7 рисунков. Библиография включает 121 ссылку.
