Содержание к диссертации
Введение
1. Статистические характеристики частотно-временных параметров исследуемых случайных процессов 17
1.1. Общая характеристика исследуемых моделей случайных процессов 18
1.2. Статистические характеристики случайной частоты 28
1.2.1. Совместное распределение огибающей аддитивной смеси и случайной частоты 29
1.2.2. Совместное распределение случайной фазы и частоты 33
1.2.3. Плотность распределения случайной частоты 37
1.3. Корреляционные характеристики случайной частоты 39
1.4. Спектральные характеристики случайной частоты 53
1.5. Выводы 60
2. Принципы построения устройств оценки частотно-временных параметров сигналов 62
2.1. Предельные значения оценок частотно-временных параметров сигналов 63
2.2. Помехоустойчивость классических устройств оценки частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы 69
2.3. Фильтрация частотных флуктуации в частотной области 79
2.4. Помехоустойчивость классических устройств оценки частотно-временных параметров сигналов при нестационарных флуктуациях фазы 86
2.5. Помехоустойчивость устройств оценки частотно-временных параметров сигналов со статистической связью с огибающей 93
2.6. Выводы 103
3 Принципы построения и анализ помехоустойчивости устройств оценки частотно-временных параметров сигналов с весовой обработкой 105
3.1. Многоканальные устройства оценки частотно-временных параметров сигналов 105
3.2. Квазиоптимальные операторы текущего сглаживания 111
3.3. Эффективность оценок частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы с равномерным энергетическим спектром 119
3.4. Эффективность оценок частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы с экспоненциальной корреляционной функцией 123
3.5. Эффективность оценок частотно-временных параметров
сигналов при нестационарных флуктуациях фазы 134
3.6. Параметрическая оптимизация устройств оценок частотно-временных параметров сигналов для помех с произвольными вероятностными характеристиками 141
3.7. Выводы 146
4. Методические погрешности устройств оценки частотно-временных параметров сигналов 148
4.1. Исследование погрешностей оценки частотно-временных параметров на основе обобщённого корреляционного анализа 149
4.1.1. Обобщённый корреляционный анализ с классической весовой обработкой результатов оценки частотно-временных параметров . 151
4.1.2. Обобщённый корреляционный анализ результатов оценок частотно-временных параметров с эффективной
весовой обработкой 153
4.2. Минимизация погрешности квантования по уровню при независимых значениях оценок частотно-временных параметров 162
4.3. Квантования по уровню при оценке частотно-временных параметров 172
4.4. Оптимизация шага квантования по времени при оценке частотно-временных параметров сигналов 181
4.5. Выводы 194
5. Реализация устройств оценки частотно-временных параметров сигналов с повышенной точностью и помехоустойчивостью 195
5.1. Реализация многоканальных устройств оценки среднего значения мгновенной частоты с требуемым уровнем суммарной погрешности 195
5.2. Устройства оценки среднего значения мгновенной частоты с весовой обработкой 202
5.3. Устройства оценки среднего значения мгновенной частоты с предельным быстродействием используемой элементной базы 210
5.4. Оптимальные устройства оценки частотно-временных параметров сигналов 218
5.5. Выводы 226
6. Повышение эффективности оценок частотно-временных параметров сигналов и использование результатов в других областях 227
6.1. Введение 227
6.2. Выбор вейвлет-функций при фильтрации частотно-временных параметров сигналов 229
6.3. Фильтрация сигналов при оценке фазовых характеристик аддитивной смеси 236
6.3.1. Оценка фазы детерминированной модели сигнала 236
6.3.2. Оценка фазы зашумлённых сигналов 241
6.4. Фильтрация сигналов при оценке значений мгновенной частоты.. 245
6.5. Прикладное использование результатов исследования 253
6.5.1. Контроль качества канала связи 253
6.5.2. Корреляционный анализ при оценке частотно-временных параметров сигналов 257
6.6. Выводы 264
Заключение 266
Список литературы
- Статистические характеристики случайной частоты
- Помехоустойчивость классических устройств оценки частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы
- Эффективность оценок частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы с равномерным энергетическим спектром
- Обобщённый корреляционный анализ с классической весовой обработкой результатов оценки частотно-временных параметров
Введение к работе
Актуальность проблемы. Особенности построения и функционирования различных радиоустройств определяются условиями эксплуатации, а также сигналами, являющимися источниками информации и определяющими основные предназначения любой радиотехнической системы. Общие требования, обычно предъявляемые к работе различных систем, позволяющие принять правильное решение, состоят в достоверном и эффективном её функционировании. Однако техническое несовершенство радиоустройств, наличие помех, неизбежно присутствующих при приёме и обработке сообщений, а также экономические ограничения, приводят в итоге к ухудшению работы аппаратуры и снижению эффективности обработки сигналов.
Во многих задачах теории связи, навигации, радио и гидролокации, а также в системах синхронизации и управления, при исследовании спектральных характеристик /1, 2, 3/, требуется получать и использовать оценки частотно-временных параметров различных сигналов, и, в частности, измерять длительности временных интервалов, частоту, период или фазу несущей, или оценивать доплеровское смещение частоты флуктуирующих сигналов. При этом точность и помехоустойчивость работы всей системы зависит от эффективности используемых алгоритмов при обработке сигналов и достигаемой минимизации погрешностей оценки частотно-временных параметров. Поэтому вопросы оценок частотно-временных параметров сигналов чрезвычайно важны для достижения предельно допустимых технических характеристик различных радиосистем по точности и помехоустойчивости.
Для решения задач анализа и синтеза измерительных устройств, обеспечивающих повышение эффективности обработки сигналов при оценке частотно-временных параметров, необходимо иметь возможность получать статистические характеристики исследуемых моделей сигналов и помех, приближённые к реальным условиям, позволяющие находить алгоритмы обработки, обеспечивающие потенциальные точности, помехоустойчивость и максимальное быстродействие.
Одна из рассматриваемых в работе моделей сигналов, часто встречающаяся во многих практических приложениях является аддитивная смесь гармонического сигнала и узкополосного случайного процесса /4, 5, 6/. Наименее изученной частью такого суммарного процесса является вероятностное описание частотно-временных параметров. Это связано, чаще всего, с математическими трудностями получения статистических характеристик частотно-временных параметров аддитивной смеси, которые могут быть получены, в основном, при известной многомерной плотности распределения исследуемого сигнала. Поэтому в работе проведены исследования, связанные с раскрытием механизма формирования погрешностей при оценке частотно-временных параметров, определению их спектрально-корреляционных характеристик, существенно влияющих на дисперсию оценки конечного результата. С учётом этого, основной задачей данной работы является развитие общей теории оценок математических ожиданий исследуемых случайных процессов и построение устройств статистической обработки результатов усреднения с повышенной точностью и помехоустойчивостью, применительно к оценкам частотно-временных параметров сигналов.
Сфера применения частотно-временных методов, обеспечивающих высокие точности и помехоустойчивость в научных исследованиях и различных практических приложениях, постоянно расширяется. К подобным задачам относится, например, оценка скоростей движущихся целей в радиолокации; радионавигационные и радиоастрономические измерения; эксперименты по распространению радиоволн различных диапазонов; разнообразные космические исследования с помощью синхронных локаторов и радиоинтерферометров; физические исследования сверхтонких эффектов, связанных с внутриатомными и междуатомными взаимодействиями, особенно с учётом революционных достижений в нанотехнике в последние годы 111 и многое другое. Всё это примеры тех областей научных исследований, где требуются высокоточные значения частотно-временных параметров сигналов, характеризующиеся значениями относительных отклонений до 10"10-10"12 (и меньше) при оценках за малые време на усреднения. Кроме того, одной из важнейших задач остаётся повышение помехоустойчивости систем связи, локации, навигации и многих других систем при работе в условиях малых отношений сигнал/шум, когда измерения становятся ненадёжными и приводят к грубым ошибкам. Поэтому проблема повышения точности и помехоустойчивости при оценке частотно-временных параметров является одной из наиболее актуальных проблем радиотехники.
Внедрение частотно-временных методов в научные исследования, в конечном счёте, сводится к измерению параметров мгновенной частоты или периода исследуемого сигнала, а качество проведённого эксперимента определяется используемыми частотоизмерительными устройствами и характеризуется точностью и помехоустойчивостью результатов исследования. Процесс оценки частотно-временных параметров сигналов состоит в функциональном преобразовании значений мгновенной частоты или периода в значение какого-либо другого параметра исследуемого сигнала, удобного для непосредственного измерения или регистрации /8, 9/. Такое преобразование достигается, например сопоставлением значений мгновенной частоты исследуемого сигнала с образцовой (эталонной) частотой, представленной в соответствующем виде. Нестабильность образцовой частоты также оказывает влияние на результаты исследований, но благодаря достижениям техники стабилизации частот /10, 11, 12/ в высокоточных частотоизмерительных устройствах можно использовать эталонные генераторы, нестабильность которых характеризуется значениями, меньшими, чем 10- /13, 14, 15/. Следует отметить, что степень стабильности частоты вместе с точностью и воспроизводимостью, представляют собой важнейшие параметры оценки характеристик аппаратуры стандартов частоты и показывают меру того, насколько непрерывно работающий генератор может реализовывать одно и то же значение частоты на протяжении некоторого интервала времени /12, 14, 16/. По данным национального института стандартов США /15/ и результатов исследований в России (г. Н.-Новгород) /17/ для цезиевых стандартов достигнуты значения нестабильности, характеризующиеся значениями, меньшими, чем 10"15 за день /18,19/.
Поэтому предел допустимой точности оценок частотно-временных параметров определяется не погрешностями эталонов, а погрешностями сравнивающей и усредняющей аппаратуры, в которой имеют место потери измерительной информации из-за различного рода помех, методических и инструментальных погрешностей. В связи с этим всё большую актуальность приобретает проблема снижения суммарной погрешности результата усреднения и оптимизации методов построения устройств статистической обработки на основе новых принципов, рассматриваемых в данной работе.
Классификация методов оценки частотно-временных параметров непрерывных и импульсных сигналов разработана в /13, 20, 21/, но с разных позиций, что объясняется с одной стороны, большим разнообразием методов, а с другой - различными критериями, которыми руководствуются авторы при решении поставленных задач. Из этих работ следует, например, что оценка кратковременной нестабильности среднего значения мгновенной частоты сводится к измерению ширины и формы спектральной линии колебания или формы и интенсивности спектра флуктуации частоты на выходе частотного дискриминатора, а точность ограничивается шумами дискриминатора, преобразователей и анализатора спектра /10,13,21/.
Анализу схемных решений и исследованию погрешностей классических устройств оценки среднего значения мгновенной частоты посвящено значительное число известных работ /8, 9, 11, 20/. В этих работах для оценки среднего значения мгновенной частоты используются операторы текущего сглаживания с равномерной весовой функцией, которая определяет среднеинтегральную оценку исследуемого процесса /20, 22, 23, 24/. При построении классических устройств оценки среднего значения мгновенной частоты как измеряемая так и эталонная частоты представляются в виде временных интервалов, сравнение ко торых позволяет получать число, характеризующее приращение фазы исследуемого сигнала на величину, кратную 2тс. Коэффициент кратности - известное наперёд заданное число, то есть в результате должны быть известны такие величины, как время усреднения и накопленное значение набега фазы /25, 26/. Основными погрешностями таких устройств, ограничивающих точность результата оценки, являются - погрешность дискретности и погрешность, обусловленная наличием аддитивных помех во входном сигнале /9, 10, 11/. Погрешность дискретности является преобладающей при высокоточных оценках высокостабильных сигналов и снижение этой погрешности, в рамках рассматриваемого метода, возможно путём увеличения времени усреднения, либо за счёт увеличения частоты опорного генератора. Однако последнее ограничено быстродействием используемой элементной базы.
В ряде практических задач увеличение времени усреднения является недопустимым, поэтому возникает задача построения устройств оценки среднего значения мгновенной частоты, обеспечивающих минимизацию погрешности дискретности без существенного увеличения времени усреднения. Решению этой задачи посвящены работы автора /27, 28, 24, 29-J-34/, позволяющие значительно снизить погрешности оценки частотно-временных параметров исследуемых сигналов.
Шумовая составляющая суммарной погрешности классического устройства оценки среднего значения мгновенной частоты обусловлена фазовыми и частотными флуктуациями сигнала, которые носят различный характер и вызваны различными причинами /6, 12, 21/. Влияние помех при оценке частоты и периода рассмотрено в работах /9, 10, 20, 25/, но авторы не раскрывают физику процессов возникновения погрешностей и не конкретизируют характер воздействующих флуктуации, а используемые алгоритмы сложны при практической реализации и имеют низкую эффективность подавления помех.
Одной из возможностей повышения точности измерения частотно временных параметров, например, гармонических сигналов, является использование статистической связи между огибающей, фазой и частотой аддитивной смеси, частично исследованной в /6, 35, 36/. Однако в этих работах не рассматриваются вопросы практической реализации и, кроме того, не исследуется возможность использования статистической связи между огибающей аддитивной смеси и фазой для повышения точности оценки среднего значения мгновенной частоты.
Проведённый обзор состояния вопроса показывает, что в практике нахождения оценок частотно-временных параметров отсутствуют устройства, обеспечивающие высокоточные измерения частотно-временных параметров сигналов, а в широко распространённых классических усредняющих устройствах - частотомерах, не полно раскрыт механизм возникновения погрешностей и отсутствует обоснованная методика их расчёта.
Разработка новых методов построения высокоточных и быстродействующих устройств статистической обработки результатов оценки частотно-временных параметров случайных процессов, а также исследование погрешностей предложенных методов и составляет основное содержание данной работы.
Автором разработана методика исследования погрешностей известных усредняющих устройств при различных статистических характеристиках воздействующих помех /37, 38, 39/. Предложены новые методы снижения погрешностей оценки среднего значения мгновенной частоты при повышенном уровне помех, один из которых основан на использовании статистической связи между фазой и огибающей исследуемой аддитивной смеси /24, 40/.
Применительно к частотно-временным задачам, предложен и исследован метод и разработаны устройства его реализующие, основанные на многоканальном принципе работы с усреднением в одном цифровом устройстве /24, 27, 28, 41/. Метод теоретически и экспериментально исследован и позволяет повысить точность оценки частотно-временных параметров без увеличения времени усреднения (прил. 2). Предложен и исследован новый способ построения устройств оценки частотно-временных параметров сигналов с использованием весовой обработки результатов промежуточных оценок /24, 42/, включающий и объединяющий другие методы обработки. Способ позволяет снизить как погрешность квантования, так и шумовую составляющую суммарной погрешности до их предельного значения без увеличения времени анализа /43, 44/.
Исследованы возможности применения новых методов обработки сигналов при оценке частотно-временных параметров, основанных на последних достижениях теории сигналов, использующей вейвлет-преобразования, адекватных рассматриваемым задачам /45/. Выбор и оптимизация вейвлет-функций, обеспечивающих предварительную фильтрацию исследуемого сигнала, позволяет получать высокоточные оценки частотно-временных параметров сигналов в интенсивных шумах /46/.
Разработаны устройства с использованием полученных результатов выполненной работы и проведены их теоретические и экспериментальные исследования, подтвердившие основные положения разработанной теории и возможность построения устройств при оценке частотно-временных параметров сигналов с повышенной точностью и помехоустойчивостью (прил. 2).
Целью работы является исследование вероятностных характеристик используемых сигналов и разработка методов построения устройств, обеспечивающих высокоточные оценки математических ожиданий случайных процессов, применительно к оценкам частотно-временных параметров.
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи: 1. Раскрыт механизм формирования погрешностей, разработаны методы и устройства исследования частотно-временных параметров случайных процессов, обеспечивающие снижение погрешностей оценок математических ожиданий среднего значения мгновенной частоты до их предельного значения.
2. Развита теория исследований погрешностей предложенных методов и устройств и выполнено их алгоритмическое обеспечение.
3. На основе статистического моделирования и экспериментальных исследований показана высокая эффективность предложенных методов. Методы исследований основываются на использовании теории вероятностей, вариационных методов и методов правдоподобия, а также временных и спектрально-корреляционных алгоритмов анализа исследуемых сигналов. Кроме того, при исследовании погрешностей разработанных устройств и обработке экспериментальных данных, использованы методы обобщённого корреляционного анализа, вейвлет-преобразований, статистического моделирования и математической статистики.
Научная новизна.
1. Развиты методы исследования вероятностных характеристик случайных процессов, применительно к вопросам оценки частотно-временных параметров сигналов, на основе которых разработаны устройства измерения частотно-временных параметров, запатентованные автором.
2. Разработана теория помехоустойчивости предложенных устройств, на основе использования свойств статистической связи между фазой и огибающей аддитивной смеси, пространственно перекрывающихся каналов обработки сигналов и весовой обработки с усреднением в одном накопителе без увеличения времени усреднения. Предложены новые решения по созданию высокоточных устройств оценки частотно-временных параметров сигналов.
3. Впервые получены оптимальные алгоритмы построения устройств статистической обработки результатов оценки среднего значения мгновенной частоты при цифровой и аналоговой обработках, минимизирующие дисперсии погрешностей результата усреднения до их предельного значения.
4. На основе обобщённого корреляционного анализа разработаны основные положения теории исследования погрешностей. Исследованы обобщённые корреляционные функции усредняющих устройств и получены характерные поверхности погрешностей при различных способах обработки частотно-временных параметров исследуемых сигналов, позволяющие оценить эффек тивность устройств.
5. Впервые исследованы возможности вейвлет-фильтрации сигналов, а также разработаны, и внедрены в производство устройства, обеспечивающие высокоточные оценки частотно-временных параметров.
Теоретическая значимость работы заключается в обосновании методов исследования погрешностей при оценках частотно-временных параметров сигналов со стационарными и нестационарными флуктуациями фазы; в установлении вероятностных взаимосвязей между различными параметрами исследуемых сигналов и использовании их для повышения эффективности оценок частотно-временных параметров; в разработке основных положений теории обобщённого корреляционного анализа, впервые применённой к исследованию и оптимизации усредняющих устройств; в развитии теории весовой обработки сигналов, включая и вейвлет-анализ, для повышения эффективности оценок частотно-временных параметров.
Практическая значимость работы состоит в использовании полученных результатов для аналитического описания вероятностных характеристик случайных процессов, применительно к оценкам частотно-временных параметров сигналов, а также для статистической обработки результатов усреднения частотно-временных параметров сигналов с целью исследования погрешностей. В разработке методов построения устройств статистической обработки результатов оценки частотно-временных параметров сигналов, обеспечивающих потенциальные точности и предельное быстродействие используемой элементной базы. Новизна и значимость использованных решений подтверждается полученными и внедрёнными авторскими свидетельствами и патентами.
Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при выполнении договорных работ с рядом предприятий г. Красноярска и г. Санкт-Петербурга (ВНИИРА, НПО ПМ и др.), где внедрены разработанные устройства. Кроме того, некоторые полученные теоретические результаты послужили основой совершенствования инженерного образования, войдя в отдельные модули учебных программ по разделам - «радиотехнические цепи и сигналы» и «статистическая радиотехника».
Достоверность научных положений работы обуславливается корректностью исходных положений и преобразований, использованием апробированного адекватного математического аппарата, компьютерных программ и логической обоснованностью выводов. Полученные результаты подтверждены многократными физическими и вычислительными экспериментами. Основные положения, выносимые на защиту.
1. Раскрытие механизма возникновения погрешностей при оценке частотно-временных параметров сигналов и определение их уровня на основе развития теории исследования случайных нестационарных процессов, основанной на анализе многомерных вероятностных характеристиках.
2. Существенное улучшение эффективной оценки частотно-временных параметров сигналов, которое можно достигнуть на основе:
- использования свойств статистической связи между фазой и огибающей;
- путём построения пространственно перекрывающихся во времени каналов обработки сигналов с усреднением в одном цифровом устройстве без увеличения времени усреднения;
- путём применения весовой обработки усредняемых значений, позволившей в сотни раз повысить помехоустойчивость и быстродействие широко распространённых классических устройств оценки среднего значения мгновенной частоты, включая и вейвлет-фильтрацию.
3. Синтез оптимальных алгоритмов цифровой и аналоговой оценки среднего значения мгновенной частоты, приводящих к потенциальным значениям результатов усреднения и предельному быстродействию работы устройств обработки сигналов без увеличения времени усреднения.
4. Основные положения теории исследования погрешностей устройств статистической обработки результатов обработки, основанной на обобщённом корреляционном анализе характеристик усредняющих устройств, позволившем исследовать обобщённые корреляционные функции усредняющих устройств и оценить уровень возникающих погрешностей.
5. Устройства, защищенные авторскими свидетельствами и патентами, реализующие потенциальные точности и обеспечивающие получение оценок частотно-временных параметров сигналов с предельным быстродействием используемой элементной базы.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 60 научных работ, включая 22 авторских свидетельства и патента на изобретения и монографию. Результаты работы докладывались на научно-технических семинарах, всесоюзных, всероссийских и международных конференциях: всесоюзной научно-технической конференции «Радиоизмерения-91», Севастополь, 1991; международной научно-технической конференции «Спутниковые системы связи и навигации», Красноярск, 1997; 2-ой всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов", Красноярск, 2000; международной научно-технической конференции и Российской научной школы «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий», Москва-Сочи, 2000; международной конференции, Российской научной школы и Российского научного симпозиума - «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий», Москва-Сочи, 2002; 6-ой международной конференции - «Актуальные проблемы электронного приборостроения, АПЭП-2002», Новосибирск, 2002.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, трёх приложений и иллюстрирована 155 рисунками. Общий объём работы составляет 304 страницы. Список литературы включает 150 наименований.
Статистические характеристики случайной частоты
При значениях U2i 1 в пределах периода огибающей суммарного процесса фаза аддитивной смеси дважды изменяет свой знак, как отмечено на графиках, приведенных на рис. 1.1.11. Это соответствует в характере развития процесса x(t) эффекту перемодуляции, а второе быстрое изменение фазы аддитивной смеси приводит к тому, что в скорости её изменения (случайной частоте) появляются положительные выбросы, которые можно проанализировать с помощью 3-х мерного графика поверхности, представленного на рис. 1.1.12. соответствующие выбросам. Из анализа графиков, приведенных на рис. 1.1.13 и рис. 1.1.14, можно сделать вывод, что в зависимости от нормированной амплитуды U2X динамика нарастания выбросов зависит от конкретного значения случайной частоты, а экстремальные значения выбросов находятся в области Аая к. Короткие импульсы изменения случайной частоты (выбросы), вызванные изменениями фазы исследуемой аддитивной смеси, приводят к расширению высокочастотной части спектральной плотности мгновенной частоты сигнала и оказывают влияние на статистические характеристики этого случайного процесса. В частности, при нахождении математического ожидания мгновенной частоты исследуемого сигнала выбросы приводят к грубым ошибочным результатам оценки частотно-временных параметров.
В общем случае анализа аддитивной смеси (1.1.1) достаточно полное вероятностное описание характера изменения случайной частоты может быть получено на основе известной информации о совместной многомерной дифференциальной функции распределения огибающей аддитивной смеси, фазы и их производных. В часто встречающемся случае отсутствия расстройки между частотой сигнала s(t) и центральной частотой энергетического спектра квазигармонического дифференцируемого гауссовского шума %(t) такая функция распределения приведена в /6, 65, 75/: со(и,и , р,п)= 2и] 2 ехР --L[u2 +иі-тииясо4р0-? )]--УИ2 +и2п\ KG\U 2 2а , (1-2.1) где о\ и j2K4 - дисперсии процесса %(f) и его квадратурных составляющих производных. Выполнив нормировку в (1.2.1) относительно дисперсий, получим:
Как следует из этого выражения, случайная частота влияет на характер и общую оценку совместного распределения амплитуды, фазы и их производных. Из приведенной формулы можно получить плотности распределения, позволяющие характеризовать случайную частоту статистически, определяя наиболее вероятные её значения и интенсивность их разброса, а также исследовать зависимости от различных параметров.
Проинтегрировав (1.2.2) по «лишним» переменным, получим другие совместные распределения, которые можно использовать для исследования свойств случайной частоты и оценить её влияние на исследуемые параметры.
Так, совместную плотность распределения огибающей аддитивной смеси и случайной частоты, получим в результате интегрирования /6/: со л co(V,Q)= j ja)(V,V , p,n)dV d(p. Тогда совместное распределение огибающей и случайной частоты будет равно: a(V,n) = - exp[-(v2+V +Vtn2)/2\l0(yVm), (1.2.3) где I0{VVa) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.
Результаты расчётов, выполненные по формуле (1.2.3), приведены на рис 1.2.1, рис, 1,2,2 и рис. 1.2.3. На рис. 1.2.1 представлен 3-х мерный график поверхности совместной плотности распределения fr)(l\Q) при значениях нормированных параметров Vm=\ и Ук =1, то есть когда амплитудные значения гармонического сигнала соизмеримы со среднеквадратическим значением случайного процесса (0 и квадратурной составляющей производной этого процесса.
На рис. 1.2.2 и рис. 1.2.3 даны графики сечений совместного распределения OJ(I\Q) в зависимости от нормированных параметров. Графики соответствуют условной плотности распределения случайной частоты coip.IV) при различных значениях огибающей и условной плотности распределения огибающей еэ(К/П) при различных характерных значениях случайной частоты П.
Совместное распределение огибающей и случайной частоты Из анализа графиков можно сделать выводы о статистической зависимости между переменными V и Q. С изменением огибающей аддитивной смеси в пределах плотность распределения случайной частоты концентрируется в области среднего значения в диапазоне частотного интервала -гг-г-ЯГ, а максимумы соответствуют математическому ожиданию случайной частоты.
Помехоустойчивость классических устройств оценки частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы
Трудности, связанные с реализацией устройств, работающих по методу максимума функции правдоподобия и реализующие предельные точности, привели к тому, что на практике нашли широкое распространение одноканальные устройства оценки среднего значения мгновенной частоты аддитивной смеси /9, 10, 91/. В таких устройствах как исследуемая, так и образцовые частоты представляются в виде временных интервалов, сравнение которых позволяет получить число, характеризующее приращение фазы сигнала на величину, кратную 2л. Для рассмотрения особенностей формирования временных интервалов при оценке частотно-временных параметров обратимся к поведению полной фазы аддитивной смеси, которую при узкополосном стационарном шуме (/) = A(t)cos[a 0t+ (/)] представим в виде квазигармонического колебания (1.1.1): (0 = Um cos(o 0/+ p0)+A(t)cos[a 0t+ p(t)] = 7(0cosO(/), (2.2.1) где U(t) - огибающая аддитивной смеси; Ф(0 = a 0t+ p(t) - полная фаза аддитивной смеси, состоящая из линейного и случайного слагаемых.
Случайный характер фазы p(t) приводит к тому, что моменты перехода x(t) через нулевой уровень флуктуируют, определяя тем самым составляющую погрешности устройства усреднения, обусловленную шумом. Значения p(t) связаны с синфазной /,(0 и квадратурной U2(t) составляющими соотношением (1.1.3), которое при рй = 0 будет иметь вид: p(t) = arctg ff . (2.2.2) Характер изменения полной фазы суммарного процесса приведён на рис. 1.1.2 для соотношений сигнал/шум больше порогового /5, 75/, когда отсутствуют аномальные составляющие суммарной погрешности оценки, вызванные переходами p(t) через уровень ± п 16/.
Число нулей процесса (2.2.1), по которым формируются временные интервалы в моменты прохождения через нулевой уровень с положительной производной, определяются поведением полной фазы при выполнении условий: Ф(0 = (2/-1)л:/2 и 0- 0. Л Полученный при этом, так называемый «фазовый сигнал» Ф(/Т0) /20, 25/, используется для формирования интервала оценки приращения фазы исследуемого сигнала: T = Tt, (2.2.3) где Tt - длительность і-то оцениваемого периода сигнала.
Если в (2.2.3) п = const, то используемый режим известен как «фазовый метод оценки частоты» /25/. В этом случае 7) =2я7 и0 является периодом исследуемого сигнала. При Г = const метод усреднения известен как метод "счета числа нулей" /20/ иГ(= 2я/юг, то есть определяется частотой используемого эталонного генератора. Фазовый метод оценки среднего значения мгновенной частоты позволяет получить повышенную точность и поэтому получил широкое распространение при нахождении высокоточных оценок /10,39/.
Основными соотношениями, определяющими принцип построения классического устройства оценки среднего значения мгновенной частоты, является связь между полной фазой исследуемого сигнала и мгновенной частотой /1, 2/: «/) = &. т,+Ш и Фй-Ur) . (2.2.4) Среднее значение мгновенной частоты определяется по приращению полной фазы сигнала (рис. 1.1.2) на интервале усреднения T = Ta=t2 =tkH. При этом используется информация о её значениях в начале Ф( я) и конце Ф( 4) измерительного интервала с приращением, равным: ЛФ(0 = Ф(ік)-Ф(і„) = ja)(t)dt- j o(t) it. (2.2.5) о о Среднее значение мгновенной частоты сигнала на интервале Т определяется из (2.2.5) по формуле: »,(»(0) = [Ф(О-Ф( .)3, или относительно середины времени усреднения: "іЙО) = }[Ф( +)-Ф( -)]. (2.2.6)
Из полученных выражений следует, что устройство оценки среднего значения мгновенной частоты реализует операцию дифференцирования фазы сигнала, а (2.2.6) является частным случаем обобщённого дифференциально-разностного уравнения /23,24/: для которого существует интегральная форма, называемая оператором текущего сглаживания: »,(»(/)) = JeKOAr, (2.2.7) -% где А - собственное значение оператора. Следовательно, классические устройства оценки среднего значения мгновенной частоты реализуют операцию текущего сглаживания (2.2.7) при собственном значении оператора, равном А=1: «іМоЬІ \ »WT, (2.2.8) -% и осуществляют выборку усреднённых значений мгновенной частоты с равномерным шагом, кратным времени усреднения.
Один из вариантов построения классических усредняющих устройств оценки частотно-временных параметров исследуемых сигналов представлен на рис. 2.2.1, а на рис. 2.2.2 приведены временные диаграммы его работы. Если исследуемый сигнал поступает на формирующее устройство 1, то схема работает в режиме измерения периода (фазовый метод), а среднее значение периода определяется из соотношения: Ж) = еп,{ЦіФ«+-ф«-ґ = „,„/,, (2.2.9) о 2ж где п = ent{—} - целая часть отношения интервала времени, в течение которого о произойдёт набег фазы сигнала на величину 2лк к периоду импульсов опорного генератора.
Эффективность оценок частотно-временных параметров сигналов при стационарных флуктуациях фазы с равномерным энергетическим спектром
Анализ этих выражений показывает, что б,(а, 9) слабо зависят от р, а при /?»1 полученные формулы значительно упрощаются и принимают вид: Такое значение коэффициента Q\a) можно получить при равномерном энергетическом спектре фазовых флуктуации. Следовательно, погрешность оператора текущего сглаживания отличается от предельного значения дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты на постоянную величину, зависящую от параметров весовой функции. Так, при а = 0 Q (a = 0) = 4/3, что составляет 1.2 дБ, а, изменяя а, значение Q (a) можно до 0.5 дБ приблизить к оптимальной оценке. На рис. 3.4.1 пунктиром приведён график коэффициента эффективности тс/сг02, который практически совпадает с ?,(«,/?) при а «0.3, соответствующему оптимальному значению.
Полученные соотношения и приведенные графики позволяют сделать вывод о том, что весовая обработка результатов оценки частотно-временных параметров приводит практически к предельным оценкам математических ожиданий мгновенной частоты, полученных методом максимума функции правдоподобия. При оптимальном а дисперсии оценок отличаются только на 0.5 дБ.
Одной из причин появления погрешности оценки среднего значения мгновенной частоты гармонического сигнала является наличие случайного смещения частоты исследуемого источника сигнала, обусловленное внутренними шумами с марковским характером флуктуации /12, 21, 58, 60/. Во многих случаях такой процесс может носить стационарный характер, тогда как случай ный процесс изменения фазы p(t) = JQ(j)dT оказывается нестационарным /6, 61,
Учитывая эти особенности исследуемого сигнала, оценим эффективность использования обобщённой весовой функции (3.2.12) для часто встречающейся на практике модели энергетического спектра частотных флуктуации (или производной фазы) вида:
Из проведённого анализа и результатов, представленных на рисунке, следует, что р оказывает влияние на QH(a,P) в области F3T 10, существенно увеличивая погрешность измерения, а при F3T»\, QE(a,p) не зависит от времени усреднения и корреляционных характеристик фазовых флуктуации.
На рис. 3.5.2 даны графики сечений поверхности, приведенной на рис. 3.5.1, характеризующие изменения коэффициента QH(a) при различных параметрах весовой функции, в частности, рассчитанный по выражению (3.5.13) график приведён для р »1. Из полученных результатов и графиков можно сделать вывод, что использование весовой обработки в случае нестационарных флуктуации фазы сигнала не приводит к уменьшению погрешности оценки среднего значения мгновенной частоты, поскольку коэффициент QH(a,fi) l. Погрешности при нестационарных флуктуациях фазы QHW
Как следует из выражения (3.5.13), полученного для /?»1, QH(a) зависит только от параметров весовой функции и при a = const значение QH(a) стремится к постоянной величине. Наибольшее увеличение погрешности оценки соответствует значению а = О и при /3 »1 характеризуется величиной Qn(a) чт0 соответствует увеличению дисперсии погрешности оценки до 25%.
Анализ эффективности весовой обработки при оценке частотно-временных параметров исследуемого сигнала показал целесообразность её использования при фазовых флуктуациях, носящих стационарный характер. Для помех, приводящих к нестационарным флуктуациям фазы, весовая обработка характеризуется увеличением дисперсии оценки. В практике оценок частотно-временных параметров могут встречаться задачи с преобладанием как стационарного, так и нестационарного характера фазовых флуктуации или же эти процессы присутствуют одновременно /10, 13, 24/. В связи с априори неизвестным характером помех необходимо произвести оптимизацию параметров весовой функции с целью поиска компромиссного решения - максимального подавления помех при стационарных флуктуациях фазы сигнала и минимального увеличения погрешности результата усреднения при нестационарных флуктуациях фазы.
Обобщая полученные результаты для погрешностей оценки среднего значения мгновенной частоты с рассмотренными моделями энергетических спек тров фазовых и, соответственно, частотных флуктуации исследуемого сигнала, можно записать обобщённое выражение для дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты в виде /94/: al= 24 х 22С,(а,Ю, (3-6.1) где G ,;0) = 16{(l-a)&[(l + a)] + ( - при стационарных флуктуациях фазы с равномерным ограничением энергетического спектра; + ея -- ? --е л + —(1-а)-: G2{a,P) = AnL\e +е" —е —е +- (1-а)-1] 2 2 я - при стационарных флуктуациях фазы с экспоненциальной корреляционной функцией; G3(aJ) = -[±e +±е -е -е" + -(1-За2+2а3)- -(1-а) + 1] 3 П? 2 2 Зл-3 л - при нестационарных флуктуациях фазы с экспоненциальной корреляционной функцией. Если р то дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты с весовой обработкой принимают вид: - стационарные флуктуации фазы
Обобщённый корреляционный анализ с классической весовой обработкой результатов оценки частотно-временных параметров
Рассмотренные модели случайных процессов и полученные формулы для расчёта дисперсии оценок математических ожиданий мгновенной частоты, позволяют сделать основные выводы об эффективности весовой обработки, но представляют скорее теоретический интерес, поскольку используемые модели являются идеализированными. Так, первая модель может быть получена при пропускании белого шума через линейную цепь с идеальной прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой, а для второй не выполняются условия диф-ференцируемости случайного процесса /78/. Поэтому обратимся к физически реализуемой модели, получаемой, например, при преобразовании белого шума в линейной цепи, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Энергетический спектр случайного процесса в этом случае будет равен W3(Q) = Wf(o)il2/\l + (Q./Q.c)2) , где Qc =(4/я)р,3, а дисперсию оценки в общем виде найдем в соответствии с (4.1.4): Воспользовавшись методом дифференцирования по параметру для вычисления интеграла (прил. 1), введя вспомогательную функцию, продифференцировав (4.1.14), найдя первообразные и определяя постоянные интегрирования из начальных условий, окончательно получим: о1={ Ц{т(\-аІІ+а)У) "(3 + 4Д (1 + 0))8-4 +(3+4 1-о) АМ--(3 + 8Д)е8А/2-(3 + 8аД)е-8 /2+8Д(1-а)-3 . (4.1.15) Из (4.1.15), положив а = 0 и а = \, после преобразований, найдём соответственно: =(б /(ГД)2)[(1 + 4Д/3 - -(1 + 8А/3 -8 +4Д/3-3/4], (4.1.16) ol =(2 2jT2 )І1-(1+8Д -8А] (4.1.17)
Исследовать полученные зависимости для дисперсии оценки математического ожидания мгновенной частоты и выявить характерные особенности можно воспользовавшись 3-х мерным графиком поверхности нормированной дисперсии оценки относительно мощности исследуемого процесса G(a,fix) = cr?/al, представленного на рис. 4.1.9, или его характерных сечений в функции от Д, приведенных на рис. 4.1.10. Оценка эффективности весовой обработки
На рис. 4.1.9 представлен фрагмент 3-х мерного графика дисперсии оценки математического ожидания в зависимости от параметра весовой обработки а, времени усреднения Т и эффективной ширины энергетического спектра F3. Поскольку G(a,px) = crf/crl практически не зависит от вида энергетического спектра исследуемого процесса, то на рис. 4.1.9 и рис. 4.1.10 приведены обобщённые графики для произвольных моделей энергетических спектров. Из приведенных графиков видно, что параметр а оказывает заметное влияние на дисперсию оценки частотно-временного параметра лишь в области Д »1, где наблюдается значительное уменьшение погрешности результата измерения. При этом полученные формулы для расчёта дисперсии оценки математического ожидания существенно упрощаются. существенные преимущества весовой обработки не зависят от вида энергетического спектра случайного процесса. Как показано в разделе 3 и /94, 97, 102, 103/, рассмотренный класс весовых функций позволяет найти практически предельные значения оценок, полученных на основе метода максимума функции правдоподобия, при явном преимуществе в технической реализации.
При цифровом исполнении устройства статистической обработки результатов оценки среднего значения мгновенной частоты одной из составляющих суммарной погрешности измерения является погрешность квантования. Рассмотрим механизм формирования и величину погрешности квантования по уровню в устройствах оценки среднего значения мгновенной частоты с равномерной весовой обработкой. Точность классических цифровых устройств оценки среднего значения мгновенной частоты аддитивной смеси гармонических сигналов и узкополосного шума ограничена стабильностью частоты опорного генератора, погрешностью дискретности и погрешностью, обусловленной наличием аддитивных шумов в исследуемом сигнале.
Среднеквадратическое значение суммарной относительной погрешности при оценке среднего из п периодов равно /9, 10, 24/: т где Vm - отношение амплитуды сигнала к среднеквадратическому значению шума; п = Т/Тс - количество усредняемых периодов за время усреднения; 0=/0/Л/б - среднеквадратическое значение погрешности квантования при оценке значения одного периода сигнала, a t0 - период следования счётных импульсов; S0 - составляющая суммарной погрешности, обусловленная нестабильностью частоты генератора образцовых импульсов. Стабильность современных генераторов можно получить достаточно высокую /10, 12/, поэтому при больших отношениях сигнал/шум основную долю суммарной погрешности будет составлять погрешность дискретности, которая при высоких требованиях к точности оценки среднего значения мгновенной частоты, например, стабильного гармонического сигнала, имеет существенное значение. На рис. 4.2.1.а, рис. 4.2.1.6, рис. 4.2.1.с представлены временные диаграммы работы классического цифрового устройства оценки среднего значения мгновенной частоты, работающего в режиме измерения периода, значение которого равно: Г = к и = к tfi , (4.2.2) А:-1 п где tH и tK - моменты времени, соответствующие появлению первого (начального) и К-то импульсов сигнала (рис. 4.2.1.6), следующих через 2п\ К - число импульсов за время усреднения. Погрешность дискретности состоит из погрешностей Ан - "начала" и погрешности "конца" - А измерения (рис. 4.2.1.с). Моменты появления импульсов сигнала tH и tK (начала и конца измерения) распределены равновероятно в интервале [0,/0] с дифференциальной функцией распределения Ю(ДН) = СУ(ДК) = С»(Д) = 1Д0 , поэтому дисперсии D2(AH) и D2(AK) будут равны /25/:
Похожие диссертации на Повышение эффективности оценки частотно-временных параметров сигналов
