Содержание к диссертации
Введение
1 Синтез интерполирующих фильтров с заданными характеристиками в радиотехнических устройствах цифровой обработки сигналов 12
1.1 Вводные замечания 12
1.2 Задача hhtel'i юляции при ограі1ичеііииiia реализуемость устройств восстановления сигнала 14
1.2.1 Постановка задачи интерполяции при ограничении на реализуемость устройств восстановления сигнала 14
1.2.2 Решение задачи интерполяции при ограничении на реализуемость устройств восстановления сигналов 20
1.3 Синткз интерполирующих фильтров методом регуляризации А.Н. Тихонова 30
1.5 Экспериментальные исследования алгоритмов интерполяции финитных случайных процессов 40
1.6 Анализ реализации алгоритмов интерполяции па основе цифровых рекурсивных фильтров 45
1.7 Выводы 54
2 Синтез вейвлет-базисов на основе интерполирующих функций с заданными характеристиками 56
2.1 Вводные замечания 56
2.2 Синтез вейвлет-базисов на основе интерполирующих фильтров с заданными характеристиками 57
2.2.1 Постановка задачи 57
2.2.2 Решение задачи 60
2.3 Синтез максимально компактных вейвлет-базисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скгйлииг-функции 64
2.3.1 Постановка задачи 64
2.3.2 Решение задачи 66
2.4 Синтез оптимальных вейвлет-базисов по критерию минимума среднеквадратической ошибки восстановления сигналов на основе представления карунена-лоэва 74
2.4.1 Постановка задачи. 74
2.4.2 Решение задачи 77
2.5 Разработка алгоритмов вейвлет-пакетного разложения с адаптацией базиса на каждом уровне разложения 80
2.6 Выводы 84
3 Практические аспекты проектирования быстрых алгоритмов обработки сигналов в радиотехнических устройствах на основе вейвлет- пакетного разложения 85
3.1 Вводные замечания 85
3.2 Построение быстрых алгоритмов корреляционной обработки ил основи впр 86
3.2.1 Обоснование быстрых процедур обработки сигналов на основе распараллеливания вычислительных операций 86
3.2.2 Разработка быстрого алгоритма корреляционной обработки сигналов па основе одноуровневого впр 87
3.2.3 Разработка быстрых алгоритмов корреляционной обработки с потерями на основе одноуровневого впр 93
3.2.4 Синтез быстрых алгоритмов на основе двухуровневого впр оптимальная схема обнаружителя. 97
3.2.5 Исследование быстрых алгоритмов корреляционной обработки на основе впр для обнаружения сложных фазоманипулированных сигналов 100
3.3 Разработка систем сжатия и кодирования речевых сигналов і іа осі юве впр в син тезированных базисах 106
3.4 Практическая реализация рекурсивного восстанавливающего фильтра 116
3.4.1 Разработка структурной схемы и выбор элементной базы /16
3.4.2 Разработка принципиальной схемы устройства восстановления речевого сигнала 123
3.5 Выводы 125
заключение 127
список литературы
- Задача hhtel'i юляции при ограі1ичеііииiia реализуемость устройств восстановления сигнала
- Синткз интерполирующих фильтров методом регуляризации А.Н. Тихонова
- Синтез максимально компактных вейвлет-базисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скгйлииг-функции
- Обоснование быстрых процедур обработки сигналов на основе распараллеливания вычислительных операций
Введение к работе
Актуальность темы. Алгоритмы цифровой обработки сигналов (ЦОС), используемые в современных радиотехнических устройствах, основываются на представлении сигнала в виде дискретных отсчетов, взятых в заданные моменты времени [1..4]. Большой вклад в развитие теории ЦОС детерминированных сигналов и случайных процессов (СП) внесли отечественные и зарубежные ученые В.А. Котельников, А.Ж. Хинчин, B.C. Пугачев, А. Шустер, Г.У. Юл, Н. Винер, Р.Б. Блекман, Ж.В. Тьюки, Ж.П. Бург, Г. Джекинс, Д. Вате, С.Л. Марпл.-мл., В.В.Витязев и др. [1..21]. Фундаментальное значение в теории ЦОС играет теорема В.А. Котельникова [1-4], в соответствии с которой однозначное восстановление исходного сигнала бесконечного по времени посредством дискретных отсчетов возможно только для сигналов с ограниченным спектром, при физически нереализуемом устройстве обработки [5]. Ошибки, возникающие в устройстве восстановления сигнала в случае использования теоремы В.А. Котельникова при дискретизации ограниченных во времени СП проанализированы в работах А. Дж. Джерри [5] Я.И. Хургина и В.П. Яковлева [6,7] и др. При этом, потенциально-достижимые характеристики устройств ЦОС, полученные применением сложных алгоритмов обработки сигналов, могут быть ослаблены на этапе цифро-аналогового преобразования из-за ошибок восстановления сигнала. Для уменьшения влияния этих ошибок разработана теория восстановления сигналов на основе полиномиальной, сплайн-интерполяции [11,22-25], а также атомарных функций, изложенная в работах В.А. Василенко [11,22,24], В.Ф. Кравченко, В.А. Рвачева [8,9] и др. Одной из проблем в этом случае является вопрос построения устройства восстановления сигнала в виде физически реализуемого фильтра нижних частот (ФНЧ), с учетом свойств финитных сигналов.
При решении задачи интерполяции наиболее широкое распространение получил критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) [10, 26-30], не учитывающий, что ошибки при восстановлении ограниченных во времени реали-
заций СП распределены неравномерно на интервале обработки, причем максимальные ошибки обычно сосредоточены в начале и конце интервала.
Наиболее часто используемыми при решении практических задач восстановления являются аналоговые ФНЧ высокого порядка, а также каскадное соединение нерекурсивного цифрового и аналогового ФНЧ [32]. При этом не рассмотрены вопросы синтеза цифровых рекурсивных восстанавливающих ФНЧ, с учетом априорных сведений о восстанавливаемом сигнале.
В настоящее время при обработке нестационарных СП большое распространение получила теория вейвлет-анализа (ВА), разработанная в работах А. Хаара, С. Маллата, И. Мейера, И. Добеши, К. Чуй, а также в работах отечественных ученых В.И. Воробьёва, В.Г. Грибунина, А.П. Петухова, Л.В. Новикова, В.П. Дьяконова, и др. [33-59]. Основное достоинство ВА заключается в локализации базисных функций как по времени, так и по частоте. Благодаря этому алгоритмы ВА нашли широкое применение при решении задач сжатия речевой и видео информации, а также восстановления и интерполяции сигналов.
Известно большое количество классов вейвлет-функций [34], однако практические рекомендации по выбору базиса для обработки заданного типа сигналов содержатся в очень ограниченном объеме работ [35-36]. В связи с этим наибольшее распространение при решении практических задач получили ортогональные вейвлеты Добеши [33], обеспечивающие минимальную длительность при фиксированном числе нулевых моментов и имеющие конечную область определения. На основе базисных систем Добеши построены стандарты сжатия изображений JPEG-2000, а также стандарт сжатия видеоинформации MPEG4.
При разложении СП наиболее эффективным по критерию минимума СКО является разложение Карунена-Лоэва, рассмотренное в работах Л. Фрэнкса, Г. Ван Триса, В.И. Тихонова и др [26-30]. Однако разложение Карунена-Лоэва не имеет быстрых алгоритмов, в отличии от алгоритмов вейвлет- и Фурье-анализа, поскольку синтез базисных систем производится на основе априорных сведений о корреляционных свойствах СП. На практике часто априорные сведения о кор-
реляционной функции СП отсутсвуют, свойства сигнала меняются. Это затрудняет применение разложение Карунена-Лоэва в алгоритмах ЦОС, в виду необходимости синтеза базисных систем разложения в реальном режиме времени.
Основным блоком ряда радиотехнических устройств ЦОС, определяющим их быстродействие является блок корреляционной обработки. Реализация блока корреляционной обработки возможно как во временной, так и в частотной области, в последнем случае это приводит к экономии вычислительных ресурсов. Основной вклад в теорию быстрых спектральных преобразований внесли Р. Блэй-хут, Э. Оппенгейм, Г. Дженкинс, Д. Ватте, И.С. Гоноровский, A.M. Трахтман, В.А Трахтман, С. Марпл Мл. [13-18, 60-66]. Обычно построение устройств корреляционной обработки осуществляется на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), требующих использования операции комплексного умножения. Известно [37], что реализация вейвлет-преобразования в базисе Хаара требует только операций сложения, что существенно уменьшает вычислительные затраты. При этом не известны структуры устройств корреляционной обработки в базисе Хаара, ввиду неинвариантности данного преобразования к временному сдвигу сигнала.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка оптимальных интерполирующих функций и вейвлет-базисов, обеспечивающих снижение ошибок восстановления финитных во времени реализаций непрерывных СП, а также эффективных по вычислительным затратам алгоритмов корреляционной обработки сложных сигналов.
Поставленная цель работы включает решение следующих задач:
Синтез интерполирующих функций с учетом ограничений на реализуемость устройств обработки, оптимальных для заданного класса непрерывных финитных сигналов, уменьшающих эффекты наложения и усечения.
Разработка структуры восстанавливающих фильтров на основе решения обратной задачи методом регуляризации А.Н. Тихонова, обеспечивающих минимум ошибки восстановления сигнала.
Анализ реализации рекурсивных восстанавливающих фильтров, позволяющих уменьшить требования к аналоговому фильтру нижних частот, без увеличения его порядка.
Разработка алгоритма синтеза вейвлет-базисов на основе синтезирующих функций с заданными характеристиками.
Синтез компактных вейвлет-базисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлинг-функции.
Разработка базисных систем на основе разложения Карунена-Лоэва, обеспечивающих минимальную ошибку восстановления СП при заданном коэффициенте сжатия. Разработка алгоритма вейвлет-пакетного разложения с адаптацией базиса на каждом уровне разложения для обеспечения минимальной ошибки восстановления СП.
Разработка алгоритмов корреляционной обработки сложных сигналов на основе одноуровневого, а также двухуровневого вейвлет-пакетного разложения (ВПР).
Обоснование алгоритма корреляционной обработки сложных дискретных сигналов на основе ВПР с потерями, обеспечивающего снижение требуемого быстродействия.
Методы проведения исследований. В работе использовались методы статистической радиотехники и математической статистики, вариационного и матричного исчисления, вычислительной математики, решения некорректных задач, а также новейшие достижения в области вейвлет-анализа речевых сигналов и цифровой обработки информации. Данные теоретические методы сочетались с экспериментальными исследованиями и результатами имитационного моделирования.
Научная новизна. В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:
Разработаны синтезирующие функции позволяющие уменьшить ошибки восстановления непрерывных финитных во времени сигналов по сравнению с ранее известными, учитывающие априорные сведения о корреляционных свойствах исходного непрерывного финитного во времени сигнала.
Предложена аппроксимация весового множителя синтезирующей функции в дробно-рациональном виде, позволяющим оптимизировать коэффициенты при отсутствии априорных сведений о восстанавливаемом сигнале.
Проанализирована структура рекурсивного восстанавливающего фильтра, позволяющая уменьшить порядок аналогового фильтра при заданной точности восстановления сигнала.
Обоснован алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе восстанавливающей функции-прототипа с заданными характеристиками.
Произведен синтез максимально-компактных по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлинг и вейвлет-функции, обеспечивающих уменьшение ошибки восстановления при сжатии речевых сигналов.
Разработан алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе разложения Ка-рунена-Лоэва с использованием априорных сведений о корреляционных свойствах обрабатываемого сигнала.
Предложен алгоритм ВПР с адаптацией базиса на каждом уровне разложения, позволяющий построить алгоритмы сжатия речевых сигналов для передачи на скорости менее 4 кбит/с.
Предложены алгоритмы корреляционной обработки с потерями на основе преобразования Хаара, позволяющие снизить требования к быстродействию устройства обработки до двух раз, по сравнению с алгоритмами на основе быстрого преобразования Фурье.
Достоверность. Достоверность результатов и выводов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается качественным и количественным сопос-
тавлением результатов численных экспериментов, с известными положениями теории ЦОС.
Практическая ценность. Представленные в работе алгоритмы восстановления СП на основе предложенных синтезирующих функций, а также алгоритмы вейвлет-анализа с синтезированными базисами могут быть эффективно использованы в таких радиотехнических устройствах, как системы передачи и устройства хранения информации, системы радиотелеметрии и т.п. Кроме того, в работе предложены методы построения устройств корреляционной обработки, которые могут быть использованы в устройствах обнаружения сигналов спутниковых систем передачи информации. Результаты диссертационной работы нашли применение в действующей аппаратуре ФГУП «Российский научно-исследовательский институт космического приборостроения» и ООО «Конструкторское бюро «КрасТяжМаш»», что подтверждено соответствующими актами.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Синтезирующие функции оптимальные по критерию минимума СКО для
одноканальных и двухканальных устройств обработки, позволяющие сни
зить ошибки восстановления финитных во времени сигналов в 2..3 раза по
сравнению с ранее известными алгоритмами на основе функции sinc(/),
сплайн-интерполяции и атомарных функций при частоте дискретизации близкой к частоте В.А. Котельникова.
Алгоритм ВПР на основе интерполирующих функций-прототипов с адаптацией базиса на каждом уровне разложения с использованием представления Карунена-Лоэва обеспечивающий требуемое качество восстановления речевых сигналов при скорости передачи менее 4 кбит/с.
Алгоритмы корреляционной обработки на основе преобразования Хаара, обеспечивающие снижение количества требуемых вычислительных операций в 2 раза по сравнению с алгоритмами на основе быстрого преобразования Фурье, с уменьшением вероятности правильного обнаружения менее чем на 1% при отношении сигнал-шум более -20 дБ.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях (НТК), семинарах и сессиях:
Научная сессия МИФИ -2004 г., г. Москва
МНТК «Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А. Котельникова». 2003 г., г. Москва.
10-я МНТК студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». 2004 г., г. Москва.
8-я, 9-я Всероссийская НТК студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и образовании". 2002,2004 гг., г. Рязань.
6-я, 7-я, 8-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение» 2004, 2005,2006 гг., г. Москва.
МНТК «Информатизация и информационная безопасность правоохранительных органов» 2004, 2006 гг., г. Москва.
11-я, 13-я, 14-я МНТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций». 2002, 2004 2005 гг., г. Рязань.
Всероссийский научно-практический семинар «Сети и системы связи», 2005 г., г. Рязань.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ. Из них 4 статьи в центральной печати, 5 статей в научно-технических журналах и межвузовских сборниках трудов, 16 тезисов докладов на конференциях.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 149 наименований и 2-х приложений. Диссертация содержит 130 стр. основного текста и 50 рисунков.
Благодарности. Выражаю свою искреннюю признательность научному руководителю Сергею Николаевичу Кириллову за неоценимую помощь и серьёзную моральную поддержку, оказанную автору в процессе работы над диссертацией. Благодарю своих коллег, преподавателей, сотрудников, аспирантов и молодых учёных кафедры радиоуправления и связи за высказанные замечания,
конструктивные обсуждения, содействие и помощь в работе. Выражаю особую признательность своим родным и близким за предоставленную возможность заниматься научной деятельностью. Хочу выразить отдельную благодарность моей супруге за моральную поддержку и терпение.
Задача hhtel'i юляции при ограі1ичеііииiia реализуемость устройств восстановления сигнала
При синтезе интерполирующих фильтров на основе теоремы В.А. Котель-никова [1] для случая одноканальной системы восстановления и на основе представления Хургина-Яковлева [5..7] при двухканальном восстановлении, остро встает проблема реализуемости восстанавливающих фильтров [5]. При реализации восстанавливающих фильтров в виде ФНЧ, из-за неравномерности частотной характеристики фильтра в полосе пропускания и в полосе заграждения возникают дополнительные ошибки восстановления. Эти ошибки вызваны не только усечением импульсной характеристики и эффектом наложения спектров, но и искажениями исходного сигнала [5]. Таким образом, задача синтеза восстанавливающих фильтров, при учете ограничений на реализуемость устройства обработки, является актуальной, а ее решение позволит уменьшить ошибки восстановления сигнала вызванные его искажениями. При этом синтез реализуемых восстанавливающих фильтров для одно- и двухканальных систем интерполяции позволит дополнительно учесть финитность реализации восстанавливаемого сигнала и тем самым снизит ошибки интерполяции, по сравнению с применением идеальных ФНЧ.
Операция интерполяции, позволяющая получить реализацию оценки u(t) первичного сигнала u{t) по известной совокупности его выборок /,, где Uі = w( ), a t. - і-и момент опроса первичного сигнала, может рассматриваться в различных аспектах и соответственно трактоваться как процесс того или иного типа. Для получения соотношений, определяющих выбор частоты опроса и способа получения оценок u(t), полезными оказываются две трактовки процесса интерполяции: геометрическая и фильтрационная [12].
При геометрической трактовке интерполяции, оценка восстановленного сигнала определяется выражением: u(t) = lUrx(ti), (1.1) і где х(/) - синтезирующая функция. Тогда можно рассматривать оценку восстановленного сигнала u{t) как элемент некоторого функционального метрического пространства, a x(t) как базис в этом пространстве. В этом случае процесс интерполяции можно трактовать как отыскание элемента (точки) в пространстве при известных координатах Ui в выбранном базисе. При этом метрика согласуется с показателем верности оценки первичного сигнала, т.е. является критерием качества восстановления. В случае двухканальной системы восстановлении на основе отсчетов сигнала и его первой производной [6], оценка восстановленного сигнала u(t) может быть представлена выражением: где Vi =du{t)/dt\ - отсчеты производной исходного сигнала u(t) [72], y(t) itf синтезирующая функция канала сигнала, z(f) - синтезирующая функция канала производной. При трактовке интерполяции как процесса фильтрации совокупность реализаций выборок U; первичного сигнала может рассматриваться как некоторая функция дискретного времени, т. е. U u tj), / = 0,1,2... Соотношение, позволяющее сопоставить функцию дискретного времени и(/() и функцию непрерывного времени u(t), можно представить в общем виде u(t) = l{u(tt)}, (1.3) где /{} - оператор интерполяции. Областью определения оператора интерполяции являются функции дискретного времени и( .), а областью значений - функции непрерывного времени u(t). Если г/(7() и й(/) рассматривать как элементы соответствующих линейных пространств, то нетрудно видеть, что оператор интерполяции /{], является линейным, т.е. он удовлетворяет условиям аддитивности и однородности [9]. Из этого следует, что операцию интерполяции может выполнять физическая линейная система и, в частности, восстанавливающий фильтр [12]. Если импульсная характеристика фильтра h(t,tt) удовлетворяет /»(/, ,) = (/- ,), (1.4) то сигнал на выходе фильтра ивых {{) будет совпадать с интерполяционной оценкой u(t) = ueba(t).
Изложенная трактовка интерполяции как процесса фильтрации позволяет использовать теорию импульсных систем. Задача отыскания оптимальных синте зирующих функций x{t) сводится к выбору импульсной характеристики h(t,tf) фильтра, обеспечивающей наилучшую точность оценки при входном сигнале, заданном в дискретном виде.
При синтезе устройств ЦОС встает необходимость оценки качества их функционирования, для этой цели требуется провести сравнение синтезированного устройства с неким идеальным. В этом случае необходимо задать сигнал рассогласования (/), затем определить его характер исходя из заданного критерия качества. Рассмотрим несколько возможных критериев качества [71].
Синткз интерполирующих фильтров методом регуляризации а.н. тихої юва
В общем случае задача интерполяции в операторном виде может быть поставлена следующим образом. Пусть дан дискретный сигнал ud (t) вида [12]: «ДО=D{"(0}=5 (0 ( - )» teT (1.36) где D{»} - оператор дискретизации, S(t) - дельта функция, Т - конечный интервал обработки. Необходимо по имеющемуся дискретному сигналу ud {t) осуществить восстановление непрерывного сигнала u{t) = \{ud(t))= jud(r)-x(t-r)dT, (1.37) где l{»} - оператор интерполяции, х(/) - синтезирующая функция. В такой постановке операция интерполяции осуществляется путем фильтрации дискретного сигнала ud (f) с помощью восстанавливающего фильтра с импульсной характеристикой. При безошибочном восстановлении необходимо потребовать, чтобы u(t) = u(t). В случае финитного во времени сигнала обеспечить данное требование в общем случае невозможно, но можно получить приближенное решение с заданной ошибкой. Для решения задачи интерполяции необходимо из уравнения типа свертки (1.37) решить обратную задачу определения синтезирующей функции x(t) при известных сигналах u{t) и ud{t).
Известно [78], что в такой постановке данная задача относится к классу некорректных, поскольку требует решения уравнения типа свертки, которое относится к уравнениям Фредгольма первого рода. Для решения этой задачи воспользуемся методом регуляризации А.Н. Тихонова [78].
Для этого представим выражение (1.37) в частотной области: U(co) = Ud{co) X{co), (1.38) где U(со) и Ud[co) -спектры непрерывного u(t) и дискретного nd(t) сигналов соответственно, Х[со) - частотная характеристика восстанавливающего фильтра. Из выражения (1.38) следует, что X(co) = U(0)jUd(co). (1.39)
В частном случае, рассмотренном В.А. Котельниковым [1], u(t) представляет собой сигнал с ограниченным верхней частотой сов спектром. Тогда U(а)) = 0 при p u g, а значит сигнал u(t) бесконечен во времени. При частоте дискретизации cod 2- сов,уравнение (1.37) имеет единственное решение вида: . . fl, У codjl, оИ = n (1.40) [0, \CD\XOJ2\ и восстанавливающая функция равна х0 (V) = sine (л- -(od). При практическом применении алгоритмов восстановления сигнала приходится использовать финитные реализации СП. В этом случае исходную реализацию СП можно представить в виде u{t) = ux(t)-p{t), (1.41) где ит (/) - бесконечная во времени реализация СП с финитным в интервале Асо спектром иф(а ), а /?(/) = 1, если teT п p(t) = 0, если tT. Тогда исходя из свойств преобразования Фурье, спектр U(co) финитной во времени реализации СП n(t) можно представить следующим образом: оо U{a )= \иф(в)-!Гр(О-а ) ІЄ=\иф{Є).8;(0-а)) ів. (1.42) А у Поскольку спектр Sp(co) импульса p{t) бесконечен по частоте, то и спектр U[со) также является бесконечным. После дискретизации спектр исходного СП U{o)) становится периодическим: со Ud(co) = С7(й - -2-я/Д/). (1.43) А=-оО
Так как финитный во времени СП и(/) обладает бесконечной по частоте спектральной плотностью мощности (СПМ) К/(я ) , то безошибочное восстановление СП u{t) невозможно. В этом случае восстановленный СП fi(t) является аппроксимацией исходного СП u[t). Для того, чтобы остаться в рамках задачи интерполяции, т.е. обеспечить совпадение восстановленного и исходного СП в узлах дискретизации, потребуем, чтобы СПМ исходного СП \и(й))\ представлялась в виде свертки СПМ СП типа белого шума офаниченного по полосе и СПМ \Sr (0) некоторого стационарного эргодического СП r(t): \u{co)\2=l\Sm(e)\2 -\Sr(e-co)\2de. (1.44) —со
Тогда, согласно уравнению Винера-Хинчина, а также с учетом свойств преобразования Фурье, свертка в частотной области СПМ (1.44), может быть представлена произведением во временной области корреляционных функций. Т.е. корреляционная функция Ги (7) исходного СП имеет вид ГД/) = Гг(0 «пс( .//Д/), (1.45) где Гг(/) - корреляционная функция СП r(t). Тогда из уравнения (1.18), с учетом того, что приведенная корреляционная функция Dv(t,tj) = Ги {tt), а также Г\. = Sjj, поскольку дискретизация осуществляется в узлах корреляционной функции СП (1.45), получим синтезирующую функцию для одноканальной системы как: x(t) = ru(t) = rr(t)-smc(7r/M). (1.46)
Производя аналогичные рассуждения для двухканальной системы в отдельности для канала сигнала и производной синтезирующие функции можно представить в виде: y(t) = rr(t)-[smc(7T t/At)]2, z(t) = rr(t)-[smc(ir/At)]2. (1.47)
Как следует из выражений (1.46) и (1.47) множитель sinc(;r-r/Ar) обеспечивает совпадение восстановленного и исходного СП в узлах дискретизации. Та ким образом, задача определения оптимальных синтезирующих функций сводится к расчету корреляционной функции Гг (/).
На практике, для определения корреляционной функции Гг (?), необходимо решать обратную задачу определения СПМ рг( у) . Т.е. из уравнения (1.44) по известной СПМ \и(й))\ финитного во времени СП, определить СП с такой СПМ, которая в результате свертки с СПМ Sm (о))\ , обеспечивала бы наилучшее приближение к U(a ) в заданной метрике (1.5) или (1.7). Уравнение типа свертки (1.44) относится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, при этом как показано в [78] задача определения СПМ \Sr [со)\ является некорректно поставленной. Если воспользоваться методом регуляризации А.Н. Тихонова [78] то, решение поставленной задачи во временной области можно представить как: г, (0=[г. M/sincM] R Q{t% (1 -48) где R\t,Q(tf) - стабилизирующий множитель вида [69] /ф,0(/)) = 1/(1+ /?(/)), (1.49) здесь Q(t) = t2 - стабилизатор, сов - верхняя частота СПМ Smil(aA , ft - коэффициент при стабилизаторе.
Таким образом, решение данной задачи требует наличия априорных сведений о форме СПМ \SU ( у) , причем от точности оценки этой СПМ напрямую зависит ошибка восстановления. Поскольку часто на практике априорные сведения о форме СПМ восстанавливаемого СП отсутствуют, а оценку СПМ невозможно произвести с требуемой точностью из-за малой размерности выборки исходного СП, то получить оптимальные синтезирующие функции на приемной стороне затруднительно.
Синтез максимально компактных вейвлет-базисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скгйлииг-функции
Требуемые свойства вейвлет-базиса можно получать соответствующим выбором интерполирующей функции прототипа. Так свойство частотно временной локализации, в силу связи интерполирующей и скейлинг-функции возможно задавать как дополнительное ограничение на эффективную длительность интерполирующей функции-прототипа. Исходя из принципа неопределенности Гейзен-берга [5], базис Хаара, полученный на основе сплайна первого порядка, обладающий наилучшей временной локализацией, не ограничен в частотной области.
С другой стороны базис Шеннона обладает наилучшей частотной локализацией, является бесконечным во времени. Для определения локализации по времени и частоте можно использовать произведение эффективной длительности базисной скейлинг-функций T ={27r)2]t2](p(t)\dt 2Е (2.25) -со / на эффективную полосу частот (о]ф = jV . \s(o))\2 dco АкЕ. (2.26) -со /
Поскольку на практике наибольший интерес представляют вещественные базисные функции, то синтез будем производить на основе симметричных интерполирующих функций x(t), при этом знак модуля в выражении (2.26) можно опустить. Выражение (2.26) можно преобразовать следующим образом: 00 1 (л V \co2-92(co)do) = —\\— p(t)\ dt, (2.27) _со 2ж _a\at ) тогда d 0) =\\jt p(t)}dtkn2E. (2.28)
Таким образом, задача синтеза максимально компактного базиса по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлиг-функции при заданной эффективной полосе частот (2.28), сводится к минимизации (2.25). В этом случае, пространство решений должно быть сужено до скейлинг-функций с учетом основного уравнения кратномасштабного анализа (2.3), а также свойств (2.4) и (2.6).
Для решения поставленной задачи рассмотрим выражение (2.4). Потребуем, чтобы эффективная полоса частот со2эф спектра 9{сої) скейлинг-функции (p(t) была минимальна при заданной эффективной длительности Т ф, тогда эффективная полоса частот масштабированной в 2 раза скейлинг-функции также будет минимальна при в 2 раза меньшей ее эффективной длительности.
Поскольку спектр скейлинг-функции сосредоточен в области нижних частот, то из уравнения (2.5) эффективная полоса спектра М0[а)) также должна быть минимальна при заданном количестве отличных от нуля коэффициентов hn масштабирующего уравнения. При этом количество отличных от нуля коэффициентов масштабирующего уравнения равно эффективной длительности скейлинг-функции, и равно эффективной длительности синтезирующей функции прототипа. Учитывая соотношение (2.19), синтез максимально компактной скейлинг-функции можно произвести на основе синтезирующей функции при заданной эффективной длительности. Таким образом, синтез максимально-компактной скейлинг-функции сводится к расчету синтезирующей функции, удовлетворяющей условию: Тэ2ф = (2х)2 JV . х(/)2 dt 2ЕХ - min, (2.29) -СО / при ограничении о2 = П —x(t) dt ЪжгЕх = const, (2.30) где Ex - энергия синтезирующей функции Jt(/).
Обоснование быстрых процедур обработки сигналов на основе распараллеливания вычислительных операций
В различных радиотехнических устройствах широкое распространение получили корреляционные алгоритмы обработки. При этом в современных системах передачи информации используются сложные широкополосные фазо- и час-тотно-манипулированные сигналы с большой базой для возможности функционирования системы в условиях низкого отношения сигнал-шум. Для уменьшения количества требуемых арифметических операций был разработан аппарат быстрого преобразования Фурье, теоретико-числовые преобразования и системы в остаточных классах. Основные результаты в области корреляционного анализа на основе быстрых спектральных преобразование получили отражение в работах [13, 61, 17, 21, 16, 64]. Однако использование алгоритмов на основе БПФ для вычисления взаимной корреляционной функции (ВКФ) принятого и опорного сигналов с большой базой затрудняет обработку в реальном масштабе времени, а также требует большого объема памяти для хранения опорного сигнала. Поэтому остро стоит задача разработки быстрых алгоритмов корреляционной обработки сигналов на основе ВПР с целью уменьшения требуемого количества вычислительных операций для работы в реальном масштабе времени при вхождении в синхронизм с сигналами спутниковых навигационных систем, а также спутниковых информационно-управляющих систем передачи информации.
В настоящее время, особое внимание уделяется разработке низкоскоростных кодеков речи для передачи со скоростями ниже 4 кбит/с. Использование известных систем разложения не позволяет обеспечить заданные характеристики, ввиду отсутствия элемента адаптации базисных систем разложения к исходному сигналу. Уменьшить требуемую скорость передачи речевых сигналов при заданном качестве речи, можно путем использования алгоритмов сжатия на основе ВПР с адаптацией базиса на каждом уровне разложения, рассмотренных в п. 2.5.
Исходя из вышеперечисленного, в третьей главе работы для разработки радиотехнических устройств ЦОС, обеспечивающих обработку на основе ВПР сложных ФМн и ЧМн-сигналов, а также речевых сигналов необходимо решить следующие задачи:
1. Произвести разработку алгоритмов корреляционной обработки ФМн и ЧМн-сложных сигналов на основе одноуровневого, а также двухуровневого ВПР.
2. Обосновать алгоритмы корреляционной обработки сложных ФМн и ЧМн-сигналов на основе ВПР с потерями, обеспечивающих снижение требуемого быстродействия устройства обработки.
3. Разработать алгоритмы сжатия речевых сигналов с адаптацией базисных систем ВПР на каждом уровне разложения, обеспечивающих передачу при скоростях менее 4 кбит/с.
4. Проанализировать возможность практической реализации цифрового рекурсивного интерполирующего фильтра для восстановления речевого сигнала.
Известно, что количество операций К необходимых для вычисления ВКФ нелинейно зависит от количества отсчетов N принятого и опорного сигналов: К = f(N), где /() - нелинейная зависимость. Например классический ал горитм вычисления ВКФ требует K = N2 операций. Тогда можно утверждать, что для уменьшения количества операций необходимо разложить N отсчетов принятого и опорного сигналов на последовательности меньшей длины, например на две последовательности длины N/2. Тогда обрабатывая в отдельности каждую из последовательностей требуемое количество операций будет равно: KN/2=2f{N/2) f{N). (3.1)
При этом важно, чтобы способ разложения выбирался из условия возможного восстановления исходных сигналов из их разложений. Такой подход применяемый при построении алгоритмов БПФ, заключающийся в перестановке отсчетов исходного сигнала может быть распространен и на вейвлет-пакетные разложения, или на разложения при помощи двухканальных алгоритмов интерополя-ции.
Как показано в [13], применение алгоритма БПФ для вычисления ВКФ требует K = 2-N\og2(N) + N (3.2) операций, где N - размерность выборки. Произведем одноуровневое вейвлет-пакеное разложение в базисе Хаара, как это представлено на рисунке 3.1, где s - входная последовательность отсчетов, Н и G - фильтры НЧ и ВЧ ветвей ВПР соответственно, для базиса Хаара коэффициенты фильтра Я равны h = [\/yj2 1/-72], для фильтра G g = [\/y/2 -1/72], sh и sg - последовательности после децимации соответственно в Н и G ветвях.
