Аномальные размерности составных операторов в максимально-расширенной суперсимметричной калибровочной теории Велижанин, Виталий Николаевич

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц описываются посредством квантовых теорий поля, которые позволяют получать количественные результаты и сравнивать их с экспериментом. Возможность получения таких результатов обусловлена возможностью вычисления различных физических величин с помощью разложения по константе взаимодействия, рассматриваемой как малый параметр. Несмотря на то, что квантовые теории поля дают отличные результаты для малой константы взаимодействия, весьма затруднительно получить результаты для больших значений константы связи. Кроме того, описание гравитации как квантовой теории поля всё ещё неосуществимо. Одной из интересных возможностей разрешения данных проблем является знаменитая дуальность между многомерной квантовой теорией гравитации (суперструной) и калибровочной теорией в низшем числе измерений, которая чрезвычайно активно изучается последнее десятилетие. Дуальность означает, что каждое предсказываемое явление и величина в одной теории имеет аналог в другой теории. Наиболее известной является дуальность между супергравитацией в многомерном пространстве анти-де Ситтера (АдС) с одной стороны и суперсимметричной конформной теорией поля (КТП) на четырёхмерной границе пространства анти- де Ситтера с другой стороны, предложенная Малдаценой [1] и развитая в работах [2, 3]. Эта дуальность известна как АдС/КТП-соответствие. В её чистом виде, в котором она будет интересна для нас, АдС/КТП- соответствие идентифицирует суперструны типа IIB в десяти измерениях пересечения пятимерного пространства анти-де-Ситтер и пятимерной сферы (AdSs х S⁵) с максимальной суперсимметричной теорией Япга-Миллса с калибровочной группой SU(N) (N = 4 СЯМ теория) в четырёх измерениях. N =4 СЯМ теория является квантовой конформной теорией поля, так как её ^-функция в точности равна нулю. Струн-

ная модель определяется двумя параметрами: струнной константой связи gs и эффективным струнным натяжением R²/а', ще R есть общий радиус AdS₅ и S⁵ геометрий. Калибровочная теория, с другой стороны, параметризуется калибровочной группой ранка N и константой связи g_YM, пли, эквпвадентно 'т хоофтовской конетантой связи Л = gY_M N. В соответствии с АдС/КТП гипотезой эти два набора параметров определяются как:

Я ^д2 m

— = ^r_s, VA=-. 1)

N а^'

Уравнения (1) связывают константы взаимодействия, но существует также "словарь" между возбуждениями теорий. АдС/КТП-соответствие идентифицирует собственные значения AdS5 х S⁵ струны, которые мы обозначим схематически как \Oa) с индексами A, с составными операторами калибровочной теории вида O_a = Tr(ф_і1 ф_І2 ... ф_іп), где (ф)_ab являются элементарными полями N = 4 СЯМ теории (и их ковариан- тыми производными) в присоединённом представлении SU(N), то есть N х N эрмитовыми матрицами. Собственное значение энергии E струнного состояния по отношению ко времени в глобальных координатах предполагается равным размерности Д дуального оператора калибровочной теории, который, в свою очередь, определяется из двухточечной функции конформной теории поля

« %.г,РЛ>=ел(!Ц|ОЛ>(2)

Ч^) " Ч«») <³⁾

В нулевом порядке проверкой гипотезы является согласие супергруппы симметрии PSU(2, 2\4) двух теорий, которые обеспечивают представления при преобразованиях 0_A(x) и \O_a). Это даёт подсказку о том, как можно было бы создать явный "словарь" струнные состояния/калибровочные операторы.

Идентификация планариой калибровочной теории со свободной струной (gs = 0) выглядит чрезвычайно интересной: свободная AdSs х S⁵ струнная теория должна давать точную всепетлевую аномальную размерность калибровочной теории в пределе больших N! К сожалению, однако, наши знания о струнном спектре в искривлённом пространстве,

AdS5 х S⁵

статочны. Поэтому долгое время исследования соответствия со стороны струн были ограничены областью низко-энергетического эффективно-

AdS₅ х S⁵

витации типа IIB. Это, однако, неизбежно приводило к рассмотрению незначительно искривлённой геометрии в струнных единицах, то есть к области VA ^ 1 в силу (1). Со стороны калибровочной теории возможно было контролировать только пертурбативный режим, где A ^ 1. Следовательно, мы сталкиваемся с дуальностью сильной/слабой связи, в которой сильно-связанные калибровочные поля описываются классической супергравитацией и слабо-связанные калибровочные поля соответствуют распространению струн в очень кривой геометрии. Такое представление сильно затрудняет какие-либо динамические проверки (или даже доказательства) АдС/КТП гипотезы.

Эта ситуация существенно изменилась после 2002 года в ходе изучения соответствия в новом пределе, где квантовые числа (такие, как

AdS5 х S⁵

скоординированно большими в пределе N ^ то. В работе [4] было рассмотрено разложение по квантовым флуктуациям струны вокруг вырожденной точечно-подобной конфигурации, соответствующей частице, вращающейся с большим угловым моментом J по огромной окружности

пространства. В пределе J ^ то с фиксированным J²/N (БМН предел) представляется возможным провести точное квантование свободной струны в светоподобной калибровке [5]. Получающийся спектр струн ведёт к замечательному предсказанию всепетлевой аномальной

размерности операторов дуальной калибровочной теории в соответствующем пределе, то есть к знаменитой формуле A_n = J+ 2 ^J 1 + для простейшего возбуждения двух струнных осцилляторов. Ключевым моментом в квантовой теории поля является возникновение эффективного параметра разложения Л/J² в БМН-пределе. Ключевым моментом с точки зрения струнной теории является то, что такой предел может сделать полуклассические (в плоско-волновом случае) или даже классические (в случае спиновых струн) вычисления энергии струн точными и на квантовом уровне, так как высшие петли сигма-модели подавляют-

рассмотрение со стороны струн даёт всепетлевые предсказания для дуальной калибровочной теории. Дополнительное изучение пертурбатив-

к открытию того, что спектр аномальных размерностей планарной калибровочной теории оказался идентичен спектру интегрируемой даль- нодействуюгцей спиновой цепочки [6, 7]. Соответственно, было показано, что AdSs х S⁵ струна является классически интегрируемой моделью [8], что активно используется в получении решений для спиновых струн.

Дальнейшее изучение интегрируемости с обоих сторон АдС/КТП- соответствия позволило сформулировать всепетлевой асимптотический Бете-анзатц [9, 10], являющийся одним из главных достижений в исследовании соответствия. Интегрируемость позволяет свести задачу вычисления спектра аномальных размерностей составных операторов к задаче диагонализации Гамильтониана интегрируемой спиновой цепочки Гейзенберга, для решения которой имеются мощные математические методы. Однако для операторов конечной длины, среди которых находятся наиболее хорошо изученные в КХД операторы твиста-2, асимптотический Бете-анзатц даёт неполный ответ вследствие того, что длина взаимодействия становится больше длины спиновой цепочки. В терминах теории поля краевые эффекты соответствует тому, что появляют-

ся диаграммы, в которых каждое из полей в операторе соединяется с двумя соседними, как бы образуя окружность вокруг оператора (такие диаграммы называются "wrapping diagrams") [11]. В свою очередь, в терминах теории струн краевые эффекты соответствует тому, что необходимо рассматривать двумерную сигма-модель в конечном объёме (на цилиндре) [12]. Таким образом, АдС/КТП-соответствие позволяет использовать инструменты и методы, которые существуют только для двумерных квантовых теорий, для изучения четырёхмерной N =4 калибровочной теории. Более того, недавно были предложены несколько спектральных уравнений, среди которых следует особо выделить так называемую Y-систему [13], претендующих на описание всего спектра аномальных размерностей для любого оператора при любой константе взаимодействия. Однако все эти гипотезы и предположения должны были быть подвергнуты независимым проверкам. Одними из наиболее значимых являлись и являются проверки, представленные в данной диссертации.

Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы было вычисление аномальных размерностей составных операторов и исследование их свойств в контексте АдС/КТП-соответствия. Предполагалось обобщить имеющиеся и разработать новые методы вычислений и исследований аномальных размерностей в высших порядках теории возмущений.

Основными методами, использованными для нахождения аномальных размерностей, предполагались прямой диаграммный счёт и вычисления с использованием интегрируемости, а для исследований их свойств - аналитическое продолжение функций, входящих в полученные выражения.

В диссертации ставились следующие основные задачи:

1. Проверка принципа максимальной трансцендентности для функ-

ций, входящих в выражения для аномальных размерностей операторов твиста-2 в N =4 СЯМ теории путём прямого диаграммного вычисления матрицы аномальных размерностей во втором порядке теории возмущений.

1. Применение принципа максимальной трансцендентности в высших порядках теории возмущений с целью проверки результатов, получаемых с использованием предполагаемой точной решаемости N = 4 СЯМ теории.

2. Исследование суперсимметричных тождеств Уорда для вычисления матрицы аномальных размерностей операторов твиста-2 во

N = 4

матике с ненулевым переданным импульсом.

3. Исследование аналитических свойств результатов, получаемых с помощью асимптотического Бете-анзатца для планарной интегрируемой АдС/КТП системы.

4. Разработка метода прямых диаграммных вычислений четырёх- петлевых аномальных размерностей в суперсииметричных калибровочных теориях и его использование для расчёта аномальных размерностей простейших операторов твиста-2 в четвёртом поряд-

N = 4

5. Проверка предположений, использовавшихся при вычислении краевых эффектов для аномальной размерности операторов конечной длины путём вычисления полной аномальной размерности операторов твиста-2 в пятом порядке теории возмущений и аномальной размерности операторов твиста-3 в шестом порядке теории возму-

N = 4

ных результатов с имеющимися предсказаниями.

7. Исследование суперсимметричной схемы регуляризации ультрафиолетовых расходимостей фейнмановских диаграмм в высших порядках теории возмущений N = 4 СЯМ теории.

Научная новизна и практическое значение результатов

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и важными для развития новых методов в исследовании квантовых теорий поля. Результаты, полученные в диссертации, являются своего рода "экспериментальной" проверкой предполагаемой точной решаемости в N = 4 СЯМ теории. В работе разработаны различные методы вычислений аномальных размерностей операторов твиста-2 в N = 4

квантовой хромодинамике.

Достоверность результатов и апробация работы

Вычисления, проделанные в диссертации, основываются на использовании стандартных методов квантовой теории поля. Методы вычислений, разработанные в диссертации, проверялись расчётом известных ранее результатов и подвергались проверке на самосогласованность. Аналитические преобразования всегда контролировались численно.

Результаты данной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ПИЯФ, ОИЯИ (Дубна), ИЯИ (Москва), ИФВЭ (Протвино), НИИЯФ МГУ, СПбГУ, LAPP (Анси, Франция), на международных конференциях и рабочих совещаниях.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Путём прямых диаграммных вычислений матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в следующем после

N = 4

Миллса подтверждён принцип максимальной трансцендентности

для функций, входящих в выражения для собственных значений матриц.

5. 1. Разработан метод получения аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в высших порядках в кинематике с ненулевым переданным импульсом в N =4 суперсимметричной теории Янга-Миллса из аналогичных результатов в квантовой хромоди- намике.

   2. С использованием принципа максимальной трансцендентности получена полная аномальная размерность операторов твиста-2 в третьем порядке теории возмущений в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, позволившая подтвердить предполагаемую интегрируемость, обнаруженную при исследовании АдС/КТП-со- ответствия.

   3. Показано, что асимптотический Бете-анзатц, являющийся одним из главных результатов исследований интегрируемости в контексте АдС/КТП-соответствия, даёт неполный результат для операторов конечной длины и требует учёта краевых эффектов.

   4. Разработан полностью компьютеризированный метод вычисления четырёхпетлевых аномальных размерностей. Данный метод был использован для расчёта четырёхпетлевой аномальной размерно-

   N = 4

   вильность предположений, использованных при вычислении краевых эффектов к асимптотическому Бете-анзатцу для операторов конечной длины.

   5. 5. Показано, что схема размерной редукции (DR-схема) корректно

      N = 4

      рядка теории возмущений. Обоснование было достигнуто путём прямого вычисления четырёхпетлевых констант перенормировки

      в N = 4 СЯМ теории, дающих отсутствие перенормировки констант взаимодействия как для калибровочной, так и для юкавской вершин.

      5. 6. Впервые получен результат для неплапарпого (подавленного по цветовому фактору) вклада в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твнста-2 в N = 4 СЯМ теории. Данный результат может послужить одной из отправных точек в исследовании АдС/КТП-соответствия вне планарного предела.

         7. С использованием интегрируемости получена полная пятипетле-

         N = 4

         теории. Данный результат оказался в согласии с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ, тем самым подтвердив правильность вида поправок, обусловленных как модификацией асимптотического Бете-анзатца вследствие учёта краевых эффектов, так и включением в рассмотрение фактора одевания. Кроме того, данные вычисления были обобщены на случай операторов твиста-3, где аналогичные поправки возникают в шестом порядке теории возмущений. Полученный результат также удовлетворял всем известным проверкам.

         По материалам диссертации опубликованы следующие работы

         5. 7. 1. А.V.Kotikov, L.NXipatov and V.N. Velizhanin, Anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 SYM theory // Physics Letters B, Vol. 557 (2003) pp.114-120.

               2. A.I. Onishchenko and V.N. Velizhanin, Nonforward anomalous di

               N = 4 //

               Journal ofHigh Energy Physics (JHEP), Vol. 0402 (2004) 036 (18 pages).

               5. 7. 3. A.V. Kotikov, L.N. Lipatov, A.I. Onishchenko and V.N. Velizhanin, Three-loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in N = 4 SUSY Yang-Mills model // Physics Letters B, Vol. 595 (2004) pp.521-529.

                     4. A.V. Kotikov, L.N. Lipatov, A.I. Onishehenko and V.N. Velizhanin, Three-loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory // Physics of Particles and Nuclei, Vol. 36S1 (2005) 28.

                     5. A.V. Kotikov, L.N. Lipatov, A.I. Onishehenko and V.N. Velizhanin,

                     N = 4

                     //

                     физика, том 150, номер 2 (2007) етр. 249-262.

                     5. 7. 6. A.V.Kotikov, L.N.Lipatov, A.Rej, M.Staudacher and V.N. Velizhanin,

                           //

                           Theory and Experiment, Vol. 0710 (2007) P10003 (18 pages).

                           5. 7. 7. V.N. Velizhanin, The four-loop anomalous dimension of the Konishi

                                 N = 4 //

                                 ЖЭТФ, том 89, выпуск 1 (2009) стр. 8-11.

                                 5. 7. 8. V.N. Velizhanin, Three-loop renormalization of the N = 1, N = 2, N = 4 //

                                       Vol. 818 (2009) pp.95-100.

                                       5. 7. 9. V.N. Velizhanin, Leading transcedental contributions to the four-loop

                                             N = 4 //

                                             B, Vol. 676 (2009) pp. 112-115.

                                             10. V.N. Velizhanin, Непланарный вклад в четырехпетлевую универсальную аномальную размерность операторов Вильсона твиста-

                                             2 в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса // Письма в ЖЭТФ, том 89, выпуск 12 (2009) стр. 697-700.

                                             5. 7. 9. 1. Т. Lukowski, A. Rej and V.N. Velizhanin, Five-Loop Anomalous Di

                                                      //

                                                      (2010) pp.105-132.

                                                      5. 7. 9. 2. V.N. Velizhanin, Six-Loop Anomalous Dimension of Twist-Three Operators in N = 4 SYM // Journal of High Energy Physics (JHEP), Vol. 1011 (2010) 129 (20 pages).

                                                               3. A.I. Onishchenko and V.N. Velizhanin, Anomalous dimensions of

                                                               twist-2 eonformal operators in super symmetric Wess-Zumino model

                                                               //

                                                               5. 7. 9. 4. A.V.Kotikov and V.N.Velizhanin, Analytic continuation of Mellin mo-

                                                                        //

                                                                        5. 7. 9. 5. V.N. Velizhanin, Vanishing of the four-loop charge renormalization function in N =4 SYM theory // arXiv:1008.2198 [hep-th],

                                                                                 6. V.N. Velizhanin, The non-planar contribution to the four-loop anoma-

                                                                                 N = 4

                                                                                 //

                                                                                 Структура диссертации

                                                                                 Диссертация изложена на 236 страницах и состоит из Введения, пяти глав, Заключения и трёх Приложений, включает 29 рисунков, библиография включает 258 наименований.

                                                                                 Похожие диссертации на Аномальные размерности составных операторов в максимально-расширенной суперсимметричной калибровочной теории

                                                                                 

                                                                                 Аномальные размерности операторов Вильсона Твиста-2 в суперсимметричных теориях Велижанин Виталий Николаевич

                                                                                 Исследование составных операторов в теории развитой турбулентности методом ренормализационной группыГирина, Вера Илдусовна

                                                                                 Квантование гамильтоновых теорий на основе оператора вероятностиВалиев, Ренат Фаридович

                                                                                 

                                                                                 Теория рассеивания и формулы следов для диссипативных операторов и сжатий Рыбкин Алексей Владимирович

                                                                                 К теории кинетических уравнений систем взаимодействующих частей в методе неракновесного статистического оператораКобрин, Александр Евгеньевич

                                                                                 

                                                                                 Дуальности в теориях поля различных размерностейГалахов Дмитрий Максимович

                                                                                 

                                                                                 Вакуумные эффекты калибровочной теории в модельных конфигурациях внешних полей в пространствах размерности (2+1) и (3+1) Разумовский Алексей Сергеевич

                                                                                 Критические размерности составных операторов в 1/n-разложенииСтепаненко, Александр Сергеевич

                                                                                 Некоторые вопросы спектральной теории операторов Шредингера и Дирака с почти-периодическими потенциалами Савин Александр Васильевич

                                                                                 Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов.Шейпак, Игорь Анатольевич