Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Доказательство мультиреджевской формы амплитуды 17
1.1 Мультиреджевская форма амплитуды 17
1.2 Квази-мультиреджевская форма амплитуды 24
1.3 Соотношения бутстрапа 30
1.4 Вычисления скачков 36
1.5 Условия бутстрапа на реджеонные вершины 44
Глава 2: Упругая амплитуда в СГЛП 48
2.1 Структура амплитуды кварк-глюонного рассеяния 48
2.2 Гипотеза о реджевской форме амплитуды 51
2.3 Проекция на борновскую амплитуду 54
2.4 Реджевский предел одно- и двух- петлевых вычислений 55
Глава 3: Анализ СГЛП из соотношений унитарности 60
3.1 Обозначения и метод вычислений 60
3.2 Двухчастичный вклад в скачок 63
3.3 Трехчастичный вклад в скачок 68
Фрагментация на два глюона 71
Фрагментация в кварк-глюон 73
Фрагментации в кварк-антикварк 76
3.4 Двухпетлевая поправка к траектории кварка 79
Глава 4: Вычисление вершины реджезованныи кварк - реджезованныи кварк - глюон 81
4.1 Неупругая амплитуда в СГЛП 81
4.2 t-канальный скачок 86
4.3 Поправка к вершине ЧЧР 93
4.4 Радиационные поправки к вершине РРЧ 97
Заключение 100
- Квази-мультиреджевская форма амплитуды
- Реджевский предел одно- и двух- петлевых вычислений
- Двухпетлевая поправка к траектории кварка
- Радиационные поправки к вершине РРЧ
Введение к работе
От мягких к полужестким процессам
Физика адронов описывается теорией сильных взаимодействий. Ее современной общепризнанной реализацией является квантовая хромодинамика (КХД) — теория квантовых нолей, основанная на неабелевой калибровочной группе SU(3). Математическая структура КХД слишком сложна для нахождения точных решений, и для современных предсказаний КХД применяются приближенные схемы, изначально разделяемые на методы теории возмущений — пертурбативная КХД (пКХД) и непертурбативные методы. Последние используют при описании мягких непертурбативных процессов, сопровождающих адрониые взаимодействия. Этим процессам соответствуют большие характерные масштабы rsoft ~ -Rhadron и сечения (Jsoft ~ R\. Одна из важнейших задач КХД — построение теоретической связи между наблюдаемыми адронами и мезонами и пертурбативными кварковыми и глюонными степенями свободы. Базисом применения теории возмущений является существование для некоторых измеримых величин теорем о факторизации, позволяющих разделить физику малых расстояний (пер-турбативную) и непертурбативиую физику наблюдаемых адронов. Важное значение при применении этих теорем играет число и относительное значение жестких масштабов вовлеченных в процесс.
Примером процессов с одним жестким масштабом служат процессы, в которых объект с высокой виртуальностью Q2 ^> 1/^hadron выбивает из адрона партон, несущий существенную х ~ 1 порцию исходной энергии адрона. Такие процессы глубоко неупругого рассеяния относят к жестким, они происходят на малых расстояниях гьага ~ 1/у/0^ и, благодаря свойству КХД — асимптотической свободе, могут быть проанализированы в пКХД. Типичный масштаб сечений жестких процессов довольно мал Chard ~ 1/Q2 <С Rl- Подход к анализу инклюзивных процессов в подобной кинематике — когда энергия в системе центра масс \J~s одного порядка с виртуальностью Q — базируется на коллинеарной факторизации [1], поз-
воляющей разделить пертурбативную и непертурбативную части амплитуды рассеяния, и на уравнении эволюции ДГЛАП (Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи) [2]. Последнее позволяет вычислить эволюцию структурных функций по Q2. Эта эволюция определяется ядром уравнения, вычисляемым в теории возмущений, в то время как непертурбатив-ная часть отфакторизована в начальные условия уравнения ДГЛАП.
Появление коллайдеров высоких энергии: HERA, RHIC, TEVATRON, а так же планирование экспериментов на будущих коллайдерах, таких как LHC, ILC (TESLA), открыло новую эру так называемых полужестких процессов, имеющих два сильно упорядоченных энергетических масштаба: s » Q2 » І/Rl В этих процессах из адрона выбивается небольшой объект ~ l/^/Q2 с соответствующей малой порцией энергии исходного адрона Q2/s « х «С 1. Оказывается, что число малых партонов с малым сечением carton ~ 1/Q2 может достигать Q2R2V что к приводит к сечениям crsemiimni ~ jRhadron- Но, в отличие от мягких процессов, малые расстояния ПОЛужеСТКИХ ПрОЦеССОВ rscmihaid ~ Vv^ ^ ^hadron обєСПЄЧИВаїОТ
as(Q2) С 1, что делает возможным применять теорию возмущений к изучению полужестких процессов.
Пертурбативный анализ полужестких процессов столкнулся с определенными математическими трудностями. Малость х приводит к существованию больших логарифмов 1/х, таких что as{Q2) 1п(1/ж) ~ 1. Величины, усиленные степенями таких логарифмов, должны быть просуммированы во всех порядках теории возмущений. Однако можно сконцентрироваться на суммировании если не всего ряда, то его части, содержащей наибольшие степени 1п(1/а;). Учет всех членов вида 0-(Born) [as(Q2) 1п(1/ж)]п называется главным логарифмическим приближением (ГЛП) по 1п(1/ж).
Реджезация элементарных частиц
Один из наиболее плодотворных методов теоретического исследования полужестких процессов в КХД является в настоящее время метод БФКЛ
(Балицкий-Фадин-Кураев-Липатов) [3,4], использующий замечательное свойство КХД — реджезацию глюона.
Частица Р массы тр и спина Jp реджезуется, если асимптотика s —» со амплитуды, включающей обмен в t-канале квантовыми числами этой частицы, дается фактором Редже (s)Jp^. В этом случае говорят об обмене реджезовашюй частицей или реджеоном. Функция jp(t) называется траекторией Редже этой частицы и обладает свойством jp(mp) = Jp. Она описывает движение полюса в плоскости комплексного углового момента j. В понятие реджезации в КХД включается не только существование редже-онов с квантовыми числами и траекториями кварка и глюона, но также и то, что в ГЛП все амплитуды в мультиреджевской кинематике (МРК) определяются только обменом реджеоном. То есть в высокоэнергетическом пределе МРК остаются только амплитуды с обменом квантовыми числами реджеонов (что в частности означает цветовой октет для глюонных обменов и цветовой триплет для фермионных обменов). В отличие от обычных частиц реджеон обладает дополнительным квантовым числом —. сигнатурой. Реджезованный глюон обладает отрицательной сигнатурой, то есть в пределе s —» оо вклад в упругую амплитуду от обмена этим реджеоном нечетен относительно замены s *-> и. Реджезованный кварк — положительной. Например, виртуальные радиационные поправки в ГЛП к амплитуде партон-партонного рассеяния с отрицательной сигнатурой и преобразующейся по октетному представлению цветовой группы, могут быть получены во всех порядках теории возмущений по as заменой
При этом амплитуда упругого рассеяния с обменом реджезованным глюо-ном примет особую реджевскую форму:
'іАш _ (_ЛШ
где Г, Г — эффективные вершины частица-частица-реджеон (ЧЧР). Подобная реджевская форма амплитуды является требующей доказательства
гипотезой.
Исследование реджезации элементарных частиц в квантовой электродинамике (КЭД) было начато Гелл-Маном с соавторами [5] и Полкингор-ном [6], показавшим, что электрон реджезуется. Манделстамом [7] были предложены условия, необходимые для реджезации, рассматриваемые в последствие несколькими авторами [8]. Мак-Коем и By [9], и другими авторами [10] была продемонстрирована реджезация электрона для случая массивной КЭД. В отличие от электрона, фотон в КЭД не реджезуется [7]. В работе [11] было показано, что критерий реджезации, сформулированный Манделстамом [7], выполняется в неабелевых калибровочных теориях для векторных и спинорных частиц. Прямым вычислением амплитуд рассеяния в ГЛП до шестого порядка теории возмущений Липатовым продемонстрирована реджезация векторного мезона для случая калибровочной группы SU(2) [12]. Позднее этот результат был обобщен на другие модели [13]. Результаты расчета шестого порядка были подтверждены рядом работ [14]. Мультиреджевская форма амплитуд с обменом векторным мезоном в ГЛП была доказана во всех порядках теории возмущений в 1979 г. [15] (доказательство для КХД в следующем за главным логарифмическом приближении (СГЛП) было окончательно проведено в 2006 году [16]). Так же амплитуды рассеяния в теории Янга-Миллса в реджевском пределе во всех порядках теории возмущений были рассмотрены Майсоном [17], использовавшим кулоновскуго калибровку в нековариантной теории возмущений, и Ченгом и Ло [18], разработавшими рекуррентные соотношения для вычисления ГЛП амплитуд в реджевском пределе в высших порядках теории возмущений.
Следующий важный шаг был сделан Кураевым, Липатовым и Фади-ным [3]. Используя технику, основанную на дисперсионных соотношениях, и результаты вычислений в 8-м порядке теории возмущений, они показали, что в МРК 2 — п амплитуда с обменом квантовыми числами векторного мезона дается лестничной диаграммой с реджезованными векторными мезонами в і-канале. Было получено уравнение, суммирующее подобные
лестницы в ГЛП во всех порядках по as, и найдена форма амплитуды при s —> со. Балицкий и Липатов продемонстрировали применение этого уравнения при исследовании амплитуды 7*7*~Рассеяния Щ- В это же время Бартелс [19] а также Бронзаи и Шуга [20] получили уравнения, следующие из реджеонной теории поля [21]. В своих работах они исследовали особенность с фиксированными квантовыми числами в t-канале, предполагая что она проявляется как связанное состояние двух реджезованных векторных мезонов.
Реджезация фермиона в неабелевой калибровочной теории была продемонстрирована в работе Фадина и.Шермана [22]. Амплитуды упругих процессов с обменом фермионом в канале с малым переданным импульсом были вычислены до шестого порядка теории возмущений в ГЛП. Для этого был использован дисперсионный метод вычисления амплитуд, развитый при исследовании реджезации векторного мезона. Расчеты показали, что как в случае с векторным мезоном, упругие и неупругие амплитуды имеют простой реджевский вид, который был обобщен на все порядки теории возмущений. Используя это обобщение Фадин и Шерман построили интегральные уравнения для парциальных амплитуд упругих процессов с фер-мионным обменом. Решение этих уравнений для положительной сигнатуры показало, что в ГЛП фермион реджезуется и предложенный реджевский вид амплитуд самосогласован.
БФКЛ померон
Поведение амплитуд рассеяния при больших энергиях s1//2 и фиксированных переданных импульсах \q\ = {-t)ll2 ~ т определяется сингуляркостями ^-канальных парциальных воли в комплексной плоскости углового момента j [23]. Наибольший интерес вызывает природа померанчуков-ской сингулярности в канале с вакуумными квантовыми числами. В теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N) померанчуковская сингулярность в ГЛП возникает как связанное состояние двух реджезован-
ных глюонов. Соответствующие парциальные волны имеют неподвижную корневую особенность при jo = 1 + з,2Лг1п(2)/7г2 [3]. Степенное поведение сечения a^j ~ (s)-70-1, продемонстрированное в работе [4], находится в качественном согласии с экспериментальными данными, однако оно получено в ГЛП, обладающем рядом существенных недостатков, уменьшающих его предсказательную силу: в ГЛП не фиксирован ни масштаб энергии ни аргумент as; степенной рост полного сечение рассеяния частиц Ctotai ~ S055 (для as : 0.2) нарушает унитарный предел скорости роста сечения: crtotai < cln2(s), определенный теоремой Фруассара [24]. Для решения первых двух проблем необходимо вычисление поправок к результатам ГЛП. В следующем за главным логарифмическом приближении представление амплитуд в виде свертки импакт-факторов и функции Грина двух взаимодействующих реджезованных глюонов, а так же уравнение БФКЛ для этой функции сохраняют свою форму [25]. Таким образом, задача построения СГЛП была сведена к задаче вычисления поправок к импакт-факторам и ядру уравнения БФКЛ. Для рассеяния вперед и вакуумных квантовых чисел в ^-канале задача была решена в 1998 году [26]. Вычисление ядра при t ф 0 для всех возможных квантовых чисел в ^-канале было окончательно закончено в 2005 году [27]. На сегодняшний день вычислены СГЛП поправки к импакт-факторам кварка и глюона [28], а также перехода фотона в векторный мезон [29]. Однако наиболее интересный из импакт-факторов физических частиц (так как может быть вычислен полностью в рамках иКХД) импакт-фактор глубоко-виртуального фотона до сих нор не вычислен в СГЛП.
Оказалось, что СГЛП поправки, полученные в схеме MS, слишком велики и сильно зависят от схемы перенормировки. Это обстоятельство потребовало "пересуммирования" ряда для ядра уравнения БФКЛ. Наиболее перспективным здесь представляется синтез двух подходов: использование неабелевых физических схем перенормировок с устраняющим неопределенность в масштабе перенормировки BLM (Brodsky-Lepage-Mackenzie) [30] выбором аргумента as, и суммирование вкладов в ядро от коллинеарной
кинематики (см. [31], [32] и ссылки там). Применение BLM схемы продемонстрировало хорошее согласие с данными LEP2 (OPAL, L3), ALEPH в области до 1п(1/а;) < 6 (см. например [33]).
Проблема нарушения унитарного предела, устанавливаемого теоремой Фруассара, связана с ростом плотности партонов, предсказанным уравнением БФКЛ. Эффекты взаимодействия партонов (нелинейные эффекты) должны останавливать рост плотности — приводить к насыщению. Нелинейные эффекты характеризуются новым динамическим масштабом Qs(x) и проявляются, в частности, как "геометрический скейлинг". Они уже наблюдались на HERA и заведомо будут важны на LHC. Первыми подход к учету взаимодействия партонов разработали Грибов, Левин и Рыскин [34]. Ими была рассмотрена эволюция взаимодействующих партонных каскадов (/а?г-диаграммы). Развитый подход подчеркнул необходимость рассмотрения диаграмм с более чем двумя реджеонами в і-канале. Одна из возможных программ вычисления этого вида поправок базируется на системе интегральных уравнений ВКР (Bartels-Kwiecinski-Praszalowicz) [35] для амплитуды с обменом несколькими взаимодействующими реджезованны-ми глюонами (обмен двумя соответствует уравнению БФКЛ). Оказалось, что в пределе больших Nc эти уравнения интегрируемы [36]. Важным ингредиентом для продвижения в этом направлении является эффективная вершина 2 — 4 взаимодействия реджезованиых глюонов, вычисленная в подходе БФКЛ в работе [37] и исследованная в работах [38]. Еще один подход к рассмотрению проблемы унитаризации базируется на эффективной теории поля, совпадающей с КХД в случае, когда все частицы в промежуточном состоянии s- и и- каналов удовлетворяют мультиреджевской кинематике [39]. Однако наиболее общий подход состоит в переформулировании КХД в терминах калибровочно-инвариантной эффективной теории поля, описывающей взаимодействие реджезованиых глюонов. Возможный способ построения этой теории базируется на высокоэнергетическом эффективном действии КХД, обобщающем подход БФКЛ на мультиреджеонные взаимодействия [40].
В настоящее время при описании эффектов партон-партонного взаимодействия пользуется популярностью модель цветовых диполей [41]. Эта модель привлекательна тем, что дает прозрачную физическую картину полужестких процессов в системе покоя мишени (входящий 7* распадается на qq цветовой диполь задолго до взаимодействия "с мишенью) и имеет простое обобщение на нелинейный режим насыщения — уравнение БК (Балицкого-Ковчегова) [42]. В линейном приближении эта модель дает те же результаты, что и подход БФКЛ [43]. Альтернативным подходом к описанию эффектов насыщения является конденсат цветного стекла [44]. В нем эволюция по 1/х базируется на функциональном уравнении. В работе [45] было доказано, что при вычислении наблюдаемых этот подход эквивалентен модели цветовых диполей.
Реджеонные обмены
Наряду с помероном, определяющим асимптотику сечений при высоких энергиях, феноменологии адронов требуются реджеоны, которые могут быть построены в пертурбативной КХД как бесцветные состояния редже-зованного кварка и антикварка. Одной из задач, связанных с реджеонным обменом, является нахождение несинглетных структурных функций глубо-конеупругого рассеяния при малых х, что играет важную роль при точном описании кварковых плотностей. Суммирование дважды логарифмических вкладов в синглетную и несинглетную структурные функции обнаружило реджевское поведение ~ (1/я)А ПРИ х ~* 0 [46,47]. Позднее, в работе [48] был предложен способ учета эффектов зависимости as от Q2. Полученные значения Д для синглетной и несинглетной структурной функции оказались в хорошем согласии с анализом экспериментальных данных [49,50].
Данные о сечениях полужестких процессов указывают на необходимость нескольких поправок к доминирующему вкладу от обмена помероном [33,51,52]. Пертурбативные поправки связывают с кварковой петлей. Непертурбативные вклады включают обмен мягким помероном (в обла-
сти малых Q2) и обмен вторичными реджеонами: обмен /о (синглет по аромату) или Ло, Ач (не синглетные по аромату) [52]. Хотя в адронных рассеяниях вторичными реджеонами обозначают обмен мезоном и относят к непертурбативной физике, можно ожидать, что если адроны заменить фотонами с высокой виртуальностью Q2, то жесткий масштаб на концах реджеона оправдает применение теории возмущений (аналогично случаю с БФКЛ помероном). Хорошим примером такого процесса является 7*7*~ рассеяние. Если предположения о применимости пКХД верны, то мезонный обмен можно смоделировать обменом кварк-антикварковой парой [53].
Диаграммы рассеяния с фермион-антифермионным обменом в ^-канале были рассмотрены во множестве работ: [46,47,53-56]. Было показано, что в ГЛП амплитуды с положительной сигнатурой и несинглетным по аромату обменом даются лестничными диаграммами. Амплитуды с отрицательной сигнатурой содержат также и нелестничные диаграммы, а обмен в КХД синглетом по аромату включает в себя смесь кварк-антикваркового и двух-глюонного состояния в ^-канале, что в итоге может привести к большему, по сравнению с несинглетным обменом вкладу [47].
С технической точки зрения уже на борновском уровне различия между спином кварка и глюона в процессах с обменом кварк-антикварковой и глюонной парой приводит к двум важным отличиям. Первое — диаграмма с двухглюонным обменом в ^-канале содержит дополнительную s в числителе, по сравнению с диаграммой с кварк-антикварковым обменом, второе — появление в амплитуде с обменом фермионами с противоположными спи-ральностями квадратов логарифма s [54,56].
Хотя вклад кварковой петли в сечение 7*7*~Рассеяния ^J--hox ~ \n(s/Q2)/s, быстро падает с ростом энергии, и им можно пренебречь на энергиях NLC, оказалось, что учет излучения глюонов приводит к значительному усилению этого вклада: в 10 раз в области энергий NLC [57]. Причиной этого служит большое значение интерсепта wf = ^/2а^СЇфг ~ 0.46 (здесь + значит знак сигнатуры и as « 0.25) вклада в сечение, связанного с обменом од-лестницей: а ~ sWo_1. Слабо подавленная по as зави-
симость u)q = ^/const as является следствием дважды логарифмической асимптотики, в отличие от однологарифмического поведения БФКЛ по-мерона, приводящего к jo = const as. Вычисленные значения интерсептов для положительной и отрицательной сигнатур ц}\ и 0 ~ 1.04 Ц}" близки к практически совпадающим значениям интерсепта ад феноменологических реджеонов Ач (положительная сигнатура) и ш, р (отрицательная сигнатура): а#(0) « 0.5, что говорит в пользу моделирования обмена вторичным реджеоном при помощи ад-обмена.
Не менее важным проявлением дважды логарифмов является возросшая роль инфракрасной области. Суммируемые лестничные диаграммы инфракрасно-конечны, однако, так же как в БФКЛ подходе, вклады от области малых поперечных импульсов к±, хотя и не приводят к расходи-мостям, не могут быть надежно рассмотрены в рамках теории возмущений. Характерным свойством эволюции БФКЛ является диффузия в пространстве поперечных импульсов [3]. Размер области диффузии в масштабе ln(fcj_) растет ~ >/ln(s), так что при достаточно больших s характерный поперечный импульс к]_ может достичь инфракрасной границы $ < lGeV2, начиная с которой необходимо учитывать непертурбативные поправки. Эта проблема встает особенно остро при вычислении структурных функций, так как со стороны протона эволюция уже начинается достаточно глубоко в непертурбативной области, диффузия же по к\ ухудшает положение дел. В случае обмена gg-лестницей диффузия заменяется линейным ростом и в масштабе hi(fc^) размер области характерных поперечных импульсов ~ ln(s) [57]. Возможным решением этой проблемы является рассмотрение процессов, в которых вклад инфракрасной области подавлен за счет особенностей кинематики. Например конечная передача импульса t работает как инфракрасное обрезание. Другая возможность — упомянутый выше процесс 7*7*~Рассеяния) в котором большая виртуальность фотона Q2 отодвигает характерные к\ от инфракрасной области (обсуждение и оценку числа событий для БФКЛ можно найти в работе [58]). Таким образом, хотя для 7*7*-Рассеяния применимость пКХД для вторичных реджеонов в
ГЛП определяется сильным ограничением s < Q4/f4 (в отличие от соответствующего условия для БФКЛ y/\n(s/Q2) < \n(Q2///о)), было показано, что уже при ці ~ 0.5GeV2 почти все доступные на LEP данные лежат в жесткой области, и вкладами от непертурбативных реджеонов можно пренебречь [57]. Нарушение условия s < Q4/hI приводит к появлению слабой логарифмической зависимости от /і2,: введение обрезания на /і2,, как в случае введения ненулевой передачи t в БФКЛ-физике, меняет лишь предэкспо-ненциальный множитель.
На данный момент существует три различных подхода к анализу обмена од-лестницей в дважды логарифмическом приближении. Один из них, изначально построенный для при рассмотрении аннигиляции е+е~ —> fi+fi~ вперед [54] и затем расширенный на более сложный, из-за присутствия дополнительного масштаба Q2, процесс 7*7*_Рассеяния [57], базируется на прямом суммировании лестничных диаграмм, приводящем к уравнениям типа Бетте-Солпитера для амплитуды. Второй метод использует инфракрасное уравнение эволюции [56]. С дважды логарифмической точностью уравнение описывает зависимость от параметра инфракрасного обрезания /і2 для поперечного импульса кварка в лестнице. Параметр ц2 вспомогательный. После его отождествления с масштабом непертурбативной физики ці уравнение приводит к тому же ответу, что и линейное уравнение Бета-Солпитера, суммирующее фейнмановскиё диаграммы. Метод инфракрасного уравнения эволюции позволяет рассматривать обмены как с положительной, так и с отрицательной сигнатурой (включающей нелестничные диаграммы). Третий подход использует формализм парциальных воли и понятие реджеонной функции Грина [59], полученной решением линейного уравнения а 1а БФКЛ для амплитуды фермион-антифермионного рассеяния, и может быть обобщен на случай ненулевой передачи импульса в t-канале [60]. В работе [57] был проведен подробный анализ обмена ад-парой в несинглетном состоянии для процесса 7*7*~Рассеяния в ГЛП и продемонстрирована эквивалентность трех вышеназванных подходов. Синглетный вклад в 7*7* рассеяние включает примесь глюон-глюонных обменов в спи-
ральном состоянии отличном от так называемого нонсенс-состояния БФКЛ померона и до сих пор не вычислен. Ожидается, что он будет иметь аналогичную зависимость от s.
Существующие на сегодняшний день пертурбативные расчеты вклада вторичных реджеонов и оценки области применимости пКХД к таким расчетам являются весьма грубыми. Главное логарифмическое приближение, в котором получен вклад от реджеонного обмена в структурные функции и в амплитуду 7*7*~Рассеяния> обладает теми же недостатками что и ГЛП в БФКЛ расчетах: не фиксирован ни масштаб энергии, ни аргумент as. С практической точки зрения важно определить область энергий и передач импульсов, где применим подход, использованный для расчета qq-обмет. Для этой цели необходимо вычислить радиационные поправки к ГЛП. Важность этих поправок подчеркивается тем обстоятельством, что численный коэффициент в линейной зависимости аргумента as от виртуальности фотона находится вне точности главного логарифмического приближения. Это существенно уменьшает предсказательную силу ГЛП, так как численные результаты могут сильно модифицироваться изменением этого коэффициента. Более того, исходя из опыта БФКЛ можно ожидать, что поправки к ГЛП и в случае вторичных реджеонов будут не малы.
Наиболее перспективным для построения СГЛП к амплитудам с обменом qq лестницей выглядит метод, основанный на уравнении эволюции с обменом реджезованными кварками в ^-канале (пока не ясно, применим ли он к синглетному обмену). Это метод демонстрирует один из возможных путей распространения идей, развитых для глюонных обменов, на процессы с обменом фермионом. Очевидным препятствием для таких обобщений являются дважды логарифмические вклады, присутствие которых не позволяет напрямую применить развитые для пертурбативного померона методы, где все ограничивается однологарифмическим поведением. Однако было показано [59], что полезные при рассмотрении мультиреджеонных обменов свойства конформной симметрии и голоморфной факторизации уравнения БФКЛ в пространстве прицельных параметров (см. например работы [61])
выполняются так же для ядра уравнения эволюции с обменом реджезован-ными кварками. В работе [62] это уравнение было обобщено, с сохранением конформной инвариантности и голоморфной факторизации, на парные взаимодействия реджезованных кварков и глюонов.
В основе всех эти построений лежит гипотеза о мультиреджевской форме амплитуд с обменом кварком, которая, будучи предложена в работе [22], только проверена на самосогласованность во всех порядках теории возмущений для конкретного процесса упругого кварк-глюонного рассеяния и до сих пор не была доказана даже в ГЛП. Построение же следующего приближение требует, помимо доказательства гипотезы, вычисления поправок к основным элементам амплитуды: траектории Редже кварка и эффективным вершинам взаимодействия реджезованного кварка с кварком и глюо-ном. Настоящая диссертация посвящена решению этих задач и основана на работах [63-67].
Диссертация организована следующим образом: в первой главе приводится полное доказательство мультиреджевской формы амплитуд для произвольного неупругого кварк-глюонного процесса во всех порядках теории возмущений. Доказательство построено для ГЛП в мультиреджевской кинематике (МРК), а также для квази-мультиреджевской кинематики (КМРК). В отличие от МРК, для которой любая пара рожденных частиц имеет инвариантную массу много больше характерного поперечного импульса, КМРК включает струи частиц с инвариантной массой порядка характерного поперечного импульса. В следующем за ГЛП приближении в КМРК может рождаться только одна пара частиц с ограниченной инвариантной массой, любые другие пары частиц в этой области должны иметь большую инвариантную массу. Рассмотрение КМРК очень близко к МРК и связано с минимальным изменением необходимых формул.
Вторая глава посвящена анализу структуры амплитуды упругого рассеяния с обменом фермионом в і-канале в реджевской кинематике в следующем за главным логарифмическом приближении. Предсказания гипотезы о реджевской формы амплитуды сравниваются с точным одно- и двух- пет-
левым расчетом. Предположение ее верности позволило вычислить двух-петлевую поправку к траектории Редже кварка в пределе D —> 4 (в методе размерной регуляризации размерность пространства-времени D = 4 + 2е).
В третьей главе высокоэнергетическая амплитуда упругого рассеяния с обменом фермионом в ^-канале исследована в СГЛП методами, основанными на 5-канальной унитарности и. аналитичности амплитуд рассеяния. Эти методы были развиты при исследовании процессов с обменом глюо-ном. Нами получена двухпетлевая поправка к траектории Редже кварка, вычисленная для произвольной размерности пространства-времени D.
Четвертая глава посвящена вычислению СГЛП поправки к эффективной вершине рождения глюона реджезованным кварком. Поправка вычислена для безмассовых кварков в пределе D —> 4 при помощи методов, основанных на дисперсионных соотношениях, s- и і-канальной унитарности и перенормируемости КХД.
Квази-мультиреджевская форма амплитуды
Не менее важным проявлением дважды логарифмов является возросшая роль инфракрасной области. Суммируемые лестничные диаграммы инфракрасно-конечны, однако, так же как в БФКЛ подходе, вклады от области малых поперечных импульсов к±, хотя и не приводят к расходи-мостям, не могут быть надежно рассмотрены в рамках теории возмущений. Характерным свойством эволюции БФКЛ является диффузия в пространстве поперечных импульсов [3]. Размер области диффузии в масштабе ln(fcj_) растет /ln(s), так что при достаточно больших s характерный поперечный импульс к]_ может достичь инфракрасной границы $ lGeV2, начиная с которой необходимо учитывать непертурбативные поправки. Эта проблема встает особенно остро при вычислении структурных функций, так как со стороны протона эволюция уже начинается достаточно глубоко в непертурбативной области, диффузия же по к\ ухудшает положение дел. В случае обмена gg-лестницей диффузия заменяется линейным ростом и в масштабе hi(fc ) размер области характерных поперечных импульсов ln(s) [57]. Возможным решением этой проблемы является рассмотрение процессов, в которых вклад инфракрасной области подавлен за счет особенностей кинематики. Например конечная передача импульса t работает как инфракрасное обрезание. Другая возможность — упомянутый выше процесс 7 7 Рассеяния) в котором большая виртуальность фотона Q2 отодвигает характерные к\ от инфракрасной области (обсуждение и оценку числа событий для БФКЛ можно найти в работе [58]). Таким образом, хотя для 7 7 -Рассеяния применимость пКХД для вторичных реджеонов в ГЛП определяется сильным ограничением s Q4/f4 (в отличие от соответствующего условия для БФКЛ y/\n(s/Q2) \n(Q2///о)), было показано, что уже при ці 0.5GeV2 почти все доступные на LEP данные лежат в жесткой области, и вкладами от непертурбативных реджеонов можно пренебречь [57]. Нарушение условия s Q4/HI приводит к появлению слабой логарифмической зависимости от /І2,: введение обрезания на /І2,, как в случае введения ненулевой передачи t в БФКЛ-физике, меняет лишь предэкспо-ненциальный множитель.
На данный момент существует три различных подхода к анализу обмена од-лестницей в дважды логарифмическом приближении. Один из них, изначально построенный для при рассмотрении аннигиляции е+е — fi+fi вперед [54] и затем расширенный на более сложный, из-за присутствия дополнительного масштаба Q2, процесс 7 7 _Рассеяния [57], базируется на прямом суммировании лестничных диаграмм, приводящем к уравнениям типа Бетте-Солпитера для амплитуды. Второй метод использует инфракрасное уравнение эволюции [56]. С дважды логарифмической точностью уравнение описывает зависимость от параметра инфракрасного обрезания /І2 для поперечного импульса кварка в лестнице. Параметр ц2 вспомогательный. После его отождествления с масштабом непертурбативной физики ці уравнение приводит к тому же ответу, что и линейное уравнение Бета-Солпитера, суммирующее фейнмановскиё диаграммы. Метод инфракрасного уравнения эволюции позволяет рассматривать обмены как с положительной, так и с отрицательной сигнатурой (включающей нелестничные диаграммы). Третий подход использует формализм парциальных воли и понятие реджеонной функции Грина [59], полученной решением линейного уравнения а 1а БФКЛ для амплитуды фермион-антифермионного рассеяния, и может быть обобщен на случай ненулевой передачи импульса в t-канале [60]. В работе [57] был проведен подробный анализ обмена ад-парой в несинглетном состоянии для процесса 7 7 Рассеяния в ГЛП и продемонстрирована эквивалентность трех вышеназванных подходов. Синглетный вклад в 7 7 рассеяние включает примесь глюон-глюонных обменов в спи -14 ральном состоянии отличном от так называемого нонсенс-состояния БФКЛ померона и до сих пор не вычислен. Ожидается, что он будет иметь аналогичную зависимость от s.
Существующие на сегодняшний день пертурбативные расчеты вклада вторичных реджеонов и оценки области применимости пКХД к таким расчетам являются весьма грубыми. Главное логарифмическое приближение, в котором получен вклад от реджеонного обмена в структурные функции и в амплитуду 7 7 Рассеяния обладает теми же недостатками что и ГЛП в БФКЛ расчетах: не фиксирован ни масштаб энергии, ни аргумент as. С практической точки зрения важно определить область энергий и передач импульсов, где применим подход, использованный для расчета qq-обмет. Для этой цели необходимо вычислить радиационные поправки к ГЛП. Важность этих поправок подчеркивается тем обстоятельством, что численный коэффициент в линейной зависимости аргумента as от виртуальности фотона находится вне точности главного логарифмического приближения. Это существенно уменьшает предсказательную силу ГЛП, так как численные результаты могут сильно модифицироваться изменением этого коэффициента. Более того, исходя из опыта БФКЛ можно ожидать, что поправки к ГЛП и в случае вторичных реджеонов будут не малы.
Наиболее перспективным для построения СГЛП к амплитудам с обменом qq лестницей выглядит метод, основанный на уравнении эволюции с обменом реджезованными кварками в -канале (пока не ясно, применим ли он к синглетному обмену). Это метод демонстрирует один из возможных путей распространения идей, развитых для глюонных обменов, на процессы с обменом фермионом. Очевидным препятствием для таких обобщений являются дважды логарифмические вклады, присутствие которых не позволяет напрямую применить развитые для пертурбативного померона методы, где все ограничивается однологарифмическим поведением. Однако было показано [59], что полезные при рассмотрении мультиреджеонных обменов свойства конформной симметрии и голоморфной факторизации уравнения БФКЛ в пространстве прицельных параметров (см. например работы [61]) выполняются так же для ядра уравнения эволюции с обменом реджезован-ными кварками. В работе [62] это уравнение было обобщено, с сохранением конформной инвариантности и голоморфной факторизации, на парные взаимодействия реджезованных кварков и глюонов.
В основе всех эти построений лежит гипотеза о мультиреджевской форме амплитуд с обменом кварком, которая, будучи предложена в работе [22], только проверена на самосогласованность во всех порядках теории возмущений для конкретного процесса упругого кварк-глюонного рассеяния и до сих пор не была доказана даже в ГЛП. Построение же следующего приближение требует, помимо доказательства гипотезы, вычисления поправок к основным элементам амплитуды: траектории Редже кварка и эффективным вершинам взаимодействия реджезованного кварка с кварком и глюо-ном. Настоящая диссертация посвящена решению этих задач и основана на работах [63-67].
Реджевский предел одно- и двух- петлевых вычислений
Доказательство ур. (1.5) базируется на s-канальной унитарности, снабжающей нас скачками discSij (то есть удвоенными мнимыми частями) амплитуд в Sjj каналах. Нам необходимо связать выражения для амплитуд (которые реальны в ГЛП и в СГЛП для КМРК) с этими скачками. Это несложно для упругой амплитуды. К сожалению, в неупругом случае все заметно сложнее даже в МРК [72]. Однако оказывается, что для рассматриваемых МРК в ГЛП и КМРК в СГЛП, аналитические свойства таких амплитуд сильно упрощаются. Это позволяет нам выразить частные производные d/d\n(si) амплитуд, как функции Sj, г = 1... п + 1 и поперечных компонент импульсов, в терминах скачков сигнатуризованных амплитуд. Использование борновской формы этих амплитуд в качестве начального условия и соотношений унитарности в качестве процедуры построения амплитуды в следующем порядке позволит нам найти все необходимые амплитуды шаг за шагом в теории возмущений. Отметим, что в работах [3,22] при помощи соотношений -канальной унитарности борновское приближение представления (1.5) в МРК было доказано. В случае КМРК борновская форма амплитуды была проверена для соответствующих древесных амплитуд из которых извлекались вершины 77гтг и fp p }P- Для амплитУД с произвольным числом п излученных частиц доказательство может быть проведено также, как для МРК в работах [3,22].
В случае (квази)упругой амплитуды частная производная д/дIns может быть выражена в терминах «s-канального скачака довольно просто. Радиационные поправки для сигнатуризованной амплитуды могут зависеть от s только в форме (lnra(—s) + lnn s) независимо от сигнатуры. В ГЛП мы получаем
Мы поделили на борновскую амплитуду для того, чтобы дифференцировать s-зависимость только радиационных поправок. Для неупругой амплитуды А2-+2+п основное усложнение связано с тем, что вместо s у нас (n + 2)(n + 1)/2 больших инвариантов sij = (/ + kj)2 которые, благодаря уравнениям связям (1.3) не являются независимыми. Уравнения вида (1.53), связывающие скачки в каждом канале с соответствующими производными амплитуды не существуют. Однако существует система уравнений [73], связывающая комбинации скачков и частных производных d/dsi. \dlns,fc+i dhi8k, Здесь, в правой части, в качестве независимых переменных амплитуды выбраны S{, і = 1... п + 1 и поперечные импульсы. Уравнения (1.54) могут быть доказаны с использованием соотношений Стейнмана. Эти соотношения были рассмотрены в работе Бартелса [72]. В ней было показано, что в нашей кинематике амплитуда может быть записана в виде суммы вкладов (будем называть это разложением Бартелса), каждый из которых представляет из себя дисперсионный интеграл от некоторой абсорбционной части. Эта часть отвечает одновременным п + 1 разрезаниям амплитуды, совместимым с реальностью всех частиц в промежуточном состоянии. Разрезания проводятся по неперекрывающимся каналам Sikjk, %к jk, к = 1.. . п + 1. При этом каждый вклад, посчитанный в теории возмущений, может быть записан в виде сигнатуризованного разложения по логарифмам от переменных Sikjk. Коэффициенты будут вещественными (что важно) функциями поперечных компонент импульсов. Два канала s и s;2j2 называются перекрывающимися, если выполняется или г і %2 j\ J2, или г г г і J2 ji- Подходящим образом симметри-зованные по отношению к кроссингу вклады дают возможность построить амплитуды с определенной сигнатурой в каждом ( -канале. Важно, что благодаря соотношениям (1.3) энергетические переменные S{kjk неперекрывающихся каналов независимы; это в частности означает, что нам необходимо рассматривать только главные порядки логарифмов от этих переменных; нет необходимости рассматривать коэффициенты, зависящие только от поперечных компонент импульсов ни при расчете скачков, ни при вычислении производных ПО InSj. Так как амплитуды входят в соотношение (1.54) линейно и однородно, достаточно доказать эти соотношения в ГЛП для каждого из вкладов в разложении Бартелса в отдельности. При этом надо рассматривать только энергетическую зависимость от Sikjk, получаемую в результате учета радиационных поправок во всех порядках по as в ГЛП для МРК и для СГЛП в КМРК. Для 2 n+2/ 2 m+2 подобная зависимость может быть представлена в виде Здесь степени otij д2 отличаются от нуля только для некоторых наборов неперекрывающихся каналов, соответствующих выбранному вкладу из разложения Бартелса. Они зависят от поперечных компонент импульса и в остальном предполагаются нами произвольными. S означает симметризацию ПО ОТНОШеНИЮ К ОДНОВремеННОЙ СМене ЗНаКОВ ВСЄХ Sij с і к j, осуществленную независимо для каждого к — 1.. .п + 1. Действительно, из-за вышеупомянутой произвольности а выполнение ур. (1.54) для SP гарантирует выполнение этих уравнений для любых сигнатуризованных логарифмических рядов. При этом вычисляя скачок от SP по одному из инвариантов s в ГЛП с atj д2, мы пренебрегаем знаками всех других инвариантов. Для того чтобы выразить амплитуды, входящие в правую часть уравнения (1.54), через si, можно использовать в нашем приближении,
Двухпетлевая поправка к траектории кварка
Методы 5-канальной унитарности и аналитичности амплитуд рассеяния, использованные в этой главе, были развиты при исследовании процессов с обменом глюоном (см. работы [12]) и успешно применены к процессам с фермионным обменом [22]. Мы вычислим логарифмический и нелогарифмический вклад в двухпетлевой s-канальный скачок амплитуды обратного кварк-глюонного рассеяния с положительной сигнатурой и докажем, что только состояние цветового триплета в --канале дает вклад в скачок. Это будет означать, что только вклад А% выживает в СГЛП, как в ГЛП. Будет проведено сравнение вычисленного скачка со скачком амплитуды с обменом реджезованным кварком (2.14). Логарифмические члены совпадают, нелогарифмические члены скачка выражаются через однопетлевые поправки к эффективным вершинам частица-частица-реджеон (ЧЧР), ко-торые известны, и двухпетлевую поправку к траектории кварка д , что дает возможность вычислить последнюю. Двухпетлевая поправка к траектории Редже кварка вычислена для произвольной размерности пространства-времени D. Заметим, что эффективные вершины ЧЧР известны и для массивных кварков [69], так что все построения, представленные ниже, могут быть непосредственно распространены на случай массивного кварка. в реджевском пределе. Так как в результате замены s — и = —s главные логарифмы в амплитудах с отрицательной сигнатурой сокращаются во всех порядках теории возмущений, ниже мы будем рассматривать только амплитуды с положительной сигнатурой. В этой главе мы будем писать символы начальных (конечных) частиц, как нижние (верхние) индексы амплитуды рассеяния и ставить на первое место частицы с импульсом близким к рс-Удобно воспользоваться судаковским разложением импульсов pi = riiy/s/2 (см. Главу 1): предполагая, что импульсы PG, PQ И PQ, р& близки к светоконусным импульсам р\ и р2 соответственно, так что и все поперечные импульсы ограничены, так что д qj_. Для глюонов с импульсом ка (/) имеющими доминирующие компоненты вдоль pi (]) мы продолжаем использовать физическую светоконусную калибровку векторов поляризации е(ка)р2 = 0 (е(кь)рі = 0) где (ab)± означает (а±Ь±). Более того, так как в нашей калибровке векторы поляризации глюонов выражаются только в терминах своих поперечных компонент, мы будем использовать только эти компоненты без явного указания их поперечности, то есть везде ниже в этой главе е означает е±. Аналогично мы поступим с передачей импульса q.
Для безмассовых кварков эффективные вершины ЧЧР, входящие в (2.14) имеют вид приведенный в ур. (2.16) [69]. Во избежании недоразумений отметим, что вершины ГСд и TQG, получаются из (2.16) подстановками
Представляя траекторию кварка как в ур. (2.15) и однопетлевой s-канальный скачок амплитуды Проекция на положительную сигнатуру осуществляется по процедуре, описанной в первой главе. Заметим, что вычисляя Д5, мы всегда будем пользоваться свойством, что после применения уравнения Дирака можно пренебречь вкладами, содержащими в амплитуде р х — крайним справа и f \ — крайним слева.
В прямом канале двух-частичное промежуточное состояние может быть только кварк-глюонным. Так как в соотношении унитарности важны только ограниченные поперечные импульсы промежуточных частиц (мы убедимся в этом явно, фактически это следствие перенормируемости), неисче-зающие вклады даются двумя непересекающимися кинематическими областями. В одной из них импульс промежуточного глюона близок к рс (см. рис. 7а), а в другой к PQ (рис. 7Ь). В обоих случаях амплитуды в правой части соотношения унитарности (3.7) берутся в реджевской кинематике. Так как нам необходимо вычислить двухпетлевой вклад в скачок, одна из этих амплитуд должна быть взята в борновском, а другая в однопетлевом приближении. Отметим, что так как борновская амплитуда вещественна, только реальная часть однопетлевой амплитуды важна для вычислении скачка. Таким образом необходимые амплитуды определяются вкладами от обмена реджезованным кварком и глюоном и, так как мнимая часть амплитуд не важна, мы можем использовать A G вместо (AQ,G,) .
Радиационные поправки к вершине РРЧ
Для нахождения поправки к вершине ЧЧР рассмотрен процесс аннигиляции кварка-антикварка в два фотона и глюон в мультиреджевской кинематике в СГЛП. Рассмотрение фотонов (а не глюонов) в области фрагментации начальных кварков существенно упрощает задачу и справедливо в предположении гипотезы о мультиреджевской форме амплитуды (которая, хоть и не доказана окончательно в СГЛП, прошла множество нетривиальных проверок). Эффективная вершина выражается двумя функциями (вершинами) 1Z и С. В ГЛП важна только сумма вершин в борновском приближении К + (\ Вычисление СГЛП поправки означает нахождение разницы вершин в борновском приближении (И — ) и суммы вершин в однопетлевом приближении (11 + ). Разница 1Z — найдена из сравнения вычисления 5-канальных скачков амплитуды, найденных с однопетлевой точностью, и скачков предсказываемых гипотезой о мультиреджевской форме. Вычисления суммы И + основано на сравнении неупругой амплитуды с квантовыми числами реджезованного кварка в кросс-каналах с ее реджевской формой в СГЛП. Указанная амплитуды восстанавливается при помощи методов, основанных на дисперсионных соотношениях, -канальной унитарности и перенормируемости КХД.
Хотя вычисления поправки к вершине проведены для массы кварка т = О, многие формулы будут выписаны для массивного случая.
Рассмотрим высокоэнергетический процесс А + В —» A + G + B рождения глюона G в МРК. Кинематика процесса изображена на рис. 14, там же введены обозначения частиц и соответствующих импульсов. Условия МРК Из-за произвола с выбором нормировки необходимо проверять, что все входящие в амплитуду вершины ЧЧР и РРЧ вычислены с соответствующим выбором точек нормировки. Из ур. (4.4) ясно, что вклад суммы 71 4- С лидирующий, в то время как разница TZ — С принадлежит следующему за главным логарифмическому приближению. В ГЛП мнимой частью амплитуды можно пренебречь, и только сумма 1Z + С даст вклад
Если гипотеза о мультиреджевской форме, разница TZ — С в том же порядке по д дает вклад только в радиационную поправку к амплитуде (4.4). Она может быть получена вместе с однопетлевой поправкой порядка д3 к сумме К + из анализа амплитуды рождения глюона, вычисленной с однопетлевой точностью. Мы сравним проекцию этой амплитуды на состояние цветового триплета и положительной сигнатуры в U каналах с ее мультиреджевской формой, соответствующей вкладу реджезованных кварков в ti и t2 каналах. Предполагаем, что однопетлевые поправки к Гр;р известны. С этой точностью мы получаем из ур. (4.4)
