Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих методов представления и обработки изображений пространственных объектов 17
1.1. Введение 17
1.2. Классификация моделей представления трехмерных объектов 17
1.3. Основные задачи, решаемые при обработке изображений групповых точечных объектов 22
1.4. Основные подходы к решению задач обработки изображений 23
1.5. Обсуждение результатов и конкретизация задач диссертационного исследования 30
2. Разработка математической модели изображения пространственного ГТО 32
2.1. Введение 32
2.2. Задание пространственно расположенных точек кватернионами 32
2.2.1. Точки и векторы, связанные с векторным кватернионом 32
2.2.2. Связь кватернионов с комплексными числами 34
2.2.3. Скалярное произведение кватернионов 36
2.3. Представление пространственных ГТО кватернионами сигналами 42
2.3.1. Задание и представление кватернионных сигналов 42
2.3.2. Скалярное произведение кватернионных сигналов 47
2.3.3. Неинвариантность величины взаимной энергии двух КТС к вращению одного из них 50
2.3.4. Математическая модель зашумленного пространственного ГТО 53
2.4. Представление пространственного ГТО в собственной системе отсчета 58
2.5. Выводы 64
3. Синтез алгоритмов распознавания пространственных групповых точечных объектов 66
3.1. Введение 66
3.2. Синтез алгоритма распознавания полностью известных кватернионных сигналов 66
3.3. Распознавание группового точечного объекта с неизвестным номером первой точки 71
3.4. Синтез алгоритма распознавания кватернионных сигналов с неизвестными значениями углов поворотов 73
3.4.1. Совмещение повернутого и исходного КТС при неизвестных параметрах вращения 73
3.4.2. Распознавание кватернионных сигналов с неизвестными значениями углов поворотов 80
3.4.3. Адаптация алгоритма распознавания пространственных ГТО для задачи идентификации звезды 81
3.5. Синтез алгоритма распознавания кватернионного сигнала, представленного в собственной системе отсчета 92
3.6. Выводы 94
4. Анализ эффективности алгоритмов распознавания пространственных ГТО 95
4.1. Введение 95
4.2. Оценка точности совмещения зашумленного и исходного КТС 95
4.3. Расчет характеристик распознавания пространственных ГТО, заданных кватернионными сигналами 97
4.4. Расчет характеристик распознавания пространственных ГТО, представленных в собственной системе отсчета 107
4.5. Выводы 108
Заключение ПО
Библиографический список
- Классификация моделей представления трехмерных объектов
- Точки и векторы, связанные с векторным кватернионом
- Распознавание группового точечного объекта с неизвестным номером первой точки
- Расчет характеристик распознавания пространственных ГТО, заданных кватернионными сигналами
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена решению научно-технической задачи, связанной с разработкой оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов распознавания изображений пространственных групповых точечных объектов на базе их кватернионных моделей, имеющих важное значение в области разработки перспективных информационных технологий, в том числе цифровых, для обнаружения и распознавания объектов и изображений в радиотехнических системах и устройствах.
Актуальность работы
В последние годы значительно возрос интерес к цифровым методам обработки изображений с целью решения таких традиционно «сигнальных» задач, как обнаружение, оценка параметров, разрешение и распознавание. Это объясняется, с одной стороны, резко возрастающими возможностями современной вычислительной техники и, с другой стороны, возникновением новых информационных технологий.
Значительное количество актуальных научно-технических задач сводится к обработке информации, получаемой от компактно расположенных на плоскости или в пространстве групп точечных объектов. Примерами таких групповых точечных объектов (ГТО) служат изображения звезд, изображения радиолокационного или гидролокационного характера, изображения микробиологических объектов и т.п.
Обработка изображений ГТО с использованием третьей пространственной координаты (высоты или глубины) позволяет повысить информативность изображений и существенным образом улучшить характеристики распознавания.
Одним из эффективных подходов к обработке, расположенных на плоскости или в пространстве, изображений ГТО с целью оценки их параметров, распознавания и идентификации является трактовка этих
изображений как определенного вида сигналов. Для их обработки используются обычные методы теории сигналов — спектральный и корреляционный анализ, различные виды фильтрации, в первую очередь согласованная. В данной работе рассматривается один из подходов к обработке кватернионных сигналов, включающей в качестве частного случая анализ комплекснозначных сигналов и создания на их основе алгоритмов распознавания изображений расположенных в пространстве ГТО.
Цель и задачи исследований
Целью диссертационной работы является разработка оптимальных и
квазиоптимальных алгоритмов распознавания изображений расположенных в
пространстве групповых точечных объектов на основе их кватернионных
моделей. Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются
f/ следующие задачи.
Разработка на основе кватернионов математической модели пространственного группового точечного объекта.
Разработка математической модели зашумленного пространственного группового точечного объекта.
Ввод меры схожести кватернионных сигналов.
Синтез на основании введенной меры схожести алгоритмов
распознавания пространственных групповых точечных объектов с
известными параметрами, неизвестным номером первой точки и
неизвестными параметрами вращения.
5. Анализ эффективности синтезированных алгоритмов распознавания
пространственных групповых точечных объектов.
Методы исследований
Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы методы обработки радиотехнических сигналов и изображений, спектрального и корреляционного анализа, теории вероятностей, математической статистики и
g статистической радиотехники, линейной алгебры, методы математического моделирования.
Достоверность и обоснованность
Обоснованность и достоверность положений, выводов и рекомендаций
4. подтверждается использованием общепринятых критериев качества
функционирования радиотехнических систем; применением классических
методов моделирования случайных процессов, методов математической
статистики и статистической радиотехники.
Положения, выносимые на защиту
На основе полученных в диссертационной работе научных результатов
сформулированы следующие защищаемые научные положения.
ж 1. Модель расположенного в трехмерном пространстве группового
точечного объекта в виде упорядоченного пучка радиус-векторов, задаваемых кватернионами, обладающая по сравнению с известными моделями в виде вещественных векторов более просто реализуемой операцией поворота и более информативной мерой схожести на базе скалярного произведения кватернионов.
2. Алгоритм распознавания зашумленных 3D изображений
пространственно расположенных групповых точечных объектов с
неизвестными параметрами на основе их кватернионных моделей,
оптимальный по критерию минимального расстояния до эталонного изображения своего класса и результаты анализа эффективности алгоритма.
Алгоритм совмещения 3D изображений эталонного группового точечного объекта и зашумленного сигнального группового точечного объекта с неизвестными параметрами вращения, инвариантный к начальному угловому положению совмещаемых групповых точечных объектов.
Модель представления 3D изображения группового точечного объекта
в собственной системе отсчета, обеспечивающая инвариантность алгоритма
распознавания зашумленного группового точечного объекта с неизвестными параметрами вращения к углу поворота по отношению к эталонному точечному объекту и результаты анализа эффективности алгоритма.
Научная новизна работы
В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты.
Обоснована целесообразность решения задачи распознавания пространственных групповых точечных объектов на основе представления их кватернионными сигналами.
Введена новая математическая модель пространственного группового точечного объекта на основе аппарата кватернионных сигналов.
Впервые предложена математическая модель зашумленного группового точечного объекта, заданного в виде кватернионного сигнала.
Впервые синтезирован кватернионный согласованный фильтр.
На основе критерия минимума расстояния решена задача распознавания полностью известных кватернионных сигналов, кватернионных сигналов с неизвестным номером начального кватерниона и неизвестным углом поворота.
Практическая значимость
Анализ состояния вопроса использования гиперкомплексных чисел показал их широкое применение к решению чисто физических задач, в частности, в механике и электродинамике, (см., например, библиографию в книге: Смолин А.Л. Гиперкомплексные преобразования Лоренца, эфир и остальная физика.-М.: Диалог - МГУ, 1999). Однако, за редким исключением, практически отсутствуют результаты по использованию кватернионов в задачах обработки изображений и распознавания образов. Применение кватернионных сигналов, для обработки, обнаружения, оценки параметров, разрешения и распознавания 3D изображений связано с некоммутативностью
операции умножения кватернионов, неинвариантностью получающихся алгоритмов к углу поворота и сложностью оценки этого угла. Но при этом кватернионное представление сигналов имеет много достоинств. Среди них, в первую очередь, следует отметить такие как простота выполнения операции поворота изображения ГТО вокруг произвольно заданных осей.
Практическая ценность работы состоит в том, что решение задачи распознавания зашумленных изображений пространственно расположенных ГТО с неизвестными параметрами на базе их кватернионных моделей при прочих равных условиях достигается при значительно меньших вычислительных затратах по сравнению с известными подходами, что облегчает достижение режима работы информационной системы в реальном или близком к нему масштабах времени.
Ф/ Личный творческий вклад
Разработана модель изображений пространственных ГТО в виде кватернионных сигналов (в соавторстве).
Разработана кватернионная модель представления изображений пространственных ГТО в собственной системе отсчета.
Синтезирован оптимальный по критерию минимума расстояния алгоритм распознавания пространственных ГТО, представленных в виде кватернионных сигналов (в соавторстве).
Исследована эффективность алгоритма распознавания пространственных ГТО, представленных в виде кватернионных сигналов.
Синтезирован алгоритм распознавания пространственных ГТО, представленных в собственной системе отсчета.
Разработано программное обеспечение для обработки кватернионных сигналов, задающих пространственно расположенные ГТО.
11 Апробация работы
Результаты работы обсуждались на конференции «Математические методы распознавания образов-11» (Москва, 2003г.); на 5-ой Всероссийской НТК «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (Чебоксары, 2003 г.); на 6-ой Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (РОАИ-6-2002) (Великий Новгород, 2002г.); на Международной научной конференции "Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А.Котельникова" (Москва, 2003 г.); на 9-ой Международной НКТ студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2003г.); на VI международной НТК «Распознавание-2003» (Курск); на научно практической конференции «Радиолокационная техника: устройства, станции, системы» (Муром, 2004 г.); на 7th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-7-2004) (St. Petersburg-2004), на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава МарГТУ.
Публикации
Всего по теме опубликовано 26 работ. Из них: раздел «Совмещение повернутого и исходного КТС при неизвестных параметрах вращения» в монографии «Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов» //Под ред. Я. А. Фурмана (изд-во ФИЗМАТЛИТ) стр.224-251, одна статья в центральном журнале «Автометрия», 2 в зарубежном журнале «Pattern Recognition and Image Analysis», 12 работ в трудах международных и всероссийских конференций, 7 работ депонированы в ВИНИТИ, 3 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ (РОСПАТЕНТ).
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Она изложена на 122 страницах (без учета приложения), содержит 38 рисунков и 6 таблиц. Библиографический список включает 92 наименования.
Краткое содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и задачи исследования, сформулированы основные научные положения диссертационной работы, научная новизна и практическая значимость результатов работы, приведена структура диссертации.
В первой главе отражено состояние вопросов представления объемных объектов. Приведена классификация существующих моделей представления объемных изображений. Изложено обоснование применения теории кватернионов для представления изображений пространственных ГТО. По результатам аналитического обзора сформированы конкретные цели исследования.
Во второй главе выполнена разработка математической модели пространственного группового точечного объекта. Описано представление ГТО в виде кватернионных сигналов и в собственной системе отсчета. Введена математическая модель зашумленного кватернионного сигнала.
В третье главе осуществлен синтез алгоритмов распознавания ГТО, представленных в виде кватернионных сигналов и в собственной системе отчета для полностью известных сигналов, сигналов неизвестными номером первой точки и неизвестными параметрами вращения. Также синтезирован алгоритм совмещения кватернионных сигналов.
В четвертой главе представлены результаты проведенного анализа эффективности синтезированных алгоритмов распознавания изображений пространственных групповых точечных объектов.
В заключении приводится анализ полученных в диссертационном исследовании результатов.
Список опубликованных работ
Фурман Я.А. Хафизов Д.Г. Распознавание групповых точечных объектов в трехмерном пространстве// Автометрия, 2003, том39, №1. С. 3-18.
Хафизов Д.Г. Совмещение повернутого и исходного КТС при неизвестных параметрах вращения в книге «Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов» Под ред. Я.А. Фурмана.-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004, С.224-251.
Furman Ya.A., Khafizov D.G., Khafizov R.G. Image Recognition of Spatial Objects on the Basis of Their Quaternion Models// Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 13, No. 1,2003, pp. 101-102.
Khafizov D.G. Model of a Noised Quaternion Signals// Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 13, No. 1,2003, pp. 110-111.
Хафизов Д.Г., Фурман Я.А., Хафизов Р.Г., Лапин СВ. Расчет характеристик распознавания гиперкомплексных сигналов. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611694, РОСПАТЕНТ, 16.07.2003г.
Хафизов Д.Г., Фурман Я.А., Мальгин Ю.Ю., Лапин СВ. Комплекс по обработке радиолокационных снимков, аэрофотоснимков и рисунков (КОРСАР). Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611693, РОСПАТЕНТ, 16.07.2003г.
Фурман Я.А., Хафизов Д.Г., Хафизов Р.Г. Распознавание изображений пространственных объектов на базе их кватернионных моделей// Труды 6-й Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (РОАИ-6-2002), Великий Новгород, 2002, С586-589.
Хафизов Д.Г. Модель зашумленного кватернионного сигнала// Труды 6-й Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (РОАИ-6-2002), Великий Новгород, 2002, С.590-592.
Фурман Я.А., Хафизов Д.Г. Совмещение кватернионных сигналов в задачах обработки пространственных изображений// Труды 9-й Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2003, С. 103-104.
Furman Y.A., Rozhentcov А.А., Evdokimiv А.О., Khafizov D.G. The Models Flat and Three-Dementional Group Points Objects, Efficient in Condition of the Apriori Uncertainty Parameter Linear Transformations of the Images//?* International Conference о Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-7-2004). St. Petersburg, October 18-23,2004, pp.210-212.
Хафизов Д.Г. Совмещение кватернионных сигналов при решении задачи обработки изображений группового точечного объекта//Вестник Вятского научного центра Верхне-Волжского отделения Академии технологических наук Российской Федерации, 2002, №1, С. 176-180.
Леухин А.Н., Хафизов Д.Г. Оценка параметров вращений трехмерного группового точечного объекта без предварительной нумерации формирующих точек// «Математические методы распознавания образов»: Доклады 11-й Всероссийской конференции, г. Москва, 2003, С. 130-133.
Хафизов Р.Г., Хафизов Д.Г. Аналитическое представление формы кватернионных сигналов, инвариантное к преобразованиям масштабирования и вращения// Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А. Котельникова: Труды Международной научной конференции к 95-летию академика В.А. Котельникова, 2003, С. 134-135.
Хафизов Р.Г., Хафизов Д.Г. Распознавание изображений объектов, заданных в пространстве, на основе анализа их формы// Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: Материалы 5 Всероссийской научно-технической конференции/ Чебоксары: Издательство Чувашского университета, 2003, С. 239-240.
Евдокимов А.О., Роженцов А.А., Хафизов Д.Г. Модель описания диаграммы направленности антенны с использованием кватернионных сигналов// VI Международная научно-техническая конференция «Распознавание-2003» г.Курск, С.53-55.
Фурман Я.А., Роженцов А.А., Евдокимов А.О., Хафизов Д.Г. Квазиоптимальные алгоритмы обработки изображений групповых точечных объектов, эффективные в условиях ошибок обнаружения сигнальных отметок//Труды научно практической конференции, посвященной 30-летию Муромского завода радиоизмерительных приборов «Радиолокационная техника: устройства, станции, системы», Муром, 2004, С. 14-15.
Хафизов Р.Г., Хафизов Д.Г. Распознавание заданных в пространстве изображений объектов на основе анализа их структурного представления. Марийск. гос. техн. ун-т. - Йошкар-Ола, 2003. - 13с: 5 ил. - Библиогр.: 4. назв. - Рус. -Деп в ВИНИТИ 20.11.2003,№1999-В 2003.
Хафизов Р.Г., Хафизов Д.Г., Игнатьев В.И., Лапин СВ. Обнаружение микрокальцинатов при диагностике рака молочной железы по маммографическим изображениям. Марийск. гос. техн. ун-т.- Йошкар-Ола, 2002.-12с: ил.-Библиогр.: 9 назв.-Рус.-Деп. в ВИНИТИ 16.12.02 №2174-В2002
Хафизов Р.Г., Хафизов Д.Г. Сопряженно-согласованная фильтрация одномерных перепадов и импульсов яркости. Марийск. гос. техн. ун-т.-Йошкар-Ола, 2002,-16с: ил.-Библиогр.: 4 назв.-Рус.-Деп. в ВИНИТИ 16.12.02№2175-В2002.
Хафизов Д.Г. Исследование статистических характеристик изображений мягких тканей рентгенограмм// Труды 8-й Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2002, С. 242-243.
21. Хафизов Д.Г. Применение сопряженно-согласованной фильтрации для
обнаружения изображений объектов в рентгенограммах// Труды 8-й
16 Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2002, С. 243-244.
Хафизов Д.Г., Васяева Н.С. Оценка надежности локальных вычислительных сетей с учетом резервирования ресурсов// Труды Международной конференции по информационным сетям и системам. С.Петербург, 2000, С. 482-495.
Хафизов Д.Г. Васяева Н.С. Расчет характеристик надежности сети. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2001610838, РОСПАТЕНТ,2001г.
Хафизов Р.Г., Хафизов Д.Г., Комаров А.Н., Токтаулов А.О. Информационные параметры дискретных комплекснозначных последовательностей с равномерным энергетическим спектром. Марийск. гос. техн. ун-т. - Йошкар-Ола, 2000.- 10с: ил.- Библиогр.: 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 27.12.00 №3292-В00.
Васяева Н.С, Хафизов Д.Г. Оценка надежности локальных вычислительных сетей. Марийск. гос. техн. ун-т. - Йошкар-Ола, 2000.- 17 с: ил.- Библиогр.: 8 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 28.06.00 №1818-В00.
Хафизов Д.Г. Обработка 3D изображений групповых точечных объектов. Марийск. гос. техн. ун-т. - Йошкар-Ола, 2004. - 136с: 44 ил. -Библиогр.: 26. назв. - Рус -Деп в ВИНИТИ 27.09.2004,№1517-В 2004.
Классификация моделей представления трехмерных объектов
Связанные модели явно или неявно содержат информацию о непрерывных участках поверхностей моделей, тогда как дискретные представления описывают только приближение поверхности объекта.
Явное задание моделей предполагает, что описание модели объекта в данном представлении доступно в явной форме, а параметрическое - что для его получения необходимо дополнительно вычислять некоторую функцию, зависящую от параметра.
Одной из разновидностей связанной воксельной модели являются октарные деревья, которые представляют собой рекурсивное разбиение пространства на восемь октант [24, 41]. Октарное дерево располагают вокруг начала системы координат, так что октанты первого уровня совпадают с октантами системы координат (рис. 1.2,а). Каждая ветвь дерева состоит из кода и восьми указателей на восемь потомков, пронумерованных от 0 до 7. Если код = "черный", часть пространства, представляемая этой ветвью является заполненной и все указатели нулевые, т.е. это «лист». Аналогично, если код = "белый", часть пространства пустая и это опять «лист». Код = "серый" соответствует случаю, когда область пространства частично пуста и частично заполнена. В этом случае 8 ссылок указывают на подразбиение данной области. Например, объект на рис. 1.2,5 представляется деревом 1.2,в.
Как отмечено в работах [41, 45], важными достоинствами октарных деревьев является то, что они хранят информацию в упорядоченном (связанном) виде, поддерживают эффективное выполнение булевых (пересечение, объединение) и геометрических (перемещение, поворот, изменение размера) операций. Объем памяти, требуемый при этом для хранения деревьев, пропорционален площади поверхности объекта.
Основные недостатки такой модели заключаются в том, что октарные деревья, также как и воксельное представление, дают только приблизительное представление объекта и работают только на ограниченном классе объектов [24].
В последнее время было предпринято несколько попыток использования многомасштабных методов вместе с основанными на изображениях представлениями. Один из таких подходов описан в работе Чанга и Бишопа [41] и в качестве базового представления использует многослойные изображений с глубиной, впервые описанные в работе [40].
Многослойные изображений с глубиной хранят для каждого пикселя карты все пересечения соответствующего луча с моделью. Поэтому одного многослойного изображения достаточно для описания полного объекта (рис. 1.3).
Отличие многослойных изображений с глубиной от простых заключается в том, что одно изображение позволяет хранить информацию не только о видимой части поверхности объекта, а полную информацию об объекте [41].
Основной недостаток такой модели заключается в том, что многослойные изображения не могу быть напрямую получены с устройств ввода и для создания такой структуры необходимо использование дополнительных алгоритмов.
Наиболее эффективными, с точки зрения быстродействия и относительно небольших затрат памяти, являются модели, в которых объект задается набором примитивов (гранями, ребрами и вершинами или точками) и операций над ними. Примитивы являются «строительными блоками» объекта. Под операциями понимаются булевы операции над примитивами, а также геометрические преобразования, такие как передвижение, поворот, изменение размеров.
В частности один из таких подходов для обработки плоских изображений описанный в работах [7, 8], заключается в описании изображения объекта его контуром. При этом контур представляется на комплексной плоскости и задается в виде комплекснозначного сигнала [8]. В этом смысле контура можно трактовать не только как функции, определяющие границы изображения, но и как сигналы определенного вида. И для их обработки используются методы теории сигналов. Данный подход (названный контурным анализом [8]) позволил, для обработки таких изображений, использовать обычные методы теории сигналов - спектральный и корреляционный анализ, различные виды фильтрации и, в первую очередь, согласованную фильтрацию.
Выбор комплексной плоскости для представления таких сигналов обусловлен рядом важных свойств: простота получения сигналов с заданными спектрально-корреляционными свойствами, мера близости таких сигналов в виде их скалярного произведения за счет мнимой части является более информативной, чем аналогичная мера для вещественных сигналов. Причем данный подход является универсальным с точки зрения используемых методов обработки, как для контуров изображений, так и для групп точек.
Точки и векторы, связанные с векторным кватернионом
Как было показано в первой главе, основным подходом к разработке методов обработки изображений групповых точечных объектов является применение теории сигналов, что позволяет рассматривать эти задачи с единых позиций. Так, например, существует, хорошо зарекомендовавший себя, математический аппарат для обработки плоских контуров и групповых точечных объектов, названный контурный анализом [8]. Разработка подобного аппарата для обработки пространственных групповых точечных объектов, в первую очередь, связана с введением математической модели пространственного ГТО (сигнала), на основе теории кватернионов, вводом меры схожести таких сигналов, для решения задачи распознавания, а также модели зашумленного пространственного ГТО.
Использование кватернионной модели для обработки пространственных ГТО обусловлено следующими основными факторами: простота и удобство выполнения операции вращения с использованием кватернионов и возможность распространения алгоритмов контурного анализа, из-за тесной связи кватернионов с комплексными числами, на которых основан контурный анализ.
С произвольной точкой А с координатами \Ах,Ау,А2\ в трехмерном - пространстве можно связать радиус-вектор ОА , где О - начало декартовой системы отсчета OXYZ , и векторный (чисто мнимый) кватернион q = q$ + q2j + q k, где q\ = OAx , q2 = OAy и q3 = OAz (рис. 2.1) [56].
С каждым векторным кватернионом также связаны: геометрическое тело -параллелепипед, ряд характерных точек, получающихся в результате проецирования точки А, и три расположенных в координатных плоскостях вектора, являющихся проекциями вектора ОА на эти плоскости (рис. 2.1): параллелепипед OAzAzoxAxAxoyAAyAyoz; проекции точки A(x,y,z) на координатные оси: Ax(x,Q,0), Ау(0,у,0), Az(0,0,z); проекции точки А на координатные плоскости: Л7Ш.(х,0,г), Лхоу{х У$) Ayoz{ y zY проекции кватерниона q на оси системы отсчета: q\ =ОАх ; у2 =ОАу; Ь=ОАг; проекции кватерниона q на координатные плоскости системы отсчета: Чгт = Ч\1 + Чък . Чхоу = W + Чгк ; Чуог = 42 + Чзк
Учитывая тесную связь векторного кватерниона q, задающего точку А, с - - радиус-вектором ОА , под вектором ОА и векторным кватернионом q будем понимать один и тот же образ.
Произвольный кватернион q = qo+q\i + q2J+ Яък можно представить суммой двух комплексных чисел, одно из которых умножено на мнимую единицу e = ij,k, не совпадающую с мнимой единицей, используемой в комплексном числе. Как правило, применяют следующие три комплексные формы кватерниона, различающиеся по значению е: первая комплексная форма или і -представление Ч = ( 7о + 7l0+ fe + Язі)] = Y(/) + j і (2.2.1) вторая комплексная форма или j -представление Я0) = feo + Чи )+(чъ + Я\] )к = YU) + У0)к; (2.2.2) третья комплексная форма или к -представление Я{к) = (яо+Язк)+(яі+Я2к)і = Уік)+У І. (2.2.3) Как следует из формул, комплексные числа, образующие эти представления, равны у(0 = у{0 + у(0,- e qo + qxt. v(0 = v( ) + ф = q2+ дзі. (2.2.4) yO) = y0) + y(j)j =qQ+ q2J . v0) = v0) + v0)j =q3+ qj . (2.2.5) y = y\kK у 2kh = q0+q3k; v = v +v k =qx +q2k. (2.2.6)
Если комплексную форму кватерниона рассматривать как обобщенное комплексное число, то его «вещественная» часть равна у, а "мнимая" - v. Целесообразность введения комплексных представлений кватернионов объясняется, по крайней мере, двумя причинами:
1) возможностью использования аппарата комплексных чисел для действий с кватернионами;
2) выполнения коммутативного умножения у и v на комплексное число x+iy, yV) и V\J) на комплексное число x+j y, у\ и v на комплексное число х +ку .
Как правило, используется г-представление кватерниона и для простоты записи в этом случае верхние индексы в выражениях (2.2.1) и (2.2.4) опускаются, например /7 = 5 + є/, где 5 = 5і+82/; є = єі+Є2 ; q = y + vj, где Y = Y!+y2i; v = vj+v2/. При операциях с заданными в комплексном представлении кватернионами необходимо правило перестановки сомножителей в произведении комплексного числа на мнимую единицу, не совпадающую с мнимой единицей, используемой в этом комплексном числе.
Распознавание группового точечного объекта с неизвестным номером первой точки
Задача распознавания пространственно расположенных ГТО, задаваемых кватернионными сигналами, ставится и решается аналогично задаче распознавания ГТО, задаваемого плоским пучком радиус-векторов. Решение последней было рассмотрено в работе [8]. Предполагается, что распознаваемый (сигнальный) КТС Q = {g(«)}0 s_ принадлежит к одному из М классов. Эталонный КТС, принадлежащий к классу под номером т, обозначим как P(w) = W»)W}0 J_i т = І5- М -1-Решение задачи распознавания КТС Q осуществляется на основе критерия минимума расстояния между сигнальным и эталонным КТС, т.е. решение в пользу класса А{ имеет вид QeA{ при RQV() mm, (3.2.1) т где RQ m) =lQl2+IPW2_2Re(Q Pw) = 0,1,..., -1. (3-2.2)
Широко распространенным классическим критерием принятия решений, в радиотехнических системах, максимально использующим доступную информацию о распознаваемом сигнале и важность того или иного вынесенного решения, является критерий минимального среднего риска. Он учитывает априорную информацию о поступлении сигнала каждого из классов, значения вероятностей ошибочных решений и цену каждого из них. Применение критерия минимума среднего риска связано с большим количеством ситуаций при распознавании, возникающих при разных значениях априорных вероятностей, степенях опасности ошибочных решений по каждому из классов, различных законах распределения вероятностей распознаваемых сигналов. Поэтому синтез устройства распознавания целесообразно осуществить для критерия принятия решения, позволяющего, по возможности, сузить без значительного ущерба для конечного результата количество влияющих на него факторов. К таким существенным факторам следует отнести лишь вид и размерность сигнала, объем алфавита классов и величину отношения сигнал/шум на входе устройства распознавания. Приведенными выше свойствами обладает критерий минимума расстояния.
Таким образом, выбор данного критерия обоснован тем, что для его реализации в распознающем устройстве не требуется информации о статистических характеристиках помех, воздействующих на распознаваемый КТС, а также одинаковой эффективностью результатов с широко используемом на практике устройством распознавания, в котором данная статистика формируется на основе отношения правдоподобия для часто имеющих место случаев нормального закона распределения вероятностей, шумов воздействующих на распознаваемый сигнал.
Если сигнальный и все эталонные КТС пронормированы, то решающее правило (3.2.1) примет вид [56] Q є Aj при Re(Q, Р(А )- max, (3.2.3) т где Re(Q,P(m)) - реальная часть скалярного произведения распознаваемого КТС Q и эталонного КТС F(m\ для т -го класса.
Сигнальный КТС Q считается точно известным, когда угол поворота между ним и эталонным КТС Рл„\, где т — номер класса, к которому относится Q, равен нулю, а сдвиг номера начального кватерниона в сигнальном КТС по отношению к КТС Р(т\ отсутствует. Отличие между этими КТС вызвано лишь воздействием углового и дальномерного шумов. Структура устройства распознавания точно известного КТС приведена на рис. 3.1 [56].
Каждый из каналов этого устройства содержит формирователь скалярного произведения (ФСП) и звено, выделяющее реальную часть этого скалярного произведения. Экстремальное устройство определяет номер канала, в котором сформировался кватернион с максимальным значением реальной части. Отметим, что данная структура для аддитивной модели зашумленного сигнала при условии нормальности закона распределения вероятностей помехи оптимальна не только по критерию минимума расстояния между распознаваемым и эталонным сигналами (критерий максимальной схожести), но и по критерию идеального наблюдателя.
Расчет характеристик распознавания пространственных ГТО, заданных кватернионными сигналами
Точность совмещения зашумленных КТС зависит от отношения энергий исходного КТС Q и углового координатного шума. Чем выше это отношение, тем меньше дисперсия таких случайных величин, как разность аргументов соответствующих векторов в зашумленном и исходном КТС. Следовательно, тем меньше будет различие между КТС после их совмещения. Это различие при одном и том же отношении энергий сигнала и шума будет снижаться с увеличением размерности s совмещаемых КТС. Рост s, как это видно из выражений (3.4.10) и (3.4.11), увеличивает объем усредняемой выборки и, как следствие, приводит к снижению дисперсии оценки угла поворота 2ц т и значений кватернионов совмещенного КТС.
Графики на рис. 4.1 построены для четырех начальных угловых положений КТС Р, повернутого относительно исходного КТС Q. Тем не менее, зависимости R = /(OQ ) практически не отличаются друг от друга, что свидетельствует о том, что точность совмещения КТС не зависит от начального углового положения КТС Р относительно исходного КТС Q [61, 78, 79]. Так, например, при угловом шуме CJQ = 20 градусов при четырех различных положениях совмещаемого КТС дисперсия в оценке расстояний равна единице, а при Ge = 60 дисперсия равна трем.
Сформируем, в качестве примера, алфавит кватернионных сигналов, задающих пространственные групповые точечные объекты, описывающие боевые порядки строев самолетов.
Под боевым порядком, при этом, понимается группировка самолетов, подразделений (частей) в воздухе, созданная для выполнения боевой задачи [71]. Боевой порядок должен обеспечивать полное использование боевых возможностей самолетов, наименьшую поражаемость их от огня противника и непрерывность управления. Боевой порядок может состоять из групп различного тактического назначения, например, ударной группы, группы прикрытия, группы обеспечения (рис. 4.2) [71].
Строем самолетов называется взаимное размещение самолетов в полете на интервалах, дистанциях и превышениях (принижениях), предусмотренных соответствующими уставами (рис. 4.3-4.5). Строй самолетов применяется при выполнении групповых полетов днем и ночью и может быть разомкнутым и сомкнутым, а также эшелонированным по высоте и в глубину. При сомкнутом строе самолетов интервал и дистанции между ними не превышают двух размахов и двух длин самолетов, т.е. это такое расположение самолетов и групп в полете на дистанциях и интервалах минимально допустимых по условиям безопасности полетов, при которых обеспечивается надежная взаимная огневая поддержка и управление самолетами.
Авиационные подразделения и отдельные группы ведут боевые действия в строях «клин», «змейка», «фронт», «колонна» и т.п. (рис. 4.3-4.5) [71]. Как видно из приведенных графиков ошибки распознавания в диапазоне значений a = 0...10 крайне незначительны. Следует отметить также, что результаты моделирования процесса распознавания с неизвестным номером его начального кватерниона показали результаты, практически не отличающиеся от результатов, полученных для случая распознавания полностью известного сигнала (см. рис. 4.10 и 4.11). Из полученных результатов видно, что в диапазоне значений СКО углового координатного шума от 0 до 4 градусов вероятность правильного распознавания близка к единице.
В отличие от случая распознавания полностью известного сигнала (рис. 4.10), следует ожидать более высокий уровень ошибок распознавания сигнала с неизвестными параметрами вращения (рис. 4.12).
Когда кроме угла поворота неизвестным является начальный кватернион распознаваемого КТС, то каждый канал устройства распознавания на рис. 3.6 вместо формирователя скалярного произведения ФСП должен содержать фильтр, согласованный с соответствующим эталонным сигналом, и звено, обеспечивающее выбор отсчета фильтра с максимальной величиной вещественной части.
Алфавит эталонных сигналов классов для обеспечения низкого уровня ошибок распознавания должен характеризоваться одинаковыми и максимально возможными расстояниями между всеми парами эталонных КТС. Поскольку в рассматриваемом случае первоначальный алфавит считается заданным, то вариация расстояний между эталонными КТС возможна лишь путем их взаимных поворотов. Данную процедуру назовем дистанцированием эталонных КТС.
Один из подходов к преобразованию алфавита классов путем дистанцирования эталонов с целью увеличения интегральной эффективности распознавания КТС, т.е. сигнала каждого из М классов, заключается в следующем.
Пусть Rmi (0) - элемент матрицы взаимных расстояний между эталонными ктс Р(ОТ) ={/>(!»)(«)}O,J-I и p(!)={P(l)(mVo,s-l> а Дда/,тіп(0) - минимальный по значению ее независимый элемент. В результате серии из g операций вращения эталонных КТС P(w), га = 0,1...М-1, новая матрица расстояний состоит из элементов Rmi, удовлетворяющих условиям: Rml(s) Avj/W/ -> max; /w,/ = 0,l...M-l, Здесь Av(/W/ - текущий угол между эталонными КТС Р(от) и Р^ в процессе дистанцирования. Это выражение соответствует ситуации, когда в результате дистанцирования расстояние между эталонными сигналами совместно достигает максимально возможных значений, причем ни одно из них не стало меньше минимального расстояния #m/jmin(0) между эталонными КТС до операции дистанцирования. Процедура дистанцирования не влияет на ход операции распознавания сигнального КТС, выполняемого устройством, структура которого приведена нарис. 3.6.
